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EDO de segunda ordem no linear
Reduo EDO de primeira ordem
Ovdio Filho
No conhecemos muito sobre EDO no lineares de segunda ordem
,
Mas dois casos particulares podem ser reduzidos a uma EDO de
primeira
ordem:
CASO 1: EDO que no tem y na sua expresso:
Faa a mudana de varivel v = y'. Ento a nova equao nas
variveis v e x |:
Que uma EDO de primeira ordem.
Encontrando a funo v e usando a relao v = y', podemos
integr-la
para obtermos a funo y, ou seja
Exemplo 1: Encontre a soluo do PVI:
Soluo: Na EDO acima, no temos y na sua expresso.
Fazendo a mudana de varivel v = y' temos que v = y. Substituindo
na equao acima obtemos a EDO de primeira ordem
-
Esta uma EDO de primeira ordem linear. Sua soluo :
Uma vez que v(1) = 1, obtemos . Conseqentemente, ns temos
Uma vez que y' = v, obtemos
E obtemos a seguinte equao
A condio inicial y(1) = 2 d . Portanto, temos
Note que esta soluo est definida para x > 0.
CASO 1: EDO que no tem x na sua expresso:
Faa a mudana de varivel v = y'. Uma vez que
Ns temos
-
Esta novamente uma EDO de primeira ordem. Como antes, uma
vez
encontrado v ento ns podemos encontrar y por meio da relao
Que uma EDO separvel.
Exemplo 2: Encontre a soluo geral da EDO:
Soluo: Uma vez que no temos na expresso da EDOa varivel x,
faamos a mudana de varivel v = y'. Da,
Esta uma EDO de primeiraordem separvel. Sua soluo :
Uma vez que ns temos que y' = 0 ou
Uma vez que a equao acima uma EDO de p riemira ordem
separvel, ns temos que sua soluo ,
,
onde C e so duas constantes. Todas as solues da nossa EDO
original so
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EDO de segunda ordem lineares
Ovdio Filho
Uma EDO linear de segunda ordem escrita como
Quando d(x) = 0, a equao chamada EDO Homognea, caso contrrio
no homognea. Para a cada EDO no homognea
,
Associamos a chamada a EDO homognea associada
Para o estudo destas equaes ns consideremos o sistema
onde p(x) = b(x)/a(x), q(x) = c(x)/a(x) e g(x) = d(x)/a(x). Se
p(x), q(x) e g(x)
so definidas e contnuas no intervalo I, ento o PVI
,
Onde e so nmeros arbitrrios, tem uma nica soluo
definida em I.
Resultado principal: A soluo geral da EDO no homognea (NH)
dada
por
,
onde
-
(i) yh a soluo geral da EDO homognea associada (H);
(ii) yp uma soluo particular da EDO no homognea (NH).
Concluindo, deduzimos que para resolver uma EDO no homognea
(NH), seguimos os passos:
Passo 1: encontre a soluo geral da EDO homognea associada
(H),
digamos yh ;
Passo 2: encontre uma soluo particular da EDO no homognea
(NH), digamos yp;
Passo 3: Escreva a soluo geral da EDO no homognea (NH) como
Princpio da sobreposio:
Considere a EDO de segunda ordem homognea
Ou, na forma padro
Propriedade Bsica: Se so duas solues, ento
tambm uma soluo para quaisquer constantes arbitrria .
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EDO Lineares com coeficientes
constantes
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Ovdio Filho
Uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes escrita
como
onde a, b e c so nmeros reais. A sua soluo geral encontrada
seguindo os
seguintes passos:
Passo1: Escreva sua equao caracterstica associada
Que uma equao do segundo grau, cujas solues so dadas por:
Passo 2: Quando e so nmeros reais e diferentes o que ocorre
quando , ento a soluo geral da EDO :
Passo 3: Quando o que ocorre quando ento a
soluo geral da EDO :
Passo 4: Quando e so nmeros complexos o que ocorre
quando , ento a soluo geral :
onde
,
Isto ,
-
Exemplo: Encontre a soluo geral do PVI:
Soluo: Seguindo os passos descritos acima:
Passo 1: Equao caracterstica associadas :
Uma vez que , ns temos razes complexas
. Portanto e ;
Passo 2: A soluo geral :
;
Passo 3: Para encontrarmos a soluo particular do PVI, usamos as
condies
iniciais para encontrarmos .
Usando a primeira condio inicial, temos que
.
Derivando y em relao a x na equao do passo 2, obtemos:
Usando a segunda condio inicial
Destas duas equaes conclumos que
,
O que fornece a soluo do PVI
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