Revista intersindical - A classe em luta para sair do furacão

I - Estruturas Isost8ticas II - Deforrnatóes em estruturas. Metoda das forcas
111 - Wtodo das DeformaçÍks. Roasso de Croo
FICHA CATALOGRAFICA [Preparada pelo Centro de Catalogaq50-nsFonte,
Cimara Brasileira do Livra. SPI
Süsrekind. Jose Carlos. 1947- S963c Curso de analise ertrutuial / Jose Carlos Si iwkind.- v. 1-2 4. ed. - Pona Alegre : Giabo. 1980.
v. ilust. IEnciciopWia thcnica universal Globol
Bibliografia. Cante8jdo. - v. 1. Estruturas isost6ticar. - v. 2. De-
formações em estruturas. MBtado dar forças.
1: Deformwões IMecinicaI 2. Estruturas - Andlire (Engenharia) 3. Forcas e Tensões. I. Titulo. II. Titu- I0 : Deformaç6es em estruturas. IiI. Estruturas isostiticar.
inl ices paa málogo sinam6tica
-- -
EDITORA GLOBO Porto Alegre
Apresentacão
Planeiamento gr8fim:Tacnimtor Produçdn G d f i u ~ Ltda.
. .-
h O r! . , ,i, .., . , :: C ~ ! L , j? --.-32E.2-
Direitos excluiivor de edi*, em ttngua da Edftom Globo S. A.
Porto Alegre - Rio Grande do Sul B m i l
A idéia de escrever este Curso de Análise Estrutural nasceu da necessidade encontrada de um texto que nos servisse de suporte para o ensino da Isostática e da Hiperestática aos futuros engenheiros civis, idéia esta que cresceu com.0 estfmulo recebido da parte de diversos colegas de magisl6ri0, que se vèm deparando com o mesmo problema. e cuja concretização se tor- nou possível a partir do interesse demonstrado pela Editora Globo em edita-lo.
O Curso de Análise Estrutural será dividido em très volumes. no primeiro dos quais estudaremos os esforços nas estruturas isostáticas. ficando o estudo dos esforços nas estruturas hiperestáticas e das deformações em estruturas em geral para ser feito nos segundo e terceiro volumes. Nestes últimos, incluiremos também, o estudo de alguns tópicos especiais, cujo conhecimento julgamos indispensavel ao engenheiro civil.
Na apresentação deste Curso. é dever de gratidão mencionar o nome do extraordinário professor que é o Dr. Domicio Falcão Moreira e Silva, a quem devemos nossos conhecimentos de Mecânica Racional e de Mecãnica das Estruturas, e por iniciativa de quem fomos lançados no magistério supe- "01, na Pontificia Univenidade Católica do Rio de Janeiro.
gradec cem os antecipadamente aos nossos leitores e colegas quaisquer comentários, sugestóes ou críticas que nos venham a enviar através da Editora Globo, Pois, a partir deles, estaremos em condiçks de tentar sempre melhorar este trabalho, no sentido de torná-lo cada vez mais útil ao nosso estudante - objetivo final de nossos esforços.
Ri0 de Janeiro, 1.0 de abril de 1974 . José Carlos Susekind
Sumario
CAPITULO I - CALCULO DE DEFORMAÇ~ES EM ESTRUTURAS ISOSTATICAS
I - Aplicaqão do teorenia dos trahallios virtuais aos corpos el6sticos I
1.1 - O priiicípio de d'Aleniberl e os conceitos de deslocanieiito e traballio virtual I
I.? - Cálculo de defornidfóes devidas 5 atuação de carregamento externo - F6rmula de Mohr 3
I . . - Aplicaçtíes imeiiiatas 7
1.2.2 - Uso de tabelas para calculo de /",J& 11
1.23 - Aplicações As estruturas usuais da pr8tica I6 1.2.4 - Casos de barras com inercia variável 24 1.2.4.1 - Barras cuwas com inircia variando segundo a lei Jml~cos = 1 24 1.2.4.2 - Inircia variando em mísula 26 'P
1.2.4.3 - Caso de variação aleatória da in6rcia 45 1.3 - Cáiculo de deformações devidas à variação de temperatura 47 L
1.3.1 - Caso particular: variação uniforme de temperatura ( ~ ~ 5 0 ) 52 1.4 - Cálcu!o de deformaçGes devidas a movimentos (recalques)
dos amios 55 - .
2 - Cálculc de deformações em vigas retas - Processo de Mohr 57 2 1 - AplicqXo d o processo de Mohr is vigas hipereststieas 64
3 - Cálculo de deformaçües em treliças planas - Processo de Williot 70
4 - Teoremas complementares 78 4.1 - Teorema de Betti 78 4.2 - Teorema de Mêxwell 79 4.3 - Teoremas de Castigliano 80
i 4.4 - Regra de MüUer-Breslau 86
5 - Problemas propostos 89 6 - Respostas dos problemas propostos 100
1 - Introdução - Determinação d o grau hiperestitico 104 1.1 - Hiperestaticidade externa 104 1.2 - Hiperestaticidade interna 104 1.3 - Hiperestaticidade total 104 1.4 - Aplicações 105 .
2 - O mbtodo das forças 106
2.1 - As bases d o método 106 ' - Obse~a$õcs 109 ... - 2.3 - Roteiro p.ara o niétodo das forças 112 2.4 - Aplicações 113 2.5 - Artifícios hiperestáticos para estmtura elástica e geometri-
camente simétrica 152 2.5.1 - Artifício do arranio de careas 153
1.5.1.2 - O artifício 157 2.5.1.3 - Caso de existência de dupla simetria (elástica e geomktrica)
na estrutura 166 2.5.1.4 - Aplicai;áo i s grelhas 172 . 7.5.2 - Artifício dos grupos de incógnitas (ou artifício das matrizes
simE!ricas) 182
3 - Estudo dos sistemas reticulados enrijecidos por vigas 196
- Estudo das linhas de influência em estruturas hipereststicas 203 4.1 -- Base teórica do método de resolução 203 4.2 - Roteiro de cálculo 206 4.3 - Aplicaqões 208
5 - O teorema de Menabrea 220
6 6 - Cálculo de deformação em estruturas hiperestáticas - Verificação de diagramas 222 6.1 - Caso de carregamento externo 222 6.2 - Caso de variação de temperatura 228 6.3 - Caso de recalques de apoio 233
7 - Problemas propostos 236 8 - Respostas dos problemas propostos 253
CAPITULO I11 - ESTRüTURAS SOBRE APOIOS ELASTICOS
1 - Apoios elásticos discretos 264 1.1 - Definição dos apoios elásticos 264 1.2 - Trabalho virtual de deformação dos apoios elkticoS 266 1.3 - C~lculo de deformações em estruturas isost6ticas 267 1.4 - Resolução de estruturas hiperestáticas 269
2 - Apoios elásticos contínuos 272 2.1 - Introdução 272 2.2 - Vigas de comprimento infinito 274 2.2.1 - Atuaçáo de uma carga concentrada 274 2 2 2 - Atuaçáo de uma carga-momento 282 2.2.3 - Atuaçáo de carga uniformemente distribuída 284 22.4 - Atuaçao de carregamento distribuido qualquer 286
- Vigas semi-infinitas 287 - Vigas semi-infinitas com bordo livre 287 - Vigas semi-infinitas com bordo articulado 290 - Vigas semi4nfinitas com bordo engastado 292 - Viga finita - Processo de Hetenyi 294 - Caso de bordos livres 294
2.4.2 - Caso de bordos articulados 298 2.4.3 - Caso de bordos engastados 299 2.4.4 - Exemplo de aplicação 3M) 2.4.5 - Observações 301
3 - Problemas propostos 307 4 - Respostas dos problemas pmpostos 3 11
Introducáo - ao segundo volume
O segundo volume de nosso Curso, onde são estudados os esforços eni estruturas hiperestáticas, as deformações em estruturas isostáticas e hiperestiiticas, e as estruturas sobre apoios elásticos, foi subdividido em três capftulos, comentados a seguir:
O capítulo I estuda as deformações sofridas pelas estruturas isostáticas devidas a cada um dos agentes deformantes a que podem estar submetidas, quais sejam: carregamento externo, variação de temperatura, movimentos (recalques) de seus apoios e modificações de comprimento impostas durante a sua montagem. Todo esse estudo é feito utilizandese o teorema dos trabalhos virtuais.
Enfase especial mereceram, devido A sua grande incidência na prática, os casos de vigas e treliças, para os quais apresentamos, além do processo geral de c&lculo (baseado no teorema dos trabalhos virtuais), os processos particulares de Mohr e Williot.
Finalmente, são estudados diversos teoremas clásicos na Mecâ- nica das Estruturas, que encontram aplicação neste capítulo ou nos capítulos subsequentes de nosso Curso.
O capítulo I1 estuda a resolução das estruturas hiperestáticas elo primeiro dos dois grandes métodos da Hiperestática, que é o método das forças. São feitas aplicações para Os tipos estruturais usuais, sendo apresentados, a seguir, os artifícios visando i simplificação d o trabalho de resolução das estruturas elástica e geometricamente simétricas (que são as que ocorrem com maior frequência).
Ainda neste capítulo, são estudadas as linhas de influência e é apresentado o cálculo de deformações para as estruturas hiperestáticas.
O capítulo 111 estuda os esforços e deformações de estruturas (isostáticas ou hiperestáticas) sobre apoios elásticos discretos e introduz o estudo dos mesmos problemas para o caso de apoios elásticos contínuos, sendo abordadas, neste caso, as vigas de inércia constante sobre base elástica com coeficiente de recalque constante (que é o caso de esttutura sobre apoio elástico continuo que mais @corre na prática).
Repetindo o que fizemos na introdução ao Volume I, queremos chamar a atenção do leitor para a necessidade do trabalho individual de reso- lução das Listas de problemas propostos ao fim de cada capítulo, como única forma de realmente sedimentar os conceitos apresentados durante a exposi- ção do capitulo.
Na oportunidade, queremos deixar registrados nossos agradcci- mentos ao amigo José de Moura Villas Boas, pelo trabalho de revisão deste \ volume, e aos demais amigos que, com suas sugestões e estimulo, colabo- raram na preparação deste trabalho.
Rio de Janeiro, 8 de agosto de 1974 José Carlos Sussekind
CAPTTULO I - CALCULO DE DEFORMAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTATICAS
1 - ApIieaq.50 do teorema dos trabalhos Wtuais aos corpos elãstim
1.1 - O de d'brlembert e os conceitos de deslocamento e trabalho Wtual
i; ]ean d'Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos de deslocamento e trabalho virtual, estudando o seguinte caso:
P. I p2
Seja um ponto material m em equilibrio, isto é, submetido a um conjunto de forgas Pi tais'qiiè sua resuitante $ 6 nula, conforme indica a Fig. 1-1. Imaginemos seja dado a este ponto um deslocamento 8 sem a introdução de nenhuma nova força no sistema, isto é, mantendo = O. Este deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real, pois, para haver deslocamento real do ponto, seria necessária a introdução de uma nova força ao sistema, que possibilitasse este deslocamento (real) do ponto m. Tratemos, entáo, este deslocamento ,), dado nestas condicões. (isto é. . . .
= O), como uma entidade puramente matemática, â qual chamaremos deslocamento virtyl:
O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças Pi ( r e e ) que amam s$re 0 ponto m quando ele sofre o deslocamento virtual 6 vale W = 2. 6 =O. Dizemos, então. que, "pm um ponto material em equilí- brio (2 = 01. O nobalho wml r ~ l i r a d o pelo sistemn de forcas reais em equilíbrio que atua sobre o,yn*o, w n d o este sofre um deslouimento wtuol arbih$rio quaiquer, 6 nulo , o que constitui o princfpio de d'Alembeh
Isso garante a aeitaçzo do novo conceito (trabalho virtual), pois preserva, para O ponto que sofreu um deslocamento virtual, as suas duas condições de equilíbrio: a estática (traduzida pela resultante nula) e a energhtica (traduzida pelo trabaiho virtual realizado nulo).
A pariir destas consideraçóes, poderemos extrapojar os teoremas
I gerais da Mecânica sobre trabalhos reais para teoremas sobre trabalhos
Cálculo de deformações em estruturas isostáticas 3
virtuais, senão vejamos: Para um ponto material em equilíbrio, sabemos que o "trabalho
real realizado pelo sistema de forças que atua sobre ele é nulo"; para este mesmo ponto, o princípio de d'Aiembert nos diz que "o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças que atua sobre ele 6 nulo para um deslocamento virtual arbitrário qualquer que ihe imponhamos". Bastou, portanto, substituir a palavra "real" do enunciado da proposição da Mecinica sobre trabalho (real) realizado por um ponto em equilíbrio, por "virtual" para obtermos a proposição sobre trabalho virtual realizado por um ponto material em equilíbrio, quando ele sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer.
Como os corpos rígidos e elásticos nada mais são que um somatbrio ao infinito de pontos materiais, podemos, imediatamente, enun- ciar os teoremas sobre trabalhos virtuais a eles aplicáveis, substituindo a palavra "real" dos enunciados dos teoremas de trabalhos reais relativos a estes dois tipos de corpos pela palavra "virtual" e, então, teremos:
a) Corpos rígidos: "Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos
trabalhos virtuais de todas as forças (reais) que sobre ele a t u m é nula, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos."
b) Corpos elásticos: "Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de
equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que sobre ele a t u m é igual ao trabalho virtual das forças internas (esforços simples) nele atuantes, para todos os deslocamentos virtuais' arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos"
Obsmagões:
a) Diversos autores costumam intitular de princípios aos teoremas de tia- balhos virtuais relativos a corpos rígidos e elásticos, por estarem eles baseados no princípio de d'Aiembert. Como, a partir deste principio, podem ser demonstrados estes teoremas de trabalhos virtuais, em tudo que se seguir manteremos a denominação de teorema dos trabalhos virtuais.
b) Diversos livros, também, apresentam deduções muito mais sofisticadas e elegantes, sob o ponto de vista matemático, para os teoremas dos trabalhos virtuais; não o fizemos, neste trabalho, por ser nosso objetivo aPre.Sen- ti-10s sob a feição mais eminentemente física e ~rát ica possível, que facilite ao leitor a compreensão do conceito de trabalho virtual, a partir qual resolveremos o problema do cálculo de deformações nas estruturas (corpos elásticos), o que está feito nos itens a seguir.
c) Não somos pioneiros nesta forma de apresentação do assunto; adotamos,
I Os dedacamentor virtuais arbitrários quaisquer devem ser Pequenos dedocamentos, pela razão expasta na abrerva@og do item 1.2 deste capitulo.
neste caso, a metodologia utilizada pelo prof. Leopoldo de Castro Moreira em seu trabalho "Curso de Estática das Construçóes" publicado pelo Dire- tório Acadèmico da Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro no ano de 1953, por nos parecer a ideal, didaticamente falando.
1.2 - Cálculo de deformaçóes devidas à atuaeo de carregamento externo - Fórmula de Mohr
Seja a estrutura da Fig. 1-2, submetida ao carregamento indicado. Em se tratando de um corpo elástico, ela se deformará devido a estas cargas, adquirindo a configuraçáo esquematizada em pontilhado na Fig. 1-2.
Fig. 1-2 Fig. 1-3
6 evidente que duas seções vizinhas, distantes de ds, terão deformações relativas devidas aos esforços simples M, N, Q nelas atuantes, deformaçks estas que denominamnos d9 (rotação relativa de duas seções distantes de ds, devida a M),A ds (deslocamento axial relativo de duas seçóes distantes de ds. devido a N), dh (deslizamento relativo de duas seçoes distantes de ds. devido a Q). Os valores destas defonnaçóes relativas sáo objeto de estudo na Resisténcia de Materiais, e são dados por:
Mds d,# = - - Nds x Qds , A d s = - . < ~ h = - ES ' CS '
sendo E: módulo de elasticidade longitudinal do material;
G: módulo de elasticidade transversal;
J: momento de inercia de seção transversal em relação a seu eixo neutro;
S: área de seção transversal:
X: coeficiente de redução, resultante da distribuição não uniforme das tensões cisalhantes, cujo valor varia com o tipo de seçao.
>I
~uponhamos, para fms de raciocínio, que queiramos cdcuiar o deslocamento do ponto rn na direção A , ao qual chamaremos o :
Seja, agora, a Fig. E3, onde a configuraçáo da estrutura, apbs a
4 Curso de análise estrutural
- aplicação do carga P = I , 6 a indicada em traço cheio e quc coincidc com o eixo da estrutura da Fig. 1-2 quando descarregada. Dandc-se a todos os pontos da estrutura com o carregamento indicado em 1.3 deslocamentos virtuais exatamente iguais aos provocados pelo carregamento indicado em 1-2, esta assumirá a configuração deformada (virtual) indicada em pontilhado (idêntica à configuração deformada real indicada em 7-2).
Apliquemos, então, à estrutura com as cargas e esforqos indicados em 1-3, e sob os deslocamentos virtuais impostos, o teorema de trabalhos virtuais aplicado aos corpos el5sticos. que diz ser o trabalho virtual das forças externas igual ao trabalho virtual das forças internas, para quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos da estrutura. Temos:
Trabalho virtual das forças externas (cargas e reações):
Wext = P 6 (as reações não dão trabalho)
Trabalho virtual das forças internas (Wint):
Será igual à soma dos trabalhos virtuais de deformação de todos os elementos de comprimento ds ao longo da estrutura e, como estamos no regime linear e vale o princípio da superposição de efeitos, será a soma dos trabalhos virtuais de deformação devidos a cada um dos esforços simples atuantes na estrutura.
Teremos, então, no caso:
Wint = @dP + 1, FMS + Il ~ d h , ou, levandoem conta as
expressões da Resistência dos Materiais:
Igualandese, obtemos
expressão esta que resolve o problema.
a) Chegand*se à expressão final, verificamos que, para fm de cáiculo dos trabalhos virtuais, tudo se passou como se a ~ i g . 1-3 nos fornecesse cargas e esforços e a Fig. 1-2 as deformações. Por esta rafio, elas são denomi- nadas, respectivamente, estado de carregamento e estado de deformação.
b) A escolha d o estado de carregamento deve ser tal que a carga P associada à deformação 6 , que se deseja calcular, nos forneça um trabalho Wtual
I 1 Cálculo de de fomqües em estruturas isostáticas
de forças externas igual a PE . Ele é, pois, funqão da deformação a calcular e pode ser, comodamente, tabelado para OS Casos práticos usuais. o que está feito na tabela I.
C) O estado de deformação pode ser provocado por: - carregamento exterior - variação de temperatura - movimentos (recalques) de apoios - modificações impostas na montagem Neste item, estudamos a primeira das causas; as outras serão analisadas, de. forma inteiramente análoga, nos próximos.
d) NO caso mais geral (estruturas no espaço), teríamos a acrescentar ao trabalho virtual das forças internas aquele do momento de torção, que vale:
I I Jt o momento de inércia à torç%o da seção da peça e que está tabelado,
I para as seções mais usuais, na tabela XVI. Notar bem que Jt + J (momento de inércia polar), para as seções mais gerais; só temos Jt =.f, para
I algumas seçóes especiais, tais como círculos, anéis circulares. etc.
Desta maneira, sob forma mais geral, o cálculo de. deformaçóes em estruturas devidas a carregamento exterior atuante, é resolvido pela expressão (Ll), instituída por Mohr,
I d o o estado de carregamento definido pela tabela I.
I e) Para as estruturas com que lidamos usualmente na prática, podemos acrescentar as Seguintes informações, de grande valia na simplificação do trabalho numérico d o engenheiro:
\ - A parcela a :
pode ser, usualmente, desprezada em presença das demais, com erro minimo (somente em caso de vãos muito curtos e cargas muito elevadas, a influência do esforço Cortante apresenta valor considerável). - Também com erro tolerável, podemos desprezar a parcela
para peças de estruturas que não trabalhem fundamentalmente ao esforço normal. (E evidente que não o podemos fazer, pois, nosca- sos de arcos, escoras, tirantes, barras de treliça, pilares esbeltos e peças protendidas em geral.)
TABELA I - Esmlha do Estado de Carregamento
Deformacão 6 a calcular Estado de Carregamento
1. Deslocamento linear de um ponto rn numa direção A
G = 1
2 Rotação da tangente B elástica numa seção S
3. Rotação relativa das tangentes à elástica numa rótula,de 2 barras i e j
4. Rotação relativa das tarqentes à elástica em 2 secíies S e S' de uma barra
p = - 5. Rotagão absoluta de uma
corda AB (ÃB= II
(nii = I ; CD = I2l
7. Variação do comprimento da corda que une 2 pontos A e B
- P= 1
-
C á i d o de deformqíks em estruturas isostátieas 7
0 uso destas sVnpIiifi&es deve ser feito, enfretanto. com muito cri- tério e somente m casos induvidososS a fim de se evitar possiveir mos grossebos Em caso de dúvida, devem ser computadas numericamente todas as parcelas, a fim de ser possível a avaliação de sua importância relativa.
f ) Conforme veremos mais adiante, para estruturas compostas por barras retas de in6rcia constante, a resolução da
11 " se obterrl por um simples uso de tabela (V. tabela 11), em função dos aspectos dos diagramas M e IÜ, o que simplificará enormemente o trabalho num6nco dos problenqs a solucionar.
g) Queremos chamar a atenção para o fato de que os esforços foram calculados para o eixo indefomdo da estrutura. Quando atuar o carregamento, este eixo se modificará, evidentemente, e os esforços sofrerão uma variação que poderá ser desprezada, caso a deformação sofrida pela estrutura seja pequena (o que, de fato, ocorre para as estruturas usuais). É o que fmmos no caso e, portanto, em tudo que se segue (bem como em tudo que se viu até aqui) estaremos estudando a Análise EStniturd das pequenas defomaç6es.
1.2.1 - Apiiqóes imediatas
Ex. I-I - Calcular o deslocamento horizontal de D, para o quadro da Fig. 14, que tem E3 = 2x 104 tm2 para todas as barras. Em se tratando de quadro plano, que trabalha fundamentalmente à flexão, teremos:
a) Da tabela I, obtemos o estado de carregamento da fig. 1-5:
b) Wtado de deformação
Curso de d i s e e s t n i t d I CXInilo de deformações em esmthuas isost5ticm
c) Cálculo de 6: Sendo EJ constante, temos:
EJ6 = . M-ds = MMMMds + MM-ds + M-ds b b b b Como, para a barra QI , M = O, a expressão se simplifica para
EJ6 = + b M M d S
Lembrando que cada uma destas integrais representa trabalho de deformação na barra correspondente e, lembrando ainda que trabalho independe do sistema de coordenadas adotado, podemos escolher livremente, para cada barra, um sistema de coordenadas para fms de cálculo das integrais. (E evidente que devemos nos guiar, nesta escoiha, pelo critdrio de obtenção de funções de fácil integração.) Escolhidas as abscissas indicadas nos diagramas, obtemos finalmente:
(Os sinais negativos se devem ao fato dos diagramas M e tracionarem fibras opostas, nas barras @ e @ .)
Interpretemos o resultado: sabemos que o valor 6 encontrado simboliza o trabalho virtual pij = 1 x fj . Sendo seu sinal negativo, indica que os sentidos de P e de 6 se opõem e o deslocamento vale, portanto. 7,88mm, para a direita de D.
E r I-2 - Calcular a rotação relativa das tangente a ebt ica na rótula C, desprezando o trabalho da barra curva ao esforço normal, para a estmtura da Fig. 1-7.
(ES) tirante = 10%
Fig. 1-8
Sáo dados: (EJ) barra curva = 2 x I@&
(O sinal positivo indica que a rotação relativa 6 no sentido r ) .) Ex 1-3 - Calcular a rotaçgo da corda BC da grelha & Fig. 1-10.
cujas barras têm
6 = 7,875 x 10.3 rad
(O sinal positivo indica que o sentido arbitrado para o estado de carregamento corresponde ao da deformação.)
(Caso de compostas par barras retas com inercia constante.)
Seja o quadro da Fig. 1-13, cujas barras tEm as inercias constantes 1' indicadas na figura. A defornacão 6 devida ao trabalho i b ~ ã o V&:
Temos:
a) Estado de carregamento: conforme o tabela I, vem:
Sendo Jc uma indrcia arbitrária, chamada inbrcia de compa- raça0 (que usualmente 6 arbitrada igual à menor das in6rcias das barras), temos:
Em hinçáo dos diagramas M e M em cada barra, tabelaremos os valores de:
Jc Ibarra
M M ~ S barra
que, somados para todas as barras das estruturas, nos darão o valar EJc 6, a partir do qual se obtdm, imediatamente, o valor da deformação s des?j&
Vejamos o caso geral a considerar, para estruturas compostas .por barras retas:
Conforme a tabela I, vemos que os diagramas no 'estado de carregamento serão sempre compostos de trechos retilíneos para estmturas compostas por barras retas. Os diagramas M no estado de deformação podem ser quaisquer (função do carregamento atuante). O caso geral será, portanto, o cálculo do valor
sendo M retiiíneo e M qualquer. Temos, para uma barra de inbrcia Ji e comprimento li, conforme indica a Fig. 1-14:
a + li Mxdx 6 o Da Geometria das Massas, sabemos que
a
momento eststico da rea M .em relação a0 eixo y, numericamente igual ao produto da hrea A do diagrama M pela distância i de seu centro de M gravidade ao eixo y. Ficamos, entáo, com:
Jc que desejamos tabelar C igual ao produto de - pela área d o diagrama J;
qualquer e pela ordenada, na posição de seu ientro de gravidade, lida no diagrama retilíneo.
A expressão 1-3 C atribuida ao nisso Vereschaguin. A partir dela, podemos instituir os valores para os diversos casos
particulares apresentados na tabela 11.
A título de apiicaçZo imediata, estudemos os casos seguintes: a) Combinação de M e retilíneos:
Fig. 1-16
Chamando-se I'Je = I : , de compiimento elástico da barra i J:
e que é o compkmento fictício de uma barra de inércia J, que nos dá a
mesma defonnaçáo da barra de comprimento l i e in6rcia J , , temos:
Os casos de diagramas triangulares e retangulares saem. eviden- i
temente, como casos particulares deste.
b) Combinação de retilineo com M parábola d o 2P grau:
16 . Curso de anáiise estmtural Cáicuio de defotmaç&s em estruturas isostáticas 17
1.2.3 - Aplicações às estnihuas usuais da prática
@I-?- Calcular a rotaçzo da tangente à elistica em E, para 1 a estrutura da Fig. 1-17.
> L , ,., - Dado: EJ, = 2 x 104 tml
4m Fig. 1-17
Temos:
C) Cálculo de 6 :
- Para barra @
Fig. 1-18
18 a n o de análise eshtural
6 = - 1,4 x 104 rad (O sentido correto é, pois o anti-horário.)
Observação:
No caso deste exemplo, a combinação dos diagramas poderia ter sido feita diretamente, pois as parabolas terminam com tangente horizontal que o esforço cortante é nulo), e este caso está tabelado; não o fizemos, entre- tanto, para ilustrar o procedimento a adotar no caso de tal não ocorrer.
Ex. 1-5'- Calcular a rotação da corda CD para a grelha da Fig. 1-20. São dados:
-- EJ - 2; ; H = 2 x 105 tm2 =-'t (todas as barras) ,
Fip. 1-20
Fig. 1-21
b) Estado de defornação
1"
:. 8 = 1,005 x l u 3 rad (O sentido arbitrado no estado do carregamento está cometo.)
Ex. 1-6 - Calcular a rotação da tangente i elástica em A para a estrutura da Fig. 1-23, que tem EJ = 104 tm2, constante para todas as banas do quadro e cujo tirante tem ES = 0.5 x 104t.
. - Devido à simetria existente, escolheremos o estado de carre- g e = gamento indicado na Fig. 1-24 e que nos fornecer8 como resposta a soma da h, I' rotação em A com a rotação em B. igual ao dobro de cada uma delas
L
a) Estado de carregamento:
Fig. 1-24 M = lmt M- lmt
Não importa o aparecimento de um esforço de compressão no tirante no estado de carregamento, pois este não tem existéncia física real.
b) Estado de defomlação:
Temos:
= -20 - 42,66 = - 62,66
6 A = -3.13 x 103 rad (sentido correto I? n)
1-7 - Calcular o deslocamento horizontal do ponto C provo- ~ d o por um encurtamento de 2 cm imposto ao tirante & Fig. 1-26.
a) Estado de carregamento l t E F
b) Estado de deformação: Dado pelo encurtamento de 2 cm n o tirante (M.yN= Q=O, pois trata-se de uma estrutura i~o~thtica, que 6 livre à deformação).
c) Cálculo de 6 : Trabalho virtual das forcas extemas:PS = (11 6 2 Trabalho virtual das forças internas: Ntir. ncUtamento =
= fl t (-2 cm) - Igualando, vem: = - 2 4 2 cm (sentido correto: )
Ex. I-8 - Para a treliça da Fig. 1-28, cujas barras têm, todas, ES = 104t, pedem-se:
I?) Calcular o deslocamento vertical de A para o canegamento indicado. \
20) Calcular que modificação de comprimento deve ser dada i barra a durante a montagem para que, quando atuar o carregamento, o pontoA fique no mesmo nível de B.
3m Fig. 1.28
a) Estado de deformação b) Estado de carregamento
F i g C29
NF~S r. ES 6A = X (NS Ib,) bana
Organizando um quadro de valores, temos:
1 NO ta: , I Se cada barra tivesse área diferente teríamos, evidentemente
1 2P) Cálculo da variação de comprimento da barra a : Nosso objetivo com esta variação de comprimento é fazer com que o ponto A tenha uma deformação de ( - 6 A ) para que, quando for somada i defor-
I mação 6 A devida ao carregamento, a deformação final seja nula e t e nhamos 0 ponto A no mesmo nível de E.
Formulemos o problema em termos de teorema de trabalhos virtuais:
Empregand- o mesmo estado de carregamento do item anterior, vamos dar uma variaçzo virtual 6' de comprimento 3i barra @ tal que o ponto A tenha um deslocamento (tambCm virtual) de (dA) . Teremos:
Trabaho virtual das forças externas: = -(1t)(1,05 cm) Trabalho virtual das forças internas: B56' = (- f l ) 6'
Igualando, obtemos: 6' = m= 0,74 cm \rr
A barra 5 deve ser montada, pois, com um comprimento 0,74 em superior ao seu comprimento teórico.
a) Este exemplo visou mostrar a forma pela qual podemos dar contra-flechas em treliças, que consiste em montar alguma(s) de suas barras com uma variação adequada de comprimento.
b) O problema pode ser resolvido variandc-se o comprimento de qualquer (quaisquer) bana@) da treliça, desde que seu esforço normal N seja diferente de zero.
1.2.4 - Casos de barras com inércia variável
Para calcular fl?
para barras de inércia variável, dividiremos nosso estudo em 3 casos:
1.2.4.1 - Barras curvas com inércia variando segundo a lei I J m
J cos V = I (conforme a Fig. 1.31):
Fig. 1-31 -. f-
Jm Temos J =- sendo I,,, a inércia na seção de tangente hori- cos V
I
zontal. Dai vem:
dr COS '4 = MMdx (1-4) EJc 6 = Jc md~ - jC 1: " - i. - J m J m
cos 'P
I.' Tudo se passará, portanto, como se a barra tivesse comprimento
I, inércia constante igual a J , e, para fins de combinação dos diagramas,
eles deverão ser traçados a partir de uma reta horizontal, podendo ser aplicada a tabela I1 (pois a integração dos mesmos se fará ao longo do eixo dos x, conforme 14, e não ao longo do comprimento da barra curva).
Ex 1-9 - Calcular a variação da corda CD para a estrutura da Fig. 1-32,
Sáo dados:
J~ . sendo JM = 2 Jc Barra curva: J =- tos P
4m
I
Temos, desenhando os diagramas na barra curva a partir da reta horizontal de substituição:
a) Estado de carregamento:
b) Estado de deformação:
c) Cálculo de 6 : As combinaçóes de diagramas nos fornecem:
Paraasbarras a e 0: 2 ~ ' ~ 4 x 2 ~ 16 = 85,3 3
curva (l"8 rn)
6 = 1.37cm (a corda aumenta).
1.2.4.2 - inércia variando em mfsula
Emprego das tabelas III a X V p m cilculo de Jc
Para barras cuja altura varia segundo as leis esquematizadas na Fig E35 (mantendo-se constante a outra dimensão). divenos autores tabe- laram os coeficientes necessários i obtenção de deformações (tabelas 1V a XV) provocadas pelos carregamentos usuais (cargas concentradas e uniformemente distribuídas).
Não nos deteremos aqui apresentando justificativas para o roteiro
Cglculo de deformap" em estruturas isost8ticas 27
a adotar quando do emprego dessas tabelas, pois o problema (tebrico) já está bem definido e o caso em questão 6 , apenas. o cátculo nu-
mds que ser8 feito dentro do roteiro de eálculo mbrieo de .i, -;-I
J * instituído por estes autores, resumido na tabela 111, para as leis de variação de altura da barra indicadas na Fig. 1-35 (que são as leis de variação de altura mais usuais para pontes com inCrcia variável).
As leis de variação de altura tabeladas2 sxo: I a) Misula reta assimétrica
I 1 .
+ a -4 I
. ar.- $ - 3 "*.a
0 g.5: : S E i z g E $ ? E;! g E E C;? gsz $65 c R * 23- *"- m * z e 9 3
o :,a - a * --"?--a ... --- - 8 - 8:s m m - --. .-L- 0"- " W .
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O z$"gz rn>D 00' ""S "^' "8' ^q"7". Y. P"% - " % " " -' *"" 0 " - "" n -.-- --- $;r zzn ~ $ 5 gsz ; + ? I K ~ C 22- e? - e 3 5 8 - 3 :;E ;s+ ~ ~ 3 s D -
T A B E U XII
-*h- 4,. .h
J A ' ~ ' 9.n
aplicaçóes seguintes esclarecerão: 1-10 - Calcular o deslocamento vertical de A para a viga de
Fig. 1-36. Todas as banas são mísulas retas com /,,,in = e = 5 J,.
E dado EJc = 2 x 104 tml.
B C Fig. 1-36
42 CURO de análise estrutural
Para a barra a 3 Jc (mls reta assimdtrica): A = - = 1. n = -- 3 ' - 0,2; 1' = I -- =
5 Jc J~ 3 m
Jm,
Tab. IV - 3 x 3 ~ 4 . 5 x O,W8 = +4,0 al=o,098
Tab. VI11 - -3xlx9r3x0,0153 al=o,ol 53
Obsemçóo:
Note o leitor que basta conhecer a linha de fechamento do diagrama M para o cáiculo de S.
Para a barra a (mis. reta simdtrica): X =
/ 3mt
Tab. VI --r 1 2 ~ 3 ~ 4 . 5 ~ 0 . 2 4 1 =+39.1 a=0,241
-, S 4 + + + + )
I tlm Tab. X - -3 x 1 x 12' x 12 x 0,038 = -197.2 ai -0,038
A 3mt A
EJ, 6 =4,0 - 1,2 + 39,l - 197,Z - 126,2 = -281,s ' & = - 1,4cm (o ponto A sobe). . .
EX 1-11 - Calcular o deslocamento horizontal do ponto A para o quadro da Fig. 1-39. Todas as banas têm a inércia máxima igual ao quíntuplo da mínima, sendo que as barras verticais têm Jmín = Jc e a horizontal
Jmín = 2 J,. 6 dado EJc = 104 tm2.
Fig. 1-39
(ObserwçZo preliminur: Para se definir o valor extremo da inércia de uma barra, devemos prolongar sua lei de variação até o eixo da próxima barra, definind-se a altura extrema por esta interseção, conforme está feito na Fig. 1-39.)
Temos:
a) Estado de carregamento
44 Cuiso de anáiise e s t~ tu r a i
b) Estado de deformação
Para a bana , @ :
(mís reta simétrica): 81 = 2 = 0,2; = 0 , ~ ; 1. = 5 1 o
Para a barra @ :
nc 6 = 197 + 49 = 246
.'. 6 = 2,46 im (para a esquerda)
1.2.4.3 - Caso de variação aleatória da inércia
NO caso da inércia náo variar segundo nenhuma das leis estudadas anteriormente, teremos que calcular
por integraçáo aproximada.
O problema será, pois, calcular - Jc 1, qdx sendo q = h@f -. J
Uma das maneiras de resolvê-lo será através do emprego da regra de Sipson: Dividindo-se o v%o 1 da barra num número n (par) de intervalos
Ax. temos:
A aplicação seguinte esclarecer.5.
Ex l-12- Caldar a rotação da tangente à elástica em A para a viga da Fig. 1-42. submetida ao carregamento indicado. A seção é retangular, com base de 40cm e altura variável conforme a figura. É dado: E = 2,l x 106 t1m2.
4 i I r A i 6 0 4 x 1 ~ - Adotando EJc = 2.1 x 10 x - L - 12
< . I . , . , . - 4 = 7 x 10 tm*. , , I ' . '
. . . . - . . . . , temos:
106
18 Fig. 1-42 0121
Vem, en t~o: E J ~ 6 = 387,4 x&= 2 387.4 = 258 2 = 387.4 3 3 :. 6 = 3,68 x 1 0 - ~ rad
TABELA XVI - CÁLCULO DA I N ~ R C I A J ~ A TORÇÃO
O b s e ~ f l o : Para peças de concreto armado, dependendo d o grau de fissuraçá0, a inércia Jt torção pode cair para at6 15% dos valores indicados nesta tabela.
1.3 - Cálculo de deformações devidas à variaç-Sode temperatura
Seja a estrutura isostática da Fig. 143, cujas fibras externas sofrem uma variação de temperatura te e cujas fibras internas uma variação ti em relação à temperatura d o dia de execução da estrutura. Ao longo da altura das barras da estrutura, a variação de temperatura entre as fibras externas e internas pode ser considerada linear (os ensaios em labo- A t- h '.
Fig. 1-43
Estado de ddoimaqão: Erforto. nulos Defornafim relativsr J d p = a 6. - te) ds
I d h = O h
ratório assim o autorizam), de modo que, no estado de deformação, duas seções distantes de ds tendem a assumir a configuração deformada de Fig. 1-44.
Vemos então, que duas seções distantes de ds sofrem um mo- vimento relativo composto de .duas partes:
a) deslocamento axial relativo de Ads = arg ,ds, sendo tg a variação de temperatura no centro de gravidade em relaçáo ao dia de execução.
Fig. 1.44
-
b) uma rotação relativa dip = i t e c r ~ t h ds =-- h ds,
sendo or o coeficiente de dilataçzo linear do material.
Suponhamos, para fm de raciocínio, que desejemos calcular O
deslocamento do ponto m da direção A : O estado de carregamento seri o da Fi& 1-45 e o teorema dos trabalhos virtuais se escreverá, então, quando dermos a todos os pontos da Fig. 1-45 deslocamentos virtuais exatamente iguais aos provocados pela variação de temperatura:
Fis 1.45 - Estado de mrmmsnm:
Supondo as barras com seção constante, temos:
se identificam com as áreas dos diagramas de esforço normal e de momento fletor no estado de carregamento e temos. então: - n P S = a t g A - + % N h AR (Sendo as barras de seçzo constante) (1-5)
A Observações: I
I?) Se as barras não tiverem seção constante, teremos evidentemente:
F6=oi \ / N t g d s t a A t k (1-6)
2.O) Para emprego das expresses (1-5) ou (M), a d o t a r e m m
seguintes convenções de sinal:
fi $erii positivo quando de tração - j@ serh positivo quando tracionar as fibras internas da estru-
tura - As variações de temperatura ti, t , tg serão positivas quando
se tratar de aumento de temperatura (notar que Ar = (ti - te).
3.0) O valor de 6 não 6, evidentemente, afetado pela existêc- cia de esforços cortantes ou momentos torçores no estado de carregamento.
As aplicaçües seguintes esclarecerão:
O 1-13 - Calcular o deslocamento horizontal do ponto B se a estmtura da Fig. 146, cujo material tem
a = 10.5 /OC
e cujas barras têm seção retangular de 0,s m de altura, sofrer a variação de temperatura indicada na figura, em relação ao dia da sua execução. e:.-"II
"O." +... . rg-+3O0C
Fig. 148 Fíg. 1.47
Sendo diagramas IÜ e N no estado de carregamento, os indicados na Fig. 1-48, teremos, levando em conta a expressáo 1-5, e o esque ma da Fig. 1-47:
O ponto B se deslocará, pois, de 6,58 cm, para a direita.
Ex 1-14 - Calcular as defomaçCks seguintes, para a grelha de Fig. 149, cujas barras têm seção retangulir de 0,s m de altura e cujo material possui
a = l o - S / ~ c ,
se suas fibras superiores forem aquecidas de 20 OC e as inferiores tiverem mantida a sua temperatura em relação à do dia de sua execução.
A Fig. 1-49 + 4m -+' 1.O) Rotação da corda BC perpendicular ao plano ABC.
2.0) Deslocamento do ponto C na direção BC.
Temos:
1.O) Cálculo da rotação de BC perpendicular ao plano ABC Sendo o estado de carregamento o de Fig. 1-50, obtemos:
2.') Cálculo do deslocamento de C na direção BC: Trata-se do cálculo de uma deformação numa estrubira plana devida a
("O plano da estrutura náo h& variação relativa de temperatura). ~ ~ m ~ ~ , a partir do estado de carregamento de Fig. 1-51: /
Fig. 1-52
A
Devido à simetria, sabemos que as m t a ç b em A e em B S o iguais e tmios, entxo, a .partir do estado de carregamento da Fig. 1-53:
N - O M= l m t
l m t M= l m t l m t -
A rotação da tangente à elistica em A vale, então a n R t , h-
no sentido horário.
( A, = 0)
Seja calcular o deslocamento do ponto m na direção A , devido a uma variação uniforme de temperatura tg atuante, para a estmtum de Fig 1-54:
Temos, a partir de 1.6:
sendo r$ o hgulo formado por RA com a tangente ao eixo d a estrutura numa seção genérica do trecho A - rn e y o ãngulo entre R g e a tangen. te ao eixo da wtruiura numa seção genérica no trecho B - m.
Ora, as integrais acima podem ser reescritas sob a forma
-, = Trabalho realizado por RA ao percorrer a trajetóna A - m
-+ = Trabalho realizado por RB ao percorrer a trajetória B - m
ado de ,jefotmaç&s em estruturas isoststicas 53 I se tratando do regime elástico, estamos diante dc um cam .~
po conservativo, para o qual sabemos, da Mecinica Racional, que o trabalho independe da trajetória, dependendo apenas de seus pontos extremos. L ~ ~ ~ , as integrais ser calculadas para qualquer trajetória que cm. tivesse os oontos A, B, rn Tal nos permite concluir:
pma o cólmlo de deformação numa estrutura isostórica devida
o ,, wnnyóo de temperatura. podemos substituir a eshutura
e por oum desde que contenha os mesmos vínculos e pontos de aplicgcão de cargo do estado de crnregomento.
1-16 - Cdcular o deslocamento horizontal de B devido a um aumento uniforme de 20 OC, para o quadro de Fig. 1-55.
I n-B i mo: oi = 1o-s/oc
A
7 10m Fia. 1-55
0 s pontos indiinsáveis de passagem da estrutura de substitui- ç%o S o os v i n d o s (A e 8) e pontos de aplicação de carga no estado de carregamento (E, no caso). Ficamos, então, com:
6 = a t g A ~ = 1 0 - 5 X ~ O X 10 = 2 mm
(para a direita)
E* 1-1 7 - Caldar a variaçXo de comprimento da wrda AC devida a m a diminuiçáo de 3 0 0 ~ . para a estrutura de Fig. 1-57.
I 54 Curso de análise estmtural
Fig. 1-57
A estrutura de substituição mais conveniente no caso seri a de Fig. 1-58. a partir de qual obtemos:
ado & defOnneqõcs em estruturas isostáticas 55
A de substituição mais conveniente será a de Fig. 1-60.
a partir de qual obtemos:
Fig. 1-60
6 = 10-5 (-301 (-1 x 51 = 1.5 mm de encurtamento I
1.4 - Cáicuio de deformações devidas a movimentos (recalques) 6 = 1 0 . ~ (-30) (-1 x -@) = =,o2 mm dos apoios
(encurtamento) seja a estrutura de Fig, 1-61 cujos apoios sofrem os re~dques
co&ecidos3, nela indicados. Se quisemos calcular deformações provocadas J P = l t por esses recalques, já sabemos como instituir o estado de carregamento e
já sabemos que daremos, neste estado de carregamento, deformações vir. A tuais a todos os pontos da estrutura exatamente iguais às existentes noes- tado de deformação.
- - - - I
Fia. 1.68 - I r- I A jTIB '' '18 - c d ~ d a r a r u i a ~ l o de comprimenm da mrda BD
devida a uma diminuição uniforme de30 OC, para a ' -)PAV r*,, o--+ 4" estrutura de Fig. 1-59: Dado: ct = I O - ~ / O C Fie. 1.61 - Estado dedeiwmsqio lh foyra a d d o r m w õ ~ nditivas nula) 1 Fig. 1.59
+ 2m X 2m +-
Aplicando, então, o teorema dos trabalhos virtuais, teremos qualquer que seja o estado de carregamento:
Trabalho virtual das forças externas: P6 t Z RP, sendo R as mações de apoio no estado de carregamento e P os recalques a elas cor- "SPondentes no estado de deformação.
Trabalho virtual das forças internas: nulo, visto que as defor-
3 Calculados p l a Mecânica dos Solos
56 Cum de mase estrutural
mações relativas no estado de deformação são nulas.
Igualando o trabalho virtual das forças externas ao das forças internas, obtemos
P6 = - Z R p (1-7). expressão que resolve o problema.
Ex. 1-19 - Calcular a rotação relativa das tangentes 'a elástica em E devida aos recalques indicados, para a estrutura de Fig. 1-62.
Fig. 1.62
Temos as reações R no estado de carregamento indicadas na Fig. 1-63, a partir das quais obtemos, pelo emprego da expressão 1-7:
(O sentido arbitrado foi correto.)
Ex. 1-20 - Calcular o deslocamento vertical do ponto A da grelha da Fig. 1-64 devido a recalques verticais de cima para baixo de 2 cm em i3 e F e de 4 cm em D.
Aproveitando a simetria, as reações de apoio no estado de car- ~sgamento são as indicadas na Fig. 1-65, a partir das quais obtemos:
2 a A = - E R p = - 2 x 1 ( - 2 x 1 0 - 2 ) = 4 x 1 0 - 2 m
O ponto A descera, então, de 2 cm.
ibserwçâò: Os recaiques de apoio ocorrem, evidentemente, devido ao carre- gmento atuante; para calcular as deformações que o conjunto karregamen- o + recalques)-provoca na estrutura, preferimos usar o principio da super- msição de efeitos, calculando inicialmente, pela expressão (I-I), as defor- nações devidas somente ao carregamento e, a seguir, pela expressão (1-7), iquelas devidas aos recalques. somando finalmente os dois resultados obtidos.
1 - Cálcdo de defomsçks em vigs retas - Rocem de Mohr
Embora se tratando de um caso particular, desemiolveremosnes te tópico um processo, idealizado por Mohr, que nos permite obter, sem
aplica~ão do teorema dos trabalhos virtuais, a elástica de uma viga reta .A ênfase especial que atamos dando a este caso particular se justifica pela grande incidência com que ocorrem, na prática, as vigas retas e pela pos- Qbilidade que este processo oferece de obtermos, de uma sb vez, a elástica.
Sabemos, da Resistência dos Materiais, que a rotação relativa devida flexão, de duas seções de uma viga distantes de ds é dada por "P=& conforme indica a Fig. 1-66, E J '
V I Fig. 166
Por outro lado, do Cálculo Intinitesimal, sabemos que a
d9 curvatura de uma curva plana y = y(x) igual, por definição à relação - ds para a curva - referida a um sistema xy como o de Fig. 1 6 6 6 dada por
dP - = - Y" ds ( 1 + ~ ' = ) ~ / 2
A elâstica y = y(x) de uma viga fletida seri, então, obtida da
equação diferencial - Y" = -. M Como estamos tratando da (1 + y'2)312 EJ
Análise Estmtural no âmbito das pequenas deformaç&s, o valor y g pode ser desprezado em presença de unidade e teremos, ünalmente, a equa- ção diferencial da elástica para vigas retas dada por -
Observando a analogia matemática entre a equação diferencial
da elástica (1-8) e a equação diferencial fundamental da Estática $.$ = - 0 ,
dxL Mohr teve a genial idtia de encarar y como sendo o momento fletor numa viga (a que chamaremos viga conjugada, e cuja determinação d e p e n d e da análise das condições de contorno do problema), carregada com uma carga distribuída cuja taxa de distribuição t M , sendo M o momento fletor atuante na viga dada. EJ
Empregando-se o processo de Mohr, estaremos fazendo as seguintes analogias:
Resumindo, temos: Rotação na viga dada = Esforço cortante na viga conjugada Deslocamento vertical da viga dada=Momento Fletor na viga
conjugada
A determinação da viga wnjugada será guiada pelo respeito às wndiç&s de contorno d o problema dado, em função da formulação adotada para sua resolução (encarar a elástica como um diagrama de momentos fletores na viga conjugada) e resultará de uma simples transformação dos vinculos da estrutura dada conforme indicam os exemplos a seguir:
a) Seja, por exemplo, um apoio extremo do l? gênero A exis- t en te na viga dada conforme indica a Fig. 1-67. Sabemos que a seção da viga situada sobre o apoio d o l?gênero terá deslocamento vertical nulo (y = O) e rotação livre (9 # O), já que este apoio só impede deslocamento vertical. Assim, devemos ter na viga conjugada em A um vínculo tal que t e nha momento fletor nulo (pois este representará o deslocs
Ae-$ Fig. 1-67
mento vertical de A) e esforço cortante diferente de zero (pois este representará a rotação que sofrerá a seção); este vínculo será, então, outro apoio extremo do 1P gênero.
b) Seja, agora, .uma rótula intermediária B existente na viga dada, conforme indica a Fig. 1-68, A seção B poderá sofrer um deslocamento vertical (já que não existe apoio do I? gênero sob ela) e terá rotações das tangentes à elástica diferentes à
B Fig. 1-68
esquerda e à direita da rótula (pois que a mesma libera as rotações de um lado da viga em relação ao outro). Assim, devemos ter em B, na viga conjugada, um vínculo tal que apresente momento fletor diferente de zero e esforços cortantes diferentes à sua esquerda e direita; este vinculo será, então, um apoio intermediário do l'? gênero.
Raciocinando de maneira inteiramente análoga para todos os outros tipos de vínculos que podem aparecer numa viga reta, teremos ins- tituída a tabela XVII, através da qual passaremos da viga dada à viga w n - jugada. (Nesta tabela indicamos na coluna extrema da direita, a titulo de explicação, as condições de contorno que guiaram esta transformação de
- . vinculo.)
Ficando determinada a viga conjugada o problema está, então, resolvido.
Obsemções: a) A viga wnjugada de uma viga isostática será sempre isos- tática Os exemplos das Figs. 1-69 a 1-71 esclarecem.
60 Cuiso de análise estmtural U(lculo & deformaç&s em e s t m t u m isostáticas 61 - 6----7 .e,h. ,,,,, ,,,, , ,,I,,
b) A viga conjugada de uma viga hiperestática será hipostática (a não ser L ,.,., ,~,.~.. Fip. 1-69 em alguns casos de vigas hiperestáticas, submetidas a determinados recal-
ques de apoio, conforme os exemplos 1-26 e 1-28 deste capitulo), mas seu - v,,,8 ,,,,,c,, nipi 1-70 canegamento MJEJ será sempre tal que a viga conjugada fique em equili. ",,/I I"I.IU,.,<I., brio (impondose esta condição às vigas conjugadas das vigas hiperestáticas
n lI1lI., ãig. 1.71 - u,+n co,,,n,e., restáticas, conforme ilustrarão as aplicações feitas no item 2.1 deste tópi- ficaremos,até.emcondiçóes de obter diagramas solicitantes em vigas hipe-
co), pois, como existe uma deformada real, estável, para uma viga dada hi- perestática, e w m o esta deformada é obtida a partir de sua viga conjugada, esta última terá que estar submetida sempre a um carregamento em equi- líbrio.
Tabela XVii - Transformação de vínculos para obtenFo da viga conjugada
N~~ ~ i g s . 1-72 e 1-73 apresentamos exemplos deste tipo de vigas wnjugadas. -
viga dada viga conjugada
Fig 1-73
c) Quando formos carregar a viga conjugada com o carregamento cuja taxa de distribuiçáo é = - M , sendo M o momento fletor atuante na viga da-
EJ da, a um momento fletor M positivo na viga dada (tracionando as fibras inferiores da viga) conesponderá, evidentemente, uma carga distribuída 9 Positiva (de cima para baixo) na viga conjugada. d) O metodo de Mohr se aplica integralmente, às vigas com inkrcia variá-
vel. Neste caso, apenas, as funçóes q = serão mais complexas. EJ
Ex-1-21 - Fazer um esboço da elástica para a viga da Fig. 1-74 que tem EJ = 104 tm2, cotando seus valores extremos:
A partir da viga conjugada, carregada com E . o b t e m o s a EJ
62 Curso de anáiise estrutural
I I I I
I I 1 I
I I 'Mviga dada
I I I
I I
1 I
I I I I I I I
M 1 9 = -
I I
I I
I I
3,6mm p,u~ 3,6mm
elástica pedida, representada na própria Fig. 1-74.
Notar que os trechos AB e DE da elástica são retilineos; en- quanto que os. trechos BC e CD são parábolas do 3.O grau, simétricas uma da outra e que concordam em C.
Os valores extremos pedidos são:
2.0) Calcular os deslocamentos verticais de A e E;
3.0) Calcular a rotação da seção B;
4.0) Calcular a rotação relativa das tangentes ê elas- tica em C.
I ! ~ ~ i g s dada
1.O) Aspecto da elistica:
Ex. 1-22 - Para a viga da Fig 1-75, que tem EJ =103 tm2, pedem-se:
Encontra-se esbqado na própria Fig. 1-75, onde indicamos tamMrn a viga conjugada carrezada com q = .!!! . Chamamos a
~ - - 1.O) Esboçar o aspecto da elástica; LI
64 Curso de anáüse estrutural
atenção para a simplicidade e conveniencia da obtenção prévia do aspec- to da elástica, pois que ele nos fornece todos os sentidos corretos de deformação, restando-nos calcular apenas seus aódulos.
2.0) Deslocamentos verticais de A e E: A 3 1 3 y ~ = M ~ ~ ~ ~ ~ ~ j = 4 ~ 1 0 ~ ~ 3 + ~ ~ 3 x l O . x 2 = 1 5 x 1 0 - ~ = 1 ~ m m
E - 4 ~ . 1 0 - ~ ~ 3 + 1 0 - 3 X-=16,Smm 3* YE ="viga conj - 2
3.O) Rotação em B:
VB = conj = 4 x 10.3 rad (o sentido está indicado na figura; no caso, é o anti-horário)
4.O) Rotação relativa em C:
- Vesq CeSq Cdir C - C + @$r = 1 Qviga conj I + I Qviga conj
= 8 x i r 3 rad ( o sentido está indicado na figura).
2.1. - Aplicação do processode Mohr h vigas hiperestáticas (Obtenção de diagramas solicitantes e deformaçües)
Ex 1-23 - Obter o diagrama de momentos fletores para a viga biengastada da Fig. 1-76, que tem inércia constante.
mq A-B Fig. 1-76
I I
O aspecto do diagrama de momentos fletores, levando em con. ta a simetria da viga deverá ser o da Fig. 1-77, bastando, pois, conhecer o valor de M para ficar determinado.
Mh$4~ Fig. 1-77 - Aspecto do diipmna daaido.
Passando à viga conjugada, que será a haste livre da Fig. 1-78.1. para que a mesma esteja em equilíbrio (O que nos possibilitará escrever. para a viga conjugada, que MA = MB = O e QA = Qg = O, o que deve
ocorrer, pois sabemos que y ~ = y ~ = O e VA = ' 4 ~ = O, para a viga
dada), o carregamento deverá estar auto-equilibrado. A condiçgo XY = O,
M
a partir da decomposição indicada em 1.78.2, nos fornece: " -
O diagrama de momentos fletores pedido ser& então, o da Fig. 1-79.
(i-
Fio. 1-79
E r 1-24 - Obter os diagramas solicitantes para a viga hiperes- tática da Fig. 1-80. que possui indrcia constante:
A Fig. 1-00
I
O aspecto do diagrama de momentos fletores sendo o da Ffk 1-81, a determinação de M se fará impondo condições de equilíbrio 3 viga conjugada carregada ccm M/EJ, indicada na Fig. 1-82.1.
Fig. 1-81 - Aspano do diignma de momantm flammi daaido. "8' --
Q,: ~-
1-82.1 F i g . 1-82
A partir da decomposição do carregamento atuante na viga conjugada feita em 1-82.2, a condiçáo de momento fletor nulo na rótula B (pois em B devemos ter M = O na viga conjugada, já que y~ = O para a viga dada), nos fornecerá: -
4IL donde obtemos M = -.
8
A partir desse valor, os diagramas solicitantes e reações de apoio para a viga dada são os indicados na Fig. 1-83.
E* 1-25 - Para a viga da Fig. 1-80, obter a rotação da tangen. te à elástica em A. Imediatamente, podemos escrever, a partir da Fie. - 1-82.2:
13 conjugada = 2 -g3 - & =L, 'PA = QA 3 8EJ 48 /3
no sentido horário .
Ex. 1-26 - Obter o diagrama de momentos fletores para a viga de Fig. 1-84; que tem vão / e rigidez EJ, devido ao recalque angular 8 nela indicado (EJ = constante).
ti - Fig. 1.84
O aspecto do diagrama de momentos fletores desejado na viga :stá indicado na própria Fig. 1-84 ( MB deve ter, evidentemente, o sentido i0 recalque 8).
A B A A Viga conjugada
Passemos, agora, à viga conjugada, para a qual iremos igualar o ?sfor~o Cortante em B ao valor de 8 (rotação da seçáo). O apoio do 1.' 3ênero existente em A (como não sofre recaiques) será transformado em 'P io do 1.' gênero, de acordo com nossa tabela XVII de transformação de vínculos. Já o apoio B, como sofre recalque, não pode ser transforma- i0 P r emprego da tabela XVII e deve ser analisado para o caso.
NO ponto B (viga dada), temos:
Sendo assim, devemos ter na viga conjugada um vínculo q u e nos dê cortante e não dê momento. Será, então, um apoio do 1.0 géneros também. Ficamos, portanto, com o esquema da Fig. 1-84 para' o qual,im. pondese as equações de equilíbrio, temos, por Z: MA =O:
O problema está, então, resolvido, e o diagrama de momentos fletores na viga devido ao recaique angular e é o indicado na Fig. 1-85.
E x 1-27 - Obter os diagramas solicitantes na viga biengastada de vão 1 e rigidez EJ, submetida ao recalque vertical p em 6 , indicado na Fig. 1-86 (EJ = constante).
Fig. 186
EJ
O aspecto d o diagrama de momentos fletores na viga dada e s 6 indicado na Fig. 1-86, Determinemos, então, a viga conjugada: O engaste A (que não sofre recalque) se transformará numa extremidade livre; 0 engaste E, que sofre um recalque vertical (e para o qual temos, portan- to, yg = P e V6 = O) deve se transformar num vínculo que nos dê momento (o qual valer5 P ) sem nos dar cortante e deverá ser o indicado na Fig. 1-86.
Impondo as equações de equilíbrio A viga wnjugada, temos:
Cdldo de defonnaçócs em estruturas isostátiess 69
2 Y = O . . . MA = M6 (visto não existir cortante em 6, o próprio carregamento tem que fornecer resultante nula).
EM = O . . . . P = x 3 x 1 x 2 1 (ou seja, o carregamento 2 E J 2 3
nos dá um binário, que deve ser absorvido em B. devendo o momento fletor em B ser igual a'p).
EJp e os diagramas solicitantes serão os da Dai obtemos: MA = M6 =---
F i a 1-87. I'
6 E J p 6 E J p - 4 / ) I'
- l2
l 3 I" Fig. 1.87
Obse7vação: Os resultados destes dois Últimos exemplos serão de grande importância no estudo do m6todo das deformações, conforme verá o leitor no Vol. 111 deste Curso.
Ex. 1-28 - Obter o diagrama de momentos fletores provocado pelos recaiques verticais indicados, para a viga da Fig. 1-88, que tem rigidez EJ, constante .
c 1 -+ 31 -t I + A A.
E C O
2MBl
70 CURO de anáiise estrutural
Devido à simetria existente, o aspecto do diagrama de momentos fletores na viga dada será o indicado na Fig. 1-88, Para a viga conju. gada, os apoios A e D se mantêm e os apoios B e C, que sofrem recalques, e para os quais temos
devem ser substituídos por um vinculo tal que nos d6 momento (igual a p )
e que nos dê Qesq = Qdir , obtendo-se, entxo, o esquema indicado na
Fig. 1-88.
Impondo-se a condição de momento íietor igual a p em B e C na viga conjugada, obtemos:
O diagrama de momentos fletores pedido6,entãoodaFig. 1-89.
Fig. 1.89
6 E J p - 11 lZ
Ex 1-29 - Para a estrutura do exemplo anterior, calcular a ro- tação da tangente à elástica em A.
Temos. evidentemente:
3 - Cálculo de defomqóes em trrliças planas - Rooesso de Wiiiiot
Assim como apresentamos, no tópico 2 deste capítulo, um processo particular visando à determinação da elistica de vigas retas (processo de Mohr), apresentaremos neste tópico, um processo ideaiizadb pelo engenheiro franc6s WiUiot, que permite a determinação dos deslocamentos de todos os nós de uma treliça plana.
de defornações em estruturas isostiticas 71
Os fundamentos do processo de Wüiiot podem ser compreendi- dos wnsiderandese a treliça ABC representada na Fig. 1-90 que, para O
carregamento indicado, ter5 suas barras AC e BC comprimidas e a barra AB tracionada. Cada uma destas barras sofrerá, em função do aforço nor- md Ni nela atuante (proia.ado pelo carregamento indicado), uma variação
Ni li de comprimento Ai = -- (no caso, A, e 4 serão encurtamentos
E Si e A3 será um alongamento). Conhecidas estas variaçóes de wmprimento A i , a configuração deformada da treliça pode ser determinada da seguinte maneira, conforme indica a Fig. 1-90:
Inicialmente, removeremos o pino (rbtula) do nó C e permiti- remos a variação A 3 de comprimento da barra AB; isto provocari um mo-
i vimento da barra BC (agora desligada da barra AO, que se deslocará paralelamente a si própria, passando a ocupar a posição B'C. Permitindo, ag* ta, às barras AC e B'E suas variaçaes de comprimento A1 e A2, respectivamente, as extremidades C e C passarão a ocupar as pmiçDes C1 e C2
I indicadas na Fig. L90. Para podermos rewlocar o pino (rótula) ligando as barras 1 e 2, é necessário fazer com que as extremidades C1 e C2 dasbar- ras 1 e 2 coincidam novamente, o que é obtido girando AC1 em tomo de A e B'C2 em tomo de B' até que os arcos se interceptem em C', posição deformada final do n$ C da treliça. AB'C é, então, a deformada da treli- Ça da Figa 1-90 submetida ao carregamento indicado e, a partir dela, podemos dizer que o nó ü sofreu um deslocamento hodzontal Sg- BB' e o nó C um deslocamento 6C= CC' , definidos na ~ i g . 1-90, Este processo máfico seria perfeito não fosse o problema das deformaçües serem muito
Curso de análise estrutural a n d o de deformações em estruturas isostáticas
pequenas em presenca das dimensões da treliça, o que nos obrigaria ao liot para chegarmos a cada novo ponto. Nos casos em que isto não ocorrer emprego de escalas enormes para desenho, a fim de se ter alguma precigo (ver exemplo 1-33). calcularemos previamente alguma (s) deformação, apli- lios resultados, o que é impraticável. (No caso da Fig. 1-90. indicamos as ,.,,do o teorema dos trabalhos virtuais de modo a poder iniciar e (ou) deformacões em escala niuito exagerada eni presença das dimensões da trelica.
no traçado do williot.
Justimeote porque as defomaçóes sofridas pela treliça são pequenas em presença de suas dimensões, a rotação de qualquer barra será pequena, de modo que podemos considerar que, durante a rotação de uma barra, sua extremidade se desloque ao longo da normal B direção primitiva da barra, ao inv6s de considerarnios o deslocamento ao longo do arco de circulo verdadeiro. Introduundo-se esta simplificação, válida no âmbito das pequenas deformaçóes (lupótese fundamental na nossa Análise Estrutural), toma-se possivel obtcr os deslocamentos dos nós da treliçasem termosque desenhar seus comprimentos totais, pois não mais será necessário desenhar os arcos de circulo em torno de seus centros de rotação; é o que está feito na Fig. 1-91, chamada diagrama de Wiliiot ou, mais simplesmente, williot da treliça dada, em homenagem ao lançador do processo:
Como anteriormente, imaginamos que o pino (rótula) em C é tempordamente removido e permitinios que se realizem as mudanças de coniprimento das barras, uma de cada vez. Assim, sendo o a origem esco- lhida para marcação dos deslocamentos (e que, no caso. coincidirá com o ponto a, rep-sentando o deslocamento nulo do apoio do 2.O gcnero A), marcamos 03 = n3, representando a variação de comprimento da barra 3 (barra AB). Como a barra AB se conservará horizontal após sua deforma- ção, o segmento Õ3 já simbolizará o deslocamento final do nó 3 da treli- ça (apenas para respeitar a notaçào que adotaremos no williot e que consiste em representar a posicão final do nó pela letra que o simboliza, em minúsculo, diremos que o ponto 3 coincide com o ponto b no williot e que o deslocamento do nó B é dado por ob). Devido a suas diminuições
AI e de comprimento, respectivamente, a extremidade C da barra AC se move para baixo, paralelamente a AC, e a extremidade C da barra BC se move para baixo, paralelamente a Bs. o-aue está rep. 'esen- tado, no wiüiot da Fig. 1-91 pelos segmentos a1 e b2, respectivamente. Para ligamos; novamente, as barras ACe BC pelo pino em C, a primeira deve girar em torno de A e a segunda em tomo de B, até se interceptarem; durante estas rotaçóes, admitimos que elas se movam nas direçóes normais a cada uma delas. No williot estas rotações estão simbolizadas, respectivamente, pelas retas perpendiculares a AC e BC tiradas por 1 e 2, que se interceptam em c, ponto que simboliza a posição deformada final do nó C em relação à sua posição primitiva.
%. -. Os vetores ou, ob e oc)representam, então, os deslocamentos ab- Sol~itos dos nós A. B e C da treliça de Fig. 1-90 devidos ao carregamento nela indicado.
A wnstruçxo dos wüiiots para treliças mais complicadas é feita da mesma forma, sendo apenas necessário conhecermos dois pontos no w S
As aplicaç5es seguintes esclarecerão.
E r 1-30 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça da Fig. 1-92, cujas barras possuem, todas e l a s , ~ ~ = 1 0 ~ t .
Fig. 1-92
Devemos, inicialmente, calcular as varia~&% de comprimento ai de cada uma das barras da treliça devidas aos esforços normais Ni nelas atuantes, o que esiá feito na tabela seguinte, a partir da qual 6 imediata a obtenção do-williot desenhado na ~ i~ . -1 -93 .
&ira Nj( t ) li lml I ~;=N;li/ES(mml I
74 CUBO de anáiise estrutural - d o de deformações em estruturas isostáticas 75
EX 1-31 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça Os deslocamentos dos nós A. B, C . . .. H da treliça sáo da. & Fig. 1-94, se ela for submetida a uma diminui-
+ -* + + dos em direção, sentido e módulo pelos vetores ou, ob. oc, . . . , oh do ção uniforme de temperatura de 30 OC. É dado o williot, valendo estes mbduios, respectivamente, 0; 1,6 mm; 3 ,,,,,,; 6.5 mm; coeficiente de dilatação linear do material, igual a 13.9 mm; 7,2 mm; 4.4 mm; e 3,l mm. 10.5/0C.
Fig. 1-94
As variações de comprimento Ai de cada uma das barras, devidas A variação de temperatura, sáo dadas por Ai = Lu Al li =-30~10.5 li valendo. então:
A1=A4=-12 mm; A2=A3=-12 J?lmm; A 5 = A 6 = - 6 a m m
A partir desses valores, obtemos, pelo williot da Fig. 1-95, que os deslocamentos dos nós+c D e _E da treliça, dados em diieção, mádulo e sentido pelos vetores oc, ode oe d3 williot têm seus mádulos iguais a 1 2 6 mm, 1 2 ~ 5 mm e 12 mm.
1-32 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça da Fig. 1-94, caso seu apoio B sofra os recalques indicados na Fig. 1-96, passando a ocupar a posição B:
PBV = lcm B' Fig. 1-96
PBH = 2cm ?Y.Ii
Neste caso, os Ai de todas as barras são nulos e podemos pas. sar imediatamente ao traçado do wiiiiot, feito na Fig. 1.97, a partir do qual obtemos que os ~esl~cam+entos d y nós A. B, C, D e E da treliça, dados pelos vetores oa. ob, oc, o b e oe, têm módulos de 0; 2.24 cm; 3 cm; 1.41 cm e 2,54 cm.
C
Fig. 1-97 - Escala do williol: 1 : 1
Ex. I-33 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça da Fig. 1-98, cujas barras tèm, todas elas ES=IO~ t.
Fig. 1-98
A
No caso, alem de calcularmos as deformações Ai de todas as barras, devidas aos esforços normais Ni nelas atuantes, precisamos calcular previamente o deslocamento do nó B (ou do n6 E) para termos conhecidos os deslocamentos de dois nós A e B (ou A e E), condição necessária para podermos iniciar o traçado do williot. Temos, então:
~ g l d e de d~f~nnsções em estruturas isost~ticas
a) Cglculo dos Ai
b) Cálculo do deslocamento do ponto B:
Para conhecermos o deslocamento resultante do nó B, basta conhecermos suas componentes horizontal e vertical. A componente horimn- tal 6 dada por A7, ou seja, vale 6 BH = 16 mm, da esquerda para direita
A componente vertical 6 obtida a partir do estado de carrega mento da Fig. 1-99 e vale:
Fig. 1-99
2 f l t 6 s v = \ 9 = ' [ 4 x 4 ( ~ t 2 x j ) t 4 y r i - x 4 \ ~ i ? ~ 1 O" 3
6 t- ) + 3 2 x 4 Y. 41 = 77.2 mm (de cima para baixo)
78 CWO & x3lUíb estmhiral
c) Traçado do williot
Conhecidos os deslocamentos dos nós A e B, obtemos o williot da Fin. 1.100, que resolve o problema.
Fig. 1-100 - Erala do.williot: 1:l
Os deslocamentos dos nós B, C. D. E,. F, da treliça, dados em direção, sentido e mbdulo pelos vetores o$ ocf o e e do williot, têm estes módulos iguais a 7.9 cm; 8,4 cm; 4,8 cm; 8,4 cm e 7,9 cm. .
Como ve"fícaçXo do wiUiot, vemos que o vetor od é horizontal, o que tem que ocorrer, levando em conta que o apoio do 1.0 genero existente em D impede qualquer deslocamento vertical deste ponto. A pos- sibilidade de efetuarmos esta verificação é devida, evidentemente, ao fato de termos feito o cálculo prévio do deslocamento de um nó da treliça (para podermos iniciar o traçado d o williot).
4 - Teoremas complementares
4.1 - Teorema de Betti
Seja uma estrutura qualquer, para a qual um grupo de cargas P; constitui o estado de deformação e outro grupo de cargas Pk constitui O estado de carregamento.
Aplicando o teorema dos trabalhos virtuais, temos, indexando as deformaçóes com dois índices, o primeiro indicando o local da defor-
Cglculo de defornações em estruturas isostdticas 79
mação e o segundo a causa que a provocou:
I (?jk;.conforme a indexação adotada, indica a deformação. na direção da carga Pk devida ao carregamento Pi).
Tomando, agora, para a mesma estrutura, Pk como estado de deformação e P; como estado de carregamento,, temos:
( tjik indica a deformação, na direção da carga Pi,devida ao carregame* to Pk ).
Igualando as duas expressóes, obtemos:
zP;G;k = ZPk 6ki (1-9), que é a expressáo do teorema de Betti, que nos diz:
"O trabalho virtual produzido por um sistema de forças em equilíbrio, quando se desloca devido às deformaçõespoduzidas por um outro sistema de forças em equilíbrio, é igual ao trabalho virtual produzido por este segundo sistema de forças quando se desloca devido As deformaçóes produzidas pelo primeiro sistema".
4.2 - Teorema de MaxweU
Fazendo, no caso do Teorema de Betti, com queP; e Pk sejam uma única força (ou momento) unitária, teremos:
expressão do teorema de Maxwell, que nos diz:
"O deslocamento de um ponto na direção de um esforço uni- tário, provocado por um segundo esforço unitário, é igual ao deslocamento do ponto de aplicação do segundo esforço. em sua direção, devido à aplicação do primeiro esforço unitário".
O esf01~0 a que se refere o teorema pode ser, evidentemente, uma força ou um momento.
. ,
Fig. 1-101
1-102.1 1-1022
Fig. 1-102
Pelo teorema de Maxwell: hik = 6 ki
Observação: A aplicação d o teorema de Maxwell será de importância fundamental no estudo das linhas de influencia em estruturas hiperestáti- cas, bem como para provar a simetria da matriz de flexibilidade das estruturas hiperestáticas, conforme se verá no cap. I1 deste volume.
4.3 - Teoremas de Castigliano (Trabalho real de deformação)
Seja a estmtura da Fig. 1-103, carregada com as cargas estãti. Cas Pi (cargas cujos valores crescem uniformemente desde zero até os valores maximos P i ) Em se tratando de uma estrutura elistica, ela se defor- mará, adquirindo a wnfiguraçáo indicada em tracejado na figura. Como estamos no regime elástico, a wndição de equilíbrio energitico do sistema implicará na igualdade dos trabaihos das forças externas (cargas e
a d o de deformações em estruturas isostáticas 81
reaç6es) e das forças internas (esforços simples). Calculemos estes trabalhos.
a) Trabalho das forças externas:
O trabalho realizado por uma carga Pi que, por ser está- tica, apresenta um diagrama (carga x deformação) w m o o da Fig. 1-104, vale:
Fig. 1-104
I OU seja:
O tmbalho realizado por um esforp que cresce miformemenfe desde zero até seu valor final (o mesmo acontecendo com a deform@o Por ele prOwcada) vale a metade do produto dos valores f[nnis do esforço Pelo deformação que ele provocou. Esta conclusão 6 atribuida a Clapeyron ,
I costumando a igualdade 1-1 1 ser conhecida como teorema de Clapeyron.
Como estamos no regime linear e vale o principio da superposi- de efeitos, o trabalho das cargas externas P1, ..., 5, ..., P, valerá:
I n
82 Curso de anãlise estmtural
b) Trabalho das forças internas (energia real de deformação da estrutura).
Conforme sabemos, será o trabalho realizado pelos esforços simples. No caso (estrutura plana), os esforços simples M. N, Q acarretam deformações relativas em suas direções, de duas seções distantes de ds iguais a
Como as cargas são estáticas, também os esforços que elas provocam o são e podemos escrever que a energia (ou trabalho) real de deformaçãõ de um elemento de comprimento ds de estrutura vale:
I I dW = 2 MdV + - N Ads + L Q dh (pelo teorema de Clapey ron) 2 2
A energia real da deformação da estrutura será, entáo:
No caso de uma estrutura no espaço, teriamos também o trabalho da torção, e a expressão da energia real de deformação, em sua forma mais geral, se escreverá:
De posse das expresshs (1-12) e (I-13), podemos instituir os dois teoremas de Castigliano, que são enunciados da maneira seguinte:
1.O Teorema: 'X derivada parcial da energia real de deformação em relação a uma das cargas aplicadas é igual a d e f o r m o eiústica segundo a direção desta auga':
A demonstração C imediata: Temos:
2.O Teorema: "A deriva& parcial da enegio real de deformapio em relação a deformação elástica segundo a direp-o de uma das cagas aplicadas é igual ao d o r desta caga':
I A demonstração é tamb6m imediata:
Observaç5es:
1.a) Nos casos práticos, quando da avaliação da energia real de deforma- ção, podem ser feitas as mesmas simplificações mencionadas na ob- servação 1-2 deste capitulo a respeito da aplicação d o teorema dos trabalhos virtuais:
2.a) O 1 .O teorema de Castigliano, convenientemente explorado, permite o cáiculo de deformações em estruturas devidas a carregamento externo, conforme ilustrarão as aplicações a seguir. Não permite, entre-
tanto, o cálculo de deformações devidas a variações térnucas, recalques de apoio ou niodificações impostas a barras da estrutura durante a montagem Por esta razáo é que apresentamos este capítulo dando êrifase maior ao teorema dos trabalhos virtuais, por ser ele inteiramente geral.
Ex. 1-34 - Calcular o deslocamento vertical do ponto R da viga da Figl 1-105 que teni rigidez t'/ constante.
A energia real de deformação: desprezandese a influência do trabalho devido ao esforço cortante vale:
I' 7
Temos, então:
84 Cum de an5ise estrutural
Ex. 1-35 - Calcular o deslocamento vertical do ponto C da grelha da Fig. 1-106, que tem rigidez à flexáo A7 e rigidez à torção GJ
t' .
Fig. 1-106
A energia real, de deformação, desprezando-se a influência d o trabalho devido ao esforço cortante, vale:
Temos: aw P I ~ ( 2 + 3 - ) EJ
3EJ
CBlcnio de defornações em estruturas isostáticas 85
Ex. 1-36 - Calcular a rotação da tangente à elástica em B para a viga da Fig. 1-107.
Fig. 1.107
Não havendo carga aplicada na direção da deformação que desejamos calcular (o que é indispensável, caso desejemos empregar o 1.0 teorema de Castigliano), aplicaremos uma carga moniento fictícia M emB, desenvolveremos todos os cálculos e, no fim do'probleina (após termosde- rivado a energia real de deformação em relação a M), igualaremos a zero a carga M acrescentada. Temos, então:
Fazendo, agora M = 0, obtemos finalmente:
O tipo de procedimento adotado neste exemplo é geral, isto é, sempre que desejamos calcular, mediante o emprego d o 1 .O Teorema de Castigliano, uma deformação que não seja na direção de uma dai cargas aplicadas à estmtura, criaremos uma carga fictícia, correspondendo ao ponto e à direção em que desejamos calcular a deformação, efetuaremos todos os cálculos e, após termos feito a derivação parcial, igualaremos esta carga fictícia a zero, obtendo a solução d o problema.
86 Cuno de análise estmtural
4.4 - Regra de Mdler - Bwslau (Metodo cineniático para o traçado dc linlias de influência)
Enunciaremos, inicialmente, a regra, demonstrando-a a seguir.
"Para se traçar a linha de influencia de uin efeito estático E (esforço ou reação), procede-se da seguinte forma:
a) rompe-se o vinculo capaz de transmitir o efeito I.:, cuja linlia de influencia se deseja determinar;
b) na secção onde atua E, atribui-se à estrutura, no sentido oposto ao de E positivo, uma deformação (absoluta, no caso de reação de apoio ou relativa, no caso de esforço simples) unitária, que seri tratada como pequena deformação;
c ) a elástica obtida é a linha de influência de E.''
Demonstraremos para um caso particular, embora a demonstra. ção seja absolutanlente idêntica para qualquer outro caso: I
Seja a viga da Fig. 1-108, para a qual desejamos conhecer a linha de influencia de reação de apoio em A.
Rompen

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Revista intersindical - A classe em luta para sair do furacão