PROBLEMAS DE MISTURAConsideremos um tanque que contém uma solução - mistura de soluto e solvente- tal como sal dissolvido em água . Neste tanque, há tanto um fluxo de entrada como um de saída, e queremos calcular a quantidade x(t) de soluto no tanque no instante t dada a quantidade de soluto é x(0) = x0 no instante t = 0. Suponha que a solução entre no tanque a uma taxa constante de ri litros por segundo e que sua concentração seja de ci gramas por litro de solução. Suponha também que a solução do tanque seja mantida uniformemente misturada e que ela escoa a uma taxa constante de r0 litros por segundo. Para deduzir uma equação diferencial para x(t), estimamos a variação ∆x em x por um curto período de tempo [t,t+∆t]. A quantidade de soluto que flui para o tanque durante ∆t segundos é rici∆t gramas. Para confirmar isto, observe como o cancelamento de dimensões confere nosso cálculo:

(ri litrossegundos )(c i litros

segundos ) (∆ t segundos )

fornece uma quantidade medida em gramas.A quantidade de soluto que escoa para fora do tanque durante o mesmo intervalo de tempo depende da concentração c0(t) no instante t. Mas como se observa na figura abaixo, c0(t) = x(t)/V(t) denota o volume (variável a ser que ri = r0) de solução no tanque no instante t. Então

Entrada (ri , ci)

(r0 , c0) Saída

Quantidade de soluto x(t)Volume V(t)

Concentração c0(t) = x/v

{∆ x=gramasde solutoque entram – gramasde solutoque saem¿ (concentraçãoda soluçãoqueentra)(litrosque entram)∆ t

– (concentração do tanque)(litros que saem)∆ t

¿ ri ci∆ t−quantidade solutono tanque

Volume do tanquer 0∆ t

∆x ≈ r i c i∆ t−x( t)V (t )

r0∆ t

∆ x∆ t≈ ri c i−

x (t)V (t)

r 0

Finalmente, tomamos o limite quando ∆t → 0; se todas as funções envolvidas são contínuas e x(t) é diferenciável, então o erro de aproximação tende a zero, e obtemos a equação diferencial dxdt

=ri ci−r0 c0(1)

na qual ri, ci e r0 são constantes, mas em que c0 denota a concentração variável c0 ( t )= x (t)

V ( t)

de soluto no tanque no instante t. Assim a quantidade x(t) de soluto no tanque satisfaz a equação diferencial dxdt

=ri ci−r 0Vx (2)

Como o volume do tanque é dado por:V (t )=volume inicial+( litrosqueentram – litrosque saem)

¿V 0+(r i−r 0) t

Então a equação (2) pode ser reescrita dxdt

=ri ci−r0

V 0+( ri−r0 ) tx (3)

de modo que a equação (3) (equação linear de primeira ordem) é um modelo matemático que descreve a quantidade x(t) de soluto no tanque em função do tempo.

EXEMPLO 1: Num tanque há 100 litros de salmoura contendo 30 gramas de sal em solução. Água (sem sal) entra no tanque à razão de 6 litros por minuto e a mistura se escoa à razão de 4 litros por minuto, conservando-se a concentraçãoo uniforme por agitaçãoo. Vamos determinar qual a concentração no tanque ao fim de 50 minutos.Solução: O problema pode ser modelado pelo seguinte problema de valor inicial

{dxdt=−4 x100+2 t

x (0 )=30

A equação é uma EDO linear de 1ª ordem e pode ser escrita como dxdt

+4 x100+2t

=0

O fator integrante é μ (t )=e

∫ 4100+2 t

dt=e2 ln (100+2 t )=eln (100+2 t )

2

= (100+2 t)2

Multiplicando-se a EDO por μ(t) obtemosddt

( (100+2 t)2 x )=0

Integrando-se ambos os lados obtem-se (100+2 t )2 x (t)=C

ou seja, x (t)= C

(100+2 t )2

Sabemos que x(0) = 30, entãoC=30.1002=3.105

Substituindo o valor de C calculadox (t)= 3.105

(100+2 t )2

A concentracão c(t) é o quociente da quantidade de sal pelo volume que é igual a V(t)=100+2t. Assim,c (t )= 3.105

(100+2t )3

e após 50 minutosc (50 )= 3.10

5

(200 )3=0,0375 gramas/ litro