Questao Permutacao Com Repeticao

7/23/2019 Questao Permutacao Com Repeticao

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Interbits – SuperPro ® Web

1. (Pucrj) A quantidade de anagramas da palavra CONCURSO é:a) !"#) !"$"c) 1""%"d) "1&"

e) $"'"

. (Uerj) Uma criana gan*u seis pic*lés de tr+s sa#*res di,erentes: #aunila- m*rang* ec*c*late- representad*s- respectivamente- pelas letras .- / e C0 e segunda a s2#ad*- acriana c*ns*me um 3nic* pic*lé p*r dia- ,*rmand* uma sequ+ncia de c*nsum* d*s sa#*res0O#serve estas sequ+ncias- que c*rresp*ndem a di,erentes m*d*s de c*nsum*:

(.- .- /- C- /- C) *u (.- /- /- C- .- C) *u (C- /- /- .- .- C)

O n3mer* t*tal de m*d*s distint*s de c*nsumir *s pic*lés equivale a:a) &#) 4"c) 1%"

d) 5"

6786O PARA A PR98/A ;U7S6<O:=eia atentamente * te>t* a#ai>* para resp*nder ?(s) quest@*(t*es)0

Agora todo mundo tem opinião

/eu amig* Adamast*r- * gigante- me apareceu *je de man@- muit* ced*- aqui na#i#li*teca- e disse que vina a ,im de um ca,ein*0 1/entira- eu sei0 ;uand* ele vem t*marum ca,ein* é p*rque est2 c*m alguma ideia #*r#uland* em sua mente0

7 estava0 'ep*is d* primeir* g*le e antes d* segund*- ca,é muit* quente- ele a,irm*uque c*nc*rda plenamente c*m a dem*cratia@* da in,*rma@*0 Ag*ra- c*m * advent* dainternet- qualquer pess*a- dem*craticamente- p*de e>ternar aquil* que pensa0

$.alancei a ca#ea- na dem*nstra@* de uma quase diverg+ncia- e seu !espant*tam#ém me espant*u0 C*m* assim- ele pergunt*u- est2 renegand* a dem*cracia&B Pedi c*mm*d*s a meu amig* que n@* 5em#aralasse as c*isas0 em*cracia n@* é um term*%divinatri*- que se aplique sempre- em qualquer situa@*0

7le t*m*u * segund* g*le c*m certa avide e 4queim*u a lDngua0.em- v*ltand* a* assunt*- nada c*ntra a dem*cratia@* d*s mei*s para que se

divulguem as *piniEes- as mais diversas- mais esdr3>ulas- mais in*vad*ras- e tud* * mais0 Fum direit* que t*da pess*a tem1": emitir *pini@*0

O que * Adamast*r n@* sa#ia é que uns dias atr2s andei c*nsultand* uns ,ils*,*s-alguns antig*s- *utr*s m*dern*s- desses que tratam de um 11palavr@* que s*#revive até *sdias atuais: gn*se*l*gia0 ss* aD- para dier te*ria d* c*neciment*0

Sim- e daDB1- ele insistiu0O mal que vej*- c*ntinuei- n@* est2 na 1'en>urrada de *piniEes as mais iss* *u aquil*

na internet- e principalmente c*m a cegada d* Gace#**H0 ss* sem c*ntar a imensaquantidade de te>t*s 1$apcri,*s- muitas vees até *p*st*s a* pensament* d* presumid* aut*r-,alsamente presumid*0 A graa est2 n* ,at* de que t*d*s- ag*ra- t+m *pini@* s*#re tud*0

I /as iss* n@* é #*mBO gigante1!- dep*is da maldi@* de Netun*1&- t*rn*uJse um ser impaciente0O ,at*- em si- n@* tem imp*rtKncia alguma0 O pr*#lema é que muita gente l+ a

en>urrada de #*#agens que aparecem na internet n@* c*m* *pini@*- mas c*m* c*neciment*0O Plat@*- p*r e>empl*- a,irmava que *pini@* (d*>a) era * ,als* c*neciment*0 O c*neciment*verdadeir* (episteme) depende de estud* pr*,und*- c*mpr*va@* metdica- teste de validade07ssas c*isas de que se vale em geral a ci+ncia0

O mal que 2 nessa Ldem*cratia@*M d*s veDcul*s é que se ,*rmam crenas sem,undament*- mudamJse as *piniEes das pess*as- a,irmamJse a#surd*s em que muita pess*aing+nua aca#a acreditand*0 Sim- p*rque estudar- c*mpr*var met*dicamente- testar a validade-tud* iss* d2 muit* tra#al*0

O Adamast*r n@* estava muit* c*nvencid* da 15 justea d*s meus argument*s- mas *

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ca,é tina terminad* e ele se despediu0

6e>t* de /enalt*n .ra,,- pu#licad* em "' de a#ril de "1!0 isp*nDvel em:ttp:0cartacapital0c*m0#rculturaag*raJt*d*Jmund*JtemJ*pinia*J5'550tmlQ0 Acess* em:

" a#r0 "1!0

'. (1 J i,sul) O#servand* * te>t* LAg*ra t*d* mund* tem *pini@*M- * n3mer* de anagramasque ,*rmam*s c*m * n*me d* gigante éa) &"0$%"#) '&0%%" c) 1%10$$" d) $"0'"

$. (1 J i,ce) O n3mer* de anagramas da palavra 6A8S6A- que c*meam c*m a letra 8- éa) 1%"0#) $"0c) 5"0

d) !"$"0e) 1""%"0

!. (Ggv) Uma sena de internet é c*nstituDda de seis letras e quatr* algarism*s em que a*rdem é levada em c*nsidera@*0 7is uma sena p*ssDvel: (a-a-#-5-5-#-a-5-a-5)0

;uantas senas di,erentes p*dem ser ,*rmadas c*m quatr* letras LaM- duas letras L#M e quatr*algarism*s iguais a 5Ba) 1"#) !"c) ' 1!"d) & '""

e)1"S

$S&S

&. (Uerj) Um sistema lumin*s*- c*nstituDd* de *it* mdul*s id+ntic*s- ,*i m*ntad* para emitirmensagens em cdig*0 Cada mdul* p*ssui tr+s lKmpadas de c*res di,erentes I vermela-amarela e verde0 O#serve a ,igura:

C*nsidere as seguintes in,*rmaEes:

T cada mdul* p*de acender apenas uma lKmpada p*r veT qualquer mensagem é c*n,igurada pel* acendiment* simultKne* de tr+s lKmpadas

vermelas- duas verdes e uma amarela- permanecend* d*is mdul*s c*m as tr+s lKmpadasapagadas

T duas mensagens s@* di,erentes quand* pel* men*s uma das p*siEes dessas c*res acesasé di,erente0

Calcule * n3mer* de mensagens distintas que esse sistema p*de emitir0

5. (Ggv) Um sistema de cdig* de #arras tem e>tens@* de 1'cm- e é c*mp*st* p*r #arrasalternadas de c*r #ranca *u preta- c*meand* e terminand* sempre p*r uma #arra preta0 Cada#arra (#ranca *u preta) mede 1 *u cm0 A ,igura indica uma p*ssi#ilidade de cdig* nessesistema0 A leitura de cdig* n* sistema sempre é ,eita da esquerda para a direita0

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a) Pinte- em cada um d*s d*is c*njunt*s de #arras indicadas a seguir- um cdig* dessesistema que atenda ? c*ndi@* s*licitada l*g* a#ai>* das #arras0

#) Calcule * t*tal de cdig*s di,erentes que p*dem ser ,*rmad*s nesse sistema0

%. (U,u) Um pr*jet* pil*t* desenv*lvid* em um curs* de 7ngenaria /ecKnica prev+ ac*nstru@* d* r*#V L7ddieM- cuj*s m*viment*s est@* limitad*s apenas a andar para ,rente (G) e

para a direita ()0 Sup*na que 7ddie est2 na p*si@* A e desejaJse que ele se desl*que atécegar ? p*si@* .- valend*Jse d*s m*viment*s que le s@* permitid*s0 Admita que cadam*viment* ,eit* p*r 7ddie * leve a uma p*si@* c*nsecutiva- c*n,*rme ilustra um esquema aseguir- em que ,*ram realiad*s 1" m*viment*s (as p*siEes p*ssDveis est@* marcadas p*rp*nt*s e * percurs* e>ecutad* de A até B- é representad* pela sequ+ncia *rdenada dem*viment*s G G G G G )0

C*m #ase nas in,*rmaEes acima- * n3mer* de maneiras p*ssDveis de 7ddie se desl*car de A até B- sem passar pel* p*nt* C- é igual aa) 14

#) &"c) 1!d) !

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4. (Uni*este) ;uantas palavras p*dem*s ,*rmar- independente se tenam sentid* *u n@*- c*mas 4 letras da palavra .OR.O=76ABa) %1 $$"0#) 4" 5"0c) '& %%"0

d) '!% 1$"0e) 1%1 $$"0

1". (Uerj) Uma rede é ,*rmada de triKngul*s equil2ter*s c*ngruentes- c*n,*rme arepresenta@* a#ai>*0

Uma ,*rmiga se desl*ca d* p*nt* A para * p*nt* . s*#re *s lad*s d*s triKngul*s- perc*rrend*8 camin*s distint*s- cuj*s c*mpriment*s t*tais s@* t*d*s iguais a d 0Sa#end* que d c*rresp*nde a* men*r val*r p*ssDvel para *s c*mpriment*s desses camin*s-8 equivale a:a) "#) 1!c) 1d) 1"

11. (Unesp) Paul* quer c*mprar um s*rvete c*m $ #*las em uma s*rveteria que p*ssui tr+ssa#*res de s*rvete: c*c*late- m*rang* e uva0 e quant*s m*d*s di,erentes ele p*de ,aer ac*mpraBa) $0#) &0c) 40d) 10e) 1!0

1. (Unesp) A ,igura m*stra a planta de um #airr* de uma cidade0 Uma pess*a quer caminard* p*nt* A a* p*nt* . p*r um d*s percurs*s mais curt*s0 Assim- ela caminar2 sempre n*ssentid*s Lde #ai>* para cimaM *u Lda esquerda para a direitaM0 O n3mer* de percurs*sdi,erentes que essa pess*a p*der2 ,aer de A até . é:

a) 4! "$"0#) $" &'!0

c) 4$0d) 540e) '!0

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1'. (#mecrj) O n3mer* de anagramas que p*dem ser ,*rmad*s c*m as letras de PAPAAO-c*meand* p*r c*ns*ante e terminand* p*r O- é igual a:

a) 1"0#) 1%"0c) $"0

d) '""0e) '"0

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Gabarito:

Resposta da questão 1: WCX

A palavra CONCURSO p*ssui % letras- send* que as letras C e O aparecem duas vees cada0Para determinar * n3mer* de anagramas desta palavra deverem*s usar permuta@* c*mrepeti@*0

-%

%SP 1""%"

S S= =

×

Resposta da questão : W.X

Sa#end* que a criana gan*u d*is pic*lés de cada sa#*r- temJse que * resultad* pedid* édad* p*r

(- - )&

&SP 4"0

S S S= =

× ×

Resposta da questão !: WAX

Pel* te>t* sa#eJse que * gigante é * amig* Adamast*r0 A palavra AA/AS6OR p*ssui 4 letras-send* ' delas iguais (' letras A)0 Assim- * n3mer* de anagramas p*ssDveis c*m a palavra AA/AS6OR é igual a permuta@* de 4 letras divid* pela permuta@* de ' letras:

4

'

P 4 % 5 & ! $ 'S&"0$%"

P 'S

× × × × × ×= =

Resposta da questão ": WAX

A primeira letra 8 ser2 ,i>a e as *utras seis s*,rer@* permuta@* c*m repeti@*- p*is tem*sduas letras A e duas letras 60

-&

&P 1%"

=

×

Resposta da questão #: WCX

O resultad* é dad* p*r

($- - $)1"

1"SP '1!"0

$S S $S= =

× ×

Resposta da questão $: 1% So&u'ão:

O n3mer* de mensagens distintas que * sistema p*de emitir é dad* p*r

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% ! ' % ! '

' ! ' 1 ' 1

% 5 & ! $'

' 1&%"0

× × = × × ÷ ÷ ÷ × × ×

× × ×= × ×

×=

% So&u'ão:

O n3mer* de mensagens distintas que * sistema p*de emitir c*rresp*nde a* n3mer* depermutaEes de % lKmpadas- send* ' vermelas- verdes- 1 amarela e apagadas- *u seja-

('--)%

%P

'

% 5 & ! $

1&%"0

=× ×

× × ×=

×=

Resposta da questão (: a) C*nsidere as ,iguras- que e>i#em duas p*ssi#ilidades0

#) Sejam u e d- respectivamente- * n3mer* de #arras de 1cm e cm0 =*g*- tem*su d 1'0+ = Além diss*- c*m* as #arras pretas e #rancas se alternam- e cada cdig*c*mea e termina c*m uma #arra preta- segue que u d+ s p*de ser um n3mer* Dmpar0

P*rtant*- as s*luEes s@* *s pares (u- d) Y(1- &)- (!- $)- (4- )- (1'- ")Z0∈

O resultad* pedid* c*rresp*nde ? s*ma d* n3mer* de permutaEes c*m element*s nemt*d*s distint*s de t*d*s *s pares (1- &)-(!- $)- (4- )-(1'- ")- *u seja-

(!- $) (4- )(&) (1')5 4 11 1'

5S 4S 11S 1'SP P P P &S !S $S 4S S 1'S

4 % 5 & 11 1"5 1

$ '

1%40

+ + + = + + +× ×

× × × ×= + + +

× ×

=

Resposta da questão ): WAX

;ualquer que seja * percurs* de A até .- ser@* necess2ri*s ! desl*cament*s para ,rente e! para a direita0 =*g*- e>istem

(!- !)1"

1" 1" 4 % 5 &P !! ! ! $ '

× × × ×= = =× × × ×

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trajet*s p*ssDveis0

P*r *utr* lad*- e>istem

($-)

&

& & !P 1!

$

×= = =

×

percurs*s de A até C- e

(')$

$P $

'= =

trajet*s de C até .0 esse m*d*- pel* PGC- 2 1! $ &"× = percurs*s de A até . passand*p*r C0

P*rtant*- * resultad* pedid* é dad* p*r ! &" 140− =

Resposta da questão *: W.X

Calculand* * n3mer* de anagramas da palavra .OR.O=76A0 (O#serve que as letras O e .parecem duas vees cada)0

-p

4S 4 % 5SP 1% !"$" [ 4"5"

S0S $

× ×= = = ×

Resposta da questão 1+: W.X

O men*r camin* ser2 ,*rmad* p*r d*is lad*s inclinad*s (decidas) e quatr* lad*s *ri*ntais0

!4!.2

!64,26 = P [ 1!

Resposta da questão 11: W7X

C*nsidere x * n3mer* de #*las de c*c*late- y * n3mer* de #*las de m*rang* e z * n3mer*de #*las de uva0=*g*- > \ ] \ [ $0 Ag*ra devem*s determinar * n3mer* de s*luEes inteiras da equa@*0

Permuta@* das #*las vermelas e #arras auis:

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O N3mer* de s*luEes inteiras da equa@* é da p*r &0!0$0'001 1!$0'001001

=

Resposta da questão 1: WX

[ para direita C [ para cima

7m qualquer camin* mais curt* a pess*a ter2 que se desl*car 5 vees para direita e ! veespara cima- em qualquer *rdem0

7>empl* ,,C,C,,CC,C,

l*g* * n3mer* de percurs*s ser2 dad* p*r:

792!5!.7

!125,7

12 == P

Resposta da questão 1!:

W.X

^2 d*is cas*s p*ssDveis:

i) Anagramas que iniciam pela letra P e terminam p*r O:

1"S'

S&P)'(

& ==

ii) Anagramas que iniciam pela letra e terminam p*r O:

&"SS'

S&P)-'(

& =

⋅

=

P*rtant*- de (i) e (ii)- tem*s 1%"&"1" =+ anagramas0

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Resumo das quest-es se&eionadas nesta ati/idade

,ata de e&abora'ão: "%11"1! ?s 1!:1%0ome do arqui/o: P7R/U6A_<O CO/ R7P76_<O

egenda:;Pr*va [ n3mer* da quest@* na pr*va;. [ n3mer* da quest@* n* #anc* de dad*s d* SuperPr*`

23pro/a 23,B Grau3,i4. 5at6ria 7onte 8ipo

100000000000001'!$'%0000 0/édia0000000000000/atem2tica0000Pucrj"1!0000000000000000000000000000/3ltipla esc*la

00000000000001'$1$$0000 0.ai>a0000000000 000/atem2tica0000Uerj"1!000000000000000000000000000000/3ltipla esc*la '00000000000001$1&"00000/édia0000000000000/atem2tica00001 J i,sul"1!0000000000000000000000/3ltipla esc*la $00000000000001'15'00000/édia0000000000000/atem2tica00001 J i,ce"1$00000000000000000000000/3ltipla esc*la !00000000000001'1!&0000 0.ai>a0000000000 000/atem2tica0000Ggv"1$000000000000000000000000000000/3ltipla esc*la &00000000000001!'$00000/édia0000000000000/atem2tica0000Uerj"1'000000000000000000000000000000AnalDtica 500000000000001'5!10000 07levada000000 000/atem2tica0000Ggv"1!000000000000000000000000000000AnalDtica

%000000000000011$4&0000 07levada000000 000/atem2tica0000U,u"10000000000000000000000000000000/3ltipla esc*la 40000000000000114'"000000.ai>a0000000000000/atem2tica0000Uni*este"10000000000000000000000/3ltipla esc*la 1"000000000004!1'0000000/édia0000000000000/atem2tica0000Uerj"11000000000000000000000000000000/3ltipla esc*la 11000000000004!"!%0000000/édia0000000000000/atem2tica0000Unesp"1"00000000000000000000000000/3ltipla esc*la 10000000000041"10000000/édia0000000000000/atem2tica0000Unesp"1"00000000000000000000000000/3ltipla esc*la 1'00000000000%&$5&000000 0N@* de,inida0 0/atem2tica0000#mecrj""4000000000000000000000000/3ltipla esc*la

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