Universidade Federal do Paraná Engenharia Mecânica Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Guilherme Augusto Pianezzer Gabarito Primeira Prova

Questão 1. Explique, em suas próprias palavras, o Teorema do Valor Intermediário.

Argumente se a função ( ) que fornece a altura de um avião no instante é contínua.

O teorema do valor intermediário diz que, dada uma função contínua ( ) e sendo ( ) e

( ) definidos, então essa função tem a propriedade de ser definida para algum no intervalo

onde ( ) é algum valor qualquer (intermediário) entre ( ) e ( ). A função que

fornece a altura de um avião é contínua pois, caso não fosse, não representaria o fenômeno

físico da elevação do avião.

Questão 2. Encontre

( )

Por multiplicação por conjugado, o limite anterior é equivalente ao

( )

( )

( )

( )

( )

Questão 3. Calcule o seguinte limite:

( ) ( )

Sendo ( )

Para este limite, como os limites laterais são descritos por funções diferentes, deve-se fazer os

limites laterais. Pela direita:

( ) ( )

Pela esquerda:

( ) ( )

Como o limite pela esquerda e o limite pela direita não são iguais, então

( ) ( )

Questão 4. Encontre

( )

Justificando CADA passo.

Calcular o ( )

é equivalente a calcular

( )( )

, pois ambas as funções

são iguais. Calcular este, por sua vez, é equivalente a calcular ( ), pois por mais

que ambas as funções não sejam iguais (Elas são diferentes em ), elas são iguais em

todos os outros pontos. Como o limite é uma operação que analisa a vizinhança da função,

esta nova função pode ser usada para calcular a anterior. Por fim, ( ) , pois

a função ( ) é contínua em todos os pontos (Por ser uma função polinomial) e portanto

( ) ( ).

Logo,

( )

Questão 5. Encontre

Justificando CADA passo.

Calcular

é equivalente a calcular o limite dado por:

(

)

( )

Como

Então

Questão 6. Um estudo de despesas com automóveis baseado em carros populares (quatro

cilindros) modelo 1992 revelou que o custo médio (prestações, combustível, seguro,

manutenção e depreciação), medido em centavos por milha, é aproximado pela função

( )̅̅ ̅̅ ̅̅

Onde denota o número de milhas (Em milhares) rodadas em 1 ano. Responda o que

acontece com o custo médio quando o número de milhas rodadas cresce ilimitadamente.

Matematicamente a pergunta dada é:

( )̅̅ ̅̅ ̅̅

Indicando qual a tendência da função custo médio quando o número de milhas rodadas cresce

indefinidamente. Sendo ( )̅̅ ̅̅ ̅̅

( )̅̅ ̅̅ ̅̅

Questão 7. Calcule, detalhadamente,

(Dica: Use o limite fundamental

)

Neste caso,

Sendo , e analisando que quando , , então

( )

Pois ( ) para inteiro.

Por fim,