Examen resuelto metodos numericos

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rosand roque

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  • 1. Anjo de Deus, meu querido amigo, a quem o amor deDeus me destina aqui; sempre neste dia esteja comigopara iluminar e guardar, governar e guiar UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL SOLUCIN DEL EXAMEN CON MATLABCURSO: METODOS NUMERICOSALUMNO:ROQUE CHARCA, RosandDOCENTE:Lic. Faustino Murillo Mamani

2. UNA - PUNO2012 Dedicado al alma mater de mi formacin acadmico - cientficoUniversidad Nacional del Altiplano - Puno 1 EXAMEN PARCIAL (TIEMPO: 120min)1. Obtenga el polinomio de Taylor de tercer grado para alrededor de y use elpolinomio para aproximar. Encuentre el valor exacto y halle el error absoluto y relativo.SOLUCIN: Puesto que podemos aplicar el teorema de Taylor de grado 3, adems:donde:Para ytenemos: donde: ( ) ( )donde: entonces cuando x= podemos evaluar con Taylor:Hallamos una cota para el error: || | |el cual es un valor aceptable, ahora hallamoserror relativo | | para hacer comparaciones estos resultadosevaluamos y hallamos las posibles races con un programa desarrollado en matlab utilizando un algoritmopara esta aproximacin:1 GRAFICAMOSRosand Roque Charca V Semestre1 3. UNA - PUNO 2012GRAFICO N 1 EN MATLAB120100De este grafico nos damos cuenta que existe una80posible raz en el punto o a partir del punto f (x ) (1 x )260puesto que adems se ve que en el punto no existe raz pues es una asntota vertical;40luego utilizamos un algoritmo de un programaEJE Ydesarrollado en matlab que para este caso200 utilizaremos newton raphson.-20 P (x ) 1 2x 3x 2 4x 3 Rn (x ) -40-60-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.51 1.5 2 2.5 EJE XComo estamos viendo en el programa en 3iteraciones ya hacemos una posibleaproximacin de la raz que sera de2.54376, aunque el problema no nos pide laraz ya entendemos cmo funciona elpolinomio de aproximacin de Taylor.2. Sea F(x)= . Usando el polinomio de Taylor de tercer grado para ,expandido alrededor de , Aproxime F(0.1)SOLUCIN: Puesto que aplicamos el teorema de Taylor de grado 3 para calcular laaproximacin, adems:Rosand Roque Charca V Semestre 2 4. UNA - PUNO 2012Donde:Para y tenemos: donde: () ( )Dnde: entonces cuando x=podemos aproximar la integral con el polinomio deTaylor: Por tanto: Una cota para el error en esta aproximacin se determina con la integral delresiduo de Taylor y el hecho de que ()El error de esta aproximacin se halla dentro de la cota, siendo el valor verdadero de esta integral:3. Use el algoritmo de biseccin para encontrar soluciones de:a)parab) parac)paraSOLUCIN: Analizamos cada ejercicio primero grficamente luego utilizaremos el algoritmo de biseccincon nuestro programa.a) Seala ecuacin donde obtenemos la funcin asociada despejando tenemos:Luego: ,de la grafica N 2 podemos claramente que es continua enGRAFICA N 2 EN MATLAB 70 60 50 40 f 2(x ) 2 x EJE Y 30 20 10 0 f 1(x ) x -10-6 -4 -2 0 2 4 6 EJE XSabiendo que nuestra raz se halla entre , nuestro programa desarrollado en matlab arroja elresultado de , visto de dos formas en matlab:Rosand Roque Charca V Semestre 3 5. UNA - PUNO 2012b) Sea la ecuacin que graficando directamente en grafica N 3 podemos verclaramente que es continua en dos intervalos pero nos piden la raz aproximada en el intervalo GRAFICO N 3 EN MATLAB200180160140 f (x ) e x 2 x 2cos x 6 120 Entonces para hallar la raz que se halla entre,100nuestro programa desarrollado en matlab muestra el 80resultado de , visto de las dos formas en 60matlab: 40 20 0-6 -4 -2024 6xRosand Roque Charca V Semestre4 6. UNA - PUNO 2012c) Sea la ecuacin que graficando directamente en grafica N 4 podemos verclaramente quees continua en el intervalo GRAFICO N 4 EN MATLAB 200 150 Entonces para hallar la raz por el mtodo de f (x ) e x x 2 3x 2 biseccin entre, nuestro programa desarrollado 100 en matlab muestra el resultado de, 50visto de las dos formas en matlab:0 -50 -6 -4 -20 2 46 x4. Use el mtodo de Newton para aproximar las soluciones de las siguientes ecuaciones:a)b)c)d)SOLUCIN: Analizamos cada ejercicio observando su grfico para que de manera inmediata hallemos elpunto de inicio o valor inicial utilizando para ello el algoritmo de Newton Raphson de nuestro programa.a) Sea la ecuacin que graficando directamente en grafica N 5podemos ver claramente que es continua en el intervalo de donde nuestro valor inicial msprximo a la raz sera: Rosand Roque Charca V Semestre5 7. UNA - PUNO 2012GRAFICO N 5 EN MATLAB 500Entonces para hallar la raz por el mtodo de -50Newton raphson con un , nuestrof (x ) x 2 e x 3x 2 programa desarrollado en matlab muestra el -100resultado de , lo cual es un valoraceptable, seguidamente se muestra las dos formas -150en matlab, -200 -6-4-2 0 2 4 6xb) Seala ecuacin que graficando directamente en grafica N 6 podemos ver claramenteque es continua en varios intervalos, primero en , segundo intervalo , etc., entonces solovamos a mostrar el comportamiento en el primer intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicialms prximo a la raz de: GRAFICO N 6 MATLAB100 50 Entonces para hallar la raz por el mtodo de0Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra elf (x ) 3x 2 e x resultado de , lo cual es un valor -50 aceptable, seguidamente se muestra las dos formas-100 en matlab,-150 -6 -4-20 2 4 6xRosand Roque Charca V Semestre6 8. UNA - PUNO 2012c) Seala ecuacin que graficando directamente en grafica N 7 podemos verclaramente quees continua en dos intervalos, primero en , segundo intervalo,entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en el segundo intervalo por cuestiones de tiempo, dandoun valor inicial ms prximo a la raz de: GRAFICO N 7 EN MATLAB200180160 Entonces para hallar la raz por el mtodo de Newton140 raphson con un , nuestro programa120 desarrollado en matlab muestra el resultado de f (x ) e x 2 x 2cos x 6 100 , lo cual es un valor aceptable, 80 seguidamente se muestra las dos formas en matlab, 60 40 20 0-6 -4 -2 0 2 46 xRosand Roque Charca V Semestre 7 9. UNA - PUNO 2012d) Sea la ecuacin que graficando directamente en grafica N 8 podemos ver claramenteque es continua en varios intervalos, de los cuales trabajamos en el intervalo , entonces solovamos a mostrar el comportamiento en este intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial msprximo a la raz de: GRAFICO N 8 EN MATLAB 50 40 Entonces para hallar la raz por el mtodo de Newton 30raphson con un , nuestro programaf (x ) x 2 10cos x desarrollado en matlab muestra el resultado de 20 , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab, 10 0-6 -4 -20 24 6x5. La funcin tiene un cero en. Use el mtodo de Newton con las siguientesaproximaciones lineales y explique los resultados grficamente:1.2.3.4.5.6.SOLUCIN: La ecuacintiene una asntota vertical en donde la funcin no es continua eneste punto, entonces ahora vamos analizar la funcin en los respectivos puntos, el grafico general de lafuncin se muestra en el grfico N 9 donde podemos apreciar los posibles intervalos de continuidadRosand Roque Charca V Semestre 8 10. UNA - PUNO2012 GRAFICO N 9 EN MATLAB 5.55 4x 7Entonces vamos evaluar todos los puntos usando el 4.5f (x ) mtodo de Newton raphson, nuestro programax 24 desarrollado en matlab muestra los siguientes resultados en matlab 3.53 2.5 -6 -4 -20 24 6 x1. Para la primera aproximacin de 1.625 que la razcalculada por newton Raphson muestra un valor de1.750000000 con un error de 0.000002 lo cual esbastante aproximado a la raz real y es un valoraceptado.2. Para la segunda aproximacin de 1.875 la razcalculada por newton Raphson muestra un valor de1.750000000 con un error de 0.000002, que es igualal anterior punto, esto ocurre debido a que newtonRaphson trabaja en funcin a intervalos y por ejemploun intervalo es3. Para la tercera aproximacin de 1. 5 la razcalculada por newton Raphson muestra un valor noadmitido o no existe respuesta, esto ocurre debido aque newton Raphson trabaja en funcin a intervalos ypor ejemplo la asntota vertical genera un vecindaddonde no es posibles calcular races.4. Para la cuarta aproximacin de 1. 95 la razcalculada por newton Raphson muestra un valor de1.750000000 con un error de 0.000113 lo cual se vaalejando de la raz real y aun as sigue mostrando unvalor aceptado.Rosand Roque Charca V Semestre9 11. UNA - PUNO 20125. Para la quinta aproximacin de 3 la raz calculadapor newton Raphson muestra un valor de infinito conun error muy grande de 0.998382 lo que significa quela raz real est muy lejos del intervalo decontinuidad.6. Para la sexta aproximacin de 7 la raz calculadapor newton Raphson muestra un valor de infinito comoen el caso anterior, con un error muy grande de0.997697 lo que significa que la raz real est muylejos del intervalo de continuidad.6. El valor acumulado en una cuenta de ahorros basada en pagos peridicos regulares puededeterminarse de la ecuacin de vencimiento anual, , en esta ecuacin A es lacantidad en la cuenta, P es la cantidad depositada regularmente, e, i, es la tasa de inters porperiodo para los n periodos de depsito.A un ingeniero le gustara tener una cantidad de $75,000 en una cuenta de ahorros cuando se retireen 20 aos y puede, para este fin, depositar $150 al mes. Cul es la tasa de inters mnima a lacual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el inters se compone cada trimestre. Culeslatasade inters mnimasi el intersescompuestodiariamenteSOLUCIN: Se sabe que el inters que genera un capital prestado se acumula al capital, al final cadaintervalo de tiempo especificado. Entonces tenemos para>a) La tasa de inters mnima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el inters secompone de cada trimestre.en 20 aos si deposita $150 al mes tendra $36000Entonces evaluando en la ecuacin de vencimiento anual que:b) La tasa de inters mnima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el inters secompone diariamente.en 20 aos si deposita $150 al mes tendra $36000Entonces evaluando en la ecuacin de vencimiento anual