Geometria Descritiva Básica - .Percepção Espacial e Geometria Descritiva Prof. Carlos Kleber carloskleber@gmail.com

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  • Percepo Espaciale

    Geometria Descritiva

    Prof. Carlos Klebercarloskleber@gmail.com

    7 de abril de 2009

  • Captulo 1

    Introduo

    O universo essencialmente tridimensonal. Mas nossa percepo bidimensional: vemos o que est frente denossos olhos. Vemos uma sombra da realidade, uma projeo.

    A geometria descritiva (GD) a base geomtrica para realizar projees de objetos tridimensionais. Estabase usada no desenho tcnico.

    1.1 Objetivo da disciplina Exercitar a percepo espacial;

    Apresentar aspectos da geometria;

    Apresentar a resoluo geomtrica de problemas;

    Apresentar exemplos prticos e relacion-los com a disciplina.

    1.1.1 Relao desta disciplina com outros campos da engenhariaAlgumas aplicaes da geometria descritiva so:

    Desenho tcnico: projeo ortogrfica.

    Matemtica: clculo vetorial, visualizao de funes.

    Computao grfica: clculo de cenas tridimensionais.

    ptica: projeo de imagens, projeto de lentes.

    1.2 Noo espacialNo possvel expressar um objeto tridimensional em uma vista bidimensional. Por exemplo, a foto de umapessoa de frente no permite saber como ela se parece de lado.

    Na GD, usa-se no mnimo duas vistas para expressar os problemas. Obviamente, trs ou mais vistas podemesclarecer.

    As vistas, individualmente, no servem para contar o todo. Deve-se usa as vistas como um conjunto. Porisso, costumam-se posicionar as vistas de forma alinhada, de acordo com o eixo comum entre as imagens.

    Para localizar um objeto no espao, necessrio:

    um ponto de referencia,

    um sistema de eixos que indiquem o sentido e direo de cada coordenada.

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    Figura 1.1: Representao de pontos em um espao bidimensional (conveno matemtica).

    No sistema cartesiano, os eixos so ortogonais1 entre si. importante estar atento na conveno dos eixos,e isto pode variar dependendo da aplicao, pois no h um consenso. Ser utilizada a conveno da geometriadescritiva que est contida na maioria dos livros.

    Seja um plano horizontal, denominado (pi, e que no tem nada a ver com 3,1415927...), que conteros eixos X e Y, no qual j estamos acostumados. Imaginemos uma folha de papel deitada em uma mesa,perfeitamente horizontal. Podemos imaginar uma srie de pontos nesta folha, e que possamos subir estespontos. Estamos tirando estes pontos do papel, dando-lhes uma terceira dimenso.

    Assim, alm das coordenadas X e Y, o ponto agora possui Z, uma altura. Caso esta seja negativa, os pontosafundariam na mesa.

    Figura 1.2: Pontos da figura 1.1, acrescidos com alturas.

    1Formam um ngulo de 90o.

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    1.3 Sistemas de coordenadas

    1.3.1 Coordenadas absolutasSo as coordenadas baseadas no ponto de origem [0; 0; 0].

    1.3.2 Coordenadas relativasSo as coordenadas baseadas em um ponto arbitrrio, suponto um mesmo sistema de eixos2.

    Para obter a coordenada absoluta, basta somar a coordenada relativa e a coordenada do ponto arbitrrio.

    1.3.3 Sistemas bidimensionaisEm duas dimenses, existem dois sistemas mais utilizados: retangular e polar.

    Coordenadas retangulares

    Consiste em utilizar as coordenadas X e Y, referenciando-se desta forma aos eixos principais.

    Coordenadas polares

    Consiste em localizar um ponto pela sua distncia da origem e um ngulo em relao a um dos eixos principais.Note que os dois sistemas podem descrever o mesmo ponto: as coordenadas retangulares sero os catetos do

    tringulo, e as coordenadas polares sero a hipotenusa e ngulo com o cateto adjacente.

    1.3.4 Sistemas tridimensionaisSistema cartesiano (Descartes) ou retangular

    Sistema cilndrico

    Sistema esferico

    2Pode ocorrer que uma coordenada relativa esteja relacionada a um outro sistema de coordenadas, mas no momento no vamoscomplicar.

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  • Captulo 2

    Mtodo projetivo

    Seja agora um plano na vertical, que chamaremos de (pi linha). Este plano cortar o plano . A interseodos dois planos ser uma reta, que chamaremos de linha de terra (LT). Esta linha de terra coincidir com oeixo X.

    Logo, podemos agora contar as coordenadas cartesianas de outra forma: X a distncia ao longo da linhade terra), Y o afastamento a partir do plano vertical, e Z a altura em relao ao plano horizontal.

    Figura 2.1: Slido com linhas projetantes em seus vrtices.

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    Figura 2.2: Slido e suas projees.

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    Figura 2.3: Desenvolvimento da pura do slido.

    Assim como contm os eixos X e Y, o plano contm os eixos X e Z.Os planos e dividem o espao em 4 diedros, que so sub-espaos com caractersticas distintas:

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    Figura 2.4: diviso do espao em diedros.

    Diedro Y Z1o + +2o - +3o - -4o + -

    Tabela 2.1: Diedros e coordenadas

    Pode acontecer ainda uma situao de fronteira: por exemplo, um ponto com coordenada Y zero estarentre o primeiro e segundo diedros. A prpria linha de terra est entre os quatro diedros.

    Figura 2.5: Os planos principais com um ponto e suas projees nos planos.

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    Em geral os estudos so realizados no primeiro diedro (Y e Z positivos), os estudos no segundo ou quartodiedro so puramente tericos, pois sua representao confusa. O estudo no terceiro diedro simplesmenteinverte a posio das vistas.

    A interseo entre e a linha de terra (tambm chamada de )Qualquer objeto (ponto, reta, plano, slidos, etc) pode ser projetado em cada um dos planos principais.Para um objeto no primeiro diedro, teremos:

    uma projeo no plano horizontal (a Vista Superior).

    Uma projeo no plano vertical (a Vista Frontal).

    pura: rebatimento do plano horizontal sobre o vertical, ficando tudo na mesma folha.

    Figura 2.6: Pontos nos quatro diedros e suas projees.

    Figura 2.7: Exemplos de pontos da figura 2.6 em pura.

    Na prtica usaremos trs ou mais planos (chamados de , , seguindo a mesma conveno). O que forensinado em e aplicado para qualquer outro plano.

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    O terceiro plano usualmente a vista lateral do objeto. Sua posio cortando a coordenada X = 0,ficando ortogonal aos outros dois planos principais. Teremos ento trs folhas e um canto, equivalente aoponto de origem [0; 0; 0].

    Para rebater os trs planos em uma folha, teremos que recortar uma das arestas, como mostra por exemplona figura 2.8.

    Figura 2.8: Rebatimento de dois planos.

    Na figura 2.8 representa o conceito de pura com o terceiro plano, , realizando as trs vistas principais.Observe no exemplo do ponto, em cada vista/ plano teremos duas coordenadas:

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    Plano Coordenadas X e Y X e Z Y e Z

    Tabela 2.2: Coordenadas espaciais projetadas nos planos principais.

    Logo, por exemplo, no temos como ter idia da altura de um objeto (coordenada Z) em uma projeoque contenha somente coordenadas X e Y. Por isso que a pura para ser interpretada como um todo. Umaprojeo no suficiente para descrever um objeto no espao.

    2.1 Representao de slidos no espaoA geometria descritiva a base para as vistas ortogrficas. Para melhorar o entendimento, vamos mostrar oproduto final, para depois entender os seus princpios.

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  • Captulo 3

    Ponto

    O ponto uma entidade abstrata sem dimenso1. Usualmente constumamos pegar pequenos objetos e consider-los como pontos. Tambm usamos os chamados pontos notveis,

    Coordenadas: X (abscissa), Y (afastamento) e Z (altura ou cota). Representado por [X; Y; Z]

    X alinhado com a LT;

    Y a distncia do plano vertical ();

    Z a distncia do plano horizontal () - altura a partir do cho.

    O ponto definido por uma letra maiscula. A representao do ponto real (no espao) dado entre parnteses2.As projees so conforme a sua projeo. Ex. ponto real (A), projeo horizontal A, projeo vertical A. 3

    As projees de um ponto na pura sempre estaro alinhadas na vertical.

    3.0.1 Projees coincidentesQuando duas projees coincidem-se, indicamos pelo smbolo : A B, A B, C D

    Para dois pontos serem coincidentes no espao, ambas as projees devem ser coincidentes.Quando um ponto est contido em um dos planos principais, ele coincide com uma das suas projees:

    (A) A, (B) B.Quando o ponto est sobre a LT, ele coincide com ambas as projees: (A) A A.

    1No possui comprimento, rea ou volume, mas isso no quer dizer que no possua coordenadas no espao.2Representaremos o ponto real em perspectivas. O ponto real somente estar na pura se estiver exatamente sobre um dos

    planos principais, aonde indicamos que ele coincide com uma das projees.3Pode-se usar ndices para as projees, por exemplo AH e AV , pois existem diversas convenes em GD.

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  • Captulo 4

    Linha

    4.1 Definies

    4.2 RetasA reta um tipo de linha. composta por infinitos pontos.

    Definido por uma letra minscula. Assim como os pontos, possui duas projees. Ex. a reta real (r) e suasprojees r e r.

    Uma reta tem extenso infinita. Uma semi-reta possui um ponto inicial (ou final). Um segmento de retapossui um ponto inicial e um ponto final.

    Figura 4.1: Exemplo de reta no espao e suas projees

    Contm uma srie de pontos. As projees A, B, C, estaro em cima de r; as projees A, B, C estaroem cima de r. Lembrando que as projees de cada ponto devem estar alinhados entre si.

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