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ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS João Roberto Barbosa 1 NOTAS DE AULAS rev 15set2018 ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS Uma grande importância é dada à disciplina mecânica dos fluidos, uma vez que se precisa formar pessoal capacitado para o desenvolvimento de projetos significativos como os que se desenvolvem no DCTA. O ITA tem papel importante na formação de recursos humanos nesse área. As figuras que ilustram a capa destas Notas de Aulas estão associadas ao projeto do rotor do primeiro estágio do compressor axial de alto desempenho que faz parte da turbina TAPP, cujo projeto está sendo desenvolvido essencialmente com a participação de professores, pesquisadores e ALUNOS do ITA. Chega-se à forma geométrica apresentada através de muitas considerações, mas a final depende quase que exclusivamente do cálculo do escoamento entre as pás, o que não se consegue sem os fundamentos da mecânica dos fluidos apresentados nestas Notas de Aulas. A disciplina ME-201 é apresentada sob o ponto de vista teórico e não cuida da solução numérica das equações desenvolvidas, mas é importante ressaltar ao aluno a importância do que aprenderão, através de aplicações importantes, como o estágio de compressor mencionado.

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ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS

João Roberto Barbosa 1

NOTAS DE AULAS rev 15set2018

ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS Uma grande importância é dada à disciplina mecânica dos fluidos, uma

vez que se precisa formar pessoal capacitado para o desenvolvimento de projetos significativos como os que se desenvolvem no DCTA. O ITA tem papel importante na formação de recursos humanos nesse área.

As figuras que ilustram a capa destas Notas de Aulas estão associadas ao

projeto do rotor do primeiro estágio do compressor axial de alto desempenho que faz parte da turbina TAPP, cujo projeto está sendo desenvolvido essencialmente com a participação de professores, pesquisadores e ALUNOS do ITA. Chega-se à forma geométrica apresentada através de muitas considerações, mas a final depende quase que exclusivamente do cálculo do escoamento entre as pás, o que não se consegue sem os fundamentos da mecânica dos fluidos apresentados nestas Notas de Aulas. A disciplina ME-201 é apresentada sob o ponto de vista teórico e não cuida da solução numérica das equações desenvolvidas, mas é importante ressaltar ao aluno a importância do que aprenderão, através de aplicações importantes, como o estágio de compressor mencionado.

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João Roberto Barbosa 2

APRESENTAÇÃO Edição digitalizada

Esta edição continua sendo uma revisão das edições anteriores, mas deixa de

ser um documento manuscrito. Continua em forma ainda não definitiva, especialmente

porque novos erros podem ter sido introduzidos com a digitalização das equações.

Defeitos e omissões continuam presentes, mas poderão ser corrigidos, como tem

acontecido, com auxílio dos alunos e outros leitores mais dedicados, razão pela qual

encorajo todos a contribuírem com indicação do que precisa ser corrigido.

Esta edição das Notas de Aulas não havia sido publicada em função da

necessidade de revisão cuidadosa da grafia utilizada nas milhares de expressões. Entretanto,

julgou-se conveniente que, mesmo faltando tal revisão cuidadosa, fosse divulgada, na

esperança de receber retorno dos alunos e outros possíveis leitores, indicando as correções

“ortográficas” que ainda precisam ser feitas. O autor agradece tais retornos, que permitirão

aprimoramento destas Notas de Aulas de Mecânica dos Fluidos, para apoio às aulas no ITA.

Em espacial aos alunos Álvaro Coppieter e Ricardo Hess, que iniciaram a digitalização.

Tem-se verificado que muitos alunos matriculados nesta disciplina têm interesse

em mecânica dos fluidos computacional (CFD), razão pela qual se esforça para que lhes seja

apresentada a matéria numa forma que lhes dê oportunidade de desenvolverem o

conhecimento mínimo para seus estudos; opta-se pelo conteúdo e sua apresentação como o

resumido nestas Notas de Aulas.

A matéria MECÂNICA DOS FLUIDOS, como apresentada, requer do aluno

um conhecimento mais aprofundado de matemática, compatível com as disciplinas ensinadas

nos diversos cursos do ITA. Estas Notas de Aulas foram preparadas para permitir que o

aluno acompanhe e participe ativamente das atividades em classe, sem necessidade de

fazer grandes anotações. Devem servir como guia de estudo e não como livro-texto. São

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João Roberto Barbosa 3

um resumo da vasta matéria relacionada à mecânica dos fluidos que será vista neste

curso.

Busca-se a fundamentação teórica para o estudo de escoamentos de interesse em

engenharia, através da recapitulação e aprofundamento dos conceitos e das técnicas

matemáticas dos cursos de graduação. Parte-se da formulação geral para a obtenção de

informações sobre escoamentos particulares. Toda a formulação teórica já foi utilizada para a

obtenção das equações de conservação e constitutivas. Para as aplicações particulares devem

ser estudadas as simplificações requeridas. Um bom conhecimento de matemática

(cálculo – especialmente funções de várias variáveis -, geometria analítica, equações

diferenciais e variável complexa), em compensação, é exigido.

Alguns exercícios resolvidos foram incluídos para elucidar a aplicação da

teoria. O aluno deve entender os passos dados para a solução desses exercícios, pois

acompanhar apenas o que foi feito não lhe garante o conhecimento completo da matéria, o

que é requerido para a aprovação no curso.

As Notas de Aulas continuam com a pretensão de dar aos alunos uma visão

geral da matéria mecânica dos fluidos. Para obter respostas a todas as questões básicas que

poderão surgir, mesmo no decorrer do curso, é necessário estudo mais aprofundado, não

coberto por este curso. O assunto abrangido neste documento serve como roteiro para

estudo e nunca substituirá textos consagrados pela abrangência e clareza. A bibliografia

indica alguns deles e é recomendado ao aluno que a consulte com freqüência.

As duas referências iniciais serviram de suporte à definição da abordagem da

discipina.

João Roberto Barbosa, março de 2018.

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João Roberto Barbosa 4

APRESENTAÇÃO Edição manuscrita

Estas Notas de Aulas:

a. apresentam a matéria MECÂNICA DOS FLUIDOS aos alunos de

ME201. Foram baseadas em manuscritos cedidos pelo Prof. Euclides de

Carvalho Fernandes, responsável pela disciplina no âmbito da Divisão de

Engenharia Mecânica-Aeronáutica, e adaptada no decorrer dos anos em

que fiquei responsável pela disciplina, no início deste século. Muitas

partes do texto são adaptações diretas que fiz dos que aparecem na

literatura indicada.

b. Foram preparadas para permitir que o aluno acompanhe e participe

ativamente das atividades em classe, sem necessidade de fazer anotações.

Devem servir como guia de estudo e não como livro-texto.

c. São um resumo da vasta matéria relacionada à mecânica dos fluidos que

será vista na disciplina ME-201. Esta edição continua sendo uma revisão

das edições anteriores e não está, ainda, na forma definitiva.

d. Não se detiveram na discussão filosófica de distinção, ou não, de leis ou

princípios da natureza, mas o leitor é incentivado a meditar sobre o

assunto. Igualmente, nada se registra sobre a historia da ciência aplicada

ao assunto ora em pauta, ainda que seja muito importante para o leitor

conhecer o processo do desenvolvimento da teoria hoje muito bem aceita

por todos os pesquisadores.

Busca-se a fundamentação teórica para o estudo de escoamentos de interesse em

engenharia através da recapitulação e aprofundamento dos conceitos e das técnicas

matemáticas dos cursos de graduação. Parte-se da formulação geral para a obtenção de

informações sobre escoamentos particulares.

Toda a formulação teórica já foi utilizada para a obtenção das equações de

conservação e constitutivas. Para as aplicações particulares devem ser estudadas as

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João Roberto Barbosa 5

simplificações requeridas. Um bom conhecimento de matemática (cálculo – especialmente

funções de várias variáveis -, geometria analítica, equações diferenciais e variável complexa),

em compensação, é exigido.

Alguns exercícios resolvidos foram incluídos para elucidar a aplicação da teoria.

O aluno deve entender os passos dados para a solução desses exercícios, pois acompanhar

apenas o que foi feito não lhe garante o conhecimento completo da matéria, o que é requerido

para a aprovação no curso.

As Notas de Aulas continuam com a pretensão de dar aos alunos uma visão geral

da matéria mecânica dos fluidos. Para obter respostas a todas as questões básicas que poderão

surgir, mesmo no decorrer do curso, é necessário estudo mais aprofundado, não coberto por

este curso.

O assunto abrangido neste documento serve como roteiro para estudo e nunca

substituirá textos consagrados pela abrangência e clareza. A bibliografia indica alguns deles e

é recomendado ao aluno que a consulte com freqüência.

Defeitos e omissões continuam presentes, mas poderão ser corrigidos, como tem

acontecido, com auxílio dos alunos mais dedicados.

João Roberto Barbosa, julho de 2005.

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CONTEÚDO 1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................. 9

1.1 - Informação Geral ..................................................................................................................................................... 9 1.2 - Conceituação de fluido .......................................................................................................................................... 12 1.3 - Introdução ao cálculo tensorial ............................................................................................................................. 15

1.3.1 - Convenção de Soma – notação de Einstein .............................................................................................. 15 1.3.2 - Índices livres ................................................................................................................................................ 15 1.3.3 - Delta de Kronecker ...................................................................................................................................... 16

1.3.4 - Símbolo de permutação de Levi-Civita (Epsilon) ijk ............................................................................ 17

1.3.5 - Operação com notação indicial ................................................................................................................... 18 1.3.6 - Transformação linear ................................................................................................................................... 19 1.3.7 - Componentes de um tensor ........................................................................................................................ 19 1.3.8 - Soma de tensores ........................................................................................................................................ 20 1.3.9 - Produto diádico de dois Tensores .............................................................................................................. 21 1.3.10 - Expressões úteis utilizadas nestas Notas de Aulas ................................................................................... 22 1.3.11 - Produto de dois tensores ............................................................................................................................ 23 1.3.12 - Associatividade ............................................................................................................................................ 23 1.3.13 - Rotação de Corpo rígido ............................................................................................................................. 23

1.3.14 - Tensor Identidade ( I ) ................................................................................................................................ 25

1.3.15 - Tensor Transposto (tT ) ............................................................................................................................ 25

1.3.16 - Tensor Ortogonal ......................................................................................................................................... 25 1.3.17 - Transformação de coordenadas (mudança de sistemas) ......................................................................... 26 1.3.18 - Autovalores e autovetores ........................................................................................................................... 27 1.4 - Introdução ao estudo das curvas no E³ ................................................................................................................ 31

1.4.1 - Linha de corrente no instante t.................................................................................................................... 33 1.4.2 - Tubo e superfície de corrente ..................................................................................................................... 35 1.4.3 - Trajetória da partícula .................................................................................................................................. 36 1.4.4 - Linha (curva) de emissão ............................................................................................................................ 38 1.4.5 - Linha (curva) de tempo................................................................................................................................ 38 1.5 - Conceitos fundamentais ........................................................................................................................................ 39 1.6 - Hipótese do contínuo. ............................................................................................................................................ 40 1.7 - Tipos de abordagem de problemas de escoamento............................................................................................ 42 1.8 - Trajetória da partícula ............................................................................................................................................ 46

1.8.1 - Velocidade da partícula ............................................................................................................................... 47 1.8.2 - Aceleração da partícula ............................................................................................................................... 47 1.8.3 - Escoamento Permanente ............................................................................................................................ 48 1.8.4 - Escoamento Uniforme ................................................................................................................................. 49 1.8.5 - Obtenção das equações da linha de corrente conhecido o campo de velocidades ................................ 50 1.9 - Coordenadas cilíndricas (polares) ........................................................................................................................ 54 1.1 - Coordenadas generalizadas ................................................................................................................................. 55

2 - PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO .............................................................................................................................. 60 2.1 - Teorema do transporte de Reynolds .................................................................................................................... 60

2.1.1 - Derivadas com relação ao tempo ............................................................................................................... 62 2.1.2 - Velocidade e aceleração ............................................................................................................................. 63 2.2 - Princípio da conservação de massa ..................................................................................................................... 74

2.2.1 - Formas particulares ..................................................................................................................................... 75 2.3 - Princípio da conserevação da quantidade de movimento ................................................................................... 76

2.3.1 - Conserevação da quantidade de movimento linear ................................................................................... 76 2.3.2 - Conservação da quantidade de movimento angular ................................................................................. 82 2.4 - Princípio da conservação da energia ................................................................................................................... 87

2.4.1 - Obsservação 1 ............................................................................................................................................. 91 2.4.2 - Variação da energia, no volume de controle, com o tempo ...................................................................... 93 2.4.3 - Bomba hidráulica ......................................................................................................................................... 96 2.5 - Adequação a Sistemas não Inerciais ................................................................................................................. 100

3 - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS .................................................................................................................................. 103 3.1 - Tipos de movimentos de interesse ..................................................................................................................... 105

3.1.1 - Translação ................................................................................................................................................. 105 3.1.2 - Rotação ...................................................................................................................................................... 105

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João Roberto Barbosa 7

3.1.3 - Deformação angular .................................................................................................................................. 111 3.1.4 - Deformação volumétrica............................................................................................................................ 112 3.1.5 - Movimento de um corpo deformável ........................................................................................................ 114 3.2 - O vetor vorticidade ............................................................................................................................................... 116 3.3 - Fluidos Newtonianos ........................................................................................................................................... 119

3.3.1 - Interpretação de ................................................................................................................................... 121

3.4 - Equações de Navier-Stokes ................................................................................................................................ 123 3.5 - Equações relevantes para solução numérica das equações de Navier-Stokes .............................................. 125 3.6 - Alguns tipos de escoamentos simplificados de interesse ................................................................................. 135

3.6.1 - Escoamento de Couette plano .................................................................................................................. 135 3.6.2 - Escoamento de Poiseuille plano ............................................................................................................... 138 3.6.3 - Escoamento de Hagen-Poiseuille ............................................................................................................. 141 3.6.4 - Escoamento de Couette numa região anular ........................................................................................... 149 3.6.5 - Escoamento de Hagen-Poiseuille entre 2 tubos concêntricos inclinados .............................................. 153

3.6.6 - Escoamento entre 2 placas planas paralelas, infinitas, movendo-se com velocidades sv e iv ....... 159

3.6.7 - Escoamento entre dois tubos concêntricos com velocidades iv e ev , sujeito a gradiente de pressão

163 3.6.8 - Escoamento num espaço estreito formado por duas paredes não paralelas ........................................ 167

4 - ESCOAMENTOS IRROTACIONAIS .......................................................................................................................... 173 4.1 - Conceitos fundamentais ...................................................................................................................................... 173 4.2 - Escoamentos Potenciais – soluções analíticas das equações de Navier-Stokes............................................ 175 4.3 - Transporte da vorticidade em um fluido viscoso, incopressível e de densidade homogênea ......................... 184 4.4 - Função de Corrente ............................................................................................................................................. 189 4.5 - Função Potencial de Velocidade ........................................................................................................................ 196

5 - ESCOAMENTOS POTENCIAIS BÁSICOS................................................................................................................ 198 5.1 - Fontes e sumidouros ........................................................................................................................................... 198 5.2 - Vórtices (vórtice livre) .......................................................................................................................................... 200 5.3 - Dipolos ................................................................................................................................................................. 202 5.4 - Escoamentos uniformes ...................................................................................................................................... 205 5.5 - Escoamentos mais complexos - Composição de escoamentos potenciais ..................................................... 207

5.5.1 - Fonte colocada num escoamento uniforme ............................................................................................. 207 5.5.2 - Fonte e sumidouro colocados num escoamento uniforme - Ovais de Rankine ..................................... 212 5.5.3 - Dipolo num escoamento uniforme (escoamento ao redor de um cilindro) ............................................. 216 5.5.4 - Escoamento ao redor de um cilindro com circulação .............................................................................. 220 5.6 - Escoamento potencial complexo 2-D ................................................................................................................. 223

5.6.1 - Escoamento paralelo uniforme ................................................................................................................. 226 5.6.2 - Exemplo 1 – Função Direta ....................................................................................................................... 228 5.6.3 - Exemplo 2 – Função Inversa .................................................................................................................... 231 5.7 - Transformação conforme e o escoamento ao redor de perfis aerodinâmicos – transformação de Joukovsky

2335.7.1 - Mapeamento de um círculo num aerofólio simétrico (2-D) – sem arqueamento ................................... 233 5.7.2 - Mapeamento de um círculo num aerofólio (2-D) – com arqueamento ................................................... 243 5.7.3 - Mapeamento de um círculo num aerofólio (2-D) – com arqueamento e sustentação, levando em conta incidência e espessura do aerofólio.................................................................................................................................. 244

6 - CAMADA LIMITE ......................................................................................................................................................... 250 6.1 - Introdução ............................................................................................................................................................ 250 6.2 - Conceitos fundamentais ...................................................................................................................................... 254

6.2.1 - Espessura da camada limite ..................................................................................................................... 254 6.2.2 - Espessura de deslocamento da camada limite ........................................................................................ 255 6.2.3 - Fator de forma ........................................................................................................................................... 257 6.2.4 - Espessura de energia da camada limite .................................................................................................. 257 6.2.5 - Espessura de dissipação da camada limite ............................................................................................. 257 6.3 - Camada Limite Laminar 2-D ............................................................................................................................... 258

6.3.1 - Equações simplificadas da camada limite, para escoamento laminar 2-D............................................. 258 6.3.2 - Equações de Navier-Stokes para camada limite ..................................................................................... 259 6.3.3 - Solução similar ........................................................................................................................................... 262

7.3.3.1 - Como encontrar a transformação de variáveis (similar) .............................................................................. 265 6.3.4 - Placas paralelas fixas – escoamento 2-D permenente, incompressível................................................. 268 6.3.5 - Solução por série de potências ................................................................................................................. 275

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João Roberto Barbosa 8

6.3.6 - Solução assintótica .................................................................................................................................... 280 6.3.7 - Equação de Von-Kármán .......................................................................................................................... 284

Perfil parabólico e gradiente de pressão nulo............................................................................................................. 287

Perfil cúbico e sem gradiente de pressão

1

dP 0dx

. ........................................................................................ 289

6.3.8 - Transição na placa plana .......................................................................................................................... 292 6.4 - Distribuição de temperatura numa camada limite compressível ....................................................................... 294

6.4.1 - Espessura da quantidade de movimento da camada limite ......................................................... 296

6.4.2 - Transferência de calor em camada limite 2-D compressível, regime permanente ................................ 297 6.4.3 - Adimensionalização das equações da camada limite incompressívelo 2-D .......................................... 298 6.4.4 - Transsferência de calor numa camada limite 2-D compressível, quando Pr 1 ............................... 306 6.4.5 - Transnferência de calor numa camada limite 2-D compressível, quando Pr 1 .............................. 310 6.5 - Introdução ao estudo da camada limite turbulenta numa placa plana .............................................................. 313

7 - BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................................ 316 7.1 - INTRODUCTION TO CONTINUUM MECHANICS ............................................................................................ 316 7.2 - LECTURES ON FLUID MECHANICS ................................................................................................................ 316 7.3 - BOUNDARY LAYER THEORY ........................................................................................................................... 316 7.4 - FLUID DYNAMICS, THEORETICAL AND COMPUTATIONAL APPROACHES ............................................. 316 7.5 - INTRODUCTION TO TENSOR CALCULUS AND CONTINUUM MECHANICS.............................................. 316 7.6 - COMPUTATIONAL FLUID MECHANICS AND HEAT TRANSFER .................................................................. 316 7.7 - FUNDAMENTALS OF FLUID MECHANICS ...................................................................................................... 316

8 - ANEXO I ....................................................................................................................................................................... 317 8.1 - SÉRIE NO 1 .......................................................................................................................................................... 317 8.2 - SÉRIE NO 2 .......................................................................................................................................................... 319 8.3 - SÉRIE NO 3 .......................................................................................................................................................... 320 8.4 - SÉRIE NO 4 .......................................................................................................................................................... 322 8.5 - SÉRIE NO 5 .......................................................................................................................................................... 323 8.6 - SÉRIE NO 6 .......................................................................................................................................................... 324 8.7 - SÉRIE NO 7 .......................................................................................................................................................... 327 8.8 - SÉRIE NO 8 .......................................................................................................................................................... 329 8.9 - SÉRIE NO 9 .......................................................................................................................................................... 330 8.10 - SÉRIE NO 10 ........................................................................................................................................................ 332 8.11 - SÉRIE NO 11 ........................................................................................................................................................ 333 8.12 - SÉRIE NO 12 ........................................................................................................................................................ 334 8.13 - Prova 1 ................................................................................................................................................................. 335 8.14 - Prova 2 ................................................................................................................................................................. 338 8.15 - Prova 3 ................................................................................................................................................................. 339 8.16 - Prova 4 ................................................................................................................................................................. 340

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ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS

João Roberto Barbosa 9

1 - INTRODUÇÃO

Informação Geral 1.1 -

Em “Principles of Laws of Nature”, de Dr. Werner Gitt, capítulo 2, publicado em

março de 2009, conceituam-se “leis” e/ou “principios da natureza”:

Lei da natureza:

Se a verdade de uma afirmação é verificada repetidamente de forma

reproduzível, de modo que é considerada como geralmente válida, então

temos uma lei natural. As estruturas e fenômenos encontrados no mundo

real podem ser descritos em termos das leis da natureza na forma de

princípios que são universalmente válidos. Isso vale tanto para o

desenvolvimento cronológico quanto para as relações estruturais internas.

As leis da natureza descrevem os fenômenos, eventos e resultados que

ocorrem na interação entre matéria e energia. Por estas razões, emoções

psicológicas como amor, luto ou alegria e questões filosóficas são excluídas

das ciências naturais. Declarações sobre eventos naturais podem ser

classificadas de acordo com o grau de certeza, a saber: modelos, teorias,

hipóteses, paradigmas, especulações e ficção.

Interessa-se por como representar o o fenômeno de as partículas de fluido se

moverem num determinado espaço. São feitos modelos físicos e matemáticos para dar a

correspondência matemática ao fenômeno físico, permitindo-se prever o que pode acontecer

sob determinadas circunstâncias. Tais modelos podem ser simples ou bastante complexos.

Assim, com as mesmas palavras daquele autor:

Modelo:

Modelos são representações da realidade. Somente as propriedades

mais importantes são refletidas e os aspectos menores ou não reconhecidos

não são cobertos. Modelos são importantes por causa de sua capacidade de

ilustrar. Um modelo é uma representação deliberada, mas simplificada da

realidade, e descreve as estruturas observadas de uma maneira

prontamente compreensível. É possível ter mais de um modelo para uma

dada realidade e, por ser por natureza provisório e simples, qualquer

modelo pode sempre ser melhorado.

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João Roberto Barbosa 10

Portanto, alguns modelos apresentados neste curso podem parecer por demais

simplificados, mas têm a finalidade de chamar a atenção do leitor para alguns pontos julgados

importantes.

Mecânica dos fluidos é uma disciplina do campo da mecânica aplicada que trata

do comportamento dos líquidos e dos gases, tanto em repouso como em movimento. Portanto,

é sob este título que um grande número de problemas práticos são estudados, desde o

escoamento de água em dutos, até a movimentação do ar atmosférico sobre a superfície da

terra.

A mecânica dos fluidos, pela abrangência dos assuntos a ela atinentes, é uma

matéria importante e prática. Alguns problemas são fáceis de serem resolvidos; Outros

requerem o entendimento aprofundado da mecânica dos fluidos e de matemática.

Para este curso em particular, ME 201, requer-se do aluno bons conhecimentos de

matérias fundamentais tais como cálculo, equações diferenciais ordinárias e parciais, variáveis

complexas, como ferramentas auxiliares para a formulação dos modelos matemáticos e

computacionais utilizados para a formulação e resolução de problemas, além, é claro, dos

fundamentos da mecânica dos fluidos, termodinâmica e transferência de calor tratados nos

cursos de graduação.

Apenas alguns exemplos simples podem ser resolvidos analiticamente; alguns

deles serão tratados aqui. Os exemplos mais interessantes, que envolvem situações do dia-a-

dia, não têm solução analítica e, portanto, precisam ser tratados numericamente, de modo

aproximado. Algumas soluções numéricas podem ser obtidas rapidamente em termos

computacionais (daí a associação a “custo baixo”); mas problemas mais complexos, requerem

considerável tempo para os cálculos (daí a associação a “alto custo”). Logicamente, baixo ou

alto custo precisam ser levados em conta em função do problema a ser resolvido.

Para efeitos deste curso, serão tratados apenas alguns problemas de baixo custo,

cuja solução pode ser obtida no computador pessoal de cada um, ainda que possam demorar

semanas para a “convergência”.

Tintura de métodos numéricos, para a solução dos problemas a serem propostos,

será apresentada como Anexo a estas Notas de Aulas; tem apenas o intuito de mostrar ao

aluno o que poderá enfrentar na vida profissional.

No Departamento de Turbomáquinas do ITA foi desenvolvido, por aluno de

doutorado, um programa computacional bastante complexo, para “resolver escoamento” em

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compressores axiais de alto desempenho. Com isso quero dizer que, ainda que as dificuldades

sejam muitas, podem ser enfrentadas com estudo, atenção e muita perseverança do aluno.

Para tanto, pretende-se que estas Notas de Aulas sejam um bom começo para o

estudo da Mecânica dos Fluidos requerida para a solução de problemas complexos do dia-a-

dia.

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Conceituação de fluido 1.2 -

Em geral, prevalece a idéia vaga do que seja um sólido ou um liquido. Aquele

como uma matéria dura e dificilmente deformável. Esta conceituação não é adequada sob o

ponto de vista cientifico, mesmo de engenharia.

Sob o ponto de vista da estrutura molecular dos materiais, os sólidos são

compostos de moléculas densamente acomodadas, mantidas nas posições por forças

intermoleculares coesivas muito elevadas, o que dificulta serem deformados, mantendo uma

mesma forma.

Já os líquidos têm essas moléculas mais afastadas e mantidas por forças

intermoleculares mais brandas que as dos sólidos, o que lhe permite maior facilidade de

movimentação. Isto acarreta facilidade em serem deformadas, embora não possam ser

comprimidas facilmente. Quando colocados em um recipiente sólido, facilmente se

acomodam. Quando forçadas através de um tubo, facilmente escoam por ele.

Os gases têm essas moléculas ainda mais afastadas; as forças intermoleculares são

muito pequenas, o que lhes dá a característica de fácil deformação, inclusive poderem ser

comprimidos facilmente e ocupam completamente o volume de qualquer recipiente em que

forem colocados. Essa classificação qualitativa ainda não é adequada para solução de

problemas práticos. Uma distinção entre sólidos e fluidos, mais especifica, baseia-se no modo

como se processa a deformação sob ação de uma força.

Define-se um fluido como sendo uma substância que se deforma continuamente

quando submetido a um esforço cisalhante de qualquer magnitude. Esse esforço cisalhante é

criado quando uma força tangencial age numa superfície.

Pode-se observar que um sólido comum se deforma, quando é submetido a um

esforço cisalhante, embora muito pouco, mas e deformação não é continuada. Um líquido

submetido ao mesmo esforço se deforma continuamente (se escoa) enquanto perdurar o

esforço.

Há materiais que ora se comportam como sólido, ora como líquido, como a pasta

de dente, betume, pixe e outros. Comportam-se como sólidos se a tensão for abaixo de um

certo valor; se a tensão exceder esse limite, comportam-se como líquido. Esses materiais são

estudados à parte, numa disciplina chamada reologia, não fazendo parte desta disciplina.

O comportamento molecular da substância pode ser adequado para se distinguir

sólido de líquido, mas não é pratico estudar molécula em seu comportamento individual para

se descrever o comportamento de fluidos, tanto em repouso quanto em movimento.

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João Roberto Barbosa 13

Usa-se caracterizar o comportamento de um fluido pelo valor médio de uma

quantidade de interesse, avaliada num volume pequeno que contém um número muito grande

de moléculas.

Assim, quando se diz que a velocidade (ou a temperatura ou a pressão) num

determinado ponto tem certo valor, o que se tem, na realidade, é a velocidade média das

moléculas do fluido no qual está o ponto considerado.

Esse volume deve ser pequeno relativamente às dimensões físicas do sistema

estudado, mas muito grande quando comparado com a distância entre moléculas contínuas.

Este é um procedimento adequado para o estudo dos fluidos, na maioria dos casos

práticos na superfície da terra, uma vez que o espaçamento das moléculas dos gases comuns e

temperaturas e pressões normais é da ordem de 310 m. Para os líquidos este valor é de

410 m, o que indica que, para cada mm³ de matéria, haja acima de 1810 moléculas! Assim

num volume bastante pequeno concentra-se um número extremamente elevado de moléculas,

o que permite utilizar a média indicada acima.

Esta aproximação permite tratar o fluido como continuo, isto é, suas propriedades

variam continuamente através do fluido.

No estudo de gases rarefeitos, entretanto, esse conceito não pode ser aplicado,

uma vez que a distância entre as moléculas é muito grande, podendo haver pontos em que um

pequeno volume que o envolva não tenha moléculas ou, se tiver, o número seja muito

pequeno.

É preciso também, ter uma descrição quantitativa das propriedades do fluido ao

lado dessa qualitativa. Essa descrição quantitativa se relaciona com uma medida numérica da

característica, o que requer um numero e um padrão com a qual as quantidades são

comparadas. O SI é o sistema de unidades utilizado neste curso. O aluno deve estar

familiarizado completamente com o SI (Sistema Internacional de Unidades).

O estudo da mecânica dos fluidos envolve as leis já estudadas em física e em

mecânica: leis de Newton, de conservação, 1a e 2a leis da termodinâmica, o que vai acarretar

uma semelhança muito grande no modo como os problemas são estudados, como os

diagramas de corpo livre e de deformação, usados neste curso.

Costuma-se dividir o estudo de mecânica dos fluidos em duas partes: Estática

(para os fluidos em repouso) e Dinâmica dos Fluidos (para aqueles em movimento). Neste

curso a distinção não aparecerá de forma expressa.

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João Roberto Barbosa 14

Como diferentes fluidos possuem características que podem ser muito diferentes,

é preciso definir e discutir algumas propriedades dos fluidos que estejam intimamente ligadas

ao seu comportamento. Fica a cargo do aluno rever e absorver esses conhecimentos. A título

de sugestão o aluno deve procurar conhecer as definições relativas a

Massa e peso

- Densidade

- Peso especifico

Gases perfeitos

Viscosidade

- Dinâmica

- Cinemática

Compressibilidade dos fluídos

- Bulk modulus (módulo volumétrico, K)

- Compressão e expansão de gases em função dos processos

- Velocidade sônica

Pressão de vapor

Tensão superficial

Com a finalidade de facilitar a compreensão e manipulação de expressões

comumente utilizadas neste curso, e à guisa de recapitulação, são revistos, de maneira

simplificada, tanto o cálculo tensorial como os conceitos relacionados às curvas no E³,

utilizados no texto.

O enfoque dado neste curso é no sentido de se obterem representações genéricas

dos fenômenos de interesse. A partir dessas modelações, com as restrições e simplificações

características de um fenômeno particular em estudo, obtem-se um modelo desse fenômeno.

Desta forma torna-se primordial o entendimento aprofundado do capitulo referente às Leis de

Conservação, no qual são lançados os fundamentos da modelação utilizados no curso.

É importante que se ressalte que o aluno precisa ter o domínio completo das

ferramentas matemáticas usuais, utilizadas na solução de problemas modelados por equações

integrais e/ou diferenciais.

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Introdução ao cálculo tensorial 1.3 -

1.3.1 - Convenção de Soma – notação de Einstein

1 1 2 2 3 3 n nS a x a x a x ... a x =n

i ii 1

a x

=n

j jj 1

a x

=n

m mm 1

a x

i ia x =

j ja x = m ma x (dois índices repetidos: convenção de Einstein)

Não tem sentido de soma : i i ia x y (mais de 2 índices repetidos). Se o objetivo

for obter a soma p

i i ii 1

a x y

deve-se manter o símbolo de soma .

Estende-se a convenção de dois índices repetidos, representando uma soma, para

somas duplas, triplas, etc: m n

ij i i ij i ii 1 j 1

2 índices j repetidosa x y a x y2 índices i repetidos

1.3.2 - Índices livres

Considera-se o sistema de equações

11 1 12 2 1n n 1 ii i 1

21 1 22 2 2n n 2 2i i 2

m1 1 m2 2 mn n m mi i m

a x a x ....... a x A a x Aa x a x ....... a x A a x A........a x a x ....... a x A a x A

i = 1, 2,3,...,.n

Pode-se denotar esse sistema por ki i ka x A k 1,2,...,m i 1,2,...,n

No caso de aparecerem dois ou mais índices livres numa equação, esses índices

devem ser variados independentemente um do outro:

ij ik jk 1, 2,3 i 1, 2,3 ju v k 1, 2,3

Expandidos os índices, obtém-se um sistma com 9 equações: 3

11 1k 1k 1k 1k 11 11 12 12 13 13k 1

u v u v u v u v u v

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3

12 1k 2k 1k 2k 11 21 12 22 13 23k 1

u v u v u v u v u v

... 3

33 3k 3k 3k 3k 31 31 32 32 33 33k 1

u v u v u v u v u v

Não têm sentido as notações i ja b , ij ikT T , etc...

1.3.3 - Delta de Kronecker

A função delta de Kronecker é a função real dada por ij0 se i j1 se i j

, isto é,

11 22 33

12 13 21 23 31 32

10

Notação matricial: 11 12 12

21 22 23

31 32 33

, 1 0 0

I 0 1 00 0 1

Operações com : 3

ii ii 11 22 33i 1

3

1m m 11 1 12 2 13 3 1a a a a a

2m m 21 1 22 2 23 3 2a a a a a

3j j 31 1 32 2 33 3 3a a a a a

De um modo geral

im m ii i ia a 1.a a

im mj ii ij ijT T T

Se 1 2 3e ,e ,e é uma base ortonormal, então ie je = ij

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1.3.4 - Símbolo de permutação de Levi-Civita (Epsilon) ijk

È a função real dado por ijk

1 se i, j, k formam uma permutação par0 se i, j, k não formam uma permutação

1 se i, j, k formam uma permutação ímpar

Regra Pratica para saber qual permutação:

Permutação Par: 1,2,3 2,3,1 3,1,2

Permutação Ímpar: 1,3,2 3,2,1 2,1,3

Não são Permutação: 1,1,1 1,1,2 2,1,1 1,1,3,etc

Então 123 231 312

321 132 213

111 112 211

11

0

Se 1 2 3e ,e ,e é uma base ortonormal, então

1 2 3e e e 2 3 1e e e 3 1 2e e e

2 1 3e e e 3 2 1e e e 1 3 2e e e , etc.

ou, de modo geral i j ijk ke e e

Sejam i ia a e e j jb b e , então

i i j j i j i j i j ijk ka b (a e ) (b e ) (a b )e e a b e .

Mostrar que

ijm klm ik jl il jk

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εijkεilm = δjlδkm − δjmδkl

ilm jlm ij2

ijk ijk 6

εijk=εkij=εjki=-εjik= ..

1.3.5 - Operação com notação indicial

a) Substituição i im m

i im m

a U bb V C

Como há índices idênticos nas

duas equações indicando soma (em m), é necesário substituir ib na primeira equação, uma

vez que, sem isso, se tem m mm mb V C e as somas não estarão representas. Deve-se

portanto, mudar o índice m de mm mV C pois este índice indica uma soma, que deve ser

preservada. Deve-se escrever, portanto:

m mk kb V C e daí:

i im m im mk k im mk k3 3 termos de m total:9 termosequações 3 termos de k

a U b U (V C ) U V C

b) Multiplicação m m

m m

A a bB c d

m m j j m m j jAB (a b )(c d ) a b c d , [que é m m m ma b c d ! , que não representa as

duas somas pretendidas].

i ia a e i ib b e i i k k i k i k

i k ik i i ii i i

1 1 2 2 3 3

a b (a e ) (b e ) a b e e

a b a b a b a b

a b a b a b a b

c) Fatoração ij j iT n n 0

como i ij jn n , ij j ij j ij ij jT n n (T )n 0

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João Roberto Barbosa 19

d) Contração (igualar dois indices e fazer a soma indicada)

ij ii 11 22 33

ijk ijj i11 i22 i33

T T T T T

T T T T T

ij ij ij ii ii ii

ii 11 22 33

T 2 E T 2 E

3 2 E 3 2 (E E E )

1.3.6 - Transformação linear

Seja T : V V uma transformação que leva v V em V onde V é um

espaço vertical.

Se forem dados u, v V e R e se tem

T(u v) T(u) T(v) Tu TvT( u) T(u) Tu

então T é uma Transformação linear ou um tensor de 2º ordem ou simplesmente, tensor.

Notação Tv ou T(v)

1.3.7 - Componentes de um tensor

Sejam 1 2 3e ,e ,e uma base de V e a V

Se a V então 1 1 2 2 3 3a a e a e a e

Logo, 1 1

2 2

3 3

a e aa e aa e a

1 2 3a ,a ,a são as coordenadas de 1a na base 1 2 3e ,e ,e , ou

seja, j ja e a

Para 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3b Ta T(a e a e a e ) a Te a Te a Te

i ib a Te

1 1

2 2

3 3

b e b

b e b

b e b

` ou j jb e b

i i i j i j i j j i jb b e a Te e a e Te a [e Te ]

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João Roberto Barbosa 20

Mas i je Te são as componentes de jTe na direção de ie denotados por ijT , isto é,

j ij iTe T e

ij i jT e Te ou ij j iT e Te

e i i ijb a T ou i ij jb T a

Assim`, 1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

1 31 1 32 2 33 3

b T a T a T a

b T a T a T a

b T a T a T a

Na forma matricial:

1

2

3

bbb

=

1 2 3

1 2 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33componentes componentes componentesde Te de Te de Te

Matriz do tensorT na base e ,e ,e

T T TT T TT T T

1

2

2

aaa

A representação de T na base 1 2 3e ,e ,e pode ser obtida observando-se que

1 11 1 21 2 31 3

2 12 1 22 2 32 3

3 13 1 23 2 33 3

Te T e T e T eTe T e T e T eTe T e T e T e

i ji j

j ij i

Te T e

Te T e

1.3.8 - Soma de tensores

Sejam A e B dois tensores. A soma de A com B, denotada por (A B) e definida

por

(A B)u A(u) B(u) , u V , é um tensor (provar)

As componentes de (A B) são dadas por:

ij i j i j j

ij i j i j ij ij

(A B) e (A B)e e (Ae Be )

(A B) e Ae e Be A B

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1.3.9 - Produto diádico de dois Tensores

Sejam a e b dois vetores de V . O produto diádico de a por b , ab é a

transformação que leva c V no vetor a(b c).

ab , é um tensor, pois:

(ab)( c d) a[b ( c d)] a[ (b c) (b d)]

(ab)( c d) a(b c) a(b d) (ab)c (ab)d]

As componentes de ab são dados por:

ij i j i j i j i j i j(ab) e (ab)e e (a(b e ) e (ab ) (e a)b a b

Na notação Matricial:

ab 1 1 1 2 1 3 1 1 2 3

2 1 2 2 2 3 2

3 3 3 2 3 3 3

a b a b a b a b b ba b a b a b aa b a b a b a

Uma base do espaço dos tensores é a seguinte:

1 1

1 0 0e e 0 0 0

0 0 0

1 2

0 1 0e e 0 0 0

0 0 0

3 3

0 0 0e e 0 0 0

0 0 1

Então, se T é um Tensor,

11 1 1 12 1 2 13 1 3 21 2 1 33 3 3T T e e T e e T e e T e e .......... T e e

ou ij i jT T e e Notação: T

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João Roberto Barbosa 22

1.3.10 - Expressões úteis utilizadas nestas Notas de Aulas

Seguem-se algumas expressões úteis, utilizadas no decorrer destas Notas de

Aulas:

1 2 3F F(x ,x ,x ) 1 1 2 2 3 3 i ir x e x e x e x e

1 2 3 i1 2 3 i

F F F F F FdF dt dx dx dx dt dxt x x x t x

1 2 3 i1 2 3 i

F F F FF e e e ex x x x

1 1 2 2 3 3 i idr dx e dx e dx e dx e

i j j j i j j ij ii i i i

F F F FF dr e dx e dx e e dx dxx x x x

1 2 31 2 3

F F FF dr dx dx dxx x x

31 2 i

1 2 3 i

dxdx dx dxdF F F F F F Fdt t x dt x dt x dt t x dt

ii

dF F F F F Fv F v v F v Fdf t x t t tdF DF[ v ]Fdf t Dt

com D vDt t

31 2 i

1 2 3 i

vv v vvx x x x

i ii

i i i

( v ) v( v) v v vx x x

(Fv) [v v]F

( v) v v [ v ] vt t t

D( v) v

t Dt

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João Roberto Barbosa 23

1.3.11 - Produto de dois tensores

Sejam A e B dois tensores.

Define-se o produto de A por B , indicado por AB , o tensor que satisfaz

AB(a) A(B(a))

Note-se que B A BA B(A(a)) A(B(a)) AB

Componentes de AB

ij i j i j i kj k kj i k kj ik ik kj

ij ik kj

(AB) e (AB)e e A(Be ) e AB e B (e Ae ) B A A B

(AB) A B

ou AB A B e BA B A ( matrizes [ ] )

Em geral AB BA

1.3.12 - Associatividade

Sejam T,S e V Tensores

Então T(SV) a T (SV)a T S(V(a)) TS V(a) e, daí, T(SV)=(TS)V

1.3.13 - Rotação de Corpo rígido

Seja a base {i,j,k} de um sistema cartesiano de coordenadas ortonormal. seja R a

transformação de 90º em torno do eixo i (sentido anti-horário)

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João Roberto Barbosa 24

Ri i

Rj k

Rk j

Como i ij jTe T e , para R ,

i

Rina basee

1 0 0R 0 0 1

0 1 0

Note que se deve usar a

transposta!

Uma nova rotação subseqüente, de 90 º em torno do eixo k (sentido horário)

Si j

Sj i

Sk k

i

na basee

0 1 0S 1 0 0

0 0 1

A sucessão de rotação S(R) pode ser calculada por

0 1 0 1 0 0 0 0 1SR S R 1 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0

(SR)i j (SR) j k (SR)k i

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João Roberto Barbosa 25

1.3.14 - Tensor Identidade ( I )

1 1

2 2

3 3

I(a) aIe eIe eIe e

1 0 0I 0 1 0

0 0 1

ij i j i j ijI e Ie e e

1.3.15 - Tensor Transposto (tT )

É o tensor que satisfaz ta (Tb) b (T a)

ti m m ie Te e T e t

im miT T

Segue-se que t t t(ST) T S

1.3.16 - Tensor Ortogonal

Preserva comprimentos e ângulos dos vetores transformados.

Seja T um tensor ortogonal. Então Ta a

cos(a,b) cos(Ta,Tb) a,b V

Propriedades:

Ta Tb a b

pois Ta Tb Ta Tb cos(Ta,Tb)

Ta Tb a b cos(a,b) a b

tTa Tb b T (Ta) , pois t tTa Tb b(T Ta) bT (Ta)

ta b b T (Ta)

tb Ia b T Ta pois tbIa b a bT Ta

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João Roberto Barbosa 26

tb (I T T)a) 0 pois t tb Ia b T Ta b[Ia T Ta] 0

tb (I T T)a 0 a,b V

t t{b 0 I T T 0 T Ta I}

tT também é ortogonal (mostrar)

t t t t tT T I (T ) (T ) I T T I

t tT T TT I

im jm mi mj ijT T T T

1.3.17 - Transformação de coordenadas (mudança de

sistemas)

Sejam 1 1 2 3B {e ,e ,e } e 2 1 2 3B {f ,f , f } duas bases ortonormais

1B pode ser mapeada sobre 2B por rotação e/ou reflexão: i if Te

1 1 m1 m

2 2 m2 m

3 3 m3 m

f Te T e

f Te T e

f Te T e

mi m iT e f , i 1,2,3

1 11 12 13 1

2 12 22 23 2

13 23 33 33

f T T T ef T T T e

T T T ef

mi m iT e Te .

mi m i m i m iT e f e f cos(e ,f )

Seja a V

i ia e a na base 1B

,i ia e a na base 2B

logo, ,ii i mi m mi ma Te a T e a T a

As coordenadas na nova base são ,i mi ma T a

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João Roberto Barbosa 27

1 12

,1 11 12 13 1,2 12 22 23 2,

13 23 33 3B B3 B

a T T T aa T T T a

T T T aa

Matrizes do mesmo vetor!

Seja V um tensor qualquer, cujas componentes são :

ij i je e na base 1B

,ij i jf f na base 2B

Então ,ij i j i j mi m nj n

,ij mi nj m n mi nj mn

f f Te Te (T Te ) ( T e )

T T (e e ) T T

,ij mi nj mnT T

que, em termos de produto de matrizes:

1 1 1

mudançade bases

' tB2 B B B

coordenadasnas basses

T T ou , , tB1 B2T T (Note que esta indicação é de

produto de matrizes e não uma transformação composta!

1.3.18 - Autovalores e autovetores

Seja A um tensor e a um vetor de V

Definição: é um autovalor de A A a = a . a é um autovetor de A

correspondente ao autovalor

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João Roberto Barbosa 28

Ta tem a mesma direção de a (estão alinhados, mas não necessariamente na

mesma direção).

Nota: a , vetor próprio de A, com = valor próprio a também é vetor

próprio de A, com o mesmo valor próprio de :

T( a) (T(a)) ( a) ( a)

Seja v V e seja T um tensor. De Tv v Iv vem : (T I)v 0

Pondo i iv v e , ij ij j(T )v 0

Então: 11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

32 2 32 2 33 3

(T )v T v T v 0T v T v T v 0T v T v (T )v 0

vem 11 12 13 1

21 22 33 2

31 32 33 3

T T T vT T T v 0T T T v

Equação Característica

Para que o sistema seja possível, det T I 0

Exemplo: Calcular os autovalores de A e autovetores correspondentes, sendo

u 01A 0 u

0 P u

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João Roberto Barbosa 29

p

v

cu velocidade; densidade; ; P pressão

c

Solução: det A I det

u 010 u 0

0 P u

3 P(u ) (u ) 0

2 P(u ) 0

a) 2 2 2P RT a (u ) a 0

u a

u a

u a

u a

b) 3 2(u ) a (u ) 0

u 0 u

Autovetores:

a) Para a :

Av v Au u A u v 0

1

2

3

u 0 v 010 u u v 0

v 00 P u u

2

3

2

v 01 v 0

Pv 0

1

1v qualquer v 0

0

b) Para u a

A I(u a) v 0 etc

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c) Para u a

A I(u a) v 0 etc.

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João Roberto Barbosa 31

Introdução ao estudo das curvas no E³ 1.4 -

Uma curva no E³ pode ser representada parametricamente se existirem

t a,b IR e 3 funções continuas x x(t), y y(t), z z(t) tais que a cada ponto de

corresponde um ponto P : x t , y t , z t .

O vetor 1 2 3r r(t) x(t)e y(t)e z(t)e é o vetor de posição do ponto P, para

t variando continuamente em a,b , r(t) descreve a curva no E³

No contexto deste curso é admitido que as funções x x(t) , y y(t) e z z(t)

são continuamente diferenciáveis em a,b , isto é, existe

1 2 3drr (́t) (t) x (́t)e y (́t)e z (́t)edt

e r (́t) é continua, condição suficiente para que

seja uma curva suave no espaço E³

A variável t é chamada de parâmetro da curva .

Pode-se sempre fazer uma mudança de variáveis , com (t) , desde que

seja monotônica e adotar como um novo parâmetro de curva, isto é

r r(t) r(t( ))

Em muitos casos é conveniente usar o comprimento de arco da curva, s como

parâmetro da curva, isto é, usar r r(s) , com s, dado por

0 0

t t 2 2 2

t t t

dx dy dzs ds dtdt dt dt

Como 2 2 2dx dy dz dr ds

dt dt dt dt

e dr 0 t a,bdt

, então existe

uma função inversa de

s : t s(t) com t podendo ser determinado univocamente a partir de s.

A função r r(t(s)) representa a curva e a função s tem características

especiais que a indicam para ser usada:

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João Roberto Barbosa 32

2 2 2 2 2 2 2

2 2dr dr dt dr dx dy dz dx dy dz ds, 1ds dt ds ds dt dt dt ds ds

isto é,

Também, dr dr dt 1 dr dr 1k ,kds dsds dt ds dt dt

dt dt

Então drds

tem a mesma direção de drdt

e como drdt

é tangente á curva , drds

é

tangente a e tem módulo 1, isto é drtds

é o vetor tangente á curva .

Ainda, 1 2 3 1 1 2 2 3 3dr dx dy dze e e v e v e v e vdt dt dt dt

, então dr vds

sendo

v a velocidade de uma partícula que, no instante t, está na posição

1 2 3r r(t) r(t(s)) x(t(s))e y(t(s))e z(t(s))e

Esta formulação é bastante conveniente quando se deseja caracterizar o caminho

percorrido por uma partícula.

Tem-se interesse no estudo de curvas imaginárias que podem ser traçadas num

escoamento, para facilidade de associação de fenômenos fisicos a modelos matemáticos

apropriados para representá-los. Essas curvas imaginárias são usualmente chamadas de linhas

de fluxo: trajetórias (pathlines), linhas de corrente (streamlines), linhas de emissão

(streaklines) e linhas de tempo (timelines). Neste documento serão apenas apresentadas e,

para algumas delas, suas propriedades seerão modeladas.

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João Roberto Barbosa 33

1.4.1 - Linha de corrente no instante t

É a curva que tem a propriedade de, em todos os seus pontos, a tangente a ela tem

a direção do vetor velocidade da partícula. Pode ser visualizada experimentalmente através de

curta exposição de muitas partículas fosforescentes dispersas no fluido em movimento; as

linhas de corrente são obtidas ligando-se os pequenos segmentos que aparecem na foto tirada

naquele instante observado.

A linha de corrente é uma “fotografia” tirada de todos os pontos do fluido num

determinado instante.

Esta curva (linha de corrente) pode ser obtida matematicamente resolvendo-se o

problema seguinte:

Sejam v o campo de velocidades e r r(s) a equação paramétrica vetorial da

linha de corrente no instante pt t , passando pelo ponto P dado por

p p 1 p 2 p 3r x e y e z e

P = p p p(x , y ,z ) e s s(t)

p p

dr v(r, t)dsr(t ) r

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João Roberto Barbosa 34

Exemplo : 1 2xv e ye

1 t

pr : (a,b,c) no instante pt .

Então

1

2

3

dx vdsdy vdsdz vds

Neste caso,

1p

2

3

xv1 t

v yv 0

e

p

dx xds 1 t

dy ydsdz 0ds

A resolução deste sistema de equações diferenciais ordinárias (que em geral não é

elementar), pode ser feita como se segue:

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João Roberto Barbosa 35

p p

dx x dx dsds 1 t x 1 t

.

Por integração: x s

px a s 0

dx dsx 1 t

p

s1 t

p

x 1ln s x aea 1 t

dy yds

dy dsy

y ss

y b s 0

dy ds y bey

dz 0ds

dz 0 1z c z c pois p 1z c

Daí, a linha de corrente é dada por

p

s1 t

s

x ae

y bey c

Essa curva passa por (a,b,c), pois, para s = 0 vem: x(0) = a, y(0) = b e z(0) = c

Observar que a integral envolvendo ds foi calculada a partir de s = 0 mas poderia

ter sido a partir de 0s qualquer.

Nota-se que a solução foi obtida para o tempo pt t para calcular os pontos da

curva que passe por P!

1.4.2 - Tubo e superfície de corrente

Da definição de linha de corrente decorre que não pode haver escoamento

cruzando-a, pois o movimento das partículas é na direção tangente à linha de corrente. Se

considerarmos um conjunto de linhas de corrente, demarcadas por uma curva fechada no E3,

teremos um Tubo de Corrente, delimitando uma região muito importante do escoamento.

Uma coordenada alinhada com o tubo de corrente representará um escoamento 1D!

Também, se a curva considerada não for fechada, teremos uma Superfície de Corrente.

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João Roberto Barbosa 36

1.4.3 - Trajetória da partícula

É a curva (caminho) percorrida por uma partícula que se move com o fluido.

Podem ser visualizadas experimentalmente por exposição longa de algumas partículas

fosforescentes dispersas no fluido em movimento.

A trajetória é uma “fotografia” de longa exposição de uma única partícula em

todos os instantes considerados.

Essa curva pode ser calculada matematicamente resolvendo-se o seguinte

problema:

Considere-se a partícula que está no ponto X no instante 0t ,com a velocidade

dada por

v v(r, t) , 1 2 3r xe ye ze

Se r r(t) é a trajetória da partícula considerada então

0

dr v(r, t)dtr(t ) X

0 1 0 2 0 3X x e y e z e

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João Roberto Barbosa 37

Exemplo: Considera-se o campo de velocidades 1 2xv e ye

1 t

e a partícula

X:(a,b, c). Então

1

2

3

dx xvdt 1 tdy v ydtdz v 0dt

Daí, dx xdt 1 t

dx dtx 1 t

0

x 1 tln lna 1 t

e

0

1 tx a1 t

dy ydt

dy dty 0

yln t tb

0t ty be

dz 0dt

dz 0 1z c z c

A Trajetória será, então:

0

0t t

1 tx a1 t

r : y bez c

Essa curva passa por (origina-se em) X : (a,b,c) pois em 0t t :

x ay bz c

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João Roberto Barbosa 38

Observa-se que a solução foi obtida para r r(t,X) , isto é, para calcular a

posição da partícula X em cada instante t!

Observação: Em regime permanente as curvas que definem a trajetória de uma

partícula e as que definem as linhas de corrente se confundem (são as mesmas).

1.4.4 - Linha (curva) de emissão

Linha de emissão (traço) é o lugar geométrico das posições de partículas de

fluido, num instante qualquer, que passaram por um mesmo ponto fixado do escoamento.

1.4.5 - Linha (curva) de tempo

A Linha de Tempo é o lugar geométrico, num determinado instante, de um

conjunto de partículas que formavam uma curva, num instante inicial determinado.

Podem ser visualizadas se marcarmos, num instante inicial, partículas de fluidos

com pigmentos coloridos, numa forma de curva qualquer (chamada de linha de tempo). Esta

linha de tempo pode sr observada no movimento subsequente dessas partículas marcadas, no

escoamento.

A linha de emissão e a linha de tempo são “fotografias instantâneas” de um grupo

selecionado de partículas: para a primeira se escolhem partículas que passaram por um ponto

marcado do escoamento e para a segunda as partículas que estiveram, num instante inicial,

numa formação de curva inicial.

Estes conceitos são importantes para os interessados em CFD, uma vez que são

chamados a apresentarem informações do escoamento sob diferentes circunstâncias.

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João Roberto Barbosa 39

Conceitos fundamentais 1.5 -

Fluido e sólido: a matéria existe no estado sólido e no estado fluido. O estado

sólido é caracterizado pela “imobilidade” das moéculas, cada uma delas ocupando uma

posição omédia no espaço. Essas moléculas têm seus movimentos próprios. O estado fluido é

caracterizado pela “mobiliade” das moléclas. Estas, além dos seus movimentos próprios,

podem movimentar-se com faciliade, não mantendo suas posições médias fixas no espaço.

Comportamento frente a esforços externos: o sólido resiste a esforços de

compressão e de cisalhamento, O fluido resiste apenas a esforços de compressão, caso contido

em um recipiente. Não resiste a esforços de cisalhamento, sofrendo deformação contínua

enquanto persistir o esforço aplicado.

Essa deformação contínua pode ser vizualizada experimentalmente, utilizando-se

um fluido “viscoso”, no oqual linhas coloridas foram traçadas num certo instante.

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João Roberto Barbosa 40

Hipótese do contínuo. 1.6 -

A matéria é constituída de moléculas. Dependendo do tipo de análise escolhido, as

caracteristicas moleculares precisam ser incluídas, o que não permite que a matéria seja

considerada como contínua.

Como já salientado, é adeuado o tratamento sob o ponto de vista macroscópico,

derivando-se o comportamento global de um conjunto grande de moléculas. O conceito de

partícla está associado a um pequeno volume que envolve um ponto considerado. Por

pequeno que seja esse volume, o número de moléculas que ele envolve é muito grande.

Portanto, qualquer que seja o ponto considerado, um pequeno volume que o envolve

(partícula) tem sempre muitas moléculas. Chega-se, então, ao conceito de meio contínuo.

Como as propriedades são as médias das propriedades de todas as moléculas dessa partícula,

então as propriedades do fluido passam a variar continuamente com a posição espacial no

meio estudado.

As deformações dos elementos de fluido são contínuas e não dependem do valor

da tensão de cizalhamento.

Tem-se, então:

Cada ponto no espaço corresponde a uma partícula (é ocupado por...)

Cada partícula corresponde a um elemento de fluido

Cada elemento de fluido tem massa (dm) e volume (dV) elementares

As propriedades dos elementos são propriedades do ponto.

Resolve-se, portanto, a aparente contradição de que um ponto no espaço tenha

massa (dm) e volume (dV).

Pelo fato de as propriedades serem funções do ponto, existe uma continuidade de

representação da propriedade intensiva em função da posição.

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João Roberto Barbosa 41

Uma grandeza qualuer sera representada como uma função de P, isto é,

1G G(r) G(r x, y,z, t ) G x, y,z, t .

É costume ressaltar a dependência do tempo t, anotando-se

r r x, t

G G r, t

para

indicar explicitamente a variação com t.

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João Roberto Barbosa 42

Tipos de abordagem de problemas de escoamento 1.7 -

`

Há dois tipos fundamentais de abordagens do escoamento: o Lagrangiano e o

Euleriano.

Na abordagem Lagrangiana fixa-se uma partícula (sistema) e acompanha-se a

variação de suas propriedades no tempo. Há, portanto, variação da posição da partícula e do

tempo: G R, t .

Na abordagem Euleriana fixa-se uma região do espaço em que se quer avaliar as

propriedades do fluido e acompanha-se a variação das propriedades das partículas em cada

tempo. Há, portanto, variação das partículas e do tempo. Esta é a abordagem dos volumes de

controle (sistema aberto)

Em geral, tem-se interesse em se estudar:

Taxa de transferência de calor pelas fronteiras

Taxa de trabalho (fornecida ao, ou retirada do, fluido)

Taxa de variação da energia interna

Forças que atuam nas paredes sólidas (determinação de arrasto ou perdas

de pressão total)

Velocidades das partículas

Pressão e Temperatura do fluido, em cada ponto.

Nos exercícios e exemplos que aparecerão no decorrer da apresentação desta

disciplina apenas algumas propriedades de interesse (momentâneo) serão calculadas

(analisadas). As demais propriedades poderão, em geral, ser calculadas, embora nem o

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João Roberto Barbosa 43

caminho para obtenção de soluções, nem o grau de dificuldade para resolvê-las, estarão

indicados.

As equações “fundamentais” utilizadas são as referentes a:

Segunda lei de Newton extDF mvDt

Conservação de massa Dm 0Dt

Primeira lei da Termodinâmica Q W E

De caracterização do fluido (por exemplo, P RT )

Deve-se ter em mente que a Segunda Lei Da Termodinâmica não está

explicitamente sendo levada em conta porque se garante, de antemão, seu atendimento pelos

processos estudados.

A formulação para Volume de Controle é bastante conveniente, uma vez que o

estudo de dispositivos em que há fluxo de massa (partículas atravessando a fronteira) é muito

importante, pois esses dispositivos fazem parte do cotidiano de todos (compressores,

ventiladores, turbinas, bocais, dutos, câmaras de combustão, etc).

A escolha do volume de controle, entretanto, não obedece a procedimentos

regulares. A experiência indicará a região a ser considerada, na qual se processa o esoamento.

Será uma região delimitada or uma superfície (superfície de controle), que pçode ser real ou

fictícia, fixa ou móvel, ou combinações destas possibilidades. É selecionada em função do

que se pretende analisar, podendo envolver apenas parte da máquina, como no caso de uma

única passagem entre pás numa grade axial, como indica a figura.

As variáveis que geralmente são usadas são:

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João Roberto Barbosa 44

Independentes

Posição r r x, y,z

Tempo t

Dependentes

P,T,v, ,etc. Em geral, G G r, t

A formulação para sistema (sistema fechado) aproveita os conhecimentos de

cinemática do movimento de um corpo rígido ou de um ponto material (paartícula),

decompondo o movimento em movimentos de translação e de rotação. Para o caso de fluidos

em movimento, o problema o problema torna-se muito mais complexo porque envolve

deformação.

O estudo das propriedades de uma partícula P depende da posição em que ela

estava em 0t t e do tempo decorrido, t, durante o qual o volume V R , no qual estava a

partícula em 0t t , alterou-se para V R, t .

O método de Lagrange deve, então, marcar uma partícula R e seguir seu

movimento, durante o qual as propriedades dessa partícula são observadas. Requer, também,

o conhecimento de sua trajetória r (posição de R em cada instante: r r R, t .

r = posição da partícula R no instante t considerado

R = posição inicial, isto é, “marcação” da partícula

T = instante em que se quer conhecer a posição da partícula

Note-se que r R,0 R .

Exemplo: Movimento descrito pela equação kt kt1 2r r R, t Xe e Ye e .

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João Roberto Barbosa 45

A partícula a ser analisada pode ser identificada: em t=0 tem-se

1 2r R,0 Xe Ye . Portanto, P:(X,Y), isto é, a paartícula é aquela que está localizada na

posição (X,Y) no plano.

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João Roberto Barbosa 46

Trajetória da partícula 1.8 -

O caminho percorrido pela partícula também pode ser determinado pois, no

instante t: kt kt1 2 1 2r r R, t Xe e Ye e xe ye

kt

kt

x x t Xe

y y t Ye

são as equações paramétricas da curva que a partícula (X,Y)

descreve durante o período de tempo t t 0 .

À forma gráfica da trajetória pode também ser obtida através do procedimento

usual, isto é:

a) Localizar a partícula R (localizar o ponto P:(X,Y) ) em t=0:

k0

k0

x 0 Xe XP : (X,Y)

y 0 Ye Y

Por exemplo: X=Y=1.

b) Para um número adequado de instantes, localizar r correspondente a cada um

desses instantes

c) Unir os pontos com uma curva suave

d) Localizar nova partícua e repetir de a) a d).

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João Roberto Barbosa 47

1.8.1 - Velocidade da partícula

Método de Lagrange (segue a partícula)

2 kt1

2 kt2

a k Xe

a k Xe

kt kt1 2

kt kt kt kt1 2 1 2

rv v R, t R, t Xe e Ye et t

kXe e kYe e k Xe e Ye e

, de onde se

conclui que: kt

1kt

2

v kXe

v kXe

Método de Euler (fixa o local no espaço em que se dá o escoamento)

kt kt1 2 1 2v v r R , t k Xe e Ye e k xe ye

, de onde se conclui que:

1

2

v kxv ky

1.8.2 - Aceleração da partícula

Método de Lagrange

kt kt1 2

2 kt 2 kt 2 kt kt1 2 1 2

va a R, t R, t kXe e kYe et t

k Xe e k Ye e k Xe e Ye e

, de onde se conclui que:

kt1

kt2

v kXe

v kXe

Método de Euler (fixa o local no espaço em que se dá o escoamento)

2 kt kt 2 21 2 1 2a a r R , t k Xe e Ye e k xe ye k r

, de onde se conclui

que: 2

12

2

a k x

a k y

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João Roberto Barbosa 48

Dados a partícula R e o tempo t determina-se a posição (nova) da paartícula.

Conosiderando-se essa posição e o mesmo tempo t, faz-se corresponder a partícula R que,

em t=0, está na posição inicial.

Lagrange Euler

continuidadedo escoamento

r r R, t R R r, t

r R, t 0R

Jacobiano da Transformação

1

1 1

G R, tG R r, t , t G r, t

R R r, t

G r, t G r R, t , t G R, t

, em que, se o Jacobiano for 0, a

transformação é bijetora (biunívoca e sobrejetora).

1.8.3 - Escoamento Permanente

O escoamento é permanente quando as grandezas estudadas não dependem do

tempo, isto é, G r, t 0t

(está associado ao enfoque Euleriano:

num pçonto as propriedades não variam...)

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1.8.4 - Escoamento Uniforme

O escoamento é uniforme quando na região considerada não existem gradientes

das propriedades, isto é, os gradientes são nulos.

Notar que:

Escoamento uniforme na saída do bocal de Laval. Nessa seção as propriedades são

consideradas constantes (aproximação 1-D)

Escoamento uniforme na entrada da turbina: idem.

Notar, também, que regime permanente e escoamento uniforme são conceitos do

método de Euler.

G r, t 0t

G não varia no tempo, em qualquer posição considerada.

G r, t 0r

G não varia no tempo em função da posição da partícula.

Exemplo: kt kt 2 21 2 1 2a a r R , t k kXe e kYe e k xe ye k r a r, t

O regime de escoamento é Permanente, pois a grandeza estudada não depende do

tempo (tem-se (

2a r R , tG r, t kr 0

t t t

) (está associado ao enfoque Euleriano:

num ponto as propriedades não variam...).

O escoamento não é uniforme, pois na região considerada existe gradiente da

propriedade estudada j 1 1i j j i j 1 1 2 1

i i

a a aa e a e e e e e e e ... 0x x x y

Também é preciso lembrar que

i i

i

iu R,t u R r ,t

xDR, t r, t R, t r, tt Dt t t x

.

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João Roberto Barbosa 50

Por exemplo: ii

v Dv v vR, t r, t u r, t r, tt Dt t x

1 2 31 2 3

v v v v vR, t r, t u r, t r, t u r, t r, t u r, t r, tt t x x x

No caso, 2 21 1 1 2

Dv 0 kx ke ky k e 0 k xe ye k rDt

2Dv r R, t k r aDt t

i i ii

r Dr r r rR, t r, t u r, t r, t r, t u r, t et Dt t x t

i i i i

` 0

r r u e u e vt t

1.8.5 - Obtenção das equações da linha de corrente

conhecido o campo de velocidades

Dado um campo de velocidades v , define-se, num ponto qualquer, a linha de

corrente pela sua tangente, que deve estar na mesma direção de v . A linha de corrente é

acurva em que o vetor v é tangente à mesma em todos os seus pontos.

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João Roberto Barbosa 51

Seja ds um elemento de linha de corrente. Então, v ds 0 devido à condição

de v ser tangente à linha de corrente.

Se i i i iv v e e ds dx e , segue-se que

1 2 3

1 2 3

1 2 3

e e ev ds "det" v v v

dx dx dx

2 3 3 2 1 1 3 3 1 2 1 2 2 1 2v dx v dx e v dx v dx e v dx v dx e 0 , de que resulta:

2 3 3 2

1 3 3 1

1 2 2 1

v dx v dx 0v dx v dx 0v dx v dx 0

ou

3 2

3 2

3 1

3 1

2 1

2 1

dx dxv v

dx dxv v

dx dxv v

e, portanto, 31 2

1 2 3

dxdx dxv v v

, que é um

sistema de equações diferenciais parciais que determina as linhas de corrente.

Exemplo: seja o campo vetorial dado por 1 2v kxe kye . Portanto,

1 2 3v kx v ky v 0 e o sistema de equações diferenciais

correspondente será dx dy dzkx ky 0

. Para a solução desse sistema, podem-se separar as

equações:

dx dy dy ky y dy dxoukx ky dx kx x y x

Também,

'

dx dz dz 0 0 z c y dkx 0 dx kxdy dz dz 0 dz0 c y 0 z constky 0 dy ky dy

c(y) const

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João Roberto Barbosa 52

Integrando-se dy dxy x do ponto 0 0x , y tem-se

0 0

y x

0 0 0 0 0 0y x

0 0

dy dx y x xy xyln ln 0 ln 0 1y x y x x y x y

xy x y

Problema de ordem prática

Numa região do espaço conhece-se o campo de velocidades v v r, t e quer-se

calcular a taxa de variação de uma grandeza G (não se conhecem nem as trajetórias, nem as

linhas de corrente).

1

aqui só aparecem X,Y,Zcomo indicadores da partícula(X,Y,Z) e as coordenadasx,y,z, além do tempo t.

GG G GR, t R r, t r, t r R, t , tt t t t

velocidadeda partícula

1 1 1r fixo

derivada em relação a derivadas em relação at, com x,y,z fixos x,y,z

G G Grr R, t , t r, t r R, t , tt t t r

Mas DG G G rR, t R r, t G e r, t vDt t t t

e

1 1 11r fixo t fixo

G G GG r, t v r, t v Gt r t r

Pondo G v vem Dv v v vDt t

Para 1 2v v r, t kxe kye tem-se

1 1 1 1

2 2 2 2

v ke v kx v v r, txv ke v ky v v r, ty

Cálculo de v v :

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 2 3

v v e v e v e e e ex y z

v v vx y z

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João Roberto Barbosa 53

1 2 3 1 2 3v v vv v v v v kx ke ky ke 0 ex y z

2 2 2 21 2 1 2v v k xe k ye k xe ye k r

1 2r fixo

v kxe kye 0t t

2 2Dv 0 k r k r aDt

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João Roberto Barbosa 54

Coordenadas cilíndricas (polares) 1.9 -

r 1 2

r 1 2

e cos e sen ee sen e cos e

r 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 r

de d cos e sen e sen d e cos d e sen e cos e d d e

de d sen e cos e cos d e sen d e cos e sen e d d e

Portanto,

r

r

de d ede d e

r

r r r

r

r redr dre rde dre rd e

dr dre rd e

Seja f f r, . Então f fdf dr d f drr

e

r rr rf dr f e f e dre rd e f dr f rd

r

r

f fr

f r f

f 1 ff e dr r

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João Roberto Barbosa 55

Coordenadas generalizadas 1.1 -

Seja a mudança de variáveis, do sistema carteziano para um sistema qualquer,

dado por

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x q ,q ,q

y y q ,q ,q

z z q ,q ,q

`

Têm-se que

ii

ii

ii

xdx dqqydy dqqzdz dqq

2 2 2

i ii i i

x y zdl dq i 1,2,3q q q

2 2 2

ii i i

x y zH i 1,2,3q q q

i i idl H dq i 1,2,3

1 2 3 2 3 2 3

2 1 3 1 3 1 3

3 1 2 1 2 1 3

dS dl dl H H dq dqdS dl dl H H dq dqdS dl dl H H dq dq

1 2 3 1 2 3 1 2 3dV dl dl dl H H H dq dq dq No caso de coordenadas polares, fazendo-se as substituições apropriadas, tem-se

1

2

3

H 1H rH 1

e 1

2

3

dl drdl rddl dz

No caso de coordenadas esféricas, por cálculos análogos, obtêm-se:

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João Roberto Barbosa 56

1

2

3

H 1H rH rsen

Em geral,

1 2 31 1 2 2 3 3

1 1 1e e eH q H q H q

2 3 1 3 1 2 1 2 31 2 3 1 2 3

1v H H v H H v H H vH H H q q q

3 3 2 2 1 1 1 3 3 22 3 2 3 3 1 3 1

2 2 1 1 31 2 1 2

1 1v H v H v e H v H v eH H q q H H q q

1 H v H v eH H q q

2 2 3 3 1 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

H H H H H H1H H H q H q q H q q H q

Coordenadas cilíndricas são as usualmente utilizadas quando se estudam as

máquinas de fluxo, daí a importância de se obterem dessas expressões gerais:

r z1e e e , com r, , z

r r z

r zrv v v1 1vr r r z

z r z rr z

vv v v v1 1 1v e e rv er z z r r r r

2 2

22 2 2

1 1rr r r r z

v, e R em coordenadas cilíndricas

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João Roberto Barbosa 57

r r z z

r z z

r r z z r r r r z z z z

r r r r z z

r r r z z

r r r

v v e v e v edr dre rd e dv edv d v e v e v e dv e v de dv e v de dv e v de

dv e v d e dv e v d e dv e

dv v d e v d dv e dv e

v v vdr dr

r r

z z zz

v v vdz v d e v d dr d dz ez r z

v v vdr d dz er z

r r rr r

z z zz

v v vv v vdv dr v d dz e d dr v d dz er z r z

v v vdr d dz e (A)r z

Também,

r z z

r z z

dv v dr v dre rd e dv e

v dre rd v e dv v e

Mas

r j r zjr rr r zr

j r zj r z

z j r zjz rz z zz

v e v e v e v e v e

v e v e v e v e v e

v e v e v e v e v e

Logo

r z r zrr r zr r z

r zrz z zz

dv dr v e v e v e rd v e v e v e

dz v e v e v e

rrr r rz r z

zzr z zz

dv v rd v dz v e dr v rd v dz v e

dr v rd v dz v e

B

Identificando as coordenadas de dv em (a) e (B):

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João Roberto Barbosa 58

rrr

r rr r r

rrz

r

r r

z

zzr

z z z z

v vr

v v1e v d rd v v vr

v vz

v vr

v v1e v r v v vr

v vz

v vr

1e dv d r v vr

z

zzz

v

v vz

Então,

r r r

r

z z z

v v v1 vr r z

v v v1v vr r z

v v v1r r z

r z

t r zr

r z

vv vr r r

vv v1 1 1v v vr r r

vv vz z z

r r r r z

t r zr r

z r z z z

vv v v v v1 vr r r r z r

v v v vv v1 1 1 1v v v v vr r r r z r

vv v v v v1r z r z z z

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João Roberto Barbosa 59

r r r z

r zr

z r z z

vv v v v12 vr r r z r

v v vv v1 2 12D v vr r r z r

vv v v v1 2r z r z z

r r z

r z

z r z

vv v v10 vr r z r

v vv v1 12R v 0r r z r

vv v v1 0r z r z

Como v Tr v (traço do gradiente de v ), vem

r zr

vv v1v vr r z

Exercício: para escoamentos compressíveis e incompressíveis, deduzir as equações de

Navier-Stokes completas.

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João Roberto Barbosa 60

2 - PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO

Teorema do transporte de Reynolds 2.1 -

O teorema do transporte de Reynolds é a generalização em 3 dimensões do

teorema da integração de Leibnitz, que trata da diferenciação sob o sinal de integração.

Como para o estudo das propriedades de um fluido em movimento pode-se estar

interessado no que acontece a uma parte específica desse fluido (Lagrange) ou ao que

acontece num local especificado (Euler) devido ação do fluido, é necessário que se

desenvolva uma ferramenta analítica que permita passar de uma representação (Lagrangiana)

para a outra (Euleriana) e vice-versa.

Essa ferramenta é obtida através do resultado do teorema do transporte de

Reynods. Esse teorema é bastante usado em mecânica dos fluidos.Apesar de parecer uma

expressão matemática muito complexa, conhecendo-se o significado físico dos conceitos

envolvidos, torna-se uma ferramenta bastante simples e relativamente fácil de ser usada.

A finalidade dessa ferramenta é ligar os conceitos de sistema aos de volume de

controle.

Para a formulação do teorema do transporte de Reynods, considere-se o sistema

representado na figura, composto de partículas localizadas na posição R em t = 0.

Esse sistema no instante t, devido à movimentação do fluido, pode ser identificado

pelas mesmas partículas na posição r .

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João Roberto Barbosa 61

No instante t = 0 o sistema tinha volume 0 0V V (t 0) e era delimitado pela

superfície 0S S(t 0) . No instante t o volume passou a ser tV V(t) e a superfície externa

desse volume a tS S(t) .

Têm-se:

R (X,Y,Z) - particula identificada na posição (X,Y, Z) em (t 0) r (x, y,z) - a mesma partícula que estava em (X,Y, Z) em (t 0) é identificada

na posição (X,Y, Z) em (t 0)

Logo, em (t 0) , i i ix (X,Y,Z, t) (R, t) i = 1,2,3

onde i são funções a serem determinadas pelas leis do movimento do fluido e, portanto, não

são conhecidas a priori.

O problema, então, se resume ao mapeamento 1-1 de 0S em tS ,para todo (t 0) .

De um modo mais geral, concidere-se o início da contagem do tempo, o tempo 0t , que pode

ser igual a 0 ou não.

Considere-se a partícula 0P em 0V : 0 1 2 3P : (X ,X ,X ,0) e, então,

i i 1 2 3x (X ,X ,X , t) i = 1,2,3 ou

r (r, t) na forma vetorial

A função é tal que 0 0(R, t ) r(R, t ) R

a) Se R é fixo, isto é, escolhe-se uma partícula, então r (R, t) é a trajetória da

partícula R escolhida.

b) Se 1 0t t t é fixado, então 1r (R, t ) é uma transformação de coordenadas

do fluido (particula R ) no instante 0t para as coordenadas dessa particula no

instante it t (essa transformação geralmente é não0linear).

c) Para que a transformação r (R, t ) seja 1-1 (biunívoca e sobrejetora

bijetora) é preciso que ,C . A transformação inversa de r (R, t ) ,

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João Roberto Barbosa 62

R (r, t) existe o jacobiano J da transformação seja 0 isto é,

i

j

xJ(R, t) det 0X

ou, na notação vetorial, r 0R

Consideram se

i ir x e

jje

X

Então ii j

j

xr e e GX

Na representação matricial,

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

x x xX X Xx x xGX X Xx x xX X X

e daí, J "det" G

A condição de movimento suave do fluido passa, então, a ser representado por

J det G 0

Se tem como inversa, então

0

( (r, t), t) r

( (R, t), t) R

J(R, t ) 1

2.1.1 - Derivadas com relação ao tempo

Seja F F(R, t) R a função escalar que dá o valor da propriedade F do fluido para uma

partícula determinada, R , no tempo t e, que no instante 0t , estava em R

a) rfixoF F (r, t)t t

é a taxa de variação de F medida por um observador localizado no

ponto fixo fixor do espaço(é uma variável local com o tempo).

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João Roberto Barbosa 63

b) RfixodF F (R, t)dt t

é a taxa de variação de F medido por um observador movendo-se

com a partícula (também conhecida como derivada material, substancial ou seguindo

o fluido). Note-se que F (R, t) é função apenas do tempo e sua derivada é a total!

2.1.2 - Velocidade e aceleração

a) Velocidade

Se descrevermos o movimento do fluido usando iR (X , t) então a descrição é

chamada Lagrangiana.

Assim, dr (R, t) U(R, t)dt t

é velocidade de uma partícula de fluido no tempo t,

que em 0t estava em R (é a chamada velocidade Lagrangiana). Então, dr U(R, t)dt

0

t

t

r R U(R, t)dt

Com a transformação R (r, t) , tem-se U(R, t) U( (r, t), t) u(r, t) e

dr U(R, t) u(r, t)dt

- velocidade absoluta do fluido

A velocidade u(r, t) é função de r e de t. É, portanto, uma função espacial e temporal

– Velocidade Euleriana

Notar: r é função só de t no tratamento Lagrangiano

r é função de t e da posição da partícula no tratamento Euleriano.

ii i i i 1 2 3 i

componentescartesianasde u

dxdr d (x e ) e u (x , x , x )edt dt dt

i 1,2,3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3u u e u e u e u (x ,x ,x )e u (x ,x ,x )e u (x ,x ,x )e

b) Aceleração

Aceleração é a taxa de variação de velocidade u da partícula considerada.

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João Roberto Barbosa 64

A(R, t)

àceleraçãolagrangiana

U(R, t) dU(R, t)t dt

pois U é só função de t e passa a ser de d.

A(R, t)

este rdepende deR

aceleraçãoeuleriana

dA( (r, t), t) a(r, t) (u( r , t))dt

Pela regra da cadeia, jr fixo

j

dxu ua(r, t)t x dt

Como ju ut

vem rfixo j

j

u ua(r, t) ut x

Denotando-se kk

ex

tem-se jj

uu (u )ux

Assim: ua(r, t) ( u) ut

ou ua(r, t) (u )ut

c) Exemplo (pág. 8 – Warsi): Considere um movimento na direção 1X , iniciando no

repouso em 0t 0 .Uma partícula está em 1X (a partir da origem ) em t 0 e se move

com aceleração constante 1X . Achar as velocidades Euleriana e Lagrangiana,

aceleração e posição, para t 0

Solução:

11 1 1

dUA (X , t) Xdt

0

t1

1 1 1

t 0

dUU (X , t) dt X tdt

0

t t 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

t 0 0

tx (X , t) X U (X , t)dt X X tdt X X2

11 1

2

xX (x , t) 11 t2

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João Roberto Barbosa 65

1 11 1 1

2 2

x xA X a1 11 t 1 t2 2

1 11 1 1

2 2

x t x tU X t u1 11 t 1 t2 2

21 1

1x X (1 t )2

d) Relação entre os elementos de volume

Em 0t t o volume das partículas R marcadas era 0V(t ) . Esse volume era revestido

pela superficie 0S(t ) .

Considere-se um elemento de volume de forma paralelepipédica, no instante 0t t ,

0dV(t ) . Então

0 1 2 3dV(t ) dX dX dX .

Sua diagonal é dR

Em t 0 esse volume se moveu para uma nova posição e se deformou, tornando a

forma de um paralelepipédica envolvendo a diagonal dr

Como r (R, t) , conciderando-se t fixo, ii

drdr dXdX

Portanto, os lados do novo paralelepípedo serão 1 2 31 2 3

dr dr drdX , dX , dXdX dX dX

O novo volume, no instante 0t t ,será dV(t ) Volume do paralelepípedo

0

1 2 31 2 3 dV(t )

produto...misto

dr dr dr( )dX dX dXdX dX dX

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dV(t ) 01 2 3

dr dr dr( )dV(t )dX dX dX

Da definição de G tem-se det G 1 2 3

dr dr dr( )dX dX dX

.

Portanto dV(t ) 0J(R, t)dV(t )

Seja F(r, t) uma propriedade extensiva do fluido. Num volume V(t) a quantidade

total dessa propriedade é calculada por, no instante t, V(t)

F(r, t)dv(t)

A taxa de variação dessa propriedade, no instante xxx, é calculada por

V(t)

d F(r, t)dv(t)dt

Considerando-se a mudança de variáveis (mapeamento)que mapeia a volume V(t) ,no

volume 0V(t ) tem-se dV(t ) 0J(R, t)dV(t ) e daí

V(t)

d F(r, t)dv(t)dt 0

0V(t )

d dF(r(R, t), t)J(R, t)dV(t )dt

Como 0V(t ) é um volume fixo, conhecido, ddt

pode permutar com 0V(t ) e portanto,

V(t)

d F(r, t)dv(t)dt 0

0V(t )

d [F(r(R, t), t)J(R, t)dV(t )]dt

00

V(t )

dF dJ{J(R, t) (r(R, t), t) F(r(R, t), t) (R, t)}dV(t ) Idt dt

Como mostrar!

dJ (R, t) J(R, t) vdt

v velocidade do escoamento, tem-se

0

0V(t )

dFI J R, t { r R, t , t F r R, t , t u}dV(t )dt

Revertendo-se a mudança de variáveis:

V(t )

dFI { (r, t) F(r, t) u}dV(t)dt

V(t )

dFI (r, t) u F(r, t) F(r, t) u dV(t)dt

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Como u F(r, t) F(r, t) u Fu , tem-se:

V(t )

dFI { (r, t) F(u)}dV(t)dt

V(t) S(t)

FI (r, t)dV(t) Fu dst

Tem-se, portanto:

V(t) V(t) S(t)

d FF(r, t)dV(t) (r, t)dV(t) F(r, t)u dsdt t

O teorema do transporte de Reynalds pode, então, ser enunciado:

“Num instante t a taxa de variação da propriedade total F contida num

volume V(t) é igual à integral da variação instantânea da propriedade F no

interior do volume V(t) mais o fluxo total da propriedade F transportada

pelo fluido através de superfície S(t) , com velocidade (do fluido) u ”

Note que o teorema é válido para cada tempo t, no qual o volume V(t) é fixado!

Em termos usuais, o teorema diz que a taxa de variação da propriedade total F

num volume é devida à variação instantânea da propriedade no interior do volume, somado ao

fluxo da propriedade através da fronteira do volume!

Atenção para a notação! v

D FdVDt

F v

FdV F

Considere-se um volume V delimitado pela superfície S . Esse volume contém

sempre a mesma quantidade de matéria. Quer-se saber a taxa de variação de uma propriedade

extensiva G qualquer, associada ao fluido limitado por S em qualquer instante, isto é, quer-se

o valor de

v

D GdVDt

, G G(r(R, t), t)

com S movendo-se com o fluido.

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Esse valor pode ser calculado por 2 modos diferentes.

a) Ao invés de calcular a integral sobre o volume, calcula-se a integral sobre a

massa. Neste caso, dm dv é invariável e portanto,

v v v v v

D D D DG DGGdV Gdm [Gdm] dm dVDt Dt Dt Dt Dt

b) pelo teorema do transporte de Reynalds:

v v S

D GdV [ G]dV GvdSDt t

v v v

D GdV [ G]dV ( Gv)dVDt t

v

[ (G) G ] [G ( v) v G] dVt t

v0 continuidadeadmitido conhecido

GG ( v) v G dVt t

v v

G DG[ v G]dV dVt Dt

observando-se que ' ' '(G v) G v v G

' '

' ' '

v S v

D G GG dV dV G vdS dV (G v) d̀VDt t t

' '' ' ' '

v v vDG 'Dt

D G DGG dV [ v G G v]dV [ G v]dV.Dt t Dt

Tomando 'G 1 , isto é, v v v

D DdV (dV) vdVDt Dt

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D (dV) vdVDt

(A)

Por outro lado D DG D(GdV) dV G (dV)Dt Dt Dt

0 0DG D DG DJdV G (JdV ) dV GdVDt Dt Dt Dt

1 1DG DJ DG DJdV GJ dV [ GJ ]dVDt Dt Dt Dt

Pondo G 1:1D DJ(dV) J dV

Dt Dt (B)

Segue-se que, de (A) e (B): 1 DJJ vDt

ou

DJ J vDt

Observe-se que, também, que *

*

v v

D DGG dV dVDt Dt

(se houve conservação de massa)

Observação : O problema que se deseja resolver é obter um modo de calcular a derivada

material D(R, t) ,t Dt

GG G dado por

v

(R, t) (R, t) G(R, t)dVt t

G G G Note que G G

Está-se querendo calcular a taxa de variação da grandeza extensiva G, onde o

contorno da integral V(R, t)é variável com o tempo (o sistema se deforma!)e,

consequentemente, não se pode permutar t

com

v(R,t) !

É possível fazer uma mudança de variáveis( mapeamento )

De tal forma que a integral seja calculada sobre o volume inicial 0V(R, t ) V(R) cujo

contorno independe do tempo

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Nesse ponto,portanto, pode-se comutar t

com

v . O elemento de volume

dV(R, t) passa a ser dV(R) , dado por dV(R, t) J(R, t) dV(R) , onde J(R, t) é o Jacobiano

da transformação r R , J(R, t) rdet (R, t)R

Chega-se então, à forma do Teorema do Transporte de Reynalds:

v(t) v(t) S(t)

d dGG(r, t)dV(t) (r, t)dV(t) G(r, t)udSdt dt

em que V(t) e S(t) representam genericamente V(r, t) e S(r, t).

No caso particular em que se considera uma superfície S(t) fixa no espaço

(volume de controle), a derivada t

pode comutar com

v(t) . Então

v(t) v(t) S(t)

superfície de controlefixa no espaço

d G(r, t)dV(t) G(r, t)dV(t) G(r, t)u dSdt t

O termo G(r, t)dV(t) (r, t)t t

G é a variação local de (r, t)G .

A integral de superfície é referente à parte convectiva.

Note-se, também, que

G(r, t)u dS G(r, t)u ndS G(r, t)(n u)dS G(r, t)dQ

Definição : Um fluido é incompressível se a densidade de cada partícula não varia

com o tempo, independentemente de seu estado de tensão. Então D 0Dt é a equação que

caracteriza a incompressibilidade do fluido.

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Definição :Um fluido é homogêneo em relação a uma propriedade G se G 0

(na região considerada).

Observação: Um fluido incompressível não necessariamente tem densidade

uniforme(constante). Por exemplo, a agua do mar tem diferentes concentrações de sal e, em

função disso, sua densidade varia conforme o local.

Da equação da continuidade, D v 0Dt v 0

Definição: Um escoamento é dito permanente, ou em regime permanente, se, num

ponto fixado, nada muda com o tempo. Caso contrário é dito não-permanente ou transitório

(Regime transitório) G (r, t) 0t

Observação: é importante notar que, entretanto, num escoamento permanente, a

velocidade, a aceleração, a temperatura, etc..., de uma determinada partícula, podem, em

geral, variar com o tempo, isto é, se G é uma propriedade do fluido, no regime permanente

tem-se

0x x fixodG 0dt

mas DGDt

não é necessariamente nulo.

Por exemplo: 1 2v xe 2ye . Então1

2

3

v xv 2y

v z

1 1 1 1 11 1 2 3

dv v v v va v v v 0 x1 0 0 xdt t x y z

22

dva ... 0 x0 ( 2y)( 2) 0 4dt

33

dva ... 0dt

Logo 1 2Dva xe 4ye 0Dt

Nota-se que, no ponto 0 0 0P : (x , y ,z ), 0 1 0 2v x e 2y e e x P

Dv 0.Dt

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Observação: Em regime permanente, as curvas que definem uma linha de

corrente e uma trajetória são idênticas, isto é, linha de corrente e trajetória se confundem.

Definição: O escoamento é uniforme numa região (seção) se nela os gradientes

das propriedades são nulo.

Note que o escoamento no interior de um duto pode ser uniforme mas no interior

de um duto divergente ele será não-uniforme.

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Há alguns princípios da natureza que, ao serem observados e quantificados,

oferecem meios adequados para o estudo dos escoamentos, em particular. São eles para todo

instante t:

PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA: para um sistema (em que não haja

reações nucleares) qualquer, a taxa de variação massa é nula, isto é a massa se

conserva ao longo do tempo.

PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ( 2a

lei de Newton): para um sistema qualquer, a taxa de variação da quantidade de

movimento é igual à resultante das forças externas que atuam no sistema.

PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

ANGULAR (conservação do momento da quantidade de movimento): para um

sistema qualquer, a taxa de variação da quantidade de movimento angular é igual a

resultante dos torques externos que atuam no sistema.

PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA: (Primeira lei da

termodinâmica): para um sistema qualquer, a taxa de variação da energia é igual a taxa

líquida de transferência de calor para o sistema somada a taxa de realização de

trabalho sobre o sistema (potencia transferida ao sistema).

A terminologia Princípio da Conservação não é mais adequada visto que, por

exemplo, o principio da conservação de quantidade de movimento angular pode ser deduzido

da 2a lei de Newton através de simples operação algébrica.

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Princípio da conservação de massa 2.2 -

O principio estabelece que sistemaDm 0Dt

.

Considere o sistema de volume V e

superfície S. Um elemento de massa dm é calculado por dm dV .

A massa total do sistema será V

m dV

Então : DmDt

D dV 0Dt

(Forma integral)

O teorema do transporte de Reynalds dá, para uma propriedade extensiva g, por

unidade de volume, V V S

D GGdV dV Gv dSDt t

Neste Caso, fazendo-se G vem :

V V S

D dV dV v dSDt t

`Teoremade Gauss

V V V

D dV dV ( v)dVDt t

conservaçãode massa

V V

D dV ( v)dV 0Dt t

v 0t

(Forma diferencial conservativa).

A forma diferencial pode também ser escrita na forma dita “não-conservativa”,

uma vez que ( v) v v e daí

( v) v vt t

. Chega-se então, a

D v 0Dt (Forma diferencial não-conservativa).

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As duas fórmulas são matematicamente equivalentes. Entretanto, se forem

utilizadas nas formas discretizadas para solução numérica de alguma problema, a forma não-

conservativa poderá acarretar erros devido ao não cancelamento de todos os termos de fluxos

através da malha (não-consistência da massa total)

2.2.1 - Formas particulares

Escoamento (fluido) incompressível : = cte 0t

( v) 0 v 0 v 0 (Forma diferencial)

V V S S

( v)dV vdV v dS dm 0

(formas integrais)

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Princípio da conserevação da quantidade de movimento 2.3 -

2.3.1 - Conserevação da quantidade de movimento linear

A 2a Lei de Newton estabelece que:

externas

V

D vdm FDt

Deve-se observar que V é o volume do sistema e,

como dm dV , externas

V

D vdV FDt

A obtenção de uma formula adequada ao uso em resolução de problemas de

escoamento em geral pode ser feita desenvolvendo-se o 1º membro da equação acima

utilizando o teorema do transporte de Reynolds e o 2° membro segundo as forças de campo e

de superfícies que agem no corpo envolvido.

Forças Externas = Forças de Campo ou de Volume + Força de superfície

externas V SF F F F

Forças de campo: gravitacional, magnética,eletrostática, centrípeta

SF Forças de superfície: associadas a tensões/deformações, dependem da

natureza do fluido.

Nos problemas tratados neste curso a única força de volume a ser considerada será

a gravitacional. Deve-se ter em mente que, no caso de máquinas de fluxo, a força centrípeta

precisa ser considerada também.

Têm-se portanto:

VF gdV

SF

S

dS = Tensor de tensões

VF

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Ates de prosseguir na obtenção da “formula” adequada, é conveniente examinar

mais em profundidade o tensor de tensões

Considere-se então um elemento de superfície dS na forma indicada na figura

indicada abaixo ( apropriada a este estudo).

Têm-se:

1 2 3dS dS dS dS

1 2 3n n n n

i idS dS e i idS dS i i idS n dS n dS

i in n e i in n 1

1 2 3d d d d

Definindo-se

SdF d dS = força que age na superfície dS e

S SdF f dS , em que S f é a intensidade específica da força que age em dS ,

apontando para fora da superfície, então

1 1 1s S 1 S 1dF f dS f n dS

2 2 2s S 2 S 2dF f dS f n dS

3 3 3s S 3 S 3dF f dS f n dS

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S S dF f dS

Para esse elemento de volume em movimento, com aceleração a , tem-se o

balanço da força

1 2 3

de de desuperfície campo inércia

S s 1 s 2 s 3{[f (f n f n f n )]dS} { gd V} { a dV}

ou

iS s idV dVf f n g adS dS

Calculando o limite quando dV 0dS

i iS s i Si s if f n 0 ou f f n

Logo i i iSi s i i Si i i s f f (n e ) ou f n e f ( observar a ordem dos

produtos pois is if n na realidade é

ii sn f , escalar multiplicando um vetor.

Definindo-se ii se f tem-se

s sf n f dS n dS

e, daí, s

S V

F n dS dV

ii se f é a diádica de tensões . Suas componentes são tensores de 2º ordem,

expressos por ij , i,j = 1,2,3 (9 Componentes)

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Da definição ii se f tem-se

i ii i i i S Sn n e f f i 1,2,3

Logo, i ij je e

i i ij i j ij i je = e e e e Observe a ordem dos indices

Na forma matricial: 11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 1j j 11 1 12 2 13 3

2 2 j j 21 1 22 2 23 3

3 3j j 31 1 32 2 33 3

e e e e

e e e e

e e e e

1

2

3

No caso do fluido estar em repouso (ou com movimento uniforme, em que não há

deformações) as tensões tangenciais são todas nulas. xx deve conter apenas as tensões

normais, que coincidem com a pressão . A pressão é dirigida (força) para dentro do corpo

(direção oposta á normal á superfície), de onde resulta:

11 22 33 P

Pode-se, então, escrever como

PI

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João Roberto Barbosa 80

Decompondo as tensões como uma parte que depende apenas da pressão, outra

parte que depende das tensões tangenciais e normais que sejam as de pressão. Note-se que

estas tensões normais nem sempre coincidem com a pressão !

Existe uma classe de fluidos, chamados Newtonianos, para a qual varia

linearmente com as deformações . Para esses fluidos ji ij ij ij2 D u P , onde

= viscosidade dinâmica do fluido

jiij

j i

uu1D ( )2 x x

, corresponde a diádica de deformação ij i jD D e e

3i 1 2ii

i 1 2 3

uu u uu D ( )x x x x

, correspondente à deformação de volume.

2º Coeficiente de viscosidade

ij Delta de Kronecker

2 D ( u)I e PI PI 2 D ( u)I

No caso em que as tensões normais são causadas apenas pela pressão:

11 22 33

11 22 33 11 22 33 kk 11 22 33

11 22 33 11 22 33

11 22 33

P1 ( )31 1[2 (D D D ) ( )D ] P( )3 31[2 (D D D ) 3 (D D D ) P31[(2 3 )(D D D )] P3

P

11 22 331[(2 3 )(D D D )] P3

2 2 3 0 ou 3

Observar que isto é válido para velocidades “moderadas” e para gás.

23

é conhecida como hipótese de STOKES

Note-se que tem bastante influência em locais onde existe variação brusca das

propriedades do fluido.

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Ainda, no caso de fluidos incompressíveis, v 0 e não tem influência!

Esta decomposição de será estudada mais em profundidade quando for tratado

o assunto Equações constitutivas.

Retornando ao estudo da equação de conservação da quantidade de movimento,

com PI , tem-se s

S S S

F dS PI dS dS e portanto:

V

D vdVDt

S S V

PI dS dS gdV

Desenvolvendo o primeiro termo pelo T.T.Reynolds:

V S

vdV vv dSt

S S V

PI dS dS gdV

Transformando as integrais de superfície, pelo teorema de GAUSS, em integrais

de volume:

V Vpermutar

com

vdV ( vv)dVt

V V V

(PI)dV dV gdV

V

( v) ( vv) P g dV 0

( v) ( vv) P g 0t

Note-se que D DvvdV dVDt Dt

e portanto

Dv ( v) ( vv)Dt t

e daí

Dv P g 0Dt

Introduzindo 2 D ( v)I :

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( v) ( vv) P (2 D ( v)I) g 0t

ou

Dv P (2 D ( v)I) g 0Dt

, com (2 D ( v)I)

2.3.2 - Conservação da quantidade de movimento angular

Em casos em que a resultane das forças externas que agem nas partículas é nula,

mas existe um binário não nulo, é preciso recorrer-se ao estudo da quantidade de movimento

angular.

Considere-se uma partícula de massa dm e com velocidade v , cuja quantidade de

movimento é vdm . Seja R a posição dessa partícula em relação ao centro de rotação. Então

o momento da quantidade de movimento dessa partícula será

dH R vdm e V

H R v dV

A força que age nessa partícula é dada por

D DdF vdm vdVDt Dt

O momento da força dF será DdM R dF R vdVDt

e

V V

DM dM R vdVDt

Da Segunda Lei de Newton tem-se DM HDt

pois

D DR DR vdV vdV R vdVDt Dt Dt

Dv vdV R vdVDt

=

D0 R vdVDt

Segue-se que

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João Roberto Barbosa 83

V V V

D D D DHM R vdV R v dV R v dVDt Dt Dt Dt

Tem-se, portanto, DHMDt

Pelo Teorema do transporte de Reynolds (TTR),

V V S

DH D r v dV r v dV r v v dSDt Dt t

Para o volume de controle inercial

V V S

DM r v dV r v dV r v v dSDt t

ou

V S V S

M r vdV r v v dS r vdV r vdmt t

Para volumes de controle não inerciais

* *r rdF adm adV a a dV dF dF

* *r rdM r dF dF dM dM

Então *r

V V V

D DM M dM r W dV r W dVDt Dt

=

= rDHDt

, pois W é a velocidade relativa à superfície que envolve o volume V.

Note-se que Dr WDt

e, portanto, DrDt

deve ser enendido que representa a

velocidade relativa, isto é, a velocidade da partícula no sistema não inercial.

Então

*

V S

M M r WdV r W W dSt

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João Roberto Barbosa 84

Em aplicaçõesimportantes como em máquinas de fluxo, tem-se o caso especial de

volume não inercial que gira em torno de um eixo.

Neste caso,

z

r

r r z z

er re

W W e W e W e

U re

V S

M r vdV r v v dSt

Em regime permanente, S S

M r v v dS r v dm

Interessa o cálculo do momento na direção do eixo de rotação, pois é ele que está

relacioonado com a rotação do canal por onde se escoa o fluido, isto é, zM .

Então,

z

S z

M r v dm

Mas S S

M r v v dS r v dm

r r r U z z

r U U r U zz

r v re V e V e V e

r v re V e rV e e rV e

Daí, z U z

S

M rV e dm e, portanto, z U

S

M rV dm

Uma informação importante a respeito da diádica de tensões pode ser obtida a

partir de M . De fato, considerando-se V Sreferente referenteàs forças de às forças devolume superfície

M M M

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João Roberto Barbosa 85

V S

V S

M r f dV r f dS , onde V V S SdF f dV e dF f dS ndS

Portanto, V V

V S V S

M r f dV r n dS r f dV n rdS

V

V S

r f dV r ndS

V

V S

r f dV r dS

V

V

r f dV r dV

Mas tr r r vem

tV

V V V

M r f dV r dV rdV

tV

V V

M r f r r dV

Como V V

D DM r v dV r v dVDt Dt

tV

Dr v r f r rDt

tV

0

Dr v f rDt

O termo entre chaves é nulo tendo-se em vista a conservação da quantidade de

movimento linear, pois

D v gDt

Então, t r 0

Como t tij i j k l l

kr e e e x e

x

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t tij i jk l l ij i l l

k je x e e x e

x x

t tlij i l ij i j ji i j

0

11 1 1 12 2 1 13 3 10

21 1 2 22 2 2 23 3 20

31 1 3 32 2 3 33 3 3

x e e e e e exj

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

21 12 1 2 32 23 2 3 31 13 1 3e e e e e e 0

Daí, 21 12

32 23

31 13

, ou seja ij ji i, j 1,2,3 `

Assim, t , isto é, a diática de tensões é simétrica.

Em particular, ij ij ij

ji ji ji

PIP

P

Se ij ji segue-se que ij ji , isto é, a diádica de tennsões viscosas é

também simétrica.

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João Roberto Barbosa 87

Princípio da conservação da energia 2.4 -

O conteúdo de energia de uma sistema é medido pela sua energia interna

especifica e. Como e é uma variável de estado do sistema, sua variação durante uma

transformação termodinâmica é apenas função dos estados inicial e final.

Para os fluidos, a energia total é a soma da energia interna, com a energia cinética

e com a energia potencial:

2t i

1e e v gz2

Observar que se a energia potencial for considerada em te então não deve

aparecer na parte referente às forças de campo.

No desenvolvimento seguinte, a energia potencial será considerada na parte

referente às forças de Campo, de tal forma que 2t

1e e v2

A 1a lei da termodinâmica estabelece que a energia total do sistema, num

determinado instante, pode ser avaliada através de:

“A variação de energia total em um sistema é igual ao trabalho nele realizado por

forças externas somado ao calor transferido ao sistema, e ao trabalho de eixo nele

desenvolvido”.

As forças externas são as forças de volume, VF , e as de superfície, SF , já

analisadas anteriormente. A elas correspondem respectivamente

V

S

d Q g vdV ("trabalho" das forças de volume)

d Q ( v) dS ("trabalho" das forças devido as tensoes)

Então t v S C e

V

D e dV Q Q Q WDt

“Trabalho” na realidade é a taxa de

transferência da energia.

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João Roberto Barbosa 88

vQ = “Trabalho” das forças de campo(neste curso,apenas o referente a g .Se

aparecer aqui, não deve aparecer na equação do 1º membro!)

SQ = Trabalho das forças de superfície

CQ = Calor transferido ao volume, por condução.

eW = “Trabalho” de eixo sobre o volume (potência de eixo).

Ainda,

vQ

V

g vdV

CQS

( v) dS

CQS

k T dS C s s

S

(Q q dS q k T)

Segue-se que

t

V

D e dVDt

V

g vdVS

( v) dS S

k T dS + eW

Note-se que, nesta expressão, não estão incluídas as parcelas de calor devidas a

radiação, a reação química, etc. que, no caso de estarem presentes, precisam ser modeladas e

adicionadas ao 2º membro.

Desenvolvendo o 1º membro pelo T.T.R e o 2º membro com aplicação do teorema

de Gauss:

t

V

e dVt

t

V

( e v)dV V

g vdV +V

( v)dV + e

V

(k T)dV W

A ação das forças externas, de superfície e de campo, SQ + vQ , muitas vezes é

identificada como potência mecânica P.

não se deve confundir com eW , a potência de eixo

transferido ao sistema!

P

SQ + vQV

g vdV V

( v)dV

SQ Também é identificado como “trabalho” de fluxo

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João Roberto Barbosa 89

No caso de geração interna de energia como combustão, a expressão adequada a

ser adicionada ao 2° membro,como indicado seria v

V

q dV , com vv

d Qqdm

sendo a geração

interna específica. Assim

t

V

e dVt

t

V V V

( e v)dV g vdV ( v)dV v e

V V

(k T)dV q dV W

Sem levar em conta eW , agrupando todas as integrais, pode-se concluir que:

t( e )t

t( e v) g v ( v) v(k T) q

A potência associada às forças de campo (g) pode ser calculada por :

V

g vdVV

v gdV V

Dr( g)dVDt

V V

D D(r g)dV r gdVDt Dt

como i i kk

zg g z, r g r.( g z) gx e ex

i i k ik i

z zgx e e gx gzx x

V

D r gdVDt

V

D ( gz)dVDt

V

D gzdVDt

Daí, V

g vdVV

D gzdVDt

V

gzdVt

S

gzv dS

V

gzdVt

V

( gz)dV

A potência associada às tensões pode ser calculada por

S S

( v) dS ( PI ) v dS

S S

(PI v) dS ( v) dS

A initegral S V

( v) dS ( v)dV se refere à “Potencia de atrito”, Pa.

Como jk j k e e i jk e ij kei i

( v) e e v e e vx x

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t tiik k k ik ik

i i k

v( v) v v ( ) v ( ) : vx x x

Também S V

(PI v) dS (PI v)dV e

(PI v) jj i j k k i i k ki i

P e e v e e Pe v ex x

k ik ii i

Pv (Pv ) (Pv)x x

ii

i i

v PP vx x

P v v P

Então a forma integral fica:

t

V

e dVt

t

V

( e v)dV V

g vdV V

v ( )dV t

V

: vdV

V

P vdV V

v PdV V

(k T)dV v e

V

q dV W

e a forma diferencial:

t( e )t

t( e v) g v v ( ) t : v P v v P (k T) vq

Como o primeiro membro da equação acima é tDeDT

, então

tDeDT

gv v ( ) tv: v P v v P (k T) q Equação I

Por outro lado, a equação da conservação da quantidade de movimento linear

estabelece que:

Dv( v) ( vv) P gt Dt

Esta equação multiplicada membro a membro por v membro a membro dá

2D 1 v P v g v ( ) vDt 2

Equação II

ubstituindo-se II em I

2tDe D 1 vDT Dt 2

tv: v P v (k T) q

ou como 2t

1e e v2

:

tDeDT

tv: v P v (k T) q

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João Roberto Barbosa 91

Nota-se que esta equação mostra como o calor dissipado por tensões viscosas

age no fluido, fazendo variar sua energia interna.

No caso mais simples de escoamento de fluido incompressível v 0 ,

desprezando-se a difusão do calor, sem geração interna de energia, tem-se

tDeDT

t : v

o que significa que o atrito viscoso causa aumento direto da energia interna do fluido. Se este

for gás ve c T , o que é equivalente ao aumento de sua temperatura!

2.4.1 - Obsservação 1

2 2

V V

1 1(e v )dV ( [e v ]v)dVt 2 2

V V V

(k T)dV ( v)dV g vdV

com PI

V V V V

(k T)dV (PI v)dV ( v)dV g vdV

t( v) v ( ) : v

PI v Pv (PI v) (Pv) P v v P

2 21 1 (e v ) (e v )v (k T) ( v) g v P v v Pt 2 2

2 2 t1 1(e v ) (e v )v (k T) v ( ) : v P v v P g vt 2 2

tDeDT

t(k T) v ( ) : v P v v P g v

Da equação de conservação da quantidade de movimento:

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Dv P gDT

multiplicando por v tem-se

Dv v v P g v v ( )DT

2vD

2 v P g v v ( )DT

Então:

2vD

2 v P g v v ( ) 0DT

ttDe (k T) v ( ) : v P v v P g v 0DT

Subtraindo membro a membro estas 2 equações resulta 2

tt

vDDe 2 (k T) P v : vDT DT

ou

tDe P v (k T) : vDT

Da equação da conservação da massa:

v 0t

v v 0t

Juntando-se o primeiro e o terceiro termos,

D v 0Dt

de que resulta

1 DvDt

Portanto

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tDe P D (k T) : vDt Dt

Mas 1D1 D

Dt Dt

e, então,

t1DDe P (k T) : v

Dt Dt

em que t : v é a função de dissipação viscosa, tem-se

1DDe P (k T)Dt Dt

Daí,

1DDe 1 1P (k T)Dt Dt

para escoamento compressível e

De 1 1(k T)Dt

para escoamento incompressível

Esta equação mostra claramente que o atrito ( ) causa alteração na energia

interna do fluido! (na temperatura estática)

2.4.2 - Variação da energia, no volume de controle, com o

tempo

Da Primeira Lei da Termodinâmica chegou-se à equação

t

V V V V

D e dV k T dV g vdV v dVDt

A integral do primeiro membro deve ser entendida como

t

V R,t

e dV R, t

t t t

V V S

D e dV e dV e v dSDt t

= 2 2

V S

v ve dV e v dSt 2 2

=

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V V V

t

V V V

k T dV gzdV gzv dVt

PI vdV v dV : vdV

Agrupando-se termos semelhantes:

V

2 2

V S

t

V V V V V

Pv dV

v ve gz dV e gz v dSt 2 2

k T dV P vdV v PdV v dV : vdV

Portanto

2

t

V V V V V

D ve gz dV k T dV Pv dV v dV : vdVDt 2

2

t

V V V V V

D v Pe gz dV k T dV v dV v dV : vdVDt 2

ou, ainda,

a

2 2

V V

t

V V V V

P

v v Pe gz dV e gz v dVt 2 2

k T dV Pv dV v dV : vdV

em que aP é a potência de atrito.

Como 2

t

2 2 2

t t

Ph e

ve e2v P v vh e e h2 2 2

vem

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t t

V V

a e VPotência PotênciaV Vmecânica de

Taxa Geração(atrito) eixode deretiradafluxo energiaadicionadade int ernaao sistemacalorpelasuperfície

e gz dV h gz v dVt

k T dV P W q dV

Para se poder escrever o prncípio da conservação da energia na forma

`Potência TaxaEnergiadearmazenadacalor

Q P E

Deve-se observar que V S e`Potência Potência Potência Potência

das das deforças forças eixode de fornecidavolume superfície ao

sistema

P Q Q W

e que ta

V V

P v dV : vdV (Potência de atrito do escoamento)

Então

e

e a

V S PartedeWé gasta paravencer o atritodo fluido!

PP gzdV gz dm W Pt

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João Roberto Barbosa 96

2.4.3 - Bomba hidráulica

Considerações:

Regime Permanente (1)

Adiabática (2)

Sem geração interna (3)

t t a e V

V V V V0 0 0

(1) (2) (3)decalorpelasuperfície

e gz dV h gz v dV k T dV P W q dVt

Portanto t a e

V

h gz v dV P W

t e a

S

h gz v dS W P e, daí, t e a

S

h gz dm W P

t2 t1 2 1 e am h h g z z W P

'

e a et2 t1 2 1

W P Wh h g z zm m

t eh g z W , com eW = tabalho específico (outra notação: eY )

Note-se que 'eW é a potência que foi realmente transferida ao fluido!

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João Roberto Barbosa 97

Função dissipativa viscosa:

t tm m i iji i j k m ji jk jm ji ij

k k j j

v v v v: v e e : e ex x x x

3 3 31 1 1 2 2 211 21 31 12 22 31 13 23 33

1 2 3 1 2 3 1 2 3

v v vv v v v v vx x x x x x x x x

3 3 31 1 2 1 2 211 12 13 22 23 33

1 2 1 3 1 2 3 2 3

v v vv v v v v vx x x x x x x x x

Observe-se que, na notação matricial, o duplo produto escalar (:) deve sr

entendido a partir das indicações feitas abaixo!

O resultado é obtido pela multiplicação dos elementos correspondentes das 2

matrizes, somando os resultados obtidos (típico de produto escalar e não de produto de

matrizes).

Também, t : v 2 D vI : v 2 D : v vI : v

n iij i j m n ij

m j

v vD : v D e e : e e Dx x

ikl k l

i

i n i k i kkl k l m n kl

i m i l i kl m`k n

vvI e ex

v v v v v vvI : v e e : e ex x x x x x

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jiij

j i

jiij

j i

iij ij

j

vv1D2 x x

vv1R2 x x

vD Rx

Portanto, 2ii kk kkvI : v D D D

Segue-se que

t 2 2ij ij ij kk ij ij ij ij kk: v 2 D D R D 2 D D 2 D R D

Como

j ji iij ij

j i j i

j j j ji i i i

j j j i i j i i

2 2ji

j i

u uu u1 1D R2 x x 2 x x

u u u uu u u u14 x x x x x x x x

uu1 04 x x

tem-se

t 2 2 2 2 2 2ij ij kk ii 12 13 23 kk: v 2 D D D 2 D 2 D D D D

2i i i i i

i i i

3 31 2 1 21 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3

ji i j

v v Dv Dv DvD v D 1 1v v vDt 2 Dt 2 2 Dt 2 Dt Dt

Dv DvDv Dv Dv Dvv v v v e v e v e e e eDt Dt Dt Dt Dt Dt

Dv Dvv e e vDt Dt

Também,

2 ii i i i i

i ii i i i

DvD 1 D 1 1 1 Dv dV v v dV v dV v v dVDt 2 Dt 2 2 Dt 2 Dt

Dv Dv1 1 1 Dv dV v dV v v dV2 Dt 2 Dt 2 Dt

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João Roberto Barbosa 99

2i ii i

02

i i ii

Dv Dv1 1 1 Dv dV v dV v dm2 Dt 2 Dt 2 Dt

Dv v v1 D D vv dV dV dV2 Dt Dt 2 Dt 2

DvdV vDt

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João Roberto Barbosa 100

Adequação a Sistemas não Inerciais 2.5 -

Na dedução do Teorema do Transporte de Reynolds e das demais equações

derivadas deve-se observar que as velocidades das partículas v R, t ou v r R, t , t são

absolutas (ou inerciais) e que os fluxos são calculados relativamente às superfícies

consideradas. No caso de volumes de controle que se movem, como, por exemplo, o volume

de cntrole delimitado por duas pás adjacentes de um compressor axial, como o indicado na

figura, há necessidade de se fazer uma transformação conveniente, a fim de que sejam obtidas

as informações adequadas para a aplicação do TTR, isto é, transformar informações de um

sistema não inercial para um inercial.

Consideram-se os dois sistemas, um inercial 1 2 3E ,E ,E e outro não inercial

1 2 3e ,e ,e , como o indicado na figura, e a partícula P cuja posição é dada por R X, t no

sistema inercial e por r x, t no sistema não inercial. 0R é o vetor de posição da origem do

sistema não inercial em relaçãoao inercial.

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João Roberto Barbosa 101

Então,

i i

i i

0

00

R R X, t X E

r r x, t x e

R R r

DRvDt

DvaDtDvaDt

etc.

Tem-se 00

DRDR Dr Drv vDt Dt Dt Dt

i ii i i i i

ivelocidadeda partículano sistemanão inercial

Dx DeDr D x e e x W x eDt Dt Dt Dt

,

em que é a velocidade angular no sistema não inercial.

Logo i iDr W x e W rDt

Pondo U r vem Dr W UDt

Também, 0

0

0

DvDv D DW Da v W r rDt Dt Dt Dt Dt

DW D Dra rDt Dt Dt

Mas 2

i i ii i i2

Dx Dx DeDW D De x eDt Dt Dt Dt DtDt

=

2i i i

i i r i r2

aceleraçãono sistemanão inercial(acel. relativa)

D x Dx Dxe e a e a WDt DtDt

Tem-se, daí:

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João Roberto Barbosa 102

0 r

0 r

D Dra a a W rDt Dt

Da a W r W rDt

ou

0 raceleração aceleraçãoaceleraçãoacel. da velocidadeabsoluta aceleraçãode Coriolisrelativaorigem do periféricaangularsistema

móvel aceleraçãoaceleração notan gencial

Da a a 2 W r rDt

rmal oucentrípeta

Costuma-se escrever, em consequência:

0 r Co t na a a a a a

Em mitos casos é conveniente decompor a na forma *ra a a , com *a

(aceleração aparente), dada por *0 Co t na a a a a , de tal modo que, sendo *F a

resultante das forças aparentes cauadas pelas acelerações aparentes, tem-se

*r

V Vquantidadede movimentonão inercial

DF F a dV WdVDt

Neste caso, W se refere à superfície do sistema não inercial.

O TTR dá:

V V S

D WdV WdV W dSDt t

*

V S V S

F F WdV W dS Wdm Wdmt t

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João Roberto Barbosa 103

3 - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

As substâncias que compõem um meio em escoamento têm características

próprias que precisam ser explicitadas. Embora todas as partículas devam obedecer os

princípios gerais, estes não podem descrever ocomportamento do meio em escoamento sem

algumas informações sobre como são constituídas as partículas.

Tais particularidades são também princípios físicos, embora específicas a certos

fluidos ou a classes de fluidos.

Os meios deformáveis têm movimentos característicos que podem ser modelados

adequadamente quando separados como a seguir:

1. Características de corpo rígido (portanto não sujeitos às tensões )

- rotação

- translação

2. Características de fluidos ( não deve ser desprezada!)

- deformação angular

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ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS

João Roberto Barbosa 104

- deformação volumétrica

Admite-se que o campo de velocidades seja diferenciável em relação à posição e

em relação ao tempo.

Seja um elemento de fluido,neste contexto tomado como de forma retangular, sem

prejuízo de generalizações, de dimensões x e y .

Sejam u e v as velocidades dos vértices no vértice a, tomado como referência.

Então, 1 2v ue ve

Daí

vértices U (direção x) V (direção y)

a au u x, y, t av v x, y, t

b b

a

u u x, y y, tuu yy

b

a

v v x, y y, tvv yy

c c

a

u u x x, y y, tu uu x yx y

c

a

v v x x, y y, tv vv x yx y

d d

a

u u x x, y, tuu xx

d

a

v v x x, y, tvv xx

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João Roberto Barbosa 105

Tipos de movimentos de interesse 3.1 -

3.1.1 - Translação

Não pode haver movimento relativo dos pontos b, c e d em relação a a. Segue-se

que b c d au u u u

3.1.2 - Rotação

xx x x

SS x.x

yy y y

SS y.

y

d

b

v v x x, y, t t v x, y, t

u u x, y y, t t u x, y, t

Portanto,

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João Roberto Barbosa 106

dx d x d d a

by b y b b a

v tS v . t , v v v 0x

u tS u . t , u u u 0y

Assim,

dx xx t 0

v vlimt y t x

(no ponto a)

y yby t 0

u ulimt y t y

(no ponto a)

Note-se que, para o sentido de rotação escolhido, x y0 e 0 .

A rotação (média) da partícula é caracterizada pelo seu vetor rotação angular

dado; para o caso estudado, por z x y12

, isto é, se 1 2 3v ue ve e ,

z1 u Notar que2 z x

(um e rotação angular e o outro velocidade linear,

simbologia que pode confundir o leitor, caso não observe tal detalhe ).

x1 v2 y z

Notar que

1 2 3ue ve e

Pode-se, então, escrever x 1 y 2 z 3e e e , ou

1 2 31 v 1 u 1 v ue e e2 y z 2 z x 2 x y

isto é, 1 v2

, com 1 2 3v ue ve e

Então, 2 v .

É costume utilizar a notação x yy

y zx

z xy

R

R

R

e observar-se que zy yz

zx xz

xy yx

R R

R RR R

, ou seja,

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João Roberto Barbosa 107

k ij jiR R i, j,k 1,2,3 k i, j

De um modo geral, j ik

i j

u u1 i, j, k 1,2,3 k i, j2 x x

Pode-se definir o tensor R por t

ij i j1R R e e U U2

, uma vez que

ji j j i j

i it

t j ii j i j

i j

uU e u e e e

x x

u uU e e e ex x

R é chamado de diádica de rotação e é um tensor anti-simétrico.

Teorema: Se T é um tensor (genérico) anti-simétrico, a V é um vetor

(qualquer), então existe um outro vetor t V tal que Ta t a .

De fato, se i ia a e e se existe t V tal que Ta t a , então para ia e tem-se

i iTe t e .

Como ij i jT T e e , ij i jT e Te , assim,

ij i j j i i j j j ijT e t e t e e t e e e t e T

Então, se existe t V , o tensor T deve ser anti-simétrico.

Também,

12 21 1 2 1 2 2 1 3 3

13 31 1 3 1 3 3 1 2 2

23 32 2 3 2 3 3 2 1 1

T T e Te e t e t e e t e t

T T e Te e t e t e e t e t

T T e Te e t e t e e t e t

Como 1 1 2 2 3 3t t e t e t e , então 23 1 31 2 12 3t T e T e T e ou

32 1 13 2 21 3t T e T e T e

Pondo 23 1 31 2 12 3 32 1 13 2 21 31̀t T e T e T e T e T e T e2

tem-se

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João Roberto Barbosa 108

23 32 1 31 13 2 12 21 3

ijk jk i

1̀t T T e T T e T T e21 T e2

Portanto, foi possível definir um vetor t a partir de ie i 1,2,3 tal que i iTe t e

Então, para i ia a e , i i i i i i i iTa T a e a Te a t e t a e t a

Seja, então, T R a matriz anati-simétrica. Então existe t V associado a R , tal

que Rv t v v V .

Sendo 1 1 2 2 3 3v v e v e v e e j i

i j

v v1R2 x x

e pondo

3 32 1 1 21 2 3

2 3 3 1 2 1

v vv v v v1̀t e e e2 x x x x x x

, então

Rv v v V .

Notar que jij

i

vT

x

.

Pode-se mostrar, também, que 1R I v I2

Definição: Vorticidade do escoamento é o vetor dado por v 2 .

Nota: O elemento de fluido girará em torno do eixo z como um bloco sem

deformação ( x y ) somente se u vy x

. Caso contrário, a rotação estará associada com

deformação angular.

Definição: A taxa de deformação angular é defnida por

x yt 0lim com

t

. Assim, x y

t 0 t 0

v ulim limt t x y

.

A taxa de deformação angular está relacionada a uma tensão de cisalhamento que

faz com que o elemento de fluido mude de forma.

Para se “visualizar” um escoamento com rotação, considerem-se os seguintes

campos de velocidades, dadas pelas linhas de corrente:

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João Roberto Barbosa 109

a) rv 0

Kvr

e b) rv 0v Kr

No caso a) a velocidade tangencial varia inversamente com o rio e v r 0 !

Deve-se observar que ROTAÇÃO DE UMA PARTÍCULA se refere à orientação de um

elemento de fluido e não ao caminho por ele percorrido. Em ambos os casos a) e b) o caminho

descrito pelas partículas são circunferências centradas na origem. No caso s) o escoamento é

irrotacional, mas no caso b) é rotacional!

De fato, em a) z r z

r zrv vv v v1 1v e e e

r z z r r r

e

0

zz

Krr v v1 1 rv e 0r r r r

.

Para este caso poderíamos imaginar uma partícula de fluido sobre a qual

“colamos” 2 minúsculos palitos em cruz, um deles tangenciando a circunferência (trajetória),

no instante t=0.

O “palito” que está alinhado com o escoamento segue o caminho circular, girando

no sentido anti-horário. O outro, como v diminui com o aumento do raio, passa a girar no

sentido horário (pois a parte mais agastada da origem move-se mais devagar). Embora os

“palitos” se movam, a velocidade angular média é nula!

Para o caso b), por análise similar conclui-se que o escoamento é rotacional.

Neste caso, o “palito” alinhado com o escoamento gira no sentido anti-horário e o outro

também, porque v aumenta com o raio!.

A partícula tem, portanto, rotação.

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João Roberto Barbosa 110

De fato,

02

zz

Krr rKrv v1 1 1v e 2K 0.r r r r r r

Obs.:

x

y

v v eK rsen Kv v sen senr r r

K r cos Kv v cos cosr r r

`

Como 2 2 2

x r cosy rsen

x y r

vem

x 2 2

y 2 2

K y Kyvr r x y

K x Kxvr r x y

2 2 2 2 2y

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2x

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2y x

z 2 22 2 2 2

K x y Kx.2x K x y 2Kxvx x y x y

K x y Ky.2y K x y 2Kyvy x y x y

K x y 2Kx K x y 2Kyv v1 1 02 x y 2 x y x y

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João Roberto Barbosa 111

Para o caso b), analogamente,

x

y

z

v Krsen Kyv Kr cos Kx

1 K K 2K 02

3.1.3 - Deformação angular

As taxas de deformação das arestas ab e ac são, respectivamente, x e y .

Define-se deformação angular média por xy x y1 1 v uD2 2 x y

.

Como yx y x1 1 u vD2 2 y x

, então yx xyD D .

Em notação tensorial, j iij ji

i j

u u1D D i, j 1,2,3 i j2 x x

Portanto, j ii j

i j

u u1D e e2 x x

, ou t1D v v

2

D é a diádica de deformações, que é simétrica.

Os efeitos de tensões são devidos às deformações angulares, isto é, D

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João Roberto Barbosa 112

3.1.4 - Deformação volumétrica

As velocidades dos vértices b e c são:

b a b c a c

b a c a

u u u v v vv v u u

Então

b

c

u u x x, y, t t u x, y, t

v v x, y y, t t v x, y, t

b b ax b

c c ay c

u u uu t x t x tx x

v v vv t y t y ty y

b ax xx t 0

y yc ay t 0

u u ux lim dxt x t x

v v vy lim dyt y t y

As áreas do elemento antes ( 0A ) e depois ( 1A ) da deformação volumétrica são:

0

1 x y y x x y

1 0 y x x y

A x y

A x y x y x y

A A A x y

A taxa de deformação da área será:

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João Roberto Barbosa 113

x y0

A x y x yt 0

A

Ady dxA 1lim dy dx

t dxdy dxdy

u vdxdy dydxx y u v

dxdy x y

Este raciocínio pode ser generalizado para um volume, observando-se, para 3

dimensões:

0V t 0

VV u vlim v

t x y z

, com 1 2 3v ue ve e

Portanto, V v .

Observação: A diádica de rotação R pode ser escrita como t1R v v

2

e a diádica

de deformação D como t1D v v

2

e, portanto,

t t1 1R D v v v v v

2 2

Assim, R D v .

De um modo geral, qualquer diádica T pode ser decomposta na soma de uma

diádica simétrica S com uma diádica anti-simétrica A , isto é, T S A , com

t1S T T2

e t1A T T2

.

Caso particular: anti s̀imétricasimétrica

v R D

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João Roberto Barbosa 114

3.1.5 - Movimento de um corpo deformável

Num instante t quer-se calcular a velocidade de um ponto P em termos da

velocidade de um ponto O. Utilizando-se o desenvolvimento da velocidade v r, t em série

de Taylor, num entorno do ponto O, tem-se:

0v r, t v r , t r v mais termos de ordem 2 ou superior.

Para fluidos, que são meios deformáveis, v R D e, portanto,

0rotação deformaçãodo doelemento elemento

v r, t v r , t r R r D .

Tem-se que R I pois

ij i j k k ij jkl k i l ii ikl k i l ikl k i l ikj k i j ijk k i jI e e e e e e e e e e e e e R

Como 1 v2

, 1 1R I v I v2 2

, ou

1R v I2

.

Mostra-se, também, que

r R r e, daí,

0

j i0 j i

i jr̀otaçãotranslaçãodeformação

v r, t v r , t r r D

u u1v r , t r x e2 x x

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João Roberto Barbosa 115

Definição: Um material é dito anisotrópico em relação a uma de suas

propriedades se ela variar de acordo com a direção em que é medida. Caso contrário, é

chamado de material isotrópico.

Definição: Um material é dito homogêneo em relação a uma de suas propriedades

se elanão depender da posição onde estiver sendo medida (não há gradientes da propriedade

nessa região). Caso contrário, é chamado de material não-homogêneo.

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João Roberto Barbosa 116

O vetor vorticidade 3.2 -

Num dado instante t quer-se calcular a taxa de variação ( DDt

) do comprimento (

dr ) e sua direção, isto é, D drDt

(t fixo).

dr r R dR, t r R, t

D D Ddr r R dR, t r R, tDt Dt Dt

v r R dR, t v r R, t

v dR

Em que v é o gradiente de v em relação à coordenada (material) R .

Notar que Rv expressa D rDt

numa descrição “material”.

Para se obter D rDt

numa descrição espacial, se v R, t é a velocidade do ponto

P na posição r , então se a descrição espacial de v for empregada, esta velocidade é dada por

v r, t (observar que v R, t e v r, t são funções diferentes!)

Daí, r

D dr v r dr, t v r, t v drDt

. Nesta expressão, rv é o

gradiente espacial de velocidade.

No que se segue será usado o gradiente espacial de velocidade.

Portanto,

rs̀óespacial

D dr v r dr, t v r, t v drDt

, em que

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João Roberto Barbosa 117

1 1 1

1 2 3t

3 3 3

1 2 3

v v vx x x

vv v vx x x

.

Como drtds

, 2Dt D dr 1 D 1 Ddr ds drdt dt ds ds dt dtds

.

Portanto D Ddr dr ds (ds)Dt Dt

Mas 2ds dr dr e 2D D D Dds 2s ds dr dr 2dr drDt Dt Dt Dt

Portanto, D Ddr dr ds (ds)Dt Dt

t

t

t

D Dtds dr ds (ds)Dt Dt

D Dt dr (ds)Dt Dt

Dt v dr (ds)DtDt v tds (ds)Dt

1 Dt v t (ds)s Dt

1 Dt D R t (ds)s Dt

1 Dt Dt t Rt (ds)s Dt

De um modo geral, a Tb b Ta . Então tt Rt t R t t Rt t Rt 0 . Daí,

1 Dt Dt (ds)s Dt

,

de que se segue

Dt 1 1(D R)dr t Dt drDt ds ds

dr dr(D R) t Dtds ds

(D R)t t Dt t

.

Se t é auto-vetor de D , então Dt t e t Dt t t t t .

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João Roberto Barbosa 118

Logo,

0

Dt Dt Rt t Dt t Rt RtDt

Dt RtDt

.

Como Rt t vem Dt tDt

.

Então, para todo tensor anti-simétrico R !Rt t, t V

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João Roberto Barbosa 119

Fluidos Newtonianos 3.3 -

São os fluidos cuja relação D satisfaz as condições:

a) Linearidade

b) Isotropia

c) Invariância em relação à taxa de aplicação da tensão.

Esta definição foi feita em função de que se observa, na natureza, um grande

número de fluidos, utilizados para os mais variados empregos, apresentam tais características.

Os fluidos que não satisfazem a estes 3 requisitos são chamados de fluidos não-newtonianos,

não estudados neste curso, ainda que possam ter usos importantes.

De a) resulta:

11 1111 11 1112 12 1113 13 1133 33

12 1211 11 1212 12 1213 13 1233 33

33 3311 11 3312 12 3313 13 3333 33

C D C D C D C DC D C D C D C D

C D C D C D C D

isto é,

ij ijkl kltermostermosdedesegundaquartaordemordem

C D

Definindo-se os tensores (isotrópicos)

ijkl ij kl

ijkl ik kj

ijkl il jk

A A

B B

H H

demonstra-se que A,B,H

é uma base do espaçoodos

tensores isotrópicos de quarta ordem. Então C A B H .

Segue-se que ij ijkl ijkl ijkl kl

ijkl kl ijkl kl ijkl kl

A B H D

A D B D H D

.

Mas ijkl kl ij kl kl ii kk klk ij klk

ijkl kl ik jl kl ii jj kji ji ij

ijkl kl il jk kl ii jj ji ji ij

A D D D D

B D D D D D

H D D D D D

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João Roberto Barbosa 120

Segue-se que

ij ij kk ij ij

ij kk ij

D D D

D D

.

Pondo 2 tem-se ij ij kk ijD 2 D .

Substituindo-se kkD e ijD na expressão de ij , sabendo-se que

kk 11 22 33D D D D v e j iij

i j

u u1D i j, i, j 1,2,32 x x

vem

j iij ij

i j

u u vx x

.

Como PI vem j iij

i j

u u v I PIx x

ou

2 D v I PI

segundoprimeirocoeficientecoeficientededeviscosidadeviscosidade

2 D v P I

, aplicável a fluidos newtonianos em geral.

Nos casos em que as tensões são causadas apenas pela pressão (como fluido

estático), 11 22 331P3

11 22 33 11 22 33 kk 11 22 33

11 22 33 11 22 33

1 12 D D D D P3 2

1 2 D D D 3 D D D P3

11 22 331 2 3 D D D P3

Como P resulta que 2 3 0 , ou

23

(válido para velocidades moderadas e para gases).

Como v 0 para um escoamento incompressível, v 0 , não tendo

influência, portanto, o coeficiente .

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João Roberto Barbosa 121

Como o estado de tensões em um fluido em movimento de corpo rígido (incluindo

repouso) deve ser dado por um tensor isotrópico, é natural que, para um fluido em movimento

(geral) o tensor de tensões seja decomposto em duas partes: uma que depende das taxas de

deformações do fluido e outra que não depende explicitamente delas:

PI ou ij ij ij

tensor tensor pressãode de (não depende)tensões tensões

viscosas(depende)

P

Tem-se, também, v I 2 D e

11 22 33 11 22 331 1 2 3 D D D P3 3

Logo, se ijD 0 , P não é a tensão normal compressiva totalem qualquer plano

considerado, nem também a tensão média compressiva normal, pois

11 kk 11 12 12

22 kk 22 13 13

33 kk 33 23 23

P D 2 D T 2 DP D 2 D T 2 DP D 2 D T 2 D

Se ijD 0 (líquido em repouso), P é a tensão normal total em qualquer plano

passando pelo ponto.

3.3.1 - Interpretação de

Considere-se um escoamento viscoso, cujo campo de velocidades é dado, sem

perda de generalidade, por

1 1 2 2 3 1 2 3v v x , v 0 e v 0, com x : x ,x ,x .

Para esse escoamento, se j iij

i j

v v1D2 x x

:

11 21 31

12 22 32

13 23 33

D 0 D 0 D 0D 0 D 0 D 0D 0 D 0 D 0

`e, daí 112 21

2

v1D D2 x

.

Como 2 D v I e 31 2

1 2 3

vv vv 0x x x

. Segue-se que

ij ij2 D . Então,

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ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS

João Roberto Barbosa 122

111 11 21 21 31

2

112 12 22 32

2

13 13 23 33 33

v2 D 0 2 D 0x

v2 D 0 0x

2 D 0 0 2 D 0

Apenas 112 21

2

v 0x

. Segue-se que é a constante de proporcionalidade

entre a tensão de cizalhamento 12 e o gradiente de velocidade, isto é, é o “coeficiente de

viscosidade”.

Como PI e ij ij ij ij2 D v P , tem-se:

11 11 21 12 31 13

12 21 12 22 22 32 23

13 31 13 23 32 23 33 33

P v 2 D 2 D 2 D2 D P v 2 D 2 D2 D 2 D P v 2 D

P, na expressão acima, é chamada de Pressão. Esse termo é ambíguo pois se

ijD 0 , P não é nem a tensão normal compressiva (a menos que 0 ), nem a tensão média

compressiva ii13 .

Deve-se lembrar que ijP é apenas a parte de ij que não depende

explicitamente das taxas de deformação.

Se 23

, ii

BULK VISCOSITYCOEFFICIENTcoeficiente deviscosidade global

2P D3

Obs.: alguns autores definem como “bulk viscosity coefficient” apenas o

coeficiente , associado à variação volumétrica (coeficiente de viscosidade volumétrica).

Fica claro, portanto, que a pressão não é a tensão normal média.

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Equações de Navier-Stokes 3.4 -

São resultado dos trabalhos de Claude Louis Marie Henri Navier (1785- 1836) e

Sir George.G. Stokes (1819- 1903), que a história diz terem trabalhado separadamente no

mesmo assunto...

São as equações (escalares) de conservação da quantidade de movimento obtidas a

partir da equação geral

( v) ( vv) P g 0t

,

com 2 D v I .

Observação importante: muitas vezes as equações equações de Navier-Stokes

são confundidas com o sistema de equações composto pelas equações de conservação: de

quantidade de movimento e de massa, (e, em alguns casos, quantidade de movimento, de

massa e de energia).

Deve-se ter em mente que as equações até agora deduzidas se referem a

escoamentos laminares, que são escoamentos “ordenados”, em que as partículas de fluido se

movem em camadas, ou lâminas, “escorregando” sobre partículas de lâminas adjacentes, sem

se misturar com elas.

Esse tipo de escoamento pode ser observado quando a velocidade v é pequana.

Em velocidades “elevadas”, partículas de camadas adjacentes se misturam aleatoriamente e,

portanto, o escoamento não é mais laminar: passa a chamar-se escoamento turbulento, que

não é estudado neste curso.

Neste curso os escoamentos a serem considerados serão laminares, a menos que

expressamente indicado em contrário.

As equações de Navier-Stokes são, portanto, as formas escalares obtidas de

( v) ( vv) P g 0t

ou

( v) ( vv) P 2 D ( v)I g 0t

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Mostra-se, também, que de ( v) ( vv) P 2 D ( v)I g 0t

pode-se chegar a Dv P 2 D ( v)I g 0Dt

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Equações relevantes para solução numérica das 3.5 -

equações de Navier-Stokes

Embora a disciplina ME-210 não inclua no seu conteúdo métodos numéricos para

solução dos problemas diferenciais associados a escoamentos de fluidos em geral e,

especialmente, de fluidos newtonianos, este capítulo tem a intenção de introduzir o estudante

a tal estudo, apresentando uma das formas usuais em que são escritas as equações de

conservação (de massa, de quantidade de movimento, de energia), bem como de equações

constitutivas e termodinâmicas, necessárias para se chegar a um sistema possível determinado

(número de equações igual ao número de incógnitas).

Nada será registrado a respeito dos métodos numéricos, pois este assunto deve ser

objetivo de outras disciplinas.

Assim, um sistema constituído pelas 7 equações:

Conservação de massa (1 equação)

Conservação da quantidade de movimento linear (3 equações)

Conservação da energia - Primeira Lei da Termodinâmica - (1 equação)

Constitutiva do fluido - equação de estado – (1 equação)

Equação termodinâmica (1 equação)

com as 7 incógnitas

1. (densidade) 1 incógnita

2. iv (componentes das velocidades nas 3 direções) 3 incógnitas

3. P (pressão) 1 incógnita

4. E (energia interna) 1 incógnita

5. T (temperatura) 1 incógnita

pode ser estudado e, para tanto, serão utilizadas as seguintes equações (já desenvolvidas):

1) Conservação de massa (1 equação):

( v) 0

t 2) Conservação da quantiade de movimento (3 equações):

( v) ( vv) P g 0t

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Como foi desenvolvida, a única força de campo considerada foi a gravitacional.

Entretanto, e especialmente visando aos problemas a serem resolvidos ligados a máquinas de

fluxo, no lugar de g será utilizado um símbolo mais genérico (forças de campo ou de corpo)

1 3 3F: F ,F ,F , que pode levar em conta, por exemplo, acelerações causadas pela rotação da

partícula de fluido ao redor de algum eixo da máquina. Desta forma, a equação a ser

considerada é:

( v) ( vv) P F 0t

3) Conservação da energia, sem transferência de calor e sem geração de energia (1

equação): 2 2

VC SC VC SC

v v(e )dV (e )(v n)dS g vdV ( Pv v) ndS 0t 2 2

que, por razões análogas, fica:

2 2

VC SC VC SC

v v(e )dV (e )(v n)dS F vdV ( Pv v) ndS 0t 2 2

4) Equação termodinâmica (1 equação)

Ve C T

É imediato que se possam extrair as equações algébricas correspondentes, já

isolando no primeiro termo as componentes de DDt

, por conveniência:

kk

v 0t x

iji k i i

k i j

Pv v v Ft x x x

i i k i i i i i ij jk i i i i

1 1 Te v v v e v v Fv Pv v kt 2 x 2 x x x x

Pode-se notar que todas essas equações, por constituição, são da forma

(conservativa):

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i

i

GV Jt x

, isto é, 31 2 GG GV J

t x y z

, em que

T

1 2 3 i i1V , v , v , v , e v v2

, t i i

1e e v v2

T

1 2 3 i iJ 0, F , F , F , v F

i

1 i 1i 1i

2 i 2i 2ii

3 i 3i 3i

i i i i j iji

vv v Pv v P

Gv v P

1 Te v v v Pv k v2 x

. Esta matriz contém os fluxos

de massa, quantidade de movimento e de energia e, por isso, é usualmente chamada de matriz

de fluxos.

Fazendo a mudança de variáveis T1, 2, 3 1 2 3q q ,q ,q v , v , v tem-se, para

G:

i

1 i 1i 1i

2 i 2i 2ii

3 i 3i 3i

i i i i j iji

vq v Pq v P

Gq v P

1 1 T 1e v v q Pq k q2 x

Assim,

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1

1 1 11

2 1 211

3 1 31

i i 1 1 1 11 2 12 3 131

q1 q q P

1 q qG

1 q q

1 1 T 1e v v q Pq k q q q2 x

2

1 2 12

2 2 222

3 2 32

i i 2 2 1 21 2 22 3 232

q1 q q

1 q q PG

1 q q

1 1 T 1e v v q Pq k q q q2 x

3

1 3 13

2 3 233

3 3 33

i i i 3 1 31 2 32 3 333

q1 q q

1 q qG

1 q q P

1 1 T 1e v v q Pq k q q q2 x

Definindo energia total por unidade de volume da partícula:

2i i i

1 1E e v v e v2 2

, i tE e , tem-se, para G:

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1

1 1 11

2 1 211

3 1 31

1 1 11 2 12 3 131

q1 q q P

1 q qG

1 q q

1 T 1E P q k q q qx

2

1 2 12

2 2 222

3 2 32

2 1 21 2 22 3 232

q1 q q

1 q q PG

1 q q

1 T 1E P q k q q qx

3

1 3 13

2 3 233

3 3 33

3 1 31 2 32 3 333

q1 q q

1 q qG

1 q q P

1 T 1E P q k q q qx

Desta forma, deve-se procurar solução 1 2 3,q ,q ,q ,E,P,T , portanto 7

incógnitas, com as 5 equações de conservação: 1 de massa, 3 de quantidade de movimento e 1

de energia e as outras duas (de estado e termodinâmica). A sexta equação que precisa ser

considerada é uma equação constitutiva do fluido (equação de estado), que, para os gases de

interesse, é a equação de estado dos gases perfeitos P RT . Nesta forma, introduz-se uma

nova variável T. Mas, a energia interna, e portanto a energia total E, podem ser expressas em

função de T: ve C T , com v vC C T . Também podem-se ter k k T e T , que

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João Roberto Barbosa 130

podem ser obtidos das relações termodinâmicas ou a partir de polinômios especialmente

calculados para o fluido em análise.

Tem-se

P

V P

RC1

e C T C R T P 1 eP RT

ou

i i

2 2 2i i 1 2 3

1P 1 E v v21 1P 1 E q q 1 E q q q2 2

Assim, o sistema das 7 equações consideradas passa a ser possível e determinado.

Geralmente, quando se desenvolvem algoritmos (conjunto das regras e

procedimentos lógicos bem definidos que levam à solução de um problema em um número

finito de etapas) para solução numérica do sistema de equações de Navier-Stokes, primeiro se

obtém resultados considerando escoamento sem atrito e sem troca de calor e, então, o

problema completo (“viscoso”). Desta forma, é costume modificar a equação

31 2 GG GV Jt x y z

, separando a matriz G em duas outras, a primeira contendo as

partes “não viscosas” e as forças de campo (no exemplo abaixo foi considerado que o fluido

gira em torno do eixo z), e a segunda contendo as partes “viscosas” e de calor:

1 2 31v 2v 3vG G G G G GV J

t x y z

em que

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1

1 1

11

2 1 211 1v

31

3 11 11 2 12 3 13

1

1

q1 0q q P

1 q qG G

1 q q T 1k q q qx1 E P q

2

1 2

122 2

222 2v

323 2 32

1 21 2 22 3 232

2

q1 q q 0

1 q q PG G

1 q qT 1k q q qx

1 E P q

3

1 3

13

2 3 233 3v

33

3 31 31 2 32 3 33

3

3

q1 0q q

1 q qG G

1 q q P T 1k q q qx1 E P q

No caso do estudo do escoamento em passagens entre pás de máquinas de fluxo,

de grande interesse em aprimoramento de projetos de compressores e turbinas utilizados nas turbinas a gás, é conveniente que, no lugar das velocidades absolutas, se usem as relativas a um sistema não inercial, que gira com a máquina. Escolheu-se o eixo z coincidente com o eixo da máquina, mas poderia ser qualquer um dos 3 eixos coordenados.

A equação de conservação de massa é invariante quanto ao sistema considerado. As equações de Navier-Stokes precisam ser reformaladas (a dedução não será

apresentada nestas Notas de Aulas), passando a ser, com a consideração de aceleração centrípeta e aceleração de Coriolis

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João Roberto Barbosa 132

Na forma vetorial

( v) ( vv) P F 0t

F g r 2 v

aceleraçãoaceleração de Corioliscentrípeta

F

( v) ( vv) P g r 2 v 0t

Na forma escalar

iji k i ipq qjk p j k ijk j k

k i jaceleração aceleraçãocentrípeta de Coriolis

Pv v v r 2 vt x x x

e a ligação entre as velocidades absoluta e relativa é dada por

i i ijk j kabsoluta relativa tan gencial

V v r

e k k 1 2 3r r e xe ye ze é o vetor de posição.

2 1 2 3 3 1 1

3 2 3 1 1 2 2

1 3 1 2 2 3 3

r y x x z e

z y y x e

x z z y e

Usualmente a máquina gira em torno de um eixo. Se este for considerado o eixo z,

então 3 3e e

2 2 23 3 1 3 3 2 3 1 3 2 3 1 2r x e y e xe ye xe ye

Para a aceleração de Coriolis,

2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 32 V 2 v v e v v e v v e 3 2 1 3 1 2 3 2 1 1 22 v 2 v e v e 2 v e v e

Portanto, a matriz F será:

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João Roberto Barbosa 133

aceleraçãoaceleração de Corioliscentrípeta

F g r 2 v

2x 1 y 2 z 3 3 1 2 3 2 1 1 2

aceleração aceleraçãocentrípeta de Coriolis

2 2x 3 3 2 1 y 3 3 1 2 z 3

F g e g e g e xe ye 2 v e v e

F g x 2 v e g y 2 v e g e

Para o caso especial de o eixo de rotação coincidir com o eixo 3e :

2 2x 3 3 2 1 y 3 3 1 2F g x 2 v e g y 2 v e

A matriz J fica, então:

2x 3 3 2

12

2 y 3 3 1

3

2 2i i1 x 3 3 2 1 y 3 3 1

00

g x 2 vFJ F g y 2 v

F 0v F

v g x 2 v v g y 2 v

Deve-se observar que as velocidades são as relativas ao sistema não inercial e que,

formalmente, as equações de conservação são idênticas às desenvolvidas para o sistema

inercial. Em termos das variáveis conservadas:

2x 3 3 2

12

2 y 3 3 1

3

i i2 2

1 x 3 3 2 1 y 3 3 1

0

2g x q0F

2J F g y qF

0v F

2 2v g x q v g y q

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João Roberto Barbosa 134

A figura acima indica as relações entre os sistemas inercial e não inercial. É de

caráter geral. No que foi apresentado relativamente às equações foi levado em conta um caso

comum, de interesse ao estudo das turbinas a gás:

a) As origens dos dois sistemas estão coindidentes

O eixo de rotação coincide com o eixo z (ou 3x )

b) A aceleração da origem dos sistemas é nula

c) A velocidade angular do eixo de rotação é constante.

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João Roberto Barbosa 135

Alguns tipos de escoamentos simplificados de interesse 3.6 -

Observando-se os tipos de escoamentos que ocorrem na natureza, alguns deles, de

ineresse prático, podem ser modelados de maneira simplificada. As equações resultantes

podem ser resolvidas analiticamente. Alguns desses escoamentos serão analizados a seguir.

Têm interesse como informações de referências para, por exemplo, validações de programas

computacionais para cálculo de escoamentos mais complexos.

3.6.1 - Escoamento de Couette plano

É um escoamento permanente, 1-D, sem gradiente de pressão na direção do

escoamento entre 2 placas planas paralelas infinitas, uma fixa e a outra se movendo com

velocidade constante 0v .

r r z zv v e v e v e

1 1

2

3

v v yv 0v 0

A equação de conservação da quantidade de movimento, na formageral, e:

( v) ( vv) P 2 D ( v)I g 0t

Levando-se em conta as hipóteses do escoamento de Couette plano:

( v) 0tv 0cons tan te

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João Roberto Barbosa 136

Admitindo-se, também, que cons tan te , tem-se

( vv) P 2 D g 0

Na direção x adicionalmente tem-se xg 0 , pois g está na direção y,

xP P 0x

por hipótese.

Então, na formaescalar, as equações de Navier-Stokes ficam:

2 2 21 1 1 1 1 1

1 2 3 x 2 2 2` 0 0` 0

0 0 0 0 0

v v v v v vPv v v g 0x y z x x y z

Por hipótese, 1 1 2 3v v y , v 0,v 0 e, portanto,

2 21 1 1 1

2 2v v v v0, 0, 0, 0x z x z

Com todas as simplificações introduzidas, resulta: 2

12v 0

y

e, portanto, 2

12v 0

y

, pois 0 . Segue-se que

21 1

1 1 1 22v v0 C v C y C

yy

Das condições de contorno, 1 1 0v y 0 0, e v y d v , vem

01 2 1 0 1 1

vv 0 0 C e v d v C d Cd

Assim, 01

vv yd

, isto é, v varia linearmente no canal entre as placas.

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3.6.2 - Escoamento de Poiseuille plano

É um escoamento permanente, 1-D, incompressível, viscoso, num canal formado

por duas placas planas paralelas infinitas, com gradiente de pressão na direção do escoamento.

r r z zv v e v e v e

1 1

2

3

v v yv 0v 0

Por facilidade, o sistema de coordenadas foi colocado na altura média do canal,

sem perda de generalidade.

Seguindo-se o mesmo procedimento para o cálculo do escoamento de Couette

Plano (A), tem-se, para as equações de Navier-Stokes na direção x:

2 2 21 1 1 1 1 1

1 2 3 x 2 2 2` 0 0` 0

0 0 0 0

v v v v v vPv v v g 0x y z x x y z

21

2vP 0

x y

21

2v 1 P

xy

11

v 1 P y Cy x

e

2

1 1 21 P yv C y C

x 2

(solução geral)

Impondo-se as condições de contorno:

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João Roberto Barbosa 139

2

1 1 2

2

1 1 2

1 P bv b 0 0 C b Cx 2

1 P bv b 0 0 C b Cx 2

Somando-se membro a membro estas duas equações resulta: 2 2

2 21 P b 1 P b0 2C C

x 2 2 x 2

Da simetria do escoamento em relação ao eixo x:

21

1 12 y 0y 0

v 1 P0 y C 0 C 0xy

. Portanto,

22

11 P y 1 Pv b

x 2 2 x

ou 2 21

1 Pv y b2 x

, isto é, a velocidade v varia de

forma parabólica em qualquer seção do canal.

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João Roberto Barbosa 141

3.6.3 - Escoamento de Hagen-Poiseuille

É um escoamento permanente, 1-D, viscoso, com simetria axial, num cilindro

circular de comprimento infinito.

Nste exemplo, o cilindro é considerado inclinado em relação ao eixo x e paralelo em relação

ao plano x-z.

r r z zv v e v e v e

2 2 2r x y

A localização dos eixos coordenados (e mesmo a escolha do sistema de

coordenadas) escolhida é a seguinte:

Como há simetria axial do escoamento, o mesmo será calculado num plano

passando pelo eixo do cilindro. Neste caso, um sistema de coordenadas

cartezianas ortonormal (s.c.c.o.) é adequado.

Entretanto, a escolha de um sistema de coordenadas cilíndricas é mais

apropriado para a informação sobre v : r zv 0, v 0, v v r .

As 3 equações de Navier-Stokes simplificadas (por haver sido escolhido o s.c.c.o.:

2 2 21 1 1 1 1 1

1 2 3 x 2 2 2` 0 0

0 0 0 00 0

v v v v v vPv v v g 0 (1)x y z x x y z

2 2 22 2 2 2 2 2

2 3 y 2 2 201 ` 0 00 0 0 00 0

v v v v v vPv v v g 0 (2)x y z y x y z

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João Roberto Barbosa 142

2 2 23 3 3 3 3 3

1 2 3 Z 2 2 20 0

0 0

v v v v v vPv v v g 0 (3)x y z x x y z

Neste caso,

1 x

2 z

y3 3

v 0 g g.cosv 0 g g.sen

g 0v v x, y

Segue-se que

x

2 23 3

Z 2 2

P g 0 (1a)xP 0 (2a)y

v vP g 0 (3a)z x y

De (2a) segue-se que P não dependede y.

xP g g.cos (1b)x

2 23 3

2 2

2 23 3

2 2

v vP g.sen 0z x y

v vPou g.sen 0 (3b)z x y

De (1b): P g.cosx

e P g.cos 0

z x z

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João Roberto Barbosa 143

P P P0x z z x z

não depende de x.

De (3b): 2 2

3 3Z 2 2

2 23 3

2 2

2 23 3

2 2

independe de z

0

v vP g 0z x y

v vPg.sen 0z z x y

v vP g.sen 0z z z x y

e, portanto, P P0

z z z

independe de z.

Como há simetria axial, também Pz

independe de y. Então P

z

é constante e

pode ser calculado a partir de pressões em 2 pontos distintos, em pontos num segmento

paralelo ao eixo do cilindro: A b

AB

P PPz L

Solução do escoamento:

De (3a):

2 23 3

Z 2 2

2 23 3

2 2

v vP g 0z x y

v v 1 P g.senzx y

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João Roberto Barbosa 144

O seguno membro desta equação é constante: 1 P g.sen

z

; daí,

2 23 3

2 2v v

x y

. A solução desta equação é simplificada se for utilizado um sisteme de

coordenadas cilíndricas. Para isto, observar que:

2 2

3 3 3 332 2

v v (r) v vr xv (r)x x x r x x r rx x

23 3 3 3v v v v1 1 r 1 x 1x

r r r r r x r r r r r r

,

isto é, 2 2

3 3 3

2

v v v1 x 1x r r r r r r

Analogamente, 2 2

3 3 3

2

v v v1 y 1y r r r r r r

. Daí,

2 2 2 23 3 3 3

2 2

v v v v2 x y 1x y r r r r r r

2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 22 2

v v v v v v v v v2 1 2 1 1 1r rx y r r r r r r r r r r rr r r

Então, 2

3 32

v v1 (3d)r r r

Entretanto,

23 3 3

2v v v1 1 r

r r r r rr

e, daí, 3v1 r (3e)r r r

, equação

que, integrada, vem

3

23

1

vr rr r

v rr Cr 2

3 1v Crr 2 r

, para r 0 (eixo do cilindro).

2

3 1 2rv C ln r C4

(solução geral)

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João Roberto Barbosa 145

As constantes 1C e 2C são obtidas para que as condições de contorno sejam

satisfeitas.

1C : para deerminar 1C pode-se levar em consideração que a velocidade 3v é

finita em todo o campo. Assim, para r 0 (eixo z) deve-se ter 1C =0, pois ln r 0 .

Segue-se que 1C =0. Poderia, também, ser levada em conta a simetria do escoamento em

relação ao eixo z: 3

r 0

v 0r

.

3 1

r 0 r 0

v Cr 0r 2 r

e, de novo, 1C =0.

Para se determinar 2C :

dv 02

pois a velocidade nas paredes do tubo é nula, pela condição de

aderência:

2

2

2

2

2 2

rv v r C4

dd d2v 0 C C2 4 16

Então, 2 2 2

2r d dv v r r4 16 4 4

. Assim, finalmente,

2

21 P dv v r g.sen r4 z 4

isto é, v tem um “perfil parabólico” em qualquer seção transversal do tubo: a forma do perfil

de velocidades é a de um parabolóide de revolução.

Pode-se também afirmar que

a velocidade máxima do escoamento se dá no eixo do tubo (mostrar) e vale: 2

2máx

1 P 1 P dv g.sen d g.sen16 z 4 z 2

.

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João Roberto Barbosa 146

Também, 2 2

2 22

22máx

1 P d 1 dg.sen r r4 z 2 4 2v r111 Pv Rdg.sen d

1616 z

, com dR2

.

A velocidade média do escoamento, definida por 2

3

S

1 dv vdS A v vA 4

será

d 2222

2 r 0 0

d 222

2 r 0

d24 2 2

20

2

1 1 P dv g.sen r rdrd4 z 2d

4

2 1 P dg.sen r rdr4 z 2d

4

2 P r d rg.senz 4 2 2d

2 P g.senzd

4

4

2

d24

1 P dg.senz 22 d

Então,

4 2

21 P d 1 P dv g.sen g.sen

z 2 8 z 2d2x42

, isto é,

máx1v v2

A vazão no tubo:

3

S S S S

m v dS v dS vdS v dS

2 21 P d dg.sen8 z 2 4

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João Roberto Barbosa 147

22P d Pg.sen g.sen R

32 z 2 32 z

4P g.sen d128 z

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João Roberto Barbosa 149

3.6.4 - Escoamento de Couette numa região anular

É um escoamento permanente, 2-D, incompressível, entre 2 cilindros coaxiais de

comprimento infinito, causado pela rotação dos cilindros com velocidades angulares

constntes. É uma aproximação ao escoamento num mancal hidrodinâmico.

O escoamento tem simetria axial.

Tem-se:

r r z zv v e v e v e

rv 0

v v r (não depende de )

zv 0

Adota-se um s.c.clíndrico em função da geometria do escoamento.

A componente das equações de Navier-Stokes na direção é: 0

rr z0 0

` 0 0 0

2 2 2r

2 2 2 2 2 2

0 0` 0 0

v v v v v v vv vt r r z r

v v v v vv1 P 1 1 2gr r rr r z r r

Após as simplificações indicadas tem-se: 2

2 2v v v10 g

r rr r

Rescrevendo de modo apropriado:

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João Roberto Barbosa 150

2

2 2v v v1 g

r rr r

Multiplicando-se membro a membro esta equação por 2r resulta 2

2 22v vr r v g r

rr

Sabe-se que hBv Arr

é uma solução da equação diferencial homogênea

associada e que 2P

g1v r3

é uma solução particular da equação completa. Então,

2g1 Bv r Ar3 r

é a solução geral.

Para cada um dos cilindros tem-se as condições de contorno:

1

2

21 1 1 1

1

22 2 2 2

2

g1 Bv r r Ar (A)3 r

g1 Bv r r Ar (B)3 r

`

Multiplicando-se a primeira equação por 2r e a segunda por 1r tem-se:

21 1 2 1 2 1 2 2

1

22 2 1 2 1 2 1 1

2

g1 Br r r r Ar r r3 r

g1 Br r r r Ar r r3 r

Subtraindo membro a membro estas equações resulta:

2 22 1

2 1 1 2 1 2 2 11 2

g r r1r r r r r r B3 r r

. Isolando B,

2 2

1 22 1 2 12 2

2 1

gr r 1B r r3r r

21 1 1

1 1

1 1 21

g1 1 BA r r `r 3 r

g1 Br3 r

2 2

1 21 1 2 1 2 12 2 2

2 1 1

g gr r1 1 1A r r r3 3r r r

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João Roberto Barbosa 151

2 22 2

1 2 1 12 22 12 1

gr r1 r3 r rr r

2 2 2 22 2 1 2

2 1 12 2 22 12 1 2

gr r r r11 r3 r rr r r

2 2 22 1 2

2 1 12 2 22 12 1 2

gr r r1 r3 r rr r r

ou 2 2 2

2 2 1 1 212 2

2 12 1

gr r r1A r3 r rr r

Segue-se que a solução do problema será:

2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 2 1 21 1 2 2 12 2 2 2

2 12 1 2 1

g g gr r r r r1 1 1 1v r r r r r r3 3 r r 3 rr r r r

Na ausência de forças de campo, g 0 e, daí,

2 22 2 1 1

2 22 1

r rAr r

2 2

1 21 22 2

2 1

r rBr r

Também, r zv 0 e v 0 .

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João Roberto Barbosa 153

3.6.5 - Escoamento de Hagen-Poiseuille entre 2 tubos

concêntricos inclinados

É um escoamento permanente, viscoso, de simetria axial, no canal formado por 2

tubos concêntricos, com gradiente de pressão ao longo do canal.

Tem-se:

1 1 2 2 3 3v v e v e v e

r 1v 0 v 0

2v 0 v 0 (não depende de )

z z 3 3 1 2v v r v v x ,x

1xg g.cos

2xg 0 (perpendicular ao plano da figura)

3xg g.sen

As 3 equações de Navier-Stokes num s.c.c.o. são:

1

2 2 21 1 1 1 1 1

1 2 3 x 2 2 21 2 3 1 1 2 3` 0 0

0 0 0 0 0 0

v v v v v vPv v v g 0 (A)x x x x x x x

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João Roberto Barbosa 154

2

2 2 22 2 2 2 2 2

1 2 3 x 2 2 21 2 3 2 1 2 30 ` 01 0

0 0 0 0 0 0

v v v v v vPv v v g 0 (B)x x x x x x x

3

2 2 23 3 3 3 3 3

1 2 3 x 2 2 21 2 3 3 1 2 30 0

0 0

v v v v v vPv v v g 0 (C)x x x x x x x

Após as simplificações indicadas tem-se:

1 1

3

x x1 1

2 22 2 2 2

3 3 3 3x 2 2 2 2

3 31 2 1 2

P P(A1) g 0 g g.cosx x

P P(B1) 0 0x x

v v v vP P(C1) g 0 g.senx xx x x x

De (A1): 3 1 1 3

P P 0x x x x

pois

3 3

Pg.cos 0x x

não

depende de 1x .

De (B1): 3 2 2 3

P P 0x x x x

pois

2 3

P P0x x

não depende de 2x .

De (C1):

3

3

3

2 23 3

2 23 3 3 31 2

v não dependede x

não dependede x

v vP Pg.sen 0x x x xx x

não depende

de 3x .

Logo, 3

Px

é constante e pode ser “medido” a partir da medição de pressões entre

2 pontos quaisquer numa reta paralela ao eixo de concentricidade.

A b

3 AB

P PP P constx L L

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João Roberto Barbosa 155

Portanto, a equação (C1) se reduz a 2 2

3 32 21 2

v vP g.senL x x

.

Pondo2 2

3 32 21 2

P g.sen v vL vemx x

, que é a equação de Poisson,

ainda a ser resolvida.

A solução geral, já obtidana solução do problema de Hagen-Poiseuille para um

tubo inclinado, é: 2

3 1 2rv C ln r C4

. As constantes 1C e 2C podem ser obtidas a partir

da imposição das condições de contorno: 3 1v r 0 e 3 2v r 0 (aderência).

21

1 1 2

22

1 2 2

2 22 2

1 2 1

r0 C ln r C4r0 C ln r C4r r0 C ln r ln r

4

Daí

2 2 2 22 2 2 2

12 1 2

1

r r r r4Cln r ln r 4 rln

r

2 2 2 2 22 22 2 2 2 2

2 1 2 2 2 2 22 2

1 1

r r r r r1 1C C ln r r ln r ln r r4 4 4 4r rln ln

r r

Segue-se que

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João Roberto Barbosa 156

2 2 2 22 1 2 12 2

3 2 22 22

1 1

2 21 22 2

3 22 2

1

1 1r r r r1 14 4v r ln r r ln rr r4 4ln lnr r1 r r1 ln r4v r r r4 ln rln

r

A vazão em massa numa seção transversal é dada por:

3 3

S S S

m v dS v dS v dS

2 2

1 1

r 2 r

3 3r r 0 r r

m v rdrd 2 v rdr

2

1

2 2

1 1

2 2r 1 22 2

2r r 2 2

1

r r2 22 22 1 22

2 2r r r1

1 r r1 ln r4m 2 r r rdrr4 ln rlnr

r r2 r r ln rm r r drr4 4 2 ln rlnr

Como 2 2

1 1

r r

2 2r r r r

ln r ln rr dr rdrln r ln r

, fazendo integração por partes tomand rdr=dv:

2

2 2

ln r r ln r 1rdrln r 2 ln r r

vem:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2

2 2

1

r r r r r r r r r r rm lnr2 4 2 4 2 2 r 4 4lnr

2 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 22 22 1 1 2 1

1 22

1

r r r rr r r r rm r r r8 4 4 2 2 4lnr

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João Roberto Barbosa 157

2 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 22 22 1 1 2 1

1 22

1

r r r rr r r r rm r r r2 4 4 2 2 4lnr

22 2

1 22 22 1

2

1

r rm r r r8 ln

r

Então,

22 21 22 2

2 12

1

P g.sen r rLm r r r8 lnr

A velocidade máxima do escoamento é calculada a partir da condição 3v 0r

,

isto é:

2 2

1 22 23 2

2 2

1

1 r r1 ln r4v r r r4 ln rlnr

2 2

1 2 23

2

21

11 r rv 1 4 rr 0r rr 2 lnrr

2 21 23

2

1

r rv 12r 0rr rlnr

, de que resulta:

2 22 1

22

1

r rrr2 lnr

para a velocidade

máxima.

Observar que a velocidade máxima não ocorre no meio do canal mas, sim,

próxima do cilindro interno!

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João Roberto Barbosa 158

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João Roberto Barbosa 159

3.6.6 - Escoamento entre 2 placas planas paralelas,

infinitas, movendo-se com velocidades sv e iv

Para simplificação de cálculos a origem do sistema de coordenadas cartesianas

ortonormal foi colocado na altura média do canal entre as 2 placas.

1 1 2 1 2 1 2 2v v x ,x e v x ,x e

'1 1 1 2 1 2

2 2 1 2

1 s s 1

1 i i 1

v v x , x v x

v v x , x 0

v x ,h v v e

v x , h v v e

As equações de Navier-Stokes são:

1

2 21 1 1 1

1 2 x 2 21 2 1 1 20 ` 0

0 0

v v v vPv v g 0 (A)x x x x x

2

2 22 2 2 2

1 2 x 2 21 2 2 1 2` 0

0 0 0 0

v v v vPv v g 0 (B)x x x x x

Após as simplificações indicadas e utilizando a notação

1 2 x yx x y x g 0 g g

De (A): 2 2

1 12 2v vP 1 P0 (A1)

x xy y

De (B) P P0 g g (B1)y y

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João Roberto Barbosa 160

De (B1) vem 1P gy C e como em y=0 tem-se 0 0P P P P gy .

De (A1): Para um gradiente constante de pressão na direção x, Px

,

1 P K (cons tan te)x

. Então

21

2

11

2

1 1 2

v 1 P kxy

v ky Cy

yv k C y C2

Como

2

1 s 1 2

2

1 i 1 2

hv h v k C h C2hv h v k C h C2

, subtraindo-se membro a

membro estas equações, obtém-se: s is i 1 1

v vv v 2C h C2h

e de

2

s 1 2

2 2s i

2 s 1 s

2s i

2 s

hv k C h C2

v vh hC v k C h v k h2 2 2h

v vhC v k2 2

Portanto, 2 2

s i s iv v v vh hv k y k2 2h 2 2

, ou

2 2 s i s iv v v vkv y h y2 2h 2

2 2 s i s i s sv v v v 2v 2vkv y h y2 2h 2

2 2 s is

v vk 1v y h y h v2 2 h

Finalmente, 2 2 s is

v v1 1v k y h y h v2 2 h

, de que se conclui que o

escoamento tem um perfil parabólico.

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João Roberto Barbosa 161

Casos particulares:

a) Poiseuille plano:

2 2s i

1v v 0 v k y h2

b) Couette plano:

2 2 si s s

v1 1v 0 e v 0 v v k y h y h2 2 h

2 2 2 2s ss s

v v1 1 1 1 1v v k y h y v k y h y h2 2 h 2 2 2 h

Se k=0, sv1v y h2 h

A velocidade máxima é calculada a partir de v 0y

.

s i s iv v v vv 1ky 0 yy 2 h 2hk

22s i s i s i

máx sv v v v v v1 1v k h h v

2 2hk 2 h 2hk

2 4 2 2

s i s is imáx s 2 2

v v 4h k v v 2h kv v1 1v v k2 2 h 2hk4h k

A velocidade máxima não ocorre, necessariamente, na posição média do canal.

No caso particular de 2 2s i máx

1 1 Pv v 0 v k h h2 2 x

, como no caso

do escoamento de Poiseuille plano!

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3.6.7 - Escoamento entre dois tubos concêntricos com

velocidades iv e ev , sujeito a gradiente de pressão

Considere-se escoamento com simetria axial:

r r 2 z zv v e v e v e

r

z z

z

v 0v 0v v rg 0g g.seng g.cos

As equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas são: ` 0

2r r r r

r z0

0` 0 0 0 0

v vv v v vv vt r r z r

` 0

2 2 2 2r r r r r

r 2 2 2 2 2 2

0 0` 0 ` 0 0

vv v v v v1 P 1 1 2g (A)r r r rr r z r r

` 0 0

rr z0

` 0 0 0 0

v v v v v v vv vt r r z r

` 02 2 2 2

r2 2 2 2 2 2

0 ` 0 00 ` 0 0

v v v v vv1 P 1 1 2g (B)r r rr r z r r

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` 0

z z z zr z0

` 0 0 0

vv v v vv vt r r z

2 2 2z z z z

z 2 2 2 2

` 0 0

v v v v1 P 1 1g (C)r z r rr r z

Após as simplificações indicadas,

r

2z z

z 2

1 P0 g (A1)r

1 P0 g (B1)r

v v1 P 10 g (C1)z r rr

Pondo z

1 P gz

e como 2

z z z2

v v v1 1 rr z r r rz

tem-se

zv1 rr r r

, de onde se obtém 2

z 1 21v r C ln r C4

(solução geral).

As condições de contorno permitem calcular 1 2C e C :

2z i i i 1 i 2

2z e e e 1 e 2

1v r v r C ln r C (1)41v r v r C ln r C (2)4

Subtraindo-se membro a membro (1) de (2) vem:

2 2e i e i

1e

i

1 r r v v4C rln

r

De (2) vem 2 2

e i e i22 e e e

e

i

1v v r r1 4C v r ln rr4 lnr

e, portanto, a solução

será:

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2 2

e i e i2 2z z e e

e e

i

1v v r r1 r4v v r v r r lnr4 rlnr

No caso particular de e iv v 0 , recai-se no problema de Hagen-Poiseuille:

2 2

e i2 2z z e

e e

i

1 r r1 r4v v r r r lnr4 rlnr

Para apenas o tubo interno se movendo:

2 2

i e i2 2z z e

e e

i

1v r r1 r4v v r r r lnr4 rlnr

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João Roberto Barbosa 167

3.6.8 - Escoamento num espaço estreito formado por duas

paredes não paralelas

Uma dessas paredes é fixa e a outra se move à velocidade 10v . A distância h entre

as duas paredes varia com 1x .

Hipóteses:

1) escoamento 2-D

2) 2v 0 (escoamento sõ na direção 1x - portanto o ângulo deve ser muito

pequeno)

De 2(v) P g v 0t

vem 2 2

1 1 12 2

1 1 2

v v vP 0t x x x

3) Regime permanente

2 21 1

2 21 1 2

v vP0 0 (1)t x x x

4) h 01

L (ordem de grandeza dos parâmetros envlvidos na equação (1)

2 21 1

2 21 1 2

v vP0 0 (1)t x x x

210 101 1

2 2 2 21 1 1 1

2 222 110 101 1

2 22 2

v vv vO Ox L x L v v

x xv vv vO Ox h x h

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João Roberto Barbosa 168

21

21 2

vP 0 (2)x x

5) Condições de contorno:

1 2 1 1 2 1 2 1 2 2

'1 1 2 1 2 '

1 2 12 1 2

v v x , x v x , x e v x , x e

v x , x v xv v x e

v x , x 0

1 2 1 1 2 1 2 1 2 2

'1 1 2 1 2 '

1 2 12 1 2

'1 10'1 1

2 2 2

v v x , x v x , x e v x , x e

v x , x v xv v x e

v x , x 0

v 0 v (parte inf erior se move)

v h x 0 (parte superior está parada)

P 0, x P L, x 0 (não há efeito de pontas) x

Solução:

Integrando-se (2) na direção 2x :

12 1

1 222

1 1 2 21

22

1 1 2 21

vP x C 0x x

xP v C x C 0x 2

x1 Pv C x Cx 2

Como

21

1 1 1 1 101

21

101

11

h x1 Pv h x 0 0 C h x vx 2

h xP vx 2e C

h x

Logo

21

101

11

2102

1 1 2 2 101 1 1

h xP vx 2C

h x

vx1 P 1 Pv h x x x vx 2 2 x h x

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João Roberto Barbosa 169

22 2 21 1 2 10 1

1 1 1 1

x x x1 Pv v x v 1 h x 1h x 2 x h x h x

para cada 1x .

A vazão de fluido pela fenda é calculada por

1

2

1

2

1

h(x )

1 2 2

S x 0

h(x )22 2 2

10 1 21 1 1 1x 0

h x2 3 2

22 2 210 2 10 12

1 1 11 0

21

10 1 10

m v dS l v x dx

x x x1 Pl v 1 h x 1 dxh x 2 x h x h x

x x x1 Pl v x v h x2h x 2 x 2h x3h x

h xl v h x v

3 31 12

1 21 1 11

1 1 1210 1 10 1

1

312

10 1 11

h x h x1 P h x2h x 2 x 2h x3h x

h x h x h x1 Pl v h x v h x2 2 x 3 2

h x1 1 P 1 1l v h x h x2 2 x 3 2 2

1 12

10 1 10 1 11

h x h x1 1 Pm l v h x v h x h x2 2 x 3 2

310 1 1

1

1 1 Pm l v h x h x2 12 x

Como m é constante, então

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João Roberto Barbosa 170

10 1

103 2 31 1 1 1

1 mv h xP 1 m 12 l 6 v 12x lh x h x h x

12

10

2 31 1 1

mvP l6 2 (3)

x h x h x

Integrando-se (3) na direção 1x :

1 1x x1 1

1 a 10 2 31 10 0

dx dxmP x P 6 v 12lh x h x

Para 1 a ax 0, P 0 P 0 P 0 P e para

1 a ax L, P L P 0 P L P

L L1 1

a 10 2 31 10 0

L L1 1

10 2 21 10 0

10L L1 1

3 31 10 0

dx dxmP L P 6 v 12lh x h x

dx dx6 vh x h x1m lv

2dx dx112l h x h x

Portanto, a vazão, como a distribuição de pressão, está fixada em função de

1h x :

0 Lxh h h hL

, tem-se Lxdh h h dxL

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João Roberto Barbosa 171

0

h xxh(x)1

2 2 00 L 0 L 0 L 00 h

0 0

0 L 0 0 0 L

dx L dh L L 1 11 hh h h h h h h(x) hh h

h h(x) h h(x)L Lh h h(x)h h(x)h h h

Assim, L

2L 00

dx Lh hh

Também,

0

h(x)h xx 2

3 3 2 200 L 0 L 0 L 00 h

0 L2 2

0 L

hdx L dh L 1 L 1 1h h h h 2 2 h hh h h (x) h

h h12 h h

Segue-se que 0 L 0 L10 10

0 L 0 L2 2

0 L

Lh h h h1m lv lvh h12 h h

2 h h

, ou seja, 0 L10

0 L

h hm lvh h

.

A distribuição de pressão pode ser calculada de:

1 1x x1 1

1 a 10 2 31 10 0

2 20 1 0 1L 0

a 10 10 2 21 0 0 L L 0 0 L 1 0

2 20 1 0 1L

a 10 20 L 0 1 L 0 1

0 1 La 10

0 0 L 1 L

dx dxmP x P 6 v 12lh x h x

h h x h h xh hL 1 LP 6 v 12 vh x h h h h h 2 h h h x h

h h x h h xhLP 6 vh h h h x h h h x

h h x hLP 6 v 1h h h h x h h

0 1

0 1

h h xh x

Então

0 1 0 1L

1 a 100 0 L 1 L 0 1

h h x h h xhLP x P 6 v 1h h h h x h h h x

.

Como

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0 L11 0 0 L 1 0 1

0 L0 1 1

0 L10 1 0 0 L 0 1

h hxh x h h h h x h xL Lh hh h x x

Lh hxh h x 2h h h 2h x

L L

,vem

0 L 0 L1 0 1

L1 a 10

0 L 0 L0 0 L L 00 1 0 1

h h h hx 2h xhL L LP x P 6 v 1h h h hh h h h hh x h xL L

0 L0 1

1 L1 a 10

0 L0 L L 00 10 0 1

h h2h xx h LP x P 6 v 1 h hh h h h h xh h xLL

Notar, também, que, se 0 Lh h resulta 1 aP x P , como esperado.

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João Roberto Barbosa 173

4 - ESCOAMENTOS IRROTACIONAIS

Conceitos fundamentais 4.1 -

Definição: Vorticidade do escoamento é o vetor dado por v .

Definição: Velocidade angular de uma partícula é o vetor que represeenta a

rotação de corpo rígido de uma partícula. 1 v2

.

Tem-se, então, 2 .

Como já foi mostrado, pode-se escrever:

3 32 1 2 11 2 3

2 3 3 1 1 2

v vv v v v1 1 1e e e2 x x 2 x x 2 x x

Então,

3 32 1 2 11 2 3

2 3 3 1 1 2

v vv v v v2 e e ex x x x x x

, ou

ki ijk

j

v i 1,2,3x

O tensor R de rotação é dado por t

ij i j1R v v R e e2

e está associado a

e a por 1Rr r 2 r2

Definição: Escoamento irrotacional é aquele em que 0 , isto é, se v 0

ou se 0 ou se R 0 .

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João Roberto Barbosa 175

Escoamentos Potenciais – soluções analíticas das 4.2 -

equações de Navier-Stokes

Seja 31: T , , R 0, t R R uma função real e seja v um campo de

velociddes definido sobre T tal que 2

1 2 31 2 3

ii

C ;

v v v , isto é, vx x x

daí, v , i 1,2,3.x

Então,

3 21

2 3 2 3 3 2

312

3 1 3 1 1 3

2 13

1 2 1 2 2 1

v v 0x x x x x x

vv 0x x x x x x

v v 0x x x x x x

e, portanto, a vorticidade é nula: 1 1 2 2 3 3e e e 0 .

A função 1 2 3: x , x , x , t define um campo de velocidades tal que 0 , isto é,

um escoamento irrotacional.

Deve-se observar que nem todas as funções 1 2 3: x , x , x , t definem um campo

de velocidades que é fisicamente possível.

A função 1 2 3: x , x , x , t deve satisfazer certos requisitos para que a equação

da continuidade seja verificada. Para fluidos incompressívels, v 0 e, então,

20 0 0 (equação de Laplace), ou seja, a função potencial de

velocidade 1 2 3: x , x , x , t deve datisfazer a equação de Laplace, 2 0 .

É prepciso saber se escoamentos irrotacionais são dinamicamente possívels (tanto

viscocos como não viscosos).

Caso 1: Escoamento irrotacional de um fluido incompressível, não viscoso, de

densidade homogênea.

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João Roberto Barbosa 176

A diádica de tensões 0 0não incompvisc

2 D v P I

se reduz a

ij ijPI P .

A equação de conservação da quantidade de movimento é dada por

0invisc

Dv g PDt

ou Dv g P Equação de EulerDt

i ij i

j i

v v Pv gt x x

Se existir um potencial G tal que ii

Ggx

, então

ii i i i i

i

1 P 1 P G P Ggx x x x x

P Gx

Então i ij

j i

v v Pv Gt x x

.

O termo ij

j

vvdx

pode ser alterado para levar em consideração a irrotaciionalidade:

ji

j i

vvdx dx

e, assim, j 2 2i

j j j j j jj i i i

vv 1 1v v v v v , pois v v vx x 2 x 2 x

Como ij

i i i

vv ex t t x x t

, vem:

2

i i i

1 vx t 2 x x t

ou 2

i

1 Pv G 0x t 2

, isto é, os

termos (soma) entre colchetesnão dependem de ix , i 1,2,3. Só podem, portanto, depender

de t. Assim,

21 Pv G f tt 2

Esta equação é chamada de Equação de Bernoulli generalizada.

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João Roberto Barbosa 177

No caso particular de escoamento permanente, 21 Pv G const2

, que é

conhecida como Equação de Bernoulli.

O potencial G pode ser detrminado imediatamente se considerarmos

g g z gz , isto é, G=gz.

Segue-se que 21 Pv gz const2

, em que, no caso, g gz !

A equação de Bernoulli é uma equação (fórmula...?) muito útil em problemas

em que a viscosidade pode ser desprezada.

A dedução acima mostrou que escoamentos irrotacionais são dinamicamente

possíveis desde que as forças de campo sejam potenciais. No caso de as forças

de campo serem apenas a gravitacional, G=gz é o potencial aplicável.

Exercício: seja 3 21 2 3 1 2 3: x , x ,x , t x , x ,x x 3xy

a) Mostrar que satisfaz a equação de Laplace

b) Calcular o campo de velocidades irrotacional associado

c) Calculalr a distribuição de pressão para um fluido incompressível e homogêneo

se, para (0,0,0) tem-se 0P P e G=gz.

d) Se o plano y=0 é uma fronteira sólida, calculara a componente tangencial da

velocidade nesse plano.

Solução:

a)

22 2

2

2

2

2

2

3x 3y 6xx x

6xy 6xy y

0 0z z

Logo 2 6x 6x 0 0

b)

2 21

1

z

v 3x 3yx

v 6xyy

v 0z

,

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João Roberto Barbosa 178

então, 2 21 2v 3 y x e 6xye

c) Da equação de Bernoulli, 2

0

1 Pv g z const2

.

Em (0,0,0):

1

2

3

0

v 0v 0v 0P PG g.0 0

Portanto 2 0 0P P1 0 0 K K2

2 2 2 2 20 01 2 3

P P P1 P 1 1v gz v gz v v v gz2 2 2

2 22 20

22 2 2 2

24 2 2 4 2 2

4 2 2 4 2 2

4 2 2 4 4 2 2 4

22 2

P P 3x 3y 6xy gz2

9 x y 36x y gz2

9 x 2x y y 36x y gz2

9x 18x y 9y 36x y gz2

99x 18x y 9y gz x 2x y y gz2 29 9x y gz2

4r gz

2

Segue-se que 40

9P P r gz2

.

d) Se 2 21 2 3 1y 0 v 3x , v 0, v 0 e v 3x e ( v não tem

componente normal ao plano y=0, que pode ser interpretado como o fluido se “escorregando”

na fronteira sólida.

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João Roberto Barbosa 179

Caso 2: Escoamentos irrotacionais que são soluções das Equações de Navier-

Stokes.

As equações de conservaão da quantidade de movimento linear, conhecidas como

equações de Navier-Stokes, são: Dv g PDt

, com 0

incompr

2 D v

.

Então, 2

i i ij i

j i i j

v v vPv gt x x x x

. Pondo ii

vx

, sendo =

função potencial de velocidade e lembrando que 2 2 2

i

i j i j i i i j

0eq. deLaplace

v 0x x x x x x x x

,

então os termos envolvendo viscosidade desaparecem das equações de Navier-Stokes (no caso

de escoamentos irrotacionais) e elas tomoam a forma da Equação de Euler: Dv g PDt

ou i ij i

j i

v v Pv gt x x

.

Então, se o fluido viscoso tem densidade homogênea e as forças de campo são

conservativas (no caso, g é!), isto é, g g z , escoamentos irrotacionais são dinamicamente

possíveis também para fluidos viscosos.

Como pode haver fronteiras sólidas e, nelas, há aderência do escoamento, então as

componentes tangenciais e normal da velocidade na fronteira devem ser as mesmas da

fronteira sólida. Isto quer dizer que tais velocidades devem ser prescritas.

Asim, se y=0 é uma fronteira sólida parada, então x zv v 0 devem ser

especificadas como velocidades tangenciais e yv 0 como velocidade normal.

Para o escoamento irrotacional, as condições que deve obedecer na fronteira

sólida são, portanto, =constante, visto que

x1

y2

z3

0 vx

0 vx

e 0 vx

na fronteira sólida, o que dá

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0n

, que é a derivada direcional de na direção normal à superfície:

nn

.

Em geral, não existe solução da Equação de Laplace satisfazendo, ao mesmo

tempo, as condições de contorno em toda a fronteira:`

const

0n

a menos que o movimento da fronteira seja consistente com os requisitos de irrotacionalidade

do escoamento.

Por exemplo, considere-se o escoamento de Couette entre 2 cilindros (viscoso,

permanente, 2-D, ...), com r zv v 0 e Bv Arr .

Tem-se zk , com y xz

v v vvx y r r

.

Então,

2z

rv1 1 B 1 1r Ar Ar B 2Ar 2Ar r r r r r r r

22 22 22 2 1 1 2 1

z 2 2 1 12 21 1irrotacional2 2

r r r2A 0 r r 0rr r

.

Entretanto, em alguns escoamentos, sob certas condições, a vorticidade gerada

pelas fronteiras sólidas fica confinada a uma camada fina do fluido, próxima da fronteira, e o

escoamento fora dessa camada é irrotacional se tiver sido originado de um estado de

irrotacionalidade, isto é, se o escoamento antes da parede for irrotacional.

Deve-se também observar que, mesmo que os termos viscosos não apareçam nas

equações de Navier-Stokes no caso de escoamentos irrotacionais, não quer dizer que não haja

dissipação viscosa num escoamento irrotacional de um fluido viscoso.

Se, pelo menos, um componente de D foro 0 haverá dissipação viscosa e a taxa

de trabalho imposta ao escoamento para mantê-lo irrotacional é exatamente igual à taxa de

dissipação viscosa, dada por: tinc : v , com

t k iinc ij i j m k ij

m j

v v: v e e : e ex x

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j iij ij ij

i j j

2 2 2 2 2 2ij ij ij ij ij ij 11 22 33 12 13 23

v vvi 2 D D Rx x x

2 D D D R 2 D D 2 D D D 2D 2D 2D

Note-se que, parafluido incompressível, 2compr inc kkD .

Exemplo: Um escoamento de Couette plano é dado por:

u Kyv 0w 0

`

Se a temperatura na placa fixa é mantida à temperatura iT e a placa móvel a sT ,

calcular a distribuição de temperatura de equilíbrio.

Solução: A temperatura é uma função de y apenas: T T y .

A equação da energia é dada por H0

0

De k T : v gDt

. Em regime

permanente, k=const e Hg 0 , resultando:

H0

0

De k T : v gDt

00 ` 0

De e e eu v 0Dt t x y

(e não depende de x)

2 t

0incomp

0 k T P v : v

(regime permanente)

Daí, 2 tk T : v 0 e t 221

u: v K K Ky

, pois só u 0y

.

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Segue-se que 2 2 2 2k T K 0 T Kk

e

2 2 2CT K C T T y y Ay Bk 2

i i

2s i2 s i

s i s

T 0 T T BCT T d T TC Cd2T d T d Ad T T A

2 d d 2

2s i2 2

i

T T K1 2kT T(y) K y y T2 k d

, de que resulta: 2

2 2 s ii

T T1 1 KT(y) T K y y2 k d 2 k d

(perfil de temperatura parabólico)

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João Roberto Barbosa 184

Transporte da vorticidade em um fluido viscoso, 4.3 -

incopressível e de densidade homogênea

Um fluido é incompressível se a densidade de cada partícula não varia com o

tempo, independentemente de seu estado de tensão, isto é, D 0Dt .

A equação da continuidade dá i

i

vD 0Dt x

. Então, i

i

v 0x

e i

i

v 0x

, isto é,

v 0 . Um fluido incompress´vel não tem necessariamente densidade uniforme. Por

exempo, a água do mar, com diferentes concentrações de sal, tem densidades diferentes,

dependendo da profundidade considerada.

Se o fluido for, adicionalmente, homogêneo, então =constante em todos os

pontos.

As equações de Navier-Stokes para forças de campo potenciais, pondo gz ,

pode ser rescrita como Dv g z PDt

. Então,

Dv P 1gzDt

P 1

.

Como 2 D , tem-se 2

i i ij 2

j j j

Pv v v1vt x x x

. Pondo

,

vem:

2i i i

j 2j j j

Pv v vvt x x x

, que são as equações de Navier-Stokes para

fluido incompressível e homogêneo (i).

Multiplicando-se membro a membro a equação (I) por mninx

, isto é,

calculando-se o rotacional de ambos os lados da equação:

i imni mni

n n

v vx t t x

.

Mas

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3 3i 2 1 2 2mni m

n 3 2 3 1 2 3m 1 m 2 m 3

v vv v v v vx x x x x x x

(vorticidade) (ii)

imni m

n

vx t t

(a)

2m m i i m

j mni 2j n j j

v vvt x x x x

(iii)

Também,

ji i imni j mni j

n j n j n j

j i imni j mni

n j n j

vv v vv vx x x x x x

v v vvx x x x

Logo,

ji imni j mni j m

n j n j n

vv vv vx x x x x

(b)

Ainda, 2

mni mnin i n i

P P 0x x x x

(c)

pois G 0 para qualquer função escalar G (rotacional do gradiente é nulo!).

Adicionalmente,

2 2 2

i i i imni mni m

n j j j j n j j

v v v vx x x x x x x x

(d)

Substituindo-se esses resutados inermediários (a), (b), (c) e (d) em (ii) resulta:

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João Roberto Barbosa 186

' '

2m m i i m

j mni 2j n j j

k kijk i i ijk

j j

jikij k

j i

jikij k

j i

j j jimni mni k ji k

n j n i

jmni

v vv (iii)t x x x x

v v2 e ,x x

vve como 2R , tem sex x

vvx x

v v vve, daí,x x x x

v

' '

j jmni k ji k

n i n0

rotacionaldogradiente

v vx x x

' ' ' ' ' 'j j j

mni nj mjk ji k mk k nk kn n n

n mmn nn m mm nn n

n n

n m mm n n

n n nv 0

v v vx x x

v vx x

v v v (e)x x x

Substituindo-se (e) em (iii) resulta:

m

2m m m m

j nj n j j

DDt

2m m m

nn j j

2

vvt x x x x

e, daí,

D v , ouDt x x x

D v (iv)Dt

que é a forma vetorial da equação do transporte da vorticidade.

Para o caso de escoamento 2-D:

1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3v v x ,x ,x , t e v x ,x ,x , t e 0e , com 3x = constante:

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João Roberto Barbosa 187

3 32 1 2 21 2 3

3 2 3 1 2 3

2 23 3 3

2 3

v vv v v ve e ex x x x x x

v v e ex x

Notar que, em coordenadas polares e em coordenadas cartezianas ortonormais,

v é dado por, respectivamente,

r r r

rpolares

z z z

v v v1 vr r z

v v v1v vr r z

v v v1r r z

e

1 1 1

1 2 3

2 2 2scco 1 2 3

3 3 3

1 2 3

v v vx x xv v vvx x xv v vx x x

Assim,

1 1 1 1 1

1 2 3 1 21

2 2 2 2 22

1 2 3 1 233

3 3 3

1 2 31 2 3

v v v v v 0x x x x x

0 0v v v v vv 0 0 0x x x x x

00 0 0v v vx x xx x x

.

Então, a equação (iv) passa a ser 2DDt , ou 23

3DDt

.

Para 3 , 2 2

1 2 2 21 2 1 2

v vt x x x x

Aplicada ao estudo do escoamento de Poiseuille plano, em que 2

21 1 1 2 2 3

hv v e v C x v 0 v 0 :4

1 2 2 3 2 3 20e 0e (0 2Cx )e 2Cx e 2Cx

1 21 2

2 22

2 21 2

D v v 0 0 0.2c 0Dt t x x

0 0 0x x

Portanto 2DDt é satisfeita.

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João Roberto Barbosa 189

Função de Corrente 4.4 -

O cálculo de alguns tipos de escoamentos torna-se maisi fácil quando se trabalha

com algumas funções auxiliares que incorporam as características desses escoamentos. Por

exemplo, no caso de escoamentos permanentes, incompressíveis, 2D, a equação da

continuidade v 0 fornece a informação 1 2

1 2

v v 0x x

, que associa propriedades do

campo de velocidads nas direções coordenadas.

A partir das equações das linhas de corrente 1 2

1 2

dx dxv v

obtém-se 1 2

1 2

dx dxv v

ou

1 2 2 1v dx v dx ou 2 1 1 2v dx v dx 0 , que é a “forma” de um diferencial total de uma função

cons tan te . Então, de um lado, 1 21 2

d dx dx 0x x

ou

2 1 1 2d v dx v dx 0 .

Identificando-se os termos correspondentes, têm-se:

2 11 2

v e vx x

.

Portanto, conhecidas as linhas de corrente cons tan te pode-se calcular o

campo de velocidades 1 1 2 2v v e v e .

Pode-se observar que se v é um campo de velocidades de classe 1C , isto é, é

derivável e suas derivadas são contínuas, é de classe 2C .

Como

12

vx

,

21

1 1 2

vx x x

e como

21

vx

, 2

2

2 2 1

vx x x

, segue-se que 2 2

1 2 2 1x x x x

e,

portanto,

1 2

1 2

v vx x

, de onde resulta 1 2

1 2

v v 0x x

, isto é, v 0 , que é a forma da

equação de conservação de massa. Logo, satisfaz a condição de continuidade.

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João Roberto Barbosa 190

Como representa linhas de corrente, v é tangente às curvas dadas por

cons tan te . Logo, entre duas curvas 1C e 2C , com 1 2C C , escoa uma certa

quantidade de fluido, que pode ser calculada pela integral de linha v dl

sobre uma curva

qualquer, unindo os pontos 1 2P e P sobre 1C e 2C respectivamente.

O resultado será em termos de 3m

s (vazão volumétrica) por unidade de altura de

um canal hipotético delimitado, o plano xy, pelas curvas 1C e 2C :

2

1

2

1

P

1 1 2 2 2 1 1 2

P

P

1 2 2 1

P

Q v dl v e v e dx e dx e

v dx v dx

Pondo 2

1

P

1 2 2 1

P

dQ d v dx v dx vem 1 2 2 1dQ v dx v dx . Portanto,

2 12 1

dQ dx dx dx x

.

Segue-se que 2 1Q dQ d

.

Se o valor de na curva 2C for maior do que o valor de na curva

1C , então 2 1 0 e o escoamento foi considerado na direção correta, uma vez que,

para o cálculo da integral de linha usou-se

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João Roberto Barbosa 191

Em coordenadas polares, r1v e vr r

. Considereando-se

escoamento 2D e a função de corrente, pode-se obter, a partir das equações de Navier-

Stokes:

2u u u 1 Pu v ut x y xut

`

com u , vy x

e

22 4

,

t x, y

(mostrar!).

Há diversos escoamentos “simples”, mas fisicamente importantes, representados

por esta equação, em que os termos não-lineares são identicamente nulos, resultando

2 4

t

.

Por exemplo:

1) Escoamento de Poiseuille: escoamento permanente, laminar, através de um

tubo, sob a influência de um gradiente de pressão, numa posiçã suficientemente

longe das bordas do tubo (evitar o “efeito de entrada”), para que o escoamento

tenha uma distribuição de velocidade seja o mesmo nas diversas seções

transversais.

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João Roberto Barbosa 192

A distribuição de velocidade é parabólica 2 2

máx

f2

P a ruz 4

1u u21 4 uP.a2 a

16c 1 Reu2udRe

Se Re sobre muito, o escoamento deixa de ser laminar.

2) Escoamento de Couette (shearng flow) entre 2 paredes planas paralelas (y=0 e

y=h), com a primeira em repousoe a segunda movendo-se com velodiade U

paralela ao eixo x, em regime permanente e sem escorregamento:

u y , v 0 e w 0U h .

É experimentalmente irrealizável (Sydnei Goldstein, Lectures on fluid mechanics,

Cap 6.) mas pode ser aproximado pelo escoamento entre 2 cilindros coaxiais, desperezando-se

os efeitos de pontas.

3) Problemas em regime transitório com os termos quadráticos nulos. São

problemas encontgrados na difusão da vorticidade. Nesses problemas (e para a

parte da velocidade que não depende do gradiente de pressão, e t só

aparecem combinados na forma t ).

Escoamentos 2-D entre paredes não paralelas

Escoamento causado por um disco girando

Escoamento 2-D e escoamento de simetria axial num plano colocado

paralelamente ao escoamento, de um lado a outro desse plano (esses tipos de

escoamento dão o escoamento permanente numa camada limite no ponto

deestagnação anterior de um corporombudo cilíndrico e num corpo rombudo

de revolução).

São, porém, solução completas das equações deNavier-Stokes.

O escoamento 2-D, com uma parede sólida colocada em y=0, e uma espécie de

adaptação para o cálculo do escoamento viscoso de uma solução potencial dada por

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João Roberto Barbosa 193

21W i C x iy

2Cxy

CxyCx

v Cy

que é um escoamento ideal.

Neste caso:

Na solução encontrada, y=0 permanece como sendo uma linhade corrente.

Quando y , tanto para uCx

como para vCy

tendem a 1.

Na solução “viscosa” não há, entretanto, escorregamento, isto é, u=v=0 e y=0

mas na “adaptada” apenas v é nulo na parede.

A solução com simetria axial é, também, uma solução similarmente adaptada

da solução potencial 2Cr x (que satisfaz 2 0 ) 2 2

22 2

1r rr z

.

No caso plano 2-D, pondo C y

e Cxf tem-se 'u xf , v Cf .

A equação 2 0 fica 2''' '' 'f ff f 1 0

com as condições de contorno: ' 'f 0 0 f 0 0 f 1

e 2 2 2P 1 vconst c x v2 y

Para simetria axial:

r xv v 0 em x 0

r xv v1 1 com xCr 2Cx

Com r xrv rvx r

.

Pondo 2Cx C r f

vem

1r xv Crf v 2 C f e, então,

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João Roberto Barbosa 194

2''' '' 'f 2ff f 1 0 e as condições de contorno:

' 'f 0 0 f 0 0 f 1 e

2 2 2 xx

vP 1const c r v2 x

Aproximações também podem ser feias para Re altos (camada limite) e Re

baixos (escoamentos de Stokes e Oseen). O escoamento de um fluido viscoso e

incompressível com Re pequeno usualmente é conhecido como escoamento de

Stokes. Oseen incluiu nessa descrição o conceito de aceleração convectiva

(fatores inerciais), dando ensejo ao aparecimento do termo escoamento de

Oseen.

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João Roberto Barbosa 196

Função Potencial de Velocidade 4.5 -

Observando-se outras propriedades do campo de velocidades como, por exemplo,

a sua vorticidade, pode-se também obter funções auxiliares que facilitam o seu cálculo.

Considere-se o caso de escoamento sem vorticidade ou irrotacionais, isto é, v 0 .

Então

ji j

i

ve e 0

x

e, portanto, 3 32 1 2 1

1 2 2 3 1

v vv v v vex x x x x x3

.

Definindo-se uma função de classe 2C , 1 2 3x ,x ,x , t tal que v

tem-se:

1 2 31 2 3

v v vx x x

.

Note-se que v foi considerada com o sinal negativo (-)!

Se o escoamento é irrotacional, v 0 0 . Portanto,

conhecida a função 1 2 3x ,x ,x , t pode-se calcular o campo de velocidades.

Têm-se, portanto, 2 possibilidades de cálculo de escoaentos através de funções

auxiliares:

a) Função corrente , derivada de v 0 (conservação de massa)

b) Função potencial de velocidade, derivada de v 0 (irrotacionalidade)

Definição: Escoamentos incompressíveis, invíscidos e irrotacionais são chamados

de Escoamentos Potenciais.

Os escoamentos potenciais são modelados pela equação de Laplace pois, para

esses escoamentos, v e, como v 0 , vem 2 0 (Equação de Laplace).

Observar: foi definida para escoamentos 2-D

foi definida para escoamentos 3-D.

Para vale 1,2 2 1Q

Para valem 2 0 (de v 0)

0 (de v 0)

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João Roberto Barbosa 197

Em coordenadas cilíndricas

r r z zv v e v e v e

r z1e e e

r r z

Escoamento potencial

rvr

1vr

zv

z

r z1e e e

r r z

1 1 1rr r r r r z z

2 22

2 2 21 1rr r r r z

Em geral zr

v v1 1v rvr r r z

Função corrente 1 21 2

d dx dxx x

2 1 1 2d v dx v dx

Função potencial 1 21 2

d dx dxx x

1 1 2 2d v dx v dx

Linha de corrente: d 0 2 22 1 1 2

1 1

dx v0 v dx v dxdx v

Linha equipotencial: d 0 2 11 1 2 2

1 2

dx vv dx v dx 0dx v

2

1 const

const

dx 1dx d

dx

as duas curvas são ortogonais em qualquer ponto

considerado.

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João Roberto Barbosa 198

5 - ESCOAMENTOS POTENCIAIS BÁSICOS

Há diversos escoamentos reais, de interesse, que podem ser idealizados a partir de

uma formulação potencial e, portanto, serem mais facilmente calculados. Neste capítulo serão

estudados alguns deles, que têm soluções analíticas.

Fontes e sumidouros 5.1 -

São a idealização de um escoamento plano, originado num orifício de dimensões

pequenas que, imediatamente após a passagem pelo orifício, torna-se plano e na direção

radial.

Considere-se um ponto P no escoamento em que haja movimento puramente

radial, isto é, r r r rv v e v e v e , com v =0.

A vazão de fluido que sai desse ponto pode ser calculada por S

q v dS (por

unidade de “espessura” do escoamento – direção z), em que S é a superfície cilíndrica reta de

altura 1 delimitada por uma curva no plano do escoamento.

2 2

r r r r r

0 0

q v e rd e rv d 2 rv

para considerada como uma

circunferência centrada em P e de raio r.

r rqq 2 rv v

2 r

. q é a intensidade da fonte.

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João Roberto Barbosa 199

No escoamento potencial, rqv

r 2 r

e, daí,

q qdr dr ln(r) Cr 2 r 2

.

Tem-se uma fonte se q 0 ou um sumidouro se q 0 .

Logo, para o escoamento em fontes e sumidouros, q ln(r)2

é a função

potencial de velocidade.

A função corrente pode ser determinada tendo-se em vista que

r1v v 0r r r

.

Mas rq 1 qv

2 r r 2

, de que resulta q2

, que é a função

corrente.

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João Roberto Barbosa 200

Vórtices (vórtice livre) 5.2 -

São a idealização de escoamentos que giram ao redor de um ponto.

Considere-se um campo de velocidades cujas linhas de corrente são círculos

concêntricos:

r rv v e v e v e , com rv =0.

Mas '1v K (const.)r

. Então '1 K

r

e, daí, 'K r .

Numa distância 1r do centro de toração (furo central), ' '1 1K r K K K r

. Logo

K é a função potencial de velocidade e 1 1 Kv K vr r r

.

Também, Kvr r r

e, portanto, Kln(r) é a função corrente.

Observa-se que:

v varia inversamente com r e é, portanto, singular em r=0.

O escoamento é irrotacional apesar de girar em torno do ponto P.

A circulação desse campo de velocidades (vórtice) ao redor da origem pode ser

calculada por 1 2 1 1 2 21 2

v dl dl e e dx e dx ex x

1 21 2

dx dx d d K Kd 2 Kx x

Portanto, 2 K e ln(r)2 2

.

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João Roberto Barbosa 201

Este tipo de escoamento é também chamado de vórtice livre.

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João Roberto Barbosa 202

Dipolos 5.3 -

São a idealização de um escoamento plano em que o fluido entra por um pequeno

orifício e é retirado por um outro pequeno orifício, separados por uma distância 2a 0 .

Considere-se o escoamento potencial formado pela combinação de uma fonte e de

um sumidouro, de mesmas intensidades, seperados por uma distância 2a . O sistema de

coordenadas cartezianas ortonormal é localizado entre os dois pontos F (fonte) e S

(sumidouro).

Então, 2 K e ln(r)2 2

1 1q

2

para o sumidouro;

2 2q

2

para a fonte.

Combinando os 2 escoamentos tem-se 1 2 1 2q

2

(I)

Escrevendo 1 2 em função de :

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João Roberto Barbosa 203

1 21 2

1 2

1

2

tg tgtg1 tg tg

r.sentgr.cos a

r.sentgr.cos a

1 2 2 2

r.sen r.sen2ar.senr.cos a r.cos atg r.sen r.sen r a1

r.cos a r.cos a

(II)

De (I) e (II), 12 2

q 2ar.sentg2 r a

Para valores pequenos de a, tg e, daí:

1 2 1 2 2 22ar.sentgr a

e, portanto, 2 2

q 2ar.sen2 r a

.

Um dipolo é um par fonte-sumidouro de iguais intensidades em que se tem a 0

e q tal que qa const . Neste caso,

dipolo 2 2 2 2a 0 a 0q 0 qa constqa const

dipolo

q 2ar.sen qa rlim sen lim2 r a r a

qa 1 sen qasen K com K initensidade do dipolor r

dipolosenK

r

.

O correspondente potencial de velocidade pode ser calculado de

1vr r

:

21 sen senK Kr r r r

sen senK Kr r r

dipoloK cosr

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João Roberto Barbosa 204

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João Roberto Barbosa 205

Escoamentos uniformes 5.4 -

São os escoamentos em que todas as partículas de fluido se movem na mesma

direção. No caso, o movimento uniforme das partículas é inclinado em relação a um eixo.

1 1 2 2 1 2v v e v e v.cos e v.sen e

Para a função potencial ;

1 1 1 21

2 2 2 22

v v.cos vx .cos C xx

v v.sen vx .sen C xx

1 1 2 1 22 2 2

1 2 2 3 1

vx .cos C x C x v.senx x x

C x vx sen C x

1 2 4 1vx .cos vx .sen C x

Faend 4 1C x =0 tem-se 1 2v x .cos x .sen (função potencial de

velocidade)

No caso particular de 0 , 1vx .

A função corrente pode ser obtida a partir de

12 2

v v.cosx x

21 1

v v.senx x

Daí 2 1v x cos x sen (função corrente)

No caso particular de 0 , 2vx .

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João Roberto Barbosa 206

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João Roberto Barbosa 207

Escoamentos mais complexos - Composição de 5.5 -

escoamentos potenciais

A linearidade da equação de Laplace permite que se tratem escoamentos

compostos de 2 ou mais desses escoamentos “simples” como a “soma” de escoamentos.

5.5.1 - Fonte colocada num escoamento uniforme

Sem perda de generalidade, considera-se um escoamento uniforme parelelo ao

eixo 1x e uma fonte colocada na origem do sistema de coordenadas. As funções correntes

são:

U 2

F

v.rsen vxq

2

Então, de

U F resulta qv.rsen2

.

A função potencial de velocidade correspondente será qvr.cos ln(r)2

.

Se existir algum ponto de estagnação nesse escoamento, este poderá ser calculado

da condição v v 0 .

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João Roberto Barbosa 208

Como se tem r1 1 q qv vr.cos v.cosr r 2 2 r

e

v v.senr

.

De 0

v v.sen 0 sen 0

.

Com r

11

q qv v.cos0 v q0 v 02 r 2 r2 xr x

Como 11

q qv 0 x 02 x 2

(não serve porque r>0).

Com r

11

q qv v.cos v qv 02 r 2 r2 xr x

1qx 0

2 v

. Logo, o ponto de estagnação estará sobre o eixo 1x , antes da fonte ( ),

à distância qb2 v

da fonte.

A linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação é calculada com e

r=b:

q qvb.sen2 2

Com q 2 bv vem 2 bv2

ou bv .

A curva bv pode ser traçada a partir de q vr.sen bv.rsen2

v

pois q bv

2

.

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João Roberto Barbosa 209

b

v b b r 0 2v rsen b rs bsen

en

Como 2 2rsen x x b .

A curva bv , para 1x será obtida observando-se que, para

2x b , 0 e, daí, 2x b .

Também, para 22 x b . Logo, as curvas 2x b são assintotas da

curva bv .

Substituindo-se essa linha de corrente por uma fronteira sólida, pode-se imaginar

que essa combinação FONTE-ESCOAMENTO UNIFORME pode ser usada para descrever o

escoamento ao redor de um corpo (semi-infinito) num escoamento uniforme. Como a linha de

corrente bv continua até r e que as duas partes 0 e 2 , não se unem, o

corpo será aberto.

Com a função de corrente (ou a função potencial de velocidade) conhecida, pode-

se conhecer o escoamento em todos os pontos (velocidade e pressão).

A velocidade V pode ser calculada a partir de 2 2 2

r

r

V v v1 1 q qv vr.cos v.cosr r 2 2 r

v v.senr

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João Roberto Barbosa 210

2

22 2 2r

22 2 2 2

22

qV v v v.cos v.sen2 r

q qv .cos 2 v.cos v .sen2 r 2 r

q qv 2v cos2 r 2 r

Como qb2 v

, 2

2 2 2 b vV v 2v cos br r

e, então,

22 2 b bV v 1 2 cos r 0, 0 2

r r

(A)

Com a velocidade determinada por (A) pode-se calcular a pressão estática P,

através da equação de Bernoulli, pois o escoamento é potencial:

2 21 1 1

1P P v V z z g2

, em que 1 é o índice que indica um ponto em

que as características do fluido são conhecidas. No caso, o ponto 1 adequado seria aquele

longe da fonte, onde o escoamento não estivesse perturbado pelo escoamento da fonte:

infinito a montante.

A figura abaixo foi obtida de cálculos utilizando as expressões desenvolvidas

acima.

-0,8

-0,3

0,2

0,7

-0,8 -0,3 0,2 0,7

Linhas de corrente para uma fonte colocada em um escoamento uniforme

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João Roberto Barbosa 211

Um exemplo em que se pode utilizar essas informações idealizadas é o seguinte:

A forma de um morro pode ser aproximada pela seção superior do corpo definido pelo

escoamento fonte-uniforme. A altura do morro é 68 m. Quando um vento de 80 km/h sopra

atrvés do morro, qual a velocidade no ponto 2 indicado na figura abaixo? Qual a altitude do

ponto 2? Qual a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2? Admitir que a densidade do ar é

3kg1,25m

, constante.

Solução: h=68= 68b b

.

1) 2

2 2 b bV v 1 2 cosr r

.

Em 2, 2

e como bb b2rsen 2sen

2

,

22 2 2

2

2 2

2 2 4V v 1 2 cos v 12

4 4V 1 v 1 80 1,1855x80 94,8 km / h

2) A elevação é 2 268x x b 34 m

2 2 2

3) A diferença de pressão é

2 22 1 1 2 1

2 2

1P P V v z z g21 x1,25x(94,8 80 ) 1,25x9,8605x(34 0) 1616,9 416,9 2033,8 Pa2

Portanto, a pressão em 2 é ”ligeiramente” menor do que a em 1.

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João Roberto Barbosa 212

4) A máxima velocidade do vento não ocorre em 2. Onde ocorre?

5.5.2 - Fonte e sumidouro colocados num escoamento

uniforme - Ovais de Rankine

Resultado da associação de uma fonte e um sumidouro colocados num

escoamento uniforme.

Combinando-se uma fonte e um sumidouro de mesmas intensidades pode-se

chegar a um corpo fechado, semelhantemente ao desenvolvido anteriormente.

Sejam, então, as funções corrente e potencial de velocidade aplicáveis ao caso:

11 2 2 2

q q 2ar.sevy nvr.sen tgr a2 2

e

1 2qvr.cos ln r ln

2r

A velocidade num ponto P qualquer é calculada a partir de

2 2 2rV v v r

1vr

e vr

Para calcular as derivadas de r, deve-se levar em conta que, para

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João Roberto Barbosa 213

1

' 2

' ' '

2 2 2

F tg f r , f r tg F

f r dr sec F dF

f r f r f rdFdr sec F 1 tg F 1 f r

Assim,

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 22 2

2 2

2a.sen r a 2ar.sen 2rd 2ar.senq qdr r a r av.sen v.sen

r 2 22ar.sen 2ar.sen1 1r a r a

2a.sen r a 2rq r av.sen

r 2 r a 2ar.sen

r a

2 2 2

2 22 2

2a.sen r a 2rqv.senr 2 r a 2ar.sen

E, portanto,

2 2

2 22 2

qa r av v.sen senr a 2ar.sen

Também,

2 2

2

22 2

2 2

2 22 2

22 2

2 2

2 22 2

d 2ar.senq d r avr.cos

22ar.sen1r a

2ar.cosq r avr.cos

2 r a 2ar.sen

r a

r.cos r aqavr.cosr a 2ar.sen

e

2 2

r 2 22 2

r a1 qav v.cos cosr r a 2ar.sen

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João Roberto Barbosa 214

Segue-se que, se 2 2 2rV v v , então

2 `22 22 2

22 22 22 2 2 2

r aqa r a qaV v.sen sen v.cos cosr a 2ar.sen r a 2ar.sen

222 22 2 2

2 2 2 2 22 22 22 2 2 2

22 2 2 22

2 2 2 22 22 22 2 2 2

r aqa r a qaV v .sen sen 2v senr a 2ar.sen r a 2ar.sen

r a r aqa qav cos cos 2v cosr a 2ar.sen r a 2ar.sen

2 2 2 2 4 2 2 2 2 422 2

2 22 22 2 22 2

r sen cos a r 2a r sen cos aqa qaV v 2vr a 2ar.sen r a 2ar.sen

O ponto de estagnação é encontrado a partir da imposição V=0 e, portanto,

2 2 2 2 4 2 2 2 2 422

2 22 22 2 22 2

r sen cos a r 2a r sen cos aqa qa0 v 2vr a 2ar.sen r a 2ar.sen

Por inspeção do escoamento, o valor do ângulo que pode satisfazer esta

equação será 0 ou .

Para 0 :

22 2 4 2 2 42

2 42 2 2 2

qa r a qa r 2a r a0 v 2vr a r a

.

Como

22 22 22 2 4 2 2 4 2 22 2

2 4 2 42 2 2 2 2 2 2 2

22 2

2 2 2 2

r aqa r a qa r 2a r a qa r a qa0 v 2v v 2vr a r a r a r a

qa 1 qa 1 qa0 v v 0 r avr a r a

e

2 qar a lv

.

A linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação é obtida a partir de

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João Roberto Barbosa 215

12 2

12 2 2

q 2ar.cosvr.sen tg our a

q 2ayvy

2

2tg

x y a

Como 0 , r.sen 0 y 0 0 .

Então

12 2 2

q 2ayvy tg 0x y2 a

é a equação da curva que passa pelo ponto de

estagnação.

O eixo vertical da oval é calculado fazendo-se x=0 e 2

na curva 0 :

1 12 2 2 2 2x 0

2

2 2

q 2ay q 2ay0 vy tg vy tg 0x y a y a

2 vy 2aytgq y a

2 2

Pondo y=h: 22 2

2 2y a 2 vh 2ay h 1 h 2 va hh tg 1 tg

2a q a 2 a q ay a

NOTA: ha

deve ser calculado iterativamente. Depende apenas de vaq

!

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João Roberto Barbosa 216

Tanto h como l dependem do parâmetro adimensional qva

. Combinando-se

q, v e a podem-se obter corpos de diferentes tamanhos e razões de aspectos hl

(esbeltez).

corpos corposqfinos rombudosva

Nota:

Após o ponto em que se tem a máxima espessura ( máxh ) a pressão na

superfície sólida aumenta, até atingir o valor da pressão de estagnação (em x=l,

y=0). Essa condição de aumento de pressão na direção do escoamento é

chamada de gradiente adverso de pressão.

Gradiente adverso de pressão geralmente leva à separação do escoamento

(viscoso) da superfície, resulando numa esteira de pressão baixa, após o corpo.

Separação não é predita no escoamento potencial pois este indica que as linhas

de corrente são simétricas (em relação a y). Portanto, solução potencial para as

ovais de Rankine só dá aproximação razoável da velocidade fora da camada

limite; e da pressão apenas na parte anterior das ovais.

5.5.3 - Dipolo num escoamento uniforme (escoamento ao

redor de um cilindro)

Considerndo-se a composição de um escoamento uniforme com um dipolo (fonte

e sumidouro localzados no mesmo ponto) obtém-se um caso especial de oval de Rankine. A

aproximação da fonte ao sumidouro acarreta a transformação de uma oval numa

circunferência.

As equações das funções de corrente e potencial de velocidades aplicáveis são:

Kvr.sen senr

e

Kvr.cos cosr

Fazendo-se =const e r=a tem-se a função corrente para um escoamento ao redor

de um cilindro de raio a.

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João Roberto Barbosa 217

2

2

Kv r.sen senrr.sen 0

0 Kv 0r

Portanto 2Kv 0r

dá 2K va e 2 2a av v r.sen vr 1 sen

r r

, ou

2

2

avr 1 senr

avr 1 cosr

O cálculo da velocidade do escoamento, V, na superfície do cilindro, pode ser

feito como no caso das ovais de Rankine e, daí, calculando-se o limite

2 2

a 0qa constl a 0

qal Rv

lim

.

Neste caso, na superfície do ciliidro:

2

2 2cil 2 4

2 2 4 22 2cil 2 4

2 2 2 2cil

2 2 2 2 2 2cil

qaqa

V v 2v.cos 2R R

R v R vV v 2cos 2R R

V v 2cos 2 v v

V 2v 2cos 2 v 2v 1 cos 2 2v 2sen

cilV 2vsen .

De um modo geral, para o escoamento ao redor do ciliindro:

2 2 2 2 42 2cil 2 222 2

r sen cosqa qa rV v 2vr r

, o que dá

2

2 2 2 2cil 2 4

qa qa 1V v 2v sen cosr r

ou

2 2 22

cil 2 4

v sen cosqa qa 1V v 2r r

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João Roberto Barbosa 218

2

r 2

2

2

1 av v 1 cosr r r

1 av v 1 senr r r

Na superfície do cilindro, r = a e

s

s

rv 0

v 2v.sen

No “topo” do cilindro, 2 e

s,T

s,T

rv 0

v 2v.sen 2v2

Note-se que as funções e precisam ser alteradas (sinal!) papra que o

modelo possa representar o escoamento da esquerda para a direita, como indicado na figura.

Vê-se que o valor da velocidade no topo do cilindro é 2 vezes o valor da velocidade do

escoamento uniforme!

A distribuição de pressão é calculada utilizando-se a equação de Bernoulli e as

condições em um ponto do escoamento não perturbado: 0 0P , e v :

s

2 20

1 1P v gz P v gz2 2

2 20 0

1P P v 1 4sen g z z2

A força que o escoamento exerce no cilindro, por unidade de comprimento do

cilindro, pode ser obtida pela integração da pressão ao longo da superfície do cilindro:

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João Roberto Barbosa 219

2

x s

02

y s

0

F P cos .Rd (arrasto)

F P sen .Rd (sustentação)

2 22 2

x s 0

0 0

1F P cos .Rd P v 1 4sen R cos d2

22 2

x 0

0

1F P v 1 4sen R cos d2

2 22 2 2

x 0

0 0

1F R P v R cos d 2R v sen cos d 0 0 02

yF 0 analogamente.

Logo, na teoria potencial, tanto o arrasto como a sustentação são nulos quando o

cilindro está imerso num escoamento uniforme, pois a distribuição de pressão é simétrica em

relação a x e a y!

A experiência diz, entretanto, que o arrasto e diferente de zero nesse caso. Essa

discrepância é conhecida como paradoxo de D”Alembert e é causada por não se considerar os

efeitos de viscosidade, que impedem a recuperação de pressão a jusante.

A velocidade na superfície do cilindro poderia também ter sido calculada a partir

de:

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João Roberto Barbosa 220

2

r 2

2

2

2 2 2r

av v 1 cosr

av v 1 senr

V v v

2 22 2

2 2 22 2

a aV v 1 cos v 1 senr r

2 22 2

2 2 2 22 2

a aV v 1 cos 1 sen v 4senr r

para r=a na

superfície do cilindro.

Daí, escolhendo-se a raiz positiva, dada a necessidade designificado físico,

sV 2vsen v

A velocidade máxima será máxV 2v quando sen 1 , ou seja, quando 2

.

5.5.4 - Escoamento ao redor de um cilindro com circulação

2

0 2

sentidohorário

a rv y 1 ln2 ar

1) Quando =0 recai-se no caso do cilindro sem circulação e os pontos de

estagnação estão em –a e +a.

2) Para 0 :

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João Roberto Barbosa 221

2

r 0 2

2

0 2

1 av v 1 cosr r

av v 1 senr 2 rr

Na superfície do cilindro, r = a e

s

s

rv 0

v 2v.sen2 a

O ponto de estagnação é calculado impondo-se v=0, isto é, s

v 0 , ou seja,

2v.sen 02 a

, ou 0

sen4 av

Se 2* 2 *ysen x a y

r no ponto de estagnação.

2** * 2

0 0 0

y y e x aa 4 av 4 v 4 v

(I)

Se aumenta, o ponto de estagnação move-se para baixo, pois *

0y

4 v

, até

que *y a (o radicando deve ser, no mínimo, 0). Neste caso, os 2 pontos de estagnação

coincidirão.

Se a circulação for tal que 2

2

0a

4 v

, a equação (I) não mais se aplica, pois o

ponto de estagnação deixa o cilindro.

As figuras seguintes mostram algumas soluções possíveis, para valores fixados da

circulação.

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João Roberto Barbosa 223

Escoamento potencial complexo 2-D 5.6 -

Sejam as curvas x, y que representam as linhas de corrente num

escoamento 2-D. Se const têm-se as curvas y y x, const no plano xy.

é um vetor perpendicular à direção das linhas de corrente x, y const .

Logo, v 0 pois v é tangente à linha de corrente.

No escoamento potencial, v e, portanto, 0 , o que indica que as

curvas e iguais a constantessão perpendiculares (orrogonais) no ponto considerado.

x, y C são as curvas equipotenciais do escoamento 2-D potencial.

x, y K são as linhas de corrente do escoamento 2-D potencial.

São ortogonais entre si, porque:

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João Roberto Barbosa 224

1 2

1 2

1 21 2

ds dxe dyeds ds

dye dxen vetor normal à curva ABds

dye dxen ds dxe dye 0ds

O elemento de fluxo de massa que atravessa o canal formado pelas linhas de

corrente e d , através da superfície dA b.ds , é dada por:

x 1 y 2 1 2

x y

dm v dA v ndA v nb.ds

v e v e dye dxe b

v dy v dx b

Pondo dmdQb

e x ydQ v dy v dx (vazão volumétrica)

Por outro lado, d dx dy 0x y

para a linha de corrente considerada.

A equação dessa linha de corrente é dada por y xx y

dx dy ou v dx v dy 0v v

Então, y xv e vx y

e, portanto, dQ dy dx d

y x

.

Segue-se que d

2 1Q d

, isto é, a diferença entre os valores

numéricos da função que passa por 2 pontos reprsenta a vazão volumétrica que passa entre

essas duas linhas de corrente, por unidade de altura do canal que elas determinam.

A circulação do campo de velocidades é calculada por B

A

v dr .

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João Roberto Barbosa 225

Para escoamento potencial, v e, daí, B B

B A

A A

dr d .

independe da trajetória utilizada para chegar de A a B!

Ainda, x

y

vx y

vy x

.

Para escoamento potencial e incompressível, v 0 e, portanto, 2 0 .

Também, 2 0 .

Neste caso, e são funções harmônicas conjugadas, podendo ser construída

uma função complexa com elas:

W i W x, y W z .

W é uma função analítica por construção, pois e satisfazem as condições de

Cauchy-Riemann. Então,

'

'

dWW (z) idz x x

dW 1W (z) idz i y y y y

x y

y x

Também,

W Wx y W z W zdet 0 0z z x y y xx y

i i 0x x y y

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João Roberto Barbosa 226

x y

y x

A função W i W x, y W z é denominada Potencial Complexo.

'dW W (z) i idz x x y y

.

Note-se que, também, a função potencial poderia ter sido definida por

x yv e vx y

.

No contexto que segue, o sinal – não será considerado, para facilidade de notação, apenas.

Logo, x y x ydW v iv v iv vdz

, com x yv v iv . Segue-se que 'W v ¨,

conjugado da velocidade

Segue-se, então, que dWvdz

¨.

Sevando-se em conta essa construção auxiliar, podem-se representar diversos

escoamentos potenciais 2-D de interesse, através da função W.

5.6.1 - Escoamento paralelo uniforme

Seja um escoamento uniforme, direcionado por um ângulo em relação ao eixo

x.

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João Roberto Barbosa 227

0

x 0

y 0

v v constv v cosv v sen

Quer-se determinar W, e .

Solução:

x 0

y 0

v v cosx y

v v seny x

De 0 0v cos v cos x F(y)x

De

0

0 0

0 0

0 0 0

v seny

v cos x F(y) v seny

F(y) v sen F(y) v ysen Cy

v cos x v sen y v x cos ysen

ou 0v x cos ysen .

Analogamente, de 0v cosy

obtém-se: 0v xsen ycos .

Segue-se, então, que

0

0

0 0

W i v x cos isen y sen i cos

W v cos x iy isen x iy

W v z cos zisen v z cos isen

Portanto, i0W v ze

Esta mesma expressão poderia ter sido obtida levando-se em conta que

ix y 0 0

dW v iv v cos isen v edz

e i0

dWW dz v zedz

Têm-se, então:

1) Conhecida a função W i , as componentes xv e yv da velocidade do

escoamento potencial associado pode ser calculadas de x ydW v ivdz

.

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João Roberto Barbosa 228

2) W i é uma função complexa. De 1 2z z W x , ix ,

(função inversa), com z uma função analítica de W, podem-se obter as linhas

de corrente e equipoenciais e , respectivamente.

De fato, de 1 1 2 2x x , x x , , pode-se eliminar e obter-se

1 1 2F (x , x , ) e, daí, obter-se 1 2(x ,x ) .

Conhecida a função , pode-se obter , de uma das duas equações:

1 1 2 2x x , e x x , .

Fazendo´se =const e =const obtêm-se as equipotenciais e as linhas de

corrente associadas à função analítica W. A função W pode estar associada a algum

escoamento potencial de interesse.

3) O problema inverso – dado o escoamento, achar W z - é mais difícil de ser

resolvido. Neste curso não será tratado em pormenores.

4) As linhas de corrente e equipotenciais podem ser intercambiadas para a

obtenção de outro problema de escoamento.

5) Qualquer linha de corrente pode ser substituída por uma superfície sólida (não

há aderência do escoamento a superfícies sólidas).

5.6.2 - Exemplo 1 – Função Direta

Seja 2

0RW z v zz

, uma função analítica em z 0 .

Partes real e imaginária de W

22

0 0 2 2

2 2

0 02 2 2 2

R x iyRW z v x iy v x iyx iy x y

xR yRW z v x iv yx y x y

Logo

2

0 2 2Rx, y v x 1

x y

e

2

0 2 2Rx, y v y 1

x y

.

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João Roberto Barbosa 229

Curvas =const

2

0 2 2Rv y 1 K

x y

.

Para K=0,

22 2 2

2 2R1 0 x y R (cilindro)

x y

.

As componentes da velocidade

2 2

0 02 2i

dW R Rv 1 v 1dz z re

22

0 02 2R cos 2 isen2dW Rv 1 v 1

dz r cos 2 isen2 r

2 2

0 02 2dW R Rv 1 cos 2 iv sen2dz r r

2

x 0Rv v 1 cos 2r

e 2

y 0Rv v sen2r

.

2 22 22 2 2 2 2

x y 0 0

2 4 42 2 2 2

0

2 42 2

0

R RV v v v 1 cos 2 v sen2r r

R R RV v 1 2 cos 2 cos 2 sen 2r r r

R RV v 1 2 cos 2r r

2 4

0R RV v 1 2 cos 2r r

Na superfície do cilindro, r=R e, então:

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João Roberto Barbosa 230

superf 0 0

2 2 2superf 0 0 0

2superf 0

V v 1 2cos 2 1 v 2 1 cos 2

V v 2 1 2cos 1 v 2 2 2cos v 4 1 cos

V v 4sen

ou, finalmente, superf 0V 2v sen .

A distribuição de pressão pode ser obtida a partir da equação de Bernoulli,

conhecidas as condições em um ponto qualquer do escoamento.

1 0

2 21 0 1 0 1 0

E E1P P V V g z z2

21 0 1 0

1P P 4sen 1 g z z2

(vê-se que P é simétrica em relação a x e a

y!)

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João Roberto Barbosa 231

5.6.3 - Exemplo 2 – Função Inversa

Seja 0

Wibv

0

W bz i ev

(pode-se partir da forma geral e se chegar a esta expressão,

que foi assumida como já conhecida).

Então 0

Wibv

0

Wz i eb bv

. Pondo Z z

b

tem-se iAZ iA e .

Fazendo iiA i Z i e ou

Z i e cos isen

X Y

Z e cos i e sen X iY

Para se visualizarem as curvas const , um procedimento é o seguinte:

Curva 0

X e cos e X

Y e sen 0 e sen0 0

Portanto a reta Y=0 é a linha de corrente 0 .

Curva e

X e cos e X 1

Y e sen e sen

Analisando-se a curva Y vê-se que, para , X e que X atinge o

máximo em 0 . Logo, a curva começa em X , vai até X=-1 e “volta” para X .

A figura dá uma idéia da forma dessas linhas de corrente.

As curvas 0 , e foram obtidas com relativafacilidade, o que

não acontece com outros valores de .

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João Roberto Barbosa 232

Pode-se associar essa função com o escoamento à entrada de um duto (ou canal)

semi-infinito.

Nota a respeito do Escoamento Potencial (complexo ou não)

Viu-se que é possível utilizar a superposição de escoamentos básicos para se

obterem informações completas do escoamento irrotacional ao redor de alguns corpos de

interesse, imersos num escoamento uniforme.

Nos casos considerados, 2 escoamentos “báscos”, potenciais, foram combinados

para depois ser feita a pergunta: o que estarão representando? (em termos de escoamento).

É uma técnica relativamente simples, sem requer muita matemática, mas não tem

aplicação geral porque não permite a especificação da geometria do corpo e, dela, a

determinação da velocidade ao seu redor.

O problema de interesse prático – dar a geometria e calcular a velocidade ao redor

do corpo – é um provlema um pouco mais difícil.

É possível a extensão desse conceito fundamentl de superposição, considerando-

se que uma distribuição de fontes, sumidouros e/ou dipolos que, quando combinados com um

escoamento uniforme, podem representar o escoamento potencial ao redor de um corpo de

forma arbitrária (como a especificada, por exempo). Em particular, para o caso 2-D, o

escoamento potencial complexo é muito efetivo e bastante utilizado para a obtenção de

solução de muitos problemas de interesse prático, como o escoamento ao redor de aerofólios

isolados ou em grades de aerofólios.

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João Roberto Barbosa 233

Transformação conforme e o escoamento ao redor de 5.7 -

perfis aerodinâmicos – transformação de Joukovsky

5.7.1 - Mapeamento de um círculo num aerofólio simétrico

(2-D) – sem arqueamento

Seja W W x, y x, y i x, y a função potencial complexo.

Têm-se

x y

y xW WdW dx dyx y

Logo, dW i dx i dyx x y y

dW dx i dx dy i dyx x y y

dW dx i dy dy i dxx x y y

dW dx i dx dy i dyx y y x

dW dx idy dy idx dx idy i dx idyx y x y

dW i dx idyx y

dW i dx idyx x

ix ydW v iv dz com z re x iy (I)

A conveniência de utilizar-se o potencial complexo torna-se clara porque muitos

escoamentos de interesse podem ser modelados através de fórmulas bem simples.

Por exemplo:

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João Roberto Barbosa 234

Vórtice na origem: W i ln z2

Fonte na origem: KW ln z2

Dipolo na origem, com eixo sobre o eixo x: KW2 z

Cilindro de raio R, centrado na origem, imerso num escoamento uniforme:

2

0RW v zz

Em geral, qualquer função complexa pode ser interpretada como uma função

potencial associada a algum escoamento ideal. Entretanto, do ponto de vista aerodinâmico são

de interesse as funções complexas do tipo 2

0RW v zz

. Esta transformação foi bastante

estudada por Nikolai Egorovich Joukowsky - Zhukovsky or Joukowski - (http://www-

groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Zhukovsky.html), que ficou bastante

conhecido por seus trabalhos em aerodinâmica, especialmente o aerofólio de Joukowski.

O escoamento ideal passando por um cilindro no plano z pode ser mapeado num

escoamento passando por um corpo de forma aerodinâmica no plano através de uma

transformação conforme (é uma função que preserva ângulos localmente) apropriada.

A transformação que mapeia um círculo onum aerofólio também mapeia o escoamento ao

redor desse aerofólio. Esse mapeamento envolve matemática mais simples que a utilizada no

cálculo direto.

Uma transformação conforme z :

1) A cada ponto no plano z faz corresponder um único ponto no plano .

2) Não muda a forma elementar das figuras (figuras mapeadas preservam a forma

da figura que está sendo mapeada), embora possam ter tamanho e orientação

alterados.

Neste estudo está-se interessado na transformação conforme que mapeia círculos

em z em aerofólioso em .

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João Roberto Barbosa 235

Do mesmo modo que em (I), as componentes da velocidade em , isto é,

1 2v e v

são dadas por:

1 2dW

v ivd

, onde W é o potencial complexo que descreve o escoamento

em .

1W f e 1 2W f f z f z W

1 2W f f z f z W

1 2df f zdW f z dz dW dzd d z d dz d

Então, z z1 2 1 2dzv iv v ivd

Uma transformação simples, de interesse, é 2bz

z (II)

O ponto iz x iy re , no plano z, é transformado no ponto no plano por

x iy em que

2

2

bx r cosr

by r senr

pois

2 2 2 2

i i

2 2

b b b bz re e r.cos ir.sen cos i senz r r r

b br cos i r senr r

Ainda, 2

2d b1dz z .

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João Roberto Barbosa 236

A transformação deixa de ser conforme de d 0dz , isto é, quando

2

2b1 0 z bz

.

Nas proximidades desses pontos a forma da figura mapeada é bastante afetada.

Isto pode ser visto ao se mapear um círculo de raio r=a centrado na origem do plano z.

Tem-se

2

2

ax r cosr

ay r senr

(III)

A circunferência desse círculo de raio a é mapeada em

circ

circ

2

2

ax a cos 2a cosa

ay a sen 0a

isto é, sobre o eixo real, ente os pontos -2ª e 2ª (placa plana).

A função potencial complexo será 2

z 0 0aW v z v Wz

pois

2azz

.

W corresponde a um escoamento paralelo à placa plana e na direção positiva de

x porque 1 0 2dW dWv Re v e v Im 0d d

.

Essa placa plana pode ser “aberta” em um aerofólio simétrico.

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João Roberto Barbosa 237

Coonsidere-se a transformação 2bz

z e tome-se por base a figura

Considerem-se uma das singularidades de (II) sobre a circunferência do circulo

em z (+b) e a outra (-b) no interior desse círculo. O centro do círculo (em ) fica deslocado

da distância MO no eixo x. Seja MO uma pequena fração de b, isto é, a b(1 ), 1 :

MO a b b(1 ) b b

Do triângulo OPM, 22 2a r a b 2r a b cos .

2 2 2 2

2 2

2 2 2

a r a 2ab b 2r bcos

0 r 2ab b 2r bcos

r 2b 1 2 b 2r bcos 0

A equação 2 2r b 1 2 2r bcos 0 , tem raizes

2 2 2 22 bcos 4 b cos 4b 1 2r

2

Fazendo-se a simplificação 0 na expressão do radicando

22 2 2 2 2 2 2 2

04 b cos 4b 1 2 4b 1 2 4b 1 2 4b 1

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João Roberto Barbosa 238

2 2 2 2

0 0

2 bcos 4 b cos 4b 1 2lim r r lim bcos b 1

2

e,

portanto,

r b 1 1 cos pois a raiz não é adequada, uma vez que r>0.

Assim, a solução é r b 1 1 cos para 1 . (IV)

que é a equação de uma circunferência de raio a no plano z se MO é da ordem de b, 1

Substituindo-se IV em III:

x 2bcos

y 2b 1 cos sen

que são as equações paramétricas da circunferência de raio a, com z mapeado em .

As equações descrevem um aerofólio simétrico em .

Tem-se 0 x 2b

0x 2b

A corda será c x 0 x 2b ( 2b) 4b

c 4b

A espessura máxima do aerofólio pode ser obtida de dy

0d

, isto é,

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João Roberto Barbosa 239

2 2

2

dy d 2b 1 cos sen 2b 1 cos cos sen sen 0d d

cos cos sen 0

cos 2cos 1 01 não serve

1 1 8 1 3cos 12x2 42

A solução será máx

1 2cos y máx 2b 1 cos sen2 3

máx

máx

máx

1 3y 2b 12 2

3 3y b2

c 3 3 3 3y c4 2 8

A espessura máxima do aerofólio será máxmáx

3 3t 2y c4 , que é proporcional a

.

Para 0,1 máxt 3 3 x0,1 0,129904

1c

4 0, 3 (valor que geralmente não é

excedido nos casos práticos).

máx

2 1x 2bcos 2b b3 2

Como

2

2

2

d b1dz z

bzz

e x iy ,

2

2

ax r cosr

ay r senr

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João Roberto Barbosa 240

r b 1 1 cos .

Para

r=a, 2 22 2 2 2

0a b 1 1 cos b 1 2 1 cos 1 cos

e

2 2a b 1 2 1 cos e, então,

22

0b 1 2 1 cos

v r senr

22

0b 1 2 1 cos

v r cosr

As velocidades * *rv e v podem ser obtidas a partir das derivadas de e de ,

na superfície do cilindro no plano z: 2

* 20r 2

2 v bv senr

*0v 2v sen .

e, portanto,

2* * * 21 r 0 2

2* * * 21 r 0 2

bv v cos v sen 2v 1 cos senr

bv v sen v cos 2v cos sen senr

Como

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João Roberto Barbosa 241

* * * * *1 2 1 2 2

2

* * *1 2 2

2

dz 1v u iv v iv v ivd b1

z1v v iv

b1 cos 2 isen2r

* *1 1 2 2

2 21 2* *

1 1 2 22 21 2

2

1 2

2

2 2

h v h vuh h

h v h vvh h

com

bh 1 cos 2r

bh sen2r

Na superfície do aerofólio:

*1

*2

h 1 1 2 1 cos cos 2

h 1 2 1 cos sen2

A distribuição de pressão será:

2 2* **

022 00

u vP P 11 vv2

(VI)

Foram feitos diversos ensaios de aerofólios simétricos semelhantes ao ora

modelado e os resultados das medições de *

0

20

P P1 v2

comparados com os calculados por (VI),

com excelente concordância para uma grande faixa de variação da corda proporcional ( xc

) e

valores do número de Reynolds usualmente encontados em escoamentos ao longo de

aerofólios de interesse.

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A figura abaixo representa um aerofólio arqueado, cujas coordenadas foram

calculadas utilizando-se as expressões desenvolvidas conforme o esquema

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5.7.2 - Mapeamento de um círculo num aerofólio (2-D) –

com arqueamento

Existem diversos procedimentos para se calcularem as coordenadas de um perfil

de Joukowsky. O utilizado para traçar o perfil mostrado na figura é o seguinte:

a) O centro da circunferência deslocado da origem do sistema de coordenadas cartezianas

ortonormal é dado por X cos R cosY sen Rsen

, sendo a distância do centro da

circunferência deslocada, posicionada a um ângulo contado a partir do eixo X.

b) O raio da circunferência é R e o ângulo utilizado para descrevê-lo é .

c) A transformação utilizada foi 2bW z i

z , com z X iY

d) Então, 2 2 2

2 2 2 2b b bW X iY X 1 iY 1

X iY X Y X Y

e) Finalmente,

2

2 2

2

2 2

bx X 1X Y

by Y 1X Y

Observar que é preciso procurar uma combinação de valores desses “parâmetros

de entrada” para se chegar ao perfil na forma apresentada. No caso, foram fixados: R=1,

0,3 , b=1 e o80 e utilizada uma planilha eletrônica para os cálculos, com variação de

de 5o em 5o.

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

-2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00

Perfil de Joukowsky

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5.7.3 - Mapeamento de um círculo num aerofólio (2-D) –

com arqueamento e sustentação, levando em conta incidência e

espessura do aerofólio

Para a solução deste problema o método da construção de uma função analítica

apropriada será utilizado, passando-se pela identificação de suas partes: 1) escoamento

uniforme com dipolo e circulação, 2) espessura do aerofólio e arqueamento, 3) aplicação da

transformação de Joukovsky.

1) Para o escoamento complexo inicial, sejam '' '' ''z x iy e

2 ''

'' ''0 ''

ùniformedipolo circulação

a zf z v z i ln2 az

a representação de um escoamento uniforme,

paralelo ao eixo real, com velocidade 0v e com circulação .

Para se levar em conta a incidência do escoamento com ângulo , sejam ' '' iz z e e

2 i ' i

' ' i0

a e z ef z v z e i lnz ' 2 a

i2 i0i

0 00

z z ea ef z v z z e i lnz z 2 a

ou

i2 i

0i0

0 0

f z z z ea ez z e i lnv z z 2 a

2) Para levar em conta a espessura do aerofólio e o arqueamento, sejam ' i

0 0z z z z x iy z b a e

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João Roberto Barbosa 245

Notar que 0Re(z ) controla a espessura do perfil e 0Im(z ) controla o

arqueamento do perfil.

3) Para a transformação de Joukovsky seja 2b z bz

z b b z

Observções:

1) o bordo de fuga fica localizado em 2b , pois fazendo

b bz b 2 2bb b b

,

2) ' i i0z bz z z b b ae ae

3) i'' ' i i iz z e ae e ae

4) A superfície do aerofólio no plano z é um círculo dado por

i iz a1 e e 2b b

5) e 2 correspondem ao bordo de fuga

6) No plano o perfil de Joukovsky fica:

i i

i i

a 11 e e 2ab b 1 e eb

7) Os parâmetros que dão forma ao perfil são ab

e , com a 1 espessurab e

(arqueamento básico).

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João Roberto Barbosa 246

Para explorar influência de parâmetros diversos, pode-se uar o Mathematica para

plotar algumas figuras, como as colocadas abaixo.

(* perfil de Joulowsky - expressão indicada em 6) acima,

Para alguns valores do ângulo teta *)

a = 1.1 (* espessura *);

b = 1.0 (* 2*corda *);

teta = -Pi/16 (* arqueamento; -beta < teta < 2*PI-beta*);

eit = Cos[teta] + I Sin[teta];

eib = Cos[beta] - I Sin[beta];

h = (1 - a/b*(eit - eib) + 1/(1 - a/b*(eit - eib)));

ParametricPlot[{Re[h], Im[h]}, {beta, -Pi, Pi}]]

/ 24

/16

/10

(* Perfil de Joukowsky *)

(* variação do parâmetro b *)

teta=-Pi/16;

eit=Cos[teta]+I Sin[teta];

2 1 1 2

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

2 1 1 2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

2 1 1 2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

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João Roberto Barbosa 247

eib=Cos[beta]-I Sin[beta];

h=(1-a/b*(eit-eib)+1/(1-a/b*(eit-eib)));

ComplexExpand[Re[h]]

ComplexExpand[Im[h]]

a=1.1;

teta=-Pi/2;

ParametricPlot[{Re[h],Im[h]},{beta,-Pi,Pi},{b,0.8,1.05}]

A velocidade v v iv no plano é '' '

'' 'df df dz dz dzv v ivd dz ddz dz

.

Realizando as operações indicadas, chega-se a:

2i

0 2 '' 2''

2

df a 1v v iv v 1 i ed 2 z bz 1

z

Nota importante: quando se aproxima do bordo de fuga (z = b), v porque a

superfície é muito fina!

Ainda que este enfoque seja escoamento potencial, interessa aproximar o

resultado obtido do que acontece na realidade. Uma possibilidade é aplicar a condição de

Kutta, para que a velocidade do escoamento seja finita no bordo de fuga, que requer que o

envolvido pelo primeiro colchete seja nulo (o segundo é infinito...):

2

0 2 ''''

av 1 i 02 zz

. Mas, no bordo de fuga, isto é, em em z=b tem-se

i''z ae , que implica em

04 v a sen .

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João Roberto Barbosa 248

Logo, só existe um único valor de para o qual a condição de Kutta é válida e o

escoamento possa ser considerado como deixando o bordo de fuga suavemente.

A sustentação produzida por esse aerofólio é 0F v , na direção

perpendicular à direção de 0v :

20F 4 v a sen

O coeficiente de sustentação do aerofólio, definido por F20

FC 1 cv2

, em que a

relação ca

deve ter um valor pouco acima de 4, fica

F1C 8 senca

A velocidde na superfície do aerofólio pode ser calculada a partir de 2 2 20v v v ,

componentes estas que podem ser obtidas a partir da expressão da velocidade v:

2 2 20 2

1v v v 2v sen sen zbzz

, com

i iz a1 e e 2b b

O coeficiente de pressão é definido por 0 0P

2t0 00

P P P PC 1P P v2

. Para escoamento

potencial, para o que vale a equação de Bernoulli

2 20

0 0P

2 2t0 00 0

1 v vP P P P 2C 1 1P P v v2 2

, isto é, 2

P0

vC 1v

. Assim,

2

0 2

2

P 2 20 0

12v sen sen zbzzvC 1 1

v v

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João Roberto Barbosa 249

2

P 21C 1 4 sen sen zbzz

com i iz a1 e e 2b b

Se o valor de 04 v a sen for substituído na expressão

i2 i0i

0 00

z z ea ef z v z z e i lnz z 2 a

obtem-se

i2 i0 0i

0 00

4 v a sen z z ea ef z v z z e i lnz z 2 a

Devem ser separadas a parte real e a parte imaginária de

i2 i

0i0 0

0 0

z z ef (z) a ez z e 2v a sen lnv z z a

, isto é, a

função potencial de velocidade será

i2 i

0i0

0 0

z z ea eReal z z e 2a sen lnv z z a

(para qualquer z)

Na superfície do aerofólio, onde i iz a1 e e 2b b

,

A função potencial de velocidade na superfície do aerofólio será:

0 superf

2a cos sen 2v b

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João Roberto Barbosa 250

6 - CAMADA LIMITE

Introdução 6.1 -

Algumas figuras são apresentadas a seguir, com o intuito de mostrar,

esquematicamente, o que acontece com o escoamento que se aproxima de uma superfície

sólida, em especial a placa plana. Ainda que seja apenas em caráter ilustrativo, algumas

informações qualitativas podem ser obtidas e vão ajudar a sistematização do estudo da

camada limite, ainda que se trate de um caso bastante simples.

Escoamento permanente, viscoso, ao longo de uma placa plana paralela à direção do

escoamento a montante - (a) número de Reynolds baixo

Escoamento permanente, viscoso, ao longo de uma placa plana paralela à direção do

escoamento a montante - (b) número de Reynolds moderado

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João Roberto Barbosa 251

Escoamento permanente, viscoso, ao longo de uma placa plana paralela à direção do

escoamento a montante - (c) numero de Reynolds elevado

Distorção de uma partícula que escoa dentro da camada limite

Escoamento permanente, viscoso, ao redor de um cilindro circular

(a)Número de Reynolds baixo

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João Roberto Barbosa 252

Escoamento permanente, viscoso, ao redor de um cilindro circular

(b) número de Reynolds moderado

Escoamento permanente, viscoso, ao redor de um cilindro circular

(c) número de Reynolds elevado

O estudo feito anteriormente não levou em conta a ação daviscosidade do flido.

Alguns resultadosobtidos têm interesse prático, uma vez que permitem a previsão do

comportamento do escoamento e, em alguns casos, oferecem até valores quantitaviamente

corretos. Entretanto, como no caso do Paradoxo de D”Alember, as conclusões tiradas do

modelo não-viscoso são completamente errados. Enquanto que a teoria previu arrasto e

sustentação nulos no caso de escoamento ao redor de um cilindro, a experiência mosta que

existe arrasto não nulo, independentemente do fluido considerado.

É necessário, portanto, que os efeitos da viscosidade sejam levados em

consideração. Um modo de se tratar desse problema é decorrente da observação de que os

efeitos viscosos aparecem apenas em regiões próximas de uma parede sólida, que provoca o

aparecimento de gradientes de velocidades do escoamento: a teoria da camada limite.

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João Roberto Barbosa 253

A teoria é construída a partir da observação do que ocorre com o escoamento

sobre uma placa plana. Observa-seque, em certas ocasiões (ou em certos escoamentos),

fluidos que possuem viscosidade “pequena”, como ar e água, podem ser considerados como

não-viscosos em grandes regiões do escoamento onde as velocidades são “elevadas”. Um

exemplo disso é o escoamento ao redor de corpos com formato aerodinâmico. Pode-se, então,

calcular a distribuição de pressão sobre o corpo a partir do escoamento não viscoso

(invíscido) no limiteda camada “fina” que envolve o corpo e, daí, o escoamento viscoso nessa

camada fina.

Um exame qualitativo do escoamento sobre uma placa plana revela:

A região laminar começa no bordo de ataque da placa plana

Existe uma região de transição em que o escoamento não é laminar nem

turbulento, caractrizada pelo espessamento brusco da camada limite

A transição entre as camadas não é brusca

A camada limite é “fina”, mas é de vital importância na dinâmica dos fluidos.

O perfil de velocidades tem uma transição suave desde a parede sólica (v=0)

aaté o escoamento “principal”

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João Roberto Barbosa 254

Conceitos fundamentais 6.2 -

6.2.1 - Espessura da camada limite

Não existe uma demarcação facil que permita a medição da espessura da camada

limite, . Um procedimento geralmente aceito para a determinação de é marcar a posição

em que a velovidade do fluido esteja a 1% da velocidade “não perturbada”, isto é, 0v 0,99v .

É uma convenção!

Espessura de camada limite

(a) Espessura da camada limite padrão

(b) Espessura de deslocamento da camada limite

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João Roberto Barbosa 255

Características típicas de espessura de camada limite e tensão de cizalhamento na parede,

para camadas limites laminar e turbulenta.

Ar em escoamento num duto, com velocidade uniforme de cerca de 3 m/s,

forma uma camada limite nas paredes, conforme esquema abaixo. O fluido na região

central (fora da camada limite) se escoa como se fosse não viscoso. Através de cálculos,

pesquisadores mostraram que a espessura de deslocamento da camada limite pode ser

dada por * 0,00 x3865 . Calcular a velocidade U=U(x) do ar dentro do duto, fora da

camada limite.

6.2.2 - Espessura de deslocamento da camada limite

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João Roberto Barbosa 256

Define-se espessura de deslocamento da camada limite, * , como sendo a

distância que a parede sólida teria que se deslocar para dentro do escoamento se este fosse

imaginado como não-viscoso e a mesma vazão de massa fosse mantida em cada seção.

A diferença de vazão correspondente à área B indicada na figura, por unidade

de largura da placa, é dada por 0dm v b vb dy e a diferença de vazão na

camada limie será, então,

0 0 00y 0 y 0 y 0

vm b v v dy b v v dy bv 1 dyv

Essa variação de massa corresponde a uma altura * no escoamento: *m b .

Logo:

*0 0

0y 0

vm bv bv 1 dyv

e

*

0y 0

v1 dyv

Um ouutro conceito de espessura, relacionado à camada limite, é o de espessura

de quantidade de movimento, . Devido à diminuição da velocidade na camada limite, o

fluxo de quantidade de movimento numa seção “vertical” (1)-(2) é menor do que o fluxo de

quantidade de movimento nessa mesma seção se o escoamento fosse não-viscoso.

Essa diferença de quantidade de movimento pode ser calculada por:

2

20 0 0

0 01 y 0 y 0

v vq bv v v dA b v v v dy bv 1 dyv v

. Por outro

lado,

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João Roberto Barbosa 257

0 0q bv v , de que resulta 0 0y 0

v v1 dyv v

.

O conceito de espessura de quantidade de movimento é muito útil quando se quer

calcular o arrasto num corpo.

6.2.3 - Fator de forma

Define-se fator de forma, H, da camada limite pela relação *

H

.

Pode-se mostrar que, da equação de conservação da quantidade de movimento:

02

0 0

vd H 2dx v x v

e que, no caso de camada limite com pressão constante,

em que 0v 0x

, tem-se 2

0

ddx v

. Neste caso, 2 20 0

0 00

d d v vv v 1 dydx dx v v

.

6.2.4 - Espessura de energia da camada limite

Define-se analogamente espessura de energia da camada limite, e , por

2

e0 0y 0

v v1 dyv v

6.2.5 - Espessura de dissipação da camada limite

Define-se analogamente espessura de dissipação da camada limite, , por 12

0y 0

v dyy v

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João Roberto Barbosa 258

Camada Limite Laminar 2-D 6.3 -

Quando se quer analisar o aquecimento ou resfriamento por convecção

(resfriamento de um motor a pistão, de pás de turbinas a gás, de uma placa quente pela

passagem de ar por convecção, deve-se levar em conta que existe uma camada limite de

fluido e está origina uma camada limite térmica. Assim, o estudo da camada limite é

importante porque ela afeta o coeficiente de transferência de calor local e, portanto, afeta a

taxa global de transferência de calor. Também, o arrasto produzido pelo escoamento ao longo

de uma superfície depende de como varia a velocidade do escoamento nas proximidades dela.

Assim, a camada limite do fluido é de muito grande importância no estudo da aerodinâmica.

O projeto de pás de máquinas de fluxo (aerofólios), asas de avião, requer o conhecimento

profundo do escoamento na camada limite, a fim de se poder prever adequadamente onde e

quando aparecerá região turbulenta da camada limite, que deve ser evitada.

6.3.1 - Equações simplificadas da camada limite, para

escoamento laminar 2-D

Partindo-se das equações de Navier-Stokes Dv g PDt

, com

(2 D ( v)I) e, admitindo-se escoamento permanente, incompressível e forças de

campo desprezáveis, tem-se: 2

i ij

j i j j

v vPv i 1,2x x x x

.

A equação da continuidade correspondente será i

j

u 0x

.

Deseja-se simplificar essas equações levando-se em conta o fato de a camada

limite ser “fina”, isto é, 1

1x . Há diversas maneiras de se fazer essa simplificação. No

presente estudo serão avaliadas as ordens de grandeza de cada termo e desprezados aqueles

que são “pequenos” em relação aos demais termos de cada equação.

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João Roberto Barbosa 259

Em relação ao tempo, escolhe-se uma escala de medição tal que 0v , velocidade

do escoamento não perturbado, seja da mesma ordem de grandeza da posição 1x e, para esta,

uma escala de medição de ordem de grandeza unitária, O(1).

Ordem de grandeza das distâncias dentro da camada limmite:

1O( ), O( ) O(x ) O(1) .

Ordem de granzeda das velocidades e de suas derivadas, na camada limite: 2

1 12

1 12

1 12 2

2 2

2 1 2

2 1 22

2 22

2 22

2

12 2

221

v vO(1) O(1)x x

v v1 1O( ) O( )x xv v v O(1)x x x

v v O(1) 1O( )x x O( )x

v O( )x

v O( ) O( )O( )x

6.3.2 - Equações de Navier-Stokes para camada limite

Equação de Navier-Stokes na direção 1x

2 21 1 1 1

1 2 2 21 2 1 1 2

21

v v v vPv vx x x x x

1 P 1O(1).O(1) O( ).O( ) O(1). O( )x

Como 21O( ) O(1)

pode-se desprezar o termo de O(1) frente ao termo de

21O( )

.

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João Roberto Barbosa 260

Por outro lado, como os efeitos viscosos são importantes, o termo 21O( )

precisa

ser considerado e, portanto, deve ter a mesma ordem de grandeza das demais parcelas, O(1).

Assim, 22

1O( ) O(1) O( ) O( )

Equação de Navier-Stokes na direção 2x

2 22 2 2 2

1 2 2 21 2 2 1 2

2

2

3

2 desprezável

v v v vPv vx x x x x

P 1O(1) O(1).O( ) O( ).O(1) O( ) O( ). O( )x

PO( ) O( ) O( ) O( )x

Logo 2

P O( )x

se a tensão normal tiver que ser considerada importante.

2P O( ) dentro da camada limite. Isto permite que se despreze a variação de

P dentro da camada limite, ou seja, a pressão na superfície sólida é igual à pressão na fronteira

da camada limite. Desprezando-se a variação de P, na camada limite, na direção 2x , então P é

constante, na coordenada 1x , dentro da camada limite.

O valor de P na fronteira é o valor de P na interface camada limite-escoamento

não perturbado e pode ser calculado considerando-se escoamento potencial (fora da camada

limite).

Como 2v O( ) , 2v pode ser desprezada frente a 1v . Assim, as equações de

Navier-Stokes e conservação de massa para a camada limite 2_D ficam: 2 2

1 1 2 21 2 2 2

1 2 1 12 2

v v v vP Pv vx x x xx x

, isto é,

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21 1 1

1 2 21 2 1 2

1 2

1 2

v v vPv vx x x x (I)

v v 0x x

Número de Reynolds do escoamento não perturbado:

0

022

v xRe

O O v O x O 1 O 1 O 1 1O Re OO O

Segue-se que 1ORe

e

1

1Ox Re

. Logo, para uma posição 1x ,

quanto maior for o número de Reynolds (Re) menor será a espessura da camada limite (mais

fina)!

A solução do sistema (I) pode ser feitqa. Seguindo o desenvolvimento de Blasius,

considerando gradiente de pressão nulo na direção 1x , isto é, 1

P 0x

, resulta para o sistema

(I):

21 1 1

1 2 21 2 2

1 2

1 2

v v vv vx x x (II)

v v 0x x

Condições de contorno:

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1 1

2 1

1 1 0

2 1

v x ,0 0

v x ,0 0

v x , v

v x , 0

6.3.3 - Solução similar

Função de corrente

Introduzindo-se a função de corrente tem-se:

12

21

vx

vx

`

As equações (II) ficam: 2 2 2

2 22 1 2 1 2 2x x x x x x

, ou

2 2 2

2 22 1 2 1 2 2x x x x x x

(2)

Fazendo-se a mudança de variáveis 021 2

1

vxx , x2 x

(mais abaixo é mostrado

como se pode chegar a esta defnição) e admitindo-se que x, pode ser escrita na

forma 1 0x, x v f e como

2

' '0 01 02

2 2 12

v v1x v f fx x 2 x 2x

2

'' ''0 0 0 02

2 2 2 2 1 12

v v v v1f fx x x x 2 2 x 4 xx

2

''0 02

12

v v f4 xx

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3 2 2'''0 0 0

3 2 22 2 1 12 2 2

'''0 0

1

v v v1fx x 4 x 2 xx x xv v f8 x

2'' ''0 0 0 02 2

1 2 2 1 1 1 1 1

''0

1

v v v vx x1 1f fx x x x 2 4 x x 4 2 x x

v f4 x

11 1 1x const const

' 0 021 0

1 1 1

' '0 0 0 02 2

1 1 1 1

12

x x x

v vx 1 1x v f f4 x x 2 x

v v v vx x1 1f f f f4 x 2 x x x 4 2

'0

1 1

v1 f fx 2 x

Substituindo-se essas expressões na equação (2) tem-se:

2

' '' ' '' '''0 0 0 0 0 0

1 1 1 1

fv v v v v v1f f f f f2 4 x 2 x 4 x 8 x

Portanto

2 2

' '' ' '' '' '''0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

v v v v v vf f f f f f f8 x 8 x 8 x x 8x

2 2

' '' ' '' '' '''0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

v v v v v vf f f f f f f8 x 8 x 8 x x 8x

2

'' '''0 0

1 1

v vf f f8x 8x

.

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Finalmente, ''' ''f f f 0 , que é a forma similar das equações de

Navier-Stokes da camada limite.

Condições de contorno para a equação similar na fronteira sólida:

2x 0 0

12

' '0

2

v 0 0x

v f f 0x 2

Portanto, 'f 0 na fronteira sólida.

21

v 0 0x

Como '0

1 1

v1 f fx 2 x

, então

'0

1 1

v1 f f 0 f 0x 2 x

. Portanto, f 0 na fronteira

sólida

Condições de contorno longe da placa ( 2x )

2x , pois 02

1

vx2 x

.

' '02 0 1

2

vv v v f f 2x 2

Problema similar da placa plana:

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'

''' ''

'

f 0 0

f 0 0

f 2

f f f 0

Este problema não possui solução analítica conhecida.

7.3.3.1 - Como encontrar a transformação de variáveis (similar)

Uma maneira de se encontrar a transformação de variáveis apropriada é a

seguinte:

Tem-se

2

2u u uu vx y y

u v 0x y

e

0

0

2 1

x x,0 0

u 0, y u

v x,0 0

u x, u

v x , 0

A análise de similaridade é feita utilizando-se as linhas de corrente :

uy

vx

Como satisfaz a equação de continuidade, utilizando-se elimina-se uma das

equações da camada limite. A finalidade do raciocínio é obter uma transformação na forma

mais simples possível, utilizando-se funções auxiliares lineares.

Considere-se uma transformação de variáveis linear em y, isto é, yg(x) , tal

que x,0 0 e x, , que transforma uma equação diferencial parcial numa

equação diferencial ordinária.

Sabe-se que x, y , de início construída como separável nas variáveis x e

, isto é, G(x)f , e impondo-se que a solução da equação diferencial obtida seja da

forma '0u u f , tem-se:

De 'u G(x)f g(x)y y

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' ' 00

uu f G(x)f g(x) G(x)g(x)

e, portanto,

0u fg(x)

Também,

''' ' '' ' ''

0 0 0

''0

u u gu f yg x u f g u fx x g gu u u f gy y

''2

''0 02

2''' 2

02

fu u f g u gy y yy

u u f gy

' ' '' '

0 02 2g g gv u f yf u f f

x gg g

Substituindo-se esses resultados na equação de conservação da quantidade de

movimento e fazendo as simplificaçõe de praxe: '

''' 0u gf ff '' 0g

Quanto às condições de contorno para f, deve-se observar que:

a) v=v(x,y), v(x,0)=0, de que resulta: '

'0 2

gu f 0 f 0 0 f (0) 0g

.

b) u=u(x,y), u(x,0)=0, de que resulta ' '0u f 0 0 f 0 0

c) ' '0 0 0u x, u u f u f 1

Para que se obtenha uma equação diferencial ordinária a partir da equação

diferencial parcial é preciso que

'' 3

3

3 12

13 2

g const K g Kgg

dg g 1Kdx Kx K g 2 Kx3 1g 2g 0

Impondo a condição 21 0

g 0 vem 2 1g 2Kx g(x)

2Kx

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Pondo

2

0

0

1g 2Kx g(x)2Kx

u1 K2Kx x u

, tem-se

0

0

ug(x)x

uyx

e o problema passa a

ser, então,

'''

'

'

1f ff '' 02

f (0) 0

f 0 0

f 1

`, que não é um problema usual em que todas as condições de

contorno sejam referidas a 0 , pois 'f 1 é uma delas.

A importância dessa transformação de coordenadas(EDP EDO) reside no fato

de, conforme mostrado nas figuras seguintes, todas as funções u=u(x,y) soluções são

compactadass em uma única, dependendo apenas de .

Há diversos modos de se resolver o problema em f, sendo aconselhado o uso do

método numérico de Runge-Kutta, acelerado com o procedimento de Newton-Raphson.

Pode-se usar, também, o método das séries de potência, salientando-se que as séries obtidas

do modo usual são de convergência basante lenta, requerndo um grande número de termos.

Resultados:

1) 5 y . Como 0uyx

, 0x

0

u x5 5 5x Rex u

, com

0x

u xRe

2) Arrasto:

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''00

y 0

''0 ''0

f2 2 x x0 0

uu u f 0y x

uu f 0 f 0 0,664xc 21 1 Re Reu u2 2

6.3.4 - Placas paralelas fixas – escoamento 2-D

permenente, incompressível

As equações aplicáveis (conservação de massa e conservação da quantidade de

movimento na direção x) são:

2

22

2

2

u v 0x y

u u 1 P uu vx y x x

T T Tu vx y y

As condições de contorno são:

0

0

0

u(0, y) uP(0) PT(0, y) T

u x,0 0y

T x,0 0 simetria em relaçãop ao eixo xy

u(x, a) 0T(x,a) T

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João Roberto Barbosa 269

Tem-se interesse em diminuir o número de parâmetros que são necessários para o

estudo deste problema. Recorre-se à unidimensionalização, usualmente do tipo:

0

0 0 0 0 0 0

P P T Tx y u vX Y U V Px y u v P T T

Em que 0 0 0 0 0x , y , u , v , P são grandezas a serem determinadas

para se obter a simplificação desejada.

Fazendo-se a mudança de variáveis indicada, obtêm-se:

a) Conservação da massa

0

0

0

0

0 0 0 0

0 0 0 0

uu Ux X x

vv Vy Y y

u v v xU V 0 1X x Y y y u

U V 0X Y

b) Conservação da quantidade de movimento na direção x:

Recorrendo-se ao procedimento padrão de substituições, chega-se a 2

1 2 2

2

3 2

U U P UU V N NX Y X Y

U V NX Y Y

em que 0 0 01 2 32 2 2

0 0 0 0 0

P x xN N Nu u y u y

As condições de contorno são:

0 0

0 0

0

0 0

u 0, y uU 0,Yu u

P 0 P P PX 0 P 0 0 no início da placaP PT 0, y T T T0,Y 1

T T T T

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João Roberto Barbosa 270

0 0

0 y 0

0 y 0

0

0 y 0

uu yU uX,0 0

Y u yyY y

yTX,0 0 no centroY y T T

0

U X,A 0aY Ay X,A 0 na parede

Tem-se, portanto, 4 50 0

u aN N Au y

Em resumo, tem-se:

01 2 3 4 52

0 0 0 0 0 00

P u aN N N N Nv y v y u ya

.

Nota-se que 2

3

N PrN

e, portanto, 2N e 3N não podem assumir quaisquer

valores.

Fixando-se 4 5N N 1 vem 0u u e 0y a .

Fixando-se 1N 1 vem 20 0P a .

Falta fixar 0x e 0v .

Seja o caso de se fixar 2N 1 . Então 31NPr

. Como 2N 1 ,

0 0 00 0 0 0

11 v u uv y y a u a Re

, isto é, 0

0uvRe

.

Tem-se, portanto,

20 0 0

xy u v P PaX Y U V Re P

Re a u v u

U V 0X Y

2

2U U P UU VX Y X Y

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João Roberto Barbosa 271

2

21U V

X Y Pr Y

U 0,Y 1

P 0 0

0, Y 1

U X,0 0y

X,0 0y

U X,1 0

X,1 0

Se fizermos 3N 1 então 2N Pr .

20 0

0u a u ax a a RePr

0 0 00

1 1v u ua u a Re Pr

Daí, 0 0

20

xX yax y Y

Re Pr Pr au vu U v Re Pr V Pru uP PP P

u

e, portanto,

u v 0x y

2 2

2 2u u 1 P u P uu v Pr Pr

Xx y x y y

2

2u vx y y

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João Roberto Barbosa 272

x u 0, y 1 P(0) 0 0, y 1

y u x ,1 0 x ,1 0

O Número de Prandtl é um parâmetro (adimensional) definido pelo quociente da

difusão da quantidade de movimento pela difusão de calor num fluido: pCPr

k

.

(viscosidade cinemática/difusividade térmica). É característico apenas de fluidos, tendo valor

baixo para metais líquidos e gases e alto para fluidos viscosos.

Há interesse em se analisarem os casos de Pr baixo (típico de metais líquidos) e Pr

alto (típico de fluidos viscosos):

Caso 1) Pr baixo Pr 0 - metais líquidos

u v 0x y

u uu v 0x y

2

2u vx y y

x u 0, y 1 P(0) 0 0, y 1

y u x ,1 0 x ,1 0

Como Pr

tem-se , com 0u 0, y 1 u u e v 0 tem-se

um escoamento como o indicado na figura:

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João Roberto Barbosa 273

O que indica uma camada limite dinâmica << do que a camada limite térmica

T .

Como

2

2

2

2

u 0x y y

ux y

, dependendo da geometria do problema pode-se

ter solução de autovalores (finita) ou de parâmetros concentrados (semi-infinita).

Também, o número de Nusselt, Y 0

haNu Nu X,Prk Y

, uma vez que

0y 0

Tq k h T Ty

.

Caso 2) Pr alto Pr - fluidos viscosos

u v 0x y

2

2

2

2

2

2Pr

u u P uu v PrXx y y

1 u u P uu vPr Xx y y

1 u u P ulim u v 0 0Pr Xx y y

2

2P u 0X y

2

2u vx y y

x u 0, y 1 P(0) 0 0, y 1

y u x ,1 0 x ,1 0

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João Roberto Barbosa 274

Logo,

2

2P u KX y

(constante), o que indica escoamento desenvolvido, cuja

solução é da forma u u y .

Note-se que “escoamento desenvolvido” usualmente se aplica a escoamento em

dutos em geral, ocorrendo quando a camada limite, inicialmente aceita como laminar à sua

entrada, cresce na direção do escoamento, até que se encontre “no centro” do duto, a partir de

que permanecem nessa condição.

Portanto, como 00 0

uv e Pr , v 0RePr

e a distiribuição de

temperatura é calculada por

2

2ux y

, dando x , y . Os casos

Pr 0 e Pr são casos limites para os demais casos e estas soluções não dependem

do número de Prandtl (Pr). Todos os demais casos têm x , y ,Pr .

Sabendo-se que o fluxo de calor na placa plana é dado por

0y 0

Tq k h T Ty

e como o número de Nusselt é dado por

Y 0

haNuk Y

tem-

se que Nu x ,Pr .

A figura mostra como varia a transferência de calor na placa plana:

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João Roberto Barbosa 275

6.3.5 - Solução por série de potências

Para pequenos valores de pode-se obter a solução da equação de Blalsius por

uma série de potências: nn

n 0

f A

. Assim,

' n 1n

n 1

0'

1

f nA

f (0) 0 A 0

f (0) 0 A 0

Assim, mmf A m 2 .

Substituindo-se as séries de potências referentes a f e suas derivadas na equação

de Blasius, após colecionar termos de mesma potência de , chega-se a

2 5 8 112 3 4

2 2 2 211 375f A A A A ...

2! 5! 8! 11!

(série 1)

Outro autor apresenta a série

2 2 5 3 8 4 11 5 142 2 2 2 2

6 17 7 202 2

1 1 11 5 9299f A A A A A2 240 161.280 4.257.792 464.950.886.400

127.239 19241647A A ...3793999233024000 3460127300517888000

(série 2)

O número de termos selecionados de ambas as séries não é suficiente para a

obtenção de resultado que bem se aproxime de uma solução correta da equação de Blasius,

como a indicada na tabela abaixo.

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João Roberto Barbosa 276

Impondo-se a condição 'f 2 , vem 2A 1,3282 .

É comum utilizarem-se tabelas de f e de suas derivadas para o cálculo da

velocidade do escoamento:

' '0 11

0

v v 1v f f2 v 2

Tabela de valores de 'f para entre 0 e 3,2

'1 f2

'1 f2

0,0 0,000

1,2 0,729

0,1 0,066

1,4 0,812

0,2 0,133

1,6 0,876

0,3 0,199

1,8 0,923

0,4 0,265

2,0 0,956

0,5 0,330

2,2 0,976

0,6 0,394

2,4 0,966

0,7 0,456

2,6 0,994

0,8 0,517

2,8 0,997

0,9 0,575

3,0 0,999

1,0 0,630

3,2 1,000

Nota: para se obterem os valores de '1 f2

como os da tabela é necessário que

se computem, pelo menos, 12 termos da série de potências obtida no desenvolvimento acima.

A série de potências pode ser rescrita em forma recorrente.

Seja

n

n

n 1'

n

n 2''

n

n 3'''

n

n m 2 k 3'' '''

n m k

f Cn!

f nCn!

f n n 1 Cn!

f n n 1 n 2 Cn!

ff f 0 C m(m 1)C k k 1 k 2 C 0n! m! k!

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João Roberto Barbosa 277

n m 2 k 3

n m kC C m(m 1) k k 1 k 2 C n m 2 k 3 k n m 1n!m! k!

m (k 1) n

k 3 k 3

n m kC C m(m 1) k k 1 k 2 Cn!m! k!

e, daí,

kn m

kn m

k k 1 k 2 CC C m(m 1)n!m! k!

k k 1 k 2 CC C m(m 1)n!m m 1 m 2 ! k k 1 k 2 k 3 !

n m k

0

C C ) Cn! m 2 ! k 3 !

n 2 n m 1 k m k 1 nk 3m 0 (para começar em A

Portanto, pode-se escrever

k 3n k 1 n

kn 2

C CC k 3 !n 2 ! k 1 n !

n 2 n m 1 k m k 1 nk 3m 0

Os perfirs de velocidades em diferentes pontos 1x são similares no sentido de

que existe apenas uma curva para descrever a velocidade em qualquer ponto da

camada limite.

O perfil no ponto 11x é o mesmo no ponto 12x , exceto que a coordenada 2x é

aumentada pelo vator 12

11

xx

, pois 02

1

vx2 x

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João Roberto Barbosa 278

Da tabela de 'f pode-se obter 1

0

v 0,99 2,5v

e, portanto,

1 1

0 0

x x2 5v v

. Define-se 1Blasius

0

x5v

.

Segue-se que 1

1

1 1 0 0 1 x

x5,0 5,05,0x x v v x Re

, em que

1

0 1x

v xRe

, ou

11 x

5,0x Re

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João Roberto Barbosa 279

Volume de controle usado para se derivar a equação integral da quantidade de movimento

numa camada limite.

Perfil de Blasius: camada limite na forma adimensional usando variavel de similaridade .

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João Roberto Barbosa 280

Perfis de Blasius: camada limite na forma adimensional usando variavel de similaridade

indicando perfis em diferentes pontos ao longo da placa plana

Pode-se mostrar também que 1

*

1 xBlasius

1,721x Re

e 11 xBlasius

0,664x Re

Nota:

estes resultados se aplicam a placas planas, escoamento laminar, sem gradiente

de pressão na direção 1x .

A série de potências obtida é de convergência muito lenta!

6.3.6 - Solução assintótica

Para valores elevados de a aproximação por série de potências não é

adequada, uma vez que sua convergência é muito lenta, requerendo o cômputo

de muitos termos para se chegar a resultado adequado. Recorr-se a uma

solução assintótica, dada por 2

1 0

0

v v 1 e d

em que os valores de

e devem ser valculados a fim de que, tanto a solução por série de

potências como a assintótica dêem o mesmo valor em 1v , no ponto em que

ambas possam ser aplicadas, o mesmo se dando com a derivada 1

2

vx

.

Tomando por exemplo 1

0

v1,5 e 0,85v

, obtêm-se 0,865 e 0,461 .

Há outroso métodos que permitem conhecer a camada limite em casos gerais,

mas a solução de Blasius serve para verificar se os resulados obtidos com esses

outros métodos são razoáveis.

Com o perfil de velocidade calculado pode-se determinar a tensão de

cizalhamento na parede, 2

1

2 x 0

vx

, obtendo-se

Blasius

32

01

0,332vx

.

Uma solução para a determinação de uma função que ajuste a curva de

velocidades (ou temperaturas) na camada limite pode a descrita a seguir.

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João Roberto Barbosa 281

u '' u ' a 1 ou 1 au '' u '

, equação cuja solução homogênea é

y

h 1 2u C C e .

Uma solução particular (polinomial) é 2

p 0 1 2u k k y k y 'p 1 2u k 2k y ''p 2u 2k

Portanto, 12 1 2 2 1

k1 a a2k k 2k y k 0 e k a

e p 0u k ay

e a solução geral fica:

y

g h p 1 2 0

y

g 2 0 1 0

u u u C C e k ay

u C C e k ay C C k

y

g 2 2 2u 0 0 u 0 C C e ay C C C C

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João Roberto Barbosa 282

y y

u C Ce ay C 1 e ay

u u C 1 e a

u aC

1 e

Então,

yu au 1 e ay

1 e

y

e0 0

e

u alim u lim 1 e ay u a ay F y

1 eF y u a ay

Para um valor fixo de y

y y

i0y fixo 0̀

y

i

u a ylim u 1 e a u a 1 e F y1 0

F y u a 1 e

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João Roberto Barbosa 283

iF y é tal que e

i

i

i

F 0 0

F u a 1 e u

F u a

eF y u a ay é tal que eF 0 u a

Então,

e e iF 0 F F

Seja

e iF y F y u a ay u a 1 e

u a ay u a 1

G y

G y

G

e

u a ay u a ey 1

Pondo

S u a ay ey u ay G 1

, a diferença gd u y S y

vale

1d u a 1 e 1

1 e

1 1 e

d u a 1 e

1 e

e 1d u a 1 e u a

1 e e 1

0lim d 0

Então, S(y) é uma boa aproximação de

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João Roberto Barbosa 284

y

gu au u 1 e ay desde que 0

1 e

.

Sendo y

S ay u a 1 ey

, então, a correspondente função

normalizada será

y

S ay 1 a 1 ey

, uma aproximação para a camada limite laminar.

Como

02

1

0 1

12

21

vx2 x

v x f

vx

vx

, vem

'01

'02

1 1

vv f2

v1v f f2 4x x

`

Deve-se notar que diminui com o aumento de 1x por causa do aumento da

espessura da camada limite: o gradiente de velocidades na parede diminui com o

aumento de 1x .

A tensão varia com 3

20v e não com 0v !

6.3.7 - Equação de Von-Kármán

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João Roberto Barbosa 285

Von-Kármán, observando a forma do perfil de velocidades típico de camadas

limites, propos uma solução aproximada das equações de Navier-Stokes na forma polinomial.

Consideram-se a placa plana e o volume de controle ABCD na camada limite

indicada na figura.

A equação de conservação da quantidade de movimento na direção 1x , para

escoamento permanente, pode ser escrita como extdF mvdt

.

Como

extI II III

extdespr

0

1F P P dP d P P dP d2

1F P P Pd dP dPd Pd dPd2

Desprezando-se termos de segunda ordem e colecionando-se os termos

convenientemente, obtém-se extF dP . Daí,

ext 11

dPF dP dxdx

.

A variação da quantidade de movimento será:

1

2 21 2 1 2 1 2 m m m m

dm0 0 0

d mv v dx v dx d v dx v dl vdt

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João Roberto Barbosa 286

com 1 2m 1 1 2 m m 1 m 2dl d e dx e e v v e v e

1 2m m m m 1v dl v d v dx .

Logo, a variação da quantidade de movimento será:

1 2 1

21 2 m m m 1 m

0

d mv d v dx v d v dx vdt

e, daí,

1 2 1

21 1 2 m m m 1 m

1 0

dP dx d v dx v d v dx vdx

m 2 11

2 21 1 2 1 m m m m 1

1 0 V

ddP dx v dx dx v d v v dx Bdx

A equação da continuidade para o volume ABCD será:

m 211 2 m m 1 1 2 1 2

0 0 0III III

v dx v d v dx v dx d v dx 0

m 21m m 1 1 2 11 0V

dv d v dx v dx dx 0dx

Substituindo-se o valor de (V) em (B) resulta:

1 1

22 1 2 m

1 10 0

d ddP v dx v dx v (C)dx dx

1 1

2m 1 2

1 0

ddP v v v dxdx

, para

1mv constante.

Se, adicionalmente, dP=0 (e 1mv constante),

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João Roberto Barbosa 287

1 1

2m 1 2

1 0

d v v v dxdx

.

No caso geral, a equação (C) se aplica:

1 1

22 1 2 m

1 10 0

d ddP v dx v dx v (C)dx dx

,.

O cálculo da espessura da camada limite pode ser feito pela equação (D), desde

que:

1 1

dPdx

seja conhecido (pode ser calculado separadamente, a partir do cálculo do

escoamento irrotacional fora da camada limite, por exemplo).

2 Fixando-se um perfil de velocidades dentro da camada limite (da observação

de um perfil real, pode-se fixar uma forma “razoável” – parabólica, cúbica,

etc.).

3 Admitindo-se que 2

1

2 x 0

vx

(lei da viscosidade deNewton), em

decorrência de 2) os resultados obtidos podem não ser precisos. A título de

ilustração, serão considerados perfis parabólicos e cúbicos e obtidos os

parâmetros importantes da camada limite, comparando-os com os obtidos por

Blasius.

Perfil parabólico e gradiente de pressão nulo

Tem-se 21 2 2

1

dP 0 v x xdx

.

Então

2

2mm

12

2

1

2 x

vdv 2 xdx

dv 2 0 (transição suave)dx

Tem-se

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João Roberto Barbosa 288

2m1

2 2 2 m12 m1 2

vv0 2 x 2 0 2 v

m1

2m1 m1m1 m12

2v2

v vv 2 v OK

22m1 m1 2 2

1 2 2 m1 m12v v x xv 2 x x 2v v

ou 2

2 21 m1

x xv v 2

.

De (D), com 2

1

1 1 x 0

dvdP 0, e const :dx dx

2

22 221 2 2 2 2m1 m1 m1 2

1 1x 0 0

22 22 2 2 2 2m1

1 0

dv x x x xd v 2 v v 2 dxdx dx

x x x xd v 2 2dx

2dx

Mas

2

1 2 2 2 m1 2m1 m1 m1 2

2

1 m1

2 x 0

dv x x x 2v x2 1 1 1 1v 2 2v 2v 1dx

dv 2vdx

Então,

2 3 4 22m1 2 2 2 2 2m1 2

1 0

2 3 42m1 2 2 2 2m1 2

1 0

3 42 2

2m1m1 2 3

1

v x x x x xd2 v 4 4 2 dxdx

v x x x xd2 v 5 4 2 dxdx

x xv d 3 42 v 5 4

dx

2

2

x5 32 2

4

x 0

x x5 22

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João Roberto Barbosa 289

2 2m1m1 m1

1 1

2 2m1m1 m1

1 1

v d 5 1 d 25 15 3 152 v vdx 3 5 dx 15

v d 2 2 d2 v vdx 15 15 dx

Portanto, 2m1m1

1

v 2 d2 v15 dx

21 1

m1 m1

15 1 15dx d x C2v v

Como m1

150 0 .0 C 0 C 0v

1

1

1

2 11 1 1 1 1

xm1 m1 1 m1 1 m1 1 m1

1

x

1 x

30 x1 15 30 30 30 30x x x x x2 Rev v x v x v x v

x 30Re

5,48x Re

enquanto que 11 xBlasius

4,96 10% errox Re

A avaliação da espessura de deslocamento da camada limite, * , pode ser feita

por: 1 1 2*

1 2 2 22

m10 0

v x x x 11 d 1 2 dxv 3

.

1 1

* *

1 1 x x

1 5,48 1,835x x 3 Re Re

enquanto que 1

*

1 xBlasius

1,73 6% errox Re

.

Perfil cúbico e sem gradiente de pressão

1

dP 0dx

.

Tem-se 2 31 2 2 2

1

dP 0 e v x x xdx

.

Então

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João Roberto Barbosa 290

2

2

12 3

mm

212 2

22

122

2

21

2 x

12 3

1 m1 m1

21

22 x 0

v

vdv 2 x 3 xdx

d v 2 6 x 0 P const na camada limitedx

dv 2 3 0 (transição suave)dx

v 0 0 0

v v v

d v 2 0 0dx

2m1 m1

32 3m1

2 3 0 v v3 1e2 2v

Tem-se, então, 3

1 2 2

m1

v x x3 1v 2 2

Repetindo-se os cálculos quando se considerou perfil parabólico, para o perfil cúvido obtêm-

se:

1 1

*m1

1 1 1x x

v4,64 3 1,740,375x 2 x xRe Re

Esses valores estão mais próximos dos valores econtrados por Blasius.

Blasius

1 1 1

Blasius

*2m1

1 1x x xBlasius Blasius

2m1

1

4,96 1 1,73; 0,323 v ; ;x xRe Re Re

0,323vx

Tem-se, também,

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João Roberto Barbosa 291

1 1

1

1

1

11 1

1 1

m1 x m1 xm1

1 12m1 x 2

m1 xm1 1 m1 1

x2 2m1 x m1

x x

22 m1m1

x x

v Re v Rev3 3 0,3232 2 4,64x x

v Re0,323 0,323 v Re

v x v x

Re10,323 v Re 0,323 vRe Re

v10,323 v 0,323Re Re

ou

1

2m1

x

v0,323Re

Inroduzindo-se o coeficiente de atrito f: 1

1

2m1

x

2 2 xm1 m1

v0,323Re 0,646f 1 1 Rev v

2 2

, ou

seja,

1x

0,646fRe

(valor local!).

Para aplicações práticas é interesante que se obtenha um valor médio de f, em

função de 1x :

x

1

0

2m1

dx

f 1 v x2

1

x x x

1 1 12 2m1 x0 0 0m1

2 1 1 1,292f dx dx fdx1x xv x Rev2

1x

1,292fRe

- Observar que este valor difere de 3% a menor do que o valor de f

calclado da solução exata das equações da camada limite.

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João Roberto Barbosa 292

6.3.8 - Transição na placa plana

A transição laminar-turbulenta numa placa plana depende de muitos fatores, dos

quais os mais importantes são:

1

m1 1x

v xRe

Turbulência do escoamento principal

Rugosidade específica da placa

Transferência de calor na parede da placa

Estudos de Reynolds permitiram a montagem da curva indicada na figura

a partir da qual se observa que

1

1

m

xv

permanece constante até

1

5x0 Re 3,2x10 (para

tubos, o limite é 1

5x0 Re 2,3x10 . Com o aumento de

1xRe há aumento brusco de

1

1

m

xv

.

1

5xRe 3,2x10 é considerado como o ponto de transição na placa plana.

Desse gráfico, na parte laminar, isto é, para 1

5xRe 3,2x10 , tem-se:

1

1

m

constx

v

e, daí,

1 1

1

1 m 1 x

x constconstx v x Re

, resultado este que coincide com o obtido a

partir da teoria da Blasius e de Von Kármán.

Estidps de Schubauer e Skramstad permitiram obter a figura

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João Roberto Barbosa 293

'v é a média temporal das velocidades flutuantes

v é a média temporal da velocidade média

A rugosidade da placa age no sentido de adiantar o ponto de transição

O aquecimento da placa também age no sentido de adiantar o ponto de transição.

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João Roberto Barbosa 294

Distribuição de temperatura numa camada limite 6.4 -

compressível

Seja a placa plana colocadanum escoamento uniforme e paralelo, alinhada com

ele.

Sobre a placa plana

1 2 1 1 2 1 2 1 2 22

2 1 1

2

v v x , x v x , x e v x , x e

v v , v v

T T x

a equação de conservação de energia,

tDe k T v g v PvDt

, pode ser rescrita como

2 2v v Pe e v k T v g v

t 2 2

Em regime estacionário, 0t

, resultando

2v Pe v k T v g v

2

, ou

2vh v k T v g v

2

Na direção 1x : 2 21v v ,

1xg 0 , pois 2g ge .

Então,

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João Roberto Barbosa 295

2 21 1

1 21 2 1 1 2 2

0

11 1 12 2 21 1 22 21 2` 0 0 0

v v T Th v h v k kx 2 x 2 x x x x

v v v vx x

Mas 1 2 111 22 12 21

1 2 2

v v v0x x x

, resultando, portanto,

2 21 1 1

1 2 11 2 2 2 2 2

v v vTh v h v k vx 2 x 2 x x x x

, ou

2 2 2 21 1 1 1

1 1 2 21 1 2 2

21

2 2 2

v v v vv h h v v h h vx 2 2 x x 2 2 x

v2Tk

x x x

2 2 21 1 1

1 2 1 21 2 1 2

` 0cons.massa

v v vv h v h h v vx 2 x 2 2 x x

,

21

2 2 2

v21 h

x Pr x x

em que se fez

pp p

ch c T, c const e Pr

k

.

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João Roberto Barbosa 296

6.4.1 - Espessura da quantidade de movimento da camada

limite

É um conceito útil quando se calcula o arrasto em um objeto, devido à diferença

de velocidades mv v na camada limite, o fluxo de quantidade de movimento numa seção

normal à placa.

O arrasto na placa, D, é dado por xD F e 2

1

x

A x x

D dA b dx

, em

que DA=bdx.

Fluxo de massa existe apenas nas seções (1) e (2) verticais, quando é considerada

a regição delimitada pela linha de corrente, conforme indicado na figura.

Da equação de conservação de massa: 0 0

Ubh ubdy b udy (1)

.

Multiplicando-se membro a membro a equação (1) por U, tem-se:

2

0

U bh b Uudy (2)

Por outro lado, o fluxo de quantidade de movimento na região é dado por:

2 2

(1) (2) 0

fluxo de q.d.m fluxo de q.d.mque entra que saina região na região

U U dA uudA U bl b u dy D (3)

Substituindo-se o valor de 2U bh oobtido de (2) na expressão (3), tem-se

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João Roberto Barbosa 297

2 2

0 0 0

D b uUdy b u dy b uU u dy

0

D b u U u dy

(4)

Tem-se, também, que 0

u u1 dyU U

, da definição de .

Então, 2

0 0

uU Uu 1 dy u U u dyU

Segue-se, portanto, que 2D bU (5)

Então, 2dD dbUdx dx

(6)

Mas dD bdx e, portanto, 2 dU

dx

(7)

Esta expressão permite obter resultados aproximados de camada limite a paratir de

considerações “grosseiras”. Por exemplo, se se sabe o perfil de velocidades na camada limite,

1v x (calculado pelo método de Blasius, por exemplo), pode-se calcular 2bU , que é

igual a D; out, também, 2 dbUdx

e, daí, .

Mesmo a consideração de um “perfil grosseiro” 1v x permite a obtenção de

valores “razoáveis” para e D.

6.4.2 - Transferência de calor em camada limite 2-D

compressível, regime permanente

A equação de conservação de energia pode ser rescrita nas formas:

a) Termo de pressão no primeiro membro

2 2v v Pe e v k T v g v

t 2 2

b) Termo de pressão no segundo membro:

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João Roberto Barbosa 298

2 2v ve e v k T v g v P v

t 2 2

Introduzindo entalpia e considerando escoamento estacionário:

2 2

0

v P ve e v k T v g vt 2 2

fica

2P ve v k T v g v

2

2vh v k T v g v

2

6.4.3 - Adimensionalização das equações da camada limite

incompressívelo 2-D

As equações da continuidade, Navier-Stokes e da energia, nas formas escalares,

são:

1 2

1 2

v v 0x x

2 2*1 1 1 1

1 2 2 21 2 1 1 2

2 2*2 2 2 2

1 2 2 21 2 2 1 2

v v v v1 Pv vx x x x x

v v v v1 Pv vx x x x x

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João Roberto Barbosa 299

2 2

1 2 2 21 2 1 2

T T T Tv vx x x x

A solução procurada é 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2v x ,x v x ,x i v x ,x j e T T x ,x

satisfazendo as condições de contorno da placa plana:

Na placa:

1 1 1 2 1

1

v x ,0 0 v x ,0 0 e v x ,0 0

T x ,0 T

Fora da camada limite:

1 1 1 2 1

1

v x , v i v x , v e v x , 0

T x , T

Utilizando-se a parametrização *

w1 2 1 2

10 20 10 20 0 w

1 10 2

1 2 20

1 1

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

T Tx x v v PX Y U V Px x v v P T T

X 1 X 0x x xY X 10x x x

v vU Ux x x x

v vV Vx x x x

tem-se:

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João Roberto Barbosa 300

10 101 1 1

1 1 10 10 10

1 1

2 20

2 210 10 10 101 1

2 2 21 1 1 10 10 1 10 101 10

2 2101

2 22 20

Uv U vv v vX 1x X x X x x X x Xv v X 0x X x

v v v vv v U U U U Ux x x x X x x X x x X Xx x X

vv Ux x

2

2 2202

2 2 21 10

2 2202

2 2 22 20

* *0 0

1 10 2 20

1 10 2 202 2 2 2

2 2 2 2 2 21 10 2 20

Y

vv Vx x X

vv Vx x Y

P PP P P Px x X x x Y

T T T TT Tx x X x x Y

T T T TT Tx x X x x Y

Substituindo-se estas derivadas nas equações de conservação, tem-se:

a) Conservação de massa: 1 2

1 2

v v 0x x

10 20 10 20

10 20 20 10

10 200 0

20 10

v v x vU V U V0 0x X x Y X x v Y

x vU VN 0 NX Y x v

Fazendo 20 10

10 20

v x 1v x

, o que é possível porque na camada limite as ordens de

grandeza dessas variáveis permitem isso, tem-se

0N 1 e

U V 0X Y

b) Quantidade de movimento na direção 1x :

2 2*1 1 1 1

1 2 2 21 2 1 1 2

v v v v1 Pv vx x x x x

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João Roberto Barbosa 301

2 210 10 0 10 10

10 20 2 2 2 210 20 10 10 20

10 202 2

20 0 10 10 10 10 102 2 2 2 2 2 2 2

1010 10 10 10 20 10

10

20 10

10 20

v v P v vU U 1 P U Uv U v Vx X x Y x X x X x Y

v vx P x v x v xU U 1 P U UU V

X Y x Xv v x v X x v Yx

v xU UU VX v x

2 20 10 10 10

2 2 2 2 2 210 10 10 10 20

P x v x1 P 1 U 1 UY x Xv v x X x Y

Como 20 10

10 20

v x 1v x

2 20 10 10 10

2 2 2 2 2 210 10 10 10 20

P x v xU V 1 P 1 U 1 UU VX Y x Xv v x X x Y

2 20 102 2 2 2 2

1010 10 20

22 20 102 2 2 2

10 1010 20

P xU U 1 P 1 U 1 UU VX Y X vv x X x Y

P xU U 1 P U UU VX Y X v xv X x Y

Fazendo 0 101 2 32 2

10 1010 20 10

P x1N N Nv xv x v

, tem-se

2 2

1 2 32 2U U P U UU V N N NX Y X X Y

Para a segunda equação de conservação de quantidade de movimento:

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João Roberto Barbosa 302

2 220 20 0 20 20

10 20 2 2 2 210 20 20 10 20

2 2 210 20 0 10 20 10 20 10

2 2 2 220 10 20 20 10 20 10 20 1020 10 20

10

20 10

v v P v vV V 1 P U Uv U v Vx X x Y x X x X x Y

x v P x v x v xV V 1 P U UU VX v v Y x v v X v v v vx x X x Y

x vVUX v v

2 2 220 0 10 20 10 20 10

2 2 2 220 20 10 20 10 20 1020 10 20

P x v x v xV 1 P U UVY x v v X v v v vx x X x Y

Fazendo

210 20 10 20

120 10 20 20 10

042

20

10 10 10 10 20 201 5 52 2 2

20 1010 20 10 10 20 10 20

10 10 10 101 6 62

20 10 20 2020 20 10 20 20

x v x v N 1v v x x v

P Nv

v x x v x xN N Nv vx x v x v x v

v x x v 1 1N N Nv v x vx x v v x

resulta: 2 2

4 5 62 2V V P V VU V N N NX Y Y X Y

Para a equação de conservação de energia: 2 2

1 2 2 21 2 1 2

T T T Tv vx x x x

2 210 20

2 2 2 210 20 10 20

2 210 20

2 2 2 210 20 10 20

v U T T v V T T T T T Tx X x Y x X x Y

v T T v T T T T T TU V

x X x Y x X x Y

202 22 2

20 10 202 2

10 10 10

10 10 102 2

10 20 10 102 2 2 2

20 10 10 10 20 10

T T T Tv T Tx x xU V

v T T v T T v T TX Y X Yx x x

x v x xU VX x v Y x v X x v Y

2 210 20 10

2 2 220 10 10 10 20 10

x v xU VX x v Y x v X x v Y

Fazendo 10 20 101 7 82

20 10 10 10 20 10

x v xN 1 N Nx v x v x v

, tem-se

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João Roberto Barbosa 303

2 2

7 82 2U V N NX Y X Y

O interesse em se fazer essa mudança de variáveis é permitir o aparecimento de

parâmetros que definem certos tipos de escoamento. Por outro lado, esses coeficientes têm

relação entre si.

Com 2

10 10 7

10 10

N1Prv x N

v v

.

102

10 20 3 32

10 8 7 82

10 20

xv x N NNPr x N N Nv x

.

Tem-se 32

7 8

NNN N

,

1 4N N ,

10 20 20 10 2012

10 2010 20

x v x x v N 1v xv x

,

102

3 10 203 6

20 206

xN v x N Nv xN

220 10 20 102

1 2 55 10 10 20 10 20

v x v xN N N NN v x x v x

022

10 201

04 10220

210 10 202

103 10220 10

220

210 220 10 2 1

1220 10 3 420

10

Pv vNPN vv

v x xNxN x

x v

vv v x N NN 1

x v N Nxx

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João Roberto Barbosa 304

Logo, dos 8 parâmetros 1 2 8N , N , , N , 5 podem ser escritos em função de

apenas 3 parâmetros ( 1 2 3N , N , N ), isto é, 4 5 8N , N , , N podem ser escritos como

funções de 1 2 3N , N , N .

Assim, fazendo:

a) 20x d

b) 21 0 10N 1 P v

c) 10v fixado

resulta que 0P é fixado.

10 10 103 20 102

20 20 10 1020 10

x v vN 1 1 1 v vv x v d v d Rex v

1020

vvRe

6 3N N 1

d) 1010 20 20

20

vx x Re x Re.dv

e) 2 210 10 10

1Nv x v d Re Re

f) 20 205 2 2

10 10 20 10 1020 10

x v 1Nv x v v xv x Re

. De f) e g) 2 5N N

g) 22

20 10 104 2 2

2020 20

P v vN Revv v

h) 7 2 210 10 10 10

1 1 1Nx v x v Pr Re Pr Re

i) 2

210 108 2 2 2

10 1010 20 20

x x 1 1N Rex v Prv x v Pr Re

Segue-se que

1 22

10 10 10

v vx y PX Y U V Re Pd Re d v v v

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João Roberto Barbosa 305

Estabelecendo XO X d O Y e O 1Y

vem:

dO Re

e,

então, as equações adimensionalizadas passam a ser:

U V 0X Y

2 2

2 2 2U U P 1 U UU VX Y X Re X Y

2 22

2 2 2V V P 1 V VU V ReX Y Y Re X Y

2 2

2 2 21 1U V

X Y PrPr Re X Y

Fazendo-se a análise das ordens de grandezas dos termos desse sistema de

equações diferenciais parcais:

Para Re elevado ( dO Re

), tem-se:

U V 0X Y

2

2U U P UU VX Y X Y

PY

2

21U V

X Y Pr Y

O problema do escoamento externo pode ser analisado como segue: fora da

camada limite V 0 e U U XU X . Como o escoamento é ideal, da equação de

Bernoulli:

2 P P U1 U X 0 UX 2 X X X

Para UPP P , U

X X

e, então:

2

2UU U UU V U

X Y X Y

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João Roberto Barbosa 306

Portanto, daco U X têm-se 3 equações (continuidade, quantidade de

movimento na direção X e energia) e 3 incógnitas ( U, V, ) e o problema pode ser

resolvido.

6.4.4 - Transsferência de calor numa camada limite 2-D

compressível, quando Pr 1

Para pcPr 1

k

,

2 2 21 1 1

1 21 2 2 2

v v vv h v h hx 2 x 2 x x 2

(F)

Uma solução de (F) é 21vh const2

, independentemente de 1

Px

, isto é, th 0

, o que requer que a entalpia de estagnação se conserve.

Note-se que esta condição implica em escoamento adiabático, pois

21vh const2

implica que

21

2 2

1p 1

2 2

vh 0x x 2

vTc v 0x x

Na parede, 2

12 x 0

Tv 0 0x

, que é a condição de parede isolada!

Dependendo de 1

Px

, uma outra forma de solução pode ser obtida se se fizer

21

1 2 1vh C C v2

, isto é, se se procurar uma solução 21 1 1T T v av bv c (perfil

parabólico completo).

Então 21

1 2 1vh C C v2

, de que resulta

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João Roberto Barbosa 307

1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 11 2 2 2

1 1 11 2 2 2 2

1 2 2 2

v C C v v C C v C C vx x x x

v v vv C v C Cx x x x

1 1 11 2

1 2 2 2

v v vv vx x x x

(G)

Por outro lado, a equação de conservação da quantidade de movimento dá

1 1 11 2

1 2 1 2 2

v v vPv vx x x x x

(M)

Comparando (G) com (H), conclui-se que 1

P 0x

.

Note-se, também, que, na camada limite 1 1

PPx x

, em que P é a pressão

calculada pela condição de escoamento invíscido na fronteira da camada limite. Logo,

1

P 0x

.

As condições de contorno são:

1 1

1

12

v x ,0 0

T x ,0 TqT x ,0 há fluxo de calor

x k

De 2 21 1

1 2 1 p 1 2 1v vh C C v c T C C v2 2

` 021 1

p 1 1 2 1 1

T ` 0

v x ,0c T x ,0 C C v x ,0

2

p 1c T C

Também,

21 1

22 2 2

1 1p 1 2

2 2 2

v vh Cx x 2 x

v vTc v Cx x x

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João Roberto Barbosa 308

2

1 1

2 2

2 x 0

v vx x

qT há fluxo de calorx k

1pp

2

qc c q q qkC Prk

No caso geral, 2qC Pr

Logo, 2

21p 1 1

p p

qv 1c T v v2 c 2c

Na fronteira da camada limite, T T e 1v v . Daí,

2

p p

q 1T T v vc 2c

e como 2

p

1T v2c , vem t

p

qT T vc

.

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João Roberto Barbosa 309

Tem-se, finalmente,

221 1

p p

qv v vT T 1 v 12c v c v

ou

De 2p p t

1c T v const c T2 vem 2

tp

1T T v2c

21 1

p p

q 1T T v vc 2c

2

p p

q 1T T v vc 2c

t tp p

q qT T v T T vc c

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João Roberto Barbosa 310

p p t

21

p p 1

qc T c T v

q vc T c T v2

Subtraindo-se membro a membro estas duas últimas equações, tem-se

21

p t 1q vc T T v v

2

que, na parede, fica p tqc T T v

,

pois a velocidade é nula na parede.

Portanto, p tc T T q

v v

.

Logo, a determinação do fluxo de calor q se reduz à determinação da tensão

decizalhamento na parede.

Como 22

1 1

p p

qv v vT T 1 v 12c v c v

e tp

q v T Tc

,

resulta:

22

1 1t

p

221 1 1

t t tp

221 1 1

tp

v v vT T 1 T T 12c v v

v v v vT T T T T T2c v v v

v v v vT T T T2c v v v

Tem-se 22

1 1t

p

v v vT T T Tv 2c v

, ou

21 1

tp

v vT T T Tv 2c

6.4.5 - Transnferência de calor numa camada limite 2-D

compressível, quando Pr 1

Os resultados obtidos anteriormente são limitados porque se impôs que Pr 1 .

Para esse caso, é possível resolver alguns problemas simples, analiticamente. Em geral, usa-se

método numérico.

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João Roberto Barbosa 311

Neste curso apenas será estudado o aspecto qualitativo na distribuição de T na

camada limite.

O número de Prandtl, pcPr

k

, dá o valor relativo entre os coeficientes de

transporte de quantidade de movimento e de calor no meio do escoamento.

Assim, se Pr>1, a influência da viscosidade se faz sentir mais longe da parede do

que a difusão de calor nas suas proximidades. Logo, a cmada limite associada à velocidade é

mais espessa do que a camada limite térmica.

Para Pr<1 acontece o inverso.

Então, o número de Prandtl é um parâmetro que determina a relação entre os

campos de velocidade e de temperatura.

Seja 2

rp

vT T r2c

, em que r = fator de recuperação da temperatra dinâmica (ou

energia cinética...), dado por r

t

T TT T

. Pode-se mostrar que, para camada limite laminar,

r Pr e que, para camada limite turbulenta, 3r Pr .

Logo, para Pr < 1 tem-se rT T e que, para Pr > 1, rT T .

De 21 1

p p

q 1T T v vc 2c

e de 2

p p

q 1T T v vc 2c

vem

2

2 1 1p t

q v v1c T T v 1v v 2 v

Na parede, usando o fator de recuperação r: p t

n 2

c T T qvr v

, em que n é um

expoente que leva em conta a estrutura da camada limite.

A experiência mostra que 2n3

dá resultados de “boa qualidade”.

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João Roberto Barbosa 312

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João Roberto Barbosa 313

Introdução ao estudo da camada limite turbulenta numa 6.5 -

placa plana

Embora neste curso não se inclua camada limite turbulenta, escoamentos

turbulentos são comuns e de grande importância. Em especial aqueles sobre placas planas.

Apenas as diferenças mais significativas são apresentadas.

A forma do perfil de velocidades é muito mais “curvada” do que a obtida para

regime laminar. Medições realizadas por Prandtl indicam perfil da forma 1

172

1 mxv v

.

Observe-se que esta forma não vale próximo da parede porque

1

2

m1 161

2 2 x 0772

vv v1 ex 7 x

x

!

Esta aparente contradição é eiminada se se considerar a existência de uma sub-

camada laminar entre a camada turbulenta e a parede, em que a fórmula “laminaar” se aplica.

No estudo da turbulência pode-se mostrar que as médias temporais dos parâmetros

de escoamento e propriedades do escoamento turbulento se comportam como se o escoamento

fosse lamnar, exceto pela presença de tensões adicionais (tensões aparentes), que englobam os

efeitos da turbulência. Em termos de equações, equivale a escrever as equações obtidas para o

regime lamnar, mas com propriedades médias: u u , etc.

Utilizando-se estudos de von Kármán, para números de Reynolds “não muito

elevados”, e de Blasius, encontra-se:

1

1

14

2m

m0,0225 v

v

, que vale para escoamentos em tubos, mas pode ser

aplicado também para placas planas, segundo Schultz-Grunow 7Re 10 .

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João Roberto Barbosa 314

Admite-se o perfil aproximado de velocidade na camada limite ado pel lei da

potência 17 :

1

17

21 m

xv v

.

Para 1

P 0x

no escoamento principal e para escoamento incompressível, da

equação (D):

1

1 11

21 m 1 2

1 01 2 14 7 72 2 2 2

m m 2m 1 0

d v v v dxdx

x xd0,0225v v dxv dx

1

11 9 84 7 7

2 22 1

7 7m 1 1 1

0

x xd d 7 7 56 63 d0,022 9 8v dx dx 9 8 72 dx7 7

1

14 1

4

m4,32 d

v

1

54 5

4

m4,32 C 3,45 C5v

4

Há dificuldade no cálculo de C, pois não se sabe onde começa atransição de

camada limite laminar para camada limite turbulenta e a posição onde essa transição se inicia

influencia a espessura da camada limite (não há condições de contorno para determinação de

C).

Estudos de Prandtl mostram que se se adotasse 1x 0 para os cálculos, o erro

seria “grande”, principalmente em pontos após a posição da transição. Não é a melhor

alternativa, mas se adotará, por ora, 1x 0 e, então, C = 0. Daí,

1

15 4

51

m0,376 x

v

.

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João Roberto Barbosa 315

11

151 xm 1

0,376 0,376x Rev x

(dá a espessura maior que a correspondente laminar).

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João Roberto Barbosa 316

7 - BIBLIOGRAFIA

INTRODUCTION TO CONTINUUM MECHANICS 7.1 -

W. Michael Lai, David Rubin e Erhard Krempel

Pergamon Unified Engineering Series, 1974

LECTURES ON FLUID MECHANICS 7.2 -

Sidney Goldstein e J. M. Burgers

American Mathematical Society, Providence, RI

Interscience Publishers, Inc., 1960

BOUNDARY LAYER THEORY 7.3 -

H. Schlichting

McGraw-Hill, NY, 1979

FLUID DYNAMICS, THEORETICAL AND COMPUTATIONAL 7.4 -

APPROACHES

Z. U. A. Warsi

CRC Press, 1998

INTRODUCTION TO TENSOR CALCULUS AND 7.5 -

CONTINUUM MECHANICS

J.H. Heinbockel

Department of Mathematics and Statistics, Old Dominion University, 1996

COMPUTATIONAL FLUID MECHANICS AND HEAT 7.6 -

TRANSFER

J. C. Tanehill, D. A. Anderson, R. H. Pletcher

Taylor & Francis, Washington DC, 1997

FUNDAMENTALS OF FLUID MECHANICS 7.7 -

Bruce R. Munson, Donald F. Young e Theodore H. Okiishi

John Wiley & Sons, Inc., 1998

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João Roberto Barbosa 317

8 - ANEXO I

Séries de Exercícios

A resolução das séries de exercícios é obrigatória. Fará parte da avaliação do aluno. Deve ser

entregue na data indicada.

A tarefa é individual, sendo permitida a consulta a suas próprias referências bibliográficas.

A solução de cada uma das séries deve ser entregue na aula da semana imediatamente

após a discussão, em aula, dos assuntos nela contidos

SÉRIE NO

1 8.1 -

1. Dados ta 1 0 5 , 1 2 0

B 0 3 20 1 2

e 0 3 1

C 2 0 14 2 3

, mostrar as equivalências das

equações:

a) ji ijD B , com tD B d) ij i js B a a , com ts a Ba

b) i ij jb B a , com b Ba e) ik ij jkD B C , com D BC

c) j ij ib B a , com b Ba e) ik ij kjD B C , com tD BC

2. Dados ta 1 2 3 , tb 2 1 5 e 0 1 2

S 2 1 34 1 0

, calcular:

a) T, se ij ijk kT a c) d, se k ijk i jd a b . Mostrar que k kd a b e

b) c, se i ijk jkc S

3. Sejam ij ij ji1T S S2

e ij ij ji1R S S2

. Mostrar que ij ij ijS T R , ij jiT T e

ij jiR R .

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João Roberto Barbosa 318

4. Seja ijA o determinante da matriz cujo elemento na coluna j e na linha i é dado por ijA .

Mostre que ijA = ijk i1 j2 k3A A A .

5. A matriz T na base 1 2 3e e e é dada por 0 1 02 1 00 0 5

. Achar a matriz de T na base

1 2 3f f f obtida pela rotação da base 1 2 3e e e de o90 em torno do eixo 2e , seguido

de uma rotação de o45 em torno do eixo 3e .

6. Determine os autovalores e os autovetores da matriz 0 1 02 1 00 0 5

e da matriz 0 1 22 1 34 1 0

.

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João Roberto Barbosa 319

SÉRIE NO

2 8.2 -

1. Defina o que é parametrização de uma curva no 3E .

2. Como é parametrizada uma curva no 3E ?

3. Defina vetor normal a uma curva no 3E e indique um modo de calculá-lo. Dê 3

exemplos.

4. Defina vetor tangente a uma curva no 3E e indique um modo de calculá-lo. Dê 3

exemplos.

5. Escreva as curvas paramétricas, no 3E , de: a) uma reta; b) uma circunferência; c) uma

elipse; d) uma hélice.

6. Como você obtém as equações, no 3E , de curvas em termos das coordenadas do

sistema (por exemplo, x,y,z)? Dê 3 exemplos

7. O que é comprimento de curva? Dê exemplo para o caso de uma elipse no 3E .

8. O que é uma curva parametrizada cujo parâmetro é o comprimento de curva? Para quê

se usa essa parametrização. Dê 3 exemplos.

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João Roberto Barbosa 320

SÉRIE NO

3 8.3 -

1. O escoamento compressível, em regime permanente, tem suas equações de conservação de

massa, quantidade de movimento e energia, em 2 dimensões, desprezando-se as forças de

campo e geração de calor, escritas na forma matricial U E F 0t x y

, com

tU u v e , E E U e F F U , sendo a densidade, u, v as componentes

cartesianas da velocidade e e a energia total por unidade de volume.

Obtenha E e F usando PI para as tensões e j iij

i j

v v vx x

2. Seja E U F UU 0

t x y

, com tU u v e ,

t 2x xy x xy

TE u u uv e u v kx

t 2xy y z xy

TF v uv v e v u ky

xu v uP 2x y x

, y

u v uP 2x y y

, xy

u vy x

.

Fazendo-se a mudança de variáveis o

,

o

xxx

, o

yyy

, o

uuu

, o

vvv

, o

TTT

,

2o o

PPa

, 2o o

eea

, o

,

o

kkk

, o

o

at tl

, o o o

o

l aRe

,

o

, o Po

o

cPrk

, mostre

que

U u v e ,

t 2x xy x xy

1 TE u u uv e u v kPr Re 1 x

,

t 2xy y z xy

1 TF v uv v e v u kPr Re 1 y

, com

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João Roberto Barbosa 321

xu v uP 2

Re x y Re x

, yu v uP 2

Re x y Re y

, xyu v

Re y x

e que a equação pode ser escrita na forma U E F 0t

se x, y e x, y ,

com

UU

, x y1E E F

, x y1F E F

, x y y x1J

x y x y

, x Jy ,

y Jx , x Jy e y Jx

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João Roberto Barbosa 322

SÉRIE NO

4 8.4 -

1. Escrever as equações de conservação em coordenadas cartesianas ortonormais

x, y,z .

2. Fazer a mudança de variáveis adequada e obter as equações de conservação em

coordenadas cilíndricas r, , z .

3. Idem em coordenadas esféricas r, , .

4. Mostrar que jtji

i

v: v

x

.

5. Mostrar que tr r r .

6. Mostrar que tij ji i jr e e .

7. Mostrar que tv v : v .

8. Mostrar que PI v P v v P .

9. Para todo tensor anti-simétrico R existe um vetor w tal que, t V , Rt w t .

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João Roberto Barbosa 323

SÉRIE NO

5 8.5 -

1. Obter, a partir das formas vetoriais, as equações de conservação em coordenadas

cartesianas ortonormais 1 2 3e e e , para um sistema inercial e para um sistema

não-inercial.

2. Obter as expressões para o cálculo, em coordenadas cilíndricas r ze e e , dos

operadores

a. Divergente

b. Rotacional

c. Gradiente

d. Laplaciano 2

3. Obter, a partir das formas vetoriais, as equações de conservação em coordenadas

cilíndricas r ze e e , para um sistema inercial e para um sistema não-inercial.

4. Obter a função de dissipação viscosa t : v em coordenadas cartesianas ortonormais

1 2 3e e e

5. Idem em coordenadas cilíndricas r ze e e

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João Roberto Barbosa 324

SÉRIE NO

6 8.6 -

Nos exercícios desta série considerar fluido newtoniano; no sistema apropriado, obter

a. As componentes de v

b. A diádica D

c. A diádica

d. As tensões de cisalhamento nas paredes

e. A força originária do atrito viscoso

f. A potência dissipada

g. O torque e a potência correspondente

1. A distribuição de velocidades entre 2 placas planas paralelas afastadas é dada por 23v yv 1

2 h

, onde v é a velocidade média. A viscosidade do fluido é

42

Ns4,35x10m

. A velocidade média é 5 m/s e h=0,050 m (Figura 1).

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João Roberto Barbosa 325

2. Um fluido cuja densidade é 920 3kgm

e viscosidade 42

Ns4,35x10m

escoa sobre

uma superfície plana fixa. O perfil de velocidades próximo à parede é dado por

yv vsen2

(Figura 2).

3. Uma placa plana está localizada entre 2 outras fixas e se move com a velocidade

de 4 m/s. Dois fluidos estão em contato com a placa móvel, cujas viscosidades são

4200x10 e 4100x10 2Nsm

respectivamente. Considerar distribuição linear de

velocidade entre as placas. Os espaços entre elas é de 6 mm e 3 mm

respectivamente (Figura 3).

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João Roberto Barbosa 326

4. Um cilindro vertical de 50 mm de diâmetro está no interior de outro cilindro de

50,2 mm de diâmetro interno. A folga entre os cilindros concêntricos está cheia de

óleo SAE 10 a o20 C . O comprimento dos cilindros é de 200 mm. Considerar

distribuição linear de velocidades na folga. Repetir os cálculos para óleo a o80 C .

Usar as viscosidades de 0,1 e 0,01 2Nsm

respectivamente (Figura 4).

5. Uma placa circular de 30 cm de diâmetro, fina, gira sobre uma placa plana fixa.

Estão separadas por uma folga de 0,0025 m. Nessa folga existe fluido de

viscosidade 1 2Nsm

. Considerar distribuição linear de velocidades do fluido na

folga. Desprezar a superfície lateral do disco e o efeito de centrifugação do

escoamento (Figura 5).

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João Roberto Barbosa 327

SÉRIE NO

7 8.7 -

Considere escoamento viscoso, compressível, regime permanente, entre 2 placas planas

paralelas e infinitas, uma fixa e outra se movendo paralelamente à fixa, na direção x, com

velocidade ov . Na placa fixa, a condição de aderência dá v 0 , isto é, 1 2 3v v v 0 . Na

placa móvel, 1 0 2 3v v e v v 0 . Considere que as propriedades do escoamento variam

com y.

1. Qual tipo de escoamento real está sendo modelado?

2. Mostrar que a primeira equação de conservação da quantidade de movimento e a

de energia ficam reduzidas a

1vd 0dy y

e 2

1vd Tk 0dy y y

respectivamente.

3. Mostrar que 1 11

k dT v cdv

.

4. Definir número de Prandtl por Pck e mostrar que

k hF T dTPr

para gás

perfeito e número de Prandtl constante.

5. Mostrar que 22 1 1 1

1F T C C v v2

e que T pode ser escrito em função de 1v .

Em conseqüência, mostrar que e k podem ser escritos em função de 1v .

6. Mostrar que y pode ser escrito em função de 1v , na forma 3 1

v 01

y C v dv

.

7. Determinar as condições de contorno apropriadas para calcular as constantes

1, 2 3C C e C (uma referente a cada velocidade e 2 a temperaturas – se a placa

for isolada, gradiente de T é nulo na superf´cie; senão, especificar T na superfície).

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João Roberto Barbosa 328

8. Da segunda equação de conservação da quantidade de movimento mostrar que

P g 0y

e que 31

dPC g 0dv

.

9. Para gás perfeito, mostrar que 3

1

C dP g 0P dv RT

e que P pode ser calculado em

função de 1v .

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João Roberto Barbosa 329

SÉRIE NO

8 8.8 -

1. Calcular a solução do problema de Hagen-Poiseuille generalizado, entre 2 tubos

concêntricos inclinados de um ângulo , com o tubo central movendo-se na direção

do eixo z com velocidade 0v . Usar um sistema de coordenadas cilíndricas.

2. Calcular v e P; montar gráficos de e para:

a. Cilindro imerso em escoamento homogêneo

b. Oval de Rankine (fonte e sumidouro imersos em escoamento homogêneo).

c. Aerofólio de Joukowski imerso em escoamento homogêneo.

3. Calcular Pc para um aerofólio de Joukowski e mostrar sua variação em forma gráfica

( Pc x distância a partir do bordo de ataque), para incidência nula.

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João Roberto Barbosa 330

SÉRIE NO

9 8.9 -

A figura representa uma seção transversal de um mancal de deslizamento generalizado. O

eixo central gira com velocidade angular 1 , o anel com velocidade angular a e o cilindro

externo com velocidade angular 2 . As folgas contêm óleo de viscosidade . O escoamento

pode ser considerado como de simetria axial. Gradientes na direção radial são nulos. Partindo-

se das equações de conservação:

1. Escrever:

a. A velocidade v na forma r r z zv r, ,z e v r, ,z e v r, ,z e .

b. As condições de contorno aplicáveis

c. O sistema de equações a ser resolvido, na forma invariante.

d. As simplificações aplicáveis.

e. O sistema de equações simplificado após d.

2. Calcular, por unidade de comprimento do mancal (quando aplicável):

a. A solução v na forma 212 3

C C r C rr

b. Um gráfico (sem escala) indicativo da variação de v na direção radial, para

todas as posições de r 0 a D42r .

3. Desprezando-se forças de campo, escrever:

a. As soluções nos canais interno e externo (velocidades)

b. As vorticidades nesses canais

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João Roberto Barbosa 331

c. As diádicas de deformações e de tensões viscosas

d. As tensões viscosas nas fronteiras sólidas

e. As potências resistivas nos canais

f. As potências dissipativas nos canais

g. A velocidade angular do anel

4. Na pesquisa da possibilidade de existência de escoamento potencial:

a. Em que regiões se pode encontrar escoamento irrotacional? Justificar.

b. No caso de escoamento irrotacional, qual a velocidade angular do anel?

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João Roberto Barbosa 332

SÉRIE NO

10 8.10 -

1. Dada a função potencial 1v x , determinar o escoamento que por ela é

representado. Mostrar, de forma gráfica, as linhas de corrente associadas a esse

escoamento.

2. Dada a função de corrente 12v xy , determinar o escoamento por ela representado.

Mostrar graficamente as curvas equipotenciais associadas.

3. Dada a função potencial 11v r cosr

, determinar e traçar um gráfico de

sobreposto a .

4. Traçar as curvas =const e =const para o escoamento dado por

11v r cosr

.

5. Mostrar que 1 2dW v ivdz

, com 1 1 2 2v v e v e .

6. Dado 2cW z zz

(c = const), traçar as curvas =const e =const ao redor da

linha de corrente correspondente a =0.

7. Obter o potencial complexo para um escoamento paralelo, com inclinação

relativamente ao eixo real.

8. Calcular as linhas de corrente para um escoamento formado pela superposição de um

escoamento uniforme com o escoamento de um vórtice e de um dipolo. Calcular o

arrasto e a sustentação do corpo sólido determinado pela linha de corrente

correspondente a =0.

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João Roberto Barbosa 333

SÉRIE NO

11 8.11 -

1. Definir e dar 2 exemplos de cada;

a. Função corrente

b. Função potencial de velocidade

2. Explicar o porquê de a função corrente ser definida para 2 dimensões e a função

potencial para 3 dimensões.

3. Definir e dar 2 exemplos de cada:

a. Escoamento uniforme

b. Escoamentos rotacional e irrotacional

c. Escoamento homogêneo

d. Escoamento permanente

e. Escoamento potencial

4. Definir fluido.

5. Definir e dar 2 exemplos de cada

a. Trajetória

b. Linha de corrente

c. Explicar quando e porquê trajetória e linha de corrente podem ser coincidentes.

6. Mostrar que V V

D DvvdV dVDt Dt

.

7. Fazer gráficos (utilizando planilha eletrônica) mostrando as linhas de corrente, o

campo de velocidades, o campo de pressões e o campo dos gradientes de pressão para

os casos seguintes

a. Fonte colocada num escoamento uniforme

b. Oval de Rankine

c. Escoamento ao redor de um cilindro

d. Escoamento à entrada de um canal

e. Escoamento ao redor de um perfil de Jukovski esbelto

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João Roberto Barbosa 334

SÉRIE NO

12 8.12 -

1. Resolver o problema de camada limite ff '' f ''' 0 , com as condições f(0) 0 ,

f'(0) 0 , f ' 2 e obter 1

m

vv

em função de , com pelo menos 4 algarismos

significativos. Comparar os seus resultados com os apresentados em classe.

2. Obter a partir de seus resultados

3. Obter *

1x

4. Obter 1x

5. Calcular w

6. utilizando perfil de velocidades cúbico, calcular, na camada limite

a. 1x

b. w

c. 1x

d. *

1x

e. 1x

f. comparar esses resultados com os calculados por Blasius.

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João Roberto Barbosa 335

ME-201/2005 – MECÂNICA DOS FLUIDOS

PROVAS

A Prova individual com consulta permitida apenas a anotações próprias.

A duração da prova é de 3 horas.

Prova 1 8.13 -

Nome:

_______________________________________________________________________

A prova é individual, permitida a consulta apenas às Notas de Aulas

Leia com bastante atenção cada uma das questões antes de iniciar a solução.

Boa prova.

1. Responda, de forma clara e concisa, às seguintes questões:

a) O que são condições de contorno, no contexto do estudo de escoamentos tratado no curso

ME201?

b) O que é linha de corrente?

c) O que é trajetória?

d) Trajetória é sinônimo de linha de corrente? Por que?

e) O que é regime permanente?

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João Roberto Barbosa 336

f) O que é regime transitório?

g) Como você conceituaria regime permanente no contexto Lagrangeano?

h) O que é escoamento laminar?

i) O que é escoamento turbulento?

j) O que é propriedade homogênea?

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João Roberto Barbosa 337

Nome:

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2. Considere que o escoamento 2-D, incompressível, não viscoso, em regime permanente, nas

vizinhanças de um canto de o90 pode ser descrito pela função de corrente 22r sen(2 ) .

Considere que a densidade do fluido é de 1000 3kg / m e que o escoamento ocorre no plano

horizontal.

a) qual(is) a(s) condição(ões) adicional(is) que precisa(m) ser satisfeita(s) para que se

possa calcular o potencial de velocidades.

b) determinar, se possível, o potencial de velocidades.

c) se num ponto em uma das paredes, a 1 m do canto, a pressão é de 50 kPa, qual a

pressão em um ponto na outra parede, a 0,5 m do canto?

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João Roberto Barbosa 338

Prova 2 8.14 -

Nome:

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1. Considere um duto de seção quadrada de lado L. Nesse duto entra ar, com velocidade

uniforme ov . Forma-se camada limite sobre cada uma de suas paredes internas. Fora da

camada limite o escoamento se comporta como não-viscoso. Foi determinado que a espessura

de deslocamento da camada limite é dada por * k x . Considere regime permanente e

despreze os efeitos de canto.

a) determine a velocidade do escoamento u(x) dentro do duto mas fora da camada limite.

b) determine a pressão ao longo das paredes do duto.

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João Roberto Barbosa 339

Prova 3 8.15 -

Em todas as questões: começar escrevendo as equações de conservação completas, indicar as

simplificações, fazê-las e, então, resolvê-las.

Devolver esta folha juntamente com as folhas de respostas, cada uma com o seu nome

completo.

Nome: ___________________________________________ Curso: (M, D, MI): _____

Leia com bastante atenção cada uma das questões e trace uma linha de ação para resolvê-la.

Faça esquemas elucidativos e só comece a solução após haver entendido completamente cada

questão e saber como vai resolvê-la.

Boa prova

Questão 1

Num escoamento o campo de velocidades é dado por r1 1v e er r . Verifique

se o escoamento (fluido) é incompressível. Admitindo-se que o fluido seja

incompressível, calcule a vazão em massa de fluido que atravessa a superfície

cilíndrica dada por 2 2x y 1 e 0 z 1 (superfícies lateral, base e topo).

Questão 2 Um fluido escoa com velocidade 1 2v 2xte 2yte . Calcule a aceleração de uma

partícula desse fluido que, no instante t=0, está no ponto P : (2;2).

Questão 3

A queda de pressão necessária para forçar o escoamento de água num tubo de

0,050 m de diâmetro, inclinado a o30 , é 50 kPa para cada metro do tubo.

Calcular a tensão de cizalhamento na parede interna, no centro e num ponto

localizado a 0,025m da parede do tubo.

Questão 4

Pode-se obter, a partir da equação de conservação da quantidade de movimento, a

equação de Bernoulli 2P 1 v gz cons tan te2

, admitindo-se escoamento

permanente e não viscoso ao longo de uma linha de corrente, para um campo

gravitacional constante. Obtenha, uma equação equivalente à de Bernoulli para

um campo gravitacional variável, dado por o zg (g kz)e , com og e k

constantes.

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João Roberto Barbosa 340

Prova 4 8.16 -

Devolver esta folha juntamente com as folhas de respostas, cada uma com o seu nome

completo.

Nome: ___________________________________________ Curso: (M, D, MI): _____

Leia com bastante atenção cada uma das questões e trace uma linha de ação para resolvê-la.

Faça esquemas elucidativos e só comece a solução após haver entendido completamente cada

questão e saber como vai resolvê-la.

Boa prova

Questão 1

Seja uma função corrente ar b , com r 0 , a e b constantes positivas.

a) calcular a equação das trajetórias e fazer um esquema de algumas

delas

b) calcular a vazão através de uma superfície cilíndrica de raio r,

centrada na origem

c) calcular a função potencial de velocidade. O escoamento é

irrotacional?

Questão 2

Seja um dispositivo composto por um cilindro fechado na base e aberto no

topo, contendo um pistão de raio 10 cm e comprimento 10 cm, que pode

movimentar-se na direção vertical. A folga entre o cilindro e o pistão é f.

Sobre o pistão há um peso que causa uma pressão de 2 MPa no fluido, cuja

viscosidade é 0,5 Ns/m2. A velocidade de descida do pistão é 2 mm/min.

Calcular a folga f admitindo-se modelo de escoamento entre 2 cilindros

concêntricos desprezando-se “efeitos de ponta” (comprimento infinito).

Questão 3

Mostre que, para um a placa plana recebendo escoamento uniforme com

incidência nula, o coeficiente de arrasto (correspondente a um lado da placa)

pode ser dado por D1,328C

Re , onde

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João Roberto Barbosa 341

D = arrasto causado pelo atrito viscoso; D20

DC 1 v bl2

= densidade do fluido

vo = velocidade do escoamento não perturbado

b = largura da placa; l = comprimento da placa

Re = número de Reynolds relativo ao escoamento não perturbado. ''wf = 0,496 (segunda derivada da função similar de Blasius calculada na

placa).