O Método dos Elementos Finitos e a Engenharia Civil Conclui-se, portanto, que as aplicações do Método dos Elementos Finitos na Engenharia Civil são tantos e tão importantes que

O Método dos Elementos Finitos e a Engenharia Civil dezembro/2015

ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015

O Método dos Elementos Finitos e a Engenharia Civil

Ademir José Moraes – [email protected]

MBA Projeto, Execução e Controle de Estruturas e Fundações.

Instituto de Pós-Graduação - IPOG

Cuiabá-MT, 20 de junho de 2015.

Resumo

O presente artigo analisa as aplicabilidades do Método dos Elementos Finitos (MEF) dentro

da Engenharia Civil, especialmente dentro do campo da Análise e Dimensionamento de

Estruturas. Existem realmente vantagens na utilização deste modelo matemático? Quais são

os benefícios oferecidos ao longo do tempo aos engenheros civis no seu trabalho de análise

estrutural? Devido ao aumento da capacidade de processamento dos computadores nas

últimas décadas, o Método dos Elementos Finitos tornou-se aplicável ao cotidiano do

Engenheiro Civil, pois tornou possível o desenvolvimento de inúmeros softwares de análise

estrutural acessíveis e, devido à sua extrema eficiência, auxiliar na importante tarefa de

determinação de esforços, tensões e deslocamentos. O objetivo é descrever a metodologia

teórica do MEF, seu desenvolvimento histórico e as principais aplicações encontradas dentro

da Engenharia Civil. Para isso, será realizado uma extensa pesquisa bibliográfica em livros,

teses e dissertações, apresentando um breve estudo a respeito do Método dos Elementos

Finitos, seus principais conceitos e aplicações e sua importância para a Engenharia Civil.

Conclui-se, portanto, que as aplicações do Método dos Elementos Finitos na Engenharia

Civil são tantos e tão importantes que faz-se necessário que os profissionais da área

conheçam ao menos suas aplicações e seus conceitos básicos.

Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos, Análise Estrutural, Métodos Numéricos,

Engenharia de Estruturas.

1. Introdução

Estudar a evolução histórica da teoria do Método dos Elementos Finitos, bem como suas

aplicações práticas, é acompanhar a estupenda evolução tecnológica pela qual passou a

humanidade a partir da segunda metade do século XX, e tal é a sua importância, que não há

como negar o papel fundamental desenvolvido por este nesta evolução, pois, como veremos,

suas contribuições foram imprescindíveis para evoluirmos para o atual estado da arte nas

análises estruturais, seja no campo da construção civil, seja nas áreas de engenharia mecânica,

naval, aeronáutica, etc.

A importância do estudo conceitual da teoria do Método dos Elementos Finitos mostra-se

cada vez mais relevante aos que se propõem a se aventurar no desafiante mundo da Análise de

Estruturas, visto que estes conceitos estão presentes em praticamente todos os softwares

disponíveis e que, sem dúvida, podem e devem ser utilizados como ferramentas

indispensáveis no cotidiano do engenheiro estrutural.

Desta maneira, é inconcebível que o analista de estruturas simplesmente utilize estes

softwares sem entender os conceitos que foram utilizados na sua concepção, e pior ainda, sem

que possua conhecimentos que possam questionar e até mesmo criticar os resultados



apresentados pelo mesmo. Sobre isso, veja o que diz o Prof. Dr. Avelino Alves Filho,

engenheiro mecânico e um dos precursores do estudo do Método dos Elementos Finitos no

Brasil: “Se o engenheiro não sabe modelar o problema sem ter o computador, ele não deve

fazê-lo tendo o computador.” (ALVES FILHO, 2012).

2. Histórico

É consenso entre os autores, que o marco inicial da teoria do Método dos Elementos Finitos

pode ser definido ao final do século XVIII, quando o matemático alemão Gauss, conhecido

como “príncipe da Matemática”, tal a contribuição dos seus trabalhos para o desenvolvimento

desta ciência, propôs a utilização de funções de aproximação para a solução de problemas

matemáticos. (LOTTI, MACHADO, et al., 2006).

Segundo Pavanello, (1997),

Remontam a 1906 os primeiros princípios que posteriormente seriam consolidados

no Método dos Elementos Finitos. Nesta época, pesquisadores propuseram um

mecanismo de modelagem do contínuo por um modelo de barras elásticas, de tal

forma que os deslocamentos nos nós representassem uma aproximação para os

deslocamentos do contínuo.

Também há de se destacar o trabalho do matemático e físico suíço, Walter Ritz, que em 1909

desenvolveu um método numérico para determinar a solução aproximada de problemas de

mecânica em sólidos deformáveis, denominado como Método de Ritz, que é uma das bases

teóricas para o que conhecemos hoje como Método dos Elementos Finitos.

No entanto, devido às limitações existentes, e pela dificuldade de processamento de equações

algébricas, especialmente em equações com muitas variáveis, foi somente a partir da década

de 1940, com o advento dos primeiros computadores movidos à válvula, e toda a evolução

tecnológica possibilitada por estes, é que realmente as teorias puderam ser colocadas em

prática.

Atribui-se a um matemático americano judeu denominado Richard Courant, em uma nota de

rodapé do seu livro “Methoden der Mathematischen Physik” (1924), escrito em alemão em

coautoria com David Hilbert, os primeiros conceitos do que viria, décadas mais tarde, a ser

conhecido como Método dos Elementos Finitos. Nesta nota, Courant propôs o primeiro

procedimento computacional para a solução numérica de equações diferenciais parciais.

No entanto, o primeiro a sugerir a nomenclatura tal qual a conhecemos hoje, Método dos

Elementos Finitos, foi o professor de Engenharia Estrutural do departamento de Engenharia

Civil, da Universidade da Califórnia, Ray. W. Clough, em um artigo publicado na década de

1960.

O professor Clough já havia publicado, em 1956, em coautoria com alguns outros

matemáticos e engenheiros, um artigo com todos os conceitos já aplicados, em um projeto de

análise estrutural de aeronaves para a empresa americana Boeing, de modo a permitir uma

melhor modelagem para a fuselagem dos seus aviões.

De acordo com Campos (2005),

Se, inicialmente, o FEM fora desenvolvido como um método de simulação baseado

em computação para análise de estruturas aeroespaciais, no final dos anos 60 passou

a ser utilizado para a simulação de problemas não estruturais em fluidos,



termomecânica e eletromagnetismo.

Aconteceu, então, a partir da década de 1970, um crescimento exponencial do número de

artigos publicados, bem como de softwares especializados na utilização do M.E.F. para

determinação de esforços, entre os quais se pode citar o ANSYS, o NASTRAN, este último

desenvolvido pela NASA.

2.1 Elementos Finitos no Brasil

O estudo e aplicação prática da teoria do M.E.F. no Brasil iniciaram-se ainda na década de 60,

mais especificamente com os trabalhos do professor Fernando Venâncio Filho, que foi o

primeiro a publicar um artigo científico sobre o tema no país. A crescente demanda por

tecnologia pela qual o Brasil passava nesta década, com a instalação das indústrias

automobilísticas e aeronáutica, bem como a construção de Brasília alavancou ainda mais o

interesse por métodos computacionais de análise estrutural.

Como se pode verificar em Las Casas, (2002), “O primeiro computador dedicado ao cálculo

científico foi instalado em 1960 na PUC-Rio, um Datatron B205 da Burroughs. O segundo

computador foi instalado dois anos mais tarde, em São Paulo, desta vez um IBM 1620”. Na

figura 1, abaixo, pode-se ver uma foto de um modelo idêntico ao instalado na PUC-Rio.

Figura 1 - Datatron 205. Primeiro computador utilizado no Brasil para cálculos científicos (UFRJ, 1969).

Fonte: Datatron: Computer History (Disponível em: http://tjsawyer.com/b205home.htm. Acesso em maio/2015).

No entanto, ainda que estes computadores fossem utilizados mais para realização de cálculos

trabalhosos e repetitivos, já nesta época foram implementados e desenvolvidos programas

específicos de análise matricial e elementos finitos. Segundo o mesmo autor, foi

desenvolvido, no final da década de 1960, no Instituto Tecnológico da Aeronáutica, um



protótipo de programa computacional para análise estrutural do avião Bandeirantes, de

fabricação nacional.

Outro marco importante no campo da análise estrutural no Brasil foi a criação da COPPE

(Centro de Pesquisas em Engenharia), da UFRJ, tornando-se em 1969, a primeira instituição

brasileira credenciada a conferir o título de doutor. Desta época, destaca-se o trabalho do

professor Luiz Lobo B. de Carneiro, primeiro professor do curso do Método de Elementos

Finitos na COPPE. Em 1970, outro professor, Alcebíades de Vasconcellos Filho apresentou a

primeira tese de doutorado da COPPE, com o tema que se propunha a discutir a análise de

placas através do Método dos Elementos Finitos. (LAS CASAS, 2002)

Vale ressaltar também o desenvolvimento, em 1973, do primeiro programa brasileiro de uso

geral baseado no M.E.F, em Porto Alegre, pelo professor A. Ferrante. A esse programa deu-se

o nome de Lorane, e seu desenvolvimento teve continuação também na COPPE-UFRJ. (LAS

CASAS, 2002)

Por fim, destaca-se também a realização, em 1977, do Primeiro Congresso Latino-Americano

em Métodos Computacionais para Engenharia Civil, organizado no Rio de Janeiro pelo

professor Ferrante, apresentando “o resultado de duas décadas de trabalho por alguns

pioneiros na estruturação de uma comunidade de mecânica computacional no Brasil, com a

importante colaboração de colegas do Cone Sul”. (LAS CASAS, 2002)

3. O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E A ENGENHARIA PREVENTIVA

Com a crescente evolução e facilidade de acesso a sistemas computacionais com poder de

processamento poderosíssimos, o Método dos Elementos Finitos tem se tornado uma

excelente ferramenta na modelagem de sistemas estruturais visando a prevenção de

problemas, tentando-se desta maneira, antever o comportamento estrutural dos elementos,

fazendo assim um diagnóstico preventivo das peças mais susceptíveis a apresentar problema

no futuro. A isso se tem chamado Engenharia Preventiva.

A título de exemplo, serão ilustradas algumas estruturas com geometrias não usuais, cujos

processos de determinação de esforços e previsão de possíveis problemas estruturais seriam

muito dispendiosos, ou até mesmo inviáveis, caso não fossem utilizados os conceitos do

Método dos Elementos Finitos.

3.2.1. Cobertura do Museu de Arte do Rio – Rio de Janeiro, Brasil.

De acordo com Jazra, (2013), o Museu de Arte do Rio (MAR), considerada como a primeira

obra da revitalização portuária da cidade do Rio de Janeiro a ser inaugurada, foi construído

interligando dois prédios históricos existentes, através de duas passarelas translúcidas, além

de uma cobertura suspensa, cuja ideia de partido arquitetônico era imitar a fluidez das ondas

do mar. Com 66 metros de comprimento, 25 metros de largura e desníveis que chegavam a

1,5 metros, a estrutura, que possui em média apenas 15 cm de espessura, e está apoiada

diretamente em 37 pilares, se mostrou um desafio para a equipe técnica, tanto em sua fase de

projeto e dimensionamentos dos esforços, quanto em sua fase de execução.



Desta maneira, somente através de softwares que se utilizam do Método dos Elementos

Finitos é que se chegou ao modelo necessário para a determinação dos esforços,

especialmente nas regiões de encontro da laje com os pilares, devido à fluidez e leveza da

mesma, como se observa na figura 2.

Figura 2 Museu de Arte do Rio.

Fonte: Pini Arquitetura. http://piniweb.pini.com.br/construcao/arquitetura/museu-de-arte-do-rio-e-inaugurado-

278759-1.aspx Acesso em abril/2015

Na figura 3, pode-se verificar o resultado da análise estrutural da cobertura, com o diagrama

dos momentos fletores da estrutura.

Figura 3 - Cobertura do M.A.R. - Diagrama de Momentos Fletores.

Fonte: Pini Arquitetura. http://piniweb.pini.com.br/construcao/arquitetura/museu-de-arte-do-rio-e-inaugurado-

278759-1.aspx Acesso em abril/2015

3.2.2. Ponte D. Luiz I, Porto, Portugal.

Construída no final do século XIX, a ponte D. Luiz I, (figura 4) interliga as cidades de Porto e

Vila Nova de Gaia, em Portugal, e trata-se de uma ponte de estrutura metálica, com dois

tabuleiros, que passou por uma análise através do Método dos Elementos Finitos, de modo a

determinar quais peças sofreram maior desgaste com o tempo, e, portanto, necessitavam de

mais atenção durante o complexo processo de manutenção e eventual reforço estrutural da



mesma.

Figura 4 - Ponte D. Luis I, Porto, Portugal.

Fonte Estudos para a ponte Luis I. https://web.fe.up.pt/~azr/pontes/luis_con.htm. Acesso em abril/2015

O resultado da análise pode ser visto na figura 5, abaixo:

Figura 5 - Análise por M.E.F. revelou quais barras precisariam ser reforçadas.

Fonte Estudos para a ponte Luis I. https://web.fe.up.pt/~azr/pontes/luis_con.htm. Acesso em abril/2015

4. IMPORTÂNCIA DO ENSINO NA GRADUAÇÃO

É notório nos dias atuais, especialmente na última década, o crescente aumentos de cursos de

graduação em Engenharia Civil no Brasil, movidos especialmente pela grande demanda por

engenheiros, arquitetos e afins, devido principalmente aos avanços sociais e econômicos

apresentados pelo Brasil desde o início do século.

No entanto, devido a diversos fatores, os quais não será discutido o mérito neste trabalho,

ocorre uma grande falta de padronização curricular, seja na quantidade de horas cursadas, seja

no conteúdo prático e teórico ministrado aos alunos de graduação.

Sobre a dificuldade em se aprofundar os estudos teóricos sobre análise estrutural nos cursos

de graduação em Engenharia Civil, Bandeira e Chivante, (2006), dizem o seguinte:



..., o uso exclusivo de equações de equilíbrio viabiliza a resolução de um grupo

limitado de sistemas estruturais (os isostáticos). Já para a solução dos sistemas

hiperestáticos, o uso de técnicas analíticas também limita sua aplicação, devido à

necessidade de grande esforço físico para sua implementação e, em casos mais

complexos, a necessidade de uma ferramenta computacional que viabilize a solução

do problema.

Os autores ressaltam ainda, como dificuldade a ser enfrentada, a íntima interdisciplinaridade

existente, e necessárias para o completo entendimento das teorias da análise estruturas, com

disciplinas que muitas vezes não ganham a devida importância dos alunos de graduação, tais

como cálculo diferencial, álgebra linear, mecânica dos sólidos, etc.

Esta pequena pesquisa, resumida no Quadro 1 abaixo, tem a intenção de demonstrar que há,

felizmente, uma crescente oferta de disciplinas mais aprofundadas sobre análise estrutural

dentro das grades dos cursos de graduação, seja como matérias obrigatórias ou optativas,

sendo que entre as mais destacadas estão as que discorrem sobre o Método dos Elementos

Finitos. Ainda que este movimento seja menor do que o necessário, espera-se que trabalhos

como dessa monografia ajudem nesse processo de conscientização.

Instituição de Ensino Curso M.E.F

Universidade de Cuiabá Engenharia Civil -

Universidade de Cuiabá Engenharia Mecânica -

UFMG Engenharia Civil Optativa

UFMT Engenharia Civil -

IPOG-GO Engenharia Civil Optativa

UFRJ Engenharia Civil Optativa Quadro 1 – Ensino do M.E.F. na Graduação no Brasil

Fonte: Elaborado pelo Autor (2015)

5. CONCEITUAÇÃO TEÓRICA

Não é uma tarefa fácil encontrar uma única definição consolidada entre os diversos autores

que discorreram sobre o tema ao longo do tempo, mas pode-se dizer, de maneira genérica, que

se trata de uma técnica que se utiliza de métodos numéricos, onde, através do uso de equações

diferenciais, podem-se obter soluções aproximadas.

De acordo com Pavanello, (1997), “... o Método dos Elementos Finitos foi criado com o

objetivo de se resolver os problemas de mecânica que não admitem soluções fechadas (de

forma analítica)”. Em outras palavras, ele baseia-se em uma discretização de domínios, que

podem ter geometrias irregulares arbitrárias, gerando assim elementos polinomiais básicos,

que permitem, através da resolução das aproximações em seus nós, chegar-se a uma

aproximação do comportamento da estrutura como um todo.

Segundo Gesualdo(2010),

Elementos mais simples têm formulação mais simples, caso de triângulos com 6

graus de liberdade (gl) – 3 nós -, ou retangulares com 8 gl – 4 nós. Contudo, modelar

sistemas de contorno complexo pode exigir a combinação de diferentes formas de

elementos.

Quanto maior a complexidade dos elementos a serem modelados, bem como quanto mais

elementos forem definidos, ou seja, quanto mais discretizada a estrutura for, maior será o



refinamento da malha, no entanto, maior também será o tempo computacional necessário para

a resolução do problema, tendo em vista a maior complexidade matemática destes elementos.

Na figura (6) abaixo, pode-se observar, de maneira simplificada, o emprego de elementos do

tipo triangular e quadrangular, utilizados em modelagem de protótipos bidimensionais. A

condição mínima, é que cada elemento, tenha, respectivamente, 3 (três) e 4(quatro) nós,

definidos em seus vértices. Segundo Gesualdo (2010), pode-se ainda utilizar nós adicionais ao

longo das arestas dos elementos, aumentando sua complexidade e permitindo representações

polinomiais quadráticas, apresentado assim resultados mais refinados.

Figura 6 – Elementos e Nós

Fonte (GESUALDO, 2010)

Embora preferível, em estruturas com geometrias diferenciadas, nem sempre é possível a

utilização de elementos de forma regular, especialmente em regiões de encontro de malhas.

Segundo Martha (1994), o “Método dos Elementos Finitos pode ser interpretado como uma

generalização dos procedimentos adotados em uma análise estrutural convencional de

sistemas reticulados”. Segundo o mesmo autor, a utilização de formulações matriciais em

pórticos através do Método dos Deslocamentos, trata-se do próprio conceito do M.E.F. A

diferença é que, enquanto a primeira utiliza-se somente dos nós ou elementos estruturais

existentes, o segundo é uma idealização da estrutura por um número finito de elementos

(regiões), que são utilizadas para representar um meio contínuo.

Uma definição ainda mais simples: “... pode-se definir o MEF como um método matemático,

no qual um meio contínuo é discretizado (subdividido) em elementos que mantém as

propriedades de quem os originou” (LOTTI, MACHADO, et al., 2006).

5.1 Métodos de Análise Estrutural

Dentre as diversas disciplinas existentes nas grades de graduação em Engenharia Civil, e que

se referem aos mais variados aspectos da Engenharia de Estruturas, tais como Resistência dos

Materiais, Estática das Estruturas, Estruturas de Madeira, Metálica, Concreto, etc..., verifica-

se sempre em comum um grande número de fórmulas e tabelas, advindas de soluções

analíticas extraídas das mais diversas teorias, tais como Teoria das Vigas, Teoria Geral de

Placas e Cascas, Teoria da Elasticidade, entre outras.

Em comum, a todas elas, é o fato de que são “o produto do tratamento matemático clássico

baseado no estudo das “Equações Diferenciais”, que descrevem o Equilíbrio da Estrutura”.

(ALVES FILHO, 2012, p. 3).



Segundo o mesmo autor, é correto afirmar, que para a maioria dos engenheiros, o

desenvolvimento dessas soluções requer conhecimentos matemáticos muito aprofundados e

que não estão ao seu alcance, tornando-se assim muito mais cômodo o uso das expressões

finais em seus trabalhos no dia-a-dia.

No entanto, existem grandes limitações ao uso dessas soluções finais, pois estes métodos

clássicos, também chamados de Métodos Analíticos, possuem soluções possíveis somente

para alguns casos conhecidos, com geometrias simples e condições de apoio e carregamento

previamente estudadas e tabeladas.

Essas limitações levaram diversos pesquisadores buscar o desenvolvimento de

“procedimentos aproximados, que pudessem ser aplicados em caráter geral, independente da

forma da estrutura e da condição de carregamento, dentro da precisão aceitável do problema

de engenharia”. (ALVES FILHO, 2012, p. 3). Essa alternativa aos procedimentos analíticos

clássicos deu origem ao Método dos Elementos Finitos.

5.1.1 Sistemas Contínuos

Na figura (7) abaixo pode-se observar exemplos de estruturas que podem ser facilmente

solucionadas através de formulações e tabelas, através das denominadas Soluções Analíticas.

No entanto, existe uma particularidade muito interessante em comum a todas as teorias que

deram origem às soluções analíticas que conhecemos hoje: todas tratam as estruturas como

um sistema contínuo, ou seja, elas permitem “determinar o deslocamento vertical y para todos

os valores de x, isto é, a solução é obtida para os infinitos pontos da viga, por intermédio de

uma função matemática”. (ALVES FILHO, 2012, p. 6). Diz-se então, que a estrutura que é

objeto de análise através dos métodos analíticos é tratada com um sistema contínuo, ou seja, a

solução é obtida para TODOS os pontos que o corpo da estrutura.



Figura 7 – Tabela de Diagramas de Momento e Deformações Máximas

(Exemplo de Soluções em Sistemas Contínuos)

Fonte: : (GILBERT, LEET e UANG, 2009)

5.1.1 Sistemas Discretos

Segundo Alves Filho (2012), em contraponto aos sistemas contínuos utilizados nos métodos

analíticos, baseados no comportamento diferencial de um elemento infinitesimal da estrutura,

de onde é possível entender o comportamento da peça como um todo, pode-se tomar mão de



soluções aproximadas, que simulam o comportamento da estrutura através da montagem de

elementos que tem uma dimensão finita (e não diferencial). Dessa maneira, é realizada uma

subdivisão do sistema em um número finito de elementos, de maneira que a estrutura seja

entendida como um agregado de elementos e conexões entre eles, denominados nós,

formando o que é chamado de malha. Julga-se que o número de pontos discretos escolhidos

(nós), seja suficiente determinar, embora de maneira aproximada, o comportamento estrutural

do conjunto inteiro. Na figura (8) abaixo, verifica-se um exemplo de discretização de uma

estrutura de um reservatório.

Figura 8 – Exemplo de Estrutura Real Discretizada em elementos e nós

Fonte: (AJEJE, PENNA e PITANGUEIRA, 2011).

Um detalhe importante a se observar é referente à quantidade de elementos e

consequentemente de nós a ser escolhida. Já se viu que, aumentando o refinamento da malha,

ou seja, aumentando a quantidade de elementos a serem calculados, ganha-se

consideravelmente na aproximação da solução exata, no entanto, isto demanda mais tempo de

cálculo computacional, que pode crescer de maneira exponencial à medida que se aumenta o

refinamento da malha. Cabe ao engenheiro, dependendo obviamente das propriedades do

elemento, chegar a um equilíbrio nesta equação, obtendo uma solução aproximada satisfatório

com o menor número possível de elementos discretizado, a fim de se economizar recursos

computacionais. Na figura (9), verifica-se que à medida que se aumenta o número de nós,

mais se aproxima da solução exata do problema.



Figura 9 - Exemplo de Aproximação de funções contínuas por partes (discretização)

Fonte: (AZEVEDO, 2014)

Na figura (10) abaixo, verifica-se um exemplo da convergência dos resultados se

aproximando da solução exata, à medida que se aumenta o número de nós.

Figura 10 - Gráfico de Convergência da tensão em função do número de nós


5.2 Análise Matricial de Estruturas

Segundo Cavalcanti (2006),

Métodos consagrados de análise estrutural, tais como o método das forças e o

método dos deslocamentos foram o alvo inicial das técnicas computacionais de

análise estrutural. E com base em formulações e equações matemáticas

fundamentadas e desenvolvidas no campo da álgebra matricial, nasceu a técnica

computacional da análise matricial de estruturas, que posteriormente evoluiu para

métodos mais consagrados, tais como diferenças finitas, elementos finitos e de

contorno e mais recentemente, elementos discretos e operadores discretos.

O que se pretende, através da técnica de modelagem matricial de uma estrutura, é uma

maneira de “traduzir” para o computador, as propriedades geométricas de uma estrutura,

através de matrizes que representam as coordenadas dos seus vértices, bem como de que

maneira se conectam cada uma de suas barras.

Para exemplificar, pode-se verificar a montagem da treliça plana (tesoura) da estrutura abaixo



(figura 11) em uma matriz de coordenadas dos nós e uma tabela de conexão destes, formando

as barras, que é conceitualmente a maneira pela qual os computadores “enxergam” as

estruturas, sejam elas simples com a deste exemplo, sejam pórticos espacial de edifícios com

múltiplos andares.

Figura 11 - Estrutura com treliças metálicas planas (tesoura)


Inicialmente numeram-se os nós da estrutura (treliça) e monta-se uma matriz com as suas

coordenadas, em função de um sistema de eixos (x e y) com origem no nó 1:

Na figura (12) abaixo, verifica-se a sequência dos nós da estrutura de

exemplo:

Figura 12 - Treliça Plana (Nós)


Desta maneira, a partir do nó 1 assumindo a coordenada de origem (0,0), o quadro (2) abaixo



indica a posição de todos os outros nós da estrutura.

Nó X Y

1 0,00 0,00

2 1,50 0,00

3 3,00 0,00

4 4,50 0,00

5 6,00 0,00

6 7,50 0,00

7 9,00 0,00

8 1,50 0,47

9 7,50 0,47

10 3,00 0,93

11 6,00 0,93

12 4,50 1,40

Quadro 2 - Tabela de Coordenadas dos Nós da Treliça (Figura 7)


Na figura (13) abaixo, verifica-se a sequência das barras da estrutura de exemplo:

Figura 13 - Numeração das Barras da Treliça Plana


Pode-se então, a partir da barra 1, que se inicia no Nó 1 e termina no Nó 2, determinar a

posição de cada uma das barras da estrutura, conforme visto no Quadro (3), abaixo:

Barra Nó Inicial Nó Final

1 1 2

2 1 8

3 2 3

4 2 8

5 3 4

6 3 10

7 4 5



8 4 11

9 4 12

10 5 6

11 5 9

12 6 7

13 6 9

14 7 9

15 3 8

16 8 10

17 9 11

18 4 10

19 10 12

20 5 11

21 11 12

Quadro 3 - Conexão das Barras com os Nós


5.3 Flexibilidade e Rigidez das Estruturas

O entendimento da maneira como os esforços podem ser analisados em uma estrutura, como

vimos acima, montada de forma matricial em um computador, depende da correta

interpretação de como são formuladas as equações de flexibilidade e rigidez e de que maneira

estas se relacionam com as ações e os deslocamentos presentes em uma estrutura.

De acordo com Cavalcanti (2006),

Os conceitos de flexibilidade e rigidez podem ser ilustrados com o auxílio da mola

apresentada na Figura 09, onde a mesma é tracionada pela ação “A”, e devido a

solicitação dessa mesma ação, a mola distende-se do comprimento “L” até o

comprimento δ+L, sendo a ação “A” a responsável pelo alongamento

(deslocamento) δ.

A figura (14), abaixo, demonstra simbolicamente a relação entre a força aplicada e o

deslocamento.



Figura 14 - Mola sujeita a tração

Fonte: (CAVALCANTI, 2006)

Através dos conhecimentos da teoria da elasticidade, tem-se a lei da física que determina a

deformação de um corpo causada pela ação de uma força sobre este. Esta é a chamada Lei de

Hooke. Por ela, tem-se que:

(1)

Ou seja, adotando x como o deslocamento (δ) ocorrido devido à ação da força A, pode-se

obter a constante elástica da mola, denominada K. Em outras palavras, na equação (1),

quando adotamos um deslocamento unitário na mola, ou seja, (x=1), K representaria a força

capaz de provocar esse deslocamento da mola. Ou seja, quanto maior for o valor de K, maior

será a força necessária para provocar um deslocamento (distensão ou compressão) na mola,

ou em outras palavras, mais rígida será a mola.

Trazendo estes termos aos conceitos didáticos de análise estrutural, pode-se reescrever a

equação (1) como sendo:

(2)

Desta maneira, pode-se deduzir que S representa a rigidez da mola, pois quanto maior esse

valor, mais difícil será deformar a mola.

De outro ponto de vista, pode-se relacionar assim as ações e deslocamentos, assumindo para a

força A um valor unitário (A=1):

(3)

Desta maneira, quando maior o valor de F, maior será o deslocamento (δ), ou seja, mais fácil

será deformar a mola. Por isso, deduz-se que o componente F representa a flexibilidade da

mola.

De acordo como Cavalcanti (2006),

Quando estamos determinando o valor de S, a pergunta a ser respondida é a

seguinte: qual é a força necessária para provocar um deslocamento unitário na mola,

ao passo que na determinação do valor de F, a pergunta a ser respondida consiste em

dizer qual é o valor do deslocamento que é provocado por uma ação unitária na

mola.

Portanto, segundo o mesmo autor, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais, como

pode ser expresso pela expressão a seguir:



(4)

Desta maneira, pode-se estender estes conceitos a toda e qualquer estrutura que esteja

trabalhando no regime elástico linear, simplificação que atende à maioria dos casos em que

não se apresente pré-requisitos para análises não lineares, mais complexas e que dependem de

outros fatores físicos e geométricos.

Portanto, segundo Cavalcanti, (2006), pode-se fazer a seguinte analogia da mola com uma

estrutura prismática, conforme a figura (15) abaixo:

Figura 15 - Barra Prismática sujeita à Tração

Fonte: (CAVALCANTI, 2006) Obtêm-se, portanto, da disciplina de Resistência dos Materiais, que o deslocamento axial (δ)

da figura 15 pode ser representado por:

(5)

Onde:

δ é o deslocamento provocado pela ação A;

L é o comprimento da barra;

E é o módulo de elasticidade longitudinal do material que constitui a barra;

α é a área da seção transversal da barra.

Assumindo A=1, obtêm-se o deslocamento δ provocado por uma ação de valor unitário, ou

seja, pode-se obter o coeficiente de flexibilidade da barra (F) quando submetida a uma força

axial. Desta maneira, chega-se a seguinte equação:

(6)



De maneira análoga, e já sabendo que o coeficiente de rigidez é inversamente proporcional ao

coeficiente de flexibilidade, obtêm-se:

(7)

5.4 Matriz de Rigidez

Assim, pode-se generalizar a obtenção dos esforços e deslocamentos nas estruturas através de

uma matriz, através dos coeficientes de rigidez mostrados acima e das equações de equilíbrio

e de compatibilidade, presentes na Teoria da Elasticidade.

Veja por exemplo a mola e a barra prismática mostrada na figura (16) a seguir:

Figura 16 - Estruturas para montagem da matriz de rigidez


Colocando a estrutura em equilíbrio de forças, têm-se as equações resultantes explicitadas na

figura (17), abaixo:



Figura 17 - Equilíbrio de Forças na mola


Pode-se agora reescrever essa equação em forma matricial, de modo a obter a matriz de

rigidez da mola, conforme demonstrado na figura (18), abaixo:

Figura 18 - Obtenção da Matriz de Rigidez da Mola




Da mesma maneira, pode-se obter a matriz de rigidez da barra, conforme a figura (19) abaixo:

Figura 19 - Matriz de Rigidez da Barra Prismática


6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Conclui-se dessa maneira este trabalho de conclusão de curso, cujo objetivo principal, é

fomentar em quem tiver contato com o mesmo, o interesse pelo aprofundamento no estudo da

análise de estruturas, e principalmente, do Método dos Elementos Finitos.

Saber como os softwares comerciais de dimensionamento estrutural funcionam, mais do que

uma simples obrigação, e uma necessidade latente àqueles que pretendem se tornar muito

mais do que meros operadores de softwares, mas verdadeiros projetistas estruturais.

Os resultados esperados, com a utilização do embasamento teórico e da pesquisa

bibliográfica, para a elaboração de um exemplo prático, foram plenamente alcançados.

Espera-se que esse trabalho seja uma semente, que apesar de pequena, possa produzir frutos

para a engenharia brasileira.

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O Método dos Elementos Finitos e a Engenharia Civil Conclui-se, portanto, que as aplicações do Método dos Elementos Finitos na Engenharia Civil são tantos e tão importantes que