FACULDADE SENAI “GASPAR RICARDO JÚNIOR”

REGRA DE L’HOPITAL E MÈTODO DE NEWTON

Atividade destinada á disciplina de Càlculo realizado pelo aluno Juliano Augusto Domingues

SOROCABA2012

No cálculo de limites nos defrontamos diversas vezes com alguns limites do

tipo   com   e   ou então   e  , sendo g uma função não identicamente nula e a um número real, podendo ser   ou  .

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Nesses exemplos usamos algum tipo de artifício a fim de "sair da

indeterminação" do tipo   ou  . Entretanto, por exemplo, em   nenhum dosartifícios vistos no cálculo de limites resolve o problema.

Coube a Bernoulli - embora a publicação tenha sido de L'Hospital, que emprestou seu nome ao feito - descobrir uma propriedade que nos permite calcular rapidamente limites desse tipo. A engenhosa descoberta consistiu em perceber que, na vizinhança de um ponto podemos comparar o quociente de duas funções com o quociente de suas derivadas, desde que determinadas hipóteses estejam satisfeitas. De maneira precisa, temos:

 Primeira Regra de L'Hospital.

Sejam f e g duas funções contínuas num intervalo I, deriváveis no interior de I,

tais que   para todo x no interior de I. Seja   e suponhamos

que   e que existe  , finito ou infinito. Então existe   

e mais ainda  .

 Segunda Regra de L'Hospital.

Sejam f e g duas funções deriváveis em todo ponto x distinto de a, x

pertencente a uma vizinhança V de a,   , r>0. Suponhamos

que  para todo   e que  . Se existe  ,

finito ou infinito, então existe   e, mais ainda,  .

Com as Regras de L'Hospital muitos limites complicados são facilmente calculados. Entretanto, é preciso ter sempre o cuidado de verificar se as hipóteses estão satisfeitas.

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Muitas vezes, o limite a ser calculado aparece de maneira tal que aparentemente não prevemos a utilização de uma das Regras de L'Hospital. Esse é o caso do próximo exemplo.

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Método de Newton

As três primeiras iterações do método de Newton.

Em análise numérica, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem o objetivo de

estimar as raízes de uma função. Para isso, toma-se um ponto qualquer da função, calcula-se a

equação da tangente (derivada) da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo

das abcissas, calcula-se o valor da função nesse ponto, e repete-se o processo, que deve tender a

uma das raízes da função rapidamente, ou não tender a nada, deixando isso claro logo. Em notação

matemática representa-se desta forma:

,

onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e   é a derivada da função f em xn.

Para que se obtenha sucesso na iteração deve-se primeiramente delimitar um intervalo, a fim

de escolher um valor estimado inicial adequado, para que a convergência de (xn) seja propícia.

Para tanto existem apenas quatro condições a serem satisfeitas:

O intervalo delimitado deve conter a raiz de f;

A função f deve ser diferenciável em todo o intervalo;

A primeira derivada no intervalo não deve trocar de sinal;

A segunda derivada no intervalo não deve trocar de sinal.

Uma vez delimitado um intervalo que cumpra tais exigências, escolhe-se para o valor-inicial o

ponto mais à esquerda se o produto da primeira pela segunda derivada for negativo, ou

escolhe-se o ponto mais à direita se ocorrer o contrário, se o produto for positivo.

Este é considerado por muitos autores o melhor método para encontrar sucessivas melhores

aproximações de raizes (ou zeros) de uma determinada função real. A convergência

frequentemente é rápida, em especial se a estimativa inicial (ou chute inicial) está

"suficientemente próximo" da raiz da função. O método é atribuido a Sir Isaac Newton (1643-

1727) e Joseph Raphson (1648-1715).

Em 1984, Allan J. Macleod num artigo da International Journal of Mathematical Education in

Science and Technology, mostrou que o método iterativo de Newton-Raphson para equações

não lineares pode ser considerado um membro da família geral de um parâmetro de métodos

de segunda ordem [1].