Conjuntos numericos

PROF. ALAN CRISPIMCONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS

NÚMEROS NATURAISNÚMEROS NATURAIS

Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.

NÚMEROS NATURAIS

A representação matemática deste conjunto é:

IN = {0,1, 2, 3, 4, 5, ... }

NÚMEROS INTEIROS

Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtração de 3 - 4 era impossível.

A ideia do número negativo, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas.

A ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

NÚMEROS INTEIROS

A representação matemática deste conjunto é:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

NÚMEROS RACIONAIS

Entretanto...surgiu outro tipo de problema:

“ “ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “

Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.

Quando andas de elevador utilizas os números para subir e descer indicando o andar a que pretendes chegar, ou seja, estás a usar alguns elementos do conjunto dos números inteiros

Apartamento 4

Escritórios 3

Cabeleireiro 2

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro ?2

A senhora que vai ao cabeleireiro carrega no botão ...

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro 2

-1

Qual te parece ser o andar do ginásio?

14 de fevereiro de 201410

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro 2

-2

E o andar da garagem?

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem -2

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro 2

-3

E o andar das lavagens automáticas?

REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA Os números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem

ser representados numa recta por meio de pontos.

Consideremos uma recta r e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem.

Escolhemos uma unidade de medida e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita).

Desta maneira obtemos um eixo ou reta numérica.

O r1

+-

REPRESENTAÇÃO NA RETA

Se quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O.

Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O.

+- O +1 +5

A

+- O +1-3

B

REPRESENTAÇÃO NA RETAO número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto.

+5A

+- O +1-3

B

A abcissa de A é +5A abcissa de B é -3

A origem tem abcissa zero.

ORDENAÇÃO

Quando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados.

Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar.

2 3 4 50 1-1-2-3

Cada vez maior

ORDENAÇÃO

Vemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos:

2 3 4 50 1-1-2-3

+ 5 > + 2

Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever:

+ 2 < + 5

Isto é, se a > b então b < a

• •

ORDENAÇÃODa observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes:

•Qualquer número positivo é maior do que zero.

•Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo.

+ 0,012 > 0

0 > - 35

+1 > - 35 + 0,5 > - 100;

•Zero é maior que qualquer número negativo.

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)

Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2.

A distância do ponto B à origem é 2.

A distância do ponto A à origem é 3.

2 3

A

4 50 1-1-2

B

-3

2 3

A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)

Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos:

Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse número.

Portanto, temos ainda que

+3 = 3

-2 = 2

0 = 0

Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero:

NÚMEROS SIMÉTRICOS

Relativamente à origem da reta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja,

- 4 = 4

Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.

NÚMEROS SIMÉTRICOS

Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo valor absoluto.

Exemplos de números simétricos:

- 0,3 = 0,3- 0,3 e 0,3 porque

1 e - 1 porque 1 = -1

Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero:

0 = 0

NÚMEROS SIMÉTRICOSObservação

1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem).

Exemplos:

+ 100 > + 40

+ 0,5 > + 0,1

2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem).

Exemplos:

- 0,01 > - 10

- 3 > - 50

Números Simétricos

Simplificação da escrita

Na reta também se escreve 1, 2, 3,..., em vez de +1,+2,+3,...

+ (- 8) = - 8+ (+ 8) = + 8

Também:

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Não é obrigatório escrever o sinal +

NÚMEROS SIMÉTRICOS

Na reta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

-2 é maior que - 4 - 2 > - 4

2 é maior que - 1 - 1 é menor que 2

2 > - 1 - 1 < 2

> maior < menor

ou