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EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL
PROBLEMA UNIDIMENSIONAL TRANSIENTE
B
A
TLxtT
TxtT
TxtT
x
TK
t
Tc
),(
)0,(
),0( 0
2
2
Condição inicial
Condições de contorno
?),( xtT
0T
x
t
BT
AT
0t
tt
tjt 1
1j
2j
j
1 2 1i i 1N N1i
jiT ,
jiT ,
Ponto i Tempo j
Discretização no espaço:2
112
2 2
x
TTT
x
T iii
i
Equação diferencial deve ser satisfeita em todos os pontos i :
BN
A
iiii
TT
TT
Nix
TTT
c
k
dt
dT
1
211 1,,2;
2
Uma vez discretizada as derivadas em relação a x, obtém-se umsistema de equações diferenciais ordinárias em t (prob. de valor inicial):
BN
A
TT
x
TTT
c
k
dt
dTx
TTT
c
k
dt
dT
TT
22343
21232
1
2
2
)(,,)(,)( 21 tTtTtT N
Incógnitas do problema:
Método Explícito jiT ,
Ponto i Tempo j
1,,2;2
2
,1,,1,11,
Nix
TTT
c
k
t
TT
dt
dT jijijijjii
Lado direito da EDO avaliada no instante anterior
1,,2;2 ,1,,12,1, NiTTTc
k
x
tTT jijijijiji
Quando um método explícito é usado, as temperaturas em todos os pontos ino intante j+1 são calculadas diretamente em função das temperaturas nospontos i no instante j, conhecidas.
O método de Euler explícito é instável se2
2 2
1
2
1x
c
kt
c
k
x
t
O passo de tempo tem que ser muito pequeno e função da discretização em x
B
A
TLxtT
TxtT
TxtTdx
TdK
dt
dTc
),(
)0,(
),0( 0
2
2
Exemplo usando Excel:
1;2;0
1.0;1;1
0
BA TTT
xLc
k
1,,2;2 ,1,,12,1, NiTTTc
k
x
tTT jijijijiji
Planilha do Microsoft Excel
2
11
01.0;1.0;1
2
c
k
x
t
txc
k
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
T
t = 0
t=0.03
t=0.05
2
1
005.0;1.0;1
2
c
k
x
t
txc
k
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
T
t = 0
t=0.15
t=0.025
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
T
t = 0
t=0.15
t=0.025
t=0.1
t=0.15
t=0.4
Solução em regime permanente
Método Implícito jiT ,
Ponto i Tempo j
1,,2;2
2
1,11,1,1,1,
Nix
TTT
c
k
t
TT
dt
dT jijijijijii
Lado direito da EDO avaliada no instante atual
Conhecida as temperaturas no instante j, deseja-se determinar as temperaturas no instante j+1.
BjN
jijijiji
Aj
TT
Ni
Tt
Txc
kT
xc
k
tT
xc
k
TT
1,
,1,121,21,12
1,1
1,,2
;11211
Sistema de equações linear.
Para cada instante de tempo, deve-se resolver um sistema de equações linear.
fxA
Função das temperaturas no instante anterior
Vetor com as temperaturas em todos os nós no instante atual.
Matriz dos coeficientes
Dt = 0,0001Tfinal = 0,01101 nos
Exercício
Nx = 201 DT = 0,01 T = 50
Nx = 201 DT = 0,01 T = 200
Exercício
Nx = 101 NT = 100
Nx = 101 NT = 500
Nx = 101 NT = 1000
Nx = 101 NT = 5000
PROBLEMA BIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE
0),(
)0,(
),(
),0(
02
2
2
2
Lyxy
T
TyxT
TyLxT
TyxTy
T
x
T
C
B
A
Parede isolada
AT BT
CT
?),( yxT
i 1i1i
j1j
1j
jiT ,
Coord x Coord y
Nx1i
Ny
1j
),( ji
)1,( ji
),1( ji ),1( ji
)1,( ji2
1,,1,
,
2
2
2
,1,,1
,
2
2
2
2
y
TTT
y
T
x
TTT
x
T
jijiji
ji
jijiji
ji
Equação algébrica resultante no ponto (i,,j) :
011
21111
,221,21,2,12,12
jijijijiji Tyx
Ty
Ty
Tx
Tx
1,2
1,,2
Nyj
Nxi
Condições de contorno:
1,,2;0
1,,2;
,,1;
,,1;
1,,
1,
,
,1
NxiTT
NxiTT
NyjTT
NyjTT
NyiNyi
Ci
BjNx
Aj
As equações algébricas devem ser escritas em forma matricial
fxA
Termo independente
Vetor com as temperaturas em todos os nós.
Matriz dos coeficientes
NyNxNyNx TT
TT
TT
TT
x
,
3,13
2,12
1,11
As incógnitas do problema devem ser numeradas de forma sequencialpara escrevermos o sistema de equações em forma matrical.
1
2
5
4
3
6
7
10
9
8
21
22
25
24
23
Exemplo de uma numeração sequencial:
NyNxNyNx
jijNyi
Ny
NyNy
TT
TT
TT
TT
TT
TT
,
,)1(
1,21
,1
2,12
1,11
13
Seguindo esta regra, a numeração sequencial do nó (i,j) é dada por:
),( ji
i-1 colunas de nós a esquerda do nó (i,j) ; cada coluna possui Ny nós:
jNyiji
)1(),(
Número de nós nas colunas anteriores Número de nós na coluna i
Equação relativa ao nó # 8:
011
21111
011
21111
822729232132
3,2222,224,223,123,32
Tyx
Ty
Ty
Tx
Tx
Tyx
Ty
Ty
Tx
Tx
3,28 TT
0000000000
251413121110987654321
ABCBA
A
Linha 8
Matrix é pentadiagonal
00.5
11.5
2
0
0.5
1
1.5
2-5
0
5
10
15
20
25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0),(
0)0,(
20),(
10),0(
Lyxy
T
TyxT
TyLxT
TyxT
C
B
A
Gráfico de iso-linhas contourf
Gráfico 3D - superfície surf
Exercício
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