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"Decenio de las Personas con Discapacidad en el Perú 2007 - 2016""Año de la consolidación del Mar de Grau"

Módulo I: NÚMERO Y CANTIDAD

Toda la matemática pura tradicional puede considerarse como compuesta en sutotalidad por proposiciones sobre los números naturales. En otras palabras, los

términos que en ella intervienen pueden definirse mediante los números naturales y las proposiciones pueden deducirse a partir de las propiedades de estos,agregando en todo caso proposiciones e ideas de la Lógica pura (Russell 1988). Deaquí que el siguiente paso del análisis lógico consiste en reducir la teoría de losnúmeros naturales al conjunto más reducido de premisas y términos no definidosa partir del cual pudiera ser derivada. Los matemáticos del siglo XIX desarrollaronuna teoría unificada de los números. Este logro importante consistió en demostrarcómo las teorías matemáticas relativas a las especies más sofisticadas de númerospueden reducirse o construirse a partir de una teoría relativa a los números

La pregunta “¿qué es un número?” se ha plan teado con frecuencia, pero soloen nuestros días se le ha dado una respuesta correcta. La respondió Frege,en 1884, en sus Grundlagen der Arithmetik . Aunque se trata de un librobastante breve, nada difícil y de máxima importancia, apenas despertóatención y su definición de número permaneció prácticamente ignoradahasta que fue redescubierta por el presente autor, en 1901.

Al buscar la definición de número, lo primero que debe quedar claro es loque podríamos denominar la gramática de nuestra investigación. Al buscar

una definición de número, muchos filósofos se plantean, de hecho, unadefinición de pluralidad, lo cual es muy distinto. Número es lo quecaracteriza a los números, del mismo modo que hombre es lo que caracterizaa los hombres. Una pluralidad no es un ejemplo de número, sino de unnúmero concreto. Un trío de hombres, pongamos por caso, es un ejemplodel número 3, y el número 3 es un ejemplo de número; pero el trío no es unejemplo de número. Esto, que puede parecer un detalle elemental y apenasdigno de mención, ha resultado ser un exceso sutil para los filósofos, conescasas excepciones.

Un número concreto no es idéntico a una colección con ese número detérminos; el número 3 no equivale al trío formado por Brown, Jones yRobinson. El número 3 es algo común a todos los tríos y que los distinguede otras colecciones. Un número es algo que caracteriza a determinadascolecciones, concretamente las que tengan ese número.

Russell, B. (1988). Introducción a la Filosofía Matemática . Barcelona: EditorialPaidós.

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naturales. Esta teoría hace posible que consideremos las diversas especies denúmeros como si nacieran de una sola especie paterna y como si estuvieran regidaspor leyes que son consecuencias deductivas estrictas de las leyes que gobiernan

esta simple especie paterna. El matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932),familiarizado con los cinco axiomas o postulados de Euclides (los cuales pusieronlos cimientos de la geometría), estaba interesado en crear una base igual de sólidapara la aritmética y la teoría de los números.

Números naturales

Los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, etc. son llamados números naturales y nosservirán de especie básica de números. Nuestra idea intuitiva de los númerosnaturales es que son aquellos números cada uno de los cuales se obtiene partiendode cero y añadiendo uno tantas veces como sea necesario. Peano organizó las leyesfundamentales de los números naturales en forma axiomática. Él demuestra que esposible derivar toda la teoría de los números naturales a partir de tres términos nodefinidos “0”, “número” y “sucesor” y cinco axiomas .

Los axiomas de Peano son:

1. 0 es un número natural.2. El sucesor de cualquier número natural es un número natural.3. Dos números naturales distintos no tienen nunca el mismo sucesor.4. 0 no es el sucesor de ningún número natural.5. Toda propiedad perteneciente al 0 así como al sucesor de todo número

natural que posea esta propiedad, pertenecerá igualmente a todos los demásnúmeros naturales.

Los términos no definidos de Peano admiten interpretaciones distintas. Así porejemplo al cambiar el 0 por 1 se siguen admitiendo los cinco axiomas anteriores.Esto explica porque algunas definiciones consideran a la serie de los númerosnaturales empezando desde el 1. Basándonos en los axiomas de Peano, podemosintroducir los nombres de otros números más: 1 es el sucesor de 0; 2 es el sucesorde 1; 3 es el sucesor de 2, y así sucesivamente.

Definición 1.1. (conjunto )

El conjunto ℕ de los números naturales se caracteriza por las siguientespropiedades:

1. Existe una función inyectiva 1 :s ℕ ℕ. La imagen n s de cada númeronatural n se llama sucesor de n .

1 Una función es inyectiva si a elementos distintos del conjunto de partida le corresponden elementos distintos delconjunto de llegada.

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2. Existe un único número natural 1 tal que n s 1 para todo n ℕ.3. Si un conjunto X ℕ es tal que X 1 y X X s (esto es, X n

X n s ), entonces X ℕ.Estas afirmaciones pueden ser formuladas así:

1. Todo número natural tiene un sucesor, que también es un número natur-al; números diferentes tienen sucesores diferentes.

2. Existe un único número natural que no es sucesor de ninguno.3. Si un conjunto de números naturales contiene el número 1 y también

contiene el sucesor de cada uno de sus elementos, entonces ese conjuntocontiene a todos los números naturales.

Las propiedades anteriores son otro modo de expresar los axiomas de Peano. Elquinto axioma (o la propiedad 3) es el principio de inducción matemática. Este es labase de un método que permite determinar si una propiedad es cierta para todoslos números naturales. El método de inducción funci ona así: “ Si una propiedad Pes válida para el número 1 y si, suponiendo P válida para el número n , comoconsecuencia se tiene que P también es válida para su sucesor, entonces P es válidapara todos los números naturales”

Ejemplo: Demostrar que n n s para todo n ℕ.

Resolución

Consideremos el conjunto X de números naturales con la propiedad n n s paratodo n ℕ.

n n s n X :N

Aplicaremos el principio de inducción.

1. X 1 ya que por la propiedad 2 de la definición 1.1. se tiene que 11 s .2. Supongamos que X n . Esto es que n n s .3. Si n n s y dado que s es una función inyectiva, entonces n s n s s .

Esto prueba que el sucesor de n cumple la propiedad del conjunto X , esdecir que X n s .

De 1, 2 y 3 por el principio de inducción decimos que n n s para todo n ℕ.

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Operaciones en

En el conjunto de los números naturales se definen dos operaciones fundamentales,

la adición y la multiplicación. Definición 1.2. (suma de números naturales)

Definimos la suma de dos números naturales como una aplicación

: A ℕ× ℕ ℕ dada por la regla n m n ,m A

tal que para cada n ,m ℕ× ℕ tenemos n ,m A ℕ y se cumple lo siguiente:

1. m s m 12. n m s n s m

Dados n ,m ℕ, a partir de la definición de suma, podemos decir lo siguiente:

i) La suma de m y 1 es el sucesor de m .ii) 1 n m es igual a 1n m . Definición 1.3. (producto de números naturales)

Definimos el producto de dos números naturales como una aplicación

:P ℕ× ℕ ℕ dada por la regla n m n ,m P

tal que para cada

n ,m ℕ× ℕ tenemos

n ,m P ℕ y se cumple lo siguiente:

1. m m 12. m n m n s m

Dados n ,m ℕ, a partir de la definición de producto, podemos decir lo siguiente:

i) El producto de m y 1 es m .ii) 1 n m es igual a m n m .

Axiomas de la suma y del producto

Sean p ,n ,m ℕ 1. Asociativa de la suma:

p n m p n m

2. Conmutativa de la suma:

m n n m

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3. Asociativa del producto:

p n m p n m

4. Conmutativa del producto:

m n n m

5. Existencia de elemento neutro:

m m m 11 , 1 es el elemento neutro para el producto

6. Distributiva del producto respecto de la suma:

p m n m p n m

Orden en los números naturales

Los números naturales pueden ordenarse por medio de la relación “menor o igualque ”.

Definición 1.4. (relación “ menor o igual que ” )

Definimos la relación “menor o igual que ”, denotada por , del modosiguiente:

n ,m ℕ, n m n m o p ℕ tal que n p m

Axiomas de orden

Sean p ,n ,m ℕ

1. Reflexiva:

m m ; para todo m ℕ.

2. Antisimétrica:

Si n m y m n , entonces n m ; para todo n ,m ℕ.

3. Transitiva:

Si n m y p n , entonces p m ; para todo pnm ,, ℕ.

Bajo el marco de la definición 1.1., ¿podemos afirmar que 0 es el elementoneutro para la suma de números naturales?

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4. Orden total:

Dos números n ,m ℕ cualquiera siempre son comparables. Esto es, o

bien n m o bien m n La relación “menor o igual que” se dice que es una relación de orden debido a quesatisface las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Definición 1.5. (relación “ mayor o igual que ” )

Definimos la relación “mayor o igual que ”, denotada por , del modo siguiente:

n ,m ℕ, m n n m

Definición 1.6. (relación “ menor que ” )

Definimos la relación “menor que ”, denotada por , del modo siguiente:

n ,m ℕ, m n n m

Números enterosUsamos los números naturales para ayudarnos a resolver situaciones como lassiguientes:

1. Si el pasaje en un bus interprovincial cuesta S/ 25 por persona, ¿cuánto segastará en el pasaje para tres adultos?

2. Si un automóvil viaja a una velocidad constante de 60 kilómetros por hora,¿cuánto tardará en completar un recorrido de 240 kilómetros?

Pero, tal y como hemos presentado a los números naturales, no podríamosresponder a situaciones como estas:

3. A un excelente conductor se le pide completar un formulario donde se indica:

Número de accidentes en los últimos 6 meses.

4. Se extiende un cheque por S/ 2000 desde una cuenta corriente en la que solohay S/ 1800. Si el banco acepta el cheque, ¿cuál será el nuevo estado decuenta?

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Para responder a esto, se requiere ampliar el conjunto ℕ al conjunto de los númerosenteros introduciendo el cero y los negativos. Las siguientes definiciones nospermitirán construir los números enteros tomando como base el conjunto de losnúmeros naturales.

Definición 1.6. (diferencia en )

Sean n ,m ℕ tal que m n , la diferencia de m y n , denotada por n m , esel número p ℕ tal que m p n .

Definición 1.7. (conjunto ℤ)

Definimos el conjunto de los números enteros, denotado por ℤ, como unaaplicación

: ℕ× ℕ ℤ dada por la regla

n m si ,n m n m si ,n m si ,m n

n ,m 0

Bajo esta definición, pares distintos de números naturales pueden asociarse con elmismo número entero. Mediante la aplicación de la definición dada, el cero estáasociado a los pares ...,,,,,, 332211 , el número entero positivo 2 está asociadoa ...,,,,,, 352413 mientras que el entero negativo -1 se encuentra asociado con

...,,,,,, 433221 . De aquí tenemos que los números enteros están dados por:

.. .,,,,,,,,,..., 432101234

Operaciones en ℤ

Definición 1.8. (suma de números enteros)

Sean n ,m y q , p dos pares ordenados de números naturales, a y b dosnúmeros enteros tales que n ,m a y q , p b , definimos la suma de a

y b , denotada por b a , como q n , p m b a .

Definición 1.9. (producto de números enteros)

Sean n ,m y q , p dos pares ordenados de números naturales, a y b dosnúmeros enteros tales que n ,m a y q , p b , definimos el producto dea y b , denotado por b a , como q m p n ,q n p m b a .

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Los axiomas de la suma y del producto se cumplen tanto para los númerosnaturales como para los números enteros. En dichos axiomas se menciona laexistencia del elemento neutro para el producto, pero no del elemento neutro parala suma. En ℤ incorporaremos este elemento neutro además del elemento opuesto.

Proposición 1.1. (elemento neutro para la suma)

Existe un número entero denotado por 0 tal que a a a 00 para todoa ℤ.

Proposición 1.2. (elemento opuesto)

Para cada a ℤ existe un único número entero, denotado por a , tal que 0 a a a a .

Definición 1.10. (diferencia de números enteros)

Sean a y b dos números enteros, definimos la diferencia de a y b ,denotada por b a , como b a .

Orden en los números enteros

Definición 1.11. (ordenación en ℤ)

Sean n ,m y q , p dos pares ordenados de números naturales, a y b dos

números enteros tales que n ,m a y q , p b , decimos que b a siempre que p n q m .

Los axiomas del orden para los números naturales también los cumplen losnúmeros enteros.

Proposición 1.3.

Sean b ,a ℤ. Si b a , entonces c b c a para todo c ℤ.

Proposición 1.4.

Sean c ,b ,a ℤ. Si b a y 0c , entonces c b c a .

Observaciones:

- Denotamos con ℤ+ a los enteros positivos: ℤ+ ...,,,,,, 654321 . - Denotamos con ℤ- a los enteros negativos: ℤ- 123456 ,,,,,..., . - Denotamos con ℤ* a los número enteros excepto el cero: ℤ* ℤ 0 .

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- El conjunto de los números enteros es cerrado con respecto a las operacionesde adición, multiplicación y sustracción. Esto significa que dados n ,m ℤ setiene que n m ℤ, n m ℤ y n m ℤ.

Definición 1.12. (valor absoluto de un número entero)

Sea a ℤ, definimos el valor absoluto de a , denotado por a , según lasiguiente regla:

0

00

0

a si ,a

a si ,

a si ,a

a

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[v1]

Números racionales

Al estudiar la operación de multiplicar en los números enteros, se observa que laoperación inversa, la división, no es siempre posible. Por ejemplo, 54 carece de

sentido en los enteros. Surge, por tanto, la necesidad de extender el sistema de losnúmeros enteros, a un nuevo sistema en el que tengan sentido tales operaciones. Estenuevo sistema recibió el nombre de sistema de los números racionales. Intuitivamentepensamos en números racionales como aquellos que pueden expresarse como una

fracción. Si m y n son dos números naturales, la expresiónn m es una fracción. Esta

Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones connumerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo,que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador;

el numerador no se ponía por ser siempre 1. Los griegos y romanos usarontambién las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la épocamedieval. En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entreotras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontalpara separar numerador y denominador en las fracciones.

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de losnúmeros decimales tal y como los conocemos hoy. A finales del siglo XVI,Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresabanpor medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc., perolos escribía de una forma complicada; así para 456,765 escribía

3526170456 .

A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y comolos escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera dela parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos lospaíses, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII,concretamente en 1792.

Sin autor (s/f). “Historia de los números racionales ”. Consulta: 27 deenero de 2016.

fracción es un número con el que expresamos una parte de algo. Sin embargo lasfracciones no se restringen a aquellas cuyos términos son números naturales.

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Definición 1.13. (fracción)

Sean b ,a ℤ tal que 0b , la expresiónb

a es una fracción.

Definición 1.14. (fracciones equivalentes)

Decimos que las fraccionesb a y

q p son equivalentes si p b q a .

Las fracciones5

2 y

15

6son equivalentes ya que 56152 . Del mismo modo

podemos afirmar que5

2 y

10

4son equivalentes. Así

20

8,

15

6,

10

4,

5

2,

5

2

,10

4 ,15

6 ,208 son algunos elementos del conjunto de fracciones equivalentes a

5

2.

Definición 1.15. (número racional)

Un número racional es un conjunto no vacío de todas las fracciones que sonequivalentes entre sí.

Proposición 1.5.

En el conjunto ℤ× ℤ*

, la relación definida por b ,a q , p p b q a esuna relación de equivalencia 2.

Si a y 0b son números enteros, podemos entender la fracciónb a como el par

ordenado b ,a perteneciente al conjunto ℤ× ℤ*. Cada uno de los subconjuntos quedetermina la relación de equivalencia b ,a q , p p b q a se llama clase deequivalencia. En el conjunto ℤ× ℤ*, los conjuntos de fracciones equivalentes sonclases de equivalencia y cada clase de equivalencia se llama número racional.

Definición 1.16. (conjunto )

El conjunto de los números racionales, denotado por ℚ , es el conjunto de lasclases de equivalencia de la relación ℤ× ℤ*/ dada por b ,a q , p

p b q a .

2 Una relación es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.

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Atendiendo a la definición anterior podemos decir que el conjunto de los números

racionales está dado por el conjunto

ℚ b ,a : b a

ℤ 0b ,

Un número racional es aquel número que puede ser expresado como una fracciónde términos enteros. Esto es que r será un número racional siempre que existan a

y b enteros, con 0b , tales queb a

r . Así 3 ; 9,0 ; ...16666,1 son ejemplos de

números racionales ya que todos ellos pueden ser expresados como una fracción de

términos enteros:1

33 ;

10

990

. y

6

7...16666,1 . El conjunto ℚ comprende a los

números enteros, los decimales finitos y los decimales infinitos periódicos.

Operaciones en

Definición 1.17. (suma de números racionales)

La suma de los números racionalesb a y

q p está dada por

q b p b q a

q p

b a

Definición 1.18. (producto números racionales)

El producto de los números racionalesb a y

q p está dado por

q b p a

q p

b a .

Proposición 1.6. (elemento neutro para la suma)

Existe un número racional denotado por 0 tal que r r r 00 para todor ℚ.

Proposición 1.7. (elemento opuesto)

Para cada r ℚ existe un único número racional, denotado por r , tal que 0 r r r r .

Un número racional es todo número entero, decimal finito o decimalinfinito periódico.

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Proposición 1.8. (elemento inverso)

Si r ℚ y 0r , existe un único número racional, denotado por 1r , tal que111 r r r r .

Definición 1.19. (diferencia de números racionales)

Definimos la diferencia de los números racionalesb a y

q p , denotada por

q p

b a , como la suma

q p

b a .

Definición 1.20. (cociente de números racionales)

Definimos el cociente de los números racionalesb a y

q p , con 0

q p , denotado

porq p

b a , como el producto

p q

b a .

Orden en los números racionales

Definición 1.21. (ordenación en )

Seanb a y

q p dos números racionales, con q ,b ℤ+ , decimos que

q p

b a

siempre que p b q a .

Los axiomas del orden para los números naturales y enteros también los cumplenlos números racionales.

Proposición 1.9.

Sean s ,r ℚ. Si s r , entonces c s c r para todo c ℚ.

Proposición 1.10.

Sean c ,s ,r ℚ. Si s r y 0c , entonces c s c r .

Teorema 1.1.

Sean r y s dos números racionales. Si s r , entonces existe al menos unnúmero racional c tal que s c r .

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Demostración

Si s r , entonces s r r r . De aquí tenemos que s r r 2 y por tanto

2s r r . Del mismo modo si s r , entonces s s s r o lo que es lo mismo

s s r 2 y por tanto s s r 2

. De lo anterior se desprende que s s r r 2

.

Lo que prueba que si r y s son dos números racionales, tales que s r ,

entonces existe el número racional2

s r c

tal que s c r .

Teorema 1.2. (Propiedad arquimediana)

Sean 0r y s dos números racionales. Hay un número entero positivo n tal que s r n .Demostración

Caso 1: Si 0s . Dado que 0r y n ℤ+ , entonces 0r n y por tantos r n para cualquier entero positivo n .

Caso 2: Si r s 0 . Bastaría considerar 1n para demostrar la existenciadel entero positivo n . Esto debido a que de r s 0 se desprende que s r ,o lo que es lo mismo s r 1 .

Caso 3: Sis r 0

. Sean b a

r y q

p s con q , p ,b ,a

ℤ+

. Dado que porfracciones equivalentes podemos escribir

q b q a

r yq b p b

s , entonces

podemos suponer que r y s tienen denominador común. Si hacemos q a x ,

p b y y q b d , tenemosd x

r yd y

s fracciones de términos enteros

positivos. Sea d y n , entoncesd x

d y r n , esto es x y r n . Dado que

y x y y que s d s y , se desprende que s r n , lo que prueba laexistencia del entero positivo n .

Densidad de los números racionales

A diferencia de los conjuntos ℕ y ℤ, el conjunto ℚ no se presenta como un listadode números racionales consecutivos. Esto debido a que entre dos númerosracionales distintos siempre es posible encontrar otro número racional. El conjuntode los números enteros no tiene esta propiedad. No hay ningún entero, por ejemplo,entre 3 y 4, ni tampoco entre -6 y -5. La propiedad por la cual entre dos números

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racionales hay otro número racional (y por tanto muchos) es llamada propiedad dedensidad de los números racionales. Geométricamente, el hecho que el conjunto ℚsea denso, significa que entre dos puntos cualquiera (no importando que tanpróximos se encuentren) que se corresponden con números racionales, hay otropunto (en realidad, infinitos puntos) que se corresponden con números racionales.Esto es cierto incluso cuando intuitivamente pareciera que no hay espacio algunoentre los dos puntos. Puede que no haya espacio alguno para los puntos materialesque usamos para representarlos, pero los puntos son abstracciones y entre doscualquiera siempre hay otro.

Carácter incompleto de en la recta real

Consideremos el caso de un número positivo que multiplicado por él mismo resulte2. Sea x el número tal que 2x x , esto es 22x . Representemos dicho númerox como 2 y veamos algunas aproximaciones.

41,1 es una aproximación por defecto de 2 ya que 29881,141,1 2 . 42,1 es una aproximación por exceso de 2 ya que 20164,242,1 2 .

De aquí tenemos que 42,1241,1 y si bien podemos proponer mejoresaproximaciones para 2 advertiremos que no existe ningún número racional cuyo

cuadrado sea 2. Es decir que no existen b ,a ℤ tales que 2b a .

Los pitagóricos de la Grecia antigua querían obtener una expresión para la longitudde una diagonal ( d ) de un cuadrado en función de la longitud de uno de sus lados(l ). Buscaban la razón entre d y l , esperaban calcularla como la razón de dosnúmeros naturales pero esto les fue imposible. La aritmética había probado serincompleta y este descubrimiento asombró mucho a los griegos. El hecho de quehaya razones de longitudes de segmentos que no puedan expresarse como razón denúmeros naturales muestra el carácter incompleto de los números racionales.

Hemos visto que el conjunto ℚ comprende a los números enteros, los decimalesfinitos y los decimales infinitos periódicos. Pero existen números como 2 que noson racionales y están dados por decimales infinitos no periódicos. Estos númerosson llamados números irracionales. El conjunto de los números irracionales esdisjunto al conjunto ℚ y la reunión de ellos origina un conjunto completo, el de losnúmeros reales ℝ.

Ejercicio

Probar que el número 2 no es un número racional.

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Resolución

Haremos la prueba por el método de reducción al absurdo. Supongamos que 2

es un número racional, esto es que existen b ,a ℤ, donde ambos no son pares a lavez, tales que 2

b a .

1. Si 2b a , entonces 22

b a

b a , esto es que 2

2

2

b a y por tanto 22 2 b a .

2. Si 22 2 b a , entonces 2a es un número par y esto implica que a es un númeropar.

3. Si a es un número par, entonces existe algún c ℤ tal que c a 2 , por lo que22 4 c a .

4. De 1 y 3 se desprende que 22 42 c b , esto es que 22 2 c b , lo que implica queb es un número par.

5. De 2 y 4 se tienen que a y b son números pares lo que contradice elsupuesto.

De lo anterior se desprende que no existen enteros a y b tales que 2b a , lo que

prueba que 2 no es un número racional.

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Magnitud y medida

Definición 1.22. (magnitud)

Se llama magnitud a todo aquello que puede ser medido.

Así, por ejemplo, el área es una magnitud ya que es posible medir la extensión de lasuperficie de una forma geométrica dada. Si elegimos una de entre un grupo de formasgeométricas es posible comparar el área de las demás respecto a la forma referente.

Tendremos algunas formas cuya área será menor o igual que la del referente; y otrascuya área será mayor, estableciéndose así una ordenación. Al mismo tiempo es posibleagrupar dos formas de un grupo de modo que al sumar sus áreas se equipare al áreade una tercera forma del mismo grupo. Así, desde un punto de vista matemático, lamagnitud es un conjunto de objetos homogéneos entre cuyos elementos se puededefinir una ordenación y la suma.

Definición 1.23. (magnitud)

Una magnitud es un semigrupo conmutativo, ordenado, con la suma comooperación interna y formado por clases de equivalencia que son suscantidades.

Denotamos con ,,M el semigrupo correspondiente a la magnitud M .

En el proceso de construcción de una magnitud:

Se parte de un conjunto de objetos y se elige un atributo medible. Se compara elconjunto de objetos según el criterio de igualdad respecto a la propiedad elegida

y se obtiene una partición en el conjunto de objetos de partida atendiendo alatributo. Cada clase de equivalencia así obtenida recibe el nombre de cantidad demagnitud. Con ello es posible comparar objetos que pertenecen a distintas clasesde equivalencia con la seguridad de que no son iguales respecto al atributoelegido, de manera que basta tomar un objeto de cada clase sin que lacomparación varíe. Se establece, pues, una ordenación de todas las clases deequivalencia (conjunto cociente) que ordena totalmente las distintas cantidadesde magnitud.

Berenguer, M. (1996). “Sobre la magnitud tiempo”. Uno: Revista de Didáctica delas Matemáticas. s/l., número 10, pp. 79-87.

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Cuando en un conjunto de objetos centramos nuestra atención en algunacaracterística determinada, puede ocurrir que algunos de los objetos la posean yotros no. Cuando dos objetos poseen la misma característica decimos que estánrelacionados. El conjunto de objetos relacionados forman una clase de equivalencia.El concepto de cantidad se corresponde con el de una clase de equivalencia definidapara cierta relación en un conjunto de objetos. Las clases de equivalencia de larelación integran entre si un nuevo conjunto llamado conjunto cociente.

Podemos definir una magnitud en un determinado conjunto A al establecer unarelación de equivalencia ( ) en el conjunto cociente /A de modo que /A , seaun semigrupo ordenado y conmutativo con elemento neutro. Esto es:

1. Ordenación: b a o b a o a b ; /A b ,a 2. Asociatividad: c b a c b a ; /A c ,b ,a 3. Conmutatividad: a b b a ; /A b ,a 4. Elemento neutro: Existe /A 0 tal que a a 0 ; /A a

A cada una de las clases de equivalencia ...,c ,b ,a se le denomina cantidad.

Nótese que, sobre un mismo conjunto, se pueden definir distintas magnitudes. Asípor ejemplo del conjunto de sólidos geométricos pueden definirse las magnitudes“área lateral”, “área total” y “volumen”.

Propiedad arquimediana

Para cada M b ,a existe un número natural n tal que a n b

Producto por un número racional

Dada M a y Q n m , se define el producto b

n m

a n b m a ,

siempre que exista M b .

Según las propiedades que cumpla una magnitud resultan distintos tipos demagnitudes.

Un semigrupo es un sistema comprendido por un conjunto no vacío y unaoperación interna cuyos elementos cumplen las propiedades de cerradura y

transitividad.

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Definición 1.24. (magnitud absoluta escalar)

Si en la magnitud ,,M el orden es total y arquimediano decimos que dicha

magnitud es absoluta escalar.

Definición 1.25. (magnitud relativa escalar)

La magnitud ,,M es relativa escalar si en el semigrupo ,,M , de los

elementos positivos, el orden es total y arquimediano. Definición 1.26. (magnitud vectorial)

La magnitud ,,M es vectorial si no es escalar.

Definición 1.27. (magnitud divisible)La magnitud ,,M es divisible si existe el producto por númerosracionales para todo M a .

La comparación entre magnitudes se ve facilitada cuando se toma una cierta cantidadcomo referente. El proceso de medir una magnitud consiste en determinar cuántasveces contiene a la cantidad referente. Cuando decimos que el área de una regióntriangular es de 3 cm 2 en realidad estamos diciendo que la medida del área de laregión triangular es 3 cm 2. Esto significa que la medida del área de dicha forma es3 veces la unidad de medida de área tomada como de 1 cm 2.

Definición 1.28. (medida)

Se llama medida de la cantidad a de una magnitud, respecto a la unidad u ,al número r tal que u r a .

Denotaremos la medida de la cantidad a de una magnitud, respecto a la unidad u , como a med r u .

- Si a med r u es un número racional decimos que las cantidades a y u son conmensurables, esto es que a y u tienen medida común.

- Si a med r u es un número irracional decimos que las cantidades soninconmensurables.

Medir una magnitud es establecer una correspondencia unívoca entre lascantidades de magnitud y un conjunto numérico.

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Existe un isomorfismo entre las cantidades conmensurables con la unidad y losnúmeros racionales positivos. La correspondencia entre las cantidadesinconmensurables y los números irracionales no tiene por qué ser biunívoca. Para

que se tenga un isomorfismo se requiere del axioma de continuidad.

Axioma de continuidad

Si las cantidades conmensurables con una unidad u de una magnitud se clasificanen dos clases no vacías de modo que toda cantidad de la primera sea menor quetoda cantidad de la segunda, hay una cantidad que separa a ambas, es decir, mayoro igual que cualquiera de aquellas y menor o igual que todas éstas, según pertenezcaa una u otra clase. Diremos, en este caso, que la magnitud es continua.

Proposición 1.11.

Dada la magnitud ,,M y el subanillo de números reales ,,R S , laaplicación que asocia a cada elemento de M un elemento de S , queconstituye su medida, es un isomorfismo.

Observación El hecho que ,,M y ,,R S sean isomorfos nos permitedeterminar la suma de dos cantidades sumando solo losnúmeros.

Proporcionalidad entre magnitudes

Definición 1.29. (razón entre cantidades)

La razón es una relación de equivalencia en el conjunto de pares ordenadosde cantidades de una magnitud, indicada por d : c b : a si el par b ,a esequivalente al par d ,c .

El concepto de razón es uno de los usados con más frecuencia en la vida cotidiana y en diferentes capítulos de las matemáticas. Así, por ejemplo, un porcentaje o lapendiente de una recta se pueden expresar por medio de una razón. Las razones

Dos conjuntos se llaman isomorfos si se puede establecer unacorrespondencia biunívoca entre sus elementos tal que:

1. A la suma de los elementos del primer conjunto le corresponda lasuma de los elementos correspondientes del segundo conjunto.

2. Al producto de un número por un elemento del primer conjunto lecorresponda el producto del mismo número por el elementocorrespondiente del segundo conjunto.

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son una manera de comparar dos cantidades. Las razones pueden ser internas oexternas según sean formadas en una misma magnitud o en magnitudes distintas.La razón interna es un número, la razón externa es una magnitud.

Ejemplos:

1. En un triángulo equilátero su altura ( h ) mide 6 cm y su inradio ( r ) mide 2

cm . De aquí que la razón de “ h a r ” es2

6, esto es el número 3. Interpretamos

este resultado como que la longitud de la altura del triángulo equilátero estres veces la longitud del inradio.

2. Un auto recorre una distancia ( d ) de 20 kilómetros en un tiempo ( t ) de 10

minutos. La razón de “ d a t ” es10

20, esto es 2 km/min que corresponde a

la magnitud rapidez. Interpre-

tamos este resultado como que el auto recorreuna distancia de 2 kilómetros por cada minuto.

Magnitudes directamente proporcionalesSupongamos que dos magnitudes están relacionadas de modo que al duplicar el valorde una de ellas, el valor de la otra también se duplica; al triplicar la primera, la segundatambién queda multiplicada por tres; etc. Cuando sucede esto, decimos que existe entreambas magnitudes, una relación de proporción directa.

Por ejemplo, si contamos la cantidad de panes que se pueden comprar con ciertacantidad de soles:

S/ Número de panes1 82 16

3 244 32

Como consecuencia la razón de las cantidades correspondientes a dichasmagnitudes es constante:

84

32

3

24

2

16

1

8

Si a y b dos cantidades de magnitud, expresamos la razón “ a a b ” como

b a

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Definición 1.30.

Se dice que una magnitud A es directamente proporcional a otra B (o que

varía proporcionalmente a B ) si existe una constante k tal que la razónde sus cantidades es dicha constante.

Consecuencia: Si A es D.P. a B B k A donde k es constante Definición 1.31. (magnitudes directamente proporcionales)

Sean dos magnitudes 1M y 2M y la aplicación biyectiva 21 M M : f ,decimos que 1M y 2M son directamente proporcionales si f es tal que,

Si 1M b ,a y R :

I. Si b a implica que b f a f .II. b f a f b a f III. Si b a , entonces b f b f a f

De la condición III, si hacemos u b , donde u es la unidad de medida de lamagnitud M , tenemos que si u a , entonces u f u f a f . Esto esque los resultados de medir a con la unidad u serán los mismos que los obtenidosde medir a f con la unidad u f y, por consiguiente las medidas serán iguales. Esteresultado permite reducir la medida de ciertas cantidades a las de otrasproporcionales a ella, con lo cual se justifica la medida indirecta de cantidades.

Definición 1.32. (constante de proporcionalidad)

Sean 1M y 2M dos magnitudes proporcionales y 1u y 2u sus respectivasunidades de medida. La aplicación biyectiva 21 M M : f es tal que si

21 u k u f , con R k , decimos que k es la constante de proporcionalidadrespecto de las unidades 1u y 2u .

A

Si A es directamente proporcional (D.P). a B , entonces

k B A donde k es una constante

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Magnitudes inversamente proporcionales

Supongamos que una persona realiza un viaje enautomóvil y recorre una distancia

de 180 km entre una ciudad y otra. Sea v la velocidad constante del auto y t eltiempo transcurrido en el viaje.

v (km/h) t (h)30 645 460 390 2

Se puede observar que al duplicar la velocidad, el tiempo se divide entre 2, y altriplicar la velocidad, el tiempo se reduce a su tercera parte. Además se cumple que

el producto de las cantidades correspondientes a dichas magnitudes es constante. 180290360445630

Veamos esto de otro modo. Construyamos la tabla de las magnitudes v y la inversa

de t , esto est

1.

v (km/h) t /1 (1/h)30 1/645 1/460 1/390 1/2

Lo anterior nos permite afirmar que v es directamente proporcional a t /1 . En efecto,

la razónt /

v 1

es constante:

18021

90

31

60

41

45

61

30

////

De aquí que podemos decir que una magnitud A es inversamente proporcional aotra magnitud B , cuando A es directamente proporcional a la recíproca (inversa)de B .

Definición 1.33.

Se dice que una magnitud A es inversamente proporcional a otra B (oque varía inversamente a B ) si existe una constante k tal que elproducto de sus cantidades es dicha constante.

A

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Consecuencia: Si A es I.P. a B B k

A donde k es constante

Definición 1.34. (magnitudes inversamente proporcionales)

Sean dos magnitudes 1M y 2M y la aplicación biyectiva 21 M M : f ,decimos que 1M y 2M son inversamente proporcionales si f es tal que,

Si 1M b ,a y R :

I. Si b a implica que b f a f .II. b f a f b a f

III. Si b a , entonces b f b f a f 1

Si A es inversamente proporcional (I.P). a B , entonces

k B A donde k es una constante

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Referencias

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Lages, E. (2005). Análisis Real. Volumen 1. Lima: IMCA.

National Council of Teacher of Mathematics (1970). El Sistema de los númerosenteros . México: Programex Editoras S.A.

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Pakhrou, T. (s/f). Análisis de una variable real I . Consulta: 27 de enero de 2016.

Perelló, M. (2002). Análisis Matemático, Teoría y práctica . Barcelona: EdicionesUPC.

Russell, B. (1988). Introducción a la Filosofía Matemática. Barcelona: EditorialPaidós.

Sin autor (s/f). “Historia de los números racionales”. Consulta: 27 de enero de2016.

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