Ebooks CAP 4 · 2020. 4. 29. · OS MONÔMIOS As expressões algébricas racionais representadas por um único produto, são chamadas de monômios (ou termos algébricos) como 2x,

Matemática em Foco - Profº Mick Xavier

A Matemática está em TUDO, inclusive em VOCÊ!2

CÁLCULO ALGÉBRICO, PRODUTOS NOTÁVEIS

E FATORAÇÃOALGÉBRICA

Cálculo Algébrico, Produtos Notáveis e Fatoração Algébrica

A Matemática está em TUDO, inclusive em VOCÊ! 3

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam apenas letras ou nú-mero e letras. Vejamos a seguinte situação:

Quilometragem (Km)

Valor correspondente à quilometragem Taxa fixa Valor total a receber

1 R$ 4,00 R$ 5,00 R$ 9,002 R$ 8,00 R$ 5,00 R$ 13,003 R$ 12,00 R$ 5,00 R$ 17,004 R$ 16,00 R$ 5,00 R$ 21,005 R$ 20,00 R$ 5,00 R$ 25,00

Mesmo após criar a tabela Paulo não ficou satisfeito pois queria algo que lhe desse a opor-tunidade de calcular o valor a receber em qualquer situação. Então ele resolveu generalizar a quilometragem supondo que um cliente poderia rodar “x” quilômetros. Sendo assim a expressão que representaria o valor a ser recebido por Paulo é dado em função de “x” da seguinte maneira:

Valor a ser recebido = (taxa fixa) + R$ 4,00 x (número de quilômetros rodados) Então,

Valor a ser recebido = 5,00 + 4x

Utilizamos as letras, em geral, com o intuito de traduzir uma situação para linguagem mate-mática, e assim obtemos uma expressão algébrica. Vejamos outros exemplos.

1. O dobro de um número mais o triplo de outro número: 2x + 3y2. A diferença entre os quadrados de dois números: a2 – b2

3. O produto do cubo de um número pelo quadrado de outro número: c3 . d2

Paulo é taxista e recebe por corri-da. O valor a ser recebido depende da quantidade de quilômetros rodados, já que o cliente paga um valor fixo (taxa de corrida) mais um valor de R$ 4,00 por quilômetro rodado. Sendo assim, Paulo elaborou uma tabela:



CLASSIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

1. Toda expressão algébrica que apresenta letras no radicando é denominada expressão algébrica irracional, por exemplo:

1)

2)

)

2 −

−

+

xc

bxb

aya

2. Toda expressão algébrica que NÃO apresenta letras no radicando é denominada expressão algébricas racional, por exemplo:

yxf

yxyxe

yxdbac

xxbxxa

−

−++−

++

+−

2)

2)

1010))

8118)12)

22

2

2

Expressões algébricas racionais podem ser INTEIRAS ou FRACIONÁRIAS.

As expressões algébricas racionais INTEIRAS são aquelas que não apresentam frações com letras no denominador, por exemplo:

53)

22)

32)

bac

yxb

xa

−

+

As expressões algébricas racionais FRACIONÁRIAS são aquelas que apresentam frações com letras no denominador, por exemplo:

yxyxc

cyb

b

xa

−+

+

)

3)

3)



VALOR NUMÉRICO DA EXPRESSÃO ALGÉBRICA

Toda expressão algébrica pode ter um valor numérico, desde que sejam atribuídos valores às letras que a formam. Por exemplo, vamos lembrar do taxista Paulo e a expressão algébrica que ele elaborou para generalizar o valor a ser recebido por corrida: 5 + 4x sendo x o número de quilômetros rodados.

Se Paulo rodar 12km com um cliente qual valor ele deverá receber pela corrida?

Para calcular devemos trocar (substituir) x por 12, e fazer o cálculo (5 + 4 . 12) que resulta em 53. Logo Paulo deverá receber R$ 53,00 pela corrida.

OS MONÔMIOS

As expressões algébricas racionais representadas por um único produto, são chamadas de monômios (ou termos algébricos) como 2x, 3xy, 4z2 e 5x3y2.

Observe que os monômios são formados por um coeficiente (parte numérica) e uma parte literal (letras). Os monômios também possuem o grau, que corresponde à soma dos ex-poentes da parte literal.

Monômio Coeficiente Parte literal Grau2x 2 x 13xy 3 xy 24z2 4 z2 2

5x3y2 5 x3y2 5

Monômios que possuem a mesma parte literal são ditos monômios semelhantes.

Exemplos de monômios semelhantes:1. 2x e 3x2. 5b e 7b3. 6x3, - 12x3 e 0,73x3

SOMANDO OU SUBTRAINDO MONÔMIOS

É possível somar ou subtrair monômios semelhantes. Basta somar ou subtrair os coeficien-tes e conservar a parte literal.

Exemplos:1. 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x2. 5b – 7b = (5 – 7)b = - 2b3. 6x3 - 12x3 + 0,73x3 = (6 – 12 + 0,73) x3 = - 5,27 x3



MULTIPLICANDO OU DIVIDINDO MONÔMIOS

Na multiplicação e divisão de monômios devemos utilizar algumas propriedades já estuda-das como comutativa e associativa da multiplicação além de propriedades de potência. Em geral, devemos seguir os seguintes passos:

1. Multiplicamos (ou dividimos) os coeficientes;2. Multiplicamos (ou dividimos) as partes literais.

222

34

32

5

2

32

4520)

44

16)

122.6)205.4)

yxyxyxd

xxxc

xyyxybbaabaa

−=−

−=−

−=−

=

OBSERVAÇÕES

Exemplos:es

1. Todo número real diferente de zero é considerado um monômio sem parte literal;2. O número real zero é denominado monômio nulo;3. A soma de dois monômios não semelhantes é denominada binômio;4. A soma de três monômios não semelhantes é denominada trinômio;5. A soma de quatro ou mais monômios não semelhantes é denominada polinômio;

PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO

Produtos notáveis são produtos de binômios que aparecem com frequência no cálculo al-gébrico e também em outros conteúdos por isso é muito importante você conhecer suas estruturas.

QUADRADO DA SOMA

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primei-ro termo mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado do segundo termo.



QUADRADO DA DIFERENÇA

Exemplos:

22222

22222

2222

2222

1025).5.(2)5()5)(25309)5()5).(3.(2)3()53)(

2530955).3.(2)3()53)(9633..2)3)(

bababbaabadyxyxyyxxyxc

aaaaabxxxxxa

++=+−−−=−−

+−=+−=−

+−=+−+−=+−

++=++=+

Lembre-se que todos os cálculos acima também poderiam ser efetuados utilizando a pro-priedade distributiva.

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo se-gundo termo mais o quadrado do se-gundo termo.

O produto da soma de dois termos pela diferença dos mesmos termos resulta na diferença de dois quadrados, que será o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.



CUBO DA SOMA

CUBO DA DIFERENÇA

O cubo da diferença (a – b)3 segue o mesmo padrão do cubo da soma, porém o sinal varia entre positivo e negativo:

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

Até aqui já trabalhamos a fatoração de um número natural, que significa decompor o nú-mero em um produto de dois ou mais fatores primos. Fatorar um polinômio (quando possível) significa decompor este polinômio em um produto de polinômios mais simples, como monômios e binômios.

Vejamos a figura abaixo:

Suponhamos que a figura acima seja um retângulo.A área de um retângulo é calculada através da multiplicação do valor do seu comprimen-

to pelo valor da sua largura. Portanto a área neste caso seria representada pela expressão (a + b + c).d .

Mas como o retângulo está dividido em três retângulos menores (figuras 1, 2 e 3) podemos também expressar a área do retângulo grande através da soma das áreas dos três retângulos menores. Sendo assim a área do retângulo grande seria expressa por a.d + b.d + c.d .



Logo, (a + b + c).d = a.d + b.d + c.d .Dizemos que a expressão (a + b + c).d é a forma fatorada do polinômio ad + bd + cd.

FATORAÇÃO POR EVIDÊNCIA

A expressão fatorada (a + b + c).d apresentada anteriormente é chamada de fatoração por evidência. Esse tipo de fatoração sempre é possível quando todos os termos do polinômio possuem um fator em comum. No caso anterior, o fator em comum é o “d” afinal ele é um fator que está em todas as multiplicações ad, bd e cd.

Vejamos um outro exemplo, agora de outro retângulo dividido em três retângulos menores, porém com a base conhecida.

Observe a figura a seguir.

Para determinar a área da figura ao lado, considerando o retângulo maior dividido em três retângulos menores, vamos somar as áreas menores: 3.x + 3.y + 3.z . Note que o fator 3 aparece em todas as multiplicações, já que todos os retângulos possuem a mesma base 3. No entanto também podemos expressar a área do retângulo grande por 3.(x + y + z).

Portanto podemos escrever 3x + 3y + 3z = 3. (x + y + z) .Nesse caso, dizemos que 3. (x + y + z) é fatoração por evidência do polinômio 3x + 3y + 3z.

Vejamos outro exemplo detalhadamente:

Vamos fatorar o polinômio 25a2b + 15a3b2

Primeiro passo seria fatorar individualmente cada termo do polinômio.Fatorando os termos obtemos: 25a2b = 52. a . a . b 15a3b2 = 3 . 5 . a . a . a . b . b

Analisando as fatorações acima, vamos destacar os fatores comuns:25a2b = 52. a . a . b

15a3b2 = 3 . 5 . a . a . a . b . b

Então o fator comum é dado pela multiplicação 5 . a . a . b = 5a2b . Então devemos colocá-lo em evidência:

25a2b + 15a3b2 = 5a2b . ( )

Fator comum: base comum aos retângulos.



Para descobrirmos os termos que deverão entrar dentro dos parênteses basta dividirmos cada termo do polinômio 25a2b + 15a3b2 pelo fator 5a2b em evidência, e aplicar as propriedades de potência:

abbb

aa

baba

bb

aa

baba

3..5

155

15

5..525

525

2

2

3

2

23

2

2

2

2

==

==

FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO

A fatoração por agrupamento corresponde à sucessivas fatorações por evidência. Em geral num dado da momento da fatoração por agrupamento, o fator em comum poderá ser um binômio, trinômio ou polinômio.

Vejamos um exemplo detalhado:

1. Fatorando o polinômio ax – bx + 2a – 2b vamos primeiro observar os fatores que podem ser colocados em evidência:

ax – bx + 2a – 2b Fator comum é x Fator comum é 2.

2. Colocando os fatores comuns citados acima em evidência, obtemos que ax – bx + 2a – 2b = x. (a – b) + 2. (a – b)

Fator comum é (a-b).

3. Colocando o fator comum (a – b) em evidência obtemos:= x. (a – b) + 2. (a – b) = (a – b). (x + 2)

Fatoração de ax – bx + 2a – 2b

FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

A fatoração da diferença de dois quadrados seria o processo inverso do produto notável “produto da soma pela diferença” já que (a + b) . (a – b) = a2 – b2.

Então a fatoração do binômio a2 – b2 é dada por (a + b) . (a – b)

Vejamos alguns exemplos:

Portanto a fatoração completa do polinômio 25a2b + 15a3b2 é

5a2b . (5 + 3ab)



( )

−

+=−

=−

−+=−=−

−+=−=−

+−=−=−

−+=−=−

ukukukuke

yyyydaaaac

abxabxabxbaxbxxxxa

83

2.83

283

26494)

)110).(110(1)10(1100))6).(6(636)

)7).(7()()7(49))3)(3(39)

22

22

222

222

22222

222

Observação

Existem casos onde precisamos utilizar mais de um processo de fatoração!Por exemplo, vamos fatorar o polinômio 5x2 – 20:

1. Primeiro passo seria utilizar a fatoração por evidência: 5x2 – 20 = 5 .( x2 – 4).2. Em seguida utilizamos a fatoração por diferença de dois quadrados: 5 .( x2 – 4) = 5. (x + 2). (x – 2)

FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

A fatoração de um trinômio quadrado perfeito seria o processo inverso do quadrado da soma, ou quadrado da diferença:

1.(x + 2)2 = x2 + 2. x . 2 + 22 = x2 + 4x + 4 Trinômio quadrado perfeito

A fatoração do trinômio quadrado perfeito x2 + 4x + 4 é (x + 2)2 .2. (2x - 3)2 = (2x)2 - 2. 2x . 3 + 32 = 4x2 - 12x + 9

A fatoração do trinômio quadrado perfeito 4x2 - 12x + 9 é (2x - 3)2.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1- Aplique as regras de produtos notáveis estudadas e faça a expansão em cada item:

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )22)

3)

3535)35)

5252)14)

1111)3)

)9)(

22

22

2

2

22

2

+−

−

−−+

+−−

−+−

+

xxiyxh

babagyf

mmexd

xxcab

xa



2- Colocando o fator comum em evidência, fatores os polinômios de acordo com as proprie-dades e regras de fatoração estudadas.

2

2

2

735))

5)34)1010)

cceyyxyd

abacaxab

yxa

+

−+

−

−+

3- Fatore por agrupamento de acorda com as regras estudadas:

yxayaxfaxxaae

baabdyxxyc

cbacabbcybyaycxbxaxa

−+−−+−

+−−++++++

+++++

))

1243)1052)1010)

)

2

4- Fatore os seguintes polinômios, usando a fatoração por diferença de dois quadrados:

22

22

22

2

2

8149)916)

1)100)

81)

pheyxd

nmcab

xa

−

−

−

−

−

5- Fatore cada um dos trinômios quadrados perfeitos abaixo. Cada um deles será transfor-mado no quadrado da soma ou quadrado da diferença.

22

2

2

22

16164)11881)

2510)9124)

xaxadnnc

yybyxyxa

++

+−

++

+−

GABARITO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

)735.())1.()

)5.())34.()).(10)

)2

4)96)

93025)93025)

254)1816)

121)69)

8118))1

4

224

22

2

2

2

2

42

2

cceyxydbaacxabyxa

xiyyxxh

babagyyf

mexxd

xcaab

xxa

+−+

−−+

−

+−

+−

++

−

+−

−

+−

++

)735.())1.()

)5.())34.()).(10)

)2

4)96)

93025)93025)

254)1816)

121)69)

8118))1

4

224

22

2

2

2

2

42

2

cceyxydbaacxabyxa

xiyyxxh

babagyyf

mexxd

xcaab

xxa

+−+

−−+

−

+−

+−

++

−

+−

−

+−

++

)735.())1.()

)5.())34.()).(10)

)2

4)96)

93025)93025)

254)1816)

121)69)

8118))1

4

224

22

2

2

2

2

42

2

cceyxydbaacxabyxa

xiyyxxh

babagyyf

mexxd

xcaab

xxa

+−+

−−+

−

+−

+−

++

−

+−

−

+−

++



Figura 1: gabarito questão 3 (fixação)

2

2

2

2

)42)()19)()5)(

)32)()5

)97).(97)()34).(34)(

)1).(1)()10).(10)(

)9).(9)()4

xadnc

ybyxa

phpheyxyxd

mnmncaab

xxa

+

+

+

+

−+−+

−+−+

−+

2

2

2

2

)42)()19)()5)(

)32)()5

)97).(97)()34).(34)(

)1).(1)()10).(10)(

)9).(9)()4

xadnc

ybyxa

phpheyxyxd

mnmncaab

xxa

+

+

+

+

−+−+

−+−+

−+

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1) O resultado de uma expressão algébrica é a2 – b2. Silvio encontrou como resposta (a – b)2;Cláudio (a + b) (a – b) e Célia (a + b)2 – 2 b2 . Como o professor aceita o desenvolvimento

incompleto da resposta, podemos afirmar que :a) apenas Silvio acertou b) apenas Claudio acertou c) apenas Celia acertou d) apenas os rapazes acertarame) todos acertaram

2) (ESA) Simplificando a expressão algébrica (m+1) (m – 1) + (m+1)2 – 2m , obtemos :a) 2m2

b) 2c) 0d) 2m2 + 2

3) (UFES - adaptada) Simplifique a expressão [102+202+302+...+1002] – [92+192+292+...+992].

4) Calculando 9342872 - 9342862, obtemos:a) 1 b) 2 c) 1868573 d) 1975441 e) 0



5) Em uma prova em que deviam ser dados os resultados do 1º membro um aluno desatento apre-sentou estes cálculos:

aaiv

aiii

aaiiaai

+=+

=+

+=++=+

221

21)

22

)2()

10)5.(2)4)2)( 22

Quantos enganos esse aluno desatento cometeu? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

6- O valor da fração a ² – b ²

a ² – 2 ab b ² quando a = 1 e b = 3, é :

a) -2b) -3c) -4d) -5

7- (CEFET) Com relação às identidades matemáticas

I. a2 - b2 = (a+b)(a-b)II. a2 + 2ab + b2 = (a+b)2

III. (a+b)( a2 – ab + a2) = a3 + b3

IV. (a+b)3 = a3 + b3

podemos afirmar que

a) todas são verdadeiras.b) são verdadeiras l. II e IV.c) são verdadeiras l. II e III.d) são verdadeiras apenas duas dessas identidadese) apenas uma dessas identidades é verdadeira.

8- (Cap-UFRJ) Determine o valor numérico de y = (a+1) (b+1) , sabendo que ab = –6 e a+b =1.

9- (OBM-2006) Efetuando as operações indicadas na expressão 2007 2005

2006 2004

2 2 20062 2

+× +

, obte-

remos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número ?



a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

10) (OBM) Se x+y = 8 e xy = 15, qual é o valor de 2 26x xy y+ + ? a) 64 b) 109 c) 120 d) 124 e) 154

GABARITO

Figura 2: gabarito questão 1 (diversas)

2- A3- 10904- C

Figura 3: gabarito questão 5



6- A



9- D






MAPAS MENTAIS

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