Geometria AnalticaO PONTO MDIO DE UM SEGMENTO DE RETAO CLCULO DAS DISTNCIAS ENTRE DOIS PONTOS, UTILIZANDO ASFRMULAS DEDUZIDASDISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS E COORDENADAS DO PONTO MDIOFICHA TCNICAFUMEC VIRTUAL - SETOR DE EDUCAO A DISTNCIAGesto PedaggicaCoordenaoGabrielle Nunes P. ArajoTransposio PedaggicaTmara Santos SoaresProduo de Design MultimdiaCoordenaoRodrigo Tito M. ValadaresDesign MultimdiaPaulo Roberto Rosa JuniorRaphael Gonalves Porto NascimentoInfra-Estrututura e SuporteCoordenaoAnderson Peixoto da SilvaAUTORIA DA DISCIPLINA Prof. Fernando HenriqueAPRESENTAOCaro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)! Iniciaremos neste mdulo o estudo da geometria analtica,aquivocaprenderadeduzirummodelomatemtico,ouseja,uma frmula, que lhe possibilitar calcular a distncia entre dois pontos quaisquer no plano. Voc tambm ir aprender a obter o ponto mdio de um segmento de reta. Espero que voc tenha um timo aprendizado!OBJETIVOS DE APRENDIZAGEMAo final deste mdulo voc ser capaz de:Compreender o clculo das distncias entre dois pontos quaisquer de um plano, utilizando as frmulas deduzidas;Identificar o ponto mdio de um segmento de reta.BELO HORIZONTE - 2013DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS E COORDENADAS DO PONTO MDIOIntroduoOestudodageometriaumassuntoquefascinaosmatemticosdesdeaantiguida-de.provvelqueaprpriamatemticatenhasurgidoimpulsionadapelanecessidade do entendimento de problemas cotidianos, de povos antigos, relacionados geometria. Existemvriosramosdeestudodageometriacomoageometriaprojetiva,geometria descritiva e geometria analtica. AGeometriaAnalticaconsideradapormuitosautorescomosendoummtodode estudodegeometria,eutilizaalgebracomoferramentadeestudo.Naessncia,a Geometria Analtica consiste na transformao de problemas geomtricos em problemas algbricos correspondentes. Para a Geometria Analtica um ponto uma combinao de nmeros reais e uma curva uma equao.Aseguir,vamosiniciarnossosestudosacercadealgunsconceitosimportantespara oestudodageometriaanaltica,taiscomoosEspaosDimensionais;osSistemasde Referncia e o Sistema de Coordenadas Retangulares.Espaos DimensionaisQuando iniciamos um estudo em geometria analtica, para termos a correta interpretao esoluodosproblemas,primeiramente,devemosdefiniremqualespaodimensional esto baseadas nossas informaes. Assim, podemos trabalhar em R, R2, R3 e Rn.OsistemadimensionalRcompostopelaretareal(umadimenso). Uma reta a representao de infinitos pontos que so associados aos nmerosreais,demodoquecadapontocorrespondaaapenasum nmero real. Veja um exemplo:Figura 1O Sistema dimensional R2 o plano (duas dimenses), onde os pontos sorepresentadosporumpardenmerosreaiseasequaesdas curvas tm duas variveis, normalmente utilizamos as variveis x e y. JR3,oquechamamosdeespao(trsdimenses),noqualos pontos so definidos por um terno de nmeros reais e as equaes das curvas tm trs variveis.Muitobem,parafinalizarnossaanliseacercadosEspaos Dimensionaisvejaquepodemostrabalhar,teoricamente,emuma dimensoqualquer,achamadaRn,noentanto,nestemomento nossos estudos se concentraro principalmentena dimenso R2.Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio7Sistemas de Referncia para R2Para utilizar o fantstico poder da geometria analtica no estudo de questes geom-tricas, precisamos antes de mais nada, saber localizar com preciso, os pontos em um plano (R2).Para definir exatamente a posio de um ponto num plano por meio de um par de nmeros reais, ou seja, as coordenadas do ponto, ns precisamos de um sistema de referncia. E o que seria um sistema de referncia?ATENOPois bem, um sistema de referncia composto de um referencial e de uma regra que define como os pontos sero localizados em relao a este referencial. Veja um exemplo na figura 2:xPyFigura 2Existem vrios sistemas de referncia que so regularmente utilizados na geometria anal-tica,comoporexemplooSistemadeCoordenadasRetangulares,chamadotambmde Plano Cartesiano, e o Sistema de Coordenadas Polares.Sistema de Coordenadas Retangulares Sistema de Coordenadas PolaresFigura 3xPy815x raio polarplo eixo polarngulo polarM Figura 4Estes so os sistemas de referncia mais utilizados na geometria analtica, que servem tanto para localizar os pontos em um plano, como tambm para a determinao de equa-es para as curvas planas.Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio8CURVA PLANAEnto aluno (a), j que falamos em curvas planas, voc pode-ria me dizer o que uma Curva Plana? Pois bem, uma curva plana um conjunto de pontos que obedecem a uma determi-nada regra e sua equao uma expresso matemtica que define esta regra. Podemosestudarascurvasplanaspormeiodeequaes descritasemrelaoaumsistemadereferncia.Querum exemplo? Observe a figura.Pois bem, para que um conjunto de pontos seja considerado umareta,elesprecisamestaralinhadoseobedecerauma regra do tipo0 ax by c + + = , que uma equao em relao ao sistema de coordenadas retangulares.IMPORTANTEPerceba que cada curva tem uma equao bem definida em relao a um sistema de refe-rncia, assim, ao mudarmos o sistema de referncia mudamos tambm a equao da curva. s vezes uma curva possui uma equao mais simples, ou mais apropriada, em relao a um determinado sistema de referncia, por isso que existem vrios sistemas, e os mesmos so utilizados de maneira conveniente.O Sistema de Coordenadas RetangularesFigura 6Agora, vamos conversar um pouco sobre o sistema de coordenadas retangulares. Voc se lembra desse sistema de referncia? Tenho certeza que sim. Para refrescar a sua memria, observe a seguinte figura.xyxyFigura 5Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio9Osistemadecoordenadasretangularestemcomoreferencialumparderetas(xey), chamados de eixos coordenados, infinitos e perpendiculares entre si. Para cada eixo defi-nida uma escala, normalmente a mesma para os dois eixos, cuja origem a interseo.Muito bem, aprofundando mais nossos estudos no sistema de coordenadas retangulares, observe a figura 7 e compare-a com figura 6:xyFigura 7Voc viu que os nmeros reais esto representados nestes eixos? isto mesmo, neste sistema os nmeros reais so representados nos eixos x e y, sendo que a distncia entre dois nmeros inteiros uma unidade da escala definida. SAIBA MAIS E por falar em nmeros reais, voc se lembra qual seu concei-todestetermo?Vejaafigura8,oconjuntodosnmeros reais contm os conjuntos dos nmeros racionais (Q, Z, e N) e o conjunto dos nmeros irracionais (I), lembrando que os nmeros irracionais so determinados nmeros que no podem ser representados por meio de frao (ou razo, por exemplo, o nmero 2). J os nmeros racionais so aque-lesquepodemosescreveremformadefrao(razo: pq). O conjunto dos nmeros racionais contm o conjunto dos nme-ros Fracionrios (Q, exemplo: 35), que por sua vez contm o conjunto dos nmeros inteiros (Z, exemplo: -7, que podemos escrever como:71 ), que por sua vez contm o conjunto dos nmeros naturais (N, exemplo: 4, que podemos escrever como: 41).Figura 8Veja agora algumas informaes importantes sobre o sistema de coordenadas retangula-res. Analisea figura 9 para verificar tais informaes, ok?O nmero zero, que est na interseo dos eixos, chamado de origem do sistema. Oeixohorizontaloeixodasabscissasqueso representadas pela letra x. O eixo vertical o eixo das ordenadas, representa-das pela letra y.AbscissasOrdenadasxy Figura 9Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio10Dando continuidade, a figura 9 nos mostra o sistema de coordenadas retangulares como um sistema de referncia de um plano, assim, qualquer ponto pertencente ao plano pode ser perfei-tamente localizado. Esta localizao ser feita medindo-se a distncia orientada de um ponto aos eixos coordenados, lembrando que devemos considerar o sinal negativo dos nmeros. A distncia do ponto ao eixo y ser sua abscissa e a distncia do ponto ao eixo x ser sua ordenada, isto ir conferir ao ponto um par ordenado de nmeros reais do tipo( ) , Pxy . Esta a regra para a localizao de pontos em um plano em relao ao sistema de coorde-nadas retangulares. Veja um exemplo na figura 10, a localizao no plano do ponto P(2,1).P(2,1)xyFigura 10x y x y + x y + + x y +x x +y +y Observe a figura 11, note que, a distncia do ponto em relao a um eixo coordenado o valor absoluto de uma de suas coordenadas, ou seja, se o ponto estiver localizado esquerda do eixo y, sua abscissa ter sinal negativo, bem como sua ordenada ter sinal negativo se ele estiver localizado abaixo do eixo x. Vale destacar que cada ponto do plano ser, ento, identificado por apenas um par ordenado de nmeros reais e, cada par ordenado de nmeros reais representar apenas um ponto do plano. o que chamamos de caracterstica biunvoca do sistema de coordenadas retangulares.Figura 11Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio11VOC SABIAVocsabiaqueemhomenagemaRenDescartes1(1596-1650), cujo nome em Latim era RenatusCartesius, o sistema de coordena-dasretangularesdesenvolvidoporele,tambmdenominadode SistemaCartesianoouPlanoCartesiano?assimqueochamare-mos daqui em diante.1Filsofo e matemtico francs, considerado o pai da Geometria Analtica.Muitobem,parafinalizaresteassuntoduma olhada na figura 12. Veja como so representa-dos os pontos( ) 2,1 A ;( ) 1, 2 B ;( ) 2, 2 C e( ) 2, 3 D no Sistema Cartesiano. Fcil, no mesmo? Agora, voc avanar um pouco mais no estudo daGeometriaAnaltica,vercomosecalculaa distnciaentredoispontosutilizandoalgebra. Est preparado(a)? Ento vamos l!Distncia entre dois pontosComofoiditoanteriormente,aGeometriaAnalticautilizaalgebracomoferramenta. Ento, se quisermos saber qual a menor distncia entre dois pontos do plano teremos que calcular, e no medir com uma rgua. Vamos para tanto, desenvolver uma tcnica, ou frmula, para calcular a distncia entre dois pontos quaisquer de um plano.ATENODevemos utilizar pontos de coordenadas genricas, ou seja, pontos que estaro representan-do qualquer um dos infinitos pontos de um plano. Com isso a tcnica, ou frmula, desenvol-vida para calcular a distncia entre estes pontos genricos tambm servir para calcular a distncia entre dois pontos especficos quaisquer do plano.A(2,1)D(2,3)C(2,2)B(1,2)xyFigura 12Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio12Assim, para calcular a distncia entre dois pontos especficos quaisquer do plano precisaremos, obviamente, do nosso j conhecido Plano Cartesiano, pois j sabemos que, sem um sistema de referncia no possvel localizar pontos num plano por meio de coordenadas e, muito menos, calcular distncias. Para comear, observe a figura 13, ela nos mostra dois pontos de coordenadas genricas, representados em algum lugar do Plano Cartesiano. A seguir, veja como definir uma frmula para calcular a distncia entre estes dois pontos. Faremos isso passo a passo, acompanhe o raciocnio.( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y = + xy r" 2( ) Q y" 1( ) P y'1( ) Px'2( ) Qx1 1( , ) P x y2 1( , ) R x y2 2( , ) Q x yAmenordistnciaentredois pontosocomprimentodo segmento de reta que os une.a.Primeiramente, veja que as projees dos pontos P e Q nos eixos coordenados, nos do os pontos P e Q no eixo x, e P e Q no eixo y.b.Pelo ponto P passa uma reta(r) paralela ao eixo x, onde marcamos o ponto R, que a interseo desta reta com a reta que passa pelos pontos R e Q.c.O tringulo PQR retngulo,pois o segmento PR paralelo ao eixo x e o segmento RQ paralelo ao eixo y.Ento, baseado no teorema de Pitgoras, temos:2 2 2( ) ( ) ( ) dPQ dPR dRQ = +onde:2 1' ' ( ) dPR dP Q x x = = 2 1'' '' ( ) dRQ dPQ y y = = assim teremos:2 2 22 1 2 1( ) ( ) ( ) dPQ x x y y = + e finalmente:( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y = + Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio13IMPORTANTEComo P e Q so pontos genricos, podemos utilizar a frmula apresentada para calcular a distncia entre dois pontos quaisquer do plano, por isso substitumos dPQ por d.Exerccio resolvidoObserve o tringulo ABC (figura 14). A (-7,2)C (1,4) B (3,4)Figura 14Com os dados apresentados, voc consegue verificar se este um tringulo issceles? Claro que sim, basta aplicar a frmula que acabamos de definir. Acompanhe a resoluo.2 22 22 2(3 7) ( 4 2) 100 36 136(1 7) (4 2) 64 4 68(1 3) (4 4) 4 64 68ABACBCddd= + + = + == + + = + == + + = + =Ento, como voc viu AC BCd d = , assim podemos concluir que o tringulo issceles. Viu s como fcil? Ns apenas aplicamos as coordenadas dos pontos frmula Daremos continuidade analisando as coordenadas do Ponto Mdio. A propsito, voc sabe o que o Ponto Mdio?Coordenadas do Ponto MdioPois bem, um segmento de reta definido por dois pontos, que so suas extremidades. Desta forma, o Ponto Mdio de um segmento de reta qualquer, o ponto que o divide em duas partes congruentes, ou seja, de mesma medida.Para determinar as coordenadas de tal ponto, temos que deduzir uma frmula para este fim, utilizando para isso pontos genricos representados no Plano Cartesiano. IsscelesO tringulo issceles aquele que tem dois lados com a mesma medida, ento no nosso exemplo, como os lados AC e BC tm a mesma medida podemos concluir que o tringulo abc issceles.Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio14Veja a figura 15 e acompanhe a explicao.xsry2''( ) Qy"( ) M y1''( ) P y1'( ) P x ' ( ) Mx2'( ) Q x2 2( , ) Q x y2( ,) S x y ( ;) M x y1( ; ) R x y1 1( , ) P x yFigura 15Oponto( , ) Mxy opontomdiodosegmento,eledefinidopelospontos 1 1( , ) Px ye 2 2( , ) Qx y ;As projees dos pontos P, M e Q nos eixos coordenados (x e y) nos do os pontos P, M e Q no eixo x, e P, M e Q no eixo y;Pelo ponto P, traamos uma reta r, paralela ao eixo x, e obtemos o ponto 1( , ) Rxy ;PelopontoM,traamosumaretas,tambmparalelaaoeixox,eobtemosoponto2( , ) Sx y ;Podemosidentificarento,doistringulosretngulosPRMeMSQ,queso congruentes, pois:( )( ) ( )correspondentesPRM M SQ PM MQ M pontomdioR S retos ComoostringulosPRMeMSQsocongruentes,podemosconcluirqueseus respectivos catetos PR e MS tm a mesma medida.O cateto PR tem a mesma medida do segmento PM, que por sua vez mede 1( ) x x . O cateto MS, tem a mesma medida do segmento MQ que por sua vez mede 2( ) x x , ento:1 21 21 21 222x x x xx x x xx x xx xx = + = += ++=ATENO1 22x xx+= equivalente a 1 22y yy+=Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio15Concluindo...A abscissa do ponto mdio de um segmento de reta ser a metade da soma das abscissas das extremidades do segmento, e a ordenada do ponto mdio ser a metade da soma das ordenadas das extremidades. Assim, podemos verificar o ponto mdio atravs da frmula:1 2 1 2,2 2x x y yM+ + | | |\ .Para saber mais!Caro(a)aluno(a),fizumaseleodeconceitosquesoimportantesparaumamelhor compreenso da Geometria Analtica. Ser como uma reviso, pois acredito que voc j tenha estudado tais contedos. Vamos comear relembrando alguns termos da prpria Geometria.GEOMETRIACevianasO que uma Ceviana? Ceviana um segmento de reta, ou semirreta, que liga um vrtice do tringulo ao lado oposto correspondente, ou ao lado do seu prolongamento. So exem-plos de cevianas a Mediana, a Altura e a Bissetriz.Medianadeumtringuloosegmentoderetaqueligaum vrtice deste tringulo ao ponto mdio do lado oposto a este vrtice. As trs medianas de um tringulo so concorrentes e se encontram no centro de massa, ou baricentro do tringulo.Altura um segmento de reta perpendicular a um lado do trin-gulo ou ao seu prolongamento, traado pelo vrtice oposto.O ponto de interseo das trs alturas de um tringulo denomina--se ortocentro.Bissetrizasemi-retaquedivideumnguloemdoisngulos congruentes.Astrsbissetrizesinternasdeumtringulose encontram no centro de uma circunferncia inscrita ao tringu-lo, ou incentro.SAIBA MAIS Voc sabia que a Mediatriz a reta perpendicular a um lado do tringu-lo, traada pelo seu ponto mdio? isto mesmo, as trs mediatrizes de um tringulo se encontram em um nico ponto, o circuncentro, que o centro da circunferncia circunscrita ao tringulo, que passa pelos trs vrtices do tringulo.Figura 19Figura 16Figura 17Figura 18Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio16Frmulas de Geometria PlanaVeja agora as frmulas da Geometria Plana, so frmulas utilizadas para calcular a rea de figuras planas.Figura 20LGEBRAChegou a hora de voc recordar algumas frmulas bastante utilizadas em estudos mate-mticos. Iniciaremos com a Lei dos Expoentes.Na Lei dos Expoentes temos:m n m naa a+= ;( )mm mab ab = ; ( )nm mna a = ; n m n ma a =Assim se a 0:mm nnaaa= ; 01 a =; 1mmaa=Em relao s operaes que envolvam o Zero, temos:Se a 0: 00a = , 01 a = ,0 0a=Para qualquer nmero a: a 0 = 0a = 0Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio17IMPORTANTEA diviso por zero no definida.Relembretambmdealgumasfrmulasmuitoutilizadasemoperaesqueenvolvem fraes,produtosnotveis,potncias,eafrmulaquadrtica,maisconhecidacomoa frmula de Bskara:a.Fraes:a c ad bcb d bd++ = ; a c acb d bd = ; a b a dc d b c= ; a a ab b b= =b.Produtos Notveis:( )( )22 233 2 2 323 3a b a ab ba b a a b ab b+ = + ++ = + + +c.Diferena de Potncias Inteiras Iguais:2 23 3 2 24 4 3 2 2 3( )( )( )( )( )( )a b a b a ba b a b a ab ba b a b a a b ab b = + = + + = + + +d.Frmula Quadrtica (Bskara):Se a 0: 22402b b acax bx c xa + + = =TRIGONOMETRIAVejamos as definies e identidades fundamentais da Trigonometria.Definies e Identidades Fundamentaisxxyyr( ) , P x yFigura 21Seno: 1cosysenr ec= =Cosseno: 1cossecxr= =Tangente: 1cotytgx g= =Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio18( ) ( )( )( )( )2 2 2 2 2 22 22 2; cos coscos 1; sec 1 ; cosec 12 2 cos ; cos 2 cos1 cos 2 1 cos 2cos ;2 2cos coscos coscos cos coscosen sensen tg cotgsen sen sensensen A B senA B AsenBsen A B senA B AsenBA B A B senAsenB = =+ = = + = += = + = =+ = + = + = ( )( )( )s cos cos11cos ; cos2 2cos ; cos2 2A B A B senAsenBtgA tgBtg A BtgAtgBtgA tgBtg A BtgAtgBsen A A A senAsen A A A senA = +++ = =+| | | | = = ||\ . \ .| | | |+ = + = ||\ . \ .Para finalizar, elaborei um exerccio, peo que acompanhe sua resoluo, na qual iremos definir o comprimento das medianas do tringulo em questo:1.A mediana de um tringulo um segmento de reta que une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto. Ache o comprimento das medianas do tringulo cujos vrti-ces so: A(2,3) ; B(3,-3) e C(-1,-1)A(2,3)C(-1,-1) B(3,-3)( ) ' 1,2 A 1' ,12B 5' , 02C AA',BB' e CC' so as medianas do ABCDistncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio19Clculo dos pontos A, B, C Clculo do comprimento das medianas````````3 112(1, 2)3 1222 1 112 2,13 1 2122 3 552 2' , 03 3 202xAAyAxBByBxCCyC = =` = = ) = = | |` |\ .= =)+ = = | |` |\ .= =)` 2 22 2` 2 22 2` 2(1 2) ( 2 3) 1 25 261 53 (1 3) 42 225 89 116 894 4 25 71 (0 1) 12 249 53 11 534 4 2mAAmBBmCC= + = + = | | | |= + + = + ||\ . \ .= + = =| | | |= + + + = + ||\ . \ .= + = =Determinar B, sabendo que M(7,-3) o ponto mdio de AB, dado A(1,2).M(7,-3)B(x,y) A(1,2)1 27 32 21 14 2 613 8(13, 8)x yx yx yB+ += =+ = + = = = Distncia entre Dois Pontos e Coordenadas do Ponto Mdio2021SnteseCaro aluno, neste mdulo voc viu como deduzir as frmulas para o clculo da distncia entre dois pontos, e verificou, tambm, como se obtm o ponto mdio de um segmento de reta. Ao final, fizemos uma breve reviso em conceitos especficos da Geometria, lgebra e Trigonometria. Espero que voc tenha tido sucesso em seu aprendizado, principalmente na aplicao deste conhecimento adquirido na soluo dos exerccios de fixao.BibliografaWINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analtica So Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 2000.EVES, Howard. Introduo Histria da Matemtica Campinas: Editora da Unicamp, 1997.SIMMONS, George F. Clculo com Geometria Analtica So Paulo: Mc Graw-Hill, 1987.JDICE, Edson Duro. Elementos de Geometria Analtica Belo Horizonte: Sistema Pitgoras de Ensino, 1976, 2 edio.