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ComputerVision
Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier
Paulo Sérgio RodriguesPEL205
ComputerVision Separabilidade
• Lembrando o par de Transformadas de Fourier
1
0
1
0
//2,1
,M
x
N
y
NvyMuxjeyxfMN
vuF
1
0
1
0
//2,,M
u
N
v
NvyMuxjevuFyxf
ComputerVision Separabilidade
• Ou, considerando M = N para simplificar ainda mais:
1
0
1
0
/)(2,1
,N
x
N
y
NvyuxjeyxfN
vuF
1
0
1
0
/)(2,,N
u
N
v
NvyuxjevuFyxf
ComputerVision Separabilidade
• Expandindo e arrumando:
1
0
1
0
/2/2,1
,N
x
N
y
NvyjNuxj eeyxfN
vuF
1
0
1
0
/)(2,1
,N
x
N
y
NvyuxjeyxfN
vuF
1
0
1
0
/2/2 ,1
,N
x
N
y
NvyjNuxj eyxfeN
vuF
ComputerVision Separabilidade
• Da mesma forma, para a transformada inversa:
1
0
1
0
/2/2 ,1
,N
x
N
y
NvyjNuxj eyxfeN
vuF
1
0
1
0
/2/2 ,1
,N
u
N
v
NvyjNuxj evuFeN
yxf
ComputerVision Separabilidade
• Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D
1
0
1
0
/2/2 ,1
,N
x
N
y
NvyjNuxj eyxfeN
vuF
1
0
/2),(1
),(N
y
NvyjeyxfN
NvxF
ComputerVision Separabilidade
• Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D
1
0
/2),(1
),(N
y
NvyjeyxfN
NvxF
1
0
/2),(1
),(N
x
NuxjevxFN
vuF
ComputerVision Translação
Um “problema” para visualizar o espectro de Fourier deUma função f(x,y) é o fato do pico mais alto ocorrer no eixo x = 0
ComputerVision Translação
No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualizaçãoPode ficar comprometida
f(x,y) |F(u,v)|
ComputerVision Translação
),(),( 00/2 00 vvuuFeyxf Nyvxuj
No entanto, pode-se provar que, para constantes u0, v0, x0, y0:
NvyuxjevuFyyxxf /200
00),(),(
e
ComputerVision Translação
(1) /
222
/2 00 yxjNy
Nx
Nj
Nyvxuj eee
)2( 1 cos como jjy esenyjye
Mas, quando M = N e u0 = v0 = N/2 :
Substituindo (2) em (1), concluímos que:
yxNyvxuje )1(/)(2 00
ComputerVision Translação
),(),( 002 00 vvuuFeyxf yvxuj
Finalmente, baseado nos resultados dos slides 10 e 11:
)2/,2/()1)(,( NvNuFyxf yx
Conclusão: Para se deslocar o espectro de Fourier para o centro do sistema de coordenadas, basta multiplicar cada ponto (x,y) de sua inversa por -1 elevado a soma x + y
2/ se 00 Nvu
ComputerVision Translação
No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualizaçãoé melhor claramente melhor
f(x,y)|F(u,v)| sem Shift
yxf ,
|F(u,v)| com Shift yxyxf )1(,
ComputerVision Periodicidade e Simetria Conjugada
),(),(),(),( NvNuFNvuFvNuFvuF
A transformada de Fourier é periódica de período N; isto é:
1
0
1
0
/2),(1
),(
em e de direta
ãosubstituiç de através provadoser pode isso
N
x
N
y
NvyuxjeyxfN
vuF
NvNu
ComputerVision Rotação
senvursenyrx cos cos
),( e ),( : tornamse ),( e ),( FrfvuFyxf
Se introduzirmos coordenadas polares:
Substituindo diretamente em f(x,y) e F(u,v), temos:
),(),( 00 Frf
ComputerVision Rotação
Exemplo de Rotação
ComputerVision Distributividade
),(),(),(),( 2121 yxfyxfyxfyxf
Uma vez que:
A transformada de Fourier é DISTRIBUTIVA sobre ADIÇÃO
Mas ...
),(),(),(),( 2121 yxfyxfyxfyxf
A transformada de Fourier NÃO é DISTRIBUTIVA sobre MULTIPLICAÇÃO
ComputerVision Escala
Para dois escalares a e b
vuaFyxaf ,,
bvauFab
byaxf /,/1
ComputerVision Valor Médio
1
0
1
0
1 ,, 2
N
x
N
yN
yxfyxf
1
0
1
0
/2,1
,
em 0 fazendoN
x
N
y
NvyuxjeyxfN
vuF
vu
1
0
1
0
,1
0,0N
x
N
y
yxfN
F
ComputerVision Valor Médio
0,01
, FN
yxf
1
0
1
0
,1
0,0N
x
N
y
yxfN
F
1
0
1
0
1 ,, 2
N
x
N
yN
yxfyxf
ComputerVision
Resultados daTransformada de Fourier
ComputerVision Exemplo 1: Função caixa (box)
f(x)
x
]2,
20
2[
20
)( b
bxse
bxsea
bxse
xf
a
dxexfwF wxi 2)()(
2/
2/2
2
b
bwxie
wi
a
2/
2/
2b
b
wxi dxea
wbiwbi eewi
a
2
i
ee
w
a wbiwbi
2
)sin( wb
w
a
b
wb
wbabwF
)sin(
)(
ComputerVision Transformada da função box
bw
bwabwF
)sin(
)(
F(w)
0 1/b 2/b 3/b-1/b-2/b-3/b
ab
w
sinc(bw)
wb
wbabwF
)sin(
)( f(x)
x
a
b
ComputerVision Distribuição normal: Gaussiana
2
2
22
1)(
x
exGaus
:= ( )gaus x e( ) x
2
ComputerVision Exemplo 2: Gaussiana
-0,02
0,03
0,08
0,13
0,18
-0,02
0,03
0,08
0,13
0,18
2
2
2
2
1)(
x
exf
2
2
12)(
w
ewF
f(x)
x
|| F(w) ||
w
1
ComputerVision Transformada do Delta de Dirac
f(x)
x
1)()( 02
edxexwF wxi (x)
|| F(w) ||
w
1
ComputerVision Pares importantes
ComputerVision Propriedades da transformada
ComputerVision
Descritores de Fourier
ComputerVision
Descritores de Fourier
ComputerVision
Descritores de Fourier
