Agrupamento de Escolas drª Laura Ayres

Elaborado por:

Professoras Carla Cunha e Nélida Filipe

Equações do 2º Grau

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

Definição:

  Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Quando escrevemos a equação na forma ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, dizemos que a equação está escrita na forma canónica:

Observe que:

a representa o coeficiente de  x²;b representa o coeficiente de x;c representa o termo independente.

Exemplos:

x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0.

x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.

Equações Completas do 2º Grau

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0, onde a = 1, b = -9 e c = 20.

-x² + 10x - 16 = 0, onde a = -1, b = 10 e c = -16.

Equações Incompletas do 2º Grau

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero.

Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)

x² - 3x = 0, onde a = 1, b = -3. -2x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4.

Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)

3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2. x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.

Será uma equação do 2º grau?

1.

2.

Ficha de Trabalho equ incompletas.docx

02231 2 xxx

03 22 xx

Raízes de uma Equação do 2º Grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar as suas  raízes ou soluções.

Raiz ou solução é o número real que, ao substituir a

incógnita de uma equação, a transformanuma proposição verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto solução e representa-se por S ou C.S..

Ficha de Trabalho equ incompletas.docx

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto solução. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta duas importantes propriedades dos números reais, chamando-se à 1.ª Propriedade a “Lei do anulamento do produto”, a qual permite factorizar a equação:

1ª Propriedade: Se x є R, y є R e x.y = 0 x = 0 ou y = 0

2ª Propriedade: Se x є R, y є R e x² = y x = √ y ou x = -√ y

1º Caso: Equações da forma 2º Caso: Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)

3º Caso: Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)

Resolução de Equações Incompletas

02 ax

ax² = 0Consideremos a equação

Reduzimos a equação à forma canónica

Só há um número elevado a dois que é zero. Logo

Uma equação do 2º grau do tipo ax² = 0 tem uma e uma só solução: o número zero. ax² = 0

Ficha de Trabalho equ incompletas.docx

Resolução de Equações Incompletas Equações da

forma:

22 85 xx

085 22 xx

0

0132

2

x

x

0x

0 x

Resolução de Equações Incompletas

Equações da forma:ax² +bx = 0, (c = 0)

Consideremos a equação:

Comecemos por escrevê-la na forma canónica

Factorizamos o 1º membro

Aplicamos a lei do anulamento do produto

Logo,

xx 53 2

053 2 xx

053 xx

3

50

0530

xx

xx

3

5;0S

De um modo geral, temos, se

No geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem sempre duas soluções reais, sendo uma delas nula e a outra igual ao simétrico do

quociente entre b e a:

x = 0

e

x = - b/a

Logo,

Ficha de Trabalho equ incompletas.docx

0a

a

bxx

baxx

baxx

bxax

0

00

0

02

a

bS ;0

Resolução de Equações Incompletas

Equações da forma:ax² +c = 0, (b = 0)

Consideremos a equação

Resolvemo-la por dois processos diferentes:

0259 2 x

1º Processo 2ºProcessoAplicando casos notáveis para factorizar o 1º membro e a lei do anulamento do produto para resolver:

3

5

3

59

25

9

25

9

25

259

0259

2

2

2

xx

xx

x

x

x

3

5

3

5

053053

05353

0259 2

xx

xx

xx

x

Logo,

A equação tem duas soluções simétricas.

Consideremos a equação

Resolvendo vem:

Não há nenhum número ao quadrado que vá dar um número negativo. A equação é mpossível .

3

5;3

5S

Resolução de Equações Incompletas

0259 2 x

9

25

259

0259

2

2

2

x

x

x

No geral, a equação do tipo ax² +c = 0, se :

Uma equação do 2º grau do tipo tem duas soluções simétricas se a e c têm sinais contrários e é impossível se a e c têm o mesmo sinal.

Ficha de Trabalho equ incompletas.docx

a

cx

a

cx

a

cSe

impossíveléequaçãoaa

cSe

a

cxcaxcax

,0

.,0

.0 222

0a

Resolução de Equações Incompletas

02 cax

Resolução de Equações Incompletas

EXERCÍCIOS: Resolve cada uma das seguintes equações:

Ficha de Trabalho equ incompletas.docx

063.4

2

52.3

.2

0.1

2

22

2

2

x

xx

xx

x

Resolução de Equações CompletasFórmula de Bhaskara ou fórmula

resolventePara solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a

Fórmula de Bhaskara ou resolvente.

A fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (de 2º grau). Tem esse nome por ter sido divulgada pelo astronómo indiano Bháskara de Akaria, no século XII, em seu livro Lilavat. Sua descoberta porém é atribuída aos babilónios antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi.

A partir da equação ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, desenvolveremos passo a passo a dedução da Fórmula resolvente.

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. (4a).(ax² + bx + c) = 0.(4a)

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

2º passo: passar 4ac para o 2º membro.4a²x² + 4abx = - 4ac

Fórmula de Bhaskara ou resolvente

3º passo: adicionar b² aos dois membros.4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac

4º passo: factorizar o 1º membro.(2ax + b) ² = b² - 4ac

5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros. √ (2ax + b) ² = ± √ b² - 4ac

2ax + b = ± √ b² - 4ac

6º passo: passar b para o 2º membro.2ax = - b ± √ b² - 4ac

Trinômio Quadrado Perfeito

Fórmula de Bhaskara ou resolvente

7º passo: dividir os dois membros por 2a.2ax = - b ± √ b² - 4ac

2a 2a

Assim, encontramos a fórmula resolvente da equação do 2º grau:

x = - b ± √ b² - 4ac 2a

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

x’ = - b + √ b² - 4ac e x” = - b - √ b² - 4ac 2a 2a

Discriminante

Denominamos binómio discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega Δ (delta).

Δ = b2 - 4ac

Podemos agora escrever deste modo a Fórmula de Bhaskara:

x = - b ± √ Δ 2a

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo (Δ > O)2º Caso: O discriminante é nulo (Δ = O)3º Caso: O discriminante é negativo (Δ < O)

Discriminante

Δ > O Δ = O Δ < O

O valor de √Δ é real e a

equação tem duas raízes

reais diferentes, assim

representadas:

O valor de √Δ é nulo e a

equação tem duas raízes

reais e iguais, assim

representadas:

O valor de √Δnão existe em

IR, não existindo,

portanto, raízes reais.

x’ = - b + √Δ 2a

x” = - b - √Δ 2a

x’ = x” = -b 2a

As raízes da equação são

número complexos.