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Fabiano J. Santos
12
3.1. Exemplos de Séries de Fourier
Conforme vimos nos capítulos anteriores, a representação em Série de Fourier de uma
função f periódica de período LT 2 tem a forma
1
0 sencos)(
n
nnL
tnb
L
tnaatf
,
(01)
onde os Coeficientes de Fourier ,...,,...,,, 21210 bbaaa são calculados pelas fórmulas de
Euler-Fourier
L
L
dttfL
a )(2
10 ,
(2.1)
L
L
n dtL
tntf
La
cos)(
1,
(2.2)
L
L
n dtL
tntf
Lb
sen)(
1.
(2.3)
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 01: determinar a representação em série de Fourier da função "onda quadrada" de
período 2T , dada graficamente por
e analiticamente por:
t
ttf
01
0,1)( , )()2( tftf .
Capítulo 03
13
Por (2.1) temos
02
1)(
2
1)(
2
1
0
0
0
dtdtdttfdttfL
a
L
L
.
Por (2.2) temos
0coscos1
cos)(1
cos)(1
0
0
dtntdtntdtnttfdt
L
tntf
La
L
L
n .
Por (2.3) temos
)cos(12
sensen1
sen)(1
0
0
nn
dtntdtntdtL
tntf
Lb
L
L
n
.
Uma vez que
ímparén
parénn
,1
,1)cos( , temos
41 b , 02 b ,
3
43 b , 04 b ,
5
45 b , 06 b ,
7
47 b
e substituindo os valores encontrados de nn baa ,,0 em (01) obtemos a seguinte representação em
Série de Fourier para a onda quadrada
...7sen7
45sen
5
43sen
3
4sen
4)( tttttf
,
(3.1)
ou mais compactamente
112
)12(sen4)(
kk
tktf
.
(3.2)
A figura a seguir ilustra o gráfico da onda quadrada e de sua respectiva Série de Fourier
utilizando um número diferente de termos
Fabiano J. Santos
14
Observação importante: neste exemplo calculamos os Coeficientes de Fourier integrando
sobre o intervalo ],[ que é simétrico com relação à origem. Na verdade isto não é obrigatório,
e a integração poderia se dar sobre qualquer intervalo de tamanho 2 , ou seja, do tamanho do
período da função, como por exemplo ]2,0[ ou ]3,5[ . Isto é sempre verdade para funções
periódicas. (Veja Problema 02 do Capítulo 01 e Problemas 01, 02 e 03 deste Capítulo).
Exemplo 02: determinar a representação em série de Fourier da função "onda triangular" de
período 2 , dada graficamente por
e analiticamente por:
10,
01,)(
tt
tttf , )()2( tftf .
Por (2.1) temos
2
1
2
1)(
2
1)(
2
11
0
0
1
1
1
0
tdttdtdttfdttfL
a
L
L
.
Por (2.2) temos
1)cos(2
coscoscos)(cos)(1
22
1
0
0
1
1
1
nn
dttntdttntdttntfdtL
tntf
La
L
L
n .
Por (2.3) temos
Capítulo 03
15
0sensensen)(sen)(1
1
0
0
1
1
1
dttntdttntdttntfdtL
tntf
Lb
L
L
n
.
Uma vez que
ímparén
parénn
,1
,1)cos( , temos
2
10 a ,
214
a , 02 a ,
239
4
a , 04 a ,
2525
4
a , 06 a ,
2749
4
a
e substituindo os valores encontrados de nn baa ,,0 em (01) obtemos a seguinte representação em
Série de Fourier para a onda triangular
...7cos49
45cos
25
43cos
9
4cos
4
2
1)(
2222 tttttf
,
(4.1)
ou mais compactamente
122 )12(
)12(cos4
2
1)(
k k
tktf
.
(4.2)
A figura a seguir ilustra o gráfico da onda triangular e de sua respectiva Série de Fourier
utilizando um número diferente de termos
Fabiano J. Santos
16
Exemplo 03: determinar a representação em série de Fourier da função "onda dente de serra" de
período 2 , dada graficamente por
e analiticamente por: tttf ,)( e )()2( tftf .
Por (2.1) temos
02
1)(
2
10
tdtdttfL
a
L
L
.
Por (2.2) temos
0cos1
cos)(1
dtnttdt
L
tntf
La
L
L
n .
Por (2.3) temos
)cos(2
sen1
sen)(1
nn
dtnttdtL
tntf
Lb
L
L
n
.
Uma vez que
ímparén
parénn
,1
,1)cos( , temos
21 b , 12 b , 3
23 b ,
4
24 b ,
5
25 b ,
e substituindo os valores encontrados de nn baa ,,0 em (01) obtemos a seguinte representação em
Série de Fourier para a onda dente de serra
...5sen5
24sen
4
23sen
3
22sensen2)( ttttttf ,
(5.1)
Capítulo 03
17
ou mais compactamente
1
1 )sen()1(2)(
k
k
k
kttf .
(5.2)
A figura a seguir ilustra o gráfico da onda dente de serra e de sua respectiva Série de Fourier
utilizando um número diferente de termos
Problemas
1. Refaça o Exemplo 01 integrando sobre o intervalo: a) ]2,0[ b) ]0,2[
2. Refaça o Exemplo 02 integrando sobre o intervalo: a) ]0,2[ b) ]4,2[
3. Refaça o Exemplo 03 integrando sobre o intervalo: a) ]0,2[ b) ]13,11[
Nos problemas a seguir esboce o gráfico e encontre a representação em Série de Fourier para
as funções dadas
4.
)()2(,
10,0
01,1)( xfxf
x
xxf
5.
)()6(,
30,3
03,3)( xfxf
xx
xxxf
6. )()2(,11,)( 2 xfxfxxxf
7. (retificador de meia onda)
)()2(,
0),sen(
0,0)( xfxf
xx
xxf
Fabiano J. Santos
18
8. (retificador de onda inteira) )()(,0),sen()( xfxfxxxf
9. Use o resultado (4.2) do Exemplo 02 do texto para mostrar que
...81
1
49
1
25
1
9
11
8
2
10. Use o resultado do Problema 06 para mostrar que
...25
1
16
1
9
1
4
11
12
2
Respostas:
4.
2
10 a
0na
n
nbn
1)cos(
5. 00 a 0na
nbn
6
6.
3
10 a
22
)cos(4
n
nan
0nb
7.
10 a
1)1(
)cos(1
2
npara
n
nan
10)1(
)sen(
2
npara
n
nbn
01 a
2
11 b
8.
20 a
)14(
4
2
nan
0nb
