8. Calcular , para que o polinômio ( ) ( ) ( ) seja:

a) do 3° grau b) do 2° grau c) 1° grau

9. Quais das seguintes funções são polinomiais? Justifique.

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

e) ( ) √

10. Sendo ( ) , calcule:

a) ( ) b) ( ) c) ( )

11. Considere as funções polinomiais ( ) e ( ) .

Calcular:

a) ( ) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( )

d) ( ) ( )

12. (Vunesp-SP) Se , e são tais que ( ) , então o coeficiente de

em ( ) é

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

13. (Uniderp-MT) Se ( ) ( ( )

) é um polinômio, então ( ) é igual a

a) 10 b) 13 c) 16 d) 18 e) 20

14. Considere os polinômios ( ) , ( ) e ( ) .

Calcule e dê o grau dos seguintes polinômios:

a) b) ( ) ( )

15. Determine qual o polinômio que subtraído de ( ) resulta no polinômio ( )

.

16. Sejam os polinômios ( ) ( ) e ( ) ( ) . Determine

todos os valores reais de para que a diferença ( ) ( ) seja um polinômio do 2° grau.

17. Dados ( ) ( ) ( ) e ( ) , calcule , para que ( ) ( ) .

18. Determine , de modo que: ( )( ) .

19. (Vunesp-SP) Se a, b, c são números reais tais que ( ) ( ) ( ) para todo real,

então o valor de é

a) -5 b) -1 c) 1 d) 3 e) 7

20. (UECE) Se os polinômios ( ) |

| e ( ) são idênticos, então o valor de

é

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

LISTA DE EXERCÍCIOS DIVISÃO DE POLINÔMIOS

1. (UFMG) – O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x

3 + x – 1 por q(x) = 4x

3 +1 é:

a. x – 5 b. x – 1 c. x + 5 d. 4x – 5 e. 4x + 8

2. (UFPE) – Qual o resto da divisão do polinômio x3 – 2x

2 + x + 1 por x

2 – x + 2 ?

a. x + 1 b. 3x + 2 c. -2x + 3 d. x – 1 e. x – 2

3. (CEFET-PR) – O quociente da divisão de P(x) = x3 – 7x

2 +16x – 12 por Q(x) = x – 3 é:

a. x – 3

b. x3 – x

2 + 1

c. x2 – 5x + 6

d. x2 – 4x + 4

e. x2 + 4x – 4

4. (UNICAMP-SP) – O resto da divisão do polinômio P(x) = x3 – 2x

2 + 4 pelo polinômio Q(x) = x

2 – 4 é:

a. R(x) = 2x – 2

b. R(x) = -2x + 4

c. R(x) = x + 2

d. R(x) = 4x – 4

e. R(x) = -x + 4

5. (PUC-PR) – O resto da divisão de x4 – 2x

3 + 2x

2 + 5x + 1 por x – 2 é:

a. 1 b. 20 c. 0 d. 19 e. 2

6. (PUC-BA) – O quociente da divisão do polinômio P = x3 – 3x

2 + 3x – 1 pelo polinômio q = x – 1 é:

a. x b. x – 1 c. x2 – 1 d. x

2 – 2x + 1 e. x

2 – 3x + 3

7. (UEM-PR) – A divisão do polinômio 2x4 + 5x

3 – 12x + 7 por x – 1 oferece o seguinte resultado:

a. Q = 2x3 + 7x

2 + 7x – 5 e R = 2

b. Q = 2x3 + 7x

2 – 5x + 2 e R = 2

c. Q = 2x3

+ 3x2 – 3x – 9 e R = 16

d. Q = 2x3

+ 7x2 – 5x + 2 e R = 0

e. Q = 2x3 + 3x

2 – 15x + 22 e R = 2

8. (CESGRANRIO-RJ) – O resto da divisão de 4x9 + 7x

6 + 4x

3 + 3 por x + 1 vale:

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

9. (UFGRS) – A divisão de p(x) por x2 + 1 tem quociente x – 2 e resto 1. O polinômio P(x) é:

a. x2 + x – 1

b. x2 + x + 1

c. x2 + x

d. x3 – 2x

2 + x – 2

e. x3 – 2x

2 + x – 1

10. (UFSE) – Dividindo-se o polinômio f = x4 pelo polinômio g = x

2 – 1, obtém-se quociente e resto,

respectivamente, iguais a:

a. x2 + 1 e x + 1

b. x2 – 1 e x + 1

c. x2 + 1 e x – 1

d. x2 – 1 e -1

e. x2 + 1 e 1

11. (FATEC-SP) – Se um fator do polinômio P(x) = x3 – 5x

2 + 7x – 2 é Q(x) = x

2- 3x + 1, então o outro

fator é:

a. x – 2 b. x + 2 c. -x – 2 d. -x + 2 e. x + 1

12. (Mack-SP)

( )

( )

Considerando o resto ( ) e o quociente ( ) da divisão acima, se ( ) , ( ) vale

a) 1 b) -3 c) -5 d) -4 e) 2

13. Qual o resto da divisão do polinômio |

| pelo polinômio |

|?

Dispositivo de Briot-Ruffini

1. Calcule o quociente e o resto da divisão de:

a) ( ) por ( )

b) ( ) por ( )

c) ( ) por ( )

d) ( ) por ( )

2. Ache o quociente e o resto da divisão de:

a) ( ) por

b) ( ) por

3. Os esquemas representam aplicações do dispositivo prático de Briot-Ruffini; calcule o valor dos elementos

desconhecidos em cada um deles:

a) b)

2 a b c d

1 3 -2 1

4. (UEPG-PR) Na divisão do polinômio ( ) pelo binômio ( ), do 1° grau, usando o dispositivo de Briot-Ruffini,

obteve-se o seguinte:

m 1 a a -a -6

3 0

Então, assinale o que for correto.

01) ( ) é um polinômio do 4° grau.

02) ( ) é divisível por

04) ( )

08) ( )

16) O quociente da divisão é o polinômio ( ) .

A soma dos valores atribuídos às proporções verdadeiras é igual a ____.

5. Determine o quociente e o resto das divisões a seguir.

a) ( ) por ( )

-1 a b c d

4 -2 -1 0

b) ( ) por ( )

c) ( ) por ( )

6. Calcule o quociente ( ) do polinômio quando dividido por . Em seguida,

determine o valor de ( ).

Divisibilidade, Teorema de D’Alembert e Teorema dos Restos

1. Calcular o resto da divisão de ( ) por ( ) em cada um dos casos:

a) ( ) b) ( ) c) ( )

2. Determinar de modo que os restos das divisões de ( ) por e por sejam,

respectivamente, 1 e 4.

3. Dado o polinômio ( ) , determine sabendo que o resto da divisão de ( ) por

( ) é 1 e, quando dividido por ( ), tem resto igual a -5.

4. (UEL-PR) Se o resto da divisão do polinômio por ( ) é 10, qual é valor de ?

5. (UFSC) Sendo “a” e “b” dois números tais que o polinômio ( ) é divisível por ( )

e por ( ), calcule .

6. Dado o polinômio ( ) , determine se é divisível por algum polinômio a seguir, por

ou .

.

7. Determine em ( ) , sabendo que 1 é raiz de ( ) e que ( ) .

8. Considere o polinômio ( ) , em que são constantes. Sabendo que ( ) é divisível

por ( ) , determine o valor de .

Raiz do polinômio, conjunto solução, teorema da decomposição

1. Determine o conjunto solução das equações:

a)

b)

c)

d)

e) ( ) ( )

f)

2.(Vunesp-SP) Considere a matriz [

]. O determinante de é um polinômio ( ).

a) Verifique se 2 é uma raiz de ( ).

b) Determine todas as raízes de ( ).

3. (FGV-SP) Resolva a equação no conjunto dos números complexos.

4.(UEPB) Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar óleo diesel. Os níveis e , dos tanques são dados

pelas expressões: ( ) e ( )

, sendo t o tempo em horas. O nível do óleo

de um tanque é igual ao outro no instante inicial e também no instante:

a) 1,5h b) 1,0h c) 2,5h d) 2,0h e) 0,5h

5. Definir analiticamente a função cuja representação gráfica é mostrada a seguir.

6. (Unesp-SP) A .altura de um balão em relação ao solo foi observada durante certo tempo e modelada pela função

( )

com ( ) em metros e em minutos. No instante o balão estava a 510 metros de altura. Determinar em que

outros instantes a altura foi também de 510 metros.

7. Sabendo-se que -1 é raiz dupla da equação , determinar o seu conjunto solução.

8. Decomponha os seguintes polinômios em fatores:

a) ( ) em que uma das raízes é 1;

b) ( ) em que uma das raízes é 2.

9. (FGV-SP) O polinômio ( ) tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da

diferença entre as outras raízes é igual a:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

10. Um professor de matemática escreveu um polinômio ( ) na lousa e falou que suas raízes, todas reais, eram

iguais às idades de suas filhas. Sabendo que suas idades são iguais a 22, 31 e 35 anos, determine o polinômio escrito a

lousa.

11. Sabendo que 2 é raiz da equação , determine o seu conjunto solução.

12. Resolva a equação , sabendo que -1 é uma raiz tripla dessa equação.

13. Exercícios 1, 2, 3 e 4 das páginas 37 e 38.

14. Resolva as equações:

a)

b)

c)

d) ( ) ( )

e)

f)

Avaliação de Matemática 1 | Peso: 3,5| 3º Bimestre | Prof. Guilherme Franklin Lauxen Neto

| Aluno: | Turma: 131 Data: 26/08/2013|

1. (0,5) Se, no universo , a equação admite a raiz -1 com

multiplicidade 3. Determine as demais raízes deste polinômio.

______________________________________________________________________________________

2. (0.5) (UEPB-PB) O polinômio ( ) , com a constante, tem como uma

de suas raízes. Com isso, podemos escrever ( ) como:

a) ( )( )( )

b) ( )( )( )

c) ( )( )( ) Justifique a sua resposta

d) ( )( )( )

e) ( )( )( )

3. (0,5) (UFRJ) O gráfico a seguir representa uma função

polinomial P de variável real, que possui duas raízes

inteiras e é definida por ( )

Determine o valor da constante representada por m e as

quatro raízes desse polinômio.

4. (0,5) Determine os valores dos parâmetros a, b e c para que o polinômio ( )

( ) ( ) seja identicamente nulo.

5. (0,4) (UFPel-RS) Para que o polinômio dê resto 3 quando dividido por

( ), deve valer:

a) 1 b) -1 c) 3 d) -7 e) 7

__________________________________________________________Justifique a sua resposta_________

6. (0,3) (UFPA) O polinômio ( ) é idêntico a ( ) . Então

podemos dizer que é igual a:

a) 6 b) 5 c) 4 d) 0 e) -3

_________________________________________________________Justifique a sua resposta__________

7. (0,4) Determine os polinômios quociente e o resto das divisões.

a) ( ) por ( )

b) ( ) por ( )

__________________________________________________________________________________

8. (0,4) (Furg-RS) . Na divisão de um polinômio ( ) pelo binômio ( – ), ao usar o dispositivo prático de

Briot-Ruffini, encontrou-se.

Determine os valores de a, q, p e r.

Recuperação de Matemática: polinômios

| Peso: 3,5| 3º Bimestre | Prof. Guilherme Franklin Lauxen Neto

| Aluno | Turma: 131 Data: 27/08/2013|

1. (0,5) Veja o gráfico de ( ) , em que e são números reais. Nele, estão

indicados os pontos em que a curva corta o eixo .

a) Qual o valor numérico de ( ) para ?

b) Quais os valores de e ?

c) Escreva o polinômio ( ) e valor o valor numérico de

( ), (

) e ( ).

2. (0,5) (UEPG-PR) No esquema abaixo, foi aplicado o dispositivo prático de Briot-Ruffini, para a

divisão de um polinômio ( ) por um polinômio ( ). Assim, determine a alternativa falsa.

a) ( )

b) ( )é divisível por ( )

c) ( ) é divisível por ( )

d) O quociente da divisão de ( ) por ( ) é ( )

3. (0,4) (UFRGS-RS) Se é uma raiz do polinômio ( ) e é uma raiz do polinômio ( ), então:

a) ( )

( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( )

d) ( ) ( )

e) ( ) ( )

Esta questão utiliza o conceito teórico de raiz.

4. (0.5) Efetue a divisão de ( ) por ( ) em cada um dos itens.

5. (0,5) Considere os polinômios ( ) ( ) e ( ) . Calcule o

valor de sabendo que ( ) ( ) é o polinômio identicamente nulo.

6. (0.6) Considere os polinômios ( ) ; ( ) e ( ) .

Calcule e dê o grau dos seguintes polinômios:

a) b) ( ) ( ) c)

7. (0.5) Determine o conjunto solução da equação .

8. Questão extra (0.5). Resolva a equação , sabendo que uma de suas raízes é

dupla.

9. (0.7)