(PDF) Limites de Funçõesprofessor.ufabc.edu.br/.../2018/08/Slides_Limites_2018.pdfBases Matemáticas Limites de Funções 2o quadrimestre de 2018 2 / 91 Visão Geral 1 Limites Finitos

Limites de Funções

Bases Matemáticas

2o quadrimestre de 2018

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 1 /

91

Visão Geral

1 Limites FinitosPreliminaresLimites lateraisLimite para x → ±∞

2 Limites infinitosLimite no pontoLimites laterais infinitosLimite para x → ±∞

3 ContinuidadeDefinição e exemplosResultados importantes

4 Cálculo de LimitesUso de continuidade para cálculo de limitesFunções CompostasPropriedades Algébricas de Limites FinitosTeorema do ConfrontoInfinitésimos e InfinitosPropriedades Algébricas de Limites

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 2 /

91

Visão Geral

1 Limites FinitosPreliminaresLimites lateraisLimite para x → ±∞

2 Limites infinitosLimite no pontoLimites laterais infinitosLimite para x → ±∞

3 ContinuidadeDefinição e exemplosResultados importantes

4 Cálculo de LimitesUso de continuidade para cálculo de limitesFunções CompostasPropriedades Algébricas de Limites FinitosTeorema do ConfrontoInfinitésimos e InfinitosPropriedades Algébricas de Limites

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 2 /

91

Visão Geral

1 Limites FinitosPreliminaresLimites lateraisLimite para x → ±∞

2 Limites infinitosLimite no pontoLimites laterais infinitosLimite para x → ±∞

3 ContinuidadeDefinição e exemplosResultados importantes

4 Cálculo de LimitesUso de continuidade para cálculo de limitesFunções CompostasPropriedades Algébricas de Limites FinitosTeorema do ConfrontoInfinitésimos e InfinitosPropriedades Algébricas de Limites

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 2 /

91

Visão Geral

1 Limites FinitosPreliminaresLimites lateraisLimite para x → ±∞

2 Limites infinitosLimite no pontoLimites laterais infinitosLimite para x → ±∞

3 ContinuidadeDefinição e exemplosResultados importantes

4 Cálculo de LimitesUso de continuidade para cálculo de limitesFunções CompostasPropriedades Algébricas de Limites FinitosTeorema do ConfrontoInfinitésimos e InfinitosPropriedades Algébricas de Limites

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 2 /

91

Limites Finitos

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores próximos a um valor fixado L.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 3 /

91

Limites Finitos

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores próximos a um valor fixado L.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 3 /

91

Limites Finitos

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores próximos a um valor fixado L.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 3 /

91

Limites Finitos Preliminares

Preliminares

Uso de módulos para expressar vizinhanças de um ponto

O conceito de limite lança mão da ideia de aproximação ou perturbação emtorno de um ponto.Essa ideia é muito bem representada através do uso do módulo.Convém então lembrar que são equivalentes as expressões

|a− b| < r

b − r < a < b + r

a ∈ (b − r , b + r)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 4 /

91

Limites Finitos Preliminares

Preliminares

Uso de módulos para expressar vizinhanças de um ponto

O conceito de limite lança mão da ideia de aproximação ou perturbação emtorno de um ponto.Essa ideia é muito bem representada através do uso do módulo.Convém então lembrar que são equivalentes as expressões

|a− b| < r

b − r < a < b + r

a ∈ (b − r , b + r)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 4 /

91

Limites Finitos Preliminares

Preliminares

Uso de módulos para expressar vizinhanças de um ponto

O conceito de limite lança mão da ideia de aproximação ou perturbação emtorno de um ponto.Essa ideia é muito bem representada através do uso do módulo.Convém então lembrar que são equivalentes as expressões

|a− b| < r

b − r < a < b + r

a ∈ (b − r , b + r)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 4 /

91

Limites Finitos Preliminares

Preliminares

Uso de módulos para expressar vizinhanças de um ponto

O conceito de limite lança mão da ideia de aproximação ou perturbação emtorno de um ponto.Essa ideia é muito bem representada através do uso do módulo.Convém então lembrar que são equivalentes as expressões

|a− b| < r

b − r < a < b + r

a ∈ (b − r , b + r)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 4 /

91

Limites Finitos Preliminares

Assim, para expressar

"a está suficientemente próximo de b"

dizemos∃ r > 0 | |a− b| < r .

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 5 /

91

Limites Finitos Preliminares

Assim, para expressar

"a está suficientemente próximo de b"

dizemos∃ r > 0 | |a− b| < r .

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 5 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Definição de limite

Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que

limx→a

f (x) = L

se:

f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que

x esteja suficientemente próximo de a

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 6 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Definição de limite

Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que

limx→a

f (x) = L

se:

f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que

x esteja suficientemente próximo de a

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 6 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Definição de limite

Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que

limx→a

f (x) = L

se:

f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que

x esteja suficientemente próximo de a

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 6 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Definição de limite

Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que

limx→a

f (x) = L

se:

f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que

x esteja suficientemente próximo de a

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 6 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Definição de limite

Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que

limx→a

f (x) = L

se:

f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que

x esteja suficientemente próximo de a

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 6 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Definição de limite

Dada uma função f (x) e um número real a (ponto de acumulação* deDom f ), dizemos que

limx→a

f (x) = L

se:

f (x) pode chegar arbitrariamente próximo de Ldesde que

x esteja suficientemente próximo de a

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 6 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Definição de limite

Em símboloslimx→a

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

se 0 < |x − a| < δ então |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 7 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Definição de limite

Em símboloslimx→a

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

se 0 < |x − a| < δ então |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 7 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Definição de limite

Em símboloslimx→a

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

se 0 < |x − a| < δ então |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 7 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Definição de limite

Em símboloslimx→a

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

se 0 < |x − a| < δ então |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 7 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Definição de limite

Em símboloslimx→a

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

se 0 < |x − a| < δ então |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 7 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Interpretação gráfica

(GeoGebra: LF ponto.ggb)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 8 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

limx→2

(3x + 1) = 7

Dado ε > 0, tome δ = ε3 . Se x é tal que 0 < |x − 2| < ε

3 , então

|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3ε

3= ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 9 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

limx→2

(3x + 1) = 7

Dado ε > 0, tome δ = ε3 . Se x é tal que 0 < |x − 2| < ε

3 , então

|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3ε

3= ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 9 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

limx→2

(3x + 1) = 7

Dado ε > 0, tome δ = ε3 . Se x é tal que 0 < |x − 2| < ε

3 , então

|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3ε

3= ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 9 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

limx→2

(3x + 1) = 7

Dado ε > 0, tome δ = ε3 . Se x é tal que 0 < |x − 2| < ε

3 , então

|f (x)− 7| = |(3x + 1)− 7| = |3x − 6| = 3|x − 2| < 3ε

3= ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 9 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

@ limx→0

sen1x

Dado L ∈ R, tome ε = 12 .

Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π

2 + 2kπ > 1δ .

Logo,

x0 =1

π2 + 2kπ

< δ

esen

1x0

= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

@ limx→0

sen1x

Dado L ∈ R, tome ε = 12 .

Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π

2 + 2kπ > 1δ .

Logo,

x0 =1

π2 + 2kπ

< δ

esen

1x0

= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

@ limx→0

sen1x

Dado L ∈ R, tome ε = 12 .

Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π

2 + 2kπ > 1δ .

Logo,

x0 =1

π2 + 2kπ

< δ

esen

1x0

= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

@ limx→0

sen1x

Dado L ∈ R, tome ε = 12 .

Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π

2 + 2kπ > 1δ .

Logo,

x0 =1

π2 + 2kπ

< δ

esen

1x0

= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

@ limx→0

sen1x

Dado L ∈ R, tome ε = 12 .

Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π

2 + 2kπ > 1δ .

Logo,

x0 =1

π2 + 2kπ

< δ

esen

1x0

= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

@ limx→0

sen1x

Dado L ∈ R, tome ε = 12 .

Sabemos que 1 /∈ (L− ε, L+ ε) ou −1 /∈ (L− ε, L+ ε).Sem perda de generalidade, vamos supor 1 /∈ (L− ε, L+ ε).Para todo δ > 0, existe k ∈ Z tal que π

2 + 2kπ > 1δ .

Logo,

x0 =1

π2 + 2kπ

< δ

esen

1x0

= 1 /∈ (L− ε, L+ ε).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 10 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

limx→3

(x2 − 2) = 7

|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7

Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

limx→3

(x2 − 2) = 7

|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7

Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

limx→3

(x2 − 2) = 7

|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7

Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

limx→3

(x2 − 2) = 7

|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7

Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

limx→3

(x2 − 2) = 7

|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7

Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /

91

Limites Finitos Preliminares

Limite para x → a

Exemplo

limx→3

(x2 − 2) = 7

|(x2 − 2)− 7| = |x2 − 9| = |x − 3||x + 3||x + 3| = |x − 3+ 6| ≤ |x − 3|+ 6Se |x − 3| < 1, então |x + 3| < 7

Tome δ < min{1, ε7}0 < |x − 3| < δ ⇒ |(x2 − 2)− 7| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 11 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite para x → a+

Definição de limite lateral direito

limx→a+

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

a < x < a+ δ ⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 12 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite para x → a+

Definição de limite lateral direito

limx→a+

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

a < x < a+ δ ⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 12 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite para x → a+

Definição de limite lateral direito

limx→a+

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

a < x < a+ δ ⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 12 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite para x → a+

Definição de limite lateral direito

limx→a+

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

a < x < a+ δ ⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 12 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite para x → a−

Definição de limite lateral esquerdo

limx→a−

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

a− δ < x < a⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 13 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite para x → a−

Definição de limite lateral esquerdo

limx→a−

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

a− δ < x < a⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 13 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite para x → a−

Definição de limite lateral esquerdo

limx→a−

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

a− δ < x < a⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 13 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite para x → a−

Definição de limite lateral esquerdo

limx→a−

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que

a− δ < x < a⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 13 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limites laterais

Interpretação gráfica

(GeoGebra: LF lateral direito.ggb, LF lateral esquerdo.ggb, LF laterais.ggb)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 14 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limites laterais

Exemplos

limx→2+

|x − 2|x − 2

=x − 2x − 2

= 1

limx→2−

|x − 2|x − 2

=2− x

x − 2= −1

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 15 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limites laterais

Exemplos

limx→2+

|x − 2|x − 2

=x − 2x − 2

= 1

limx→2−

|x − 2|x − 2

=2− x

x − 2= −1

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 15 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limites laterais

Exemplos

limx→2+

|x − 2|x − 2

=x − 2x − 2

= 1

limx→2−

|x − 2|x − 2

=2− x

x − 2= −1

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 15 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes:

limx→a

f (x) = L

e

limx→a−

f (x) = L = limx→a+

f (x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 16 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes:

limx→a

f (x) = L

e

limx→a−

f (x) = L = limx→a+

f (x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 16 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes:

limx→a

f (x) = L

e

limx→a−

f (x) = L = limx→a+

f (x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 16 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes:

limx→a

f (x) = L

e

limx→a−

f (x) = L = limx→a+

f (x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 16 /

91

Limites Finitos Limites laterais

Limites laterais

ExemploDetermine o valor de c de modo que exista

limx→2

f (x)

onde

f (x) =

{−2x + 5 se x > 2x2 + c se x < 2

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 17 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores próximos a um valor fixado L.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 18 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores próximos a um valor fixado L.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 18 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores próximos a um valor fixado L.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 18 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (positivo)

limx→+∞

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que

x > M ⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 19 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (positivo)

limx→+∞

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que

x > M ⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 19 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (positivo)

limx→+∞

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que

x > M ⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 19 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (negativo)

limx→−∞

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que

x < −M ⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 20 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (negativo)

limx→−∞

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que

x < −M ⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 20 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Definição de limite no infinito (negativo)

limx→−∞

f (x) = L

se∀ ε > 0 ∃M > 0 tal que

x < −M ⇒ |f (x)− L| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 20 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Interpretação gráfica

(GeoGebra: LF mais infinito.ggb, LF menos infinito.ggb)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 21 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Assíntotas horizontaisSuponha que

limx→±∞

f (x) = L

Dizemos então que a reta y = L é uma assíntota horizontal de f (x).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 22 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Assíntotas horizontaisSuponha que

limx→±∞

f (x) = L

Dizemos então que a reta y = L é uma assíntota horizontal de f (x).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 22 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

1x = 0

2 limx→−∞

2x = 0

3 limx→+∞

2−x = 0

4 limx→+∞

arctan x = π2

5 limx→−∞

arctan x = −π2

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

1x = 0

2 limx→−∞

2x = 0

3 limx→+∞

2−x = 0

4 limx→+∞

arctan x = π2

5 limx→−∞

arctan x = −π2

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

1x = 0

2 limx→−∞

2x = 0

3 limx→+∞

2−x = 0

4 limx→+∞

arctan x = π2

5 limx→−∞

arctan x = −π2

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

1x = 0

2 limx→−∞

2x = 0

3 limx→+∞

2−x = 0

4 limx→+∞

arctan x = π2

5 limx→−∞

arctan x = −π2

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

1x = 0

2 limx→−∞

2x = 0

3 limx→+∞

2−x = 0

4 limx→+∞

arctan x = π2

5 limx→−∞

arctan x = −π2

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

1x = 0

2 limx→−∞

2x = 0

3 limx→+∞

2−x = 0

4 limx→+∞

arctan x = π2

5 limx→−∞

arctan x = −π2

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 23 /

91

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Exemplos

limx→+∞

x

x + 1= 1

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 24 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores tendendo a infinito.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 25 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores tendendo a infinito.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 25 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x próximos a um valor fixado a,a função assume valores tendendo a infinito.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 25 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Definição de limite infinito (positivo)

limx→a

f (x) = +∞

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 26 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Definição de limite infinito (positivo)

limx→a

f (x) = +∞

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 26 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Definição de limite infinito (positivo)

limx→a

f (x) = +∞

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 26 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Definição de limite infinito (negativo)

limx→a

f (x) = −∞

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 27 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Definição de limite infinito (negativo)

limx→a

f (x) = −∞

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 27 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Definição de limite infinito (negativo)

limx→a

f (x) = −∞

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 27 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Assíntotas verticaisSuponha que

limx→a

f (x) = ±∞

Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 28 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Assíntotas verticaisSuponha que

limx→a

f (x) = ±∞

Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 28 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Interpretação gráfica

(GeoGebra: LI ponto laterais)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 29 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Exemplo

limx→0

1x2 = +∞

1x2 > M ⇔ x2 <

1M⇔ |x | < 1√

M

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 30 /

91

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Exemplo

limx→0

1x2 = +∞

1x2 > M ⇔ x2 <

1M⇔ |x | < 1√

M

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 30 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite para x → a+

Limite lateral direito infinito

limx→a+

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

a < x < a+ δ ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 31 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite para x → a+

Limite lateral direito infinito

limx→a+

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

a < x < a+ δ ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 31 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite para x → a+

Limite lateral direito infinito

limx→a+

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

a < x < a+ δ ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 31 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite para x → a−

Limite lateral esquerdo infinito

limx→a−

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

a− δ < x < a⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 32 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite para x → a−

Limite lateral esquerdo infinito

limx→a−

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

a− δ < x < a⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 32 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite para x → a−

Limite lateral esquerdo infinito

limx→a−

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que

a− δ < x < a⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 32 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite para x → a±

Assíntotas verticaisSuponha que

limx→a±

f (x) = ±∞

Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 33 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite para x → a±

Assíntotas verticaisSuponha que

limx→a±

f (x) = ±∞

Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 33 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limites laterais

Interpretação gráfica

(GeoGebra)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 34 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limites laterais

Exemplos1 lim

x→0+1x = +∞

2 limx→0−

1x = −∞

3 limx→0+

log2 x = −∞

4 limx→0+

log1/2 x = +∞

5 limx→π

2−tan x = +∞

6 limx→π

2+tan x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limites laterais

Exemplos1 lim

x→0+1x = +∞

2 limx→0−

1x = −∞

3 limx→0+

log2 x = −∞

4 limx→0+

log1/2 x = +∞

5 limx→π

2−tan x = +∞

6 limx→π

2+tan x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limites laterais

Exemplos1 lim

x→0+1x = +∞

2 limx→0−

1x = −∞

3 limx→0+

log2 x = −∞

4 limx→0+

log1/2 x = +∞

5 limx→π

2−tan x = +∞

6 limx→π

2+tan x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limites laterais

Exemplos1 lim

x→0+1x = +∞

2 limx→0−

1x = −∞

3 limx→0+

log2 x = −∞

4 limx→0+

log1/2 x = +∞

5 limx→π

2−tan x = +∞

6 limx→π

2+tan x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limites laterais

Exemplos1 lim

x→0+1x = +∞

2 limx→0−

1x = −∞

3 limx→0+

log2 x = −∞

4 limx→0+

log1/2 x = +∞

5 limx→π

2−tan x = +∞

6 limx→π

2+tan x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limites laterais

Exemplos1 lim

x→0+1x = +∞

2 limx→0−

1x = −∞

3 limx→0+

log2 x = −∞

4 limx→0+

log1/2 x = +∞

5 limx→π

2−tan x = +∞

6 limx→π

2+tan x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limites laterais

Exemplos1 lim

x→0+1x = +∞

2 limx→0−

1x = −∞

3 limx→0+

log2 x = −∞

4 limx→0+

log1/2 x = +∞

5 limx→π

2−tan x = +∞

6 limx→π

2+tan x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 35 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes:

limx→a

f (x) = +∞

e

limx→a−

f (x) = +∞ = limx→a+

f (x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 36 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes:

limx→a

f (x) = +∞

e

limx→a−

f (x) = +∞ = limx→a+

f (x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 36 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes:

limx→a

f (x) = −∞

e

limx→a−

f (x) = −∞ = limx→a+

f (x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 37 /

91

Limites infinitos Limites laterais infinitos

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes:

limx→a

f (x) = −∞

e

limx→a−

f (x) = −∞ = limx→a+

f (x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 37 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores tendendo a infinito.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 38 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores tendendo a infinito.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 38 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ObjetivoVamos analisar a seguinte situação:Para valores de x tendendo a infinito,a função assume valores tendendo a infinito.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 38 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (positivo)

limx→+∞

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃N > 0 tal que

x > N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 39 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (positivo)

limx→+∞

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃N > 0 tal que

x > N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 39 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (positivo)

limx→+∞

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃N > 0 tal que

x > N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 39 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (negativo)

limx→−∞

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃N > 0 tal que

x < −N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 40 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (negativo)

limx→−∞

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃N > 0 tal que

x < −N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 40 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

Limite infinito no infinito (negativo)

limx→−∞

f (x) = +∞ (−∞)

se∀M > 0 ∃N > 0 tal que

x < −N ⇒ f (x) > M (f (x) < −M)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 40 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

Interpretação gráfica

(GeoGebra)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 41 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

x2 = +∞

2 limx→+∞

x3 = +∞

3 limx→−∞

x3 = −∞

4 limx→+∞

xn = +∞

5 limx→−∞

xn = +∞, se n é par

6 limx→−∞

xn = −∞, se n é ímpar

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

x2 = +∞

2 limx→+∞

x3 = +∞

3 limx→−∞

x3 = −∞

4 limx→+∞

xn = +∞

5 limx→−∞

xn = +∞, se n é par

6 limx→−∞

xn = −∞, se n é ímpar

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

x2 = +∞

2 limx→+∞

x3 = +∞

3 limx→−∞

x3 = −∞

4 limx→+∞

xn = +∞

5 limx→−∞

xn = +∞, se n é par

6 limx→−∞

xn = −∞, se n é ímpar

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

x2 = +∞

2 limx→+∞

x3 = +∞

3 limx→−∞

x3 = −∞

4 limx→+∞

xn = +∞

5 limx→−∞

xn = +∞, se n é par

6 limx→−∞

xn = −∞, se n é ímpar

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

x2 = +∞

2 limx→+∞

x3 = +∞

3 limx→−∞

x3 = −∞

4 limx→+∞

xn = +∞

5 limx→−∞

xn = +∞, se n é par

6 limx→−∞

xn = −∞, se n é ímpar

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

x2 = +∞

2 limx→+∞

x3 = +∞

3 limx→−∞

x3 = −∞

4 limx→+∞

xn = +∞

5 limx→−∞

xn = +∞, se n é par

6 limx→−∞

xn = −∞, se n é ímpar

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

x2 = +∞

2 limx→+∞

x3 = +∞

3 limx→−∞

x3 = −∞

4 limx→+∞

xn = +∞

5 limx→−∞

xn = +∞, se n é par

6 limx→−∞

xn = −∞, se n é ímpar

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 42 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→+∞

2x = +∞

2 limx→−∞

2−x = +∞

3 limx→+∞

log2 x = +∞

4 limx→+∞

log1/2 x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 43 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→+∞

2x = +∞

2 limx→−∞

2−x = +∞

3 limx→+∞

log2 x = +∞

4 limx→+∞

log1/2 x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 43 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→+∞

2x = +∞

2 limx→−∞

2−x = +∞

3 limx→+∞

log2 x = +∞

4 limx→+∞

log1/2 x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 43 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→+∞

2x = +∞

2 limx→−∞

2−x = +∞

3 limx→+∞

log2 x = +∞

4 limx→+∞

log1/2 x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 43 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→+∞

2x = +∞

2 limx→−∞

2−x = +∞

3 limx→+∞

log2 x = +∞

4 limx→+∞

log1/2 x = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 43 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Exemplos

1 limx→+∞

x2

x+1 = +∞

2 limx→−∞

x2

x+1 = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 44 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Exemplos

1 limx→+∞

x2

x+1 = +∞

2 limx→−∞

x2

x+1 = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 44 /

91

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Exemplos

1 limx→+∞

x2

x+1 = +∞

2 limx→−∞

x2

x+1 = −∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 44 /

91

Continuidade

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 45 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Motivação

Dependência contínua dos dados iniciais:"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"variações de f (x) em torno de f (a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 46 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Motivação

Dependência contínua dos dados iniciais:"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"variações de f (x) em torno de f (a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 46 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Motivação

Dependência contínua dos dados iniciais:"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"variações de f (x) em torno de f (a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 46 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Motivação

Dependência contínua dos dados iniciais:"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"variações de f (x) em torno de f (a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 46 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Definição

Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se

limx→a

f (x) = f (a)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 47 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Definição

Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se

limx→a

f (x) = f (a)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 47 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Definição

Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se

limx→a

f (x) = f (a)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 47 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

DefiniçãoAssim, f é contínua em a se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 |

|x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 48 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

DefiniçãoAssim, f é contínua em a se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 |

|x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ε

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 48 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Definição

Uma função é contínua se é contínua em cada ponto de seu domínio.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 49 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Exemplos1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício]2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir]

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 50 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Exemplos1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício]2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir]

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 50 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Exemplos1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício]2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir]

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 50 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Exemplo: cos x é contínua

| cos x − cos a| = | − 2 senx + a

2sen

x − a

2| = 2| sen x + a

2|| sen x − a

2|

2|

| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)

| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|

2= |x − a|

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 51 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Exemplo: cos x é contínua

| cos x − cos a| = | − 2 senx + a

2sen

x − a

2| = 2| sen x + a

2|| sen x − a

2|

2|

| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)

| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|

2= |x − a|

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 51 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Exemplo: cos x é contínua

| cos x − cos a| = | − 2 senx + a

2sen

x − a

2| = 2| sen x + a

2|| sen x − a

2|

2|

| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)

| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|

2= |x − a|

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 51 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Exemplo: cos x é contínua

| cos x − cos a| = | − 2 senx + a

2sen

x − a

2| = 2| sen x + a

2|| sen x − a

2|

2|

| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)

| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|

2= |x − a|

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 51 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Exemplo: cos x é contínua

| cos x − cos a| = | − 2 senx + a

2sen

x − a

2| = 2| sen x + a

2|| sen x − a

2|

2|

| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)

| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|

2= |x − a|

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 51 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Continuidade

Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Continuidade

Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Continuidade

Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Continuidade

Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Continuidade

Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Continuidade

Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /

91

Continuidade Definição e exemplos

Continuidade

Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 52 /

91

Continuidade Resultados importantes

Resultados Importantes

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 53 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).

Informalmente:Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positivaem uma vizinhança desse ponto.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 54 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).

Informalmente:Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positivaem uma vizinhança desse ponto.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 54 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).

Informalmente:Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positivaem uma vizinhança desse ponto.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 54 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).

Informalmente:Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positivaem uma vizinhança desse ponto.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 54 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).

Informalmente:Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda énegativa em uma vizinhança desse ponto.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 55 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).

Informalmente:Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda énegativa em uma vizinhança desse ponto.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 55 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).

Informalmente:Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda énegativa em uma vizinhança desse ponto.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 55 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).

Informalmente:Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda énegativa em uma vizinhança desse ponto.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 55 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição - caso geral

Suponha limx→a

f (x) > 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.

Informalmente:Se lim

x→af (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o

próprio a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 56 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição - caso geral

Suponha limx→a

f (x) > 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.

Informalmente:Se lim

x→af (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o

próprio a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 56 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição - caso geral

Suponha limx→a

f (x) > 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.

Informalmente:Se lim

x→af (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o

próprio a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 56 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição - caso geral

Suponha limx→a

f (x) > 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.

Informalmente:Se lim

x→af (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o

próprio a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 56 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição - caso geral

Suponha limx→a

f (x) < 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.

Informalmente:Se lim

x→af (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído

o próprio a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 57 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição - caso geral

Suponha limx→a

f (x) < 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.

Informalmente:Se lim

x→af (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído

o próprio a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 57 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição - caso geral

Suponha limx→a

f (x) < 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.

Informalmente:Se lim

x→af (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído

o próprio a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 57 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Proposição - caso geral

Suponha limx→a

f (x) < 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.

Informalmente:Se lim

x→af (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído

o próprio a).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 57 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Exemplo de uso da preservação do sinal

Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 4:

||x − 2| − 3|

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 58 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Exemplo de uso da preservação do sinal

Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 4:

||x − 2| − 3|

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 58 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Exemplo de uso da preservação do sinal

Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 0:∣∣∣∣12 − sen2 x

x2

∣∣∣∣+ cos2 xx2

assumindo que

limx→0

sen2 x

x2 = 1

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 59 /

91

Continuidade Resultados importantes

Preservação do sinal

Exemplo de uso da preservação do sinal

Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 0:∣∣∣∣12 − sen2 x

x2

∣∣∣∣+ cos2 xx2

assumindo que

limx→0

sen2 x

x2 = 1

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 59 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.

Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .

Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .

Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.

Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .

Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .

Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.

Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .

Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .

Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.

Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .

Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .

Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.

Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .

Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .

Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.

Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .

Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .

Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 60 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI) - caso particular

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existec ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 61 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI) - caso particular

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existec ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 61 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI) - caso particular

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existec ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 61 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI) - caso particular

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existec ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 61 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Exemplo de aplicação do TVI

Mostre que o polinômio p(x) = x4 +3x3 +1 possui ao menos uma raiz real.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 62 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Exemplo de aplicação do TVI

Todo polinômio de grau ímpar possui ao menos uma raiz real.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 63 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Exemplo de aplicação do TVI

Mostre que a equação cos x = x possui pelo menos uma solução nointervalo [0, π]

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 64 /

91

Continuidade Resultados importantes

Teorema do Valor Intermediário

Exemplo de aplicação do TVI

Mostre que a equação 3x = x2 + 4 possui pelo menos uma solução nointervalo [0, 2]

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 65 /

91

Continuidade Resultados importantes

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e inversível.Então f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 66 /

91

Continuidade Resultados importantes

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e inversível.Então f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 66 /

91

Continuidade Resultados importantes

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e inversível.Então f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 66 /

91

Continuidade Resultados importantes

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).Então f é inversível, f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua e estritamentecrescente (decrescente).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 67 /

91

Continuidade Resultados importantes

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).Então f é inversível, f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua e estritamentecrescente (decrescente).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 67 /

91

Continuidade Resultados importantes

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).Então f é inversível, f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua e estritamentecrescente (decrescente).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 67 /

91

Cálculo de Limites

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 68 /

91

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

A expressãolimx→a

f (x) = f (a)

pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular

limx→a

f (x).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 69 /

91

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

A expressãolimx→a

f (x) = f (a)

pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular

limx→a

f (x).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 69 /

91

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

A expressãolimx→a

f (x) = f (a)

pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular

limx→a

f (x).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 69 /

91

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

Exemplos:1 lim

x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20

2 limx→π

sen x = senπ = 0

3 limx→π

cos x = cosπ = −1

4 limx→3

2x = 23 = 8

5 limx→ 1

2

log2 x = log212 = −1

6 limx→ 1

2

arccos x = arccos 12 = π

3

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /

91

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

Exemplos:1 lim

x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20

2 limx→π

sen x = senπ = 0

3 limx→π

cos x = cosπ = −1

4 limx→3

2x = 23 = 8

5 limx→ 1

2

log2 x = log212 = −1

6 limx→ 1

2

arccos x = arccos 12 = π

3

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /

91

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

Exemplos:1 lim

x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20

2 limx→π

sen x = senπ = 0

3 limx→π

cos x = cosπ = −1

4 limx→3

2x = 23 = 8

5 limx→ 1

2

log2 x = log212 = −1

6 limx→ 1

2

arccos x = arccos 12 = π

3

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /

91

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

Exemplos:1 lim

x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20

2 limx→π

sen x = senπ = 0

3 limx→π

cos x = cosπ = −1

4 limx→3

2x = 23 = 8

5 limx→ 1

2

log2 x = log212 = −1

6 limx→ 1

2

arccos x = arccos 12 = π

3

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /

91

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

Exemplos:1 lim

x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20

2 limx→π

sen x = senπ = 0

3 limx→π

cos x = cosπ = −1

4 limx→3

2x = 23 = 8

5 limx→ 1

2

log2 x = log212 = −1

6 limx→ 1

2

arccos x = arccos 12 = π

3

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /

91

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

Exemplos:1 lim

x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20

2 limx→π

sen x = senπ = 0

3 limx→π

cos x = cosπ = −1

4 limx→3

2x = 23 = 8

5 limx→ 1

2

log2 x = log212 = −1

6 limx→ 1

2

arccos x = arccos 12 = π

3

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /

91

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

Exemplos:1 lim

x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20

2 limx→π

sen x = senπ = 0

3 limx→π

cos x = cosπ = −1

4 limx→3

2x = 23 = 8

5 limx→ 1

2

log2 x = log212 = −1

6 limx→ 1

2

arccos x = arccos 12 = π

3

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 70 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Ideia intuitivaCalcular

limx→π

6

9sen x

Sabemos que

limx→π

6

sen x =12

e também quelimx→ 1

2

9x = 3.

Podemos concluir quelimx→π

6

9sen x = 3?

Sim!!!

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Ideia intuitivaCalcular

limx→π

6

9sen x

Sabemos que

limx→π

6

sen x =12

e também quelimx→ 1

2

9x = 3.

Podemos concluir quelimx→π

6

9sen x = 3?

Sim!!!

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Ideia intuitivaCalcular

limx→π

6

9sen x

Sabemos que

limx→π

6

sen x =12

e também quelimx→ 1

2

9x = 3.

Podemos concluir quelimx→π

6

9sen x = 3?

Sim!!!

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Ideia intuitivaCalcular

limx→π

6

9sen x

Sabemos que

limx→π

6

sen x =12

e também quelimx→ 1

2

9x = 3.

Podemos concluir quelimx→π

6

9sen x = 3?

Sim!!!

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Ideia intuitivaCalcular

limx→π

6

9sen x

Sabemos que

limx→π

6

sen x =12

e também quelimx→ 1

2

9x = 3.

Podemos concluir quelimx→π

6

9sen x = 3?

Sim!!!

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Ideia intuitivaCalcular

limx→π

6

9sen x

Sabemos que

limx→π

6

sen x =12

e também quelimx→ 1

2

9x = 3.

Podemos concluir quelimx→π

6

9sen x = 3?

Sim!!!

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Ideia intuitivaCalcular

limx→π

6

9sen x

Sabemos que

limx→π

6

sen x =12

e também quelimx→ 1

2

9x = 3.

Podemos concluir quelimx→π

6

9sen x = 3?

Sim!!!

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 71 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Proposição

Suponha que:1 lim

x→af (x) = b

2 g(x) é contínua em b

Então

limx→a

(g ◦ f )(x) = g(b).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 72 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Proposição

Suponha que:1 lim

x→af (x) = b

2 g(x) é contínua em b

Então

limx→a

(g ◦ f )(x) = g(b).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 72 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Exemplos1 lim

x→2cos(πx) = lim

x→2πcos x = 1

2 limx→3

ln(x2 − 2x − 2) = limx→1

ln x = 0

3 limx→4

√5x − 4 = lim

x→16

√x = 4

4 limx→4

arctan√

5x−4x = lim

x→1arctan x = π

4

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 73 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Exemplos1 lim

x→2cos(πx) = lim

x→2πcos x = 1

2 limx→3

ln(x2 − 2x − 2) = limx→1

ln x = 0

3 limx→4

√5x − 4 = lim

x→16

√x = 4

4 limx→4

arctan√

5x−4x = lim

x→1arctan x = π

4

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 73 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Exemplos1 lim

x→2cos(πx) = lim

x→2πcos x = 1

2 limx→3

ln(x2 − 2x − 2) = limx→1

ln x = 0

3 limx→4

√5x − 4 = lim

x→16

√x = 4

4 limx→4

arctan√

5x−4x = lim

x→1arctan x = π

4

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 73 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Exemplos1 lim

x→2cos(πx) = lim

x→2πcos x = 1

2 limx→3

ln(x2 − 2x − 2) = limx→1

ln x = 0

3 limx→4

√5x − 4 = lim

x→16

√x = 4

4 limx→4

arctan√

5x−4x = lim

x→1arctan x = π

4

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 73 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Exemplos1 lim

x→2cos(πx) = lim

x→2πcos x = 1

2 limx→3

ln(x2 − 2x − 2) = limx→1

ln x = 0

3 limx→4

√5x − 4 = lim

x→16

√x = 4

4 limx→4

arctan√

5x−4x = lim

x→1arctan x = π

4

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 73 /

91

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Corolário (Importante)

Se f e g são funções contínuas, então g ◦ f é contínua.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 74 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

NotaçãoNo que se segue, usaremos

limx→?

para denotar um dos tipos abaixo de limites:

limx→a

, limx→a+

, limx→a−

, limx→+∞

, limx→−∞

.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 75 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

NotaçãoNo que se segue, usaremos

limx→?

para denotar um dos tipos abaixo de limites:

limx→a

, limx→a+

, limx→a−

, limx→+∞

, limx→−∞

.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 75 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

NotaçãoNo que se segue, usaremos

limx→?

para denotar um dos tipos abaixo de limites:

limx→a

, limx→a+

, limx→a−

, limx→+∞

, limx→−∞

.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 75 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Limites de funções e operações algébricas

Sejam dadas duas funções f (x) e g(x) tais que

limx→?

f (x) = F e limx→?

g(x) = G .

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 76 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Limites de funções e operações algébricas

Sejam dadas duas funções f (x) e g(x) tais que

limx→?

f (x) = F e limx→?

g(x) = G .

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 76 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades:1 lim

x→?(f (x) + g(x)) = F + G

2 limx→?

(f (x)− g(x)) = F − G

3 limx→?

c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim

x→?f (x) g(x) = F G

5 Se G 6= 0, limx→?

f (x)g(x) =

FG

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades:1 lim

x→?(f (x) + g(x)) = F + G

2 limx→?

(f (x)− g(x)) = F − G

3 limx→?

c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim

x→?f (x) g(x) = F G

5 Se G 6= 0, limx→?

f (x)g(x) =

FG

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades:1 lim

x→?(f (x) + g(x)) = F + G

2 limx→?

(f (x)− g(x)) = F − G

3 limx→?

c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim

x→?f (x) g(x) = F G

5 Se G 6= 0, limx→?

f (x)g(x) =

FG

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades:1 lim

x→?(f (x) + g(x)) = F + G

2 limx→?

(f (x)− g(x)) = F − G

3 limx→?

c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim

x→?f (x) g(x) = F G

5 Se G 6= 0, limx→?

f (x)g(x) =

FG

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades:1 lim

x→?(f (x) + g(x)) = F + G

2 limx→?

(f (x)− g(x)) = F − G

3 limx→?

c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim

x→?f (x) g(x) = F G

5 Se G 6= 0, limx→?

f (x)g(x) =

FG

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades:1 lim

x→?(f (x) + g(x)) = F + G

2 limx→?

(f (x)− g(x)) = F − G

3 limx→?

c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim

x→?f (x) g(x) = F G

5 Se G 6= 0, limx→?

f (x)g(x) =

FG

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 77 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1

g(x) −1G | =

|g(x)−G ||g(x)||G |

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1

g(x) −1G | =

|g(x)−G ||g(x)||G |

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1

g(x) −1G | =

|g(x)−G ||g(x)||G |

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1

g(x) −1G | =

|g(x)−G ||g(x)||G |

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1

g(x) −1G | =

|g(x)−G ||g(x)||G |

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Cerne das demonstrações:1 |(f (x) + g(x))− (F + G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |2 |(f (x)− g(x))− (F − G )| ≤ |f (x)− F |+ |g(x)− G |3 |cf (x)− cF | = |c ||f (x)− F |4 |f (x)g(x)− FG | ≤ |f (x)− F ||g(x)|+ |F ||g(x)− G |5 | 1

g(x) −1G | =

|g(x)−G ||g(x)||G |

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 78 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos

1 limx→2

(2x3 + cos(πx)

log4 x

)2 lim

x→1−

(2 arcsen x + |x−2|

x+1 π)

3 limx→+∞

(2−x + arctan x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 79 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos

1 limx→2

(2x3 + cos(πx)

log4 x

)2 lim

x→1−

(2 arcsen x + |x−2|

x+1 π)

3 limx→+∞

(2−x + arctan x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 79 /

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos

1 limx→2

(2x3 + cos(πx)

log4 x

)2 lim

x→1−

(2 arcsen x + |x−2|

x+1 π)

3 limx→+∞

(2−x + arctan x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 79 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos

1 limx→2

(2x3 + cos(πx)

log4 x

)2 lim

x→1−

(2 arcsen x + |x−2|

x+1 π)

3 limx→+∞

(2−x + arctan x)

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91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Corolário (Importante)

Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):

f (x) + g(x)f (x)− g(x)

cf (x)f (x)g(x)

f (x)g(x)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 80 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Corolário (Importante)

Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):

f (x) + g(x)f (x)− g(x)

cf (x)f (x)g(x)

f (x)g(x)

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Corolário (Importante)

Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):

f (x) + g(x)f (x)− g(x)

cf (x)f (x)g(x)

f (x)g(x)

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Corolário (Importante)

Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):

f (x) + g(x)f (x)− g(x)

cf (x)f (x)g(x)

f (x)g(x)

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Corolário (Importante)

Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):

f (x) + g(x)f (x)− g(x)

cf (x)f (x)g(x)

f (x)g(x)

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Corolário (Importante)

Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):

f (x) + g(x)f (x)− g(x)

cf (x)f (x)g(x)

f (x)g(x)

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Corolário (Importante)

Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):

f (x) + g(x)f (x)− g(x)

cf (x)f (x)g(x)

f (x)g(x)

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Observação

Quanto ao limite

limx→?

f (x)

g(x)

Denotandolimx→?

f (x) = F e limx→?

g(x) = G .

1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 81 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Observação

Quanto ao limite

limx→?

f (x)

g(x)

Denotandolimx→?

f (x) = F e limx→?

g(x) = G .

1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Observação

Quanto ao limite

limx→?

f (x)

g(x)

Denotandolimx→?

f (x) = F e limx→?

g(x) = G .

1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Observação

Quanto ao limite

limx→?

f (x)

g(x)

Denotandolimx→?

f (x) = F e limx→?

g(x) = G .

1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Observação

Quanto ao limite

limx→?

f (x)

g(x)

Denotandolimx→?

f (x) = F e limx→?

g(x) = G .

1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - com indeterminação

1 limx→3

x2−9x−3

2 limx→a

x2−a2

x−a (derivada de x2 em a)

3 limx→2

√x−√

2x−2

4 limx→a

√x−√a

x−a (derivada de√x em a)

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 82 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - com indeterminação

1 limx→3

x2−9x−3

2 limx→a

x2−a2

x−a (derivada de x2 em a)

3 limx→2

√x−√

2x−2

4 limx→a

√x−√a

x−a (derivada de√x em a)

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - com indeterminação

1 limx→3

x2−9x−3

2 limx→a

x2−a2

x−a (derivada de x2 em a)

3 limx→2

√x−√

2x−2

4 limx→a

√x−√a

x−a (derivada de√x em a)

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - com indeterminação

1 limx→3

x2−9x−3

2 limx→a

x2−a2

x−a (derivada de x2 em a)

3 limx→2

√x−√

2x−2

4 limx→a

√x−√a

x−a (derivada de√x em a)

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - com indeterminação

1 limx→3

x2−9x−3

2 limx→a

x2−a2

x−a (derivada de x2 em a)

3 limx→2

√x−√

2x−2

4 limx→a

√x−√a

x−a (derivada de√x em a)

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - com indeterminação

1 limx→2

3√x− 3√2x−2 (derivada de 3

√x em x = 2)

2 limx→1

√x−1√

2x+3−√

5

3 limx→2

x3−x2−x−2x2−4

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 83 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - com indeterminação

1 limx→2

3√x− 3√2x−2 (derivada de 3

√x em x = 2)

2 limx→1

√x−1√

2x+3−√

5

3 limx→2

x3−x2−x−2x2−4

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 83 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - com indeterminação

1 limx→2

3√x− 3√2x−2 (derivada de 3

√x em x = 2)

2 limx→1

√x−1√

2x+3−√

5

3 limx→2

x3−x2−x−2x2−4

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 83 /

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - com indeterminação

1 limx→2

3√x− 3√2x−2 (derivada de 3

√x em x = 2)

2 limx→1

√x−1√

2x+3−√

5

3 limx→2

x3−x2−x−2x2−4

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 83 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - mudança de variável (função composta)

1 limx→−1

3√x+2−1x+1 , tomando u = 3

√x + 2

2 limx→π

cos2 x+3 cos x+2cos x+1

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 84 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - mudança de variável (função composta)

1 limx→−1

3√x+2−1x+1 , tomando u = 3

√x + 2

2 limx→π

cos2 x+3 cos x+2cos x+1

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 84 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Exemplos - mudança de variável (função composta)

1 limx→−1

3√x+2−1x+1 , tomando u = 3

√x + 2

2 limx→π

cos2 x+3 cos x+2cos x+1

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Cálculo de Limites Teorema do Confronto

Teorema do Confronto

TeoremaSe

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

elimx→?

f (x) = L = limx→?

h(x)

entãolimx→?

g(x) = L.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 85 /

91

Cálculo de Limites Teorema do Confronto

Teorema do Confronto

TeoremaSe

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

elimx→?

f (x) = L = limx→?

h(x)

entãolimx→?

g(x) = L.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 85 /

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Cálculo de Limites Teorema do Confronto

Teorema do Confronto

TeoremaSe

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

elimx→?

f (x) = L = limx→?

h(x)

entãolimx→?

g(x) = L.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 85 /

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Cálculo de Limites Infinitésimos e Infinitos

Infinitésimos e Infinitos

limx→?

f (x) limx→?

1f (x)

0+ +∞0− −∞+∞ 0+

−∞ 0−

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 86 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites

Limites finitos e infinitos

Soma e Diferença

limx→?

f (x) limx→?

g(x) limx→?

(f (x) + g(x))

F ±∞ ±∞

limx→?

f (x) limx→?

g(x) limx→?

(f (x)− g(x)) limx→?

(g(x)− f (x))

F ±∞ ∓∞ ±∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 87 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites

Limites finitos e infinitos

Produto e Quociente

limx→?

f (x) limx→?

g(x) limx→?

f (x).g(x) limx→?

f (x)g(x)

F > 0 ±∞ ±∞ 0±

F < 0 ±∞ ∓∞ 0∓

0 ±∞ Ind. 0

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 88 /

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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites

Limites Infinitos

Soma e Diferença

limx→?

f (x) limx→?

g(x) limx→?

(f (x) + g(x)) limx→?

(f (x)− g(x))

±∞ ±∞ ±∞ Ind.±∞ ∓∞ Ind. ±∞

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 89 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites

Limites Infinitos

Produto e Quociente

limx→?

f (x) limx→?

g(x) limx→?

f (x).g(x) limx→?

f (x)g(x)

±∞ ±∞ +∞ Ind.±∞ ∓∞ −∞ Ind.

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 90 /

91

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites

� � � � � � �

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2018 91 /

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Limites de Funçõesprofessor.ufabc.edu.br/.../2018/08/Slides_Limites_2018.pdfBases Matemáticas...

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