EDO de 2ª ordem LinearMatemática para Economia III

2013.2

EDO de 2ª ordem linearUma equação diferencial de segunda ordem tem a forma

onde f é alguma função dada. A equação (1) é dita linear se a função f tem a forma

Ou seja,

onde p,q e g:(a,b)→IR.

dt

dyytf

dt

y,,

d2

2

(1)

ytqdt

dytptg

dt

dyytf )()()(,,

(2))()()(2

2

tgytqdt

dytp

dt

yd

Um P.V.I é constituido por (2) e uma par de condições

y(t0)=y0 e y’(t0)=y’0

onde y0 e y0’ são números dados.

Uma equação linear de segunda ordem é dita homogênea se a função g(t) é igual a zero para todo t.

EDO de 2ª ordem linear

EDO de 2ª ordem linear homogênea

Então uma EDO 2ª ordem linear homogênea é da forma:

y’’+p(t)y’+q(t)y=0 (3)

Vamos estudar as soluções de (3) com as funções p e q constantes.

Exemplo 1: Resolva a equação y” – y = 0.

Temos neste caso p = 0 e q = - 1.

Isto significa procurar uma função cuja derivada segunda é igual a ela mesma.

EDO de 2ª ordem linear homogênea

Facilmente identificamos que

y1(t) = e t e y2 (t) = e -t servem. Também servem

c1 y1 (t) = c1 e t e c2 y2 (t) = c2 e -t

E mais

y = c1 y1 (t)+c2 y2 (t) = c1 e t + c2 e –t,

para c1 e c2 quaisquer.

Teorema: (Princípio da Superposição) Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial

y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0,

então a combinação linear

c1y1(t) + c2y2(t)

também é solução , quaisquer que sejam os valores das constantes c1 e c2 .

EDO de 2ª ordem linear homogênea

Wronskiano

Vamos verificar as condições para que uma solução da forma

c1y1(t) + c2y2(t)

satisfaça o P.V.I.

y(t0)=y0 e y’(t0)=y’0

(quadro)

O Wronskiano e a independência linear das soluçõesDefinição: Duas funções y1, y2:(a,b)→IR são L. D. se existe uma

constante k tal que

y2(t)=k y1(t). Duas funções y1, y2:(a,b)→IR são L. I. se a condição

c1y1(t) + c2y2(t)=0

implicar que c1=c2=0.

Teorema: Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial

y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0

num intervalo (a,b) e se W[y1,y2](t0)≠0 num ponto do intervalo então y1 e y2 são L. I. sobre (a,b). De outra forma, se y1 e y2 forem L. D. sobre (a,b) então W[y1,y2](t)=0 para todo t em (a,b).

Pode-se concluir que o espaço das soluções das EDO’s de 2ª ordem lineares homogêneas tem dimensão....

EDO de 2ª ordem linear homogênea

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes

Vamos reescrever (3) da seguinte forma:

y’’+p y’+q y=0 (3’)

Candidato a solução: y(t)=eλt. Vamos testar!

Substituindo em (3’) obtemos

λ2 eλt+p λ eλt+q eλt=0 eλt (λ2+p λ+q)=0

Derivada de 2ª ordem

Derivada de 1ª ordem

Derivada de ordem zero (a própria função)

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes

Para que y(t)=eλt seja solução devemos

λ2+p λ+q=0 (4)

que é conhecida como equação característica auxiliar da EDO (3’). Como (4) é uma equação do 2º grau temos três possibilidades para suas raízes

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes

Caso 1: (p2-4q>0) Duas raízes reais distintas: λ1 e λ2.

Candidatos a solução:

Calculando o Wronskiano dessas soluções temos que:

Portanto as soluções y1 e y2 dadas são L.I. e neste caso a solução geral é da forma

Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária

y’’ – 5y’ +6 y = 0.

)(0)(

)(')('

)()()](,[

2112

2121

2121

21

21

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tytytyyW

tt

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