Origens da Física Quântica I

3 de julho de 2011

1 IntroduçãoO Fim do seculo 18 e inicio do seculo 19 representam uma era de ouro da Física. É criadaa Física Estatística e o eletromagnetismo e estes, por sua vez, motivaram o descobrimento denovos fenômenos que antes desses dias foram inimagináveis, um exemplo disso é o surgimento dateoria da Relatividade de Voig-Lorentz-Lamor-Poincare e Einsteins motivada pela inexistênciade um meio de propagação das OEM. O outro exemplo é a teoria quântica que resultou dafalha da teoria de Maxwell em explicar a radiação de corpo negro. Está última teoria é a basede nosso estilo de vida moderno, computadores, televisores, etc, o se funcionamento pode serentendido utilizando uma teoria que já tem 100 frutíferos anos de existência, a teoria quântica.

2 A Radiação do corpo negro

Figura 1: Espectro eletromagnético

No final do seculo 19 uma das observaçõesque se mantinha sem explicação era a radiaçãoda luz emitida por objetos quentes. Objetoscom temperatura superior a 1000K brilhamcom luz própria numa cor vermelho escura(incandescente), acima dessa temperatura acor passa para vermelho claro ou mesmo parabranco. Disso se vê que a frequência que pre-domina está relacionada com a temperaturado corpo.

A capacidade de um corpo radiar estárelacionada com a sua capacidade absorverradiação. Isto é esperado já que em equi-líbrio térmico com o ambiente o corpo ab-sorve e emite energia na mesma taxa. As-sim, para entender o problema da radiação é útil pensar em um corpo ideal que ab-sorve todas as frequências incidentes neles, esse corpo foi chamado de corpo negro.

Figura 2: Corpo negro ideal.

A análise da radiação do corpo negro tema vantagem de poder ter um objeto de estudoque independe das caraterística do material,isto é, um corpo negro feito do chumbo é igualque um feito de ferro ou ouro, todos se com-portam da mesma forma (O espetro de emis-são é uma caraterística do material ). Expe-rimentalmente podemos aproximar um corpo

negro como um objeto maciço com uma cavidade interna e um pequeno furinho por onde pode

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Figura 3: Curvas de distribuições de intensidade espetral para o caso da radiação de um corponegro. 6000K é aproximadamente a temperatura na superfície do Sol, observe que o pico dacurva coincide com a região visível.

entrar e sair radiação, assim a probabilidade de que um raio que entrou consiga sair é pequena.Qualquer feixe de radiação que entre nele fica se refletindo internamente, dessa forma ele podeabsorver toda a radiação que chega. As paredes da cavidade ficam então emitindo e absorvendoradiação constantemente e é na propriedade dessa radiação que estamos interessados.

Experimentalmente se observa (olhando para o furinho) que o corpo negro radia mais quandoestá quente do que quando está frio. O espectro típico de radiação de um corpo negro é mostradona figura 3. Assim, as pequisas se voltaram a tentar encontrar a equação (modelo) que descreveperfeitamente a curva intensidade I(λ) de radiação do corpo negro ou a curva relacionada coma densidade espectral u(λ)

u =Ic

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onde c é a velocidade da luz.

2.1 Ley de Wein

Figura 4: Comparação da Lei de Wein com re-sultados a 1500K.

Em 1884 Boltzmann calculou teoricamente aequação para a energia emitida por unidadede área e unidade de tempo do corpo negro.Em seu calculo Boltzmann considerou umacavidade cilíndrica com paredes refletoras, eum pistão móvel, cheia de radiação térmica(OEM). Devido a que as OEM exercem pres-são de radiação, Boltzmann pudo considerareste sistema como sendo um sistema termodi-nâmica e o tratou como uma máquina de Car-not. A partir disso encontrou a relação entreo trabalho efetuado pela pressão de radiação

e a temperatura e disto pudo calcular a intensidade I

I = σT 4

onde σ = 5, 67× 10−12W · cm−2 ·K−4. Essa mesmo resultado também foi derivado por Stefanpor isso a equação anterior se conhece como lei de Stefan e Boltzmann.

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No processo de expansão ou compressão dessa cavidade (do ciclo de Carnot) o comprimentode onda de qualquer componente da radiação mudará como consequência do efeito Doppler aose refletir no pistão móvel. Ao considerar detalhadamente este fato, Wien (1893) foi capas demostrar que a posição do máximo da função de intensidade é tal que

λmaxT = 2, 898× 10−3m ·K (1)

Este resultado é conhecido como lei de deslocamento de Wein e era um resultado empírico jáconhecido na sua época. Na dedução da sua lei de deslocamento, Wein chegou a um resultadomais geral

u(λ) =f(λT )

λ5

onde f(λT ) é uma função em λ e T . Supondo que a radiação do corpo negro se comporta dealguma forma como um gás que satisfaz a distribuição de velocidades de Maxwell e Boltzmann yadmitindo que cada molécula emite OEM cujos comprimentos de onda e intensidade dependemapenas da velocidade v das partículas, Wein postula uma forma para sua função f(λT ) deforma a obter que

u(λ, T ) = Ae−

BλT

λ5

onde B = 1, 44 cm ·K, A = 0, 5× 10−21J · cm. Esse resultado, conhecido como lei de Wein, foiobtido posteriormente por Planck de forma mais rigorosa.

Da figura 4 observamos que a lei de Wein ajusta os dados com perfeição próximo do máximode u contudo para comprimento de ondas na região do infravermelho a lei de Wien apresentaresultado pouco satisfatórios·

2.2 Catástrofe ultravioleta - A equação de Rayleigh e Jeans

Figura 5: Resultado de Raeyleight-Jean.

A fim de tentar entender a forma da curvamostrada na figura 3, Raeyleigh e Jean no fi-nal do século 18 consideraram que a tempe-ratura no interior da cavidade do corpo ne-gro como T e as paredes dessa cavidade comosendo refletores perfeitos, dessa forma pode-mos considerar que toda a parede da cavi-dade é constituída por pequenos osciladoresque vibram devido à temperatura T . A oscila-ção destes osciladores gera OEM estacionariascom nós nas paredes da cavidade. Assim, Ra-eyleigh e Jean calcularam o número de OEMcontidas no intervalo λ e λ+dλ e disso a ener-gia promédio a qual depende da temperatura da cavidade. O produto do número de ondas nointervalo λ e λ + dλ vezes a energia contida nesse intervalo divido pelo volume da cavidade éigual à densidade de energia por comprimento de onda a uma dada temperatura. Utilizandoum resultado prévio obtido por Maxwell eles foram capasses de calcular a distribuição espectralda densidade de energia

uRJ(λ) =kT

λ4(2)

Como se pode observa na figura 5, o resultado de Rayleigh e Jean coincidem perfeitamente comos resultados experimentais para comprimentos de onda grande, isto é λ → ∞, mas a medidaque o comprimento de onda diminui a densidade espectral de energia aumenta, ou seja

limλ→0

uRJ(λ) =∞ ou, equivalentemente, limν→0

uRJ(ν) =∞

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Figura 6: A previsão de Planck para a densidade de energia comparada aos resultados experi-mentais, de Wien e de Rayleigh para J. . uma temperatura T = 1595K

o que implicaria que a densidade de energia dentro da cavidade iria para o infinitoˆ ∞0

uRJ(λ)dλ =∞

A este resultado lhe foi dado o nome de catástrofe ultravioleta (ultravioleta porque diminuir ocomprimento de onda implica em aumentar a frequência e ultravioleta é o limite superior defrequência do espectro visível, assim como infravermelho é o inferior)

2.3 A teoria de Planck

Acredito que ha história do desenvolvimento da formula de Planck para o problema do corponegro seja uma das mas interessantes da qual já tive conhecimento. Dessa forma, antes defalarmos sobre a grande descoberta de Planck (Einstein?) devemos conhecer um pouco sobrecom ele chegou a esse resultado.

A área de pesquisa de Max Planck foi a termodinâmica e nesse campo trabalho ativamenteno que diz respeito ao estudo da entropia. Dada sua forte base em termodinâmica, Plancktenta justificar a irreversivilidade dos fenômenos radioativo nas equações de Maxwell, porémas críticas de Boltzmann o levam de encontro ao esclarecimento da radiação do corpo negro.

Dessa forma, na analise do problema do corpo negro o Planck logra obter uma expressãoequivalente à de Wien mas com um novo resultado que relaciona a entropia do sistema coma energia. Devido a resultados experimentais controversos com a teoria de Wien, o Planckreanalise seu resultado e obtém uma nova expressão para a entropia. Como o limite de validadede cada um de seus resultados era restrito a uma região do espectro ele decidiu combinar eles eobter uma terceira equação que lhe era conveniente para cada uns dos limites. A partir dessaideia, Planck publica a nova forma funcional da densidade espectral que estava em total acordocom os resultados experimentais

u(λ, T ) =8πhc

λ51

exp(hckλT)− 1

A expressão anterior é uma expressão empírica desenvolvida por Planck que se adequavade forma perfeita aos dados experimentais, como se mostra na figura 6. Esta última afirma-ção motivo que Planck se dedicar em corpo e alma a procurar uma demostração partindo deprincipio fundamentais da equação anterior. Durante 8 semanas, Planck analisa o problemadesde uma abordagem estatística, a influencia de Boltzmann foi clara nessa decisão já que uti-liza a definição deste para a entropia S = k logW , a entropia está relacionada com o grau de

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liberdades acessíveis ao sistema em estudo. A fim de determinar a probabilidade W , conta onúmero de maneiras de distribuir a energia num conjunto de osciladores (geradores das OEM).Inspirando-se na técnica de Boltzmann introduz a hipótese que E, a energia total dos osci-ladores, se encontrava dividida em “elementos de energia” finitos ε. E afirma: “A energia Eé composta por um número bem definido de partes iguais e recorremos à constante da na-tureza h = 6, 55 × 10−27erg · s. Esta constante multiplicada pela frequência comum f dososciladores permite obter o elemento de energia ε em erg e dividindo-se E por ε obtemos onúmero P de elementos de energia que devem ser distribuídos pelos N osciladores. Se estequociente assim calculado não for inteiro, toma-se P por um inteiro da vizinhança”, ou sejaE = Nhε. Devemos apontar que essa afirmação de Planck está relacionada com o método decalculo que ele utilizou e não com o fato de ele considerar como relevante essa discretização daenergia. Na verdade foi Einstien quem pela primeira vez viu o verdadeiro valor dessa hipóteses:

Figura 7: Estados de energia permitidos “se-gundo Planck”.

1. Os osciladores de frequencia f só podemter valores de energia discreta dados por

En = nhf n = 1, 2, 3, . . .

em que n é um inteiro positivo. Se dizque a energia está quantizada. A osestados discretos de energia se lhes co-nhece como estados quanticos.

2. Os osciladores não radiam continua-mente como o faz uma carga acelerada, sinão pulando de um estado de energia En aoutro. Em essa circunstancias a energia radiada será igual à energia perdida pelo osci-lados ao mudar de um estado estcionario para outro, isto é, a energia radiada em umatransição de um estado n2hf para um estado de energia mais baixa n1hf , será

∆E = (n2 − n1)hf

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(a) Quando a radiação que ilu-mina é de alta frequência, sãoretirados elétrons da superficie

(b) Ainda com luz no meio doespectro visível é possível obser-var fotoelétrons mas seu númeroé reduzido

(c) Mas, luz de baixa frequêncianão retira elétrons, nem mesmoaumentando a intensidade

Figura 8: Efeito fotoelétrico.

3 Efeito Fotoelétrico

Figura 9: Efeito da intensidade na fotocorrente

Quando Hertz (1887) realizou seu primeirosexperimentos para determinar a existênciadas ondas eletromagnéticas de Maxwell obser-vou que as centelhas no seu receptor de OEMapareciam com maior facilidade se a superfícieda esfera era iluminada com luz ultravioleta.Estudos sistemáticos sobre essa observação deHertz foram realizados por W. Hallwachs, P.Lenard e R. Milikan. A esse fenômeno se lhedeu o nome de efeito fotoelétrico, os elétronsresultante deste efeito são conhecidos comofotoelétrons.

Como se mostra nas figuras 8 o experi-mento realizado por eles consistia utilizar luzmonocromática para iluminar uma eletrodo metálico que provocava o desprendimento de elé-trons dessa superfície, dependendo de alguns fatores que a continuação analisaremos. As prin-cipais observações de Lenard (1902) foram as seguintes

1. Mesmo colocando uma diferencia de potencial tal que o eletrodo iluminado estivesse aum potencial maior que o eletrodo de destino era observada corrente elétrica no circuito,isto é, elétrons chegam ao eletrodo de destino. Esse resultado indica que os elétrons sãoexpelidos do fotocátodo com energia cinética diferente de zero.

2. A forma da curva (figura 9) diz que nem todos os elétrons tem a mesma energia ciné-tica inicial, mas se observa que existe uma energia máxima para os elétrons dado pelopotencial de corte V0 de forma que

Kmax = eVs1

2mv2 = eV0

Essa energia máxima imediatamente foi associada com os elétrons superficiais que escapame a forma da curva foi atribuída a elétrons que são removidos de profundidades diferentesno eletrodo.

3. O potencial de corte independe da intensidade da luz que incidia no eletrodo. A inten-sidade só influencia a fotocorrente resultante, isto é, a quantidade de elétrons que eramretirados.

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Figura 10: Efeito da frequência na fotocorrente.

4. Não há retardos na emissão dos fotoelétrons, ou seja, o elétrons é emitido quase que nomesmo instante que a luz incide nele (Em 1928, Lawrence e Beans estimaram um limítesuperior de 10−9s )

5. Milikan, em 1916, observou que o potencial de corte é diretamente proporcional à frequên-cia da luz.

3.1 Explicação clássica para o efeito fotoelétrico

É obvio que os elétrons eram ejetados da superfície metálica devido à interação da matéria comas OEM, de forma que resulta natural utilizar a teoria de Maxwell-Lorentz para descrever oprocesso de fotoemissão.

• Podemos esperar que os elétrons dentro do átomo, na presença das OEM, oscilem com umaamplitude que é proporcional à amplitude da OEM. Como para um oscilado harmônicoa energia vai com o quadrado da amplitude, então devemos esperar que a energia doselétrons seja proporcional ao quadrado da amplitude de vibração da OEM, isto é

K ∝ E20

onde E0 é a amplitude do campo elétrico da OEM .

• Da teoria de Maxwell sabemos que a intensidade da OEM e diretamente proporcional aoquadrado do campo,

I =1

2cµ0

E2

de forma que, a energia cinética dos elétrons deveria ser, segundo a teoria clássica, pro-porcional à intensidade da OEM,

K ∝ I

Diferentemente do observado por Lenard. Um outro problema era o relacionada ao temponecessário para a fotoemissão, segundo a teoria clássica deve demorar um certo tempo antes dese dar a fotoemissão. A fim de ter uma estimativa vamos supor

• que a energia dos fotoelétrons é de E = Kmax = eV = (1, 6× 10−19C) (1V ) = 10−19J .

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Figura 11: Potencial de corte V0 em função da frequência f para um alvo de sódio.

• A fonte que será utilizada é tal que:

– tem uma potencia de Po = 1W ,

– A fonte está afastada 1m da amostra metálica

– A fonte emite com simetria esférica, dessa forma a energia

• dessa forma a energia por unidade de área e de tempo dada pela fonte é Po/4πr2 w10−1Jm−2s−1

• O raio do átomo é ra ∼ 10−10m e sua seção transversal é da ordem de r2a ∼ 10−20m.

• A quantidade de energia absorvida pelo átomo é de (10−1Jm−2s−1) (10−20m) = 10−21Js−1

• Para absorver E = 10−19J , é necessário que o átomo fique exposta por 10−19J/10−21Js−1 ∼102s,

tempo muito maior que o limite superior estabelecido por Lawrence e Beans. Assim é evidenteque a teoria clássica não explica o efeito fotoelétrico.

3.2 Teoria quântica de Einstein para o efeito fotoelétrico

A explicação ao problema do efeito fotoelétrico foi dada por A. Einstein em 1905. Ele baseioseu razonamento no resultado satisfatório de Planck, quem considerou que a energia emitidapelos osciladores da paredes do corpo negro deveria ser quantizada a fim de obter as curvas deintensidade experimentalmente observadas. Com isso em mente Einstein argumentou

• A luz é emitida da mesma forma como é feita pelos osciladores da cavidade do corpo negro,em pacotes localizados de radiação com energia dada pela relação de Planck, E = hf

• Os pacotes de radiação não se dispersam quando se deslocam da fonte de luz até o eletrodo,assim eles se movem de forma localizada, similarmente a como se desloca uma partícula.

• Cada pacote de radiação que atinge a superfície do eletrodo deposita toda sua energia hfnum único elétron da superfície.

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Figura 12: (a)Visão clássica da luz (b) Visão quântica da luz.

Dessa forma Einstein propõe um caráter de partícula à luz, atualmente chamamos a essespacotes de radiação de fótons. Como foi dito a energia de cada fóton está dada por

E = hf

onde h é a constante de Planck,

h = 6, 626× 10−34J · s

e f é a frequência da OEM.Como, é necessário dar energia ao elétron para tirar ele do átomo, Φ, a proposta de Einstein

permite escrever que a energia cinética máxima que um elétron pode atingir estará dada por

Kmax = hf − Φ

o que, também, pode se escrever como

eV = hf − Φ

a energia necessária para tirar um elétron da superfície, Φ, é denominada de função traba-lho e é uma caraterística do material. Em 1916 R. Milikan logou fazer medidas precisas dadependência da energia cinética (medida via a diferencia de potencial V ) como função da luzirradiada sobre a superfície metálica e obteve a curva que é apresentada na figura 11 que éajustada perfeitamente pela equação proposta por Einstein.

Para finalizar gostaria de chamar a atenção de que o próprio Planck não aceito a teoriaquântica de Einstein do efeito fotoelétrico como deixo explicito quando escreveu uma carta àacademia prussiana de ciências solicitando a admissão de Einstein: “Resumindo, podemos dizerque não há praticamente um entre os grandes problemas nos quais a física moderna é tão rica,

Figura 13: Raios X

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ao qual Einstein não tenha dado uma contribuição importante. O fato dele não ter alguma vezesalcançado os objetivos nas suas especulações, como, por exemplo, na sua hipótese dos quantasde luz (fótons), pois não é possível se introduzir fundamentalmente novas ideias, mesmo nasciências mais exatas, sem ocasionalmente se correr o um risco”. Mas, logo da confirmaçãoexperimental, por parte de Milikan, Einstien recebe em 1921 o premio nobel de Física pela suateoria quântica.

4 O momento dos fótons

Figura 14: Planos cristalinos utilizados paradispersar raios X

É interessante ressaltar que, ainda que Eins-tein trata a luz com todas as caraterísticas departículas ele não faz isso explicitamente sinoaté 1906 quando trata do momento associadoas fótons. Nesse trabalho de 1906, Einsteinconclui que os quantas de luz de energia E semovem em linha reta (diferente das ondas es-féricas) e portam momento com direção e sen-tido definido pela direção do seu movimento ecom módulo dado por E/c ou hf/c (note queeste resultado está em acordo com a teoria deMaxwell). Contudo, é interessante que Eins-tein não explorou até as ultimas consequên-cias o fato da luz ter um momento associado.

Esse tratamento foi realizado por P. Debey e A. Compton em 1923, um independente do outro,a fim de explicar a dispersão de raios X.

4.1 Raios X

Os raios X foram descobertos acidentalmente por W. Roentenger em 1895. Eles são OEM depequeno comprimento de onda λ ∼ 10−9. São produzidos como resultado de se frear (desace-lerar) abruptamente elétrons como resultado de uma colisão contra uma superfície, a este tipode radiação também se lhe conhece como radiação de freado ou Bremsstrahlung. Devido a suaalta energia, ele não interagem com os músculos mas sim com o cálcio dos ossos, por isso sãoamplamente utilizado em medicina.

Devido a seu curtíssimo comprimento de onda Roentenger não logrou observar efeitos deinterferência, mas em 1912 W. Bragg utilizou como grade de difração os planos atômicos deuma amostra cristalina. Como foi anteriormente mostrado, os máximos de difração podem ser

Figura 15: Espectrometro de Bragg. Espectro de raiosX para o um alvo de molibdeno. Observeque os picos o eixo está em pm ou seja, 10−3 nm

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Figura 16: Diagrama esquemático de um aparto para fazer dispersão Compton

obtidos a partir da equação

nλ = 2d sin θ n = 1, 2, 3 . . .

onde n é a ordem do máximo, λé o comprimento de onda e θ é o ângulo do máximo deintensidade medido desde o plano. A equação anterior é conhecida como lei de Bragg.

Na figura 15 é apresentado um diagrama esquemático de um espectrômetro de Bragg e acurva obtida quando o material alvo é o molibdeno. Os espectros de raios X se caraterizampor

1. Terem uma serie de linhas estreitas conhecidas como espectro caraterístico

2. Possuir uma espectro continuo chamado de espectro de Bremsstrahlung.

3. O espectro contínuo apresenta um comprimento de onde de corte, λmin

Das três caraterísticas apresentadas somente a II podia ser explicada pela lei de Maxwell.Para o caso da III se obteve experimentalmente que esse comprimento de onda de corte estavarelacionado com a tensão V aplicado no tubo de raios X pela equação

λmin =1, 24× 103nm

V

chamada de regra de Duane-Hunt. Quando Einstein ficou sabendo desse resultado soube que aorigem desse efeito estava em um efeito fotoelétrico inverso, isto é, o comprimento de onda decorte corresponde a um fóton com a energia máxima dos elétrons, já que a função trabalho Φpode ser desprezada em comparação à energia cinética dos elétrons.

eV ≈ hfmin

=hc

λmin

λmin =hc

eV= 1, 24× 10−6m/V

Para entender o porque temos o espetro caraterístico vai depende da formulação de um modelomais elaborado que foi desenvolvido um tempo após o descobrimento dessa linhas.

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Figura 17: Dispersão dos raios X por um elétron.

4.2 Efeito Compton

Muitos estudos foram realizados com a radiação X, dos vários resultados obtido foi observadoque a radiação X que resulta da dispersão com um alvo tinha menos poder de penetraçãoque a radiação que originalmente incidia no alvo. Isso motiva a A. Compton estudar esse tipode radiação. Disso, ele percebeu que essa radiação espalhada não podia ser completamenteexplicada pela teoria clássica: A teoria clássica prevê que quando o elétron é atingido pelaradiação ele é acelerado na direção de propagação da OEM e isto causa a oscilação forçada doelétron e a reradiação com uma frequência f ′ ≤ f (a possível diferencia entre frequências temorigem no doble efeito Doppler ver Quantum Theory de David Bohm, pg 34 - Dover). Tambémera esperada uma dependência com o tempo de exposição e com a intensidade da radiação.

Quando Compton realiza seu experimentos não observou nada do que era esperado segundoa teoria clássica. A radiação espalhada independia da intensidade e do tempo de exposição,simplesmente dependendo do ângulo de dispersão. Na figura 16 podemos observar o resultadoobtido por Compton para o caso em que a amostra utilizada era grafite. Se observa que, paratodos os ângulos observados, a radiação espalhada uma componente de onda que é igual à de aradiação incidente λ e outra componente λ′ que depende do ângulo de espalhamento (ver figura

Figura 18: Espectro Compton para quatro ângulos de espalhamento

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Figura 19: Ideia simples de Compton utilizada na análise do espalhamento de fótons por elétrons

18). Compton observou que ∆λ > 0 o que implica que ∆f < 0, isto é f ′diminui se o ângulo deespalhamento diminui.

Baseado na observação anterior, Compton percebeu que, segundo a teoria de Planck, aenergia do fóton devia diminuir com o ângulo (E ′ = hf ′) e a dependência de E ′ com θ eraqualitativamente semelhante à observada entre uma partícula que tinha sido dispersada poroutra. Assim Compton tem a ideia simples, porém brilhante, de tratar o problema como sendouma colisão de duas partículas. Assim, aplicando a conservação do momento linear á colisãoda figura 19

p = p′ cos θ + pe cosφ componente xp′ sin θ = pe sinφ componente y

elevando ao quadrado estas expressões obtemos

(p− p′ cos θ)2

= p2e cos2 φ

(p′)2

sin2 θ = p2e sin2 φ

Somando, encontramosp2 + p′2 − 2p p′ cos θ = p2e (3)

A conservação da energia relativista impõe que

E + (E0)e = E ′ +K + (E0)eE − E ′ = Ke

onde E e E ′são as energia do fóton antes e depois da colisão, respetivamente, e estão dadas por

E2 = c2p2 + E2o

onde E0 é a energia de repouso que é nula para o caso dos fótons, de forma que

E = cp

p =hf

c

=h

λ(4)

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(esse resultado já tinha sido obtido por Einstein), assim, continuando

E − E ′ = Ke

c (p− p′) = Ke (5)

como, a forma mais geral de se escrever a energia cinética de uma partícula é a través de suaexpressão quântica

Ee = Ke + (Eo)e

e

E2e = c2p2e + (Eo)

2e

[Ke + (Eo)e]2 = c2p2e + (Eo)

2e

K2e + 2Ke (E0)e + (E0)

2e = c2p2e + (Eo)

2e

E2e

c2+ 2Keme = p2e

usando as equações 3 e 5

(p− p′)2 + 2mec (p− p′) = p2 + p′2 − 2p p′ cos θ

p2 + p′2 − 2p p′ + 2mec (p− p′) = p2 + p′2 − 2p p′ cos θ

mec (p− p′) = p p′ (1− cos θ)

p− p′

p p′=

1

mec(1− cos θ)

1

p′− 1

p=

1

mec(1− cos θ)

usando a equação 4, temos

λ′ − λ =1

mec(1− cos θ)

ou∆λ = λc (1− cos θ) (6)

ondeλc =

1

mec= 0, 02426× 10−10m

é o comprimento de onda Compton. Essa equação é a equação de Compton e prediz umaumento no comprimento de onda da radiação espalhada somente com o ângulo de espalhamentoe independência em relação ao comprimento de onda inicialmente utilizado. Em 1925 e 1927foram realizadas medidas que confirmaram os resultados dessa equação.

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