3.5 อนพนธระบทศทาง (Directional derivative)

พจารณาฟงกชน z f (x, y) ซงมกราฟเปนพนผว ทผานมาศกษาอนพนธยอยของฟงกชนในทศทางของแกนหลก

zxw �w

อตราการเปลยนแปลงของ z ในแนวแกน X

zyw �w

อตราการเปลยนแปลงของ z ในแนวแกน Y

ในหวขอนศกษาการเปลยนแปลงของฟงกชนในทศทางใด ๆ กาหนดให x f (x, y) เปนฟงกชนทกาหนดบนโดเมน R x 0 0 0P (x , y ) เปนจดใน R x 1 2u u �u i j เปนเวกเตอรหนงหนวย

จะไดวา สมการเสนตรงทผานจด 0 0 0P (x , y ) และขนานกบ u คอ 0 1x x su � และ 0 2y y su � เมอ s เปนพารามเตอรทแทนความยาวจากจด 0P ตามทศทางของเวกเตอร u

ในลกษณะนเราสามารถหาอนพนธของ f (x, y) ทจด 0 0 0P (x , y ) ในทศทางของเวกเตอร u ไดตามบทนยามตอไปน

unitvector

Mjfoey z

a aimis 7 s i oMo

il

บทนยาม 3.5.1 อนพนธระบทศทางของ f (x, y) ทจด 0 0 0P (x , y ) ในทศทางของเวกเตอรหนงหนวย 1 2u u �u i j เขยนแทนดวย

0,P

dfds

§ ·¨ ¸© ¹u หรอ

0u P(D f ) กาหนดโดย

0 1 0 2 0 0s 0,

f (x su , y su ) f (x , y )df limd ss o

� � �§ · ¨ ¸© ¹ 0u P

เมอลมตดงกลาวหาคาได

directionalderivative

F

ตวอยาง 3.5.1 จงใชบทนยาม 3.5.1 หาอนพนธระบทศทางของ

ฟงกชน 2f (x, y) x xy � ทจด 0P (1,2) ในทศทางของเวกเตอร 1 12 2

�u i j

วธทา เนองจาก 2 21 1 1

2 2§ · § · � ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹

u

แสดงวาเปนเวกเตอรหนงหนวยตามบทนยาม

0 1 0 2 0 0s 0,

f (x su , y su ) f (x , y )df limds so

� � �§ · ¨ ¸© ¹ 0u P

s 0

1 1f 1 s ,2 s f (1,2)2 2lim

so

§ ·� � �¨ ¸© ¹

� �2

2

s 0

s s s1 1 2 1 (1)(2)2 2 2lim

so

§ · § ·§ ·� � � � � �¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸© ¹ © ¹© ¹ 2 2

s 0

2s s 3s s1 2 32 2 2 2

limso

§ · § ·� � � � � �¨ ¸ ¨ ¸

© ¹ © ¹

2

s 0

5s s2lim

so

§ ·�¨ ¸© ¹ s 0

5lim s2

o

§ · �¨ ¸© ¹52

WHI at

o

00

CIR

ดงนน อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน 2f (x, y) x xy � ทจด

0P (1,2) ในทศทางของเวกเตอร 1 12 2

�u i j เทากบ 52

nieces osmongntwok.sgmwrmresntrioffcn.gs set 3my12k5gC1itcnjhmdrm.ieitj Iga co o881 Dnf p.co himfchotsui yotsu fana yS 70

S

him f Otsu Otsu flopS 70S

him fC s s fco oS 70 S

him CS 3C5CS 12CS 5CS OS o

S

him 54352 IS 55S o S

his 4S 7S o

ta

ความหมายทางเรขาคณตของอนพนธระบทศทาง กาหนดโดยให z f (x, y) เปนพนผว S ถา 0 0 0z f (x , y ) แลว จด 0 0 0P(x , y ,z ) เปนจดบนพนผว S ระนาบทตงฉากกบระนาบ xy ทผานจด 0 0 0P(x , y ,z ) และ 0 0 0P (x , y ) และขนานกบเวกเตอร 1 2u u �u i j จะตดกบพนผว S เปนเสนโคง C

ดงนนอตราการเปลยนแปลงของ f ในทศทางของเวกเตอร u จะเปนความชนของเสนสมผสเสนโคง C ทจด P ดงรป

หมายเหต ในกรณท 1 2u u �u i j เปนเวกเตอรทขนานกบแกน X และแกน Y จะไดวา

1. ถา u i แลว 0

0u P 0 0

,P

df f(D f ) (x , y )ds x

w§ · ¨ ¸ w© ¹u

2. ถา u j แลว 0

0u P 0 0

,P

df f(D f ) (x , y )ds y

w§ · ¨ ¸ w© ¹u

ตอไปพจารณาการคานวณอนพนธระบทศทางทมประสทธภาพโดยใชเกรเดยนต (Gradient) ตามบทนยามตอไปน

บทนยาม 3.5.2 ให f เปนฟงกชนทมอนพนธยอยทจด 0 0 0P (x , y ) เกรเดยนตของ f ทจด 0P คอ เวกเตอร f� อานวา grad f หรอ

del f โดยท f ffx yw w� � � �w w

i j

ทฤษฎบท 3.5.1 ให 0,P

dfds

§ ·¨ ¸© ¹u เปนอนพนธระบทศทางของ f ท

จด 0 0 0P (x , y ) ในทศทางของเวกเตอรหนงหนวย 1 2u u �u i j

จะไดวา � �0

0P

,P

df f ·ds

§ · �¨ ¸© ¹uu

Jum

7 dot

oia hssoomofrio.ggfcu yi 5n2 y4 of Iff I t jofcmyi zffn.netfgnmlj

2C5xtty4Fe let df5k4y4

lose i ayyT

J

Ofc4,2 no 4 I 141213J 405132J

fin y bsince's cos y foey o Cutty25TAMMI flakyTEaxiftfflinity Laidtf ex y exisi Ifexoni unityiii yuityi j5sinex's ccosc3y i t 55in Itcosy j

lo x cos I Ji t c 3si ys jnoxcostsi C9sin

syojoiedni.amDnf Ign 3,51 N foey e cosC 3k 5gfindmsrosioninofus i jTolin Cheek armarosforms u

ful IEEE tf EE Im ofC3,5

Goram 2 2 cosbae 5972K 2K

f sina.se by 213k 5g2K3sin 3k by

un If 2 coSC3k5g2g5Sin 3k 5g

Imho of cu y 3sincase5g I 155incase 5g jof 3,5 3sin 3 3 5 5 I 155in 3.3 5 5 j

3sinC 167 it bsin C 16 jsin 16 E G sin16 j

unwngar Daf p f p w

form Dnf Po Of13,5 w

sin a i Gsincolj ffi Yjofsink 1 If sin 1629 i

5 Siu16

1

ตวอยาง 3.5.3 (หนา 174) จงใชเกรเดยนตหาอนพนธระบทศทางของ

ฟงกชน yf (x, y) xe cos(xy) � ทจด 0P (2,0) ในทศทางของเวกเตอร 3 4 �v i j วธทา

2 41I 3J

Cheek Amaro v

I vl TEE if 3R2Iorio Inti v Fuion nofundondoeoi da I III Fai Ei

NsfwPotatomorosudsuioed i fzjm of C4,1

doom foe y s sidling

Ife InTng aubry2Ko HEY 2Cathy I

ay 9

ofcuy s anbuy it hyIjofca n 42.4buy it qIj o it 16J

nunfar Dnf po of Ipo we

form Drf p of car u

Co ing Fai Tsio Hq a 8

as