Instruções:

1. A prova pode ser resolvida a lápis. Respostas finais somente com tinta azul ou preta.2. É proibido o uso de bips, pagers, celulares, calculadoras (ou relógios que as contenham).3. Resposta que não vier acompanhada de resolução não será considerada.4. Escreva nome, número e turma em todos os espaços reservados para isso.5. Seja educado: não escreva no tampo da mesa. Organizadamente utilize os espaços em branco da

prova para rascunhos (o verso da última página – inclusive – está em branco para isso).

01. (valor: 0,5) Considere a matriz A = (a )ij 2�2, definida por aij = – 1 + 2i + j .

Calcule o determinante de A.

Caderno de Questões

Bimestre Disciplina Turmas Período Data da prova P 53028

3.o Matemática – Álgebra 2.o Bio M 19/09/2005

Questões Testes Páginas Professor(es)

11 11 Gleney / Ricardo Sabo

Verifique cuidadosamente se sua prova atende aos dados acima e, em caso negativo, solicite, imediatamente,outro exemplar. Não serão aceitas reclamações posteriores.

Aluno(a) Turma N.o

Nota Professor Assinatura do Professor

Rascunho

02. (valor: 1,0) Dadas as matrizes A =3 1 0

2 3 2

�

� �

�

��

�

�� e B =

1 0 0

0 1 2�

��

�

�� resolver o

sistemaX Y 2A B

X Y A 2B

� � �

��

p 2P 53028

Rascunho

03. (valor: 1,0) Sendo C = A–1 , determine C22 dado A =3 10

5 17�

��

�

��

Aluno(a) Turma N.o P 53028

p 3

Rascunho

04. (valor: 1,0) Sabendo-se que as matrizes A =1 a

1 3�

��

�

�� e B =

2 1

b 0�

��

�

�� comutam,

calcular a e b .

p 4P 53028

Rascunho

05. (valor: 1,0) (UNIRIO) Dada a matriz A =� ��

��

�

��

5 3

3 2, determine A–1 + At – I2 .

Aluno(a) Turma N.o P 53028

p 5

Rascunho

06. (valor: 0,5) Sejam as matrizes A e B quadradas de ordem n . Expresse a matriz X emfunção de A e B em cada equação:

a. (X + A)t = B

b. AXB = Bt

p 6P 53028

Rascunho

07. (UFRJ) Seja a matriz A =1 1

0 1�

��

�

��

a. (valor: 0,5) Determine A3 .

b. (valor: 0,5) Se An denota o produto de A por A n vezes, determine o valor donúmero natural k tal que A A A Ik 5k 62

� , onde I é a matriz identidade.

Aluno(a) Turma N.o P 53028

p 7

Rascunho

08. (UERJ) Considere as matrizes A = (a )x j n�nem que axj = 1 se x é par e axj = –1

se x é ímpar e B = (b )x j n�pem que bxj = jx .

a. (valor: 0,5) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A .

b. (valor: 0,5) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB éigual a 4094 . Calcule o número de linhas da matriz B .

Dado: soma PG: Sa q a

q 11

n1

�

�

�

�

��

�

�

��

p 8P 53028

Rascunho

09. (valor: 1,0) (VUNESP / modificada) Dez amigos vão sentar-se em dez poltronas alinhadasem um cinema, mas três deles desejam sentar-se juntos. Nestas condições, de quantasmaneiras distintas os dez amigos podem ocupar as poltronas referidas, considerando-sedistintas as posições em que pelo menos dois amigos ocupem poltronas diferentes?

Aluno(a) Turma N.o P 53028

p 9

Rascunho

10. (FGV / modificada) Um dado de 6 faces é viciado de tal forma que a probabilidade desair a face 3 é o triplo da face 1 e as demais faces possuem a probabilidade de umdado honesto.

a. (valor: 0,5) Lançando-se uma vez o dado, qual a probabilidade de sair a face 3?

b. (valor: 0,5) Lançando-se 2 vezes o dado, qual a probabilidade de sair exatamenteuma face 3?

p 10P 53028

Rascunho

11. (valor: 0,5) (FGV / modificada)

a. Se um dado em forma de um octaedro regular (poliedro com 8 faces congruentes), comsuas faces numeradas de 1 a 8, for lançado duas vezes, qual a probabilidade de que asoma dos números observados seja 5?

b. (valor: 0,5) Se este dado do item anterior é lançado n vezes, para que valores de n

a probabilidade que o número 8 apareça ao menos uma vez seja inferior a23

?

Aluno(a) Turma N.o P 53028

p 11

Rascunho

Gabarito

01. (valor: 0,5) Considere a matriz A = (a )ij 2�2, definida por aij = – 1 + 2i + j .

Calcule o determinante de A.

Aa a

a a

(–1 2 1 1) (–1 2 1 2)

(–1 22x2

11 12

21 22

��

��

�

�� �

2 1) (–1 2 2 2)

2 3

4 5

�

��

�

�� �

�

��

�

��

Resposta: det(A) =2 3

4 5= 2 5 – 3 4 + 10 – 12 = – 2

02. (valor: 1,0) Dadas as matrizes A =3 1 0

2 3 2

�

� �

�

��

�

�� e B =

1 0 0

0 1 2

�

��

�

�� resolver o

sistemaX Y 2A B

X Y A 2B

�

� � � �

� �

X Y 2A B

X – Y A – 2B

�

�

� � –

+

2X = A – B =3

2

–1

– 3

0

– 2–

1

0

0

1

0

22X

2

2

–1

– 4

0

– 4

�

��

�

��

�

��

�

�� � �

�

��

�

�� � X =

1

1

12

2

0

2

–

– –

�

���

�

���

Y = 2A + B – X � Y =6

4

2

6

0

4

1

0

0

1

0

2

1

1

1 2

2

0

2

6

3

–

– ––

–

– –

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

�� � �Y

–

–

3 2

3

0

0

�

��

�

��

Resposta: X =1

1

1 2

2

0

2

6

3

3 2

3

0

0

–

– –

–

–

�

��

�

�� �

�

��

�

��e Y

03. (valor: 1,0) Sendo C = A–1, determine C22 dado A =3 10

5 17

�

��

�

��

AC = I2 �3 10

5 17

C C

C C

1 0

0 1

11 12

21 22

�

��

�

��

�

��

�

�� �

�

��

�

�� �

�

��

�

�� �

3C 10C 3C 10C

5C 17C 5C 17C

11 21 12 22

11 21 12 22

1 0

0 1

�

��

�

��

Resposta: C22 = 3

P 530282.o BioMat. – ÁlgebraRicardo Sabo / Gleney19/09/2005

3C 10C 0

5C 17C 1

12 22

12 22

�

�

� �

x (–5)

x (3)

–15C – 50C 0

15C 51C 3

12 22

12 22

��

�

� �

C22 = 3

04. (valor: 1,0) Sabendo-se que as matrizes A =1 a

1 3

�

��

�

�� e B =

2 1

b 0

�

��

�

�� comutam, calcular a e b .

Se A e B comutam, então AB = BA:

1 a

1 3

2 1

b 0

2 1

b 0

1 a

1 3

2 ab 1

2

�

��

�

��

�

��

�

�� �

�

��

�

��

�

��

�

�� �

3b 1

3 2a 3

b ba

�

��

�

�� �

�

��

�

��

ab = 1

2a + 3 = 1 � a = – 1

2 + 3b = b � b = – 1

Resposta: a = – 1 e b = – 1

05. (valor: 1,0) (UNIRIO) Dada a matriz A =� ��

��

�

��

5 3

3 2, determine A–1 + At – I2 .

At =–

–

5 3

3 2

�

��

�

��

Sendo A–1 =a b

c d

�

��

�

�� então A A–1 = I

– 5 – 3

3 2

a b

c d

1 0

0 1

�

��

�

��

�

��

�

�� �

�

��

�

��

– 5a – 3c 1

3a 2c 0

x (2)

x (3)

– 5b – 3d 0

3b 2d 1

x (2)

x (

�

�

� �

�

�

� � 3)

Então A–1 =– –2 3

3 5

�

��

�

��

Logo: A–1 + At – I2 =– – –

––

2 3

3 5

5 3

3 2

1 0

0 1

8 0

0 6

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

�� �

��

��

�

��

Resposta:– 8 0

0 6

�

��

�

��

06. (valor: 0,5) Sejam as matrizes A e B quadradas de ordem n. Expresse a matriz X em função de A eB em cada equação:

a. (X + A)t = B

(X + A)t = B � � �� �X A B X A B X B – At

tt t t � � � � �

Resposta: X B – At�

2

–10a – 6c 2

9a 6c 0

–10b – 6d 0

9b 6d 3

�

�

� �

�

�

� �

– a = 2 – b = 3

a = – 2 � C = 3 b = – 3 � d = 5

b. A X B = Bt

A X B = Bt � A–1 A X B = A–1Bt �

� I X B = A–1Bt � XB = A–1Bt � X B B–1 = A–1BtB–1 �

� XI = A–1BtB–1 � X = A–1BtB–1

Resposta: X = A–1BtB–1

07. (UFRJ) Seja a matriz A =1 1

0 1

�

��

�

��

a. (valor: 0,5) Determine A3 .

A2 = A A =1 2

0 1

�

��

�

��

A3 = A2 A =1 3

0 1

�

��

�

��

Resposta: A3 =1 3

0 1

�

��

�

��

b. (valor: 0,5) Se An denota o produto de A por A n vezes, determine o valor do número natural k tal

que A A A Ik 5k 62

� � , onde I é a matriz identidade.

A1 k

0 1

k2 2

��

��

�

��

A1 5k

0 1

5k ��

��

�

��

A6 =1 6

0 1

�

��

�

��

Então se Ak2– Ak5 + A6 = I �

1 k

0 1–

1 5k

0 1

1 6

0 1

1 0

0 1

2�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

�� �

�

��

�

��

Logo k2 – 5k + 6 = 0

(k – 2) (k – 3) = 0

k = 2 ou k = 3

Resposta: k = 2 ou k= 3

08. (UERJ) Considere as matrizes A = (a )x j n�nem que axj = 1 se x é par e axj = –1

se x é ímpar e B = (b )x j n�pem que bxj = jx .

a. (valor: 0,5) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A .

A =

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

� � �

�

�

�

�

�

�

�

������

�

�

������

3

Resposta: Se n é par a soma da diagonal principal é 0Se n é ímpar a soma da diagonal principal é – 1

b. (valor: 0,5) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB é igual a 4094 .Calcule o número de linhas da matriz B .

Dado: soma PG: Sa q a

q 1

1n

1��

�

�

�

��

�

�

��

B =

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

1

2

3

4

n

1

2

3

4

n

1

2

3

4

n

1

2

3

4

n

1

2

� � � �

3

4

n

1

2

3

4

n

5

5

p

p

p

p

p

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��������

�

�

��������

O elemento da 4.a linha e 2.a coluna da matriz AB será a 4.a linha da matriz A multiplicada pela 2.acoluna da matriz B, então teremos:

1 2 + 1 22 + 1 23 + 1 24 + ... + 1 2n = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 2n = 4094

Isto é a soma da PG onde a1 = 2, q = 2

� �Sa q – a

q – 1

2 2 – 2

2 – 14094 2 2 – 1 40941

n1

nn�

�

� � � �

� � � � � �2 – 1 2047 2 2048 n 11n n

Resposta: O número de linhas da matriz B é 11.

09. (valor: 1,0) (VUNESP / modificada) Dez amigos vão sentar-se em dez poltronas alinhadasem um cinema, mas três deles desejam sentar-se juntos. Nestas condições, de quantasmaneiras distintas os dez amigos podem ocupar as poltronas referidas, considerando-sedistintas as posições em que pelo menos dois amigos ocupem poltronas diferentes?

Vamos supor que as pessoas sejam A, B, C, D, E, F, G, H, I, J e que os amigos que querem sentar-sejuntos sejam A, B, e C.

Vamos analisar o problema como se A, B, C fossem um único “objeto”.

Então o número de maneiras que as 10 pessoas podem sentar-se é P8 P3

Resposta: P8 P3

10. (FGV / modificada) Um dado de 6 faces é viciado de tal forma que a probabilidade de sair a face 3 é otriplo da face 1 e as demais faces possuem a probabilidade de um dado honesto.

a. (valor: 0,5) Lançando-se uma vez o dado, qual a probabilidade de sair a face 3?

P(1) = x

P(3) = 3x

P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = 16

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1

x + 16

3x 16

16

16

1 �

4

A B C , D, E, F, G, H, I, J

4x + 46

= 1

x = 112

� P(3) = 312

14

�

Resposta: 14

b. (valor: 0,5) Lançando-se 2 vezes o dado, qual a probabilidade de sair exatamente uma face 3?

312

face 3

112

face 1P2 ou

312

face 3

46

face 2P2

, , ,4 5 6

Resposta: 924

11. (valor: 0,5) (FGV / modificada)

a. Se um dado em forma de um octaedro regular (poliedro com 8 faces congruentes), com suas facesnumeradas de 1 a 8, for lançado duas vezes, qual a probabilidade de que a soma dos númerosobservados seja 5?

Espaço amostral: 8 8 = 64 duplas de números

Evento: (1, 4) (4, 1) (2, 3) (3, 2)

P (soma = 5) =4

64

1

16�

Resposta:1

16

b. (valor: 0,5) Se este dado do item anterior é lançado n vezes, para que valores de n a probabilidade

que o número 8 apareça ao menos uma vez seja inferior a2

3?

Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em 1 lançamento: 78

Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em 2 lançamentos: � �78

78

78

2 �

Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em 3 lançamentos: � �78

3

� � � � � �

Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em n lançamentos: � �78

n

Em n lançamentos: P(8) + P(não 8) = 1 � P(8) + � �78

n= 1 � P(8) = 1 � �– 7

8

n

mas P(8) < 23

� 1 – � �78

n< 2

3� � �– 7

8

n< – 1

3� � �7

8

n> 1

3�

� 13

< � �78

n� log

78

13 > n então n < log

78

13 com n � IN

Resposta: n < log7

8

13 para n � IN

5

3

12

1

122

3

12

4

62

2 2

1

24

8

24

9

24 �