Projeto Final de Informática Educativa I

Título: FUNÇÃO EXPONENCIAL E SUAS APLICAÇÕES. Nome do Aluno: FLAVIO BARROSO1. Disciplina e anos envolvidos:MATEMÁTICA – 1º ANO ENSINO MÉDIO

2. Tema central :Utilização da função exponencial

3. Temas de apoio:Pré- Requisito : Estudo de Potências

4. Justificativa:Levar o aluno a uma visão ampla sobre o conceito de função exponencial, onde percebam que não é uma mera troca de variáveis e que o uso correto destas funções tornará o estudo mais agradável e fácil, tanto no campo da matemática como no campo da física, com isso, em seu cotidiano o aluno será capaz de resolver qualquer problema que por ventura possa surgir durante seus estudos.5. Objetivos gerais e específicos:

Objetivos gerais:- Compreender o conceito de potência de expoente inteiro, com base sendo um número real.

- Levar os alunos a um melhor aprendizado sobre funções exponenciais.- Despertar nos alunos um interesse maior no estudo de funções exponenciais com o auxilio do software geogebra. - Despertar nos alunos uma maior satisfação no estudo da matemática através da sala de informática.Objetivos específicos:- Levar o aluno rever os conteúdos de potenciação e aprender noções básicas sobre as funções exponenciais, produzir gráficos, compreender o significado de seus coeficientes, resolver problemas que envolvam equações exponenciais, identificar e utilizar equações exponenciais em exercícios de outras disciplinas, bem como perceber sua aplicação no cotidiano do aluno e aprimorar o uso do software geogebra.

6. Enfoque pedagógico :A abordagem pedagógica será construtivista e investigativa, baseada nas idéias de Piaget e Vigosty. A utilização de um software dinâmico como o geogebra possibilitam ao aluno fazer e refazer os exercícios de forma perceber o seu erro bem como o modo correto De faze-lo.

7. Recursos tecnológicos:- Computador da sala de informática- Data show- Software geogebra instalado nas máquinas

8. Etapas e suas estratégias de realização:O Projeto será executado em 2 semanas que irão conter 12 tempos de aula, sendo 1 semana para a parte da teoria e revisão de potências e suas propriedades e o restante dos dias para a execução das atividades no laboratório de informática da escola.A estratégia é trabalhar a primeiramente a revisão de potenciação e suas propriedades importantes no estudo das funções exponenciais, em seguida fazer uma introdução ao estudo das funções exponenciais com uma sequência de atividades, para promover a aquisição dos conceitos. Procurar criar a lógica matemática necessária à compreensão das funções junto com a criatividade, através da sincronia das tarefas, que sejam envolventes e interessantes aos alunos.

1º ETAPA: SERÁ FEITA UMA REVISÃO DO CONTEÚD DE POTÊNCIA

1ª e 2ª Aulas: Iniciarei com uma atividade apresentando o quadro de potências. Relembrarei com a turma a representação e as nomenclaturas usadas na operação: mostre o que é o expoente, o que é a base e o que significa a expressão "base x elevada ao expoente y". De

volta à tabela, promoverei a observação atenta dos valores. Pedirei que os alunos preencham os espaços existentes tomando por base as regularidades em cada linha da tabela. XY ONDE X BASE E Y EXPOENTE

-------------------------expoentes------------------------------------------------------base 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...2 2 4 8 16 32 2563 3 27 81 2434 4 165 25 625 781256 6 36 77767 7 498 8 649 81 972

Em seguida irei Agrupar os alunos em duplas e lançarei alguns problemas que envolvam operações entre potências, para melhor fixação. Alguns exemplos:

- "Localize na tabela os valores 625 e 25, escreva-os em forma de potência de base 5."Verifique uso correto dos expoentes.

- "Efetue a divisão 625/25 e localize o quociente na tabela, escrevendo-o em forma de potência de base 5. Agora, responda: o que aconteceu com os expoentes originais?" A turma deve perceber que, no caso da multiplicação, quando as bases são iguais os expoentes se somam e, no caso da divisão, se subtraem.

- "Observe o valor 16 na tabela. Escreva-o em forma de potência de base 2 e de base 4." Veja se notam que os expoentes mudam.

- "Escreva 16 com a seguinte representação: base 2 e expoente 2, utilizando parênteses. O que acontece com os expoentes dentro e fora dos parênteses?" Mostre que, na notação entre parênteses, os expoentes se multiplicam.

- "Usando a tabela, verifique se é verdadeira a igualdade: 2-2 x 3-2 = (2 x 3)-2. Agora, responda: o que acontece com as bases e os expoentes?" Aponte que, na multiplicação ou na divisão entre bases diferentes e com um expoente comum, ocorre a propriedade distributiva da potenciação

3ª e 4ª Aulas: Operações com potências

Obs) Para que a aula seja mais dinâmica irei tirar cópias destas aulas para cada dupla de alunos e irei através do data show da escola comentar toda a parte acima descrita.

2º ETAPA: RECONHECER E RESOLVER UMA EQUAÇÃO EXPONENCIAL.

5ª e 6ª Aulas: Nestas aulas irei trabalhar com os alunos as equações exponenciais para que possam colocar em prática o conhecimento de potência trabalhada nas aulas passadas.

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente.

Exemplos de equações exponenciais:

1) 3x =81 (a solução é x=4)

2) 2x-5=16 (a solução é x=9)3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1)4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)

Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base;2º) aplicação da propriedade:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) 3x=81Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34

E daí, x=4.

2) 9x = 1

Resolução: 9x = 1 9x = 90 ; logo x=0.

Obs) Iniciarei ama nova atividade propondo para os alunos resolvam em grupos com a ajuda do professor alguns desafios que envolvam funções exponenciais.Como exemplo, sugerimos os seguintes desafios:

1) Otávio e Rose formam um casal muito diferente: em suas famílias as pessoas vivem bastante tempo. Muitos dos seus ancestrais chegaram a idades avançadas. Vamos calcular quantos bisavôs e bisavós tiveram conjuntamente Otávio e Rose.

Resolução passo a passo:

-De início, contamos os ascendentes de Otávio e os de Rose e, em seguida, os somamos:

Pais/mães = 2 + 2 = 4 = 22

Avôs/avós = 4 + 4 = 8 = 23

Bisavôs / bisavós = 8 + 8 = 16 = 24

Com isso levamos o aluno a observar que a cada passo dado para uma geração anterior, o número de ascendentes dobra. Se calculássemos o número de ascendentes de quinta geração (trisavô / trisavô) de Otávio e Rose, encontraríamos:

16 + 16 = 32 = 25

Dessa forma chegaríamos a conclusão que, para cada geração de X que se escolha há um número f(x) de ascendentes. O valor de f(x), portanto, é uma função de X, e a lei que expressa f(x) em função de X é f(x) = 2x , que é um caso particular de função exponencial.

7ª e 8ª Aulas: Nestas aulas irei trabalhar com os alunos as funções exponenciais

FUNÇÃO EXPONENCIALDefinição:

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável

aparecendo em expoente.

A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a IR+ e a1, é chamada função

exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é

IR+ (reais positivos, maiores que zero).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar:

quando a>1;

quando 0<a<1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a

tabela e o gráfico abaixo:

x -2 -1 0 1 2

y 1/4 1/2 1 2 4

2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a

tabela e o gráfico abaixo:

x -2 -1 0 1 2y 4 2 1 1/2 1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que:a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);c) Os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto

o conjunto imagem é Im=IR+.

Com isso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)

Obs) Durante essa aula usarei o softwear geogebra e o data show para mostrar em sala de aula como se comporta a função exponencial para determinados valores.

9ª a 12ª Aulas: Nestas aulas irei trabalhar com os alunos as funções exponenciais com o auxilio do software geogebra .

 1º passo – Abrir o GeoGebra.

 

 

2º passo – Localizar a caixa de entrada que fica na parte inferior da tela e digitar

f(x) = b.a^x e em seguida pressionar ENTER.

3° passo – Ir na ferramenta controle deslizante e criar os controles a e b em seguida movimentá-los, observando as mudanças sofridas pelo gráfico. - Levar o aluno a perceber que quanto maior o número qualquer b mais próximo o gráfico fica do eixo y, e ao contrário mais distante o gráfico fica do eixo y, já o número qualquer mostra em que ponto o eixo y é cortado pelo gráfico da função exponencial.- Em seguida deixar que os alunos manipulem os controles deslizantes para que possam observar o comportamento da função exponencial.

4º passo- Observar as coordenadas destes pontos que ficam dispostos no canto

esquerdo da tela.

Atividade em grupo:1) Um estudo revelou que a população de peixe em um lago está crescendo a uma determinada taxa ao ano. Isso significa que a população de peixes em um ano pode ser maior ou menor que a população do ano anterior. Atualmente, essa população está estimada em 103 peixes.

a) Qual será a população de peixes nesse ano quando a taxa for de 20% ?b) Obtenha a lei que define o número de peixes n nesse lago levando em conta a variação da taxa anual.

c) Esboce o gráfico dessa função utilizando o geogebra.

Respostas:

- Os alunos deverão calcular a população de peixes, levando em conta que a população atual é de 1000 peixes.

- Em seguida eles deverão representar a taxa de 20 % por um 1,2

- Em seguida eles deverão chegar a fórmula que exprima esse crescimento de peixes.t= (1,2)t + 1000, essa função será representada no geogebra da seguinte forma : f(x) = a^x + b

onde : a é a taxa x é o tempo ( embora já estaremos levando em consideração que o tempo é 1 ano) b é igual a população sem aumento da taxa

- O próximo passo será representar está fórmula no gráfico utilizando o geogebra.

9. Definição de papéis:O professor e o aluno colaboram mutuamente para o desenvolvimento da aprendizagem. O professor fará o papel de orientador e facilitador e o aluno de elemento ativo e colaborador da aprendizagem entre eles.

10. Sites e bibliografia de apoio: Roteiros de Ação – Curso de Formação Continuada de Professores do

Cecierj referente ao 1º ano do Ensino Médio - 3º bimestre de 2012. Matemática aula por aula, 1º série – Benigno Barreto Filho e Cláudio

Xavier da Silva – 1ª edição – São Paulo - FTD - 2003. Matemática – Ciência e Aplicações – 1º série - Gelson Iezzi – 2º edição

– São Paulo – Atual – 2004.

Endereços eletrônicos acessados

http:// www.sómatematica.com.br http://tutorbrasil.com.br http://supletivounicanto.com.br http://Portal do professor.com.br http://eba.com.br http://es.iff.edu.br

11. Coleta de dados:A coleta de dados se fará nos sites, livros e eventos do cotidiano do aluno.

12. Seleção do material:A seleção se fará através da observação quanto ao grau de interesse que este objeto de aprendizagem pode causar no aluno.

13. Programação visual:Será construído um blog com as informações necessárias ao aluno com mini-textos e situações problemas para serem resolvidos com a ajuda do Geogebra, bem como um tutorial de utilização do software geogebra que terá um link disponível.

14. Meios para a execução: Sala de informática, data show, software Geogebra e Livro Didático

15. Avaliação:Será de acordo com o desempenho e interesse de cada aluno durante os trabalhos no laboratório de informática.

16. Cronograma:O Projeto será executado conforme discriminado acima