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UNIFACS – Universidade Salvador Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Curso: Engenharias Professores: Equipe GAAL

1a Lista de Exercícios – Vetores – 2013.1

1) Com base na figura coloque Verdadeiro ou Falso:

2) Com base na figura ao lado,

escreva o vetor →x em função de

→u ,

→v e

→w :

3) Verdadeiro ou falso?

a) Se →→

= vu então →→

= vu . b) Se →→

= vu então →→

= vu .

c) Se →→

v

//

u então →→

= vu . d) Se →→

= vu então →→

v

//

u .

e) Se →→→

+= v

u w então →→→

+= vuw . f) Se →→→

+= vuw então →→→

v

e

u, w são paralelos.

g) ⇒=→→

DC

AB

ABCD é paralelogramo. h) →→→

=−= u5u5u5

i) →

v3 e →

− v4 são paralelos e de mesmo sentido.

M

J

I H

E

C

B

G

D

A

F

L a) AB = GH = LJ

b) LM, GH e FA são coplanares.

c) LE, JI e IH são coplanares.

d) BC + CI + IB e MF são coplanares.

e) GM e 2AH são coplanares.

f) FA, FE e FM não são coplanares.

g) FM pode ser escrito como combinação linear de FA, FE

e GM.

h) MG pode ser escrito como combinação linear de GH.

i) F = E + LM

j) H = I + LM

→w

→x

→u

→v

2

4) Dados os vetores )1,3(u −=→

e )2 ,1(v −=→

, determine o vetor →

w tal que

→→→→→

−=+− wu2w31

)vu(4

5) Considere os pontos A(1,2) e B(1, –2) e o vetor →

u= (2, –1)

a) No sistema de coordenadas XOY, represente o vetor →u com origem no ponto A, indicando

o ponto A1 tal que →

u= 1AA→

b) Sabendo que B, A, A1 e C são vértices consecutivos de um paralelogramo, determine o

vértice C. Represente geometricamente o paralelogramo no sistema de coordenadas XOY

6) Dados os pontos )3,2,1(A − , )4,1,2(B − e ) )1,3,1(C −− , determinar o ponto D tal que

0CD

AB

→→→=+

7) Considere os vetores →→→→

+−= k2ji2u ; →→→→

−+= k2j5i5v e →→→

+= j6i3w . Determine:

a) →→→

+− wvu 32

a) As coordenadas do ponto B, onde A = (1, 0, -2) e →

u= AB

→

c) As coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b.

d) O versor de →

b , onde →

b é paralelo a →

u .

8) Determinar os valores de m para que o vetor →

v = (m,2m,2m) seja um versor.

9) Determinar os valores de m para que o vetor →

v= mi + 6j tenha módulo igual a 10.

10) Determinar um vetor paralelo ao vetor →→→→

++= kjiv e que tenha módulo igual a 5.

11) Determinar um vetor de módulo 10 paralelo ao vetor →→→→

−+= k5j2i4v

12) Considere os vetores →→→→

+−= k2ji2u , →→→→

−+= k2j5i5v e →→→

+= j6i3w . Determine:

a) →→

⋅ vu e →→

⋅ wu b) →→ ou

u c) )w,u(

e

)v,u(

→→→→

d) Um vetor não nulo ortogonal a →

v .

e) A projeção de →

u na direção de →

v

f) A projeção de →

u na direção de →

w .

g) A medida algébrica da projeção de →

v na direção de →

u .

3

13) Determinar m para que os vetores →

1v e →

2v sejam ortogonais nos seguintes casos:

a) →

1v = ( m, -2 ,4) e →

2v = (1, -2,-5) b) →

1v = ( 2m - 1, 0 ,3) e →

2v = (0, m+1,0)

c) →

1v = ( 4m, 0 ,1) e →

2v = (0, 2,5)

14) Determinar o vetor →

v , paralelo ao vetor →

u= (2, -1, 3), tal que 42

vu −=⋅→→

.

15) Sabendo que | →

u | = 2, | →

v | = 3 e 1vu −=⋅→→

, calcule:

a) →→→

− u).v3u( c) )u4v).

(

vu(→→→→

−+

b) )v2).

(

uv2(

→→→

− d) )uv).(

vu(

→→→→

−+

16) Calcular →→

+ vu ,→→

− vu , )vu).(vu(→→→→

−+ , sabendo que 4u =→

e 3v =→

e o ângulo entre →

u e →

v é de

60º .

16) Determinar o vetor →

u tal que 2u =→

, o ângulo entre →

u e →

v = (1, -1, 0) é 45º e →

u é

ortogonal a →

w = (1,1,0).

17) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores →

u= (1, -2, 1) e →

v = (-2, 1 m + 1).

18) Calcular os ângulos diretores do vetor →

v = (6, -2, 3).

19) Os ângulos diretores de um vetor →

a são 45º , 60º e 120º e | →

a | = 2. Determinar →

a . 20) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45º , 60º e 90º ? Justificar.

21) Dados os vetores →→→

+= jiu →→→→

+−= kj2iv , determine:

→→

× vu ; b) um vetor unitário ortogonal a →

u e a →

v ; c) área do triângulo ABC, sendo →

u= AB

→

e →

v= AC

→

22) De um triângulo ABC sabemos que | AB

→ | = 2 , | A

C

→ | = 3 e A

B

→. A

C

→ = 33 . Determine a

área desse triângulo.

4

23) Dados A = (1,0,1), B = (-2,0,-3) e C = (1,5,1)

a) Mostre que AC

→⊥ A

B

→. b) Verifique se o triângulo ABC é isósceles.

24) Determine o vetor→

v no R3 tal que 1)ki(v =−⋅→→→

e →→→→

−+=−× k4ji2)0,2,1( v

25) Determine o vetor v no R3 tal que 2)ji(v =−⋅→→→

e )0,0,0()k3i(v =+×→→→

26) Os pontos A = (2,3,0), B = (2,5,0) e C = (0,6,2) são vértices consecutivos de um

paralelogramo. Determine o quarto vértice, a área desse paralelogramo e o sen ( AB

→, AD

→).

27) Calcular a área do triângulo cujos vértices são os pontos P = (4,-3,1), Q = (6,-4,7), R = (1,2,2) e verifique se esse triângulo é equilátero. 28) Determine o centro e o raio da esfera com diâmetro nos pontos P = (1,1,0) e Q = (0,0,1). 29) Nos itens abaixo, os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero. Verifique se esses pontos são vértices de um retângulo.

a) A = (1,2,1) , B = (3,3,-1) , C = (4,6,0) , D = (2,5,2) .

b) A = (3,-1,2) , B = (5,3,4) , C = (6,2,5) , D = (4,-2,3) .

30) Nos itens abaixo os pontos A, B C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero. Verifique se esses pontos são vértices de um paralelogramo.

a) A = (3,2,2) , B = (5,6,3) , C = (6,5,5) , D = (4,1,4) .

b) A = (2,-3,1) , B = (6,5,5) , C = (6,2,5) , D = (4,-2,3).

31) Determine o vetor v sabendo que 3v =→

e que seus ângulos diretores são agudos e

congruentes.

32) De um triângulo ABC, sabemos que A(1,0,2) , B(3,1,1) e AC→ o = ( )2/2,0,2/2 . Determine a

altura do triângulo ABC em relação à base AC. 33) Sabendo que A = (0,0,0), B = (2,1,-2) e C = (0,0,5) são vértices de um triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BÂC. Respostas: 1)

2) →x =

→w −

→u −

→v

a b c d e f g h i j

F V F V V V F F F V

5

3 )

4) 15 15

,2 2

−

; 5) a) A1(3,1) b) C(3, - 3) ; 6) D(-2, -6, 8)

7) a) (8,11,6); b) (3,-1,0); c) (2, -1/2, -1); d) (2/3, -1/3, 2/3) ou (-2/3, 1/3, -2/3)

8) m = ± 1/3 ; 9) m = ± 8; 10) ( ±5√3 / 3, ± 5√3 / 3, ± 5√3 / 3); 11) ± ( 8√5 / 3, 4√5 / 3, -10√5 / 3)

12) a) u . v = 1 e u . w = 0 b) | u | = 3 e u o = (2/3,-1/3,2/3); c) (u , v) = arccos (√6/54) e (u , w)

= 900 ; d) (x, y, (5x+5y) / 2 ) ; x,y Є R* ; e) ( 5/54, 5/54, -1/27); f) (0,0,0); g) 1/3;

13) a) m = 16 b) qualquer m c) não existe m; 14) (-6,3,-9); 15) a) 7; b) 38; c) -4; d) 5

10) 16) 37

, 13

e 7; 17) 0 ou – 18; 18) α = arc cos (6/7) ≅ 31º β = arc cos (-2/7) ≅ 107º

γ = arc cos (3/7) ≅ 65º; 19) ar

= ( 2 , 1, -1);

20) Não, pois cos2 45 + cos2 60 + cos2 90 ≠ 1; 21) a) )3,1,1( −− ; b )3,1,1(11

1−− ; c)

211 ;

22) 3/2 u.a. 23) a) AC.AB=0 b) O triângulo é isósceles, pois |AC| = |AB|; 24) (2,0,1); 25) (2,0,6);

26) D = (0,4,2) A = 4√2 u.a. e sen (AB, AD) = 2√2 / 3; 27) aproximadamente 18,8 u.a. O

triângulo não é equilátero;

28) centro: M = (1/2,1/2,1/2) raio = 23

; 29) a) não é retângulo; b) é retângulo; 30) a) é

paralelogramo; c) não é paralelogramo; 31) )1,1,1(v =→

; 32) 222h= ; 33) t (2/3,1/3,1/3) , t Є R*

a b c d e f g h i

V F F V F V F V F