A equação da onda é sem dúvida um dos exemplos mais clássicos e relevantes ao que se recorre nos estudos de equações em derivadas parciais (EDP). Os primeiros estudos sobre as equações, se realizaram no século XVIII, época que estavam se estabelecendo os pilares fundamentais da análise matemática, tal como é entendida nos dias de hoje. Os desenvolvimentos posteriores foram associados a avanços importantes na Análise de Fourier, Óptica Geométrica, analise numéricas, etc. De modo que, pode-se dizer que a equação da onda tem sido um dos protagonistas, mas destacados da matemática nos últimos séculos.

O método de Fourier mostra-se muito eficaz na solução de vários tipos de EDPs e mostra ter uma importância destacada nesta teoria. Concluímos que a solução (formal) do P.V.I.F. é dada pela expressão:

u ( x , t )=∑n=1

∞

(ancos nπcL t+bn sinnπcLt )sen nxL x

Cujos coeficientes an e bn são calculados em:

an=2L∫0

L

f ( x ) sen nπLxdx e bn=

2nπ c∫0

L

g ( x ) sen nπxLdx

Referências:Artigo: ANÁLISE DE FOURIER PARA O ESTUDO ANALÍTICO DA EQUAÇÃO DA ONDA

http://www.fai.com.br/portal/ojs/index.php/omniaexatas/article/download/67/pdf