Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais ... · para a resolução de equações diferenciais aplicam-se apenas a certos tipos de ... (EDO). Exemplo: 2 1 2

Página 1 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias 0. Introdução

Muitos fenómenos nas áreas das ciências, engenharias, economia, etc., são

modelados por equações diferenciais. Suponha-se que se quer determinar a posição

de um corpo em movimento, e que apenas se conhece a sua velocidade ou a sua

aceleração. No fundo, quer determinar-se uma função desconhecida, utilizando certos

dados, relacionados por uma equação que contém, pelo menos, uma das derivadas

dessa função. Estas equações chamam-se equações às derivadas ou equações

diferenciais.

Tal como acontece com o cálculo do integral de uma função, os métodos analíticos

para a resolução de equações diferenciais aplicam-se apenas a certos tipos de

problemas. Por isso recorre-se com frequência ao uso de métodos numéricos para

obter a solução de uma equação diferencial sujeita a uma dada condição.

1. Definição e conceitos básicos de equações diferenciais Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida

(incógnita) e suas derivadas.

Definição: Seja y uma função de x e n um número inteiro positivo, então uma

relação de igualdade que envolva x, y, y’, y’’,...,y(n) é chamada uma equação

diferencial ordinária (EDO).

Exemplo: 122

2

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

dxdy

dxyde y


Se a função desconhecida depende de mais do que uma variável, as derivadas que

aparecem na equação diferencial são derivadas parciais, e a equação chama-se

equação diferencial parcial (EDP).

Exemplo: 042

2

2

2

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

dxyd

dtyd

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais elevada da função

incógnita presente na equação.

Exemplos:

Equação Diferencial Ordinária

Ordem

São do tipo

y’=x2+y2 1 y’=f(x,y)

5xdxdyy

dxdy3y

dxyd 5

373

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 2

y’’=f(x,y, y’)

(y’’’)4-x2(y’’)5+4xy=xex 3 y(3)=f(x,y,y’,y’’)

x3 y’=( y(4) )3 –1 4 y(4)=f(x,y,y’,y’’,y(3))

M

M M

Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável

independente x é uma função y(x) que verifica a equação para todo o x.

Exemplo: )xcos(c)x(senc)x(y 2221 += (com 21 c,c constantes arbitrárias) é

solução da equação diferencial 04 =+ yy '' .

Sendo, )xcos(c)x(senc)x(y 22 21 +=


)x(senc)xcos(c)x(y' 2222 21 −=⇒

)xcos(c)x(senc)x(y '' 2424 21 −−=⇒

substituindo na equação diferencial, vem que

( ) ( ) 02242424 2121 =++−− )xcos(c)x(senc)xcos(c)x(senc , isto é,

verificam a equação.

Uma solução particular (ou integral particular) de uma equação diferencial é

qualquer solução da mesma. A solução geral (ou integral geral) de uma equação

diferencial é o conjunto de todas as soluções.

Exemplo:

)xcos(c)x(senc)x(y 22 21 += com IRc,c ∈21 , é a solução geral da equação

diferencial 04 =+ yy '' ; enquanto )xcos()x(sen)x(y 22 += é uma solução

particular com .cc 121 ==

Um problema de valor inicial (PVI) consiste numa equação diferencial, juntamente

com condições relativas à função incógnita e suas derivadas dadas para o mesmo

valor da variável independente.

Exemplo: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==+

2)0(

0)0(04

'

''

y

yyy

PVI de 2ª ordem.


Uma solução de um PVI é uma função y=f(x) que satisfaz a equação diferencial e

todas as condições relativas à função incógnita.

Vamos, a seguir, ver métodos numéricos para a resolução de EDO’s.

2. Métodos Numéricos para a resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

Definição do problema

Neste capítulo consideraremos o problema de determinar a função y=y(x) que

satisfaz simultaneamente a equação diferencial (1ª ordem) e a condição inicial:

[ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈

∈

ba,0 x ,0y=)0y(x(7.1)

ba, x y(x)),f(x,=(x)y'

Este é chamado um problema de valor inicial (PVI) de 1ª ordem.

Existência e unicidade de solução

Teorema:

Seja f definida e contínua em D={(x,y): IRyb,xa ∈≤≤ } com a e b

finitos. Seja dydf contínua e limitada em D. Então [ ] IR0y e ba,0x ∈∈∀ , o

problema (7.1) tem solução única continuamente diferenciável para [ ]ba,x ∈ . ■

Estudaremos métodos, chamados métodos de variável discreta, para resolver

problemas de valor inicial da forma (7.1).


Assim, estes métodos determinam aproximações para a solução y(x) num conjunto

discreto de pontos x0, x1, x2, ..., da variável independente. Isto é, a solução

aproximada obtida é apresentada por uma tabela de valores

( xn, yn ), n=1,2, ...,

onde

yn ≅ y(xn).

Para obter a solução y(x) em pontos x∈[a,b] diferentes de xn (n = 0, 1, ...) pode usar-

se interpolação.

Vamos considerar apenas o caso em que o passo h é constante, tendo-se

xn+1 = xn + h = x0 + (n+1)h, n = 0, 1,....

Apresentaremos apenas métodos da classe de métodos de passo único, isto é, o valor

de yn+1 pode ser calculado se apenas yn é conhecido.

Suponhamos que o PVI (7.1) satisfaz as condições de existência e unicidade de

solução, vai tentar-se encontrar uma solução numérica para o problema.

Considerem-se m subintervalos de [a, b], (m≥1), e seja xj = x0 + jh onde m

abh −= ,

j=0,...,m e xj∈[a,b]. Ao conjunto Ih={x0,x1,...,xm} obtido da forma anterior chama-se

rede ou malha de [a,b].

O objectivo dos métodos numéricos é o cálculo das aproximações y1, y2, ..., ym para

as soluções exactas y(x1), y(x2),..., y(xm).

Notação: y(xj), j=0,...,m ⎯ solução exacta do PVI nos pontos xj∈Ih

y(xj) ≅ yj ⎯ significa que yj é aproximação para y(xj), xj∈Ih.


2.1. Método de série de Taylor

2.1.1. Método de Taylor de 1ª ordem ( método de Euler )

O método de Euler é um método de passo único e o mais simples de todos os

métodos numéricos para problemas de valor inicial.

Consideremos então o problema definido por (7.1).

Se y é continuamente diferenciável até à segunda ordem em [a,b] e xn, xn+1∈[a,b],

então, pela fórmula de Taylor,

Donde, da equação diferencial de (7.1) e de (7.2) concluimos que

).(y2

h))y(x,h.f(x)y(x)y(x n''

2nnn1n ξ++=+

Se h é “pequeno” o termo )(y2

hn

''2

ξ será também “pequeno” e podemos escrever

O método de Euler consiste, então, em calcular recursivamente a sucessão {yj}

através das fórmulas:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=

=

+ 10,...,j ),y,h.f(xyy(7.3)

)y(xy

jjj1j

00

m.

(7.2) x xonde ),(y2

h)(xh.y)y(x)y(x 1nnnn''

2

n'

n1n .++ <<++= ξξ

)).y(x,h.f(x)y(x)y(x nnn1n +≅+


Exemplo

Achar aproximações para a solução do PVI ⎩⎨⎧

=+−=

202

)(yyx'y

na malha [0,1] com h=0.2, usando o método de Euler.

Resolução:

Tem-se que x0=0 e y0=2.

Além disso, 41- 50.2

01h

ab =⇒=−=−= mm .

A fórmula de recorrência será:

0,1,2,3,4.j ),y,h.f(x y y

2y

jjj1j

0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=

=

+

( )

0,1,2,3,4.j , y-x*0.2 y y

2y

jjj1j

0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=

=⇔

+ 2

1ª iteração

y1 = y0 + 0.2*(x0 - y0 + 2) ⇔ y1 = 2 + 0.2*(0 – 2 + 2) ⇔ y1 = 2

x1 = 0 + 0.2 = 0.2

2ª iteração

y2 = y1 + 0.2*(x1 - y1 + 2) ⇔ y2 = 2 + 0.2*(0.2 – 2 + 2) ⇔ y2 = 2.04

x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4


3ª iteração

y3 = y2 + 0.2*(x2 - y2 + 2) ⇔ y3 = 2.04 + 0.2*(0.4 - 2.04 + 2) ⇔ y3 = 2.112

x3=0.4+0.2=0.6

4ª iteração

y4 = y3 + 0.2*(x3 - y3 + 2) ⇔ y4 = 2.112+0.2(0.6-2.112+2) ⇔ y4 = 2.2096

x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8

5ª iteração

y5 = y4 + 0.2*(x4 - y4 +2) ⇔ y5 = 2.2096+0.2*(0.8-2.2096+2) ⇔ y5=2.3277

x5 = 0.8 + 0.2 = 1

As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são

{ 2 , 2.04 , 2.112 , 2.2096 , 2.3277 }.

Erros de discretização

Supondo que se conhece exactamente o valor de y(xn), ao aproximar

introduz-se um erro, chamado erro de truncatura (ou discretização) local.

Este erro é igual a ( ) ] [1nnn''

2x,xξ ξy

2h

+∈, , e é o erro de truncatura

introduzido no passo de xn para xn+1.

Contudo, ao calcular uma aproximação para y(xn+1) pelo método de Euler (7.3), o

valor yn usado é uma aproximação para y(xn). O valor yn foi calculado usando uma

))y(x,h.f(x)y(x)y(x nnn1n +≅+


aproximação yn-1 para y(xn-1) e assim sucessivamente. Assim, no cálculo da

aproximação yn+1 para y(xn+1) tem-se não só o erro de discretização local

introduzido nesse passo mas também o erro resultante da acumulação de erros de

discretização local introduzido nos passos anteriores.

A ( ) nnn yxy −=e chama-se erro de truncatura (ou discretização) global.

Convergência do método de Euler

A aproximação da solução num ponto xn converge para a solução exacta nesse

ponto, y(xn), quando o passo h tende para zero, isto é,

( )nn

nxxh

0h xy ylim

0n

=−=

→ .

Comentários

O método de Euler não é muito usado uma vez que os resultados obtidos têm,

em geral, pouca precisão, a não ser que se seleccione uma valor para o passo

demasiado pequeno o que torna o processo demasiado lento.

O método foi deduzido truncando o desenvolvimento dado pela fórmula de

Taylor de segunda ordem antes do termo em h2.

2.1.2. Método de Taylor de 2ª ordem

Consideremos o problema de valor inicial (7.1) e sejam [ ]ba,x,x 1nn ∈+ .

Então, se y tem derivadas contínuas até à terceira ordem em [a,b], pela fórmula de

Taylor,


Tem-se então, se h = xn+1 - xn é pequeno,

).(xy2

h)(xh.y)y(x )y(x n''

2n

'n1n ++≅+

Define-se o método de Taylor de 2ª ordem pela fórmula

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=

=

+ 1.- 0,1,...,j ),y,(xf 2

h)y,h.f(xyy

)y(xy

jj'

2jjj1j

00

m

onde: ( ) ( ) ( ) ( ).jjjjjjjj' y,x.fy,x

yfy,x

xfy,xf

∂∂+

∂∂=

Exemplo

Achar aproximações para a solução do PVI ⎩⎨⎧

=+−=

202

)(yyx'y

na malha [0,1] com h=0.2, usando o método de Taylor de 2ª ordem.

. xx

),(y6

h)(xy2

h)(xh.y)y(x)y(x

1nnn

n'''

3n

''2

n'

n1n

+

+

<<

+++=

ξ

ξ


Resolução



01h

ab =⇒=−=−= mm .

método de Taylor de 2ª ordem


( ) ( )

0,1,2,3,4.j ,)yx-2y-x*0.2 y y

2y

jjjjj1j

0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++++=

=

+ 1*02.0

0,1,2,3,4.j , 0.18x 0.82y y

2y

jj1j

0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=

=⇔

+ 38.0

1ª iteração

y1 = 0.82*y0 + 0.18*x0 + 0.38 ⇔ y1 = 0.82*2 + 0.18*0 + 0.38 ⇔ y1 = 2.02

x1 = 0 + 0.2 = 0.2

2ª iteração

y2 = 0.82*y1 + 0.18*x1 + 0.38 ⇔ y2 = 0.82*2.02 + 0.18*0.2 + 0.38 = 2.0724

x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4


3ª iteração

y3 = 0.82*y2 + 0.18*x2 + 0.38 ⇔ y3 = 0.82*2.0724 + 0.18*0.4 + 0.38 = 2.151368

x3= 0.4 + 0.2 = 0.6

4ª iteração

y4 = 0.82*y3 + 0.18*x3 + 0.38 ⇔ y4 = 0.82*2.151368 + 0.18*0.6 + 0.38

⇔ y4 = 2.25212176

x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8

5ª iteração

y5 = 0.82*y4 + 0.18*x4 + 0.38 ⇔ y5 = 0.82*2.25212176 + 0.18*0.8 + 0.38

⇔ y5 = 2.370739843

x5 = 0.8 + 0.2 = 1

As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são { 2.02 ,

2.0724 , 2.151368 , 2.25212176 , 2.370739843 }.

De modo similar se define o método de Taylor de 4ª ordem:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

++++=

=

+

1.-0,1,...,j

),y,(xf 24h)y,(xf

6h)y,(xf

2h)y,h.f(xyy

)y(xy

jj'''

4jj

''3

jj'

2jjjj

00

m

1


2.2. Métodos de Runge-Kutta

Os métodos de Runge-kutta foram desenvolvidos com o objectivo de produzirem

resultados com a mesma precisão que os obtidos pelo método de Taylor, mas

evitando o cálculo das derivadas.

Limitar-nos-emos a apresentar as fórmulas.

2.2.1. Métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem

As fórmulas têm a forma geral

( )

( ) ( )( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++++=

=

+ . 1-0,1,...,j y,x.h.fy.h,xfy,xfhyy

xy y

jjjjjjj1j

00

m,.b.a βα

sendo as constantes βα e ,b,a escolhidas de modo a que o erro de truncatura local

do método seja proporcional a h3 tal como no método de Taylor de

2ª ordem.

Tal condição implica ⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=

b

,ba

21

- 1

βα , sendo b arbitrário.

Substituindo na fórmula anterior e βα,a , obtemos

( ) ( ) ( ). 1-0,1,...,j

y,x.h.f21y.h,

21xfy,xf1hyy jjjjjjj1j

m

,bb

.bb

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−+=+


Apresentaremos aqui os dois métodos mais conhecidos de Runge-Kutta de

2ª ordem.

2.2.1.1. Método de Euler melhorado ( ou método de Heun )

Corresponde à escolha ,b21 =

( )

( )

( )( )

1 ..., 0,1,j ,

h.y ,h xf

y,xf

2hyy

xy y

1jj2

jj1

21j1j

00

.m

kk

k

kk

−=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

=

++=

=

+

Exemplo:

Achar aproximações para o PVI ⎩⎨⎧

=+−=

202

)(yyx'y

na malha [0,1] com h=0.2, usando

o método de Euler melhorado.

Resolução:



01h

ab =⇒=−=−= mm .



( )

( )( )

81y*0.8x8020y 20xf

2y-xyxf0,1,2,3,4.j

, *0.1 y y2y

jj1jj2

jjjj1

21j1j

0

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=++=

+===

++==

+

.*.k*.,.k

,k

kk

1º iteração:

y1 = y0 + 0.1*(k1+ k2)

k1 = x0 - y0 + 2 ⇔ k1 = 0 – 2 + 2 ⇔ k1 = 0

k2 = 0.8x0 – 0.8y0 + 1.8 ⇔ k2 =0.8*0 – 0.8*2 + 1.8 ⇔ k2 = 0.2

donde y1 = 2 + 0.1*(0 + 0.2) = 2.02

e, x1 = 0 + 0.2 = 0.2

2º iteração:

y2 = y1 + 0.1*(k1+ k2)

k1 = x1 - y1 + 2 ⇔ k1 = 0.2 – 2.02 + 2 ⇔ k1 = 0.18

k2 = 0.8x1 – 0.8y1 + 1.8 ⇔ k2 =0.8*0.2 – 0.8*2.02 + 1.8 ⇔ k2 = 0.344

donde y2 = 2.02 + 0.1*(0.18 + 0.344) = 2.0724

e, x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4


3º iteração:

y3 = y2 + 0.1*(k1+ k2)

k1 = x2 – y2 + 2 ⇔ k1 = 0.4 – 2.0724 + 2 ⇔ k1 = 0.3276

k2 = 0.8x2 – 0.8y2 + 1.8 ⇔ k2 =0.8*0.4 – 0.8*2.0724 + 1.8 = 0.46208

donde y3 = 2.0724 + 0.1*(0.3276 + 0.46208) = 2.151368

e, x3 = 0.4 + 0.2 = 0.6

4º iteração:

y4 = y3 + 0.1*(k1+ k2)

k1 = x3 – y3 + 2 ⇔ k1 = 0.6 – 2.151368 + 2 ⇔ k1 = 0.448632

k2 = 0.8x3 –0.8y3 +1.8 ⇔ k2 = 0.8*0.6 – 0.8*2.151368 + 1.8 = 0.5589056

donde y4 = 2.151368 + 0.1*(0.448632 + 0.5589056) = 2.25212176

e, x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8

5º iteração:

y5 = y4 + 0.1*(k1+ k2)

k1 = x4 – y4 + 2 ⇔ k1 = 0.8 – 2.25212176 + 2 ⇔ k1 = 0.54787824

k2 =0.8x4 –0.8y4 +1.8 ⇔ k2 = 0.8*(0.8 -2.25212176)+1.8 = 0.638302592

donde y5 = 2.25212176+ 0.1*(0.54787824 + 0.638302592)

⇔ y5 = 2.370739843

e, x5 = 0.8 + 0.2 = 1


As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são:

{ 2.02 , 2.0724 , 2.151368 , 2.25212176 , 2.370739843 }.

2.2.1.2. Método de Euler modificado

Corresponde à escolha ,b 1 =

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

==

+=

=

+

1jj2

jj1

2j1j

00

2hy,

2hxf

y,xf1.- ..., 0,1,j

h.yy

xy y

kk

km

k

.

,

Exemplo:


=+−=

202

)(yyx'y

, na malha [0,1] com h=0.2, usando

o método de Euler modificado.

Resolucão:



01h

ab =⇒=−=−= mm .



( )

91y*0.9x9010y 10xf

2y-x0,1,2,3,4.j

, *0.2 y y2y

jj1jj2

jj1

2j1j

0

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=++=

+==

+==

+

.*.k*.,.k

k

k

1º iteração:

y1 = y0 + 0.2*k2

k2 = 0.9*(x0 - y0) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0 – 2) + 1.9 ⇔ k2 = 0.1

donde y1 = 2 + 0.2*0.1 = 2.02

e, x1 = 0 + 0.2 = 0.2

2º iteração:

y2 = y1 + 0.2*k2

k2 = 0.9*(x1 - y1) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0.2 – 2.02) + 1.9 ⇔ k2 = 0.262

donde y2 = 2.02 + 0.2*0.262 = 2.0724

e, x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4


3º iteração:

y3 = y2 + 0.2*k2

k2 = 0.9*(x2 - y2) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0.4 - 2.0724) + 1.9 = 0.39484

donde y3 = 2.0724 + 0.2*0.39484 = 2.151368

e, x3 = 0.4 + 0.2 = 0.6

4º iteração:

y4 = y3 + 0.2*k2

k2 = 0.9*(x3 - y3) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0.6 –2.151368) + 1.9 = 0.5037688

donde y4 = 2.151368 + 0.2*0.5037688 = 2.25212176

e, x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8

5º iteração:

y5 = y4 + 0.2*k2

k2 = 0.9*(x4 - y4) + 1.9 ⇔ k2 = 0.9*(0.8 - 2.25212176) + 1.9

⇔ k2 = 0.593090416

donde y5 = 2.25212176+ 0.2*(0.593090416) = 2.370739843

e, x5 = 0.8 + 0.2 = 1



{ 2.02 , 2.0724 , 2.151368 , 2.25212176 , 2.370739843 }.

2.2.1.3. Métodos de Runge-Kutta de 4ª ordem Fórmulas de Runge-Kutta de ordem superior podem ser desenvolvidas com o mesmo

objectivo. A mais usada é a que corresponde ao método conhecido por método de

Runge-Kutta de 4ª ordem

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

++=

++=

==

++++=

=

+

)hkyh,f(xk

)k2hy,

2hf(xk

),k2hy,

2hf(xk

)y,f(xk 1.-0,...,j

)k2k2k(k6hyy

)y(xy

3jj4

2jj3

1jj2

jj1

4321j1j

00

m

Exemplo:


=+−=

202

)(yyx'y

na malha [0,1] com h=0.2, usando o método de Euler modificado.


Resolucão:



01h

ab =⇒=−=−= mm .


( )

( )

( )

( )

8181y*8180x8180k20y 20xfk

911y*0.91x910k10y 10xfk

91y*0.9x90k10y 10xfk

2y-xk0,1,2,3,4.j

, kk2k2k6

0.2 y y

2y

jj3jj4

jj2jj3

jj1jj2

jj1

4321j1j

0

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=++=

+−=++=

+−=++=

+==

++++=

=

+

..*.*.,.

.*.*.,.

.*.*.,.

*

Cálculos auxiliares:

( )2

,

+−=

=

jj

jj1

yx

y x fk

( )( )( )

( )( )

( )9.1*9.0

22.0*1.01.0

2.0*1.0,1.0

2.0*1.0*1.0,1.0

2*1.0,1.0

*1.0,1.0

+−=

+++−+=

+++=

+−++=

+−++=

++=

jj

jjj

jjj

jjjj

jjjj

1jj2

y*0.9x

xy*0.9x

xy*0.9 x f

y xy x f

y xy x f

y x f kk


( )( )( )

( )( )

( )91.1*91.0

219.0*09.01.0

19.0*09.0,1.0

19.0*09.0*09.0,1.0

9.1*1.0,1.0

*1.0,1.0

+−=

+++−+=

+++=

+−++=

+−++=

++=

jj

jjj

jjj

jjjj

jjjj

2jj3

y*0.91x

xy*0.91x

xy*0.91 x f

y xy x f

y*0.9 x*0.9y x f

y x f kk

( )( )( )

( )( )

( )818.1*818.0

2382.0*182.02.0

382.0*182.0,2.0

382.0*182.0*182.0,2.0

91.1*2.0,2.0

*2.0,2.0

+−=

+++−+=

+++=

+−++=

+−++=

++=

jj

jjj

jjj

jjjj

jjjj

3jj4

y*0.818x

xy*0.818x

xy*0.818 x f

y xy x f

y*0.91 x*0.91y x f

y x f kk

Então,

( )

( ) ( )(( ) ( ))

( )

3,4. 2, 1, 0, j 3812666660x*60.18126666 y*40.81873333y

43811y4385x43856

0.2 y

8181y*0.818x8180911y*0.91x9102

91y*0.9x9022y-x6

0.2 y

kk2k2k6

0.2 y y

jj1j

jjj

jjjj

jjjjj

4321j1j

=++=

+−+=

+−++−+

+−+++=

++++=

+

+

,.

.*.*.*

.*..*.

.*.*

*

1º iteração:

y1 = 0.818733334*y0 + 0.181266666*x0+0.381266666


= 0.818733334*2 + 0.181266666*0+0.381266666 = 2.018733335

x1 = 0 + 0.2 = 0.2

2º iteração:

y2 = 0.818733334*y1 + 0.181266666*x1+0.381266666

= 0.818733334*2.018733335 + 0.181266666*0.2+0.381266666

= 2.070324273

x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4

3º iteração:

y3 = 0.818733334*y2 + 0.181266666*x2+0.381266666

= 0.818733334*2.070324273+ 0.181266666*0.4+0.381266666

= 2.148816828

x3 = 0.4 + 0.2 = 0.6

4º iteração:

y4 = 0.818733334*y3 + 0.181266666*x3 + 0.381266666

= 0.818733334*2.148816828+ 0.181266666*0.6+0.381266666

= 2.249334632


x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8

5º iteração:

y5 = 0.818733334*y4 + 0.181266666*x4 + 0.381266666

= 0.818733334*2.249334632+ 0.181266666*0.8+0.381266666

= 2.367885242

e,

x5 = 0.8 + 0.2 = 1


{ 2.018733335, 2.070324273, 2.148816828, 2.249334632, 2.367885242 }.

Documents

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais ... · para a resolução de equações diferenciais aplicam-se apenas a certos tipos de ... (EDO). Exemplo: 2 1 2