MATEMÁTICA, SABERES E PROFISSÕES: UM EXEMPLO ... · ambiente, (2) saberes e profissões, (3) saúde e sociedade, (4) ciência e tecnologia. ... Análise de Fourier é a seguinte:

XI SEMANA DA MATEMTICA DA UESC

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ

MATEMTICA, SABERES E PROFISSES:UM EXEMPLO INTERDISCIPLINAR VIA ANLISE DE FOURIER

Humberto Jos Bortolossihttp://www.professores.uff.br/hjbortol/

Universidade Federal Fluminense

CONTEXTO: PROJETO EM-AO (IAT, BAHIA)

,,,,,,,

Programa estruturante: interdisciplinar, transversal (tica,esttica, poltica), contextualizado, experimentao/simulao,participao ativa dos alunos e professores, uso intensivo derecursos computacionais.

Temas (um por bimestre, para os trs anos): (1) gua e meioambiente, (2) saberes e profisses, (3) sade e sociedade,(4) cincia e tecnologia.

O desenvolvimento do tema deve estar em sintonia como contedo curricular ensinado no bimestre respectivo.

CONTEXTO

Tema: saberes e profisses.Contedo: funes trigonomtricas (2o bimestre do 3o ano).

Como desenvolver o tema orientado para o contedo?

Como fazer isso sendo interdisciplinar, transversal (tica, esttica,poltica), contextualizado, com experimentao/simulao, comparticipao ativa dos alunos e professores e com uso intensivo derecursos computacionais?

PROPOSTA: ANLISE DE FOURIER

A Anlise de Fourier usada no estudo de sinais: funes quetrazem consigo informaes sobre o comportamento oua natureza de um fenmeno que varia com o tempo ou como espao.

Sons so exemplos de fenmenos que geram sinais.


Outros (entre muitos) exemplos de fenmenos que geramsinais:

- os batimentos do corao (um sinal bioeltrico descrito porum eletrocardiograma).



- as ondas ssmicas produzidas por um terremoto.



- as vibraes moleculares em uma amostra qumica radiadapor luz infravermelha.



- as variaes no valor de uma ao na bolsa de valores.



- as fotografias digitais (a intensidade luminosa da fotografiavaria de acordo com a posio do pixel da imagem digital).


Importncia e abrangncia do tema (segundo D. W. Kammlerem seu livro A First Course in Fourier Analysis, CUP, 2007):

- O trabalho cientfico de matemtica mais citado de todosos tempos trata justamente da Anlise de Fourier.

J.W. Cooley and J.W. Tukey, An Algorithm for The Machine Computationof Complex Fourier Series. Math. Comp. 19, 297301, 1965.

- Aproximadamente 3/4 dos prmios Nobel em Fsica foramganhos por trabalhos feitos usando-se ferramentas econceitos da Anlise de Fourier.

- O prmio Nobel de Qumica de 1985 e os prmios Nobel deMedicina de 1962, 1979 e 2003 tambm esto relacionadoscom a Anlise de Fourier.


Para o caso de fenmenos peridicos, a ideia bsica daAnlise de Fourier a seguinte: sinais peridicos podem seraproximados por somas de funes trigonomtricas daforma

y = A sen(B x + C),

com A, B e C constantes.

justamente esse princpio que vamos investigar usando, paraisso, experimentos sonoros.

PR-REQUISITOS

importante que voc saiba as diferenas e semelhanas entreseno de um ngulo (trigonometria no tringulo retngulo) eseno de um nmero real (funes trigonomtricas).

importante que voc saiba como so os grficos das funesy = sen(x) e y = cos(x), para valores de x em radianos e queessas funes so peridicas de perodo 2.

importante que voc saiba as frmulas de prostafrese e, emparticular, aquela que afirma que sen(u) + sen(v) =2 cos((u v)/2) sen((u + v)/2).

Para quem no se lembra: consultar seu livro didtico. Outraopo: E. L. Lima et al., A Matemtica do Ensino Mdio,Volume 1, Coleo do Professor de Matemtica, SBM, 2003.

PR-REQUISITOS

Outra opo: a atividade Funes Trigonomtricas do Projeto CDME da UFF.

http://www.uff.br/cdme/

SOBRE A NATUREZA DO SOM

Em um laboratrio sem correntes de ar, uma vela acesa colocada em frente a um alto-falante que, ento, reproduz umsom grave com volume e altura constantes. Descrevao movimento que a chama da vela ir fazer.


Vamos ver dois vdeos desse experimento?


Os vdeos mostram que a chama da vela ir oscilar.

(Wittmann, Steinberg, Redish, 2003): estudos mostram queas pessoas no tm uma percepo correta sobre a natureza dosom e que, em geral, elas fornecem descries erradas parao movimento da chama da vela no experimento. Uma descrioerrada tpica a de que a chama ficar sempre pendendo paraum nico lado enquanto o alto-falante estiver emitindo som.


Em Fsica, o som uma onda mecnica longitudinal que percebida pelos nossos ouvidos e interpretada pelo nossocrebro.

Onda, pois o som um fenmeno associado ao transporte deenergia atravs de vibraes; mecnica, pois as vibraesocorrem em partculas em um meio material (as molculas doar ou de uma parede vibram para transmitir o som);longitudinal, pois a direo de transporte paralela direode vibrao.

CURIOSIDADE

Apagando o fogo com som

Episdio 76 do Programa Caadores de Mitos (Mythbusters)do Canal Discovery

Projeto das Foras Armadas dos EUA

CURIOSIDADE

Prmio Ig Nobel: conquistas que fazem as pessoas rirem primeiro e pensarem depois.

Mosquito:

Prmio Ig Nobel da Paz de 2006

VIBRAES DE PARTCULAS E FUNES TRIGONOMTRICAS

VIBRAES DE PARTCULAS E FUNES TRIGONOMTRICAS

Funes trigonomtricas e a distribuio de presso ao longo da onda.


Uma pessoa est movendo a extremidade de uma corda paracima e para baixo, criando um pulso que se move para umaparede onde a outra extremidade da corda est fixada. O pulsoleva T segundos para viajar da mo da pessoa para a parede.O que essa pessoa poderia fazer para diminuir o tempo Tnecessrio para o pulso atingir a parede? Explique!


Ondas transportam energia sem transportar matria.

ELEMENTOS BSICOS DE UMA ONDA SENOIDAL

OUVINDO OS ELEMENTOS BSICOS DE UMA ONDA SENOIDAL

OUVINDO OS ELEMENTOS BSICOS DE UMA ONDA SENOIDAL

y = A sen(2 k x + C)

Concluses:

(1) A amplitude A de uma onda senoidal determina intensidade(o volume) do som correspondente (quanto maior o mdulo|A| da amplitude, maior a intensidade do som).

(2) A frequncia k determina a altura (quanto maiora frequncia, mais agudo o som).

(3) O ouvido humano no consegue perceber mudanas na faseC de uma onda.

RDIOS AM E FM

FREQUNCIAS DAS NOTAS MUSICAIS

DD#R

RR#Mi

Mi FF#

SolSol

Sol#L

LL#Si

Si

261,63 277,18 293,66 311,13 329,63 349,23 369,99 392,00 415,30 440,00 466,16 493,88

Frequncia em Hz das 12 notas musicais da oitava central de um piano para uma escala bem temperada.

SONS NO GEOGEBRA

SONS NO GEOGEBRA

Autora: Malin Christersson

OUTROS FORMATOS DE ONDA (USADOS EM SINTETIZADORES)

ONDA QUADRADA ONDA DENTE DE SERRA

SISTEMA ADSR: ATTACK, DELAY, SUSTAIN, RELEASE (USADO EM SINTETIZADORES)

SONS MAIS COMPLEXOS: SOMAS DE FUNES TRIGONOMTRICAS

BATIMENTOS

PSICOFSICA: FORMAS DIFERENTES, MESMO SOM

A1 = 0.55, A2 = 0.45, k1 = 100, k2 = 200, C1 = 0.0, C2 = 0.0

A1 = 0.55, A2 = 0.45, k1 = 100, k2 = 200, C1 = 0.0, C2 = /2

PSICOFSICA: EFEITO MCGURK

FA ou BA?

PSICOFSICA


A1, A2, k1, k2, C1, C2

f(x) = A1 sen(2 k1 x + C1) + A2 sen(2 k2 x + C2)

A1, A2, k1, k2

A central telefnica faz o processo inverso,isto , ela faz uma Anlise de Fourier!


Nossa caixa preta grtis que faz Anlise de Fourier (Windows, Linux e Mac OS)!http://audacity.sourceforge.net/

Android e iOSn-Track Tuner

Android:Tuner - DaTuner

Android:Advanced Spectrum Analyzer

EPICICLOS

OUTRAS SITUAES

Teoria dos Epiciclos

http://www.uff.br/cdme/epiciclos/

Teoria das Cordas em Fsica

http://www.ted.com/talks/lang/pt-br/brian_greene_on_string_theory.html

Vdeo TED

EPICICLOS

QUEM FOI FOURIER?

Jean-Baptiste Joseph Fourier

Matemtico Francs(21 de maro de 1768 16 de maio de 1830)

OUTRAS SITUAES

ONDAS SSMICAS SINAIS BIOLGICOS

TECNOLOGIA DE CANCELAMENTO DE SONS MORFOMETRIA

Anlise de Fourier Elptica e Descritores de Fourier:as baixas frequncias guardam informaes de forma,

enquanto altas frequncias representam os detalhes finos.

OUTROS MATERIAIS

http://bl.ocks.org/jinroh/7524988

http://www.amazon.com/Who-Fourier-Mathematical-Adventure-Edition/dp/0964350432

Mquina de Albert Michelsondo sculo XIX que

Realiza Anlise de Fourier

http://www.engineerguy.com/fourier/

OUTROS MATERIAIS

https://itunes.apple.com/us/app/sound-uncovered/id598835017

Obrigado!

[email protected]

http://www.uff.br/geogebra/

BATIMENTOS

sen(u) + sen(v)= 2 cos((u v)/2) sen((u + v)/2)

f(x) = f1(x) + f2(x)

= 0.5 sen(2 k x) + 0.5 sen(2 (k + k) x) = cos(2 k x/2) sen(2 (k + k/2) x).

Frequncia do batimento: k(no k/2 por conta da simetria: a parte negativa da parte fundamental da envelope refletida com relao ao eixo y)

BATIMENTOS

Slide Number 1Slide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Slide Number 30Slide Number 31Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number 36Slide Number 37Slide Number 38Slide Number 39Slide Number 40Slide Number 41Slide Number 42Slide Number 43Slide Number 44Slide Number 45Slide Number 46Slide Number 47Slide Number 48Slide Number 49Slide Number 50Slide Number 51Slide Number 52Slide Number 53Slide Number 54

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