Capítulo 05

25

5.1. Desenvolvimento em Meio Período

No capítulo anterior estudamos as funções periódicas com simetrias par e ímpar. Vimos

também que:

i) se f é par e periódica, então pode ser representada por uma série de Fourier de cossenos;

ii) se f é ímpar e periódica, então pode ser representada por uma série de Fourier de senos.

Observamos nestes casos que as Fórmulas de Euler-Fourier que calculam os Coeficientes de

Fourier empregam a integração em apenas meio período. Isto sugere a seguinte abordagem: se uma

dada função é definida apenas em um certo intervalo L , que consideraremos como sendo meio

período, podemos escolher um prolongamento par para esta função utilizando uma série de

cossenos, ou escolher um prolongamento ímpar utilizando uma série de senos. Tal técnica é

denominada desenvolvimento em meio período e é utilizada na resolução de certas equações

diferenciais parciais.

Exemplo 01: Dada a função 10,)( tttf , determine a série de cossenos para um

prolongamento par desta função.

Resolução: observemos então que a função está definida somente no intervalo 10 t , que

consideraremos como sendo seu meio período. Como desejamos um prolongamento par, fazendo

1L temos:

2

1

1

1)(

11

00

0 tdtdttfL

a

L

e

22

1

0

1

00

1)cos(2cos2

1cos

1

2cos)(

2

n

ndttntdt

tntdt

L

tntf

La

L

n

.

Uma vez que

ímparén

parénn

,1

,1)cos( , temos

Fabiano J. Santos

26

2

10 a ,

214

a , 02 a ,

239

4

a , 04 a ,

2525

4

a , 06 a ,

e substituindo os valores encontrados de naa ,0 obtemos a seguinte representação em Série de

Fourier para o prolongamento par de f :

...5cos25

43cos

9

4cos

4

2

1)(

222 ttttf

,

(1a)

ou

1222

)12(cos4

2

1...5cos

25

13cos

9

1cos

4

2

1)(

k k

tkttttf

.

(1b)

A figura a seguir ilustra o gráfico do prolongamento par de f e de sua respectiva Série de

Fourier de Cossenos utilizando apenas 2 termos (note como a série converge rapidamente)

(Obs.: compare este exemplo com o Exemplo 02 do Capítulo 03).

Exemplo 02: Dada a mesma função 10,)( tttf , determine a série de senos para um

prolongamento ímpar.

Capítulo 05

27

Resolução: observemos então que a função está definida somente no intervalo 10 t , que

consideraremos como sendo seu meio período. Como desejamos um prolongamento ímpar, fazendo

1L temos:

n

ndttntdt

tntdt

L

tntf

Lb

L

n)cos(2

sen21

sen1

2sen)(

21

0

1

00

.

Uma vez que

ímparén

parénn

,1

,1)cos( , temos

21 b ,

2

22 b ,

3

23 b ,

4

24 b ,

e substituindo os valores encontrados de nb obtemos a seguinte representação em Série de Fourier

para o prolongamento ímpar de f :

...4sen4

23sen

3

22sen

1sen

2)( tttttf

,

(2a)

ou

1

1 )sen()1(2...4sen

4

13sen

3

12sen

2

1sen

2)(

k

k

k

xktttttf

.

(2b)

A figura a seguir ilustra o gráfico do prolongamento ímpar de f e de sua respectiva Série

de Fourier de Senos utilizando 5 termos

(Obs.: compare este exemplo com o Exemplo 03 da Aula 03).

Fabiano J. Santos

28

Exercícios

1) Dada a função

a) determine sua representação analítica;

b) esboce o gráfico de seu prolongamento par e encontre a Série de Fourier de Cossenos

correspondente;

c) esboce o gráfico de seu prolongamento ímpar e encontre a Série de Fourier de Senos

correspondente;

2) Dada a função

a) determine sua representação analítica;

b) esboce o gráfico de seu prolongamento par e encontre a Série de Fourier de Cossenos

correspondente;

c) esboce o gráfico de seu prolongamento ímpar e encontre a Série de Fourier de Senos

correspondente;

3*. Mostre que qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par mais uma função

ímpar.

Capítulo 05

29

RESPOSTAS:

1.b). 2

10 a

nn

nan cos1

2

1cos2

4

22

1.c) 22

2

1sen8

n

n

bn

2.b) 4

50 a

nn

nan

2

1coscos

4

22

2.c)

)cos(2

2

1sen2

2

22

nnnn

nbn