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Faculdade de Engenharia
Óptica de Fourier
OE – MIEEC 2014/2015
z
x
0,xU
z
x
0,sinkA
Faculdade de Engenharia
Fourier
Introdução à Óptica de Fourier
transformada de Fourier espacial 1D
função de transferência para a propagação em espaço livre
aproximação de Fresnel
equação de propagação paraxial
exemplos de evolução paraxial de ondas
aproximação de Fraunhofer
difracção através de fendas
Faculdade de Engenharia
Fourier
Transformada de Fourier espacial – 1D
Transformada de Fourier temporal
dtetgG tj
deGtg tj
21
Transformada de Fourier espacial
dxexgkG xjkx
x
xxjk
x dkekGxg x
21
decomposição em sinais com diferentes frequências
decomposição em sinais com diferentes componentes do número de onda segundo x
Faculdade de Engenharia
Fourier
pzxUE ˆ,
Consideremos uma onda que se propaga no plano xz, cujo campo eléctrico é definido pelo fasor:
versor que indica polarização
amplitude complexa(inclui fase adquirida durante propagação)
Transformada de Fourier espacial – onda no plano xz
Para um dado z, esta amplitude complexa pode ser descrita à custa de uma transformada de Fourier unidimensional:
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
zxUFzkA x ,,
zkAFzxU x ,, -1
Faculdade de Engenharia
Fourier
Transformada de Fourier espacial – exemplos
Exemplo 1
zjkezxU ,
–
dxee xjkzjk x 1Fe zjk zjkx ek 2
dxeezkA xjkzjkx
x,
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
onda plana com amplitude unitária que se propaga segundo +z:
z
x
xk
A
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Fourier
Transformada de Fourier espacial – exemplos
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
Exemplo 2
onda plana com amplitude unitária que se propaga segundo:
zjkxxx
zekkzkA 02,
xxjkzjk
xx dkeekkzxU xz02
21,
xxjk
xxzjk dkekke xz
0 xjkzjk xz ee 0 zkxkj zxe 0
kukuka zzxx
nˆˆˆ 0
nakk ˆ
z
x
zk
0xk
no caso geral
k
22zx kkk
kkxsin
xk
A
0xk
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Fourier
Espectro angular
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
é também conhecido como espectro angular
z
x
0,xU
z
x sinkkx
0,sinkA
zkA x ,
a transformada de Fourier espacial corresponde à decomposição em ondas planas de diferentes direcções e amplitudes
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Fourier
Propagação de onda EM em meio LHI
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
Desprezando efeitos associados à polarização, a propagação de uma onda EM num meio LHI sem fontes é governada pela equação de Helmholtz escalar:
022 UkU onde k
2
2
2
22 ,
zU
xUzxU
AUF
AjkxUF x
AjkxUF x
22
2
Akx2
022
22
AkzAAkx 02
2
2
Ak
zA
z222zx kkk
no domínio de Fourier:
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Fourier
Função de transferência associada à propagação
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
022
2
Ak
zA
z
zjkzjkxx
zz BeAekFzkA ,
método da separação das variáveis:
para propagação segundo +z:
zGkFzkA xx ,
solução não trivial :
zjkxx
zekAzkA 0,,
022
2
Gkdz
Gdz zjkzjk zz BeAezG
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Fourier
Função de transferência associada à propagação
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
zjkxx
zekAzkA 0,,
222zx kkk
zkkjxx
xekAzkA22
0,, transformada após distância z
transformada em z = 0
propagação ao longo de
distância z 0,xU zxU ,
0,xkA zkA x , xx kHkA 0, xkH
função de transferênciada propagação
zkkjx
xekH22
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Fourier
Campo após propagação
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
0,xU zxU ,
0,xkA zkA x , xx kHkA 0,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
xxjk
xx dkekHkA x0,21
x
xjkx
xjk dkekHdxexU xx '0,'21 '
'0,'21 ' dxdkekHxU x
xxjkx
x
zkkjx
xekH22
'0,'21, '22
dxdkeexUzxU xxxjkzkkj xx
zkkjx
xekH22
0,xkA
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Fourier
Função de transferência associada à propagação
0,xU zxU ,
0,xkA zkA x, xx kHkA 0,
1. depende do meio e da frequência da onda através de xkH k da distância z
2. xk
k22xz kkk
kkx se zk real onda em propagação
kkx se zk imaginário onda evanescente amplitude decresce exponencialmente com z
necessário considerar apenas os tais quexk kkx para z suficientemente
elevados
zkkjx
xekH22
Notas:
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Fourier
Aproximação de Fresnel
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
zkkjx
xekH22
Admitamos que kkx
22xkk 2
21
xkk
k
zk
kjzjkx
x
eekH 2FRESNEL
2
Nota: consideram-se apenas as ondas planas com componentes segundo x do vector de onda muito menores do que k
kkx
z
x
pequenos ângulos
aproximação de Fresnel é também conhecida como aproximação paraxial
aproximação de Fresnel
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Fourier
Aproximação de Fresnel
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
zk
kjzjkx
x
eekH 2FRESNEL
2
'0,'21, ' dxdkekHxUzxU x
xxjkx
x
'0,'21,
'2
2
dxdkexUezxU x
kxxkkzj
zjk xx
ab
adxe bxax
4exp
22
'0,',
2'2 dxexUe
zjzxU
xxz
kjzjk
a resposta impulsional associada à propagação paraxial é
2
2,x
zkjzjk ee
zjzxh
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Fourier
Relação entre aproximação de Fresnel e equação paraxial
'0,',
2'2 dxexUe
zjzxU
xxz
kjzjk
zjkezxu ),(
onde '0,',
2'2 dxexU
zjzxu
xxz
kj
satisfaz a equação:
02 2
2
xu
zukj equação de onda paraxial
NOTA – Substituindo na equação de Helmholtz escalar resulta na equação:
0),(, 22 zxUkzxU
zjkezxuzxU ),(),(
02 2
2
2
2
xu
zukj
zu
equação paraxial resulta de considerar z
ukzu
2
2u(x,z) varia lentamente ao longo de distâncias da ordem de
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
Faculdade de Engenharia
Fourier
Exemplos da evolução paraxial de algumas ondas
A óptica de Fourier permite estudar facilmente a evolução linear de feixes ópticos.
zk
kjzjkx
x
eekH 2FRESNEL
2
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
zkA x , xx kHkA 0,
Exemplos
ondas gaussianas:
ondas de Airy:
feixe de laser tem frequentemente perfil gaussiano
ondas que se propagam segundo trajectória parabólica sem alterar a forma (ondas de energia infinita)
2
wx
e
xAi
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x/w
e-(x/w)2
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 Ai(x)
x
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Fourier
Evolução paraxial da onda gaussiana 1D
zk
kjzjkx
x
eekH 2FRESNEL
2
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
zkA x , xx kHkA 0,
20
2
0,w
x
exU ?, zxU
0,xkA zkA x , xx kHkA 0,zdistância
dxexUkA xjkx
x0,0,
dxexjk
wx
x20
2
220
40
xkw
ew
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
dxeew xx jxkkkzjw
jkz2
20
240
2 kzjw
x
jkzee
kzjw
w 2
20
20
20
2
2
zkA x , xx kHkA 0,2
20
240
xkkzjw
jkzeew
1. espectro inicial
2. espectro final
3. envelope complexo final
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Fourier
Evolução paraxial da onda gaussiana 1D
zk
kjzjkx
x
eekH 2FRESNEL
2
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
zkA x , xx kHkA 0,
2
0 1
Rzzwzw
onda mantém forma gaussiana, mas com largura e amplitude variáveis
kzjw
x
jkzee
kzjw
wzxU2
20
20
20
2
2,
2
0wzR
2
1zzzzR R
Rzzj
zRkxj
zwx
jkz eeeezw
wzxU1
2
2
2tan
21
20, zw
x
ezw
wzxU2
2
0,
definindo
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Nota
Fourier
Evolução paraxial da onda gaussiana 1D
2
0 1
Rzzwzw
onda mantém forma gaussiana, com largura e amplitude variáveis
2
0wzR zw
x
ezw
wzxU2
2
0,
constante!!
22, 0
202 wzwzw
wdxzxU
conservação de energia
-20-10
010
20
0
2
4
60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
z
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Fourier
Evolução paraxial da onda gaussiana 1D
2
0 1
Rzzwzw
2
0wzR
zw
x
ezw
wzxU2
2
0,
0
0
0w
Rz
20w
0 1
50w
Rz2
Nota
Para ,
ângulo divergência:
Rzz zzwzw
R
0
quanto menor , mais elevado0
0
wzw
R 0w
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Fourier
Evolução paraxial da onda de Airy infinita
zk
kjzjkx
x
eekH 2FRESNEL
2
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
zkA x , xx kHkA 0,
xAxU i0, ?, zxU
0,xkA zkA x, xx kHkA 0,zdistância
3
3
0,xkj
x ekA
23
22232
2, k
zxkzj
kzj
zjki eee
kzxAzxU
zkA x,
23
23
3 xx kkzkj
jkzee
para x real:
0
3
3cos1 dtxttxAi
323
23223
kzjk
kzj
kzkj
jkz eeeexx
1. espectro inicial:
2. espectro final:
3. envelope complexo final:
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Fourier
Evolução paraxial da onda de Airy infinita
2
2,
kzxAzxU i
23
22232
2, k
zxkzj
kzj
zjki eee
kzxAzxU
perfil da onda mantém-se inalterado durante a propagação
onda de Airy infinita não difracta
onda tem trajectória parabólica
z
traje
ctór
ia
z
x
01
23
45
67
89
10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Estas ondas têm energia infinita e por isso só existem na teoria
Importante
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Fourier
Evolução paraxial da onda de Airy finita
zk
kjzjkx
x
eekH 2FRESNEL
2
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
zkA x , xx kHkA 0,
axi exAxU 0, ?, zxU
0,xkA zkA x, xx kHkA 0,zdistância
seja axi exAxU )0,( 0a,
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x
|Ai(x)|
|Ai(x)|*e0.15x
Estas ondas têm energia finita e já foram obtidas experimentalmente
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Fourier
Evolução paraxial da onda de Airy finita
zk
kjzjkx
x
eekH 2FRESNEL
2
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
zkA x , xx kHkA 0,
axi exAxU )0,( jaxj
i exA
propriedade do deslocamento da transformada de Fourier
xkAxu )( bkAexu x
jbx )(
xxk
kz
kjazj
kzjakj
kza
kzj
kzjajkz eeeeee
23232
2231
2231
2
3
3
)(xkj
i exA
331
0,jakj
xxekA
23
231
, xx kkzjjakjjkz
x eeezkA
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Fourier
Evolução paraxial da onda de Airy finita
zk
kjzjkx
x
eekH 2FRESNEL
2
dxezxUzkA xjkx
x,,
zkA x , xx kHkA 0,
x
kkjaz
kzxj
kzjakj
kza
kzjz
kajjkz dkeeeeeezxU
xx
23232
2232231
2
21),(
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
32
2
2121
22222
2, k
zkzx
kzazkj
kzxa
i eekazj
kzxAzxU
argumento da função de Airy é agora complexo!
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Fourier
Evolução paraxial da onda de Airy finita
32
2
2121
22222
2, k
zkzx
kzazkj
kzxa
i eekazj
kzxAzxU
como o argumento da função de Airy é complexo, o perfil da onda varia durante a propagação
2
222
2, k
zxa
i ekazj
kzxAzxU
onda também é atenuada à medida que se propaga
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
x
|U(x
,z)|
z=0z=1z=2z=3
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Fourier
Evolução paraxial da onda de Airy finita
15.0a
z
x
01
23
45
67
89
10
-40
-30
-20
-10 0 10 20 30 40
0a
z
x
01
23
45
67
89
10
-40
-30
-20
-10 0 10 20 30 40
onda finita mantém trajectória parabólica por alguma distância
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Fourier
Aproximação de Fraunhofer
Admitamos que
'0,','
2'
2
22
dxeexUeezjzxU z
kxxjz
kxjxz
kjzjk
'max xX onde2
2kXz
12
2
z
kX 12
2
zkXj
e 12'2
zkxj
e
'0,''
22
dxexUeezj x
zkxjx
zkjzjk
0,
zkxA
0,,2
2
zkxAee
zjzxU
xz
kjzjk
'0,',
2'2 dxexUe
zjzxU
xxz
kjzjk
dxezxUzkA xjkx
x,,
amplitude do campo em z é versão escalada da transformada de Fourier em z=0
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Fourier
Aproximação de Fraunhofer – difracção através de uma fenda
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
0,,2
2
zkxAee
zjzxU
xz
kjzjk
XxXx
xU,0,1
0,
dxexUkA xjkx
x0,0,
X
X
xjk dxe x
Consideremos a difracção através de uma fenda de largura 2X localizada em z = 0:
X
Xx
xjk
jke x
x
XjkXjk
jkee xx
x
x
kXksin2
2
2 0,1,
zkxA
zzxU
2
2
2sin
4,
zkx
zkXx
zzxU
0,xU
xX X
1
Faculdade de Engenharia
Fourier
Aproximação de Fraunhofer – difracção através de uma fenda
2
2
2sin
4,
zkx
zkXx
zzxU
2
MAX2 ,0, zUzxU
zX
24
MAX
2
2
,
,
zxU
zxU2
2sin
xz
KX
xz
kX
xz
KX2 2
1
intensidadenormalizada
Faculdade de Engenharia
Fourier
Aproximação de Fraunhofer – difracção através de uma fenda
xz
KX
2
2
W
z W
X W
intensidade normalizada no alvo
fenda alvo
z
X2
z
kXxkXzx
X
z2
WXz
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Fourier
Aproximação de Fraunhofer – difracção através de N fendas
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
1
00 2
10,N
i
aNiaxUxU
Consideremos a difracção através de N fendas de largura 2X e separadas de uma distância a:
0,xU
x
1
a
X2
XxXx
xU,0,1
0onde
dxexUkA xjkx
x0,0,
1
0
21
21
N
i
XaNia
XaNia
xjk dxe x
1
0
21
21
N
i
XaNia
XaNiax
xjk
jke x
1
0
21sin2 N
i
aNiajk
x
x x
ek
Xk
1
0
21sin2 N
i
iajkaNjk
x
x xx ee
kXk
ajk
NajkaNjk
x
xx
xx
eee
kXk
11sin2 2
1
2sin
2sin
sin2ak
Nak
kXk
x
x
x
x
importante: Xa 2
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Fourier
Aproximação de Fraunhofer – difracção através de N fendas
dxezxUzkA xjkx
x,,
xxjk
x dkezkAzxU x,21,
2sin
2sin
sin20,ak
Nak
kXkkA
x
x
x
xx
2
2 0,1,
zkxA
zzxU
zkax
zkNax
zkx
zkXx
zzxU
2sin
2sinsin
4,2
2
2
2
2
2
MAX
2 ,0, zUzxU zNX
224
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Fourier
Aproximação de Fraunhofer – difracção através de N fendas
MAX
2
2
,
,anormalizadeintensidad
zxU
zxU
zkaxN
zkNax
zkXx
zkXx
2sin
2sinsin
22
2
2
2
difracção padrão de interferência
Se Xa 825N
zkax20 223 3
1
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