Introdução às representações de grupos finitos, IIIo Colóquio de

Fábio Xavier Penna

Introdução às representações de grupos

�nitos

IIIo Colóquio de Matemática da Região

Sul

Florianópolis, SC

2014

Fábio Xavier Penna

Introdução às representações de grupos �nitos

IIIo Colóquio de Matemática da Região Sul

Minicurso apresentado no IIIo

Colóquio de Matemática da Re-gião Sul, realizado na Universi-dade Federal de Santa Catarina,em maio de 2014.

Florianópolis, SC

2014

Resumo

Este minicurso objetiva apresentar ao aluno de graduação uma

introdução acessível ao estudo da Teoria de Representações. Para

isto, o primeiro capítulo traz de�niçoes básicas, o segundo e o

terceiro capítulos apresentam a teoria de caracteres desenvolvida

por Frobenius no início do século XX e no último capítulo en-

contramos os caracteres das ações de grupos de permutações em

sólidos de Platão.

Palavras-chaves: representações, caracteres, sólidos de Platão.

Lista de ilustrações

Figura 1 � Ação dos elementos (12) e (123), respectiva-

mente, nos vértices do triângulo equilátero. . 15

Figura 2 � Ação dos elementos (123), (132) e (12)(34),

respectivamente, nos vértices do tetraedro. . 53

Figura 3 � Ação dos elementos (12), (123), (1234) e (12)(34),

respectivamente, nas diagonais principais do

cubo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Lista de tabelas

Tabela 1 � Caracteres irredutíveis de Z3 . . . . . . . . . 46

Tabela 2 � Caracteres irredutíveis de S3 . . . . . . . . . 47

Tabela 3 � Caracteres irredutíveis de A4 . . . . . . . . . 48

Tabela 4 � Caracteres irredutíveis de S4 . . . . . . . . . 49

Tabela 5 � Caracteres irredutíveis de A5 . . . . . . . . . 49

Tabela 6 � Caracter da ação de A4 no tetraedro . . . . . 53

Tabela 7 � Caracter da ação de S4 no cubo . . . . . . . 55

Tabela 8 � Caracter da ação de A5 em {1, 2, 3, 4, 5} . . . 57

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 REPRESENTAÇÕES DE GRUPOS . . . . . 11

1.1 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Subrepresentações . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Representações irredutíveis . . . . . . . . . . 18

1.4 Homomor�smo de representações . . . . . . 21

1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 CARACTERES E ORTOGONALIDADE . . . 25

2.1 Caracter de uma representação . . . . . . . . 25

2.2 Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Representações unitárias . . . . . . . . . . . 31

2.4 Ortogonalidade de Caracteres . . . . . . . . 32

2.5 Decomposição da representação regular . . . 38

2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 OS CARACTERES IRREDUTÍVEIS DE UM

GRUPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1 Funções de classe . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 O espaço gerado pelos caracteres irredutíveis 42

3.3 Tabelas de caracteres irredutíveis . . . . . . 45

3.3.1 Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.2 S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.3 A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.4 S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.5 A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 REPRESENTAÇÕES E SÓLIDOS DE PLA-

TÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1 Representações por permutações e pontos

�xos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Simetrias em sólidos de Platão . . . . . . . . 52

4.2.1 Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.2 Cubo e octaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.3 Icosaedro e dodecaedro . . . . . . . . . . . . . 55

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9

Introdução

Considerando os propósitos deste minicurso, a Teoria

de Representações pode ser de�nida como o estudo das ações de

um grupo em um espaço vetorial, ou seja, a caracterização das

formas como um grupo pode agir num espaço vetorial e dos efei-

tos dessas ações. Apesar da de�nição simples, a teoria é rica em

resultados e tanto estes como as técnicas empregadas em suas

demonstrações são muito usados em várias áreas da matemática,

sendo a mais conhecida Álgebras de Lie, e mesmo na química e na

física atuais. Este minicurso pretende ser uma breve introdução

à teoria e por esta razão restringe-se a abordar representações de

grupos �nitos em espaços vetoriais de dimensão �nita. Contudo,

como dito por Fulton e Harris em [4], �muitas ideias, conceitos

e construções que apresentaremos [para grupos �nitos], são apli-

cados no estudo de grupos de Lie e álgebras de Lie�. Outrossim,

este minicurso não tem apenas caráter didático e como exem-

plo de aplicação da teoria de representações para grupos �nitos

descrevemos as ações de grupos de simetria em sólidos de Pla-

tão. Portanto este texto introdutório à Teoria de Representações

também exempli�ca como a teoria pode ser aplicada em outras

áreas da matemática.

O minicurso é voltado para alunos de graduação e suas

notas seguem a estrutura proposta por Serre em [?], com pré-

requisitos modestos: álgebra linear e teoria básica de grupos. O

primeiro capítulo apresenta de�nições básicas da teoria de re-

presentações. O segundo descreve, de forma sucinta, a teoria de

10 Introdução

caracteres desenvolvida por Frobenius no início do século XX e

contém, dentre os resultados apresentados, o importante Lema

de Schur. O terceiro capítulo usa a teoria de caracteres para

determinar o número de representações irredutíveis de uma re-

presentação. No último capítulo estudamos ações de grupos de

permutações em sólidos de Platão e encontramos os caracteres

destas ações. O texto é permeado de exemplos e exercícios que

convidam o leitor a participar da construção da teoria e tam-

bém o auxiliam na compreensão da mesma. Além de apresentar

a teoria de representações de grupos �nitos de forma simples

e acessível ao aluno de graduação, o minicurso visa despertar

no estudante o gosto pela teoria e o desejo de continuar o seu

estudo. Tendo em vista sua utilidade em áreas diversas da ma-

temática como Teoria dos Números, Geometria Algébrica, Pro-

babilidade e Análise Harmônica, além da já citada Álgebras de

Lie, um curso de introdução à Teoria de Representações faz-se

importante mesmo para estudantes que não sigam nesta linha

de pesquisa matemática.

Gostaria de agradecer ao comitê organizador do 3o Co-

lóquio de Matemática da Região Sul a oportunidade de ministrar

este minicurso e aos diversos orgãos �nanciadores que viabiliza-

ram este colóquio. Parabenizo também a Sociedade Brasileira de

Matemática pela realização dos colóquios regionais, promovendo

o ensino e a pesquisa em matemática por todo o Brasil.

Estas notas estão em fase de correção e aperfeiçoamento.

Elas podem conter desde falhas tipográ�cas a erros básicos de

conteúdo. Desta forma, correções e sugestões são muito bem

vindas e devem ser enviadas para [email protected] ou fa-

[email protected].

11

1 Representações de grupos

1.1 Representações

A teoria de representações busca caracterizar as formas

como um grupo pode agir em um espaço vetorial e os efeitos

dessas ações. Neste texto, V denotará um espaço vetorial de

dimensão �nita sobre o corpo dos números complexos C e a di-

mensão de V será escrita dim(V ). Chamaremos de GL(V ) o

conjunto formado pelos isomor�smos de V em V . Um elemento

a de GL(V ) é um operador linear de V que possui inversa a−1.

Recorde que um grupo é um conjunto não vazio G mu-

nido de duas funções

G×G −→ G

(s, t) 7−→ ste

G −→ G

s 7−→ s−1

que satisfazem os seguintes axiomas:

1. (rs)t = r(st), para todo r, s e t em G;

2. existe e ∈ G chamado identidade tal que es = se = s para

todo s ∈ G;

3. ss−1 = s−1s = e para todo s ∈ G.

O conjunto GL(V ) com as operações de composição e

inversão de operadores é um grupo. A identidade de GL(V ) é a

transformação linear identidade IdV . No que se segue, G é um

grupo �nito com ordem |G|.

12 Capítulo 1. Representações de grupos

De�nição 1.1 Seja G um grupo �nito. Uma representação de

G em V é um homomor�smo

ρ : G −→ GL(V ).

Em outras palavras, associamos a cada elemento s ∈ G um ele-

mento ρs ∈ GL(V ) que é um operador linear invertível

ρs : V −→ V.

Além disso, se s e t são elementos quaisquer de G, então

ρsρt = ρst. (1.1)

Dado o homomor�smo ρ, o espaço vetorial V é chamado

uma representação do grupo G. A dimensão de V é chamada de

grau da representação.

Exemplo 1.1 Faça V = C. Neste caso temos que GL(V ) =

GL(C) = C∗. Dado um grupo G, de�na ρ : G −→ C∗ por ρs = 1

para todo s ∈ G. Esta representação é chamada representação

unitária de G. Todo grupo possui uma representação unitária.

Exemplo 1.2 Faça G := Sn o grupo das permutações em um

conjunto com n elementos. De�na σ : Sn −→ C∗ por

σs =

{1, se s é permutação par;

−1, se s é permutação ímpar.

Este homomor�smo é uma representação, chamada a represen-

tação sinal de Sn.

Exemplo 1.3 Faça G := Z3 = {0, 1, 2}. De�na ρ : Z3 −→ C∗

por ρ(k) := ωk, onde ω = e2πi/3. Este homomor�smo é uma

representação de grau 1 de Z3.

1.1. Representações 13

Exemplo 1.4 Dado um grupo G, seja g := |G| a ordem de G

e V um espaço vetorial de dimensão g. Tome {es}s∈G uma base

de V indexada pelos elementos de G. Para cada t ∈ G, seja

%t : V −→ V o operador linear de�nido por %t(es) = ets. O

homomor�smo % : G −→ GL(V ) de�nido desta forma é uma

representação chamada representação regular de G. O grau

da representação regular é a ordem de G.

Seja V espaço vetorial complexo e faça n := dim(V ).

Denote por GL(n) o grupo das matrizes invertíveis de ordem n

com coe�cientes complexos:

GL(n) := {(aij)n×n|det(aij) 6= 0}.

Se V é um espaço vetorial de dimensão n, existe um isomor�smo

natural de GL(V ) em GL(n). De fato, �xada uma base β de V ,

seja [T ]β a representação do operador T : V −→ V na forma

matricial com respeito à base β. O mapa

GL(V ) −→ GL(n)

T 7−→ [T ]β

é um isomor�smo de grupos.

Neste caso, uma representação de G é o mesmo que um

homomor�smo de grupos

ρ : G −→ GL(n)

onde, para cada s ∈ G,

ρs =

a11(s) a12(s) · · · a1n(s)

a21(s) a22(s) · · · a2n(s)...

.... . .

...

an1(s) an2(s) · · · ann(s)


onde aij : G −→ C, para cada 1 ≤ i, j ≤ n.

Exercício 1.1 Mostre que, neste caso, a condição (1.1) da De-

�nição 1.1 torna-se

aij(st) =

n∑k=1

aik(s)akj(t).

Como este texto trata apenas de representações de gru-

pos �nitos em espaços vetoriais de dimensão �nita, usaremos

ambas as de�nições de representação apresentadas, de acordo

com a conveniência.

Exemplo 1.5 Seja S3 o grupo das permutações em um conjunto

com três elementos. Sabemos que S3 é gerado pelas permutações

(12) e (123). Portanto, a �m de de�nir um homomor�smo de

grupos ρ : S3 −→ GL(2), basta de�nir ρ nos elementos (12) e

(123). De�na

ρ(12) =

(1 0

0 −1

)e ρ(123) =

(ω 0

0 ω−1

),

onde ω = e2πi/3. Desta forma, ρ : S3 −→ GL(2) é uma repre-

sentação de S3 de grau 2. A Figura 1 mostra a interpretação

geométrica desta ação. Ela é a permutação dos vértices de um

triângulo equilátero.

Observação 1.2 Como já foi dito, representações de grupos es-

tão relacionadas a ações de grupos em espaços vetoriais. De fato,

1.1. Representações 15

Figura 1 � Ação dos elementos (12) e (123), respectivamente, nosvértices do triângulo equilátero.

dada a representação ρ : G −→ GL(V ) podemos de�nir a se-

guinte ação de G em V :

µ : G× V −→ V

(s, v) 7−→ ρs(v).

Por outro lado, dada uma ação ϕ : G×V −→ V de um grupo G

no espaço vetorial V , podemos de�nir uma representação de G

em V . Observe que �xado s ∈ G o mapa

ϕ(s, ·) : V −→ V

é um operador linear. Então basta de�nir

ψ : G −→ GL(V )

s 7−→ ϕ(s, ·)

e teremos uma representação de G em V .


1.2 Subrepresentações

Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação de G e W um

subespaço vetorial de V . Suponha que

ρs(W ) ⊆W

para todo s em G. Então a restrição de ρs a W

ρs|W :W −→W

é um isomor�smo de W e podemos de�nir a representação

ρ|W : G −→ GL(W )

s 7−→ ρs|W.

Desta forma, W é chamada uma subrepresentação de V .

A Observação 1.2 mostra que uma representação

ρ : G −→ GL(V )

está associada a uma ação de G em V e vice-versa. Se W é uma

subrepresentação de V , então W é um subespaço de V estável

(ou invariante) pela ação de G. De fato, vimos que a ação de G

em V é de�nida por

µ : G× V −→ V

(s, v) 7−→ ρs(v).

Se W é uma subrepresentação de V , então

µ(s,W ) ⊆W

para todo s ∈ G, o que mostra que W é estável por G.

1.2. Subrepresentações 17

Exemplo 1.6 Recorde % : G −→ GL(V ) a representação regu-

lar de um grupo G apresentada no Exemplo 1.4. Considere o ele-

mentos w ∈ V de�nido por w =∑s∈G

es. Observe que %s(w) = w

para todo s ∈ G. Tome W ⊂ V o subespaço vetorial gerado

por w. Então ρ|W : G −→ GL(W ) é uma subrepresentação da

representação regular de G.

Veremos agora como obter uma representação de G a

partir da soma direta de duas representações de G. Sejam

ρ : G −→ GL(V ) e ϕ : G −→ GL(W )

representações de G nos espaços vetoriais complexos V e W .

Para cada s ∈ G, a função

ρs ⊕ ϕs : V ⊕W −→ V ⊕W(v, w) 7−→ (ρs(v), ϕs(w))

é uma transformação linear invertível de V ⊕ W em V ⊕ W .

Portanto podemos de�nir o mapa

ρ⊕ ϕ : G −→ GL(V ⊕W )

s 7−→ ρs ⊕ ϕs

e V ⊕W é uma representação deG. Se dim(V ) = m, dim(W ) = n

e as representações acima são dadas na forma matricial

ρ : G −→ GL(m) e ϕ : G −→ GL(n),

então ρ⊕ ϕ : G −→ GL(m+ n) é dada na forma matricial por

(ρ⊕ ϕ)s =

(ρs 0

0 ϕs

).


Exercício 1.2 Sejam V1, . . . , Vn representações de G. De�na a

representação V1 ⊕ · · · ⊕ Vn de forma similar ao que foi feito

acima. Mostre que a representação de�nida pela soma direta, na

forma matricial, será uma matriz diagonal em blocos.

Exercício 1.3 Sejam V eW representações do grupo G. Mostre

que χV⊕W = χV + χW .

1.3 Representações irredutíveis

Sejam ρ : G −→ GL(V ) uma representação deG,W ⊂ Vuma subrepresentação e P : V −→ W uma projeção. Para cada

s ∈ G, a composição

ρs ◦ P ◦ ρ−1s : V −→ V

é um operador linear em V . Escreveremos ρsPρ−1s para simpli-

�car a notação. Como G é grupo �nito, podemos considerar a

soma ∑s∈G

ρsPρ−1s

e continuamos com uma transformação linear de V em V .

Lema 1.3 Sejam V uma representação de G, W ⊆ V uma su-

brepresentação e P : V −→W uma projeção de V em W . Então

o mapa P0 : V −→ V de�nido por

P0 :=1

|G|∑s∈G

ρsPρ−1s . (1.2)

é uma projeção em W .

1.3. Representações irredutíveis 19

Demonstração: Como P é uma projeção, temos que P |W =

IdW e a imagem de P é W . Além disso, W é invariante pela

ação de G. Logo a imagem de P0 é W e P0|W = IdW . Resta

mostrar que P 20 = P0. Para isto, observe que

P 20 =

1

|G|∑s∈G

ρsP0ρ−1s

=1

|G|∑s∈G

ρs

(1

|G|∑t∈G

ρtPρ−1t

)ρ−1s

=1

|G|2∑s,t∈G

ρstPρ−1st

=1

|G|2∑s,t∈Gr=st

ρrPρ−1r

=1

|G|2∑r∈G|G|ρrPρ−1r = P0

Isto conclui a demonstração do Lema.�

Proposição 1.4 Sejam V uma representação de G e W uma

subrepresentação de V . Então existe uma subrepresentação W⊥

de V complementar de W , isto é, V =W ⊕W⊥.

Demonstração: Tome uma projeção P : V −→ W . Pelo Lema

1.3, o mapa P0 : V −→ W , de�nido por (1.2), é uma projeção.

Faça W⊥ := Núcleo(P0). Temos que V =W ⊕W⊥. Além disso,

observe que

ρsP0ρ−1s = P0

para todo s ∈ G. Logo, se v ∈W⊥, temos que P0(v) = 0 e segue

que

P0ρs(v) = ρsP0(v) = 0


para todo s ∈ G. Isto mostra que se v ∈W⊥, então ρs(v) ∈W⊥

para todo s ∈ G. Concluímos que W⊥ é subrepresentação de

V .�

Segue do Teorema 1.4 que, se V é uma representação

e W ⊆ V é uma subrepresentação, então V = W ⊕ W⊥. Se

as únicas subrepresentações de V são 0 e o próprio V , então a

decomposição obtida é a trivial V = 0 ⊕ V e dizemos que V é

irredutível.

De�nição 1.5 Seja V uma representação de G. Dizemos que

V é irredutível se V não é o espaço vetorial nulo e se as únicas

subrepresentações de V são 0 e V . Uma representação que não

é irredutível é dita redutível.

O seguinte teorema mostra que podemos encontrar qual-

quer representação de G a partir das representações irredutíveis

de G.

Teorema 1.6 Seja V uma representação de um grupo �nito G.

Então V é a soma direta de representações irredutíveis de G.

Demonstração: Faremos indução na dimensão de V . Se dim(V ) =

1, então V é claramente irredutível. Suponha dim(V ) ≥ 2. Se V

é irredutível, então o Teorema está provado. Se V é redutível,

então existe W ⊂ V com W e W⊥ subrepresentações de V ,

dim(W ) < dim(V ) e dim(W⊥) < dim(V ). Segue da Proposi-

ção 1.4 que V = W ⊕W⊥. Pela hipótese de indução, W e W⊥

são somas diretas de representações irredutíveis. Concluímos V

é soma direta de representações irredutíveis.�

1.4. Homomor�smo de representações 21

Observação 1.7 Uma pergunta natural é se a decomposição

dada pelo Teorema 1.6 é ùnica. Como resposta a esta questão,

considere a representação ρ : G −→ GL(V ), com dim(V ) > 1,

onde ρs = IdV para todo s ∈ G. Então V =W1 ⊕ · · · ⊕Wdim(V ),

onde cada Wi é um subespaço de dimensão 1, é uma decomposi-

ção de V em subespaços invariantes. Existem in�nitas maneiras

de representar V como soma direta de subespaços unidimensi-

onais, portanto a decomposição não é única. No entanto, neste

exemplo, o número de representações irredutíveis que Wi's é in-

variante. De fato, veremos que esta propriedade vale em geral,

ou seja, o número de representações irredutíveis de uma repre-

sentação V não depende da decomposição.

O Teorema 1.6 a�rma que a �m de se conhecer as repre-

sentações de determinado grupo, basta conhecer suas represen-

tações irredutíveis. Desta forma, um dos problemas centrais na

teoria de representações é classi�car as representações irredutí-

veis de um determinado grupo.

1.4 Homomor�smo de representações

Agora que já conhecemos o objeto de estudo deste mi-

nicurso, a saber, as representações de grupos �nitos, é natural

de�nir os mor�smos entre estes objetos.

De�nição 1.8 Sejam ρ : G −→ GL(V )e φ : G −→ GL(W )

duas representações de G. Um homomor�smo de representações

é uma transformação linear ψ : V −→W tal que

ψ ◦ ρs = φs ◦ ψ


para todo s ∈ G. Isto é equivalente a φ−1s ◦ψ ◦ ρs = ψ ou a dizer

que o diagrama

Vψ−→ W

ρs ↓ ↓ φs

Vψ−→ W

comuta para todo s em G.

Se ψ satisfaz a De�nição 1.8 e é um isomor�smo de espa-

ços vetoriais, dizemos que ψ é um isomor�smo de representações

e que ρ e φ são representações isomorfas.

1.5 Exercícios

1. SejaX um conjunto �nito e G um grupo agindo emX. Seja

V um espaço vetorial com uma base {ex}x∈X indexada

pelos elementos deX. Para cada s ∈ G de�na ρs : V −→ V

por ρs(ex) = esx.

a) Mostre que, �xado s ∈ G, o mapa ρs está em GL(V ).

b) Mostre que a função ρ : G −→ GL(V ) de�nida por

s 7−→ ρs é uma representação de G. Esta represen-

tação é chamada representação por permutações

associada a X.

2. Sejam φ : G −→ H um homomor�smo de grupos e ρ :

H −→ GL(V ) uma representação de H.

a) Mostre que a função composta ρ ◦ φ : G −→ GL(V ) é

uma representação de G.

1.5. Exercícios 23

b) Suponha que φ seja sobrejetivo. Mostre que, se V é

uma representação irredutível de H, então

ρ ◦ φ : G −→ GL(V )

será uma representação irredutível de G.

3. Mostre que se V eW são representações de G, então ambas

são subrepresentações da representação V ⊕W .

4. Sejam V e W representações de G e T : V −→ W um

homomor�smo de representações.

a) Mostre que o núcleo de T é uma subrepresentação de

V .

b) Mostre que a imagem de T é uma subrepresentação

de W .

25

2 Caracteres e ortogonalidade

2.1 Caracter de uma representação

Seja V um espaço vetorial de dimensão n e β uma base

de V . Dado um operador linear T : V −→ V , suponha que a

matriz que representa T na base β é [T ]β = (aij)n×n. O traço

de T é

Tr(T ) :=n∑k=1

akk.

Exercício 2.1 Mostre que o traço de um operador linear T : V −→ V

não depende da base de V . Conclua que o traço de T é a soma

dos autovalores de T com multiplicidades.

Exercício 2.2 Dados dois operadores T : V −→ V e S : V −→ V ,

mostre que Tr(TS) =Tr(ST ).

De�nição 2.1 Seja ρ : G −→ GL(V ) a representação de um

grupo �nito G em V . O caracter da representação V é a função

χV : G −→ C de�nida por

χV (s) := Tr(ρs).

Caso esteja claro, pelo contexto, que o caracter χV está

associado à representação V , usaremos a notação χ. O caracter

de uma representação irredutível será chamado caracter irredu-

tível. Veremos que esta função caracteriza a representação V.

26 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade

No que se segue, se z = a+ bi é um número complexo,

denotaremos o seu conjugado por z = a− bi.

Proposição 2.2 Seja V uma representação de grau n e χ seu

caracter. Então:

1. χ(1) = n;

2. χ(s−1) = χ(s) para todo s ∈ G;

3. χ(tst−1) = χ(s) para todo s, t ∈ G.

Demonstração:

1. Basta observar que ρ(1) = IdV . Como a dimensão de V é

n, obtemos que χ(1) = Tr(IdV ) = n.

2. Fixe s ∈ G. Sejam λ1, . . . , λn os autovalores de ρs. Como G

é �nito, existe k ∈ Z tal que sk = e. Logo ρks = ρsk = ρe =

IdV . Portanto |λi|k = 1 para i = 1, . . . , n e concluímos que

λiλi = 1. Concluímos que

χ(s) = Tr(ρs) =n∑i=1

λi = Tr(ρ−1s ) = Tr(ρs−1) = χ(s−1).

3. Usaremos a propriedade da função traço descrita no Exer-

cício 2.2:

χ(tst−1) = Tr(ρtst−1) = Tr(ρ−1t ρtρs) = Tr(ρs) = χ(s),

o que conclui a demonstração.�

Considere a ação de G em G por conjugação

G×G −→ G

(t, s) 7−→ tst−1

2.1. Caracter de uma representação 27

A órbita de um elemento s ∈ G é o conjunto

[s] = {tst−1|t ∈ G}

chamado de classe de conjugação de s. Temos que, dados s1, s2 ∈ G,se [s1] ∩ [s2] 6= ∅, então [s1] = [s2].

O item (3) da Proposição 2.2 a�rma que o caracter de

uma representação é constante em classes de conjugação. Fun-

ções que satisfazem esta propriedade são chamadas funções de

classe e terão um importante papel no Capítulo 3.

Exemplo 2.1 Seja ρ : G −→ C∗ uma representação de grau 1

de G. Neste caso, o caracter da representação coincide com a

representação, ou seja, χ = ρ.

Exemplo 2.2 Recorde a representação ρ : S3 −→ GL(2) dada

no Exemplo 1.5. No grupo S3 temos as três classes de conjugação

[e] = {e}[(12)] = {(12), (13), (23)}[(123)] = {(123), (132)}.

Calculando o caracter explicitamente encontramos χ(e) = 2,

χ((12)) = Tr

(0 1

1 0

)= 0 e χ((123)) = Tr

(ω 0

0 ω−1

)= −1

onde ω = e2πi/3.


2.2 Lema de Schur

Recorde da Seção 1.4 que um homomor�smo entre duas

representações de G é uma transformação linear que comuta com

a ação de G. O seguinte lema é um dos principais resultados da

Teoria de Representações.

Lema 2.3 (Schur)Sejam V1 e V2 duas representações de G e

T : V1 −→ V2 um homomor�smo de representações não nulo.

1. Se V1 é irredutível, então T é injetivo.

2. Se V2 é irredutível, então T é sobrejetivo.

Demonstração:

1. Vimos no Exercício 4a que o Núcleo(T ) ⊆ V1 é uma su-

brepresentação de V1. Como V1 é irredutível, temos que

Núcleo(T ) = 0 ou Núcleo(T ) = V1. Porém, T é um homo-

mor�smo de representações não nulo. Então Núcleo(T ) = 0

e concluímos que T é injetivo.

2. Pelo Exercício 4b a Imagem(T ) ⊆ V2 é uma subrepresenta-

ção de V2. Como V2 é irredutível, segue que Imagem(T ) = 0

ou Imagem(T ) = V2. Porém, T é um homomor�smo de re-

presentações não nulo. Concluímos que Imagem(T ) = V2 e

portanto T é sobrejetivo.�

Teorema 2.4 Seja V uma representação irredutível de G e T : V −→ V

um homomor�smo de representações. Então existe λ ∈ C tal que

T = λIdV .

2.2. Lema de Schur 29

Demonstração: Como V é espaço vetorial complexo, podemos

tomar um autovalor λ de T . De�na T ′ := T −λIdV . Observe queT ′ é homomor�smo de representações. Se v ∈ V é autovetor de

T associado a λ, então

T ′(v) = T (v)− λv = 0.

Logo o núcleo de T ′ é não trivial. Segue do Lema 2.3 que T ′ = 0

e concluímos que T = λIdV .�

Com este teorema conseguimos caracterizar todas as re-

presentações irredutíveis de um grupo abeliano.

Corolário 2.5 Seja G um grupo abeliano. Então todas as re-

presentações irredutíveis de G têm grau 1.

Demonstração: Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação ir-

redutível de G. Fixe s ∈ G. Como G é abeliano, temos que

ρsρt = ρst = ρts = ρtρs,

para todo t ∈ G. Logo, pelo Teorema 2.4, segue que ρs = λsIdV .

Como isto é válido para todo s ∈ G, obtemos que ρs é um mútiplo

da identidade para todo s ∈ G. Portanto todos os subespaços de

dimensão 1 de V são invariantes por ρs, para todo s ∈ G. Como

V é irredutível e não nulo, concluímos que dim(V ) = 1.�

Dadas duas representações

ρ1 : G −→ GL(V1) e ρ2 : G −→ GL(V2)

e uma transformação linear T : V1 −→ V2, podemos de�nir T0 :

V1 −→ V2 por

T0 =1

|G|∑s∈G

(ρ2s)−1Tρ1s.


A�rmamos que T0 é um homomor�smo de representações. De

fato, para todo t ∈ G,

(ρ2t )−1T0ρ

1t =

∑s∈G

(ρ2t )−1(ρ2s)

−1Tρ1sρ1t =

∑s∈G

(ρ2st)−1Tρ1st = T0

de onde temos que T0ρ1s = ρ2sT0. Observe que T0 é um homo-

mor�smo de representações mesmo que T não seja. O seguinte

resultado, que é uma consequência do Teorema 2.4, será usado

na Seção 2.4.

Corolário 2.6 Sejam V1 e V2 representações irredutíveis de G

e T : V1 −→ V2 uma transformação linear. Faça

T0 :=1

|G|∑s∈G

(ρ2s)−1Tρ1s. (2.1)

1. Se ρ1 não é isomorfa a ρ2, então T0 = 0.

2. Se V1 = V2 e ρ1 = ρ2, então T0 = λIdV1

onde λ =Tr(T )

dim(V1).

Demonstração: Já sabemos que T0 é um homomor�smo de re-

presentações. No caso 1, temos que T0 = 0. Já no caso 2 obtemos

T0 = λIdV1de onde segue que Tr(T0) = λ · dim(V1). Por outro

lado,

Tr(T0) =∑s∈G

Tr((ρ2s)−1Tρ1s) = Tr(T ).

Portanto λdim(V1) = Tr(T ).�

2.3. Representações unitárias 31

2.3 Representações unitárias

Seja V espaço vetorial complexo. Um produto interno

Hermitiano em V é uma aplicação

〈·, ·〉 : V × V −→ C(v, w) 7−→ 〈v, w〉

tal que:

1. é sesquilinear, isto é, linear na primeira variável e semili-

near na segunda variável;

2. é uma forma Hermitiana;

3. é não degenerada e de�nida positiva.

Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação de G. Diremos

que a representação V é unitária se existe um produto interno

Hermitiano 〈·, ·〉 em V tal que

〈ρs(u), ρs(v)〉 = 〈u, v〉

para todo s ∈ G e u, v ∈ V . Neste caso, veremos que se β é uma

base ortonormal de V , então a matriz de ρs com respeito a β

é uma matriz unitária. A seguinte proposição mostra que toda

representação de um grupo �nito é unitária.

Proposição 2.7 Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação de

G. Existe um produto interno Hermitiano 〈·, ·〉 em V tal que V

é unitária.

Demonstração: Tome 〈·, ·〉0 um produto interno Hermitiano

qualquer em V . De�na 〈·, ·〉 : V × V −→ C por

〈u, v〉 =∑s∈G〈ρs(u), ρs(v)〉0.


É claro que 〈·, ·〉 é um produto interno. Além disso, para todo

t ∈ G,

〈ρt(u), ρt(v)〉 =∑s∈G〈ρsρt(u), ρsρt(v)〉0

=∑r∈G〈ρr(u), ρr(v)〉0

= 〈u, v〉,

o que mostra a proposição.�

Sendo ρ : G −→ V uma representação unitária com

respeito ao produto interno 〈·, ·〉, temos que, para todo s ∈ G,

〈ρstρs(u), v〉 = 〈ρs(u), ρs(v)〉 = 〈u, v〉

para todo u, v ∈ V . Logo

〈ρstρs(u)− u, v〉

para todo v ∈ V . Em particular, tomando v := ρstρs(u) − u

obtemos que

ρstρs(u) = u

para todo u ∈ V e concluímos que ρst = ρs−1 para todo s ∈ G.

Se a representação V tem grau n e é representada pela

matriz ρs = (aji(s))n×n então obtemos que aij(s) = aij(s−1),

para todo s ∈ G.

2.4 Ortogonalidade de Caracteres

Seja G um grupo �nito. Denote o espaço vetorial das

funções complexas em G por C[G]:

C[G] := {f : G −→ C}.

2.4. Ortogonalidade de Caracteres 33

Observe que o caracter χ de uma representação V de G é um

elemento de C[G]. Se f, g ∈ C[G] de�na

〈f, g〉 = 1

|G|∑s∈G

f(s)g(s). (2.2)

Exercício 2.3 Mostre que a relação (2.2) de�ne um produto

interno Hermitiano em C[G].

Sejam ρ1 : G −→ GL(V1) e ρ2 : G −→ GL(V2) repre-

sentações de G de graus n1 e n2, respectivamente. Vimos na

Seção 1.1 que, �xadas bases em V1 e V2, as representações ρ1 e

ρ2 podem ser dadas na forma de matrizes

ρis =

ai11(s) · · · ai1ni

(s)...

. . ....

aini1(s) · · · ainini

(2.3)

para i = 1, 2. Se T : V1 −→ V2 é uma transformação linear, então

T também pode ser representada na forma matricial:

T =

t11 · · · t1n1

.... . .

...

tn21 · · · tn2n1

. (2.4)

Lema 2.8 Sejam V1 e V2 representações irredutíveis de G de

graus n1 e n2, respectivamente. Seja T : V1 −→ V2 uma transfor-

mação linear. Suponha que ρ1, ρ2 e T sejam dadas nas formas

matriciais (2.3) e (2.4), respectivamente.

1. Se V1 e V2 não são isomorfas, então

1

|G|∑s∈G

a2kl(s−1)a1ji(s) = 0 (2.5)


para todo i, j, k e l.

2. Se ρ1 e ρ2 são isomorfas, então

1

|G|∑s∈G

a2kl(s−1)a1ji(s) =

1

n1δikδjl. (2.6)

Demonstração: Seja T0 a transformação linear de�nida por

T0 :=1

|G|∑s∈G

(ρ2s)−1Tρ1.

Observe que T0 é o homomor�smo de representações de�nido em

(2.1). Sejam t0ki as entradas da matriz que representa T0. Segue

da de�nição que

t0ki =1

|G|∑j,l

(∑s∈G

a2kl(s−1)a1ji(s)

)tlj (2.7)

onde vemos que t0ki é dada como uma função polinomial de grau

1 em tlj , com 1 ≤ l ≤ n2 e 1 ≤ j ≤ n1. Se V1 e V2 não são

isomorfas, segue do Corolário 2.6, item (1), que t0ki = 0. Logo,

todos os coe�cientes da função polinomial (2.7) são nulos. Como

isto é válido para todo i e k obtemos (2.5). Por outro lado, se V1e V2 são isomorfas temos que t0ki = λδki, onde λ = 1

n1

∑l,j δljtlj .

Logo

t0ki =1

n1

∑l,j

δkiδljtlj . (2.8)

Igualando os coe�cientes de tlj em (2.7) e em (2.8) obtemos

(2.6).�

Teorema 2.9 Fixe um grupo �nito G.

1. Se χ é o caracter de uma representação irredutível de G,

então 〈χ, χ〉 = 1.


2. Se χV e χW são caracteres de duas representações irredu-

tíveis de G não isomorfas, então 〈χV , χW 〉 = 0.

Demonstração:

1. Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação irredutível de

G de grau n com caracter χ, dada na forma matricial por

ρs = (aij(s))n×n. Temos que χ(s) =∑i aii(s) e portanto

〈χ, χ〉 =n∑

i,j=1

〈aii, ajj〉 =n∑

i,j=1

1

|G|∑s∈G

aii(s)ajj(s).

Pela Seção 2.3, V é uma representação unitária. Então

aii(s) = aii(s−1) e obtemos

〈χ, χ〉 =n∑

i,j=1

1

|G|∑s∈G

aii(s)ajj(s−1).

Segue do Lema 2.8, item 1, que

〈χ, χ〉 =n∑

i,j=1

δiiδjjn

=

n∑i,j=1

δijn

= 1.

2. Por outro lado, se χV e χW são caracteres de representa-

ções irredutíveis não isomorfas, então segue do Lema 2.8,

item 2, que 〈χV , χW 〉 = 0.�

Segue do Teorema 2.9 que o conjunto formado pelos

caracteres de representações irredutíveis de G não isomorfas for-

mam um subconjunto ortogonal de C[G]. Concluímos que qual-

quer grupo �nito G possui um número �nito de representações

irredutíveis. Veja o Exercício 1. Abaixo temos alguns corolários

que serão úteis para encontrar os caracteres irredutíveis de um

grupo G.


Recorde que, pelo Teorema 1.6, uma representação V de

G se decompõe como soma direta de representações irredutíveis

de G.

Corolário 2.10 Seja V uma representação de G com caracter

χ. Assuma que V se decompõe como a soma direta de represen-

tações irredutíveis

V =W1 ⊕ · · · ⊕Wn. (2.9)

Então, se W é uma representação irredutível de G com caracter

ϕ, o número de Wi's isomorfas a W é 〈χ, ϕ〉. Além disso, o

número de Wi's isomorfas a W não depende da decomposição

(2.9) escolhida.

Demonstração: Seja χi o caracter de Wi. Pelo Exercício 1.3

temos que

χ = χ1 + · · ·+ χn.

Então

〈χ, ϕ〉 = 〈χ1, ϕ〉+ · · ·+ 〈χn, ϕ〉. (2.10)

Segue do Teorema 2.9 que 〈χi, ϕ〉 = 1 se Wi é isomorfa a W e

〈χi, ϕ〉 = 0 seWi não é isomorfa aW . Portanto a soma em (2.10)

será o número de vezes que a representação irredutível W ocorre

em V . Para ver que este número não depende da decomposição

(2.9), basta observar que o produto interno 〈χ, ϕ〉 não depende

da decomposição.�

Corolário 2.11 Sejam V e W duas representações de G tais

que χV = χW . Então V é isomorfa a W .


Demonstração: Se χV = χW , então 〈χV , χi〉 = 〈χW , χi〉 paracada caracter irredutível χi de G. Segue do Corolário 2.10 que o

número de vezes que a representação irredutível Wi de G, asso-

ciada a χi, ocorre em V e W são iguais.�

Se W1, . . . ,Wn são as representações irredutíveis de G

com caracteres χ1, . . . , χn, respectivamente, então V é isomorfa

à soma direta

V =Wm11 ⊕ · · · ⊕Wmn

n

onde osmi's são inteiros positivos. Os resultados acima mostram

que, se χ é o caracter de V , entãomi = 〈χ, χi〉, para i = 1, . . . , n.

As relações de ortogonalidade do Teorema 2.9 implicam que

〈χ, χ〉 =n∑i=1

m2i =

n∑i=1

〈χ, χi〉2. (2.11)

Corolário 2.12 Seja V uma representação de G com caracter

χ. Então V é irredutível se, e somente se, 〈χ, χ〉 = 1.

Demonstração: De acordo com a Equação (2.11), 〈χ, χ〉 = 1

se, e somente se,∑ni=1〈χ, χi〉2 = 1, onde χi são os caracteres

irredutíveis de V . Mas isto é possível apenas se χ = χi para

algum i, o que indica, pelo Corolario 2.11, que V é isomorfa a

uma representação irredutível.�

Estes resultados mostram que os caracteres de fato ca-

racterizam as representações de G, o que reduz o estudo de re-

presentações ao estudo dos seus caracteres, com especial atenção

para os caracteres irredutíveis.


2.5 Decomposição da representação regular

Nesta seção analisaremos a estrutura da representação

regular de um grupo G, de�nida no Exemplo 1.4. Este estudo

será importante para encontrar as representações irredutíveis de

G.

Recorde que, dado um grupo G com ordem g := |G| eV um espaço vetorial de dimensão g com base {es}s∈G indexada

pelos elementos de G, a representação regular de G é de�nida

por

% : G −→ GL(V )

t 7−→ %t

onde %t : V −→ V é o operador linear de�nido por %t(es) = ets.

Denotaremos por χ% o caracter desta representação.

Proposição 2.13 O caracter da representação regular é

χ%(t) =

{|G|, se t = e

0, se t 6= e

Demonstração: Se t = e então %e = IdV e teremos

χ%(e) = Tr(IdV ) = |G|.

Por outro lado, se t 6= e então ts 6= s para todo s ∈ G.Logo a

matriz de %t na base {es}s∈G terá todos os elementos da diagonal

principal nulos. Portanto χ%(t) = Tr(%t) = 0.�

Corolário 2.14 Seja V uma representação irredutível de G.

Então V está contida na representação regular de G com multi-

plicidade igual ao seu grau, ou seja, dim(V ).

2.6. Exercícios 39

Demonstração: O Corolário 2.10 a�rma que a multiplicidade

com que V ocorre na representação regular é 〈χ%, χV 〉. Segue que

〈χ%, χV 〉 =1

|G|∑s∈G

χ%(s)χV (s−1) = χV (e) = dim(V ).�

Corolário 2.15 Sejam V1, . . . , Vk as representações irredutíveis

de G. Suponha que seus caracteres sejam χ1, . . . , χk e seus graus

sejam n1, . . . , nk, respectivamente. Se s ∈ G− {e}, então

k∑i=1

niχi(s) = 0.

Além disso,∑ki=1 n

2i = |G|.

Demonstração: Segue do Corolário 2.14 que

χ%(s) =

k∑i=1

niχi(s)

para todo s ∈ G. Se s 6= e, então o a�rmado segue da Proposição

2.13. No caso em que s = e, a mesma proposição nos diz que∑i n

2i = |G|.�

2.6 Exercícios

1. Mostre que a dimensão do espaço vetorial C[G] é �nita.

Encontre uma base para este espaço. Conclua que o grupo

G possui um número �nito de representações irredutíveis.

2. Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação de G. Mostre

que os autovalores de ρs têm norma 1, para todo s ∈ G.

41

3 Os caracteres irredutíveis de

um grupo

3.1 Funções de classe

Uma função f : G −→ C que é constante nas classes

de conjugação do grupo G é chamada uma função de classe.

Na Seção 2.1 denotamos a classe de conjugação de um elemento

s ∈ G por [s]:

[s] := {tst−1|t ∈ G}.

Portanto, se f é uma função de classe de�nida em G, então

f(r) = f(s) para todo r ∈ [s]. Em outras palavras,

f(tst−1) = f(s)

para todo s, t ∈ G. Exemplos de funções de classe são os carac-

teres de uma representação, de acordo com a Proposição 2.2.

Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação deG e f : G −→ Cuma função de classe. De�na a transformação linear ρf : V −→ V

por

ρf :=∑s∈G

f(s)ρs. (3.1)

Observe que ρf é um homomor�smo de representações. De fato,

para todo t ∈ G,

ρ−1t ρfρt =∑s∈G

f(s)ρ−1t ρsρt =∑s∈G

f(s)ρt−1st =∑

u=t−1st

f(tut−1)ρu.

42 Capítulo 3. Os caracteres irredutíveis de um grupo

Como f é função de classe, temos que f(u) = f(tut−1) e segue

que

ρ−1t ρfρt =∑u∈G

f(u)ρu = ρf .

Proposição 3.1 Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação ir-

redutível de G com caracter χ. Sejam f uma função de classe

em G e ρf : V −→ V a transformação linear de�nida por

ρf :=∑s∈G

f(s)ρs.

Então ρf = λIdV , onde λ =|G|

dim(V )〈f, χ〉.

Demonstração: Observe que ρf é a mesma transformação li-

near de�nida em (3.1). Portanto, sabemos que ρf é homomor-

�smo de representações. Pelo Teorema 2.4, ρf = λIdV . Além

disso, segue do Corolário 2.6, item 2, que

λ =1

dim(V )Tr(ρf ) =

1

dim(V )

∑s∈G

f(s)χ(s) =1

dim(V )〈f, χ〉,

o que demonstra a proposição.�

Vimos na Seção 2.4 que os caracteres de representações

irredutíveis não isomorfas de G formam um subconjunto orto-

normal de C[G]. Uma pergunta natural é: qual é o subespaço

de C[G] gerado pelos caracteres irredutíveis de G? Na próxima

seção usaremos a Proposição 3.1 para responder esta pergunta.

3.2 O espaço gerado pelos caracteres irredutíveis

Denote por Cl[G] o conjunto das funções de classe em

G:

Cl[G] := {f : G −→ C|f é função de classe}.

3.2. O espaço gerado pelos caracteres irredutíveis 43

Observe que Cl[G] ⊂ C[G] é subespaço vetorial que contém os

caracteres de G. Além disso, os caracteres irredutíveis de G for-

mam um subconjunto ortogonal de Cl[G].

Dada uma representação ρ : G −→ GL(V ) e uma função

de classe f em G, recorde a transformação linear

ρf =∑s∈G

f(s)ρs

de�nida em (3.1). A Proposição 3.1 relaciona a transformação ρfcom o produto interno entre f e o caracter da representação V . O

próximo teorema usa esta relação para mostrar que o subespaço

de C[G] gerado pelos caracteres irredutíveis de G é Cl[G]. O

seguinte exercício de Álgebra Linear será usado na demonstração

do teorema.

Exercício 3.1 Sejam V um espaço vetorial com produto interno

e S = {v1, . . . , vn} ⊂ V um subconjunto. Seja w ∈ V um vetor

não nulo tal que 〈w, vi〉 = 0 para todo i = 1, . . . , n. Mostre que

w /∈ ger(S), onde ger(S) é o subespaço de V gerado por S.

Teorema 3.2 Seja β := {χ1, . . . , χn} o conjunto formado pelos

caracteres irredutíveis do grupo G. Então β é uma base ortonor-

mal de Cl[G].

Demonstração: O Teorema 2.9 mostra que β é um subconjunto

ortonormal de Cl[G]. Devemos mostrar que este conjunto gera

Cl[G]. Para isto, mostraremos que se f ∈ Cl[G] é tal que

〈f, χi〉 = 0 (3.2)

para todo i = 1, . . . , n, então f = 0. Feito isto, a a�rmação do

teorema segue do Exercício 3.1.


Para cada representação ρ : G −→ GL(V ), seja

ρf =∑s∈G

f(s)ρs

a transformação linear de�nida em (3.1). Se ρ é uma represen-

tação irredutível, então ρf = 0. De fato, se Vi é a representação

irredutível de G associada a χi, então a Proposição 3.1 a�rma

que ρf = λIdVi, onde

λ =|G|

dim(Vi)〈f, χi〉.

Segue da hipótese (3.2) que λ = 0 e portanto ρf = 0. Como

qualquer representação pode ser escrita como soma direta de

representações irredutíveis, concluímos que ρf = 0 para qualquer

representação de G.

Considere agora a representação regular % : G −→ GL(V ),

dada no Exemplo 1.4. A imagem do vetor e1 será

%f (e1) =∑s∈G

f(s)%s(e1) =∑s∈G

f(s)es.

Como %f = 0, obtemos que f(s) = 0 para todo s ∈ G.�

O seguinte corolário estabelece o número de representa-

ções irredutíveis de um grupo �nito G.

Corolário 3.3 O número de representações irredutíveis do grupo

G é igual ao número de classes de conjugação de G.

Demonstração: Pelo Teorema 3.2, a dimensão de Cl[G] é igual

ao número de representações irredutíveis não isomorfas deG. Por

outro lado, se c1, . . . , ck são as classes de conjugação distintas de

3.3. Tabelas de caracteres irredutíveis 45

G, então dizer que uma função f : G −→ C é uma função de

classe é o mesmo que dizer que f é constante em cada ci, para

i = 1, . . . , k. Em outras palavras, se ξi são as funções de classe

de�nidas por

ξi(s) =

{1, se s ∈ ci0, se s /∈ ci

para i = 1, . . . , k, então

f =

k∑i=1s∈ci

f(s)ξi.

Isto mostra que a dim(Cl[G]) = k. Portanto o número de re-

presentações irredutíveis de G é igual ao número de classes de

conjugação de G.�

3.3 Tabelas de caracteres irredutíveis

A tabela de caracteres irredutíveis de um grupo �nito

G reúne todas as informações necessárias para se conhecer os

caracteres de G e, consequentemente, as representações de G.

A primeira linha da tabela contém as classes de conjugação de

G. A classe de conjugação do elemento s ∈ G continuará a ser

denotada por [s] e o número de elementos desta classe, que for-

mará a segunda linha da tabela, será denotado por #[s]. Em

seguida virão os caracteres irredutíveis de G, um por linha, com

o respectivo valor deste caracter na classe de conjugação. Ao

montar as tabelas usaremos livremente os seguintes resultados

vistos durante o curso:

• o número de representações irredutíveis de G é igual ao

número de classes de conjugação de G (Corolário 3.3);


[s] [0] [1] [2]#[s] 1 1 1

χ1 1 1 1χ1 1 ω ω2

χ2 1 ω2 ω

Tabela 1 � Caracteres irredutíveis de Z3

• se n1, . . . , nk são os graus das representações irredutíveis

de G, então∑i n

2i = |G| (Corolário 2.15);

• se χ1, . . . , χk e n1, . . . , nk são os caracteres irredutíveis e os

graus das representações irredutíveis deG, então∑i niχi(s) =

0 para todo s ∈ G, com s 6= e (Corolário 2.15);

• se φ : G −→ H é um homomor�smo de grupos, então

podemos induzir caracteres irredutíveis em G a partir dos

caracteres de H por composição com φ (Exercício 2 do

Capítulo 1);

No que se segue, o caracter da representação unitária, vista no

Exemplo 1.1, será denotado por χ1.

3.3.1 Z3

De acordo com o Corolário 2.5, as representações irre-

dutíveis de um grupo abeliano têm grau 1. Como Z3 é abeliano

com 3 elementos, este grupo possui 3 classes de conjugação e,

portanto, 3 representações irredutíveis não isomorfas. Vimos no

Exemplo 1.3 uma representação irredutível de Z3. A Tabela 1,

onde ω = e2πi/3, contém os caracteres irredutíveis de Z3..


[s] [e] [(12)] [(123)]#[s] 1 3 2

χ1 1 1 1χσ 1 −1 1χ3 2 0 −1

Tabela 2 � Caracteres irredutíveis de S3

3.3.2 S3

Sabemos que S3 possui duas representações de grau 1:

as representações unitária e sinal dadas nos Exemplos 1.1 e 1.2,

respectivamente. Como S3 possui 3 classes de conjugação, resta

encontrar uma representação irredutível. Seja n o grau desta

representação. Sabemos que 12+12+n2 = |S3| = 6. Logo n = 2.

De fato, esta representação de grau 2 é a ação de S3 no triângulo

equilátero que permuta os seus vértices, exibida no Exemplo 1.5.

A Tabela 2 contém os caracteres irredutíveis de S3.

3.3.3 A4

Inicialmente, observe que A4 possui um subgrupo nor-

mal, a saber,

K := {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ⊂ A4,

conhecido como grupo de Klein e A4/K ∼= Z3. Logo, podemos

usar este isomor�smo de grupos para induzir representações em

A4 a partir das representações de Z3. De fato, se ρ : Z3 −→GL(V ) é uma representação irredutível de Z3, então a composi-

ção

A4π−→ A4

K

ρ−→ GL(V )


[s] [e] [(123)] [(132)] [(12)(34)]#[s] 1 4 4 3

χ1 1 1 1 1χ2 1 ω ω2 1χ3 1 ω2 ω 1χ4 3 0 0 -1

Tabela 3 � Caracteres irredutíveis de A4

é uma representação irredutível de A4. Além disso, se s e t

são elementos de A4 tais que π(s) = π(t), então teremos que

ρ(π(s)) = ρ(π(t)). A Tabela 3 contém os caracteres irredutíveis

de A4, onde os três primeiros caracteres foram encontrados a

partir da tabela de caracteres de Z3, vista na Seção 3.3.1. Já o

caracter χ4 foi encontrada usando o Corolário 2.15. No próximo

capítulo encontraremo a representação χ4 a partir de rotações

do tetraedro regular.

3.3.4 S4

Assim como no caso de A4, o grupo de Klein K =

{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} também é subgrupo normal de

S4. Além disso, S4/K ∼= S3. Logo as representações irredutíveis

de S3 induzem representações irredutíveis em S4 via a composi-

ção

S4 −→S4

K−→ GL(V ).

Abaixo temos a tabela de caracteres de A4, onde os três primeiros

caracteres foram encontrados a partir da tabela de caracteres de

S3, vista na Seção 3.3.2. Os caracteres χ4 e χ5 serão encontrados

no próximo capítulo a partir da ação de S4 no cubo.


[s] [e] [(12)] [(123)] [(1234)] [(12)(34)]#[s] 1 6 8 6 3

χ1 1 1 1 1 1χσ 1 −1 1 −1 1χ3 2 0 −1 0 2χ4 3 1 0 -1 -1χ5 3 -1 0 1 -1

Tabela 4 � Caracteres irredutíveis de S4

[s] [e] [(123)] [(12)(34)] [(12345)] [(13245)]#[s] 1 20 15 12 12

χ1 1 1 1 1 1

φI1 3 0 −1 1+√5

21−√5

2

φI2 3 0 −1 1−√5

21+√5

2

χV 4 1 0 −1 −1χ 5 −1 1 0 0

Tabela 5 � Caracteres irredutíveis de A5

3.3.5 A5

A Tabela 5 contém os caracteres irredutíveis do grupo

A5. Eles serão encontrados no próximo capítulo a partir de ro-

tações do icosaedro regular. Ela também pode ser obtida por

rotações do dodecaedro regular, visto que este é o sólido de Pla-

tão dual do icosaedro.

51

4 Representações e sólidos de

Platão

Existem cinco sólidos de Platão, também conhecidos

como poliedros regulares: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o ico-

saedro e o dodecaedro. Cada um deles de�ne um grupo �nito de

rotações no espaço tridimensional, composto por todas as rota-

ções que preservam a posição inicial do poliedro. Estes grupos

podem ser identi�cados com grupos de permutações que agem

nos sólidos. Nesta seção relacionaremos caracteres dos grupos

A4, S4 e A5 com ações destes grupos nos poliedros regulares.

Como o octaedro é o poliedro dual do cubo, eles possuem o

mesmo grupo de simetria. Pelo mesmo motivo, o icosaedro e o

dodecaedro também possuem o mesmo grupo de simetria. Mais

detalhes sobre simetrias em sólidos de Platão podem ser encon-

trados em [1].

4.1 Representações por permutações e pontos �xos

Recorde o Exercício 1 do Capítulo 1. Ele trata da re-

presentação por permutações de um conjunto �nito X. Se G é

um grupo �nito que age em X, de�nimos esta representação da

seguinte maneira. Seja V o espaço vetorial complexo com base

{ex}x∈X indexada pelos elementos de X. Para cada s ∈ G de-

�na ρs : V −→ V por ρs(ex) = esx. A função ρ : G −→ GL(V )

de�nida por s 7−→ ρs é a representação por permutações de X.

A seguinte proposição relaciona o caracter da representação por

52 Capítulo 4. Representações e sólidos de Platão

permutações com os pontos �xos da ação de G em X.

Proposição 4.1 Seja G um grupo �nito que age no conjunto

X e ρ : G −→ GL(V ) a representação por permutações de X.

Então o valor do caracter χV em s ∈ G é o número de pontos

�xos de s:

χV (s) = #{x ∈ X|sx = x}.

Demonstração: Considere β := {ex}x∈X , a base de V indexada

pelos elementos de X. Por de�nição, para todo x ∈ X temos que

ρs(ex) = esx.Logo, se (aij) é a matriz que representa ρs na base

β e a k-ésima coluna dessa matriz está associada ao elementos

x ∈ X, então

akk =

{1, se sx = x

0, se sx 6= x.

Portanto

χV (s) = Tr(ρs) = Tr(aij) = #{x ∈ X|sx = x},

o que conclui a demonstração.�

4.2 Simetrias em sólidos de Platão

4.2.1 Tetraedro

Considere a ação de A4 nos vértices do tetraedro. Deno-

taremos esta ação por T . A �m de calcular o caracter desta ação,

basta conhecer a ação dos elementos e, (123), (132) e (12)(34) de

A4. Estas ações são descritas geometricamente na Figura 2.

4.2. Simetrias em sólidos de Platão 53

Figura 2 � Ação dos elementos (123), (132) e (12)(34), respecti-vamente, nos vértices do tetraedro.

[s] [e] [(123)] [(132)] [(12)(34)]

φT 4 1 1 0

Tabela 6 � Caracter da ação de A4 no tetraedro

Denote por φT o caracter desta ação. Usando a Pro-

posição 4.1 para calcularmos esse caracter obtemos os valores

contidos na Tabela 6

Sabemos da Seção 3.3.3 que A4 não possui caracter irre-

dutível de grau 4. Portanto φT não é irredutível. Outra forma de

concluirmos que φT não é irredutível é calcular 〈φT , φT 〉 e usar

o Corolário 2.12.

Calculando o produto interno entre φT e o caracter da

representação unitária obtemos 〈φT , χ1〉 = 1. Portanto a repre-

sentação unitária ocorre 1 vez em T , ou seja, T = 1⊕W , ondeW

é uma representação de A4 de grau 3. Segue desta decomposição

que

φT = χ1 + χW ,


Figura 3 � Ação dos elementos (12), (123), (1234) e (12)(34),respectivamente, nas diagonais principais do cubo.

então χW = φT − χ1 e podemos calcular os valores do caracter

χW .

Calculando 〈χW , χW 〉 = 1, obtemos que χW é irredutí-

vel. Comparando este caracter com aqueles encontrados na Seção

3.3.3, observamos que χW = χ4 e concluímos que a ação de A4

no tetraedro é a soma das representações irredutíveis χ1 + χ4.

4.2.2 Cubo e octaedro

Considere a ação de S4 no cubo que permuta as dia-

gonais principais deste poliedro. Denotaremos esta ação por C.

Para calcular o caracter desta ação basta saber a ação dos ele-

mentos e, (12), (123), (1234) e (12)(34). A Figura 3 mostra geo-

metricamente estas ações. Observe que nesta �gura destacamos

apenas os extremos de cada diagonal principal.

Denote por φC o caracter desta ação. Podemos calcular

φC usando a Proposição 4.1. Os valores obtidos estão na Tabela

7.


[s] [e] [(12)] [(123)] [(1234)] [(12)(34)]

φC 4 2 1 0 0

Tabela 7 � Caracter da ação de S4 no cubo

A representação φC não é irredutível. Calculando o pro-

duto interno 〈φC , χ1〉 = 1, temos que a representação C se de-

compõe como C = 1 ⊕W , onde W é uma representação de S4

de grau 3. Segue desta decomposição que

φC = χ1 + χW ,

e podemos calcular os valores do caracter χW . Em seguida

Calculando 〈χW , χW 〉 = 1, obtemos que χW é irredutí-

vel. Este caracter corresponde ao caracter χ4 na tabela 4. Já o

caracter χ5 é χσ · χW , correspondente à representação W ⊗ σ.Para de�nição e propriedades do produto tensorial de represen-

tações consulte [2].

4.2.3 Icosaedro e dodecaedro

Por �m, estudaremos as simetrias do icosaedro e encon-

traremos a tabela dos caracteres irredutíveis do seu grupo de

permutações, a saber, A5. Este grupo possui 60 elementos divi-

didos em 5 classes de conjugação: [e], [(123)], [(12)(34)], [(12345)]

e [(13245)].

A ação de A5 no icosaedro resulta em rotações que pre-

servam a posição inicial do poliedro. A lista abaixo relaciona o

elemento de A5 com a respectiva rotação e exibe a matriz de

rotação em uma base adequada:


• e: matém o sólido �xo;

• (123): rotação de ângulo θ1 := 2π3 em torno de um eixo

perpendicular a duas faces opostas −1/2 −√3/2 0√

3/2 1/2 0

0 0 1

;

• (12)(34): rotação de ângulo π em torno de um eixo per-

pendicular a duas arestas opostas; −1 0 0

0 −1 0

0 0 1

;


através de dois vértices opostos; cosθ1 −senθ1 0

senθ1 cosθ1 0

0 0 1

;


através de dois vértices opostos cosθ2 −senθ2 0

senθ2 cosθ2 0

0 0 1

;

Denotaremos o caracter desta representação por φI1.

Podemos obter outra ação de A5 no icosaedro permutando o

valor dos ângulos θ1 e θ2 e mantendo a inalterada a ação de

e, (123) e (12)(34). Chamaremos o caracter desta nova ação de


[s] [e] [(123)] [(12)(34)] [(12345)] [(13245)]

ψ 5 2 1 0 0

Tabela 8 � Caracter da ação de A5 em {1, 2, 3, 4, 5}

φI2. Podemos calcular diretamente os valores assumidos por es-

ses caracteres:

Veri�cando que 〈φI1, φI1〉 = 〈φI2, φI2〉 = 1, obtemos

que ambos os caracteres são irredutíveis.

Outro caracter de A5 pode ser encontrado analisando a

ação natural de A5 em {1, 2, 3, 4, 5}. Denote o caracter desta açãopor ψ. Usando a Proposição 4.1 obtemos os valores da Tabela 8.

Calculando 〈ψ, χ1〉 = 1, vemos que a representação uni-

tárica ocorre 1 vez nesta representação. Portanto ela não é irre-

dutível e se decompõe como V ⊕ 1. O caracter de V é χV :=

ψ−χ1 e pode ser calculado facilmente. Além disso, 〈χV , χV 〉 = 1

e concluímos que V é irredutível. Já encontramos quatro carac-

teres irredutíveis de A5, a saber: χ1, φI1, φI2 e χV , cuja soma dos

quadrados dos graus é 12+32+32+42 = 35. Portanto o caracter

irredutível restante, que chamaremos, χ tem grau 5. Ele pode ser

encontrado usando o Corolário Corolário 2.15. Desta forma en-

contramos todos os caracteres irredutíveis de A5 constantes na

Tabela 5.

59

Referências

[1] B. Simon, Representations of Finite and Compact Groups,

GSM, Vol 10, AMS, 1996.

[2] J.P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, GTM,

Vol 42, Springer-Verlag, 1977.

[3] R. Heluani, Notas de aula. Disponível em: http://w3.

impa.br/~heluani/. Acesso em: 28 fev. 2014.

[4] W. Fulton e J. Harris, Representation Theory, a �rst course,

GTM, Springer-Verlag, 1991.

http://w3.impa.br/~heluani/

http://w3.impa.br/~heluani/

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Introdução às representações de grupos finitos, IIIo Colóquio de