UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Matemtica e Estatstica Departamento de Anlise Disciplina: Clculo Diferencial e Integral III Professor: Paula C. M. Clemente 9a lista de exerccios __________________________________________________________________

1 Achar a transformada de Laplace da funo dada.

(a)

2se)2(

2se0)(

2 tt

ttf

(b)

1se22

1se0)(

2 ttt

ttf

(c)

2tse0

2tse

tse0

)( ttf

Respostas

(a) 3

2

s

e s (b)

3

2 )2(

s

se s (c) )1(

2

2

2s

s

e

s

e ss

2 Achar a transformada de Laplace de cada um dos problemas de valor inicial que seguem.

(a) )(4'' tfyy ; 0)0( y , 0)0(' y ,

3tse0

3tse4

t0se0

)(tf

Resposta: ))]3(2cos(1)[())](2cos(1)[()( 3 ttuttuty

(b) )(48''2 tyy ; 0)0( y , 2)0(' y

Resposta: ))(2()()( tsentuty

(c) )('' tfyy ; 0)0( y , 1)0(' y ,

t

tf

2se0

2t0se1

)(

Resposta: )1)((cos1)(2

senttusenttty

(d) )(2'2'' tyyy ; 1)0( y , 0)0(' y

Resposta: )()(cos)( )( tsenetusentetety ttt

3 Calcule os itens que seguem usando o teorema da convoluo.

(a)

222 )( as

s-1L (b)

22 )1(

1

ss

-1L

Respostas:

(a) a

senatt

2 (b) 22 tete tt

4 Achar a transformada inversa de Laplace mediante o teorema da convoluio.

(a) 224 )1(

1

ss (b)

)4)(1( 2 ss

s

Respostas

(a) t

dsenttf0

3)(6

1)( (b)

t

t detf0

)( 2cos)(

5 Achar a transformada de Laplace da funo dada.

(a) t

dttf0

2 2cos)()( (b)

tt dsenetf

0

)()(

Respostas

(a) )4(

224 ss

(b) )1)(1(

12 ss

6 Exprimir a soluo do problema de valor inicial em termos de uma integral de convoluo.

(a) )('' 2 tfyy ; 0)0( y , 1)0(' y ,

(b) senatyyy 2'2'' ; 0)0( y , 0)0(' y ,

Respostas

(a) t

dftsentsenty0

)())((11

)(

(b)

tt dsenatsenety

0

)( )()(

7 Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas:

(a)

yxy

yxx

'

4' 3)0( x , 2)0( y

(b)

yxy

yxx

3'

22' 5)0( x , 0)0( y

(c)

xyy

yxx

2'

32' 8)0( x , 3)0( y

Respostas

(a) tt eetx

2

1

2

7)( 3 tt eety

4

1

4

7)( 3

(b) tt eetx 23)( 4 tt eety 33)( 4

(c) tt eetx 435)( tt eety 425)(

8 Resolva os seguintes sistemas, utilizando o mtodo de eliminao:

(a)

x

x

ezydx

dz

dx

dy

ezydx

dz

dx

dy

2

5

32

4

(b)

2

2

2

2

2

2

2

xzdx

zd

dx

dy

eydx

dz

dx

yd x

(c)

033

42

zydx

dy

ezydx

dz

dx

dy x

(d)

xzDyD

senxzDyD

cos)1()1(2

2)2(2)3(

(e)

xzydx

dz

dx

yd

xdx

dz

dx

yd

22

3

2

2

2

2

2

Respostas

(a) xx

x

eeecz 2525

15

3 xx

x

eeecy 2525

1 25

2

(b)2

3

2

1

2

1cos 243

2

2

2

1 xesenxcxcececz xxx

xexcsenxcececy xxx 22

3cos2222 43

2

2

2

1

(c) xesenxccxccz 2)3(cos)3( 2121

xesenxcxcy

2

1cos 21

(d) senxxececz xx

130

61cos

130

33

3

4 52

31

)cos8(65

152

31 xsenxececy

x

x

(e) xxx

ececcz xx

54

11

189

233

3

2

21

2

33

3

2

236

11

182

3x

xececy xx