GEOMETRIA DESCRITIVA BÁSICA - .GEOMETRIA DESCRITIVA BÁSICA Paulo Sérgio Brunner Rabello Professor

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  • GEOMETRIA DESCRITIVA BSICA

    Paulo Srgio Brunner Rabello

    Professor Adjunto da Universidade do Estado do Rio de Janeiro

    Ex-Professor Efetivo da Universidade Federal Fluminense

    Ex-Professor da Universidade Santa rsula Livre-Docente em Construo Civil

    Especializado em Geometria e Representao Grfica

    Rio de Janeiro, 2005

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    ISBN 85-905396-1-X

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    APRESENTAO

    Ao elaborar o presente trabalho nossa grande preocupao foi produzir um texto simples e abrangente o bastante para descrever com a maior clareza possvel os princpios, os mecanismos e as aplicaes da Geometria Descritiva.

    Este livro destina-se, principalmente, aos alunos de graduao em matemtica, engenharia e arquitetura, podendo ser utilizado em qualquer curso superior onde seja necessrio conhecer formas e figuras geomtricas atravs de suas projees ou por qualquer outra pessoa que se interesse pelo assunto.

    Aqui trataremos de assuntos que eram objeto de disciplina especfica do antigo curso cientfico (posteriormente, segundo grau) que, por fora da reforma do ensino de 1961, deixou de fazer parte do ncleo das disciplinas obrigatrias. Por esta razo, inicialmente so abordados os fundamentos da Geometria Euclideana sob um enfoque um pouco diferente do habitual, estabelecendo conceitos e proposies que, obedecendo rigorosamente os princpios euclideanos, tornam mais simples o seu entendimento.

    As analogias feitas entre os conceitos considerados primitivos e as observaes e fatos do dia-a-dia, permitem compreender em que bases a Geometria se apia. So introduzidos, tambm, os conceitos de elementos imprprios que permitem esclarecer, sob outra tica, a noo de paralelismo. interessante observar que tal fato no altera, em essncia, qualquer princpio estabelecido por Euclides.

    Em seguida explicado como se processa a projeo de uma figura numa superfcie plana, procurando simplificar o entendimento do fenmeno geomtrico atravs de comparaes com projees cinematogrficas ou com as sombras produzidas pelo Sol.

    A posio do centro projetivo (prprio ou imprprio) e o nmero de planos de projeo (um ou mais), utilizados nas projees de uma figura determinam o sistema projetivo utilizado, que especfico para o conjunto de operaes projetivas que se fizerem necessrias. A mudana de um centro projetivo ou de um plano de projeo faz com que o sistema seja outro, embora a base de ambos seja a mesma.

    Mtodos Projetivos, Descritivos ou de Representao Grfica, so

    conjuntos de procedimentos que, utilizando um sistema projetivo

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    especfico, permite caracterizar e resolver problemas de uma figura atravs de suas projees. So mencionados como exemplos de mtodos descritivos, os mtodos mongeano, das projees cotadas e o mtodo axonomtrico.

    Com base em tais conhecimentos, foi possvel apresentar, de uma forma geral, os procedimentos que devem ser adotados para representar as projees de figuras geomtricas do espao, sejam elas planas ou no.

    No final, so estudados os mtodos auxiliares que nada mais so do que procedimentos especiais que permitem trabalhar com figuras do espao quando alguma de suas partes (ou toda a figura) no est projetada em verdadeira grandeza. usual denominar tais mtodos de descritivos o que no faz sentido, pois o mtodo descritivo adotado o prprio mtodo mongeano.

    Assim sendo, longe da pretenso de ser um tratado sobre o assunto, esperamos que as pessoas que se iniciarem no estudo da Geometria Descritiva encontrem nesse trabalho uma fonte confivel de consulta e aos mais experientes no assunto, que formulem suas crticas e sugestes para que possamos oferecer, no futuro, um trabalho melhor.

    Finalizando, cabe um agradecimento especial aos ilustres professores Mendel Coifman, La Santos de Bustamante, Norbertino Bahiense Filho, Alcyr Pinheiro Rangel e Jos Luiz Marques Coelho da Silva pelo imenso saber e pelo entusiasmo repassado a todos os seus alunos e admiradores que, como ns, tiveram a honra de conhec-los e de ter tido a oportunidade de absorver o que nos foi possvel de seu vasto conhecimento.

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    NDICE PARTE 1:

    FUNDAMENTOS GEOMTRICOS DA REPRESENTAO

    GRFICA

    Fundamentos da Geometria Elementar Sistemas Projetivos e Mtodos de Representao Grfica Mtodo da Dupla Projeo Ortogonal PARTE 2:

    PROJEES DE PONTOS E RETAS Projees do Ponto Estudo Descritivo da Reta Metodologia das Projees da Reta Verdadeira Grandeza de Segmentos de reta PARTE 3:

    PROJEES DE FIGURAS PLANAS Estudo Descritivo do Plano Estudo Descritivo das Figuras Planas Verdadeira Grandeza de Figuras Planas

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    Captulo I:

    FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA ELEMENTAR

    1 - PROPOSIES GEOMTRICAS A Geometria o ramo da Matemtica que se prope a estudar as figuras existentes na natureza atravs das propriedades de seus elementos, definindo, caracterizando e padronizando suas formas e dimenses, facilitando assim seu prprio desenvolvimento e o de outras reas do conhecimento cientfico e tecnolgico. As figuras estudadas na Geometria so, de um modo geral, a associao de uma ou mais formas especficas, formas estas denominadas formas geomtricas. A Geometria, como qualquer outra cincia, fundamenta-se em observaes e experincias para estabelecer os conceitos e as propriedades que embasam todo seu acervo cientfico. Tais conceitos e propriedades constituem as proposies geomtricas. Uma proposio geomtrica pode ser aceita com ou sem comprovao. A proposio aceita sem comprovao pode ser entendida atravs de fatos e situaes do cotidiano. As proposies geomtricas podem ser classificadas como conceitos primitivos ou como postulados. Um conceito primitivo exprime a noo sobre algo que dispensa definio sob o ponto de vista geomtrico. Assim sendo, so considerados primitivos os conceitos de forma e dimenso, como tambm o so os de ponto, reta, plano e espao. Forma e dimenso so conceitos que podem ser compreendidos melhor quando se fazem analogias a coisas conhecidas. Quando se diz, por exemplo, que determinado objeto parece uma laranja, na verdade estamos dizendo que o objeto tem a "forma" de uma laranja. Quando se diz, por outro lado, que uma rvore mais alta que outra, na verdade estamos dizendo que a altura (dimenso) de uma maior que a (dimenso) da outra. As noes de ponto, reta, plano e espao so puramente intuitivas e, ao contrrio do que ocorre com os conceitos de forma e dimenso, "emprestam" sua concepo para descrever determinadas situaes. Por exemplo: - Aqueles postes esto em linha reta. - O tampo dessa mesa plano.

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    - A mesa est ocupando o espao do sof. Chama-se postulado a uma afirmao aceita consensualmente, sem restries, e que dispensa demonstrao. Os postulados fundamentam toda a Geometria e a simples contestao de um deles invalida qualquer proposio decorrente. Se "trs pontos no colineares determinam um plano", ento pode-se afirmar que "duas retas coplanares determinam um ponto comum". A primeira proposio um postulado e a segunda, uma proposio decorrente. Se a primeira no for verdadeira, a segunda fica prejudicada. Teorema uma proposio que exige comprovao, ou seja, tem que ser demonstrado. Chama-se corolrio a um teorema proposto como conseqncia. Problema uma proposio que exige soluo, soluo esta decorrente da aplicao de proposies especficas - postulados, teoremas e corolrios - conforme as exigncias de cada caso. 2 - ELEMENTOS GEOMTRICOS FUNDAMENTAIS So considerados elementos geomtricos fundamentais: o ponto, a reta e o plano. O ponto - o mais simples dos elementos - como se pode intuir, no tem forma e nem dimenso. Entretanto, qualquer forma geomtrica pode ser obtida a partir do ponto. A linha, por exemplo, pode ser definida como uma sucesso contnua de pontos. Se a distncia entre dois pontos no sucessivos quaisquer dessa linha for a menor possvel, ento essa linha uma reta. A forma da reta leva a outra idia puramente intuitiva que a noo de direo. Dois pontos distintos - no coincidentes, portanto - determinam a direo da reta a qual pertencem. Por outro lado, a extenso de uma reta ilimitada e o trecho situado entre dois pontos que podem determin-la um segmento dessa reta. Um cordo flexvel esticado entre as mos d uma idia perfeita do que seja um segmento de reta (ou segmento retilneo) e da direo da reta a qual este segmento pertence. Trs ou mais pontos so ditos colineares quando pertencem a uma mesma reta. Trs pontos no colineares determinam um plano (ou uma superfcie plana). De fato, se imaginarmos trs pontos distintos, no colineares sobre o tampo de uma mesa, podemos admitir que existem trs retas determinadas pelos trs pontos, tomados dois a dois. Fazemos ento deslizar sobre essas "retas" uma rgua lisa, sem empenos, que, de certa maneira, pode ser aceita como a materializao de um segmento retilneo. Verificamos que, durante o movimento, a rgua no se afasta da mesa. Esse fato nos transmite a sensao de que o tampo da mesa , de fato, plano. Por est simples observao podemos comprovar que um plano pode conter

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    uma quantidade infinita de retas e que cada par de retas desse plano suficiente para determin-lo. Duas ou mais retas so ditas coplanares quando pertencem a um mesmo plano.

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    3 - LINHA E SUPERFCIE Podem, tambm, ser considerados primitivos os conceitos de linha e de superfcie. Ainda assim, a linha pode ser definida, tambm, como a figura descrita por um ponto que se desloca aleatoriamente no espao ou segundo uma determinada lei. Se, ao longo do movimento, o ponto muda de direo a cada instante, a figura descrita definida como curva, isto , a linha uma curva. Se no houver mudana de direo, a linha uma reta. Se, por outro lado, durante um movimento retilneo, o ponto muda abruptamente de direo em espaos de tempo fixos ou intermitentes, a linha desc