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4.2. ANÁLISE DE FOURIER
Série de Fourier
Transformada de Fourier para Sinais Contínuos
Transformada de Fourier para Discretos (DFT)
2
A) Representação de Sinais por Série de Fourier
Introdução
Neste capítulo vamos introduzir as transformações de sinais Série de Fourier e Transformada de Fourier, que convertem sinais do domínio do tempo em representações no domínio da freqüência.
Histórico sobre a Série de FourierO conceito em usar harmônicos (senos e co-senos) ou exponenciais complexas para descreverem fenômenos periódicos data de muito tempo atrás:
1748 – L. Euler – Movimento de uma corda vibratória era combinação dos modos normais.
1753 – D. Bernoulli – idem
1759 – J. L. Lagrange – Criticou o uso de séries trigonométricas na análise do movimento de cordas vibratórias. Ele achava que era impossível representar sinais com descontinuidades usando as séries trigonométricas.
3
1768 – Nasce Jean Baptiste Joseph Fourier em Auxerre, França.
Matemático e Professor na “Ecole Polytechnique de France”.
Vida política intensa. Escapou da guilhotina em duas vezes após a revolução francesa. Acompanhou Napoleão Bonaparte no Egito.
Prefeito em Grenoble (1802). Nesta cidade desenvolveu suas idéias sobre série trigonométrica, com aplicação no fenômeno de propagação de calor e difusão.
1807 – Fourier termina seu trabalho e o apresenta no “Institut de France”.
Foram 4 julgadores de seu trabalho: Lacroix, Monge, Laplace e Lagrange. Os 3 primeiro a favor da publicação, mas Lagrange foi veemente contra. O trabalho não foi publicado.
1822 – Publicou o livro “Théorie analytique de la chaleur”, que incluía suas idéias.
1828 – Dirichlet forneceu condições precisas na qual uma função periódica poderá ser representada por uma série trigonométrica.
4
Representação em Série de Fourier Trigonométrica de Sinais Periódicos
Em capítulos anteriores, definiu-se um sinal de tempo contínuo x(t) como sendo periódico se existir um valor diferente de zero positivo para T tal que
)()( txTtx
O período fundamental T0 de x(t) é o menor valor positivo de T para o qual a equação acima é satisfeita, e 1/T0 = f0 é chamada freqüência fundamental dada em Hz.
Dois exemplos básicos de sinais periódicos são os sinal senoidal (co-senoidal)
e o sinal exponencial complexo
onde é chamada freqüência angular fundamental.
)cos()( 0 ttx
tjetx 0)(
000 22 fT
5
Sendo f(t) uma função periódica com período T. Esta função, caso obedeça as condições de Dirichlet, pode ser representada pela série trigonométrica:
0 1 0 2 0 1 0 2 01
( ) cos cos2 ... sen sen2 ...2
f t a a t a t b t b t
)sen cos(2
)(1
000
nnn tnbtna
atf
A componente senoidal de freqüência n = n0 é chamada o n-ésimo
harmônico da função periódica. O primeiro harmônico é chamado de componente fundamental, pois ele tem o mesmo período que a função, e a freqüência correspondente 0 = 2f0 = 2/T é chamada
freqüência angular fundamental (como já mencionado anteriormente).
ou
(1)
6
Convergência da Série de Fourier:
Sabe-se que um sinal periódico f(t) tem uma representação em série de Fourier se ele satisfazer as seguintes condições de Dirichlet:
(i) A função f(t) é absolutamente integrável em um período, isto é:
2/
2/finita|)(|
T
Tdttf
(iii) A função f(t) possui um número finito de descontinuidades em um
período.
(ii) A função f(t) possui um número finito de máximos e mínimos em um período.
7
A convergência é satisfeita, somente quando um número infinito de termos for incluído na expansão da série de Fourier. Se a série for truncada, ou seja, se um número finito de termos for usado na expansão da série, como na verdade deve ser em quase todas as aplicações práticas, então a aproximação exibirá um comportamento oscilatório em torno da descontinuidade, conhecido como Fenômeno de Gibbs. Quando o número de termos cresce, a curva resultante oscila com freqüência crescente e a amplitude decrescente.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10-3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo, s
16 termos na série
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10-3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo, s
4 termos na série
8
Determinação dos Coeficientes da Série: Os coeficientes an, a0 e bn são obtidos através da utilização das propriedades
de ortogonalidade das funções trigonométricas.
Um conjunto de funções {k(t)} é ortogonal em um intervalo a<t<b, se para
duas funções quaisquer m(t) e n(t) no conjunto existe a integral
2/
2/
,
, 0 )( )(
T
T nnm nmr
nmdttt
Por exemplo, um conjunto de funções senoidais. Pelo calculo elementar, pode-se mostrar que:
2/
2/ 0 0 para ,0 cosT
Tmdttm
2/
2/ 0 todopara ,0 sen T
Tmdttm
2/
2/ 00 0 , 2/
, 0 )( )cos( cos
T
T nmT
nmdttntm
2/
2/ 00 0 , 2/
, 0 )()sen (sen
T
T nmT
nmdttntm
2/
2/ 00 0 )( )cos(sen T
Tdttntm
;
9
As equações anteriores mostram que as funções {1, cos0t, cos20t, ...,
cosn0t, ..., sen0t, sen20t, ..., senn0t} formam um conjunto de funções
ortogonais em um intervalo –T/2 < t< T/2. Usando as equações mostradas em slide anterior e combinando com a equação (1), chega-se às expressões dos coeficientes da série de Fourier:
1,2,...,0 , )( cos )(2 2/
2/ 0 ndttntfT
aT
Tn
1,2,... , )(sen )(2 2/
2/ 0 ndttntfT
bT
Tn
)(2 2/
2/0 T
Tdttf
Ta
Observa-se que (4) está contida em (2). E esta equação (4) mostra que o primeiro termo da série (a0/2) é o valor médio da função em um período.
Logo, se a função for simétrica em relação ao eixo das abscissas, este
primeiro termo da série é igual a zero.
(2)
(3)
(4)
10
Simetria Ondulatória – Funções Pares e Ímpares
Uma função f(t) é dita par quando satisfaz a condição:
)()( tf-tf
As funções pares são simétricas em relação ao eixo dos Y (eixo da
coordenada dependente), portanto:
aa
adttfdttf
0 )(2 )(
Uma função f(t) é dita ímpar quando satisfaz a condição:
)()( tftf
As funções ímpares são anti-simétricas em relação a tal eixo, logo:
a
afdttf 0)0( e 0 )(
11
Propriedades:
i) Qualquer função f(t) pode ser expressa como a soma de duas
componentes, das quais uma é par e outra é ímpar, ou seja:
)()()( tftftf ip
ii) Se f(t) for uma função periódica par, sua série de Fourier consiste somente dos termos an (n=0,1,...), ou seja, de uma constante e dos termos
em co-senos:
10
0 cos2
)(n
n tnaa
tf
iii) Se f(t) for uma função periódica impar, sua série de Fourier consiste somente dos termos bn (n=1, 2,...), ou seja, de termos em senos:
10sen )(
nn tnbtf
12
Forma Complexa da Séries de Fourier – Espectro de Freqüência
O co-seno e o seno podem ser expressos em função de exponenciais, ou seja:
)(2
1 cos 00
0tjnωtjnω eetn
)(2
1sen 00
0tjnωtjnω ee
jtn
As expressões acima são determinadas a partir da equação de Euler:
sen jcose j
(5)
(6)
Substituindo (5) e (6) em (1), vem (lembrando que -j=1/j):
1
0 00 )(2
1)(
2
1
2)(
n
tjnnn
tjnnn ejbaejba
atf
1
0 0000
2
1
2
1
2)(
n
tjntjnn
tjntjnn ee
jbeea
atf
13
Definindo:
)(2
1 ),(
2
1 ,
2
100 nnnnnn jbacjbacac
Logo,
)()(1
000
n
tjnωn
tjnωn ececctf
110
00)(n
tjnωn
n
tjnωn ececctf
110
00)(n
tjnωn
n
tjnωn ececctf
n
tjnωnectf 0)( (7) Série de Fourier Complexa
14
Determinação dos Coeficientes da Série de Fourier Complexa:
)(2
1nnn jbac
Os coeficientes cn são valores complexos
)sen()()cos()(1
2/
2/ 02/
2/ 0
T
T
T
Tn dttntfjdttntfT
c
)]sen())[cos((1
02/
2/ 0 dttnjdttntfT
cT
Tn
2/
2/0 )(
1
T
Ttjn
n dtetfT
c ,....2,1,0 n
2/
2/0 )(
1
T
Ttjn
n dtetfT
c
Se f(t) for real então:
O símbolo (*) denota o complexo conjugado
* nn cc
15
T tjn
n dtetfT
c0
0 )(1
cn é complexo para todo n com exceção de n=0 (ou seja, c0=(1/2)a0), então possui módulo e ângulo de fase:
| | njn nc c e
2 21| | ( ) e arc tg ( - / )
2n n n n n nc a b b a
Um gráfico onde se marcam no eixo horizontal as freqüências dos harmônicos e no eixo vertical os valores dos coeficientes cn da série
complexa de Fourier, chamamos espectro de amplitudes da função periódica f(t). No caso de se ter, no eixo vertical, os ângulos de fase n em
função da freqüência, este gráfico chama-se espectro de fases de f(t).
16
Como os índices n assumem somente valores inteiros, os espectros de amplitudes e de fases, não são curvas contínuas e sim surgem como linhas verticais (raias) nas variáveis discretas n0. Portanto, tais gráficos denominam-
se espectro de freqüência discreta. A representação dos coeficientes complexos cn em função da variável complexa n0 especifica a função periódica f(t) no
domínio da freqüência, do mesmo modo que a função f(t) em função de t a especifica no domínio do tempo.
É usual representar tais espectros apenas em relação ao eixo de freqüências positivas, pois o lado esquerdo (lado das freqüências negativas) contém a mesma informação que o direito, já que os coeficientes c*n são os complexos
conjugados de cn. Na Figura abaixo é mostrado um exemplo de um espectro de
amplitudes.
5 10 15 20 25 30 35 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
w
Cn
|cn|
Freqüência
17
B) Transformada De Fourier de Sinais Contínuos A expansão por série de Fourier é uma forma de representação de
funções periódicas em termos de um somatório de funções harmônicas.
Para funções não-periódicas é necessário uma adequação da análise de Fourier ao problema.
Nesta análise, um sinal transiente pode ser visualizado como um sinal periódico tendo seu período tendendo ao infinito.
Da Série de Fourier à Transformada de Fourier:
Seja um sinal não-periódico x(t)=0 para -T1 > t > T1 :
Sinal Transiente
Formando um sinal periódico xp(t) através da repetição de x(t) com período fundamental T0 :
... ... Sinal Periódico
18
Relembrando a série complexa de Fourier e a expressão de seus coeficientes:
n
tnnp ctx 0je)( dttx
Tc tnT
T pn e )(1 00
0
j-2/
2/0
Aqui foi substituído o símbolo da função temporal f(t) por x(t) para evitar confusão com o símbolo de freqüência f dada em Hz. Substituindo a segunda na primeira, vem:
n
tntnT
T pp dttxT
tx 000
0
jj-2/
2/0ee )(
1)(
n
tjnωtjnT
T pp dttxtx 000
0ee )(
2
1)( 0
-2/
2/
00
2
T
Quando T0 torna-se muito grande, 0 torna-se muito pequeno. Logo, fazendo 0=, tem-se n0= n, então:
n
tntjnT
T pp dttxtx j-2/
2/ee )(
2
1)( 0
0
19
No limite, quando T0, n, d, e o somatório torna-se uma integral:
ddttxtx tjtjpp e e )(
2
1)( -
Assim pode-se definir o termo entre colchetes, na equação acima como:
dttxX tj
-e )()( Transformada de Fourier
Logo,
dXtx tje )(2
1)( Transformada Inversa de
Fourier
As duas integrais acima formam o Par de Integrais de Fourier. Este par também pode ser escrito por (quando considera-se freqüência em Hz):
dttxfX ftj
2-e )()( dffXtx πftj2e )()(
20
)}({)(
)}({)(1 fXtx
txfX
Simbologia:
ou )()( fXtx
O gráfico de |X(f)| versus f é um espectro contínuo.
No espectro das amplitudes complexas de um sinal periódico, se o período aumenta, a freqüência fundamental diminui e as componentes em freqüência dos harmônicos ficam mais próximas entre si, fazendo com que a disposição das raias tendam a uma distribuição contínua e a série de Fourier vem a tornar-se uma integral.
Exemplo: T0= 4T1
T0= 8T1
T0= 16T1
CnT0
21
Convergência das Transformadas de Fourier:
As condições de Dirichlet são condições suficientes, mas não necessárias para a existência da Transformada de Fourier de uma determinada função.
Condições de Dirichlet:
(i) A função x(t) é absolutamente integrável em módulo, isto é:
finita|)(| dttx
(ii) A função x(t) possui um número finito de máximos e mínimos dentro de qualquer intervalo finito.
(iii) A função x(t) possui um número finito de descontinuidades dentro de qualquer intervalo finito e cada uma dessas descontinuidades é finita.
Funções periódicas não obedecem à condição (i), mas possuem transformadas, caso funções impulsos estejam presentes na transformação. As funções aleatórias não atendem à condição (i).
22
Propriedades das Transformadas de Fourier:
(i) Linearidade
Se x(t) X() e se y(t) Y(), então
)(bY)(aX)t(by)t(ax
(ii) Atraso no tempo
0-j0 e t)(X)tt(x
(iii) Atraso na freqüência
e 0j 0 )(X)t(x t
(iv) Escalonamento
a
X|a|
)at(x 1
23
(v) Reverso no tempo
(vi) Diferenciação ou Integração
)(X)t(x
)())t(xdt
d
)()t(xdt
d
)f(f)t(xdt
d
nn
n
X (j
geral modo de ou , X j
ou , X 2 j
)(X)t(xt
d
d j
)( )0( j
1
X)(Xdt)t(xt
24
(viii) Propriedades da T.F quando a função é real
(vii) Simetria ou Dualidade
)()t(X x2
)( x)( ftX
x(t) X()
)t(x)t(x)t(x imparpar )Im()Re()(X j
então
)(tx
)}({)}({)}({ txtxtx imparpar
)}({)( txRe par
)}({)( txImj impar
A T.F. de uma função par será sempre real
25
)t(x)t(x)t(x imparpar
)()()( txtxtx imparpar
)()()( txtxtx imparpar
Aplicando a T.F.
)}({)}({)}({ txtxtx imparpar
)}()({)}({ txtxtx imparpar
)()( )()( XImjReX
Então, se x(t) for uma função real então:
)()( XX
26
Exemplos de Aplicação da Transformada de Fourier:
i) T.F. da Função Pulso Retangular Simétrico
0
0
|| ,0)(
|| ,)(
Tttx
TtAtx
dtetxfX πft-j2 )( )(
dteAdteAfX πft-jT
Tπft-jT
T22 0
0
0
0 )(
0
0
0
0
222
)(T
Tπft-j
πf-juT
Tπf-je
AdueA
AfX
0000 22
222 2
1)( πfTjπfTj
fπfTjπfT-j
πf-jee
j
Aee
AfX
)2sen()( 0 πfT
AfX
f
27
)2sen()( 0 πfT
AfX
f0
0
2
2
T
T
0
00 2
)2sen(2)(
fT
πfTATfX
)2(sinc 2)( 00 πfTATfX Função Real
28
(ii) T.F. da Função Pulso Retangular (Função Porta)
)e-(eej2-
A1)-(e
j2-
Ae
j2-
Ae A )( jj-j-j2-
0
j2-j2-0
ffffftft
fffdtfX
ffff
f
f
f)f(X j-jjj- e
)sen(A)]e-(e
2j
1[e
A
ff)f(X -j)esinc( A
|)sinc(| A f|)f(X|
)][tg( tgarc f)f(X
29
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo [s]
Função Porta
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Freqüência [Hz]
Magnitude da Transformada de Fourier da Função Porta
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo [s]
Função Porta
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Freqüência [Hz]
Magnitude da Transformada de Fourier da Função Porta
Funções portas com diferentes durações e magnitudes das respectivas transformadas
Percebe-se que quanto menor a duração da porta, o primeiro “vale” no espectro da transformada será mais prolongado
30
(iii) T. F. do Impulso
)(K )( ttx
dttdtttxfX tt fj2-fj2- e )(Ke )(K )}({)(
)( )( )( 00 txdttxtt
Propriedade da função Delta de Dirac
Portanto,
Logo,
KeK e )(K)( f0j2-fj2-
dttfX t
K)}({K t
Daí o motivo de se usar excitação impulsiva na análise modal experimental, pois teoricamente o impulso excitaria todas as freqüências do sistema sob teste
31
iv) T.F. de uma Constante
e levando-se em conta que (f)= (-f):
KtK )(
)( fKK
)( fKK
Logo,
)(2}{
)(}{
KK
fKK
Do caso anterior, tem-se:
Segundo a propriedade de simetria (X(t) x(-f))
32
iv) T.F. da Função Co-seno
)cos()( 0ttx )(2
1)( 00 tjtj eetx
}{2
1}{
2
1)}({)( 00 tjtj eetxX
)(})({ :Obs* 00 Xetx tj )(2}{ :Obs* KK
)(22
1)(2
2
1)( 00 X
)()()( 00 X )(2
1)(
2
1)( 00 fffffX
A T.F. do co-seno consiste de duas funções delta de Dirac simétricas, uma localizada em f0 e outra em - f0.
33
Teorema Parseval para Sinais Não-Periódicos de Energia finita
Sendo x(t) um sinal de energia finita, sua energia é dada por:
dttxEx
2|)(|
que pode ser expressa em termos de X(f), ou seja:
dtdfefXtxdttxtxE ftj
x2)()()()(
dfdtetxfXdttxtxE ftjx
2)()()()(
dffXdffXfXEx
|)(| )( )( 2
Então,
dttxEx
2|)(| dffX
|)(| 2
A energia do sinal pode ser descrita no domínio do tempo ou no domínio da freqüência.
34
dffXEx
|)(| 2
O termo |X(f)|2 representa a distribuição de energia do sinal em função da freqüência.
)( |)(| 2 fSfX xx
Sxx(f) Auto Densidade Espectral de Energia do Sinal x(t)
Será visto posteriormente que a função auto densidade espectral, Sxx(f), é a transformada de Fourier da função de auto correlação, Rxx().
)( )}({ fSR xxxx
35
C) TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
A Transformada de Fourier têm sido usada com sucesso através dos anos para resolver muitos tipos de problemas de engenharia, física e matemática. Esta transformada, como já visto, é definida para funções contínuas (ou analógicas).
A partir dos anos 60 a transformada de Fourier tem sido implementada na forma digital (surgindo a Transformada de Fourier Discreta) em vários tipos de analisadores. Estes analisadores computam a forma digital (ou discretizada) de espectros de potência, funções de resposta em freqüência e outras funções no domínio da freqüência a partir de sinais medidos (amostrados) no domínio do tempo, todos a partir da Transformada de Fourier Discreta.
Nesta seção é apresentada a técnica conhecida com Transformada de Fourier Discreta (TFD) ou DFT (sigla da técnica em inglês) para seqüências de comprimento finito.
36
A implementação da Transformada Discreta de Fourier ou simplesmente DFT (“Discrete Fourier Transform”), veio a ser prática em 1965 quando Cooley e Turkey descreveram um algorítmo para computar a DFT de forma bem eficiente. Seu algorítmo (e outros como ele) tornaram-se conhecidos como a Transformada Rápida de Fourier ou FFT (“Fast Fourier Transform”).
Usando o algorítmo da FFT, analisadores digitais de sinais podem computar a DFT em milisegundos ao invés de horas como era feita em décadas passadas.
A computação direta da DFT de uma função contendo N pontos, requer N2 operações; onde uma operação é definida como uma multiplicação mais uma adição. O algorítmo de Cooley e Tukey requer aproximadamente Nlog2N operações, sendo N potência de 2.
Muitos outros métodos para computação eficiente da DFT têm sido descobertos, contudo, todos os quais que requerem em torno de Nlog2N operações têm sido conhecidos como FFT’s.
37
Seja x[n]uma seqüência de tamanho finito de comprimento N, isto é,
0][ nx
knN
N
n
WnxN
kX ][1
][1
0
Fora do intervalo 0 n N-1
A TFD (ou DFT) de x[n], representada por X[k], é definida por:
k = 0,1,.., N-1
)/2( NjN eW sendo
A TFD (ou DFT) inversa é dada por:
knN
N
n
WkXnx
][][
1
0n = 0,1,.., N-1
Exemplo: Dada a seqüência x[n]=[1, 2, 1]. (a) Calcule a DFT de x[n]; (b) Use o comando da fft no matlab para determinar a DFT de x[n]
38
Solução: (a)
1 03 W 866,05,0
1)3/2(13 jeW j
866,05,02)3/2(2
3 jeW j 13)3/2(3
3 jeW
4121 ][]0[2
0
03
n
WnxX
866,05,0)866,05,0(1)866,05,0(2)1(1
]2[ ]1[ ]0[ ][]1[ 23
13
03
2
0
13
jjj
WxWxWxWnxXn
n
866,05,0)866,05,0(1)866,05,0(2)1(1
]2[ ]1[ ]0[ ][]2[ 43
23
03
2
0
23
jjj
WxWxWxWnxXn
n
13
43 WW
39
(b) Resultados do Matlab:
» x=[1 2 1];
» xfft=fft(x)
xfft =
4.0000 -0.5000 - 0.8660i -0.5000 + 0.8660i
O que se percebe?
R: O Matlab calcula a DFT através da fórmula mostrada com a exceção do parâmetro (1/N). Portanto o usuário deve dividir o resultado da fft por N.
Por quê?
R: Porque muitos autores definem a DFT sem a divisão por N, que surge
dividindo na expressão da IDFT.
40
Fórmulas da Discretização dos Sinais no Domínio do Tempo e no Domínio da Freqüência.
tNT
1 1 s
st f
f t
1 1
1
fTf
TT
f
Quanto maior a duração da aquisição do sinal, maior resolução terá o espectro.
T = Tempo (ou Período) de Aquisição ou Período de Análise ou Registro Temporal (“Time Record”);
N = Número de Linhas Espectrais
t = Intervalo de Tempo ou de Amostragem ou Incremento de Tempo;
f = Intervalo de Freqüência ou Resolução em Freqüência;
fs = Freqüência ou Taxa de amostragem
41
Princípio da Incerteza
tNT
ss
s tf
ft
1
1
1 1
1
fTf
TT
f
T = Tempo (ou Período) de Aquisição ou Período de Análise ou Registro Temporal (“Time Record”);
t = Intervalo de Tempo ou de Amostragem ou Incremento de Tempo;
f = Intervalo de Freqüência ou Resolução em Freqüência;
fs = Freqüência ou Taxa de amostragem
42
Natureza e Disposição dos Coeficientes de Fourier no Espectro
No Matlab (como não pode haver índice zero em variáveis indexadas):
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