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1
Séries de Fourier
Diego Trugilho Ferrari
Universidade Federal Fluminense
Email: [email protected]
O trabalho em questão, aborda de forma clara e sucinta, todo o desenvolvimento e resolução das Séries de Fourier. De acordo com as aulas ministradas pelo Professor Dr. A.S. de Assis, do Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense.
INTRODUÇÃO
Na Matemática, o conceito de séries surgiu na tentativa de generalizar o conceito de soma para uma sequência de infinitos termos. Porém esta generalização trouxe diversas dificuldades, pois nem sempre é possível definir o valor resultante da soma de uma série, geralmente não é possível trocar a ordem dos termos de uma série e algumas séries possuem soma infinita. Então Jean-Baptiste Joseph Fourier, introduziu o conceito de Séries de Fourier, que consiste numa representação de funções periódicas como uma soma de funções.
No estudo proposto foi apresentada a teoria e a forma de resolução das Séries de Fourier, assim como a forma de proceder numa mudança de intervalo das mesmas séries. Afim de apresentar ao aluno, durante seus estudos, uma forma tranquila da análise e resolução de problemas que abordem as Séries de Fourier.
2
1. SÉRIES DE FOURIER
1.1 – FUNÇÕES PERIÓDICAS
Uma função f(x) é dita periódica com um período T, se f( x + T) = f(x) para qualquer x. Do que decorre que f( x + nT ) = f(x) para n inteiro. n = 0, ±1, ±2, ...
Exemplo:
1 – Se f(x) = tan (x), temos que tan (x + π) = tan (x), logo T = π
2 – Achar o período da função f(x) = sen (x)
Se a função for periódica
sen n(x + T) = sen nx
sen n(x) cosnT + sennTcos n(x) = sen n(x)
cos nT = 1 cos nT = cos 2π
sennT = 0 sennT = sen 2π
Logo:
OBS: Se duas funções g(x) e h(x) possuem período T então a função f(x) = ag(x) + bh(x) é periódica com período T.
1.2 – SÉRIE TRIGONOMÉTRICA
É uma série de funções cujos termos são obtidos mulplicando-se os senos e os cosenos dos múltiplos sucessivos da variável independente x por coeficiente, que não dependem da variável x e são admitidos reais.
ou
... (1)
Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for covergente) será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas, funções periódicas de período 2π, a soma S(x) será uma função periódica de período 2π. De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento 2π, por exemplo: (-π, π) ou (0, 2π).
3
As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica.
Esta representação é possível se a f(x)satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet.
1.3 – CONDIÇÕES DE DIRICHLET
Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica; as condições de suficiência de Dirichlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergência da série para a função.
1ª) A função f(x) deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo (-π, π), com exceção, talvez, de um númer finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas).
Exemplo:
e
Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x = 0
Contra-exemplo:
no intervalo (0, 2π)
Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto t = 3
2ª) Efetuando-se uma partição no intervalo ( -π, π) em um número finito de sub-intervalos, a função f(x) em cada um deles será monótona. A função tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período.
Exemplo:
F(x)
-π π x
Podemos considerar 3 sub-intervalos:
no 1º f(x) é crescente;
no 2º f(x) é decrescente;
no 3º f(x) é crescente.
Apresenta no período um ponto de máximo e
um de mínimo.
4
Contra-exemplo:
1.4 – ORTOGONALIDADE – Integrais de EULER
Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período T = 2π, isto é, a integral em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula.
INTEGRAIS DE EULER
1 ) n = 1, 2, 3, ...
2 ) n = 0, 1, 2, ...
3 ) (p ≠ q ) inteiros
4 ) p = 1, 2, ...
5 ) ( p ≠ q ) inteiros
f(x)
x
Esta função apresenta um númer infinito
de máximos e mínimos na vizinhança de
t = 0
5
6 ) p = q ≠ 0
7 ) ou
Demonstrando:
1 ) ; n = 1, 2, ...
De fato:
2 ) ; n = 0, 1, 2, ...
De fato:
3 ) ; p ≠ q
De fato: ... (1)
... (2)
Somando membro a membro (1) + (2)
4 ) ; q = p = 1, 2, ...
De fato: ... (1)
... (2)
Somando (1) + (2)
6
5 ) ; (p ≠ q) inteiros
... (1)
... (2)
Subtraindo-se (2) – (1)
6 ) ; p = q ≠ 0
7 )
... (1)
... (2)
Somando (1) + (2)
1.5 – DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE FOURIER
Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente determinar an, bn em termos de f(x) de maneira que no intervalo (-π, π) a série trigonométri[ca (1) seja igual à função f(x), isto é,
Mas: então:
7
Calculando de An :
Multiplicando (1) por cos px, sendo p, nº fixo dado e integremos entre os limites –π e π.
Se n = p
Cálculo de Bn:
Multipliquemos (1) por sen px e integremos entre –π e π.
Se n ≠ p
Mas se n = p
Exemplo:
Determinar a série de Fourier da função f(x) que supomos possuir o período 2π e fazer o esboço do gráfico de f(x) e das primeiras três somas parciais.
1.
-π π
f(x)
8
As somas parciais são:
-π π
-π π
1
1
-π π
1
-π π
f(x)
x
9
Vimos que para
a série que Fourier representa é Vamos determinar a série de Fourier para
A função é a deslocada unidade para baixo, logo:
A função f2(x) é a mesma f(x), exceto por uma alteração na escala do tempo
Verificamos que alterar a escala de tempo, altera as freqüências angulares dos termos
individuais, mas não altera seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer conveniente.
EXERCÍCIOS
-π π
1
f(x)
x
-2π 2π
)
-π π
x x
10
1.6 – Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet
1.
2.
3.
4.
5. 1.7 – Desenvolver em séries de Fourier as funções supostas periódicas de período 2π.
1.
2.
3.
4.
PARA CONFERIR:
1.6.1 – Sim, pois no ponto t = 2 onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de 1ª espécie.
2 – Não, pois temos descontinuidade infinita para t = +2 e t = -2.
3 – Não, descontinuidade infinita na vizinhança de x = 1.
4 – Sim, as duas condições são satisfeitas.
5 – Não, pois na vizinhança de z = 1 temos um número infinito de máximos e mínimos.
1.7.1
A f(x) satisfaz as condições de Dirichlet.
1
f(x)
2 t
Para t = 2,
f(x)
π
-π π x
11
Fazendo a integração por partes:
Logo
12
1.7.2 –
Calculando Bn:
1.7.3 –
A f(t) satisfaz as condições de Direchlet.
CÁCULO DOS COEFICIENTES:
Sabemos que:
13
Multiplicando por n²
Mas,
De modo análogo calculamos Bn
14
Logo,
ou
1.7.4
1.8 – FUNÇÕES PARES E IMPARES
Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (-π, π), diz que:
g(x) é par se g(-x) = g(x)
h(x) é ímpar se h(-x) = -h(x)
15
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
x
g(x)
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
x
h(x)
Observações:
• Gráfico da função par g(x) é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
• O valor da função ímpar no ponto zero: h(0) = 0
Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar
verificamos que:
0
) ( ) 2 ( )I g x dx g x dxπ π
π−
=∫ ∫
De fato:
0
0
0 0
0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
g x dx g x dx g x dx
g x dx g x dx
g x d x g x dx
π π
π ππ π
π π
− −
= +
= − +
= − − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Então:
16
0 0
0 0
0
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2 ( )
g x dx g x dx g x dx
g x dx g x dx
g x dx
π π π
ππ π
π
−
= − − +
= +
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
) ( ) 0II h x dxπ
π−
=∫
De fato:
0
0
0 0
0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
h x dx h x dx h x dx
h x dx h x dx
h x d x h x dx
π π
π ππ π
π π
− −
−
= +
= − +
= − − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Então:
0 0
( ) ( )( ( )) ( ) 0h x dx h x d x h x dxπ π π
π−
= − − − + =∫ ∫ ∫
)III O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x) é ímpar.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( )
q x g x h x
q x g x h x
q x g x h x
q x g x h x
q x q x
=− = − −− = −− = −− = −
)IV O produto de uma função par por uma função par é par.
17
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
q x g x g x
q x g x g x
q x g x g x
q x q x
=− = − −− =− =
)V O produto de uma função ímpar por uma função ímpar é par.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ))( ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( )
q x h x h x
q x h x h x
q x h x h x
q x h x h x
q x q x
=− = − −− = − −− = +− =
CONCLUSÃO: Se f(x) é uma função par, f(x)sen(nx) é ímpar e
1( ) ( ) 0nb f x sen nx dx
π
ππ −
= =∫
Se f(x) é uma função ímpar, f(x)cos(nx) é ímpar e
1( )cos( ) 0na f x nx dx
π
ππ −
= =∫
TEOREMA I
A série de Fourier de uma função periódica par f(x), que possui período 2π, é uma série de
Fourier em cossenos.
0
1
( ) cos( )2 n
n
af x a nx
∞
=
= +∑
Com coeficientes:
0
0
0
2( )
2( )cos( )n
a f x dx
a f x nx dx
π
π
π
π
=
=
∫
∫
18
A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x) que possuí período 2π é uma série de
Fourier em senos.
1
( ) ( )nn
f x b sen nx∞
=
=∑
Com coeficientes:
0
2( ) ( )nb f x sen nx dx
π
π= ∫
Consideremos f(x) par.
0
1
( ) ( cos( ) ( )2 n n
n
af x a nx b sen nx I
∞
=
= + +∑
0
1
( ) ( cos( ) ( )2 n n
n
af x a nx b sen nx
∞
=
− = + − + −∑
Mas como f é par f(-x) = f(x)
0
1
( ) ( cos( ) ( )2 n n
n
af x a nx b sen nx II
∞
=
= + −∑
I II+
01
0
1
2 ( ) 2 cos( )
( ) cos( )2
nn
nn
f x a a nx ou
af x a nx
∞
=
∞
=
= +
= +
∑
∑
Por outro lado,
1( )cos( )na f x nx dx
π
ππ −
= ∫
Como f(x) e cos(nx) são funções pares, temos:
19
0
0
0
0
0
0 0
1( )cos( ) ( )cos( )
1( )cos( ) ( ) ( )cos( )
1 1( )cos( ) ( )cos( ) 2 ( )cos( )
na f x nx dx f x nx dx
f x nx d x f x nx dx
f x nx dx f x nx dx f x nx dx
π
π
π
π
π π
π
π
π
π π
−
= +
= − − − +
= − + =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Consideremos f(x) ímpar
0
1
0
1
( ) ( cos( ) ( ))2
( ) ( cos( ) ( ))2
n nn
n nn
af x a nx b sen nx I
af x a nx b sen nx
∞
=
∞
=
= + +
− = + − + −
∑
∑
Como f é ímpar, f(-x) = -f(x)
0
1
( ) ( cos( ) ( ))2 n n
n
af x a nx b sen nx II
∞
=
− = + −∑
1
1
:
2 ( ) 2 ( ( ))
( ) ( )
nn
nn
I II
f x b sen nx
f x b sen nx
∞
=
∞
=
−
= ∴
=
∑
∑
Por outro lado,
1( ) ( )nb f x sen nx dx
π
ππ −
= ∫
Como f(x) e sen(nx) são funções ímpares,
20
[ ][ ][ ]
0
0
0
0
0
0
0 0
1( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )
nb f x sen nx dx f x sen nx dx
f x sen nx d x f x sen nx dx
f x sen nx dx f x sen nx dx
f x sen nx dx f x sen nx dx
π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π
π
−
= +
= − − − +
= − − − +
= +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
0
2( ) ( )nb f x sen nx dx
π
π= ∫
Logo, ao calcular os coeficientes na Série de Fourier para funções que tenham simetria, é
conveniente integrar de – π a π ao invés de 0 a 2π.
Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o eixo
horizontal ou ambos, de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para
formas de onda simétricas.
EXEMPLOS:
1. Determinar a Série de Fourier da função:
−2π −π π 2π−1
1 xf(x)
0( )
2 2
xx
f xx
x
ππ
π ππ
< <= − < <
Como f(x) é uma função que apresenta simetria é conveniente integrá-la no intervalo (-π, π).
Cálculo dos Coeficientes.
21
Como f(x) é par; bn=0
2
0 0 0 20 0 0
0 0
20
2 2 2( ) 1
2
2 2( )cos( ) cos( )
2
2cos( )
n n
x xa f x dx a dx a
xa f x nx dx a nx dx
x nx dx
ππ π
π π
π
π π π π
π π
π
= ∴ = ∴ = =
= ∴ = =
=
∫ ∫
∫ ∫
∫
Integral que foi calculada anteriormente.
2 2
0
4n
para n para
para nímparn π
−
2. Determine a Série de Fourier para f(t).
−2π −π π 2π
−1
1
2
t
f(t)
Embora pudéssemos determinar a Série de f(t) diretamente vamos relocalizar os eixos a fim
de usar as relações de simetria, pois a f(t) não é nem par nem ímpar.
1o CASO: A subtração de uma constante de 1
2 produz uma função ímpar de f1(t).
−π π
−1.0−0.5
0.51.0
t
f1(t)
22
Logo 0 0na a= =
1
0
00
2( ) ( )
2 1 1 1( ) ( cos( )) (1 cos( )
2
0
2
n
n
n
b f t sen nt dt
b sen nt dt nt nn n
para n parb
para nímparn
π
π π
π
ππ π π
π
=
= = − = −
=
∫
∫
1
2 1 1( ) ( ( ) (3 ) (5 ) )
3 5f t sen t sen t sen t
π= + + +…
Portanto:
1 2 1 1( ) ( ( ) (3 ) (5 ) )
2 3 5f t sen t sen t sen t
π= + + + +…
2o CASO: Vamos mudar o eixo vertical para obter uma função par f2(t).
−3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2−0.5
0.5
1.0
1.5
t
f1(t)
Logo
0nb =
( )
( )
0 2
0
2
0
2;
2cos( )n
a f t dt
a f t nt dt
π
π
π
π
=
=
∫
∫
23
2 2
002
22
0 0
1
2
2
2 2 2(1) 0 0 1
2
2 2 2(1)cos( ) ( ) ( ( ) (0))
2
0
2( 1)
1 2 1 1( ) cos( ) cos(3 ) cos(5 )
2 3 5
n
n
nn
a dt dt t
a nt dt sen nt sen n senn n
para n par
aparanímpar
n
f t t t t
π ππ
π
ππ
ππ π π
ππ π π
π
π
−
= + = = − =
= = = −
⇒ = −
= + − + − +
∫ ∫
∫
…
Portanto
1 2 1( ) cos cos3
2 2 3 2f t t t
π ππ = + − − − +
…
Como,
( )cos cos( )cos ( )2 2 2
t t sen t sen sen tπ π π − = + =
( ) ( ) ( )3 3 3cos 3 cos 3 cos 3 3
2 2 2t t sen t sen sen t
π π π − = + = −
Podemos reescrever f(t)
( ) ( )1 2 1( ) 3
2 3f t sen t sen t
π = + + +
…
Como no resultado anterior.
1.9 – Funções com Período Arbitrário
Até agora consideramos funções periódicas de período 2π. Por uma simples
mudança de variável podemos encontrar a Série de Fourier de uma função f(t) de período T
qualquer.
24
Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear. Seja f(t)
definida no intervalo ,2 2
T T−
.
2
2
t ax b
Ta b I
Ta b II
π
π
= +
= +
− = − +
2 2
x
T Tt
π π− < <
− < <
Somando membro a membro I e II
0 0 2 0b b= + ∴ =
Substituindo em I
2 2
T Ta aπ
π= ∴ =
:Mudan a de Vari vel
2
Rascunho ç á
Tx t
x t
π
π
= − ⇒ = −
= ⇒ =
Então
2
2
Tt x x t
T
ππ
= ⇒ =
Vamos, pois, trocar a variável t por x, onde 2
x tT
π= , logo a 2
Tf x
π
é definida no
intervalo ( , )π π− .
Assim,
0
1
( ) ( cos( ) ( ))2 2 n n
n
aTf t f x a nx b sen nx
π
∞
=
= = + +
∑
Onde
25
0
1,
2
1cos( ) ( )
2 2n n
Ta f x dx
T Ta f x nx dx e b f x sen nx dx
π
ππ π
π π
π π
π π π
−
− −
=
= =
∫
∫ ∫
Para simplificar os cálculos façamos 2 2
x t dx dtT T
π π= ∴ =
0
1
2 2( ) ( cos( ) ( ))
2 n nn
a n nf t a t b sen t
T T
π π∞
=
= + +∑
Onde
2 2
0 0
2 2
1 2 2( ) ( )
T T
T T
a f t dt a f t dtT T
ππ
− −
= ∴ =∫ ∫ ,
2 2
2 2
2 2 2 2( )cos ( )
T T
n nT T
n na f t t dt e b f t sen t dt
T T T T
π π
− −
= =
∫ ∫
O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T,
por exemplo, 0 < t < T.
O Teorema I se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer.
EXEMPLO:
Determinar a Série de Fourier da função f(t), periódica de período T = 4
0 2 1,
( ) 1 1,
0 1 2
quando t
f t k quando t
quando t
− < < − − < < < <
26
−2 −1 1 2
t
f(t)
Temos que
2
2
2 2( )cos
T
nT
na f t t dt
T T
π
−
=
∫
Como f(t) é par, 2
0
2 20 2 ( )cos
T
n n
nb e a f t t dt
T T
π = =
∫
2 1 21
0 00 0 1
( ) 0a f t dt kdt dt kt k= = + = =∫ ∫ ∫
12 1
0 0 0
1
2
2( )cos cos
2 2 2
2
2
0
2( 1) mpar
n
n
nn
n n k na f t t dt k t dt sen t
n
k na sen
n
para n par
a kpara ní
n
π π ππ
ππ
π
−
= = =
=
−
∫ ∫
0
1
2( ) cos
2
2 1 3 1 5( ) cos cos cos
2 2 3 2 5 2
nn
a nf t a t
T
k kf t t t t
π
π π ππ
∞
=
= +
= + − + −
∑
…
27
1.10 – Séries em Senos e Séries em Cossenos
Desenvolvimento de meio período.
Seja f(t) de período T = 2L
Se f(t) for par a Série de Fourier fica:
0
1
0
1
2( ) cos
2
( ) cos2
nn
nn
a nf t a t ou
T
a nf t a t I
L
π
π
∞
=
∞
=
= +
= +
∑
∑
Com coeficientes:
0 0
1( )cos ( )
2 2( )cos , ( )
L
n
L
L L
n o
na f t t dt como f t é par
L L
na f t t dt II a f t dt
L L L
π
π−
= ⇒
⇒ = =
∫
∫ ∫
Se f(t) for ímpar:
1
( ) nn
nf t b sen t III
L
π∞
=
=
∑
Com coeficientes:
0
2( )
L
n
nb f t sen t dt IV
L L
π =
∫
28
x
y
L
x
y
L -L
f(t) prolongada como função par
29
x
y
-L L
Prolongamento periódico ímpar
OBS: Constatamos que II e IV empregam unicamente os valores de f(t) do intervalo (0,L).
Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries I e III. Se a
função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo (0,L).
Fora deste intervalo, a série I representará o prolongamento periódico par da f(t), tendo período 2L;
e a III o prolongamento periódico ímpar da f(t).
EXEMPLO: Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função f(t) definida no intervalo
(0,L) e fazer o gráfico do prolongamento periódico correspondente.
30
1 02( )
02
Lse t
f tL
se t L
< <= < <
t
f(t)
L L/2
t
f(t)
L L/2 -L/2 -L
22
0 00 02 0
2
0 02
2
0
2 2 2( ) 0 1
2 2( )cos cos 0cos
2 2(0)
2
2
2
LL
L L
L
LL L
Ln
L
n
n
a f t dt dt dt t aL L L
n n na f t t dt t dt t dt
L L L L L
L n n La sen t sen sen
L n L n L
na sen a
n
π π π
π ππ π
ππ
= = + = ⇒ =
= = +
= = −
= ∴
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
1
2
0
2( 1)
nn
sené par
para nímparnπ
−
=
−
Logo,
31
1 2 1 3 1 5
( ) cos cos cos2 3 5
f t t t tL L L
π π ππ = + − + − +
…
EXERCÍCIOS
1.11 – Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem pares nem ímpares.
1. f(x) = sen(x) + cos(x)
2. f(x) = x2 cos(nx)
3. f(x) = x|x|
4. f(x) = ex
5. f(x) = x3sen(x)
Resolução:
1. f(x) = sen(x) + cos(x)
f(-x) = sen(-x) + cos(-x)
f(x) = -sen(x) + cos(x)
Logo a função nem par nem ímpar.
2. f(x) = x2 cos(nx)
f(-x) = (-x) 2cos(-nx)
f(-x) = f(x)
Logo a função é par
3. f(x) = x|x|
f(-x) = -x|-x|
f(x) = -x|x|
f(x) = -f(x)
Logo a função é ímpar
4. f(x) = ex
f(-x) = xe−
32
Logo a função é nem par nem ímpar
5. f(x) = x3sen(x)
f(-x) = (-x) 3sen(-x)
f(-x) = -x3(-sem(nx))
f(-x) = x3sen(x)
f(-x) = f(x)
Logo a função é par
1.12 – Desenvolver em Série de Fourier as funções, supostas periódicas de período 2π.
1. f (x) x2 , xπ π− ≤ ≤ e obter o seguinte resultado devido a Euler:
2
21
1 1 1 11
4 9 16 6n n
π∞
=
= + + + + =∑ …
RESOLUÇÃO:
Como f(x) é par, bn=0
−π π
5
10
x
y
33
32 2
0 000
22
2 300
2 2
2
21
2
2 2 2
3 3
2 2 2 2cos( ) ( ) cos( ) ( )
2 2 4( 1) ( 1)
( 1)( ) 4 cos( )
3
1 1( ) 4( cos( ) cos(2 ) cos(3 ) )
3 4 9
n
n nn n
n
n
xa x dx a
x xa x nx dx sen nx nx sen nx
n n n
a an n
f x nxn
ou f x x x x
ππ
ππ
ππ π
π ππ
ππ
π
∞
=
= = ⇒ =
= = + −
= − ⇒ = −
−= +
= + − + −
∫
∫
∑
…
Fazendo x = π, temos:
22
21
22
21
2
21
( 1)4 ( 1)
3
2 ( 1)4
3
1
6
nn
n
n
n
n
n
n
n
ππ
π
π
∞
=
∞
=
∞
=
−= + −
−=
=
∑
∑
∑
2. f(x) = -1, 0xπ− < < , f(x) = 1 0 x π< < ; f(0) = 0 e mostrar que
1 1 1
14 3 5 7
π = − + − +…
RESOLUÇÃO:
Como f(x) é ímpar logo temos 0 0na a= =
34
−π π
x
f(x)
0 0
0
2 2( ) ( ) (1) ( )
2 ( ) 2 2cos( )
0
4
n
n
b f x sen nx dx sen nx dx
con nx n
n n n
para n parb
para nímparn
π π
ππ π
ππ π π
π
= = =
= − ⇒ −
=
∫ ∫
1
1
( ) ( )
4( ) ( )
4 4 4( ) ( ) (3 ) (5 )
3 5
nn
n
f x b sen nx
f x sen nxn
ou f x sen x sen x sen x
π
π π π
∞
=
∞
=
=
=
= + +
∑
∑
…
Fazendo 12 2
x temos fπ π = =
(ver gráfico)
4 4 4( ) 1
3 51 1
13 5 4
f xπ π π
π
= − + =
= − + =
…
…
3. f(t) = sen2(t), tπ π− ≤ ≤
35
−π π−1
1
2
t
f(t)
RESOLUÇÃO:
Como f(t) é par, 0nb =
[ ]
20
0
0 0
1 1 (1 cos(2 )( )
2
1 1cos(2 )
2 2
12 1
2
ta sen t dt dt
a t t dt
a a
π π
π π
ππ
ππ
π π
π π
ππ
− −
−−
−= =
= −
⇒ =
∫ ∫
∫
21 1 (1 cos(2 )( )cos( ) cos( )
21 1
cos( ) cos(2 )cos( )2 2
2 0
1 12
2 2
n
n
n
n n
ta sen t nt dt nt dt
a nt dt t nt dt
Para n a
Para n a a
π π
π π
π π
π π
π π
π π
ππ
− −
− −
−= =
= −
≠ ⇒ =
= ⇒ = − ∴ = −
∫ ∫
∫ ∫
Portanto, 1 1
( ) cos(2 )2 2
f t t= −
4. ( )f t t= , tπ π− ≤ ≤ e mostrar que 2
2 2 2
1 1 1
8 1 3 5
π = + + +…
36
−π π 2π
−3−2−1
123
t
f(t)
RESOLUÇÃO:
Como f(t) é uma função par logo 0nb = .
0 0
2
0 00
0 0
2 20
0
1
2( )
2 2
2
2 2( )cos( ) cos( )
2 ( ) cos( ) 2 ( ) cos( ) 1
( ) cos( )2
4 cos(3 )( ) cos( )
2 9
n
n
nn
a f t dt
ta t dt
a f x nx dx t nt dt
tsen nt nt sen n na
n n n n
af t a nt
tf t t
π
ππ
π π
π
π
ππ π
π ππ π π
π π
ππ
∞
=
=
= = =
= =
− = + = +
= +
= − +
∫
∫
∫ ∫
∑
…
Fazendo t = 0 temos: f(t) = 0
2
4 cos(3 )( ) cos( )
2 9
4 cos(3 ) 10 cos( ) 1
2 9 8 9
tf t t
tt
ππ
π ππ
= − +
= − + ⇒ = +
…
… …
1.13 – Determine a Série de Fourier das funções periódicas de período T:
1. f(t) = 1 (-1< t < 0), f(t) = -1 (0 < t < 1), f(0) = 0, T = 2
37
RESOLUÇÃO:
−2 −1 1 2
−1
1
t
f(t)
Como f(t) é ímpar temos: 0 0na a ==
( )
( ) ( )( )
2
2
2
0
1 1
0 0
1
0
2 2( )
2 22 ( )
2 22 1 2
2 2
2 2cos 1 1
0 par
4 mpar
T
Tn
T
n
n
n
n
n
nb f t sen t dt
T T
nou b f t sen t dt
T T
nb sen t dt sen n t dt
b n tn n
senéb
sené ín
π
π
π π
ππ π
π
−
=
= − = −
= = − −
= −
∫
∫
∫ ∫
Logo,
( ) ( ) ( )
1
2( )
4 1 1( ) 3 5
3 5
nn
nf t b sen t
T
f t sen t sen t sen t
π
π π ππ
∞
=
=
− = + + +
∑
…
38
2. f(t) = 1 (-1 < t < 1), f(t) = 0 (1 < t < 3), T = 4
RESOLUÇÃO:
−1 1 2 3
1
t
f(t)
1 3 120 0 11 1
2
0
2
2
1 3
1 1
1
1
2 2 1( ) 1 0 1
4 2
1
2 2( )cos
2 21cos 0
4 4
1 2 1 2
2 2 2 2
T
T
T
Tn
n
n
a f t dt a dt dt tT
a
na f t t dt
T T
na dt dt
n n na sen sen sen s
n n n
π
π
π π ππ π π
−−−
−
−
−
= ⇒ = + = =
=
=
= = ⇒
− = = − =
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
2
23,7,11..
21,5,9...
0
n
nen
para nn
a para nn
para n par
π
π
π
− == =
39
2
2
1 3
1 1
1
1
2 2( )
11 0
2 2 2
1 2cos 0
2 2
0
T
Tn
n
n
n
nb f t sen t dt
T T
n nb sen t dt sen t dt
nb t
n
b
π
π π
ππ
−
−
−
=
= + ⇒
− = =
=
∫
∫ ∫
0
1
2( ) cos
2
1 2 1 3 1 5( ) cos cos cos ...
2 2 3 2 5 2
nn
a nf t a t
T
f t t t t
π
π π ππ
∞
=
= +
= + − + − +
∑
3. f(x) = x (0 2x≤ ≤ ), T = 2
RESOLUÇÃO:
2
2
x
y
2
00 0
2 2( ) 2
2
T
oa f x dx xdx aT
= = ⇒ =∫ ∫
40
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
22
200 0
2
0 0
22
2
0 0
cos2 2( )cos
0
2 2( )
cos 1
2
2 1 1( ) 1 2 3
2 3
T
n
n
T
n
n
n
sen n x n xna f x x dx x
T T x n
a
nb f t sen x dx xsen n x dx
T T
n xb x sen n x
n n
bn
Logo f x sen x sen x sen x
π πππ
π π
ππ
π π
π
π π ππ
= = + ⇒
=
= = ⇒
= − + ⇒
−=
= − + + +
∫
∫ ∫
…
4. f(x) = (0 < x < 1), f(x) = 1-x (1 < x < 2), T = 2
RESOLUÇÃO:
−1 1 2 3
−1
1
x
y
41
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 22
0 0 12
212 2
0 1
0
1 22
0 12
1
2 2
0
2 2( ) 1
2
1 10
2 2 2 2
0
2 2 2 2( )cos cos 1 cos
2 2
cos
T
T
T
Tn
n
a f x dx xdx x dxT
x xx
a
n n na f x x x x dx x dx
T T
xsen n x n x sen n xa
n n
π π π
π π ππ π
−
−
= ⇒ + − ⇒
+ − = − =
=
= ⇒ + − ⇒
= + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( ) 2
2 2
1
2 2
cos
0
4n
xsen n x n x
n n n
para n para
para nímparn
π ππ π π
π
− − ⇒
= −
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 22
0 12
1 2
2 2 2 2
0 1
2 2 2 2( ) 1
2 2
cos cos cos
cos 2 cos
0
2
T
Tn
n
n n nb f x sen x dx xsen x dx x sen x dx
T T
x n x sen n x n x x n x sen n x
n n n n n
n n
n
para n parb
para nímparn
π π π
π π π π ππ π π π π
π ππ
π
−
= ⇒ + − ⇒
− + + − + − ⇒
−⇒
=
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
1
2 21
2
2 2cos
2
4 2cos
4 1 2 1( ) cos cos 3 ... ...
9 3
n nn
n
a n nf x a x b sen x
T T
f x n x sen n xn n
f x x x sen x sen x
π π
π ππ π
π π π ππ π
=
∞
=
= + +
= − +
= − + + +
∑
∑
1.14 – Representar por meio da Série de Fourier em cossenos as funções 1. 2. e por meio da
Série de Fourier em senos as funções 3. e 4.; fazer o prolongamento periódico correspondente:
42
1. f(x) = 1 (1 < x < 2), f(x) = x-2 (2 < x < 4)
−4 −2 2 4 6
2
x
f(x)
Prolongamento periódico par
{ }
( )
4 2 4
0 00 0 0 2
2 42 2
0
0 2
4
0 0
2 1 1( ) ( ) ( 2)
2 2
1 12 2 ( 2) 2
2 2 2 2
2 1( )cos ( )cos
2 4
1cos 2 cos
2 4 4
L
o
L
n n
n
a f x dx a f x dx xdx x dxL
x xa x a
n na f x x dx a f x x dx
L L
n na x x dx x x
π π
π π
= ∴ = = + −
= + − = − − ⇒ =
= ∴ =
= + −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫2 4
0 2dx
∫ ∫
Cálculo da Integral:
( )2
4 4cos
4 4 4
4cos
4 4
4 16cos cos
4 4 4
n x n nx x dx sen x sen x dx
n n
u x du dx
n ndv x v sen x
n
n x n nx x dx sen x x
n n
π π ππ π
π ππ
π π ππ π
= −
= ∴ =
= ∴ =
= +
∫ ∫
∫
43
( )
( )( )
2
2 2
0
4 4
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
,
1 4 16cos
2 4 4
4 16 4cos 2
4 4 4
1 16 16 81
2 2
8 41 1
n
n
n
n
n
Logo
x n na sen x x
n n
x n n nsen x x sen x
n n n
na sen
n n n
a sn n
π ππ π
π π ππ π π
ππ π π
π π
= + +
+ −
= − + − +
= − + − +
( )1
22 2
4
0
16 41 2 1
n
n
n
nen
a para n par
a para n kn n
π
π π
−
=−= + − = +
( ) ( ) ( ) ) ( )
0
1
2 20
( ) cos2 4
2 116 4( ) 1 1 cos
2 1 42 1
nn
k
k
a nf x a x
kf x x
kk
π
πππ
∞
=
∞
=
= +
+ −= + + − ++
∑
∑
2. f(x) = t3 ( )0 t L< <
RESOLUÇÃO:
f(x)
44
( ) 30 00 0
4 3 3
0 0
0
2 2
2
4 2 2
L L
L
a f t dt a t dtL L
t L La a
L
= ∴ =
= = ⇒ =
∫ ∫
( ) 3
0 0
33
20
32
00
2 2cos cos
2cos cos
3
2 3
L L
n n
L
LL
n na f t t dt a t t dt
L L L L
Cálculoda Integral
t un n L nt t dt dv t dt v sen t
L L L n Lt dt du
udv uv vdu
t L n L nsen t t sen t dt
L n L n L
π π
π π ππ
π ππ π
= ∴ =
= = ⇒ = =
= −
−
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
[ ]
( ) ( )3
2 2 4 4
6 121 1 1
n n
n
La
n nπ π
= − − − −
⋱
Logo,
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1
3 3
2 2 4 41
3 3
2 4 4 2 2
cos2
6 121 1 1 cos
4
6 4 1 2 4 1 31 cos cos cos ...
4 4 3 3
nn
n n
n
a nf x a t
L
L L nf x t
n n L
L Lf x t t t
L L L
π
ππ π
π π ππ π π
∞
=
∞
=
= +
= + − − − −
= + − + + − +
∑
∑
3. f(x) = cos(x) (0 < x < π)
RESOLUÇÃO:
45
π
−2
2
x
f(x)
46
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
0
0
0
0 0
0
2( )
2cos
2cos
1cos 1 1
2
2 1cos 1 1
2
1 1 1cos 1 cos 1
2 1 1
1
L
n
n
n
n
n
n
nb f x sen x
L L
nb x sen x dx
b x sen nx dx
sen a b sen n x sen n x
b x sen nx dx sen n x sen n x dx
b n x n xn n
b
π
π
π π
π
π
ππ π
π
π
=
=
=
= + + −
= = + + − =
= − + − − = + −
=
∫
∫
∫
∫ ∫
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
2 2
21
1 1 1 1cos 1 cos 1
2 1 1 1 1
1 cos 1 1 cos 11
1 1
1 2 1cos 1
1 2
1 2 2 1 8
2 1 2 1 4 1
:
1 82
4 1
n
k
k
n nn n n n
n nb
n n
sen kn
sen k
kb
k k k
daí
kf x sen k x
k
π π
π ππ
π
π π
π
∞
=
− + − − + + + − + −
− + − −= +
+ −
= ++ = − =
= + = + − −
=−∑
` 4. f(t) = et ( )0 t π< <
RESOLUÇÃO:
47
x
f(x)
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0
0 0
0
0 0
0 0
20
2
2 2
cos cos
1 1cos
1
L
n
t tn
t
tt t
t tt t
t
nb f t sen t dt
L L
nb e sen t dt e sen nt dt
Cálculoda Integral e sen nt dt
ee sen nt dt nt e nt dt
n
e ee sen nt dt nt sen nt e sen nt dt
n n n n
e sen nt dt en
π π
π
π π
π π
π
π
ππ π π
=
= ⇒
= − +
= − + −
+
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
20
1
2 20
1
2
1
2
cos
1 1 1 1 11 1
:2
1 12 1
2
1
t tt
n nt t t
n
n tn
nn
e esen nt dt nt sen nt
n nn n
e sen nt dt e en n
multiplica seo resultado por temosb igual
nb e
n
nf t b sen
L
nf t
n
π
π
π
π
π
π
+
+
∞
=
= − +
= − − + = − + + +
−
= − + +
=
= +
∫
∫
∑
( ) ( )1
1
1 1n t
n
e sen nt∞
+
=
− + ∑
48
2 – Séries de Fourier: Mudança de Intervalo
Até aqui, tratamos exclusivamente de funções nos intervalos [ ],π π− e [ ]0,π . Para muitas
finalidades, entretanto, esta colocação é muito restritiva, e agora nos propomos generalizar nossos
resultados para um intervalo arbitrário [ ],a b . Mas, ao invés de começar imediatamente com o mais
geral, será mais simples considerarmos primeiro os intervalos da forma [ ],p p− e seus espaços
euclidianos associados CP[ ],p p− . Porque, aqui, a situação pode ser tratada com presteza.
Com efeito, é óbvio que as funções
( )2 21, cos , , cos , ... 2.1
x x x xsen sen
p p p p
π π π π
são mutuamente ortogonais em CP[ ],p p− (Exercício 1, abaixo).* Além disso, justamente como
no caso em que p π= , pode-se mostrar que essas funções formam uma base deste espaço, e, por
conseguinte, que as suas séries ortogonais associadas (as quais, diga-se de passagem, denominam-se
ainda Séries de Fourier) convergem em média. E, finalmente levando-se na devida consideração o
comprimento do intervalo, todas as nossas observações concernentes à convergência pontual são
válidas neste contexto.
* Realmente, todo o problema consiste em fazer uma mudança de coordenadas no eixo dos x, substituindo-se πx/p por x nas funções empregadas anteriormente.
Para obtermos as fórmulas para os coeficientes de Fourier de uma função de CP[ ],p p− ,
notemos que:
2 2
2
cos
p
p
p p
p p
dx p
k x k xdx sen p
p p
π π−
− −
=
= =
∫
∫ ∫
Então, pela Fórmula (8-22)
49
( ) ( )
( ) ( )
( )
0
1
cos 2.22
1cos , 2.3
1
k kk
p
k p
p
k p
a k x k xf x a b sen média
p p
onde
k xa f x dx
p p
k xb f x sen dx
p p
π π
π
π
∞
=
−
−
= + +
=
=
∑
∫
∫
Para todo k. E, com isto, encerramos.
A discussão acima pode ser facilmente adaptada para tratar do espaço euclidiano
CP[ ],p p− . Com efeito, se fizermos, 2p b a= − , de modo que [ ] [ ], , 2a b a a p= + , as funções
(2.1) formarão uma base para CP[ ], 2a a p+ . Isto nos leva imediatamente às seguintes fórmulas
para o cálculo do desenvolvimento em Série de Fourier de uma função f em CP[ ],a b :
( ) ( ) ( )0
1
2 2cos 2.4
2 k kk
a k x k xf x a b sen média
b a b a
π π∞
=
= + + − − ∑
em que
( ) ( )
( )
1 2cos , 2.5
1 2
b
k a
b
k a
k xa f x dx
b a b a
k xb f x sen dx
b a b a
π
π
= − −
= − −
∫
∫
Exemplo 1. Determine a Série de Fourier em CP[ ]0,1 da função ( )f x x= .
Aqui, 1b a− = , e (2.5) torna-se
( ) ( )
( ) ( )
1
0
1
0
2 cos 2 ,
2 2 .
k
k
a f x k x dx
b f x sen k x dx
π
π
=
=
∫
∫
A integração por partes dá, então,
50
0
11, 0, 0,k ka a k b
kπ= = ≠ = −
Portanto,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 61 12 ... .
2 2 3
sen x sen xf x sen x média
π ππ
π
= − + +
O gráfico desta série é dado na Fig. 2.1
−2 −1 1 2
−1
1
x
f(x)
Fig. 2.1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2−1
12
x
f(x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5−1
1x
f(x)
Fig 2.2 Fig. 2.2
Exemplo 2. Determine a Série de Fourier da função f mostrada na Fig. 2.2
Neste caso,
( ) 2, 2 3,
4 , 3 4,
x xf x
x x
− ≤ ≤= − ≤ ≤
e as Fórmulas (2.5) dão
51
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
2
3 4
2 3
4
2
3 4
2 3
cos
( 2)cos 4 cos
2 4
k
k
a f x k x dx
x k x x k x dx
b f x sen k x dx
x sen k x dx x sen k x dx
π
π π
π
π π
=
= − + −
=
= − + −
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculos podem ser
simplificados consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio.
Designemos por F a extensão periódica de f a todo eixo x (Fig. 2.3). Então, as funções
( ) ( )cosF x k xπ e ( ) ( )F x sen k xπ são periódicas com período 2, e temos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 4
2
2 4
2
cos cos , 2.6
,
a
a
a
a
F x k x dx f x k x dx
F x sen k x dx f x sen k x dx
π π
π π
+
+
=
=
∫ ∫
∫ ∫
para qualquer número real a. [Neste ponto, nos apoiamos no fato óbvio d g ser contínua por partes
em ( ),−∞ ∞ com período 2p. Então,
2 2
( ) ( )a b
a bg x dx g x dx
+ +=∫ ∫
para qualquer par de números reais (a, b).] Fazemos agora a = -1 em (2.6), para obter
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
1
cos ,
.
F x k x dx
F x sen k x dx
π
π−
−
∫
∫
Mas, no intervalo [-1, 1], F coincide com a função par |x|. Donde 0kb = para todo k, e
( )1
02 coska x k x dxπ= ∫ .
Portanto,
52
0
2 2
1
4, mpar
0, , 0k
a
k ía k
k par kπ
=
−= ≠
3 – SÉRIE DUPLA DE FOURIER
Diz-se que uma função é continua por partes num retângulo R do plano se:
(i) f é contínua no interior e na borda de R, com a possível exceção de um número
finito de pontos, ou ao longo de um número finito de arcos diferenciáveis simples, e
(ii) Existe ( )0( , ) ( , )
lim ,ox y x y
f x y→
quando ( )0 0,x y é um ponto de descontinuidade de f e
( ),x y tende a ( )0 0,x y pelo interior de qualquer uma das regiões em que R é
dividida pelos arcos de descontinuidade.
53
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, , ,
, , ,
, , , ,... , , ,... ...
R
b d
a c
f g f x y g x y dR
f g f x y g x y dxdy
Extensão
f g f x y z g x y z dxdydz
=
=
=
∫∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Teorema: Sejam ( ){ }if x e ( ){ }jg y bases ortogonais dos espaços euclidianos CP[ ],a b e
CP[ ],c d , respectivamente. Então, o conjunto de todos os produtos ( ) ( )i jf x g y , i = 1, 2, 3, ... e
j = 1, 2, 3, ... é uma base de CP[R], onde R é o retângulo .a x b e c y d≤ ≤ ≤ ≤
Seja a Série de Fourier abaixo
( ) ( ),
, ,ij iji j
f x y h x yα=∑
1. Base para CP[-π, π]
( ) [ ] [ ]( ) ( ){ }
, , ,
cos ,
0,1,2,...
0,1,2,...
f x CP x
nx sen nx
n
m
π π π π∈ − ∈ −
==
2. Base para CP[-π, π]
( ) [ ] [ ]( ) ( ){ }
, , ,
cos ,
0,1,2,...
0,1,2,...
f y CP y
py sen qy
p
q
π π π π∈ − ∈ −
==
Assim,
3. Base para CP[R]
54
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }cos cos ,cos , cos ,nx py nx sen qy sen mx py sen mx sen qy
3.1 – CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE FOURIER
Assim,
,
Onde:
EX:
55
De um modo mais geral, o conjunto de funções:
56
é uma base do espaço euclidiano das funções contínuas por partes no retângulo: -a ≤ x ≤ a, -b ≤ y ≤ b.
Teorema: Seja R o retângulo –π ≤ x ≤ π, -π ≤ y ≤ π, e suponhamos que F seja contínua em R, e que
existam e sejam limitadas em R. Então, a série dupla de Fourier de F converge pontualmente para F em R.
4. FORMA COMPLEXA DAS SÉRIES DE FOURIER
C-n = Cn
57
CONCLUSÃO
A Série de Fourier é uma ferramenta poderosa na forma de análise de funções períodicas, de período A, onde A é um valor arbitrário. Tendo a Série de Fourier diversas aplicações, como na determinação de tensão em um capacitor em regime estacionário, Equações da Onda, do Calor, em Série Telescópica, etc.
Portanto ao término desse estudo o aluno estará apto a resolução de problemas que incluam a utilização de Séries de Fourier em diversas áreas de atuação. Assim como a resolução de problemas a partir da paridade de uma função.
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer ao Professor Dr. A. S. de Assis, da Universidade Federal Fluminense, pela disponibilização do material utilizado no trabalho. Aos parentes, amigos e colegas pela paciência durante o desenvolvimento desse estudo. Este trabalho teve apoio do professor A.S de Assis.
REFERÊNCIA
• A. S. de Assis, Séries de Fourier, 2010
