SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS Olhares teóricos e construção · Projeto Gráfico e Diagramação: Demetrius Gonçalves de Araújo Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

ACYLENA COELHO COSTA

NATANAEL FREITAS CABRAL

SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS

Olhares teóricos e construção

BELÉM - PARÁ

outubro 2019

Organizadores Acylena Coelho Costa

Fernando Cardoso de Matos

Reginaldo da Silva

Natanael Freitas Cabral - Acylena Coelho Costa

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Copyright © 2019 by EPAEM- 12º Edição

Revisão de Texto e Bibliográfica: Os autores

Projeto Gráfico e Diagramação: Demetrius Gonçalves de Araújo

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Belém - Pará - Brasil



Belém: Sociedade Brasileira de Educação

Matemática - SBEM, 2019.

1. Educação - Finalidade e objetivos

2. Aprendizado 3. Matemática (Ensino fundamental)

4. Matemática - Estudo e ensino 5. Prática de ensino 6. Professores -

Formação 7. Sala de aula – I. Coelho Costa, Acylena. II. Freitas Cabral,

Natanael.

Belém: XII EPAEM, 2019. (Coleção VI).

129p.

ISBN 978-65-5076-009-0 (V.9)

ISBN 978-65-5076-000-7 (Coleção)

CDD 510.

Índices para catalogo sistemático:

1. Matemática: Estudo e ensino 510.7

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida

sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora. Aos infratores

aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei Nº 9.610, de 19

de fevereiro de 1998.

Comitê Científico - Coleção VI Demetrius Gonçalves de Araújo

José Carlos de Sousa Pereira

José Messildo Viana Nunes

Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias

Natanael Freitas Cabral

Organizadores

Acylena Coelho Costa

Fernando Cardoso de Matos

Reginaldo da Silva

Coleção VI - Educação Matemática na Amazônia - V. 9

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XII ENCONTRO PARAENSE DE EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA

Diretoria Regional da SBEM-PA

Diretor: Fernando Cardoso de Matos

Vice-diretor: Reginaldo da Silva

Secretário: José Carlos de Sousa Pereira

Secretário: José Messildo Viana Nunes

Secretário: Demetrius Gonçalves de Araújo

Secretário: Natanael Freitas Cabral

Tesoureiro: Acylena Coelho Costa

Tesoureiro: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias


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Apresentação

om o intuito de consolidar mais um espaço de divulgação da

produção de conhecimento na região norte, a coleção Educação

Matemática na Amazônia teve o lançamento de sua sexta edição

durante a realização do XII Encontro Paraense de Educação

Matemática – XII EPAEM.

A partir do tema Educação Matemática: Teorias, Práticas e

Reflexões, apresenta-se ao leitor um conjunto de obras diversificadas,

tendo em vista os avanços dos estudos efetivados no âmbito da

Educação Matemática em diversos centros de pesquisa do país.

Cada um dos 12 volumes apresenta múltiplas discussões e

reflexões sobre teorias e práticas, as quais foram contempladas

durante os minicursos disponibilizados no XII EPAEM. Espera-se,

nesse sentido, que a publicação desse material permita que

estudantes de graduação e pós-graduação, bem como professores

dos níveis básico e superior, ampliem seu olhar crítico no que se

refere à pluralidade de produções relativas à Educação Matemática.

Finalmente, almeja-se que essa coleção inspire reflexões e

provoque transformações na trajetória acadêmica e profissional de

cada um dos leitores.

Boa leitura!

Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias

(Membro da Diretoria da SBEM-PA)

C


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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO............................................................................. 09

DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL: A FORMAÇÃO

INICIAL NO CURSO DE MATEMÁTICA.............................

15

1.1 Psicologia Histórico-Cultural: a lente que descreve um

construto.........................................................................................

15

As Sequências Didáticas e as unidades articulas de

reconstrução conceitual - UARC’s.............................................

25

Exemplos de Sequências Didáticas modelados pelas

UARC’s - alguns recortes............................................................

36

Sequência para o Ensino de Equações Polinomiais do 1º

Grau.................................................................................................

36

Sequência para o Ensino de Função Seno................................... 44

REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA: UM

ENCAMINHAMENTO TEÓRICO A SEGUIR.......................

60

Os registros de representação semiótica e a construção de

uma sequência didática......................................................................

63

Sequência didática sobre Função Afim........................................ 64

Sequência didática para o ensino da Matemática

Financeira.......................................................................................

82

COLETÂNEA DE SD’S PARA ANÁLISE DE

CONSTRUÇÃO E VIABILIDADE DE NOVAS

APLICAÇÕES.....................................................................................

89

SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DO

TEOREMA DE PITÁGORAS.....................................................

89

SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE ANÁLISE


8

COMBINATÓRIA........................................................................ 105

SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE ANÁLISE

COMBINATÓRIA........................................................................

115

Para Concluir.......................................................................................... 123

REFERÊNCIAS.............................................................................. 125

DADOS SOBRE OS AUTORES................................................ 127


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INTRODUÇÃO

Muitas são as preocupações da Educação Matemática enquanto campo de investigação científica. Se, por um lado, estas preocupações no início do movimento estavam explicitamente voltadas para a aprendizagem dos alunos com o objetivo de manutenção, produção e aplicação desse saber tão importante para toda civilização humana, hoje, por outro lado, se volta também, para a aprendizagem dos futuros professores de Matemática. Nessa segunda preocupação das investigações desenvolvidas no campo da Educação Matemática o trabalho desenvolvido pelos professores formadores de professores de Matemática, no âmbito dos cursos de licenciatura, passa a se constituir, neste sentido, como o novo sitio privilegiado das pesquisas. As primeiras preocupações não deixaram de existir no campo, mas o tipo de formação que os futuros professores de Matemática recebem na academia passa a ser o lócus privilegiado para exploração. Como professores da Disciplina Instrumentação para o Ensino de Matemática I e II do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado do Pará (UEPA) e líderes de Grupos de Pesquisa dentro dessa mesma instituição de ensino superior e, portanto, pesquisadores do campo da Educação Matemática temos sistematicamente trabalhado no sentido de promover uma ambiência formativa profícua aos nossos futuros professores de Matemática. Nossas preocupações alinhadas à cosmovisão do campo não seriam reais se não fossem materializadas por nossas ações profissionais como professores formadores de professores de Matemática. Nossas ações precisam ser coerentes com nossas concepções e vice-versa. Discursos inflamados sem ações pertinentes são discursos vazios, falácias, enganação! É justamente no sentido de materializar nossas concepções epistemológicas com nossas ações profissionais enquanto formadores de professores de Matemática que esse livro foi concebido.


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Nosso objetivo é disponibilizar um material que ao mesmo tempo esteja adequadamente, pelo menos essa foi a nossa intenção, fundamentado do ponto de vista teórico com as pesquisas de fronteira do campo e que esteja, com a mesma intensidade, focado sobre a prática exequível, pertinente e, portanto, viável em sua utilização. Aqui a concepção do que é viável é tomada na perspectiva de “neutralizar” – como se fosse possível – os efeitos destrutivos da frase pronta que circula, diz a lenda urbana, entre os professores de Matemática de carreira, qual seja: “(...) na teoria é tudo perfeito, mas na prática .... não funciona. Não serve prá nada! “ Desse modo, o presente texto apresenta fundamentalmente reflexões sobre a formação de professores de Matemática na perspectiva do desenvolvimento profissional, a concepção metodológicas das chamadas Sequências Didáticas com a proposição de construto teórico para produção e analise a partir de exemplos construídos por futuros professores de Matemática da UEPA e, além disso, um olhar teórico que, de modo embrionário, tenta aproximar duas lentes teóricas utilizadas para a análise da construção do conhecimento matemático em sala de aula. Tudo isso tem sido possível em função da materialidade dos nossos discursos como formadores de professores de Matemática na aproximação colaborativa e no desenvolvimento das disciplinas de Instrumentação I e II. Quebramos a “maldição” da arrogância acadêmica que, em geral, afeta a vida e a obra de muitos pesquisadores que, por se considerarem “deuses” não conseguem trabalhar de forma colaborativa com seus pares. Porque não tem “pares colaborativos” ... têm apenas “pares escravos”! Aonde não há diálogo com respeito devido a pessoa humana, há apenas obediência compulsória, subserviência .... escravidão que é, em nossa visão, a mais decrépita forma das relações humanas. Todos perdem. Escravizadores e escravos! Neste sentido, o texto é o resultado dessa aproximação entre nossas práticas docentes ao desenvolvermos um trabalho colaborativo a partir das disciplinas aqui já mencionadas. Essa aproximação de trabalho colaborativo entre os professores formadores é possível e extremamente fértil para a constituição de um ambiente formativo tanto teórico quanto prático, que é, por assim dizer, fundamental para o desenvolvimento profissional dos futuros professores de Matemática. Assim a ideia inicial foi criar um texto de referência para nortear as ações didáticas formativas sugeridas pelas disciplinas. Então, traçamos um plano de ensino para essas disciplinas estruturado sob a ótica da


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construção de Sequências Didáticas. Já fazíamos na verdade esse trabalho de orientação e produção desses instrumentos de ensino, mas sob óticas teóricas distintas e, a partir desse trabalho colaborativo, nossa intenção passou a aproximar também as lentes teóricas que fundamentavam nossas produções junto aos futuros professores. O resultado dessa empreitada até aqui foi a ementa unificada para a ministração das disciplinas de Instrumentação I e II com a inclusão das teorias estruturantes, o que permitiu, neste sentido, que pudéssemos ministrar aulas para apresentação dessas teorias na dinâmica de um intercâmbio entre nossas turmas. Em uma etapa do desenvolvimento das disciplinas trocamos de turmas e todos nossos alunos tem acesso a essas teorias pelo pesquisador que a desenvolve. Além disso criamos uma exposição para a culminância desses trabalhos produzidos ao longo do ano letivo. A exposição para toda a comunidade acadêmica encerra as atividades das disciplinas de Instrumentação I e II que acontece por meio de posters financiados pela própria UEPA. As produções são orientadas ao longo do período letivo no sentido de se desenvolver uma pesquisa para a produção de um artigo em todas as suas etapas. Definição de um objeto de ensino, levantamento do estado da arte tendo como foco pesquisas de ênfase empírica com aplicação de Sequências Didáticas, o aprofundamento do objeto matemático com o rigor necessário para a fundamentação coerente com o objeto de ensino e, por fim, a aplicação e análise dos resultados das Sequências produzidas pelos futuros professores em seus campos de estágios ou escolas da rede pública em Belém. Essa experiência de ações formativas, em ambiente de colaboração, tem a partir da produção de Sequências Didáticas nas turmas de licenciatura em Matemática na UEPA nos proporcionado algumas percepções interessantes no que diz respeito às materialidades das nossas concepções com a intenção de tornar a formação dos futuros professores de Matemática em nosso Estado uma resposta exequível e profícua diante das demandas das pesquisa no campo da Educação Matemática que aponta com muita propriedade a necessidade de se formar para a construção do conhecimento em ambiente colaborativo, e, ao nosso ver, isso precisa começar na própria graduação, em processo de formação inicial. Na verdade, não é possível esconder a materialidade das nossas ações como professores formadores de professores de Matemática. O presente texto é a prova inequívoca dessas ações intencionais de formação


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docente. Mas, qual a materialidade dos resultados na perspectiva daqueles que recebem essa formação colaborativa? O que efetivamente os futuros professores de Matemática aprendem quando aprendem sobre as teorias estruturantes, sobre a construção, aplicação e análise de Sequências Didáticas? E, sobretudo, como essas aprendizagens podem contribuir para que esses atores possam ensinar a Matemática numa perspectiva diferente daquela que provavelmente lhes foi disponibilizada? Certamente não temos respostas para todas essas perguntas e para outras dentro desse contexto. Não é nosso propósito respondê-las aqui. Não seria possível. No entanto, sabemos perfeitamente da pertinência de cada uma delas em função das preocupações do campo a que nos referimos no início dessa introdução. E é, justamente por reconhecer a importância dessas respostas que nos deteremos, nesse momento, a fazer algumas ponderações. Não há nenhuma solução perfeita para o problema da formação de professores de Matemática. As pesquisas, ao contrário, nos sugerem continuar a fomentar novas pesquisas em busca de alternativas. Nossa intenção não é propor uma solução final, pois seria uma ingenuidade ou mesmo uma estupidez explícita. Todos os pesquisadores do campo sabem disso. Nós também. No entanto, ao cumprirmos nossa obrigação como professores formadores de professores de Matemática e pesquisadores apostamos nos indícios benéficos que nossas ações tem produzido em nossas próprias carreiras profissionais e, sobretudo, nas influencias teórico-metodológicas que temos exercido sobre uma geração de futuros professores de Matemática em nossa região. Toda metodologia tem seus limites. No que diz respeito às metodologias ligadas ao universo do ato-processo de ensinar e aprender Matemática poderíamos sintetizar da seguinte maneira: não há nada que sirva para tudo da mesma forma que não existe nada que não sirva para nada! O que estamos querendo dizer com isso? Somente uma mente despreparada academicamente ou desprovida de reflexão teórica pode afirmar que as chamadas Sequências Didáticas não servem para nada! De igual infelicidade intelectual seria afirmar que tal construto didático pode ser aplicado em todas as situações do complexo universo de ensinar e aprender. Isso seria equivalente a dizer que finalmente encontramos a solução para o problema da aprendizagem e do ensino de Matemática. O que se constitui numa falácia!


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No entanto, como método alternativo para fugir da tradição escriba que submete o aluno escolar às copias intermináveis do que é escrito pelo professor no quadro, e, além disso, por sugerir a participação colaborativas de aprendizagem, as sequencias didática – modelo estruturado de ensino – em nossa experiência colaborativa como professores formadores já tem estabelecido algumas conquistas importantes em relação às concepções do processo de ensino-aprendizagem por parte dos nossos futuros professores. Para finalizar essa nossa breve conversa introdutória apresentamos alguns argumentos em forma de perguntas que por motivos óbvios não poderiam ser respondidas aqui, mas que podem ser recebidas por nossos leitores como provocações para reflexão honesta desse tema. Quais seriam os benefícios de uma metodologia de ensino que exija do futuro professor um domínio considerável sobre o objeto de ensino? Que exija dele a ação de se debruçar na leitura de textos expositivos de conteúdos matemáticos de uma Matemática que ele mesmo não aprendeu no curso de formação? Que o faça perceber que ensinar vai muito além de fazer exposição didática de conteúdos? Que exija dele a percepção de que os objetos matemáticos não podem ser apreendidos de modo isolado de outros objetos que lhes são circunscritos? Que ao escolher um objeto de ensino deve ter a capacidade profissional de eleger aqueles que lhes são circunscritos e, além disso, organizá-los didaticamente para a apresentação articulada a seus alunos? Que a aprendizagem sem apresentação planejada de ensino é possível apenas para um pequeníssimo universo de sobre-humanos?

Poderíamos nos estender nessa lista de indagações. No momento, de nossas trajetórias profissionais como pesquisadores da área de Educação Matemática e professores formadores de professores de Matemática, diante de alguns resultados preliminares de nossas pesquisas, e, tomando como base no que tem sido discutido em outras pesquisas (vide referências bibliográficas), podemos afirmar que o investimento na produção, aplicação e análise de Sequências Didáticas nos cursos de formação de professores de Matemática na Universidade do Estado do Pará a partir das disciplinas de Instrumentação de Ensino I e II tem sido uma palco de reflexão em busca de encontrar indícios positivos a cada uma das questões sugeridas acima.

Nossa jornada apenas começou. Há muito a ser feito e discutido. Aprendido. Construído e por certo, também descontruído. Não temos a prepotência de apresentar nosso trabalho como solução final. Não cremos


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no “olho do mapinguari” que estabelece um único e descritor olhar para todas as coisas. Temos maturidade para saber das limitações, mas também das virtudes e potencialidades dessa metodologia que tem avançado sobre vários campos disciplinares.

Vamos terminar nosso pequeno diálogo com uma frase consagrada de Martin Luther King, um dos líderes mais emblemáticos da história americana:

É melhor tentar e falhar, que preocupar-se e ver a vida passar. É melhor tentar, ainda que em vão que sentar-se, fazendo nada até o final.

Eu prefiro na chuva caminhar, que em dias frios em casa me esconder. Prefiro ser feliz embora louco, que em conformidade viver.

Martin Luther King


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1. DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL: A FORMAÇÃO INICIAL NO CURSO DE MATEMÁTICA

1.1. Psicologia Histórico-Cultural: a lente que descreve um

construto Uma das perguntas certamente mais intrigantes no que diz respeito

à produção de conhecimento é: como a criança aprende? A resposta a essa pergunta envolveu e ainda envolve o empreendimento de muitas pesquisas realizadas no mundo inteiro. Os modelos sugeridos por Jean Piaget e Vygotsky tem sido recorrente utilizados em pesquisas desenvolvidas no âmbito da educação.

A alegação de que a aprendizagem e o desenvolvimento

são inerentemente sociais está muito evidente nestes dias. Ao restringir o foco ao indivíduo isolado, quando se

estuda a cognição e outras formas de processos mentais, [passamos] que aspectos-chave do

funcionamento mental só podem ser entendidos ao

considerar o contexto social em que estão embutidos (Wertsh e Toma,1995,p.159 APUD

Radford,2011, p.81) (grifos meus)

Se, por um lado, o modelo sugerido por Piaget apresentasse um foco privilegiado no isolamento do sujeito – pensamento natural da criança – por outro lado, o modelo sugerido por Vygotsky adotou o contexto social como elemento fundamental para a compreensão mais ampla do funcionamento mental da criança. São modelos distintos que descrevem o fenômeno da aprendizagem em dinâmicas teóricas por certo também diferentes.

Uma das lentes que tem fundamentado nosso trabalho de colaboração para criar um texto de referência para a disciplina de Instrumentação de Ensino I e II para a Universidade do Estado do Pará é justamente essa que se refere indiretamente (Wertsh e Toma, 1995). Trata-se na verdade dos pressupostos da Psicologia Histórico Cultural cujos resultados se evidenciam nos trabalhos de Vygotsky.

Assim como o modelo piagetiano, que é certamente bem estabelecido teoricamente, o modelo vigotskiano tem sido amplamente


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reconhecido e aplicado em muitas pesquisas e, esse reconhecimento pode ser inclusive identificado, por exemplo, no Brasil, nos próprios Parâmetros Curriculares Nacionais quando sugerem que:

O ser humano assume a cultura do grupo social a que pertence. Processo no qual o desenvolvimento pessoal e

a aprendizagem da experiência humana culturalmente organizada, ou seja, socialmente produzida e

historicamente acumulada, não se excluem nem

se confundem, mas interagem. Daí a importância das interações entre crianças e destas com

parceiros experientes, dentre os quais destacam-se professores e outros agentes educativos

(BRASIL, 1997, p.46). (grifos meus).

O modelo sugerido na perspectiva histórico-cultural fundamenta-se na historicidade do processo de ensinar e aprender da criança. Esse processo é complexo em sua natureza mais superficial e o cenário de sua constituição não pode ou deve ser restrito ao isolamento do sujeito aprendente sob os “olhos atentos” do investigador que o observa e procurar revelar-lhe a subjetividade do pensamento.

O palco, portanto, sugerido por Vygotsky são as múltiplas interações verbais que são produzidas entre os sujeitos aprendentes e ensinantes. Tanto aprende quem ensina quanto ensina quem aprende. Uma via de mão duplas. Um processo multifacetado do qual ainda se sabe muito pouco. Não temos um modelo único descritor dessa realidade subjetiva.

O que temos adotado com essa lente teórica da Psicologia Histórico Cultural é concepção dessa profícua integração processual, continua, enigmática entre os sujeitos. Não existe nem exclusão nem confusão, conforme sugere os autores, o que existe é a integração na interação de olhares dos sujeitos diante dos objetos de aprendizagem. É, fundamentalmente nisso que acreditamos.

Nesse mesmo sentido corrobora Davis e Oliveira (2010). Para esses autores no que diz respeito ao desenvolvimento o sujeito constrói de modo ativo suas próprias características e, essa caracterização é constituída em suas relações com o meio. Esse processo sempre leva em consideração as relações humanas anteriores que se manifestam do meio do seu grupo


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social. Nessa perspectiva, as interações sociais são fundamentais para a constituição da necessária historicidade do fenômeno ensinar-aprender.

Assim a partir da apreensão dos signos externos ao indivíduo tem modificada e desenvolvida suas funções psíquicas superiores, capacidade essa que nos difere dos demais seres vivos. E justamente por meio desse processo denominado de internalização que o sujeito é capaz de atribuir significado àquilo que está sendo ensinado. (MOYSÉS, 2004). Vygotsky traduz sua convicção, nessa perspectiva, ao enunciar o que ele chama de lei genética geral do desenvolvimento cultural, proposta nos seguintes termos:

Qualquer função presente no desenvolvimento cultural

da criança aparece duas vezes, ou em dois planos distintos. Primeiro, aparece no plano social, e

depois, então, no plano psicológico. Em princípio,

aparece entre as pessoas e como uma categoria interpsicológica, para depois aparecer na criança,

como uma categoria intrapsicológica. Isso é válido para atenção voluntária, a memória lógica, a

formação de conceitos e o desenvolvimento da vontade. [...] a internalização transforma o próprio

processo e muda sua estrutura e funções. As

relações sociais ou relações entre pessoas estão na origem de todas as funções psíquicas

superiores (VYGOTSKY, 1981, p.163) (grifos meus)

De acordo com esse modelo o papel das interações verbais no cenário cultural de aprendizagem é a própria origem de todas as funções psicológicas superiores. Essa perspectiva, uma vez adotada para o campo da educação, sobretudo, para o campo da Educação Matemática, tem influenciado a produção de metodologias alternativas.

Essas metodologias, em geral, sugerem um afastamento do modelo tradicional de ensinar e aprender que é, por sua vez, marcado enfaticamente pela exposição didática e pela memorização de resultados, para modelos que sugerem uma participação mais reflexivas e ativas do sujeito aprendente.

Em consonância com a lei proposta por Vygotsky no que diz respeito às adaptações de sua concepção ao mundo da Educação, sobretudo para nossas ansiedades e demanda de formação dos futuros


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professores de Matemática, algumas necessidades acabam por se tornar, nesse sentido, imperiosas.

Vejamos. Se é verdade, segundo lei genética geral do desenvolvimento cultural, que nossas funções psicológicas superiores - atenção voluntária, a memória lógica, a formação de conceitos e o desenvolvimento da vontade – são processadas, primeiramente no plano social e, posteriormente no plano individual, então, cabe aos futuros professores de Matemática que adotarem essa perspectiva teórica do processo de ensinar e aprender também adotarem ações didáticas forjadas inevitavelmente num planejamento revestido de intenções interativas entre os atores do processo.

A lente teórica nos sugere abandonar os métodos passivos – exposição/cópia/exercícios rotineiros – ao mesmo tempo que nos sugere adoção de métodos que envolvam os aprendizes num processo ativo de aprendizagem que o coloca na condição de ator de suas próprias aprendizagens. Isso exige do futuro professor o desejo de ensinar Matemática de uma forma que não aprendeu, provavelmente.

Em Vygotsky o social que quebra a inercia da aprendizagem precisa ser organizado, sistematizado, articulado. Esse é, sem dúvida um processo intencional. O queremos dizer com isso precisamente é que defendemos o ensino de Matemática a partir da apresentação de um cenário interativo provocado por dispositivos escritos e orais devidamente estruturados. Precisamos vencer o descanso nos braços do livro didático.

O professor de Matemática precisa desenvolver a capacidade de sistematizar suas ações de ensino de forma escrita. Não estamos falando de fazer copia de livros de Matemática para reproduzi-las no quadro que, por sua vez, serão reproduzidas pelos aprendizes em seus cadernos. Estamos dizendo que é preciso vencer essa lógica de “escribas”.

Em outros termos, acreditamos que durante a formação de futuros professores de Matemática nós precisamos, professores formadores de professores de Matemática, continuar fomentando a concepção da necessidade imperiosa de que eles, futuros professores, a se tornem capazes de reorganizar os conteúdos disponibilizados para o ensino, numa dinâmica que seja pautada nas interações verbais, nos discursos dialógicos e que exigem a ação e reflexão dos aprendizes diante dos objetos de aprendizagem.

Nesse sentido Micotti (1999) argumenta:


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(...) não basta o professor apresentar

informações, nem deixar o aluno entregue a si próprio diante do objeto de estudo. O

indivíduo sem interlocutores ou sem

orientação progride muito devagar. Isto exige de quem ensina a realização de vários

enfoques do objeto ou muitos olhares: Olhar a matéria como saber (sistematizado, com seu

modo de focalizar a realidade, sua linguagem e metodologia de pesquisa), olhar a matéria do

ponto de vista do aprendiz, olhar a matéria

do ponto de vista de quem deve ensinar. A aplicação dessas ideias implica numa

reviravolta na educação. (p.159)

Em nossas ações como professores formadores de professores de Matemática temos procurado, sistematicamente, por meio da disciplina Instrumentação de Ensino I e II, a partir de um trabalho colaborativo com as pesquisas que desenvolvemos como líderes de grupos de pesquisa, fazer com que nossos futuros professores de Matemática compreendam, ainda no processo de formação inicial, essas verdades sugeridas por Micotti (1999).

O avanço na apreensão dos objetos de aprendizagem pode ser mais eficiente se o professor, agente cultural mais experiente, disponibilizar esses objetos numa atmosfera de interlocução. Esse dispositivo dialógico exige do professor de Matemática que tenha domínio sobre os objetos disponibilizados a ponto de apresentá-lo aos aprendizes sob ângulos distintos.

Essa apresentação sob vários ângulos do objeto matemático envolvendo olhares distintos incluem, por assim dizer, o campo interno da própria Matemática como saber sistematizado e articulado, as concepções prévias dos aprendizes, a evolução dessas percepções parciais dos aprendizes em direção às adequações do saber científico, além das implicações dessas percepções com as questões metodológicas.

Isso, definitivamente, uma ação é fácil de se colocar em prática. Não estamos dizendo que é. Estamos dizendo que é necessária. Os aprendizes merecem muito mais do que simples cópias! Para Cabral (2004) isto não significa:


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(...) de modo algum, dizer que a exposição oral

não tem nenhum valor pedagógico. Mas, se o processo de ensino-aprendizagem, de fato é

complexo e, portanto, não linear, então, é

lógico admitir que não se pode ensinar-aprender todas as coisas a partir de uma

mesma metodologia – aulas expositivas – é preciso diversificar as possibilidades. (p.27)

(grifos meus).

Nesta perspectiva, o exercício docente é marcado por uma paisagem de conflitos com o outro – confrontos, resistências, opacidades e ambivalências. “...É cada vez mais difícil ensinar e, sobretudo, fazer aprender” (PERRENOUD, 2000, p.15). Essa paisagem conflituosa é saudável e inerente ao processo de ensino-aprendizagem. Não existe Ensino-aprendizagem fora desse palco de conflitos. Acreditamos que somente uma dinâmica de ações didáticas estruturadas – planejadas intencionalmente para as interações verbais – pode produzir um cenário adequado segundo a perspectiva da psicologia histórico cultural.

Um conceito central na perspectiva da psicologia histórico cultural é o conceito de zona de desenvolvimento proximal criado por Vygotsky. A compreensão desse conceito é fundamental para a produção de ações didáticas focadas sob a lógica das interações verbais, sem as quais, nesse modelo, a aprendizagem não pode ser concebida na amplitude e na complexidade que possui.

Vygotsky (1994) assegura que um fato bem estabelecido e conhecido é que o aprendizado deve ser combinado com o nível de desenvolvimento da criança. Ao analisar o processo de desenvolvimento, Vygotsky considera dois níveis.

O primeiro é o NDR – nível de desenvolvimento real das funções mentais da criança - que é estabelecido como resultado de ciclos de desenvolvimento já concluídos. Normalmente é aceito como indicativo da capacidade aquilo que as crianças conseguem fazer por si mesmas.

O segundo é o NDP – nível de desenvolvimento potencial – que é estabelecido através da solução proposta pela criança sob à orientação de um adulto, ou em colaboração com companheiros mais capazes.

Vygotsky conceitua então a ZDP – zona de desenvolvimento proximal – como sendo à distância entre o nível de desenvolvimento real (NDR), e o nível de desenvolvimento potencial (NDP).


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A zona de desenvolvimento proximal (ZDP) – definida nestes termos, possibilita a construção de uma visão de como este processo de cooperação com o adulto ou entre pares contribui para o desenvolvimento e aprendizado da criança.

Para Vygotsky (1994), os problemas encontrados na análise psicológica do ensino, a relação entre aprendizado e desenvolvimento de crianças em idade escolar, ainda é o mais obscuro de todos os problemas básicos necessários à aplicação de teorias de desenvolvimento em processos de aprendizado. Tal obscuridade, segundo Vygotsky (1994), deve-se ao fato de que as pesquisas sobre o assunto postulam premissas e soluções exóticas, vagas e, às vezes, contraditórias.

Neste sentido, há três posições distintas sobre a temática desenvolvimento e aprendizagem. A primeira é a que considera desenvolvimento e aprendizagem como processos independentes, a

segunda que postula ser o aprendizado, um processo igual ao

desenvolvimento, e a terceira, que tenta superar as duas primeiras, combinando-as entre si.

A posição que considera a independência entre os processos, acredita que o aprendizado é puramente externo, não estando envolvido ativamente com o desenvolvimento. O aprendizado utiliza-se dos avanços do desenvolvimento, mas não fornece um impulso para modificar seu curso.

De acordo com Vygotsky (1994), está visão postula que processos de dedução, compreensão, interpretação da causalidade física, entre outros, ocorrem por si mesmos, sem qualquer influência do aprendizado escolar.

Um exemplo desta abordagem citado por Vygotsky é o modelo de Piaget – conversações clínicas – no qual o pesquisador introduziu questões além da capacidade das crianças objetivando atingir o pensamento “puro” – independente das formas de aprendizado.

Já a abordagem que considera a identidade entre os processos de aprendizagem e desenvolvimento, na verdade, é a essência de um grupo de teorias que em suas origens são completamente diferentes.

Em uma dessas teorias – elaborada por James – o desenvolvimento é visto como domínio de reflexos condicionados. Não existe, para ele (James), melhor maneira de descrever a educação do que considerá-la como a organização dos hábitos de conduta e tendências comportamentais adquiridas. Na primeira concepção, o desenvolvimento precede o


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aprendizado, enquanto na segunda, os dois processos coincidem em todos os pontos.

A terceira posição, tem como um de seus representantes Koffka, para quem o desenvolvimento se baseia em dois processos inerentemente diferentes, embora relacionados – cada um influencia o outro: a maturação, que depende diretamente do desenvolvimento (maturidade) do sistema nervoso, e o aprendizado, que em si, também é considerado um processo de desenvolvimento.

Há três aspectos novos nessa teoria, considerados por Vygotsky (1994), são eles: a combinação dos dois pontos de vista aparentemente opostos; o fato do desenvolvimento ser visto como um binário (maturação-aprendizado) interagentes e mutuamente dependentes e, finalmente, a atribuição de um amplo papel do aprendizado no desenvolvimento da criança. Em Vygotsky (1994), esta interação mútua dos processos de aprendizagem e desenvolvimento cria um novo tom.

Uma vez que uma criança tenha aprendido a realizar uma operação, ela passa a assimilar algum princípio estrutural cuja esfera de aplicação, é outra que não unicamente as das operações do tipo

daquela usada como base para a assimilação do princípio. Assim, ao dar um passo no aprendizado, a criança, na verdade, dá dois no desenvolvimento, ou seja, aprendizado e desenvolvimento, não coincidem ponto a ponto.

A princípio, Vygotsky (1994) rejeita as três correntes que procuram explicitar a relação entre aprendizado e desenvolvimento, discutidas acima e, reconhecendo a importância de uma análise sobre tais posturas, pretendeu superá-las, ampliando, assim, a visão sobre o tema em foco.

Sua posição está fundamentada sobre dois tópicos principais: a relação geral entre aprendizado e desenvolvimento e os aspectos específicos dessa relação quando a criança atinge a idade escolar.

Neste sentido, Vygotsky parte do princípio de que o aprendizado da criança começa muito antes dela frequentar a escola (existe uma história prévia). Assim, “...de fato, a aprendizagem e o desenvolvimento estão inter-relacionados desde o primeiro dia de vida da criança” (VYGOTSKY,1994, p.110).

Torna-se indispensável dizer que as teorias rejeitadas por Vygotsky, não consideravam como indicativos de desenvolvimento mental, as soluções apresentadas pelas crianças, quando a estas, eram fornecidas pistas ou o início da solução de um problema.


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Segundo Vygotsky (1994), mesmo os pesquisadores mais sagazes, nunca haviam questionado este fato. “Nunca consideraram a noção de que aquilo que a criança consegue fazer com a ajuda dos outros poderia ser de alguma maneira muito mais um indicativo de seu desenvolvimento mental, do que aquilo que ela pode fazer sozinha” (p. 111).

Assim, para o autor supracitado, o estado de desenvolvimento mental de uma criança só poderia ser determinado se fossem revelados os seus dois níveis: o NDR e o NDP. Em outras palavras, aquilo que as crianças realizam hoje com ajuda, realizarão amanhã sozinhas. O conceito de ZDP, da forma como foi proposto por Vygotsky, traz à tona a necessidade de uma consideração nova a respeito da imitação na sua relação com o processo ensino-aprendizagem.

Neste sentido, um princípio intocável da psicologia clássica era de que somente a atividade independente da criança, e não a atividade imitativa era indicativa do seu desenvolvimento mental. A

imitação era considerada um processo puramente mecânico. Contrapondo-se a postura que defende a atividade imitativa como

um processo puramente mecânico de cópia e repetição, Vygotsky acreditava que a imitação oferecia a oportunidade de reconstrução interna daquilo que o indivíduo observa exteriormente, e, portanto, um dos possíveis caminhos para o aprendizado. Neste sentido, assevera Rêgo (1998):

Através da imitação as crianças são capazes de

realizar ações que ultrapassam o limite de suas capacidades, como por exemplo, uma criança

pequena, ainda não alfabetizada, pode imitar seu

irmão e “escrever” uma lista com os nomes dos jogadores de seu time preferido. Deste modo, ela

estará.... promovendo desenvolvimento de funções psicológicas que permitirão o domínio da escrita.

(p.111)

Desta forma, o conceito de ZDP, que descreve o espaço entre aquilo que a criança já adquiriu (tudo que sabe e pode realizar sozinha) e aquelas atividades que para realizar depende da participação do outro mais capaz, abre possibilidades para que a imitação de modelos fornecidos pela cultura assuma um papel estruturante das funções psicológicas, uma vez que amplia a capacidade cognitiva do aluno.


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Sobre a importância do conceito de ZDP, argumenta Rêgo (1998):

O conceito de zona de desenvolvimento proximal é

de extrema importância para as pesquisas do

desenvolvimento infantil e para o plano educacional, justamente porque permite a

compreensão da dinâmica interna do desenvolvimento individual. Através da

consideração da zona de desenvolvimento

proximal, é possível verificar não somente os ciclos já completados, como também os que estão em

via de formação, o que permite o delineamento da competência da criança e de suas futuras

conquistas, assim como a elaboração de estratégias pedagógicas que auxiliem nesse

processo. (p.74)

Esse espaço amostral possibilitado pela ZDP é o que temos lançado mão para a construção das propostas de ensino. Nosso olhar se volta para a identificação dos ciclos de aprendizagem completados que funcionam como “unidades articuladas” que contém de um tecido discursivo que conserva a historicidade do processo de ensinar e aprender. Ali está um conjunto de interações verbais que revela tanto as intenções didáticas do professor (orais e escritas) quanto as mobilizações do aprendiz (orais e escritas) rumo a apreensão do objeto de aprendizagem que o desafia.

Em síntese, na perspectiva vygotskyana, construir conhecimento a partir do conceito de ZDP implica numa ação partilhada, uma vez que é por intermédio do outro – ajuda do adulto – que as relações entre sujeito e objeto são estabelecidas. A análise das interações verbais que ocorrem durante a realização das aulas de Matemática, fornecem um rico material em informações sob a ótica de uma construção de conhecimento em colaboração com o outro, que tanto pode ser o professor, quanto o próprio colega.

É justamente nesse aspecto que as chamadas Sequencias Didáticas, da forma como temos nos apropriado delas, têm se constituído, por assim dizer, como uma alternativa interessante nas ações formativas para os futuros professores de Matemática da Universidade do Estado do Pará a partir das disciplinas de Instrumentação I e II.

Há, no entanto, uma polissemia em torno da expressão. Isto nos levou tanto a fazer uma revisão da literatura em torno das concepções


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sugeridas pela literatura quanto a assumir uma perspectiva teórica de Cabral (2017), que além de adotar uma definição para o termo – Sequencias Didáticas – aplicadas no contexto do ensino de Matemática para os níveis fundamental e médio no âmbito escolar, além disso, sugere um construto para servir de base para a elaboração delas.

Faremos assim, uma breve revisão nesses dois últimos aspectos mencionados no último parágrafo e recomendamos a leitura do texto de Cabral (2017), vide referências bibliográficas. O referido texto dessas perspectivas com um pouco mais de profundidade. Toda a concepção que envolve as Sequências Didáticas sob o olhar de Cabral (2017) foi definitivamente influenciada pelo modelo sugerido pelos pressupostos da Psicologia Histórico Cultural em Vygotsky. Neste sentido, o construto sugerido por esse autor, sugere uma Sequência Didática sob a lógica das interações verbais em que o papel fundamental do professor é se conduzir, durante todo o processo, como um gerente do cenário didático.

1.2. As Sequências Didáticas e as unidades articulas de reconstrução conceitual - UARC’s O termo “Sequências Didáticas” guarda forte influência do grupo de

Genebra a partir de experiências que envolvem a aprendizagem da língua francesa. Para Araújo (2013), os trabalhos desenvolvidos por Dolz et al (2004), que tinham foco na relação entre linguagem, interação e sociedade, adotou o termo Sequência Didática (SD) como “um conjunto de atividades escolares organizadas, de maneira sistemática, em torno de um gênero textual oral ou escrito”. (ARAUJO, 2014, p.324 apud DOLZ, 2004, p.97).

Essa natureza oral das Sequências Didáticas no contexto do ensino de Matemática é, em geral, desprezada. O modelo sugerido por Cabral (2017), no entanto, corrobora nessa perspectiva e considera que as interações promovidas no contexto da aprendizagem que ocorrem de forma oral, são tão importantes quando as interações promovidas pelos registros escritos nos protocolos das atividades manipulados pelos aprendizes.

Para esse autor a SD não se reduz ao que está escrito nos protocolos. Esses registros protocolares – escritos – são, na verdade, direcionados e redirecionados pelas interações promovidas oralmente pelo


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professor que observa com atenção a condução dos aprendizes diante dos objetos que lhes desafiam. Essas intervenções orais são como uma espécie de chave reguladora que procura manter o foco dos aprendizes em torno dos objetivos de aprendizagem e são, neste sentido, determinantes para o sucesso do processo.

Para Zabala (1998) o termo “Sequências Didáticas” é tomado como sendo “um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos professores como pelos alunos” (p.18).

A concepção desse autor deixa evidente a inevitável tarefa de planejamento das ações do professor. Não existe nenhuma possibilidade de se fazer opção por esse método de ação didática sem as noções de ordenação, estruturação e articulação das atividades propostas aos aprendizes.

A ordenação diz respeito a capacidade do que ensina em organizar hierarquias de ideias. As noções conceituais objetivadas devem ser apresentadas aos aprendizes de forma gradual a partir de noções anteriores – conceitos prévios – até que as condições cognitivas estevam adequadas aos novos objetos.

A estruturação sintetiza em nosso ver a exigência de que o conteúdo a ser ensinado precisa ser apresentado sob a ótica da tríade conceito, algoritmo e aplicação que nutre o ensino de Matemática. Na dimensão conceitual o foco é discutir o que é o objeto de estudo – sua natureza e significado. Na dimensão algorítmica o foco se volta para os processos “automatizados”, fundamentalmente materializados pela manipulação de algoritmos. É o “como fazer”.

Por fim, está a articulação que certamente envolve a capacidade do que ensina em apresentar o novo objeto em harmonia com outros objetos que lhes serve de aporte. Sem essa articulação adequadamente estabelecida, os aprendizes perdem a possibilidade de atribuir significa correto aos novos objetos. Para Kobashigawa et al (2008, apud CABRAL, 2017, p. 33) o procedimento didático elaborado na concepção de SD:

(...) não se trata de um plano de aula uma vez que

admite várias estratégias de ensino e aprendizagem e por ser uma sequência que

também pode ser destinada a vários dias. Para esses autores as SD podem ser concebidas como


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um conjunto de atividades - intervenções planejadas - etapa por etapa com a finalidade os aprendizes compreendem os conteúdos objetos de ensino.

Em outros termos, as argumentações disponibilizadas aos

aprendizes precisam se apresentar de modo articulado. Numa sequência lógica que intenta produzir sentido e significado aos novos objetos. Uma forma argumentação em rede que se estrutura a partir dessas articulações conceituais. O modelo sugerido pelo grupo de Genebra de acordo com Dolz, Noverraz e Schneuwly (2004) adota quatro fases distintas, quais sejam: apresentação da situação de ensino, a produção inicial, os módulos e a produção final.

Na primeira fase, os alunos recebem do

professor uma descrição minuciosa da relevância do projeto de ensino em questão bem como dos

objetivos, estrutura e condições coletivas de produção dos saberes envolvidos. Já a segunda

fase, qual seja, a produção inicial, guarda as

intervenções que visam diagnosticar as capacidades já adquiridas pelos alunos em relação

ao gênero objeto de ensino e, além disso, procura adequar às ações de ensino posteriores a partir

das quais se pretende atingir os objetivos de

aprendizagem. Após essa fase diagnóstica dos sujeitos, vem a terceira fase –

desenvolvimento dos módulos – na qual serão ministradas as oficinas que se constituem em

diversas atividades, relativas ao desenvolvimento das capacidades de linguagem, envolvendo as três

práticas linguísticas: leitura, produção e análise da

língua. O número de módulos/oficinas é flutuante e deve se adequar ao suprimento d as dificuldades

encontradas pelos alunos na escrita inicial do gênero objeto de estudo. Nessa etapa o professor

deve variar as abordagens avaliativas explorando

questões abertas, fechadas, lacunadas, etc. Após os módulos, segue-se a quarta fase - a produção

final, na qual o aluno coloca em prática os


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conhecimentos adquiridos e, juntamente com o

professor, avaliam os progressos alcançados. (p.98)

Nessa perspectiva a elaboração da SD a definição do objeto de

ensino está condicionada a uma espécie de estudo prévio. Esse estudo apontará os elementos ensináveis que poderão ser objetos de ensino-aprendizagem dentro de uma situação de comunicação específica. A revisão sobre as concepções polissêmicas das chamadas sequencias didáticas é ampla e, como já sugerimos anteriormente, o texto de Cabral (2017) oferece um aprofundamento dessa temática e, por isso, ratificamos aqui sua leitura. Passaremos a partir desse ponto, a descrever um modelo estruturante para a elaboração de SD no âmbito do ensino-aprendizagem de Matemática com características focadas sobre o nível escolar – fundamental e médio, sugerido por esse autor. Nesse sentido, Cabral (2017) influenciado pelo modelo epistemológico da Psicologia Histórico Cultural conforme já descremos, propõe a seguinte redação para traduzir o que, em sua concepção teórica, toma como uma Sequência Didática com o objetivo de construir um cenário interativo para a produção de intervenções interativas dialógicas de ensino-aprendizagem focado sobre a lógica da zona de desenvolvimento proximal, segundo a perspectiva teórica de Vygotsky. Nestes termos Cabral (2017) anuncia:

Esse gênero textual na verdade trata-se de uma

SD. Estou usando esse termo polissêmico no livro como sendo um conjunto articulado de dispositivos comunicacionias de natureza escrita ou oral que sistematiza as intervenções de ensino com a intencionalidade objetiva de estimular a aprendizagem de algum conteúdo disciplinar de Matemática a partir da percepção de regularidades e do estabelecimento de generalizações adotando-se uma dinâmica de interações empírico-intuitivas. (p. 12)

O conjunto articulado pressupõe uma referência a questão da dimensão temporal-quantitativa de uma sequência didática. Assim, para


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esse autor, esse gênero textual tanto pode está contido numa unidade de aula convencional de 50 minutos, por exemplo, como em duas unidades “casadas” de aulas convencionais de 50 mim, por exemplo, ou contida em uma fração de uma unidade de aula convencional. É claro que a quantidade de objetos de conhecimento disponibilizados terá uma influência direta sobre a tempo destinado às interações que promovem sua aprendizagem. Isso é um fato, não se pode ignorar isso. Para esse autor as sequencias didáticas, da forma como as concebeu, não são estruturadas levando em consideração apenas as unidades de aulas convencionais. A lógica estruturante das Sequências Didáticas está forjada para Cabral (2017) na gênese conceitual. Nessa lógica uma Sequência Didática tanto pode estar contida numa sequência de aulas – conjunto de aulas convencionais – assumindo um sentido macro, como também pode assumir uma sentido micro e, neste sentido, o autor concebe que podemos ter, por exemplo, mais de uma Sequência contida, em termos temporais, numa fração de uma aula convencional. O termo articulado revela a complexidade dos objetos de ensino de Matemática. Os objetos matemáticos não podem ser ensinados na lógica do isolamento. São abstrações que se tornam significativas quando apresentadas de modo articulado – relacional – com outros objetos que lhes são circunscritos. O professor pode e deve explorar esses aspectos relacionais tanto na dimensão externa ligada ao contexto cotidiano dos aprendizes quanto na dimensão interna que estabelece relações no interior do próprio saber da matemática como sistema de saberes. Os dispositivos comunicacionais estão ligados aos diversos recursos utilizáveis pelo professor ao disponibilizar o saber aos aprendizes. Esses recursos podem ser escritos – protocolos com os quais os aprendizes acompanham a evolução das atividades – materiais concretos de toda variedade, bem como as argumentações orais disponibilizadas no processo. O conceito também utiliza o termo intervenção, pois, toda lógica estruturante concebida para as sequencias didáticas, como já dissemos anteriormente, está embebida visão vigotskiana e a produção de ZDP é um foco central ao longo de todo processo. As intervenções sugerem que os aprendizes estão sob a orientação continua do professor. Suas percepções são avaliadas pelo professor que por meio de perguntas e sugestão de atividades de curta duração provoca a verbalização dos aprendizes.

Esse processo de verbalizar o pensamento revela no decorrer do processo de aprendizagem as diversas representações que os aprendizes vão construindo dos objetos de conhecimento. A fala do professor, nessa


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forma de conceber as sequencias didáticas é fundamental não para robotizar o aprendiz e dizer a ele o que tem de fazer, mas para criar um cenário reflexivo transita entre o individual e o coletivo numa dinâmica colaborativa de aprendizagem.

Tais reflexões promovem a percepção de certas regularidades – padrões – nos sistemas explorados. Esses padrões uma vez percebidos na exploração colaborativa por meio das intervenções – orais e/ou escritas – possibilitam a generalização de um ou mais categorias do objeto. Essas generalizações ainda são estabelecidas numa dinâmica de experimentação e intuição que, guarda as devidas proporções são bem mais interessantes para os aprendizes do que a lógica tradicional que lhes apresentam os objetos prontos e acabados sem que lhes sejam justificados, em quaisquer sentidos, a lógica de construção. O que o autor está propondo não é um exemplo de Sequência Didática. Cabral (2017) propôs uma estrutura para a elaboração de sequencias didáticas para o ensino de Matemática nos níveis fundamental e médio. Neste sentido, o autor está propondo, em outros termos, é um construto teórico com base da ZDP para a leitura de textos didáticos estruturados para o ensino de Matemática. Se o objetivo da produção textual – escrita ou oral – foi o ensino de Matemática, o autor considera que as sete intervenções estruturantes propostas no modelo das unidades articuladas de reconstrução conceitual – UARC’s – estarão presentes. Assim as sete intervenções estruturantes para as Sequências Didáticas no modelo das UARC’s podem ser identificadas abaixo conformes organizadas por Cabral (2017).


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1.2.1. As Intervenções Estruturantes e seus significados

A Intervenção Inicial (Ii) é a primeira peça do discurso dialógico-

didático. É a primeira escolha do professor como atividade que lhe servirá de provocação interativa. Essa primeira intervenção define a natureza das outras intervenções subsequentes. Se for uma atividade com grande potencial de argumentação em torno da percepção de regularidades dizemos que a modalidade da sequência didática é do tipo Exploração potencial.

Em geral nessa modalidade o professor inicia o processo propondo a intervenção inicial por meio de um problema, um quebra-cabeças, um jogo com regras, um desafio. Essa intervenção não pode ser resolvida com facilidade pelos aprendizes. A ideia é disponibilizar uma tarefa que o aprendiz se sinta desafiado, mas necessite da ajuda sistematizadora do


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professor que dirige as ações didaticamente organizadas para a estimular a percepção do novo objeto de ensino.

Assevera Cabral (2017):

O que estou chamando de Intervenção Inicial (Ii) é, na verdade, o primeiro elemento de um jogo

discursivo dirigido pelo professor com a intenção definida de estimular os aprendizes à percepção de alguma verdade do pensamento matemático e que, associada com outras percepções articuladas a essa primeira, pode exercer um papel facilitador na reconstrução conceitual pretendida. (p. 40-41)

Caso o professor decida propor uma Intervenção Inicial sem o

potencial exploratório argumentativo, a opção de utilizar a sequência didática na Modalidade Conexão-Pontual. Neste caso a Intervenção Inicial é dada por uma tarefa simples a qual o professor reconheça estar contido na zona de desenvolvimento efetivo (NDE) dos aprendizes. Em geral aos aprendizes é disponibilizado um conjunto dessas pequenas tarefas que individualmente parecem imediatas e sem nenhuma relação com o objeto de conhecimento. Essas pequenas tarefas potencializam, em conjunto, uma percepção importante dentro do processo de generalização. Na verdade, induzem aos aprendizes às regularidades que envolvem a estrutura do objeto de aprendizagem. Todas as sequencias didáticas sugeridas por Cabral (2017) são organizadas em torno dessas duas modalidades estruturantes.

O segundo tipo de intervenção é a Intervenção Reflexiva. A reflexão nesse contexto é realizada pelo aprendiz e o papel do professor é estimular essa ação por meio de perguntas. Essa é uma característica da estrutura das sequencias estruturadas sob a ótica da UARC’s, qual seja, é uma estrutura repleta de perguntas cujo objetivo é levar os aprendizes a refletir sobre o que está realizando durante a conquista do objeto.

Observa o autor:

Esse questionamento se refere a um ou mais aspectos relacionados ao conceito objeto de

reconstrução. Ainda que, para o aluno, esse questionamento não tenha um sentido mais

relacional e, portanto, capaz de suscitar vários desdobramentos, no entanto, as ideias envolvidas


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tangenciam fatos importantes que vão facilitar a

reconstrução final do objeto em jogo. O aluno é estimulado durante todo o tempo do jogo da

aprendizagem em refletir sobre o que está fazendo

e as consequências desse fazer sobre outros aspectos da atividade que se desenvolve.

Nessa perspectiva, tudo passa por uma perspectiva de planejamento e de identificação, por parte do

professor, sobre a organização atribuída aos conceitos circunscritos, quais sejam, àqueles que

de forma associada potencializam a (re)descoberta

do conceito objeto de reconstrução. Aqui o aluno é orientado a levantar hipóteses, fazer conjecturas, verificar possibilidades e estabelecer consequências. (p. 41)

A Intervenção Exploratória (Ie) não serão dadas por meio de questionamentos, mas a partir da solicitação da execução de certos procedimentos por parte dos alunos. Aqui os alunos são convidados para fazerem simulações, experimentações, descrições, preencher tabelas, elaborar gráficos e observações. Assim, assegura Cabral (2017) “a dinâmica de ensino que permite interações combinadas das Intervenções Reflexivas e Exploratórias, conforme eu as concebi, configura um cenário didático estimulante de intervenções estruturantes pré-formais” (p. 42).

Essas Intervenções Estruturantes (Reflexivas e Exploratórias) são capazes de produzir um conjunto de interações verbais que revelam, em tese, as formas de pensamento dos aprendizes. Os aprendizes verbalizam seus pensamentos e ao professor cabe a retomada das principais afirmações em torno dos objetos e deve disponibilizar à toda classe, reorganizando tais proposições de modo formal usando o rigor adequado ao formalizar os resultados. Essa ação é na concepção do autor devida ao professor reconhecendo que os aprendizes não poderiam fazê-lo sem a sua ajuda. Essa intervenção é denominada de Interrvenção formalizante (If).

Quando o professor utiliza pela primeira a vez a Intervenção Formalizante inevitavelmente fecha um ciclo na aprendizagem do objeto de ensino. É, certamente, uma conquista parcial em relação a amplitude desse objeto, mas esse recorte determinado por um conjunto de


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intervenções pré-formais (1 inicial + n exploratórias + m reflexivas) guarda a historicidade necessária à identificação dos indícios de aprendizagem do objeto de ensino. Para Cabral (2017) essa n-upla de intervenções pré-formais acrescida da intervenção formalizante correspondente, constituem, por assim dizer, uma unidade genética e portanto uma unidade histórica de aprendizagem a qual denominou de Unidade Articulada de Reconstrução Conceitual – UARC.

É justamente essa n-upla estruturante – UARC – que organiza toda a lógica de uma sequencia didática para o ensino de Matemática segundo a proposição de Cabral (2017). Dentro dessa lógica, se por um lado, uma única UARC que é, por definição, uma unidade genética de aprendizagem pois é, em sua natureza, um registro histórico de interações verbais, na concepção desse autor pode ser concebida como uma sequencia didática. Uma microssequência na verdade constituída por uma única unidade. Por outro lado, um conjunto de UARC’s também pode ser concebido como uma sequência didática tomada num sentido macro.

Além disso, como cada formalização subsequente a primeira constitui uma nova UARC que evidencia conquistas parciais do objeto de aprendizagem até que o processo de acumulo dessas aprendizagens parciais possibilitem uma unidade genética final na qual o objeto pode ser formalizado pelo professor encerrando o ciclo planejado para aquele momento.

Nessa lente teórica sugerida por Cabral (2017), uma sequência didática tanto pode ser constituída um conjunto de aulas planejadas quanto por um subconjunto delas, ou ainda, por uma única aula planejada, ou ainda por uma fração dela, e por fim, em última análise, por uma única uarc.

Assim, a condição para que uma sequência didática se constitua, nessa perspectiva, que não é a única possível tento em vista a polissemia do termo conforme já demostramos, é a garantia de uma unidade genética, ou seja, um todo-parte revestido de um tecido descritor de indícios de aprendizagem, de historicidade latente, real, proximal e, portanto, passível de observação descritiva. Isso no campo dos registros escritos – materializados nos protocolos manipuláveis fisicamente pelos aprendizes – pois, para Cabral (2017), a concepção de Sequência Didática, conforme sugerido pelo grupo de Genebra e outros, também pode ser concebida, do campo da oralidade do discurso ,e, nesse sentido, sintetiza uma categoria discursiva especifica para as aulas de Matemática


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voltadas para os níveis fundamental e médio que descrevem as tensões orais entre os atores do processo de ensinar-aprender.

Após cada formalização que constitui as unidades articuladas, temos as Intervenções Avaliativas Restritas (IAr) que foram concebidas com a finalidade de se estabelecer um primeiro parâmetro de aferição de aprendizagem do conceito objeto de reconstrução. Essas intervenções buscam aferir as aprendizagens dos alunos em dois aspectos fundamentais do saber matemático, quais sejam: O que é o objeto matemático em estudo? (o significado, o sentido) e, além disso, como se justificam e operam os algoritmos decorrentes? (propriedades e operações).

Além disso estão as Intervenções Avaliativas Aplicativas (IAa) cuja finalidade é a Resolução de Problemas de Aplicação. Aqui temos o nível mais elevado de avaliação do processo de apreensão conceitual. O aprendiz precisa ser capaz de mobilizar as noções conceituais associadas às propriedades operacionais decorrentes (algoritmos) em situações que envolvam resolução de problemas aplicados aos diversos contextos reais e/ou abstratos adequados ao seu nível de ensino. Todas essas intervenções auxiliares, incluindo a Intervenção Inicial são Intervenções Escritas e estão sistematicamente organizadas no texto que materializa a Sequência Didática.

Além dessas seis intervenções escritas há uma sétima categoria de intervenção de natureza oral denominada de Intervenção Oral de Manutenção Objetiva (I- OMO) cuja finalidade é manter a objetividade planejada, manter o foco da reconstrução pretendida pela sequência didática.

Para Cabral (2107):

(...) essa última categoria de intervenção pode ser entendida como uma espécie de Sequência

Didática implícita complementar que é sustentada no discurso do professor durante todo o processo

de ensino-aprendizagem e que permite a ele fazer as reformulações emergentes inevitáveis no

processo de reconstrução conceitual. Essas

intervenções são importantes, sobretudo por dois aspectos. Por um lado, permitem as modulações

do professor no sentido de estimular o aluno em direção aos objetivos estabelecidos pela Sequência

Didática e, por outro lado, em possibilitar futuras


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reformulações no texto utilizado que media a

aprendizagem. (p. 45 )

Essa sétima categoria de intervenções, concebidas como uma espécie de sequência didática paralela, oculta de natureza complementar é tão importante quanto àquela que está materializada em papel, escrita, e que serve de orientação para as ações dos alunos e professor e onde estão delineados o objeto e objetivos de aprendizagem. De acordo com o construto teórico proposto por Cabral (2017) essas intervenções orais estão ligadas as tensões discursivas que são típicas dos ambientes de interações verbais intrínsecas ao jogo do ensinar-aprender. 1.3. Exemplos de Sequências Didáticas modelados pelas UARC’s

- alguns recortes Vamos agora, nesse ponto, disponibilizar duas Sequências Didáticas produzidas utilizando as UARC’s como construto organizador modelado na versão Conexão Pontual.

1.3.1. Sequência para o Ensino de Equações Polinomiais do 1º

Grau

A seguir apresentaremos uma SD desenvolvida pelos alunos pelos

alunos Ellen Adriana Nogueira e Matheus Augusto Pock Oliveira da Universidade do Estado do Pará no ano de 2018. Tal Sequência foi elaborada sob a orientação do professor Dr. Natanael Freitas Cabral durante a Disciplina de Instrumentação de Ensino II da graduação do curso em Licenciatura em Matemática com foco nas Equações Polinomiais do 10

grau.

ATIVIDADE 1 OBJETIVO 1: Reconhecer a diferença entre os conceitos de “variável”, “incógnita” quanto ao número de possíveis valores a serem associados ao valor desconhecido. MATERIAL UTILIZADO: SD escrita, caneta ou lápis e borracha.


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PROCEDIMENTOS:

Intervenção Inicial: Analise as operações avalie e classifique as sentenças, quando possível como verdadeiras (V) ou falsas (F). a) 2 + 3 = 5 ( ) b) 2 + 3 < 5 ( ) c) 5 + 5 = 7 + 3 ( ) d) 5 + 5 > 7 + 3 ( ) e) 7 + 7 < 2 x 7 ( ) f) 8 + x = 9 ( ) g) x – 1 = 3 ( ) h) 2 + x < 5 ( ) Intervenção reflexiva: Foi possível classificar tidas as sentenças como verdadeiras ou falsas? Justifique a sua resposta R: _____________________________________________________________ Intervenção exploratória: Reescreva as sentenças que não foram possíveis de classificar em verdadeiras ou falsas, substituindo o valor X por outro que a deixe verdadeira. R: _____________________________________________________________ Intervenção exploratória: Observe as alternativas a seguir e preencha os espações vazios com valores que a torne verdadeiras. a) 7 + __ = 9 b) 7 + a = 9 ; a =__ c) __- 5 = 3 d) x – 5 = -3 ; x =__

e) = 5 ; y = __

f) 2b > 8 ; b = __ g) 2c = 8 ; c = __ 3 – x <3 ; x = _


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Intervenção reflexiva: Em quais sentenças foi possível escolher mais de um valor que a tornasse verdadeira? R: _____________________________________________________________ Intervenção Reflexiva: Nas sentenças escritas na questão anterior, qual a condição para que as sentenças sempre sejam verdadeiras? R: _____________________________________________________________ Intervenção formalizante: As letras que você utilizou serviram para representar valores desconhecidos, estes podem ser chamados de variáveis ou incógnitas, Variável: Caso haja mais de um valor possível para ela. Incógnita: Caso haja um único valor possível. --------------------------------------------------------- UARC FECHADA! Intervenção Avaliativa: Observe as sentenças abaixo e as classifique em variável ou incógnita. Ao final justifique a sua resposta. a) 7 – x = 5 ( ) varável ( ) incógnita Justifique:

____________________________________ b) 7 x 2 = 14 ( ) varável ( ) incógnita Justifique:

_____________________________________ c) X + 1 > 3 ( ) variável ( ) incógnita Justifique:

_____________________________________ d) 3 + x = 12 ( ) variável ( ) incógnita Justifique:

_____________________________________ e) x + 4 < 9 ( ) variável ( ) incógnita Justifique:

_____________________________________ f) 3 x 3 = 9 ( ) variável ( ) incógnita Justifique:

_____________________________________ g) x + 6 = 17 ( ) variável ( ) incógnita Justifique:

_____________________________________ OBJETIVO 2: Mostrar a arbitrariedade da escolha do símbolo que irá representar uma incógnita em uma sentença.


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Intervenção inicial: Escreva uma sentença que descreva os problemas representando o valor desconhecido com uma letra diferente em cada um e em seguida determine o valor representado por ela. a) Um número que adicionado de uma unidade resulta em 10 unidades:

R:________________________________________________________

b) O dobro de um número é igual a 6: R:________________________________________________________

c) A metade de um número subtraída de 2 é maior que 10: R:________________________________________________________

Intervenção reflexiva: Caso escrevêssemos todas as sentenças dos problemas representando os valores desconhecidos com um mesmo símbolo o resultado permaneceria o mesmo? Justifique sua resposta calculando o valor da questão b utilizando uma representação diferente da que utilizou no item anterior. R: __________________________________________________________________________________________________________________________ Intervenção formalizante: O valor a ser encontrado independe do símbolo que será utilizado para representa-lo, entretanto, geralmente utilizamos letras do alfabeto, sendo também independente qual letra que foi escolhida, usualmente é escolhido o x. Intervenção avaliativa: 1.Observe as sentenças abaixo: a) 2 + x = 4; x = __ b) 2 + y = 4; y = __ c) w + 7 = 9; w = __ d) k + 7 = 9; k = __ e) – 2 + m = 4; m = __ f) n – 2 = 4; n = __


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Agora responda: O que podemos observar entre os valores das incógnitas das sentenças anteriores? R: _____________________________________________________________ ATIVIDADE 2 OBJETIVO 1: Diferenciar sentenças abertas de sentenças fechadas conforme a sua estrutura e seu valor logico. OBJETIVO 2: Conceituar equação como uma sentença aberta expressa por uma igualdade

PROCEDIMENTOS:

Intervenção Inicial: Observe as sentenças a seguir e classifique-as em verdadeiras (V) ou falsas (F): a) 3 + 3 = 6 ( ) b) 10 – 5 > 4 ( ) c) 15 – 5 < 10 ( ) d) X – 8 = 10 ( ) e) 2x + 5 = 9 ( ) f) y + 2< 3 ( ) g) a – 10 > 2 ( ) h) b + 7 = 4 ( ) Intervenção reflexiva: Quais sentenças não puderam ser classificadas em verdadeiras ou falsas? R: ____________________________________________________ Intervenção reflexiva: Das sentenças assinaladas na questão anterior, quais são expressas por um sinal de igual (=) ? R: _____________________________________________________________


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Intervenção exploratória: Agora preencha o quadro a seguir elencando as sentenças que você conseguiu, ou não, classificar como verdadeiras ou falsas e as que são expressas com o sinal de igualdade:

VERDADEIRAS/FALSAS NÃO FOI POSSÍVEL CLASSIFICAR

IGUAL DIFERENTE

Intervenção formalizante: As sentenças que você conseguiu classificar em verdadeiras ou falsas, chamamos de SENTENÇAS FECHADAS, pois não há necessidade de discutir seu valor lógico (VERDADEIRO ou FALSO). Intervenção formalizante: Existem também as SENTENÇAS ABERTAS, cujo valor lógico dependerá de algum valor desconhecido (INCÓGNITA), ou seja, não é possível determinar se ela é verdadeira ou falsa. Quando uma sentença aberta é expressa por meio de uma igualdade, ela é chamada de EQUAÇÃO. Aquelas que são expressas por uma desigualdade são chamadas de INEQUAÇÕES. Intervenção formalizante: Toda equação possui dois membros: 1ºMEMBRO: Composto pelos valores que vêm antes do sinal de igual (=) 2ºMEMBRO: Composto pelos valores que vêm depois do sinal de igual (=) --------------------------------------------------------------------UARC FECHADA! Intervenção avaliativa: Determine quais das sentenças a seguir são equações. Justifique quando não for uma equação. a) x + 1 = 9 ; R:

_______________________________________________________ b) 10x – 5 = 15; R:

_______________________________________________________

c) 6 – 4 = 2; R: __________________________________________________


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d) 2x – 5 > 7; R: __________________________________________________

e) – 5 < - 7; R: _______________________________________________________

f) 5x – 5 = 1; R: _______________________________________________________

g) = 30; R:

_______________________________________________________ h) R:

_______________________________________________________ ATIVIDADE 3 OBJETIVO 1: Reconhecer os princípios aditivo e multiplicativo de uma igualdade. OBJETIVO 2: Utilizar os princípios da igualdade para resolver equações do 1º grau. Intervenção inicial: Atribua valores para as lacunas a seguir de forma que a sentença seja verdadeira a) __ + 2 = __ + 2 b) 4 + __ = 4 + __ c) 5 - __ = 5 - __ d) 2 - __ = 2 - __ e) __ + 2 = __ + 2 Intervenção reflexiva: Os valores que você preencheu no primeiro e no segundo membro de cada sentença foram sempre iguais? Por que? R: _____________________________________________________________


43

Intervenção exploratória: Continue preenchendo as lacunas a seguir mantendo sempre a sentença verdadeira. a) 2x__ = 2x __ b) 5x __ = 5x __ c) 4/__ = 4/__ d) __/2 = __/2 e) 3x __ = __x3

Intervenção reflexiva: Na questão anterior, os valores continuaram sendo iguais? SIM ( ) NÃO ( ) Intervenção reflexiva: Se você escolhesse outros valores para preencher as lacunas no primeiro membro, você poderia colocar algum valor diferente no segundo membro das sentenças? Justifique. R: _____________________________________________________________ Intervenção formalizante: Note que em cada uma das sentenças anteriores, você precisou colocar o mesmo valor em cada membro para poder manter a igualdade, pois havia a mesma operação sendo realizada nos dois lados. Quando se trata de adição e subtração de valores iguais chamamos este princípio de PRINCÍPIO ADITIVO DA IGUALDADE, quando se trata de multiplicação e divisão, chamamos de PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE.

• PRINCIPIO ADITIVO: Se você adiciona ou subtrai um valor de um membro de uma igualdade, a mesma operação deve ser realizada no outro membro.

• PRINCIPIO MULTIPLICATIVO: Se você multiplica ou divide um valor de um membro de uma igualdade, a mesma operação deve ser realizada no outro membro.

--------------------------------------------------------- UARC FECHADA!


44

1.3.2. Sequência para o Ensino de Função Seno

A segunda Sequência Didática aqui destacada foi produzido em

2019 pelo aluno Paulo Ferreira da Gama do Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática (PMPEM) na disciplina Ensino de Matemática I, a qual foi orientada pelo professor Dr. Natanael Freitas Cabral.

UARC 1: A FUNÇÃO DE EULER (conceito à redescoberta)

TÍTULO: Fio preso na roda gigante (alusivo à estratégia didática) OBJETIVO: Descobrir uma forma de associar um número real a um ponto no ciclo trigonométrico MATERIAIS: Apostila, papel, caneta. PROCEDIMENTOS: Ler o texto apresentado e responder as questões propostas [ Considere que em um parque de

diversões tenha uma roda gigante com raio medindo 8 metros, sendo A o ponto de embarque para o acesso às “gaiolas” em que ficam assentados os brincantes.

Em um sábado, uma criança planejou uma brincadeira a mais do que simplesmente “andar” de roda gigante: desejava enrolar o maior comprimento possível de um fio inextensível de tamanho infinito na circunferência da roda gigante.

Figura 1: Roda Gigante

Fonte: Bianchini e Paccola (1995, p.285)


45

Para isso, ela engatou uma extremidade deste fio no Ponto fixo A

(Figura 1) e à medida que a roda gigante se movia, o fio era enrolado na roda gigante. Considere que no início do movimento da roda gigante a criança esteja sentada no Ponto A e que seu movimento ocorra no sentido anti-horário.

Considere ainda, que toda

vez que o fio quebrava, a criança reiniciava a brincadeira sempre engatando o fio no ponto A. O Quadro 1 apresenta quantos metros o fio inextensível foi enrolado na circunferência até ele quebrar:

Quadro 1: Comprimento percorrido pelo fio até quebrar e arco formado

DISTÂNCIA PERCORRIDA ATÉ O FIO QUEBRAR

28 m

45 m

33 m

40,55 m

10 m Fonte: O autor (2019)

A partir desta situação, faça o que se pede: [ Considere que a distância percorrida pelo fio até quebrar esteja

associada a um número real , onde é o valor numérico desta medida.

Preencha O Quadro 2 com o valor do número real e o valor do arco

percorrido pelo fio até quebrar:

Quadro 2: Associando o comprimento a um número real

DISTÂNCIA PERCORRIDA ATÉ O FIO QUEBRAR

MEDIDA DO ARCO

(ATÉ O FIO QUEBRAR)

VALOR

DE

28 m

45 m

33 m

40,55 m

10 m Fonte: O autor (2019)

[Ie] Considere que no sábado seguinte a criança foi novamente ao parque de diversões para brincar na roda gigante. Porém, ao observar o


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movimento da roda gigante, a criança percebeu que ela es girando no sentido horário. A criança queria saber uma forma de descobrir o sentido do movimento da roda gigante a partir do valor do número associado ao comprimento do fio, já que em um sábado ela estava girando no sentido anti-horário e no outro, no sentido horário.

Entretanto. Ela tinha um problema: o número associado ao comprimento do fio inextensível era sempre positivo e a medida do arco associado a ele também, não interessando se o movimento da roda gigante se dava no sentido horário, ou no sentido anti-horário! Para tentar resolver este problema, a criança contou as duas situações ao seu tio, que era professor de Matemática, o qual criou as seguintes regras: Regra 1: Se a roda gigante estiver movendo-se no sentido anti-horário,

como ele é o sentido positivo, o valor de será positivo! Regra 2: Se a roda gigante estiver movendo-se no sentido horário, como

ele é o sentido negativo, o valor de será negativo!

[ Para descobrir se a criança conseguiu entender sua proposta, o tio dela considerou os dados do da questão 1 e atribuiu valores ao comprimento do fio do 2º sábado, conforme apresentado no Quadro 3. Preencha as colunas

referentes ao sinal associado a ao valor do número em cada caso:

Quadro 3: Proposta do tio da criança

SINAL ASSOCIADO VALOR DO

NÚMERO

SENTIDO HORÁRIO (1º SÁBADO)

28

45

33

40,55

SENTIDO ANTI-HORÁRIO (2º SÁBADO)

35,78

54,5

100,33

74,75

110 Fonte: O autor (2019)


47

[ Cada número real está associado a um único arco Justifique sua resposta.

[ Enumere a segunda coluna a partir da primeira, associando o número

real ao Arco respeitando-se o sentido indicado no ciclo trigonométrico: (I)

( )

(II) ( )


48

(III) ( )

(IV) ( )

[ Considerando as respostas dadas na questão anterior, se você tivesse

que associar o número a uma das extremidades do arco , a qual extremidade você associaria? Ao Ponto A ou o Ponto B? Justifique sua resposta. [ Cada número real está associado a um único ponto extremidade

do arco no ciclo trigonométrico? Justifique sua resposta.

[ A regra criada pelo tio da criança da roda gigante, que associa o

número real ao ponto , extremidade do arco pode ser

classificada como uma função? Justifique sua resposta.


49

---------------------------------------------------------------------UARC FECHADA! [ Pela função de Euler , em qual quadrante encontra-se o número

real:

a) x=-6 b) x=-3 c) x=5 d) x=1 e)


50

INTERVENÇÃO FORMALIZANTE 1

A FUNÇÃO DE EULER

Na Matemática existe uma função denominada de Função De Euler

( ) que relaciona o número real ao Ponto no ciclo

trigonométrico . O Ponto é extremidade do arco , que tem início na

origem dos arcos no ciclo trigonométrico (ponto A) e comprimento igual a .

A relação entre o número real e o comprimento do arco de

circunferência se dá da seguinte forma:

1) Se é um número real positivo, o arco deve estar no sentido

POSITIVO do ciclo trigonométrico:

2) Se é um número real negativo, o arco deve estar no sentido

NEGATIVO do ciclo trigonométrico:

Assim, a função . Isto quer dizer que a função

associa um número real a um ponto é denominado

de imagem de no ciclo trigonométrico mediante a função .

Outra representação para é: sendo o ponto referente à

extremidade do arco de medida .


51

UARC 2: IMAGEM E PERÍDO DA FUNÇÃO EULER

TÍTULO: Números diferentes na reta, pontos iguais no ciclo trigonométrico OBJETIVO: - Descobrir o que acontece com a imagem E(x) no ciclo trigonométrico quando os números reais diferem entre si por números inteiros de voltas

MATERIAIS: Apostila, papel, caneta. PROCEDIMENTOS: Ler o texto apresentado e responder as questões propostas [ Considerando a Função de Euler e

o número real indicado pelo Ponto B,

extremidade do arco (Figura 1) no

sentido anti-horário, faça o que se pede: [ A partir do Ponto indique no

Quadro 1 o ponto que representa no ciclo trigonométrico o número real apresentado em cada caso:

Figura 1: Número no ciclo

trigonométrico

Fonte: O autor (2019)

Quadro 1: Pontos no ciclo trigonométrico mediante a função


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NÚMERO DE VOLTAS

COMPLETAS

SENTIDO NO CICLO

TRIGONOMÉTRICO

NÚMERO REAL RESULTANTE

PONTO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

(

1 POSITIVO

1 NEGATIVO

2 POSITIVO

2 NEGATIVO

3 POSITIVO

3 NEGATIVO

4 POSITIVO

4 NEGATIVO Fonte: O autor (2019)

Os números e têm a mesma

imagem no ciclo trigonométrico? Caso sua resposta seja

afirmativa, como você justificaria isso? [ Existem números reais distintos que possuem a mesma imagem

no ciclo trigonométrico? Se a sua resposta for positiva, quando isso acontece?


Observe que a Função de Euler tem imagens que se repetem

cada vez que é somado vezes o valor de ao número . Isto

acontece porque quando esta soma é realizada, no ciclo trigonométrico é

dado uma volta completa e a imagem de acaba sendo a mesma do

número , , , , etc. Isto acontece também no

sentido anti-horário: A imagem de pela função E é a mesma para

, , ,etc. Em linguagem Matemática escrevemos:


53

[ Um piloto de Fórmula 1 percorre uma pista perfeitamente

circular. Após percorrer 500 metros, ele passa pelo ponto D pela primeira vez. Quantas voltas completas ele terá que percorrer para passar novamente pelo ponto D pela segunda vez? [ Qual o menor percurso a ser percorrido por este piloto para que

ele passe sempre pelo ponto D?

[ Você conhece outros exemplos de funções ou fenômenos que se

repetem (fenômenos periódicos)? Cite-os.


O que foi exposto na Intervenção Formalizante 2, indica que a

Função de Euler é uma função periódica, pois satisfaz a

seguinte definição:

Uma função é dita periódica se existe um número real tal

que, para todo e temos:

O menor valor de estritamente positivo em que ocorre é

denominado de PERÍODO de uma função periódica, representamos este

período simplesmente por .


54

UARC 3: A FUNÇÃO DE EULER E A RAZÃO TRIGONOMÉTRICA SENO

TÍTULO: PROJEÇÃO ORTOGONAL SOBRE O OEIXO OU

OBJETIVO: Descobrir uma relação entre a razão trigonométrica seno e a

função de Euler

MATERIAIS: Apostila, papel, caneta

PROCEDIMENTOS: Ler o texto apresentado e responder as questões

propostas

[ Você lembra da brincadeira a roda

gigante? Pois bem, considere que ela tenho sido representada no ciclo trigonométrico (Figura 1). Nela, foram representados os ponto de embarque/desembarque (ponto ) e

o ponto . Além destes pontos, o tio da

criança marcou nos eixos os pontos D e

C, respectivamente, formando os segmentos e Esses segmentos e são as

projeçoes ortogonais do ponto sobre os

eixos , respectivamente:

Figura 1: Ponto B e suas projeções


A partir das informações apresentadas e da figura acima, onde se tem o

triângulo ODB, retângulo em D, responda:

1) Os segmentos e têm o mesmo comrpimento?

2) Qual a medida do segmento ?

3) Utilizando a razão trigonométrica seno, investigue a relação existente entre o seno e o segmento .


55

UARC 4: PASSANDO PELO MESMO PONTO NA RODA GIGANTE TÍTULO: Passando pelo mesmo ponto na roda gigante OBJETIVO: Descobrir o que acontece com o seno dos números x e x+2kπ (k∈Z); descobrir se a relação que associa o número real ao valor do

é uma função.

MATERIAIS: Apostila, papel, caneta PROCEDIMENTOS: Ler o texto apresentado e responder as questões propostas [ Você lembra da brincadeira a roda gigante? Pois bem, o tio da criança

resolveu representar este brinquedo no ciclo trigonométrico em papel quadriculado utilizando uma escala na qual cada unidade do desenho equivale a 8m (raio da roda gigante).

A Figura 1 representa esta situação:


Sabendo que: e que , temos:

Logo:

O seno de um arco no ciclo trigonométrico é igual ao segmento ,

correspondente à projeção ortogonal do raio do ciclo trigonométrico

(com extremidade no ponto sobre o eixo .


56

Figura 1: Roda gigante

Fonte: Bianchini e Paccola (1995, p.285)

Assim, no ciclo trigonométrico (Figura 2) cujos eixos estão

graduados em 0,1, foram marcadas as imagens de nove números reais representados (pela função de Euler) pelos pontos

e O ponto de embarque e desembarque é o

Ponto .

Considere que os pontos pertencentes ao ciclo trigonométrico que estão acima do eixo sejam chamados de ALTURA e os pontos que estão

abaixo do referido eixo sejam chamados de PROFUNDIDADE.


57

Preencha o Quadro 1 conforme indicado na linha do ponto (pode ser

utilizado valores aproximados), onde é atribuído o sinal positivo à projeção ortogonal relacionada a ALTURA e o sinal negativo, caso esteja relacionado a uma PROFUNDIDADE:


58

Quadro 1: Pontos e suas coordenadas

Ponto Projeção

ortogonal do raio

sobre o eixo

Altura ou

profundidade?

Sinal

atribuído

Projeção

ortogonal com o sinal

atribuído

Ordenada do

ponto no

ciclo

trignométrico

profundidade


[ As projeções ortogonais com seu correspondente sinal de altura e

profundidade serão sempre iguais às ordenadas dos Pontos ? Justifique

sua resposta. [ Cada ponto do ciclo trigonométrico tem uma ordenada? Justifique.

[ Cada ponto do ciclo trigonométrico tem um seno? Justifique.

----------------------------------------------------------------- UARC FECHADA!


A ordenada de um ponto B no ciclo trigonométrico, imagem do número real ,

corresponde ao valor do seno deste ponto. Em outras palavras: dado um

número real , o seno dele é igual a ORDENADA dele no ciclo trigonométrico.


59

[ ] Na Figura 3 estão representados os arcos

cujas medidas são,

respectivamente, .

Determine: a)

b)

c)

d)

e)

Figura 3: Seno de um número no ciclo

trigonométrico



60

2. REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA: UM ENCAMINHAMENTO TEÓRICO A SEGUIR Na área da Educação Matemática muitos debates tem sido levantados acerca do processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Um dos enfoques de discussão refere-se a dificuldade de compreensão dos conteúdos e a importância de recorrer as diferentes representações semióticas de um mesmo “objeto” matemático. A teoria dos registros de representação semiótica foi idealizada pelo psicólogo Raymond Duval durante seus estudos no âmbito da psicologia cognitiva. Tal teoria foi divulgada a partir dos artigos publicados em 1988, os quais fundamentaram a obra de 1995 intitulada Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et appren-tissages intellectuels. Em nosso país, as pesquisas educacionais com essa perspectiva teórica tem sido propagadas entre os estudiosos e desse modo contribuído para a área da Didática da Matemática. Na Matemática, observamos que um determinado conteúdo pode obter diferentes tipos de representações. Duval (2003) indica por meio das representações semióticas, uma abordagem cognitiva no intuito de perceber as dificuldades dos alunos na compreensão da Matemática, bem como a natureza dessas dificuldades. O autor concebe que por meio do funcionamento cognitivo o discente é capaz de compreender, efetuar e controlar os diferentes processos matemáticos que lhes são apresentados. Segundo Duval (2003), a apreensão de um conceito matemático está relacionada a uma representação, a qual tem a função de comunicar e surgem relacionadas ao desenvolvimento de atividades matemáticas. Desse modo, o autor considera que a aprendizagem está vinculada na associação dos registros de representação semiótica de um conceito matemático. No estudo dos registros de representação semiótica, Duval (2010) indica que este propicia ao aluno compreender que um objeto matemático possui diferentes formas e que pode escolher uma de suas representações, a que considere viável, para resolver uma determinada situação, isto é, o discente pode escolher a representação que considera mais fácil para manipular diante de um problema a ser resolvido. A partir da diversidade de sistemas semiótico é importante distinguir um objeto de sua representação, com base em duas atividades cognitivas existentes entre ambos, a saber: a semiósis e a noésis. A semiósis refere-se à produção de representações semióticas, enquanto a noésis está


61

relacionada aos processos cognitivos ligados à apreensão conceitual dos objetos represe1ntados (DUVAL, 2009). Portanto, na visão de Duval (2009) não há noésis sem semiósis. Então, podemos considerar que quanto mais um sujeito mobiliza diferentes registros de representação do mesmo objeto matemático, maiores serão as chances de compreensão desse objeto. Os objetos matemáticos, em geral, são abstratos, por tal razão utiliza-se uma representação para sua assimilação. Desse modo, quando usamos gráficos, diagramas, tabelas ou expressões algébricas para representar, por exemplo, uma Função Afim temos a oportunidade de abranger diferentes Registros de Representação Semiótica. (DAMM, 2012) Para os diferentes tipos de representações semióticas na Matemática, Duval (2003) os designa de Registros de Representação, classificando-os em: Registro de Representação discursiva, são aqueles que possibilitam o discurso, isto é, a linguagem natural e os sistemas de escritas (número, algébrico e simbólico) e Registro de Representação não discursiva, são aqueles que permitem informações características desta representação, como os gráficos cartesianos. Como mencionado anteriormente, o autor indica que a diversidade de representações de um mesmo objeto matemático, possibilita o aumento das capacidades cognitivas do sujeito. Sendo assim, Duval (2003) concebe que para se entender como se dá a aquisição de um conceito por meio da mobilização e coordenação dos registros de representação, faz-se necessário compreender duas atividades cognitivas, a saber: o tratamento e a conversão. De acordo com o autor, o tratamento é a transformação de uma representação dentro de um mesmo registro, ou seja, é uma transformação interna a um registro. Para ilustrar, podemos citar como exemplo: efetuar um cálculo que permaneça no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números, resolver uma equação ou um sistema de equações. Por sua vez, a conversão, conforme aponta Duval (2003), é um tipo de transformação em que conserva-se os mesmos objetos matemáticos e modifica-se o registro, como por exemplo: a passagem da forma algébrica de uma Função, para a sua representação gráfica. Para o teórico, a atividade de conversão surge “... como atividade de transformação representacional fundamental, aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão”. (DUVAL, 2003, p. 18). Duval (2003) classifica as diversas transformações de conversão e tratamento, de acordo com o quadro destacada a seguir.


62

Quadro 1 - Classificação dos diferentes registros do funcionamento matemático

Fonte: Duval (2003, p. 14)

Em relação aos registros monofuncionais, Duval (2003) destaca que estes possibilitam estabelecer algoritmos para que uma determinada atividade seja realizada. Por sua vez, os registros multifuncionais, são aqueles tratados de forma não algoritimizável. Para exemplificar tais registros, podemos destacar como registros monofuncionais o algébrico e o gráfico. Quanto aos registros multifuncionais temos a língua materna e as figuras Duval (2003) assinala que os estudantes apresentam dificuldades em mudar de uma representação para outra uma vez que, na maioria das vezes, conseguem fazer tratamentos para um mesmo objeto matemático, em diferentes Registros de Representação. Todavia, como indica o autor, os discentes não conseguem realizar as conversões, as quais são importantes para a apreensão do objeto matemático. Na Matemática, os objetos são conhecidos por meio de suas representações, o que a torna diferente de outros domínios do


63

conhecimento científico, que apresentam a capacidade de utilizar a experimentação e a visualização (REIS, 2011). Portanto, conforme o referido autor, isso significa que o pensamento matemático está relacionado ao objeto e sua representação, isto é, para que ocorra a compreensão de um objeto matemático, é necessário conhecer e saber trabalhar com suas diferentes representações. Compreendemos, assim como pesquisadores da área da Educação Matemática, que estabelecer representações de um conteúdo matemático em diferentes Registros de Representação não é uma tarefa fácil. Dessa forma, interpretar corretamente a Matemática envolvida em diferentes situações, requer o reconhecimento da pluralidade desses Registros de Representação, bem como a articulação entre eles. Enfim, defendemos que o ensino de Matemática, subsidiado pelas ideias apregoadas por Raymound Duval, pode favorecer para uma aprendizagem em Matemática, uma vez que o aluno tem a possibilidade de mobilizar as diversas representações de um conceito e assim, compreendê-lo.

2.1. Os registros de representação semiótica e a construção de uma sequência didática

O amplo debate acerca de metodologias de ensino que viabilizem a compreensão de conhecimentos matemáticos, em particular destacamos o conceito de Função, abre caminho para o uso de sequências didáticas e ressalta sua eficácia no processo de ensino e aprendizagem no âmbito da Matemática.

Na perspectiva de Zabala (1998), a aplicação da sequência didática inclui três fases reflexivas: o planejamento, a aplicação e a avaliação. Como apregoa o autor, essa tríade possibilita que o professor esteja em constante reflexão e aperfeiçoes suas ações pedagógicas.

Cabral (2017), também contribui ao tratar da aplicação de sequências didáticas e destaca que os conjuntos de intervenções, realizadas passo a passo pelo professor, formam “elos de conhecimento”, isto é, gera uma aprendizagem significativa, pois existe uma interligação entre os conceitos apreendidos.

Ainda sobre as intervenções, o autor supracitado afirma que, de acordo com os princípios (de levar em conta os conhecimentos prévios dos alunos; o ensino centrado da problematização, interação e sistematização


64

dos saberes; atividades diversificadas, desafiadoras e estruturadas em nível de complexidade), a concepção destas é estimular uma participação ativa dos alunos, que possibilite a eles construir seu próprio conhecimento.

Desse modo, faz-se necessário que o objeto de ensino tenha significado em si mesmo, ou seja, é importante que o professor apresente os conteúdos de forma articulada com foco na exploração de regularidades – padrões sistémicos – que podem promover intuitivamente o estabelecimento de generalizações (CABRAL, 2017).

Com base na perspectiva de Zabala (1998) e Cabral (2017) temos incentivado no curso de Licenciatura em Matemática, ofertado na Universidade do Estado do Pará, a partir das disciplinas Instrumentação para o Ensino da Matemática I e II, a elaboração de Sequências Didáticas voltadas para o ensino fundamental e médio. Estamos convictos de que tais produções, aliadas com a teoria de Duval, são favoráveis no processo de formação inicial dos professores de Matemática, além de contribuir para a apreensão dos objetos matemáticos.

No próximo tópico, apresentaremos dois exemplos de Sequências Didáticas, uma elaborada para o ensino da Função Afim e outra para o ensino de tópicos da Matemática Financeira, ambas desenvolvidas por estudantes da graduação do curso de Matemática da UEPA. Tais sequências foram subsidiadas pela teoria de Raymound Duval, na qual consideramos que o aluno tem a possibilidade de apreender um conteúdo matemático por meio de suas múltiplas representações em Registros de Representações diferentes.

2.1.1.Sequência didática sobre Função Afim A seguir, destacaremos uma Sequência Didática para o ensino da

Função Afim, a qual foi produzida pelo discente Renan Marcelo da Costa Dias e orientada pela professora Drª Acylena Coelho Costa, durante a disciplina Instrumentação para o Ensino da Matemática II, no ano de 2018.

ATIVIDADE 1: CONHECENDO O CONCEITO DE FUNÇÃO


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Objetivos: • Descobrir a relação entre duas variáveis. • Converter as informações da linguagem natural para a tabela. • Converter as informações da linguagem natural para expressão

algébrica.

Material utilizado: Texto sobre o consumo de Pizza, Papel e Lápis

Conceitos Envolvidos: Quatro operações fundamentais, equações e conceito de Função.

Procedimentos:

TEXTO 1:

Dados disponibilizados pela Apuesp (Associação Pizzarias Unidas do Estado de São Paulo) a pizza se tornou o prato mais conveniente e acessível para toda a família econômica em épocas de crise. Paixão nacional, a pizza está presente no lar dos brasileiros, seja em uma comemoração, no domingo, e até na rotina semanal. Segundo levantamento realizado pela APUESP, diariamente são consumidas 1 milhão de pizzas no país, sendo 572 mil apenas em São Paulo – considerada como a segunda cidade que mais consome pizza no mundo - fica atrás apenas de Nova Iorque. Mesmo com a crise econômica, a pizza ainda é a opção mais barata para quem quer economizar, “O consumo de pizza é crescente, pois é uma refeição que possui um custo benefício melhor, em comparação a outros produtos”, diz Cedric Manzini, Presidente da APUESP. “Uma pizza que custa em média 30


66

reais, pode ser compartilhada entre 4 e 5 pessoas. No Brasil, existem 36 mil pizzarias em funcionamento – sendo 11 mil no estado de São Paulo. É um setor que gera 360 mil postos de trabalho, com faturamento em torno de 22 bilhões de reais por ano. Texto Adaptado: www.jb.com.br/cultura/noticias/2016/06/25/1-milhao-de-pizzas-

sao-consumidas-todos-os-dias-no-brasil/ <Acessado em 19/08/2018>.

Após a leitura do texto 1, responda as perguntas a seguir.

1) Com base no texto anterior, quanto custa uma pizza em média? __________________________________________________________ 2) Caso um cliente peça duas pizzas, quanto pagará no total? Justifique sua resposta. __________________________________________________________ 2) E se esse cliente pedir 3 pizzas? Quanto será o total? Justifique __________________________________________________________ Com base nas informações do texto 1, complete a tabela abaixo sobre Preço (P) e Quantidade (Q) de Pizzas e responda as questões abaixo.

Quantidade (Q) 4 5 7 9 10

Preço (P)

1) Se um cliente compra 5 pizzas, qual o total que deverá pegar?

Justifique. __________________________________________________________ 2) E se o mesmo cliente da questão anterior pedir mais 4 pizzas,

quanto deverá pagar? Explique seu raciocínio. __________________________________________________________


67

3) Você percebeu que a todo momento o ‘Preço’ muda de valor? Na sua opinião, qual relação causa essa mudança? Explique seu pensamento.

__________________________________________________________ 4) O que acontece quando se aumenta a quantidade de pedidos de

pizza? Justifique. __________________________________________________________ 5) O preço a ser pago pelas pizzas depende da quantidade pedida?

Como você chegou nessa resposta? __________________________________________________________ 6) Quando um acontecimento depende do outro, dizemos que esse

primeiro está em Função do segundo. Nesse caso quem está em Função de quem? Explique seu pensamento.

__________________________________________________________ 7) Qual a relação matemática que representa o preço a ser pago pela

quantidade de pizzas pedidas? __________________________________________________________

VAMOS

ENTENDER!!

A relação entre duas variáveis (quantidade (Q) e preço (P)) que

acabamos de descobrir, na Matemática chamamos de Função. Uma

função é a relação entre duas variáveis por meio de uma lei de

formação, na qual um elemento do primeiro conjunto (em nosso caso

quantidade (Q)) possui um único correspondente no outro conjunto

(em nosso caso preço (P)). Desse modo, dizemos que P está em

função de Q.


68

(ENEM-2009/adaptado) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo. O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

Número de bolas (x)

Nível de água (y)

4 6 cm

6 9 cm 8 12 cm

1) Quais as variáveis dessa situação? Por que? _________________________________________________________ 2) Qual variável depende da outra nesse exemplo? Justifique sua

resposta. __________________________________________________________ 3) Qual a expressão algébrica que representa essa relação? Explique

seu pensamento. __________________________________________________________

HORA DE APLICAR O

QUE APRENDEMOS


69

ATIVIDADE 2: CONHECENDO DOMÍNIO, CONTRA-DOMÍNIO E IMAGEM Objetivos: • Reconhecer domínio, contra-domínio e imagem de uma Função. • Converter as informações da linguagem natural para o diagrama. • Converter as informações da linguagem algébrica para o diagrama. Material utilizado: Texto sobre o consumo de Pizza, Papel e Lápis

Conceitos Envolvidos: quatro operações fundamentais, equações, domínio, contra-domínio e imagem, injetividade, sobrejetividade e bijetividade. Procedimentos: De acordo com a Função que você encontrou na atividade anterior, complete a figura a baixo, que relaciona a quantidade de Pizzas (Q) e preço a ser pago (P), e responda as perguntas.


70

1) Ainda de acordo com o Texto 1 sobre o consumo de pizza, quantas pizzas são possíveis de serem compradas por um cliente? Justifique sua resposta.

__________________________________________________________ 2) Quantas possibilidades de preços podem ser obtidas comprando-se

as pizzas? Explique seu raciocínio. __________________________________________________________ 3) Quando um cliente pedir qualquer quantidade de pizza, o preço que

ele pagará estará na tabela? Explique seu pensamento.

__________________________________________________________ 4) É possível dois clientes pedirem a mesma quantidade de pizza e

pagarem preços diferentes? Justifique sua resposta. __________________________________________________________ 5) Há alguma possibilidade de um cliente pedir certa quantidade de pizza e o preço a ser pago por essas pizzas não estiver na tabela? Justifique sua resposta. __________________________________________________________

VAMOS

ENTENDER!!

Nas atividades que realizamos vivenciamos algumas situações que

no ramo da Matemática são caracterizadas como Funções. Em

relação a primeira questão, o conjunto de todas as quantidades de

pizzas (Q) que podem ser compradas chamamos de Domínio.

Quanto à segunda questão, o conjunto de todas as possibilidades

de preços (P) chamamos de Contra-Domínio. E por fim, o

conjunto dos preços correspondentes a quantidade de pizza pedida

chamamos de Imagem. Desse modo, podemos afirmar que o

conjunto imagem está dentro do contra-domínio, ou seja,

Imagem Contra-Domínio.


71

Ainda sobre o que acabamos de verificar, em relação a 4º questão,

percebemos que não é possível dois elementos iguais do Domínio

(Q), possuir duas imagens diferentes (P), assim, denominamos a

função de Injetora (ou Injetiva). Caso haja essa possibilidade, ou

seja, domínios iguais gerando imagens diferentes, dizemos que a

função não é injetora (ou injetiva).

Vamos fazer um exemplo:

A Função f(x) = 10x é Injetora, pois para domínios diferentes haverá

imagens diferentes. Verifique!

Além disso, em relação à 5ª questão, percebemos que todos os preços a

partir da quantidade de pizza pedida (Imagem) estarão no conjunto do

contra-domínio. Quando isso ocorrer, ou seja, quando o conjunto das

imagens for igual o conjunto do contra-domínio, dizemos que a função é

Sobrejetora (ou Sobrejetiva). E quando a Função é Injetora e

Sobrejetora, dizemos que a Função é Bijetora (ou Bijetiva).


72

Em um laboratório científico, por medidas de armazenamento, a temperatura interna desse laboratório era sempre diferente da temperatura ambiente, a Função que expressa a temperatura no laboratório em relação a temperatura ambiente é dada seguir.

f: R → R/ f(x)= 2x

Outro exemplo:

Ainda sobre a função R → R f(x) = 10x, preencha o diagrama abaixo sabendo

que tal função só admite o conjunto dos números naturais.

Podemos observar que a Função não é sobrejetora, pois, embora o contra-

domínio seja o conjunto dos números reais, a imagem se limita ao conjunto

dos naturais.

HORA DE APLICAR O

QUE APRENDEMOS


73

Em relação a essa situação, responda: 1) Qual conjunto Numérico representa o Domínio dessa Função?

Justifique sua resposta.

__________________________________________________________ 2) Qual conjunto Numérico representa o Contra-Domínio? E a imagem?

Explique seu raciocínio.

__________________________________________________________ 3) Caso a temperatura ambiente esteja em 10º, a que temperatura

estará o laboratório? Como você chegou a essa resposta?

__________________________________________________________ 4) E se caso a temperatura ambiente esteja em -10º, a que

temperatura estará o laboratório? Justifique sua resposta.

__________________________________________________________ 5) Essa Função é classificada como injetora (ou injetiva)? Mostre seu

pensamento.

__________________________________________________________ 6) Essa Função é classificada como sobrejetora (ou sobrejetiva)?

Explique seu raciocínio.

__________________________________________________________ 7) Podemos classificar essa Função como bijetora (ou bijetiva)?

Justifique seu raciocínio.

__________________________________________________________


74

ATIVIDADE 3: RECONHECENDO A FUNÇÃO AFIM Objetivo:

• Converter as informações da linguagem natural para a linguagem algébrica.

Material utilizado: Texto sobre o consumo de Pizza, folha de atividade e Lápis. Conceitos Envolvidos: quatro operações fundamentais, equações e conceito de Função Afim. Procedimentos: Ainda sobre o texto do consumo de pizza, sabemos que geralmente são solicitadas as pizzas a partir de uma ligação ou ainda a partir de aplicativo de mensagens instantâneas, desse modo, a pizzaria realiza a entrega sob uma determinada taxa. Suponhamos que a pizza ainda custe R$ 30,00 reais, no entanto seja cobrada uma taxa de entrega no valor de R$ 5,00. Agora responda as seguintes questões: 1) Caso um cliente peça uma pizza, quanto pagará no total? Justifique

sua resposta.

__________________________________________________________ 2) E se esse cliente pedir 3 pizzas? Quanto será o total? Justifique

__________________________________________________________ VAMOS

ENTENDER!!


75

Uma empresa continha 1200 funcionário em 2013, em 2014 contratou mais 200 e em 2015 mais 200. As previsões eram de que fossem contratados a mesma quantidade de funcionários todos os anos, e para essa situação a equipe responsável desenvolveu uma relação na qual era possível verificar a quantidade total de funcionários a partir de 2013. Agora responda: 1) Qual é a taxa de variação? Justifique sua resposta __________________________________________________________ 2) Qual é a taxa fixa? Explique seu raciocínio __________________________________________________________ 3) Qual relação representa o número de funcionários (f) em Função do tempo (t) em anos a partir de 2013? Exponha seu pensamento _______________________________________________________

HORA DE APLICAR O

QUE APRENDEMOS

A relação que acabamos de descobrir nessa atividade ainda é uma

Função, nesse caso denominamos como Função Afim. Uma função

afim é toda função do tipo f(x) = ax + b, no qual a e b são números

reais com a diferente de zero. Chamamos a de coeficiente angular

ou taxa de variação e chamamos de b de coeficiente linear ou taxa

fixa.


76

4) Quantos funcionários há no ano atual nessa empresa? Justifique seu pensamento __________________________________________________________ 5) Qual a previsão do número de funcionários para o ano de 2020? Porquê? __________________________________________________________ 6) Podemos afirmar que a função que representa o número de funcionários (f) em função do tempo (t) em anos, é injetiva? Explique sua resposta. __________________________________________________________

ATIVIDADE 4: CONHECENDO GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM Objetivos: • Identificar o gráfico da Função Afim. • Converter as informações da linguagem natural para o gráfico. Material utilizado: Texto sobre o consumo de Pizza, Papel e Lápis Conceito envolvidos: plano cartesiano, pares ordenados, gráfico da Função Afim, coeficiente angular e coeficiente linear. Procedimentos: Ainda sobre o texto do consumo de pizza, digamos que o proprietário de uma pizzaria, para melhor visualizar a venda de pizza para entrega, resolveu desenhar um gráfico dessas vendas. Desse modo, considere o sistema cartesiano abaixo, sabendo que eixo x representa o domínio dessa função e o eixo y representa a imagem, trace o gráfico a partir dos pares ordenados correspondentes.


77

1) A quantidade de pizza está representada em que eixo? Explique. __________________________________________________________ 2) E o preço pago por pizza, está representada em que eixo? Justifique. __________________________________________________________

3) Qual seria a taxa de variação ou coeficiente angular? Porquê? _________________________________________________________ 4) Qual seria a taxa fixa ou coeficiente linear? Porquê? __________________________________________________________ 5) Caso a Função fosse f(x) = -10x + 5, qual seria a forma desse gráfico? Represente-o no sistema cartesiano a seguir.


78

6) Qual seria a taxa de variação ou coeficiente angular da Função f(x) = -10x + 5? Porquê? __________________________________________________________ 7) Qual seria a taxa fixa ou coeficiente linear da Função f(x) = -10x + 5? Justifique sua resposta. __________________________________________________________ 8) Qual a diferença entre a Função f(x) = 10x + 5 e f(x) = -10x + 5? Exponha seu pensamento? __________________________________________________________ 9) Qual a diferença entre os gráficos das funções anteriores? Explique seu raciocínio. __________________________________________________________ 10) Você consegue descobrir a relação entre os coeficientes angulares das Funções anteriores e seus respectivos gráficos? __________________________________________________________ 11) Ainda de acordo com a função f(x) = 10x + 5, represente no sistema cartesiano a seguir as imagens dos respetivos domínios {-2, -1, 0, 1 e 2}.


79

12) Qual o ponto em que a reta do gráfico ‘corta’ o eixo y? Justifique.

__________________________________________________________ 13) O ponto em que a reta do gráfico ‘corta’ o eixo y tem valor de qual componente da função f(x) = 10x + 5? Porquê?

__________________________________________________________ 14) O que podemos afirmar em relação ao coeficiente linear ou taxa fixa e o gráfico de uma Função Afim? __________________________________________________________


80

A partir do gráfico abaixo, afirma-se que a lei de formação linear que descreve a relação entre o volume cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é: 1) Ao observar o gráfico, o que podemos afirmar em relação ao a (coeficiente angular ou taxa de variação)? Justifique sua resposta.

__________________________________________________________

2) Ainda observando o gráfico, o que podemos afirmar em relação ao b (coeficiente linear ou taxa fixa)? Explique seu raciocínio. __________________________________________________________

A relação que acabamos de descobrir nessa atividade ainda é uma

Função, nesse caso denominamos como Função Afim. Uma função

afim é toda função do tipo f(x) = ax + b, no qual a e b são números

reais com a diferente de zero. Chamamos a de coeficiente angular

ou taxa de variação e chamamos de b de coeficiente linear ou taxa

fixa.

HORA DE APLICAR O

QUE APRENDEMOS

VAMOS

ENTENDER!!


81

3) A partir dessas análises, qual a relação Matemática entre o volume cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada? Justifique sua resposta. __________________________________________________________ VAMOS RELEMBRAR... Durante essas atividades, trabalhamos 4 atividades voltadas aos estudos das funções. Na primeira atividade, intitulada ‘Conhecendo o Conceito de Função’, verificamos que uma função é a relação entre duas ou mais ______ __, por meio de uma _____________, na qual um elemento do primeiro conjunto possui _______________ elemento correspondente no outro conjunto. Na segunda atividade, intitulada ‘Conhecendo Domínio, Contra-Domínio e Imagem, percebemos que os elementos do primeiro conjunto, em uma relação de função, são chamados de _____________; os elementos do segundo conjunto dessa relação são chamados _____________; e os correspondentes do primeiro conjunto que estão no segundo conjunto são chamados de _____________. Assim, descobrimos que o conjunto _____________ está contido no _____________. Ainda na segunda atividade, trabalhamos o conceito de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma função. Observamos que quando não é possível dois elementos iguais no domínio possuir duas imagens diferentes, temos uma função _____________, entretanto, quando há a possiblidade de elementos iguais do domínio possuir imagens diferentes, dizemos que essa função _____________. Além disso, descobrimos que quando o número de elementos do conjunto contra-domínio é igual ao número de elementos do conjunto imagem, dizemos que a função é Sobrejetora. E quando a função é injetora (ou injetiva) e sobrejetora (ou sobrejetiva) dizemos que essa função é _____________.


82

Na terceira atividade, intitulada ‘Reconhecendo a função afim’, percebemos que ela é um função cuja lei de formação é expressa como _____________, na qual chamamos o a de __________________________, número real e diferente de ________, e ainda chamamos o b, número real, de _____________. Na última atividade, intitulada ‘Conhecendo o gráfico da função afim’, descobrimos que o gráfico é uma ___________, na qual o valor de a (coeficiente angular ou taxa de variação) é responsável pelo _____________da função. Ou seja, para a > 0 (+), temos uma função afim _____________, com uma reta também _____________; para _____________, temos uma função afim _____________, com uma reta também _____________. Em relação ao b (taxa fixa ou coeficiente linear) de uma função afim, ele responsável pela _____________ (corte) no eixo y, ou seja, o valor que intercepta o eixo das ordenadas é o valor do ________________________.

2.1.2.Sequência didática para o ensino da Matemática Financeira Apresentaremos agora uma Sequência Didática para o ensino de

tópicos da Matemática Financeira, a qual foi elaborada pelos discentes Luiz Henrique Saraiva Miranda e Rômulo Duarte de Souza, cuja orientação foi realizada pela professora Drª Acylena Coelho Costa, durante a disciplina Instrumentação para o Ensino da Matemática II, no ano de 2018.

ATIVIDADE 1 TITULO: A porcentagem no planejamento familiar MATERIAL UTILIZADO: folha de atividade, caneta e calculadora. PROCEDIMENTOS: • Considere a seguinte situação:


83

Uma família de classe média, da cidade de Belém, Antônio Rangel, o pai, funcionário público, professor de História, na rede estadual de ensino, recebe mensalmente, R$6.636,00, valor líquido; casado com dona Marta Rangel, servidora pública, delegada da polícia civil do estado do Pará, recebe mensalmente o valor líquido de $11.864,00. Essa família é composta ainda, pelo Rafael Rangel, 21 anos, que estuda no curso de Engenharia Eletrônica, e está no terceiro ano da faculdade. Há, também, Soraia Rangel, 18 anos, cursa Odontologia, e está no segundo ano.

Para um melhor controle dos gastos familiares, Antônio Rangel coloca todas suas despesas em uma planilha, como indicado a seguir:

Gastos Mensais Valor (R$)

Faculdade Rafael 1.200,00

Faculdade Soraia 1.500,00

Parcela automóvel Antônio 870,00

IPVA Antônio 570,00

Parcela automóvel Marta 870,00

IPVA Marta 620,00

Supermercado 780,00

Combustível Antônio 650,00

Combustível Marta 400,00

TV e Internet 180,00

Plano de Celular Família 470,00

Cartão de credito 1.943,00

Lazer 350,00

Mesada Rafael 200,00

Mesada Soraia 200,00

Plano de saúde 2.182,00

Energia Elétrica 800,00

Água 90,00

TOTAL 13.875,00

Com base nas informações acima, responda as seguintes perguntas:


84

1.Quanto é a renda da família Rangel? _________________________________________________________ 2. A renda familiar é suficiente para pagar todos os gastos mensais? Justifique sua resposta _________________________________________________________ 2. Qual a porcentagem referente aos gastos mensais da renda familiar?

Apresente seus cálculos. _________________________________________________________

3. Depois de efetuar todos os pagamentos do mês quanto restou da renda

da família Rangel? Mostre sua resposta em porcentagem. _________________________________________________________

5. Ao considerar os gastos com a faculdade de Rafael e o combustível do Antônio são equivalentes à quantos porcentos da renda familiar? _________________________________________________________

6. Antônio, analisando os seus gastos, definiu que eles estavam muito altos. Portanto, pensou reduzir em 25% os gastos mensais. Em quantos reais será reduzido os gastos da família Rangel?

_________________________________________________________

7. Complete os valores das porcentagens na tabela a seguir:


85

Gastos Mensais Valor (R$) Porcentagem (%)

Faculdade Rafael 1.200,00

Faculdade Soraia 1.500,00

Parcela automóvel

Antônio

870,00

IPVA Antônio 570,00

Parcela automóvel

Marta

870,00

IPVA Marta 620,00

Supermercado 780,00

Combustível

Antônio

650,00

Combustível Marta 400,00

TV e Internet 180,00

Plano de Celular

Família

470,00

Cartão de credito 1.943,00

Lazer 350,00

Mesada Rafael 200,00

Mesada Soraia 200,00

Plano de saúde 2.182,00

Energia Elétrica 800,00

Água 90,00

TOTAL 13.875,00

ATIVIDADE 2

TITULO: Porcentagem em gráficos de setores OBJETIVO: Mostrar os dados de uma tabela na representação de um gráfico de setor. MATERIAL UTILIZADO: folha de atividade, caneta e calculadora. PROCEDIMENTOS:


86

Antônio Rangel após organizar os seus gastos mensais em uma tabela resolveu converter os dados da tabela para o gráfico para ter uma outra forma de analisar os gastos de sua família durante o mês.

Agora, complete o gráfico com a porcentagem dos gastos mensais que faltam:


87

Após você analisar o gráfico anterior, responda as seguintes perguntas: 1.Qual o maior gasto da Família Rangel? Justifique sua resposta. ________________________________________________________ 2.Qual a menor despesa da Família Rangel? Comente a partir do que

observou. _________________________________________________________ 3.Quem tem mais despesas com o automóvel? Antônio ou Marta? Explique

sua resposta. _________________________________________________________ 4.Quais os gastos são indispensáveis para a família Rangel? Comente sua

partir de sua vivência familiar. ________________________________________________________ 5.Os gastos indispensáveis listados acima correspondem a quantos

porcentos da despesa dessa família? Eles correspondem a maior parte dos gastos? Justifique sua resposta.

_________________________________________________________

ATIVIDADE 3

TITULO: Valor de aumento e de desconto

OBJETIVO: Resolver problemas envolvendo juros simples e porcentagem.

MATERIAL UTILIZADO: folha de atividade, caneta e calculadora.

PROCEDIMENTOS:


88

Ainda utilizando a tabela de custos da Família Rangel resolva a seguintes

questões:

1. A mensalidade da faculdade do Rafael vence dia 10 de cada mês, mas o

pai dele recebeu um desconto de 17% se for efetuado o pagamento até

o dia 5. Quantos reais o pai de Rafael vai pagar?

________________________________________________________

2. O pai de Soraia esqueceu de pagar a mensalidade da faculdade, devido

isso ele vai ter que pagar uma taxa de 5% a mais. Quanto ele terá de

pagar?

________________________________________________________

3. Devido ao atraso na parcela do cartão da família, eles tiveram que pagar

uma taxa extra de 10%. Qual o valor total a ser pago?

________________________________________________________

4. A família Rangel conseguiu economizar na energia esse mês, desse

modo conseguiram um desconto de 10% na mensagem de energia.

Quanto eles pagaram esse mês? Explique sua resposta

________________________________________________________

5. O plano de saúde da família Rangel teve um reajuste de 7%, o que

aumentou o valor a ser pago do plano. Qual o novo valor do plano de

saúde da família Rangel? Comente.

________________________________________________________

6. A família Rangel teve um aumento de 9% no plano de celular. Quanto eles terão que pagar agora pelo plano do celular?

________________________________________________________


89

3. COLETÂNEA DE SD’S PARA ANÁLISE DE CONSTRUÇÃO E VIABILIDADE DE NOVAS APLICAÇÕES

Destacaremos nesse capítulo uma coletânea de Sequências Didáticas

produzidas durante o processo de formação de discentes de um curso de Licenciatura em Matemática, no desenvolvimento das disciplinas de Instrumentação para o Ensino da Matemática I e II.

3.1. SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DO TEOREMA DE

PITÁGORAS

Título: Reconhecimento de triângulos retângulos OBJETOS CIRCUNSCRITOS: Ângulos OBJETIVO: identificar o triângulo Retângulo e seus elementos. PROCEDIMENTOS Considere os grupos de triângulos abaixo [Ii] Utilizando o transferidor indique as características dos grupos quanto

ao ângulo reto.


90

Ir- É possível que haja dois ângulos retos em um mesmo triangulo?

Justifique sua resposta. Ir- Nos triângulos que possuem um ângulo reto, quanto vale a soma dos

outros dois ângulos? Ir- Algum desses grupos de triângulos apresenta sempre triângulos com

um ângulo igual a 90º? Se sim, qual grupo? Ir- A partir dos Triângulos com o ângulo de 90º graus, qual a relação do

ângulo de reto com o maior lado desse triângulo? Ir - Qual é a relação do ângulo de 90° com os lados que o formam?


91

Ie - Identifique nos dois triângulos abaixo seus lados.

Ir - Há algum padrão quanto a classificação dos lados? Se sim qual? Assim, podemos concluir que um triângulo é aquele que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos (menores que 90°), para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). Em que o maior lado será a hipotenusa e os outros dois restantes os catetos.

Título: Teorema de Pitágoras (soma de áreas) OBJETOS CIRCUNSCRITOS: Cálculo de área OBJETIVO: Compreender o teorema de Pitágoras por meio de soma de áreas PROCEDIMENTOS


92

Construa com a régua em uma malha quadriculada, uma sequência de quadrados com lados iguais a 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm e 5 cm. Agora calcule as áreas dos cinco quadrados construídos. Reproduza os cinco quadrados em uma folha quadriculada, com as respectivas medidas usadas inicialmente e recorte cada um deles. Tentar formar um triângulo retângulo com os cinco quadrados que foram recortados, utilizando o lado de cada quadrado na formação dos triângulos, como na figura abaixo.

Dos cinco quadrados, quais são os que formam a figura do triângulo retângulo? E quais as medidas dos lados dos quadrados que formam esse tipo de triângulo Analise as áreas dos quadrados que conseguiram formar o triângulo retângulo. Há alguma relação entre elas? Se sim qual? Analise as figuras a seguir e verifique qual a relação das áreas dos quadrados?


93

Para a=12, b=13, c=5 Para c=10, b=8, c=6 Qual o padrão observado nas áreas acima? Assim, temos que o teorema de Pitágoras pode ser entendido como soma de áreas, ou seja, em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos, tendo a relação h² = C² + C². Utilizando a relação vista resolva a seguinte situação problema: Considere um terreno com formato retangular, de modo que um de seus lados mede 30 metros e o outro mede 40 metros. Assim será preciso construir uma cerca que passe pela diagonal desse terreno. Qual o tamanho da diagonal?

TÍTULO: Relações trigonométricas no triângulo Retângulo

OBJETOS CIRCUNSCRITOS: identificação dos elementos do triângulo retângulo, ângulos, semelhança de triângulos. OBJETIVO: Estabelecer as razões trigonométricas no triângulo retângulo. PROCEDIMENTOS


94

Considerando o triângulo abaixo classifique os lados os lados desse triângulo retângulo em catetos e hipotenusa.

[IR] Qual a relação de posição que há entre os lados que formam o ângulo β? [IE] faça a mesma verificação para o ângulo α, qual a relação de posição dos lados que formam o ângulo? Agora considere a figura abaixo:


95

A partir dos pontos na figura e do ângulo, podemos formar mais de um triângulo? se sim calcule: AD/AB = AF/AD = O que podemos dizer desses triângulos quanto à natureza? Agora utilizando a régua e uma calculadora simples, estabeleça as razões: BC/AC= DE/AE= FG/AG= Essa razão é chamada de seno de Â e indicamos por sen(Â) =2 Estabeleça as também as seguintes razões: AB/AC= AD/AE= AF/AG= Essa razão é chamada de cosseno de Â e indicamos por cos(Â) Por fim calcule as razões: BC/AB= DE/AD= FG/AF= Essa razão podemos chamar de tangente de Â e indicamos por tan(Â) Calcule o seno, cosseno e a tangente do ângulo β na figura seguinte.


96

A partir das intervenções feitas observamos as relações trigonométricas no triangulo, sendo elas seno que seria a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, cosseno a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa e por fim, a tangente a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

TÍTULO: Terno Pitagórico

OBJETOS CIRCUNSCRITOS: Calculo de área de um quadrado, semelhança de triângulos OBJETIVO: Mostrar o que são os ternos pitagóricos PROCEDIMENTOS Considere os dois grupos abaixo:


97

Algum dos grupos apresentam alguma regularidade? Se sim qual? Verificando os triângulos que apresentam a regularidade, como obtemos o segundo e o terceiro triangulo a partir do primeiro? Agora utilizando o teorema de Pitágoras, verifique para qual grupo ele é valido. Analisando a regularidade dos triângulos e a validade do teorema de Pitágoras para esses triângulos, o que se pode perceber? Assim podemos concluir que a relação da regularidade e da validade do teorema caracteriza um terno pitagórico, ou seja, terno pitagórico é uma sequência de três números inteiros que satisfazem ao Teorema de Pitágoras. E como vimos podemos obter esses ternos multiplicando os lados do triangulo por um número natural. Analisando os triângulos indique qual tem os ternos pitagóricos, e partir desses ternos obtenha mais dois ternos.


98

PROCEDIMENTOS Observe a imagem a seguir, sendo “b” a medida de AC e “c” a medida de AB

Em relação aos triângulos podemos dizer que estão inscritos ou circunscritos a circunferência? Assim qual será a medida do seguimento BD? O que podemos dizer em relação aos ângulos formados em D e A? Agora usando as relações trigonométricas, indique o seno do ângulo formado em D.

A partir da relação observada entre os ângulos Â e , qual o seno de Â?


99

Qual o seno dos ângulos formados em B e C, usando as mesmas relações do seno de Â? Observando os senos de A, B e C, qual a relação que se pode fazer entre o lado do triângulo e o seu respectivo seno? Há algum valor em comum as três relações entre lado e seno do angulo? Se sim qual? Iguale todas as relações a esse valor Como podemos observar todas relações tem um valor em comum, isso podemos chamar de lei dos senos. Agora utilizando a lei dos senos resolva a seguinte situação: Calcule a medida do lado x do triângulo abaixo sabendo que o ângulo oposto a ele mede 60°.


100

3.2. SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DOS NÚMEROS INTEIROS

UARC 5 – MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS (1ª PARTE) TÍTULO: Multiplicação de números inteiros com sinais iguais positivos e sinais diferentes. OBJETIVO: Descobrir a técnica para multiplicar números inteiros com sinais iguais positivos e sinais diferentes. MATERIAL UTILIZADO: Lápis ou caneta e ficha instrucional com a sequência didática [Intervenção Inicial – Modalidade Conexão Pontual] PROCEDIMENTOS Preencha o quadro abaixo de acordo com o modelo da primeira linha.

Quadro 12 - Multiplicação de Números Inteiros (1ª parte)

Soma Resultado Multiplicação Propriedade Comutativa

+ 5 + 5 +10 (+2)x(+5) (+5)x(+2)

+ 5 + 5+ 5

+ 5 + 5 + 5 + 5

+ 5 + 5 + 5 + 5 + 5

- 4 - 4

- 4 - 4 - 4

- 4 - 4 - 4 - 4

- 4 - 4 - 4 - 4 - 4 Fonte: Elaborado pelo autor

[Intervenção Reflexiva - 1] – De acordo com o quadro acima, a multiplicação de dois números positivos tem como resultado um número positivo ou negativo?


101

[Intervenção Reflexiva - 2] – E a multiplicação de um número positivo com outro negativo tem como resultado um número positivo ou negativo?

[Intervenção Avaliativa Restritiva - 03] – Calcule: a) (+4) x (+3) = b) (+3) x (+2) = c) (+5) x (-4) = d) (-2) x (+5) = e) (-7) x (+ 3) = f) (+9) x (+4) =

UARC 6 – MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS (2ª PARTE)

TÍTULO: Multiplicação de números inteiros com sinais iguais negativos OBJETIVO: Descobrir a técnica para multiplicar números inteiros com sinais iguais negativos. MATERIAL UTILIZADO: Lápis ou caneta e ficha instrucional com a sequência didática [Intervenção Inicial – Modalidade Conexão Pontual] PROCEDIMENTOS Preencha o quadro a seguir.

Quadro 13 - Multiplicação de Números Inteiros (2ª parte - A)


A UARC 5 nos revelou que a multiplicação de dois números inteiros com sinais iguais positivos e sempre positiva e a multiplicação de dois números inteiros com sinais diferentes e sempre negativa.


102

Operação = Resultado

+6 × (- 4) =

+5 × (- 4) =

+4 × (- 4) =

+3 × (- 4) =

+2 × (- 4) =

+1 × (- 4) =

0 × (- 4) = Fonte: Elaborado pelo autor

[Intervenção Reflexiva - 1] – O que acontece com o 1o fator quando se lê as operações de cima para baixo? [Intervenção Reflexiva - 2] – O que acontece com o 2º fator quando se lê as operações de cima para baixo? [Intervenção Reflexiva - 3] – O que acontece com o resultado quando se lê as contas de cima para baixo? [Intervenção Exploratória - 4] – Utilizando o mesmo padrão descoberto no quadro anterior, preencha o quadro abaixo.

Quadro 14 - Multiplicação de Números Inteiros (2ª parte - B)

Operação = Resultado

+6 × (- 4) =

+5 × (- 4) =

+4 × (- 4) =

+3 × (- 4) =

+2 × (- 4) =

+1 × (- 4) =

0 × (- 4) =

(-1) × (- 4) =

(-2) × (- 4) =

(-3) × (- 4) =

(-4) × (- 4) =

(-5) × (- 4) =

(-6) × (- 4) = Fonte: Elaborado pelo autor


103

[Intervenção Reflexiva - 5] - Com base no que você observou: Um número negativo multiplicado por outro número negativo dá um resultado positivo ou negativo? [Intervenção Exploratória – 6] - Preencha a segunda coluna do quadro abaixo informando se o sinal da multiplicação é positivo ou negativo.

Quadro 15 - Multiplicação de números inteiros (Regra de Sinais)

Multiplicação Sinal

(Número positivo) x (Número positivo)

(Número negativo) x (Número negativo)

(Número positivo) x (Número negativo)

(Número negativo) x (Número positivo)

Fonte: Elaborado pelo autor

[Intervenção Avaliativa Restritiva - 7] – Calcule: a) (-8) x (-3) = b) (-3) x (-2) = c) (-5) x (-7) = d) (-2) x (-5) = e) (-7) x (-3) = f) (-9) x (-4) =

UARC 7 – DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

TÍTULO: Divisão de números inteiros. OBJETIVO: Descobrir a técnica para dividir números inteiros.

INTERVENÇÃO FORMALIZANTE 6 A UARC 6 nos revelou que a multiplicação de dois números inteiros com sinais iguais negativos é sempre positiva.


104

MATERIAL UTILIZADO: Lápis ou caneta e ficha instrucional com a sequência didática [Intervenção Inicial] – Modalidade Conexão Pontual PROCEDIMENTOS Preencha o quadro abaixo, transformando uma multiplicação de números inteiros em duas divisões de números inteiros, conforme modelo inicial.

Quadro 16 - Divisão de números inteiros

Multiplicação Divisão (a) Divisão (b)

(+2)x(+3)= +6 (+6) (+2)=+3 (+6) (+3)=+2

(-2)x(-3)=+6

(-2)x(+3)=-6

(+4)x(+5)= +20

(-4)x(-5)= +20

(-4)x(+5)= -20

(+6)x(+7)= +42

(-6)x(-7)= +42

(-6)x(+7)= -42 Fonte: Elaborado pelo autor

[Intervenção Reflexiva - 1] – Analisando as divisões que apareceram na segunda e na terceira coluna do quadro acima, quando dividimos dois números inteiros com sinais iguais o resultado da divisão é positivo ou negativo? [Intervenção Reflexiva - 2] – E quando dividimos dois números inteiros com sinais diferentes, o resultado é positivo ou negativo? [Intervenção Exploratória – 3] - Preencha a segunda coluna do quadro abaixo informando se o sinal da divisão é positivo ou negativo.


105

Quadro 17 - Divisão de números inteiros (Regra de Sinais)

Multiplicação Sinal

(Número positivo) (Número positivo)

(Número negativo) (Número negativo)

(Número positivo) (Número negativo)

(Número negativo) (Número positivo)

Fonte: Elaborado pelo autor

[Intervenção Avaliativa Restritiva - 4] – Calcule:

a) (+4) (+2) = b) (+6) (+3) = c) (-10) (-5) =

d) (-12) (-2) = e) (-16) (+3) = f) (+9) (-3) =

3.3. SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE FRAÇÃO

Nesse tópico, apresentaremos parte de uma Sequência Didática

para o ensino da Fração, desenvolvida com a colaboração dos graduandos Adriano da Costa Cordovil e Vinycius Couto Pimentel. A elaboração dessa sequência foi desenvolvida na disciplina Instrumentação I, no ano de 2018 e orientada pela professora Drª Acylena Coelho Costa.

INTERVENÇÃO FORMALIZANTE 7 A UARC 7 nos revelou que a divisão de dois números inteiros com sinais iguais é sempre positiva e a divisão de números inteiros com sinais diferentes é sempre negativa.


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ATIVIDADE I: Fração como parte de uma figura ou objeto Objetivos:

• Compreender o conceito de Fração como parte de um todo; • Reconhecer a notação de Fração: Parte/Todo.

MATERIAL UTILIZADO: Folhas de papel A4 brancas, lápis de cor e caneta. PROCEDIMENTOS: No primeiro momento, distribuir folhas de papel A4, 4 folhas por aluno. Em seguida esclarecer aos alunos sobre a atividade, assim como sobre algumas nomenclaturas, tal como: estabelecer que o todo, são todas as partes iguais em que a folha será dividida pela dobradura, e a parte, a quantidade a ser pintada. TAREFA 1: Faça uma dobradura no centro da folha que você recebeu e pinte uma das partes dobradas. Em seguida responda: a) Em quantas partes iguais a folha de A4 foi dividida ao todo? __________________________________________________________ b) Quantas partes foram pintadas? __________________________________________________________

Represente agora a parte pintada da folha pela quantidade de vezes em que foi dividida.


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TAREFA 2: Agora faça uma segunda dobradura na folha (dobre-a ao meio novamente) e pinte uma das partes dobradas. Em seguida responda: a) Em quantas partes iguais a folha de A4 foi dividida ao todo?

__________________________________________________________

b) Quantas partes foram pintadas?

__________________________________________________________ Represente agora a parte pintada da folha pela quantidade de vezes em que foi dividida.

TAREFA 3: Consideremos nesse momento que a folha de papel A4 foi dividida em 16 partes iguais e que foram pintadas 9 dessas partes. Então, responda a seguir:

Represente essa situação na folha de papel A4. a) Em quantas partes iguais a folha de A4 foi dividida ao todo?

__________________________________________________________ b) Quantas partes foram pintadas?


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__________________________________________________________ Represente agora a parte pintada da folha pela quantidade de vezes em que foi dividida.

Tarefa 4: Com base nas tarefas que você realizou, responda as seguintes perguntas: a) Você percebeu algum padrão entre as partes pintadas? Explique

como compreendeu. __________________________________________________________ b) Você pode generalizar a notação que foi utilizada durante as

atividades? Justifique sua resposta. __________________________________________________________

AGORA VAMOS À MATEMÁTICA


109

A

Na atividade que realizamos utilizamos uma folha inteira para estabelecer o “todo”

e a quantidade a pintada, como a “parte”. Assim, representamos a parte pintada

da folha pela quantidade de vezes em que foi dividida pela notação:

Na matemática, podemos relacionar tal situação com o conceito de Fração. Desse

modo, dizemos a Fração é todo número racional na forma a/b, com b ≠ 0.

Também chamamos o número “a” de numerador e “b” de denominador, como

mostrado a seguir.

Assim, podemos relacionar com as atividades que realizamos a seguinte notação:

Veja alguns exemplos:


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ATIVIDADE II: Medindo a folha de papel

OBJETIVO: Compreender o conceito de Fração como medida. MATERIAL UTILIZADO: Folha de papel A4 e lápis de cor. PROCEDIMENTOS: No primeiro momento deve-se distribuir 5 folhas de papel A4 com quatro de comprimentos diferentes, a saber: 1 folha (A) com 24 cm 1 folha (B) de 15 cm 1 folha (C) com 10 cm 2 folhas inteiras (E e F) Em seguida, distribuir 4 tiras de papel coloridos de comprimentos diferentes (ver figura abaixo), como especificado a seguir: 1 (unidade) vermelha com 8 cm 1 (unidade) amarela de 5 cm 1 unidade verde com 4 cm 1 unidade preta de 3 cm 1 unidade azul com 2 cm

Fonte: os autores

Tarefa 1: Agora pegue a folha A e unidade vermelha e responda:


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a) Quantas vezes a unidade vermelha coube no lado da folha? __________________________________________________________ b) Qual o comprimento da folha? Como você chegou a esta conclusão? __________________________________________________________ c) Qual a fração que a unidade vermelha representa do comprimento da

folha? __________________________________________________________ d) O que você consegue perceber sobre o numerador e denominador? __________________________________________________________

Tarefa 2: Pegue a folha B e unidade preta e responda: a) Quantas vezes a unidade preta coube no lado da folha? __________________________________________________________ b) Qual o comprimento da folha? Como você chegou a esta conclusão? __________________________________________________________ c) Qual a fração que a unidade preta representa do comprimento da folha? __________________________________________________________ d) O que você consegue perceber sobre o numerador e denominador? __________________________________________________________ Tarefa 3: Agora pegue a folha C e unidade azul e responda: a) Quantas vezes a unidade azul coube no lado da folha? __________________________________________________________

b) Qual o comprimento da folha? Como você chegou a esta conclusão? __________________________________________________________ c) Qual a fração que a unidade azul representa do comprimento da folha?


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__________________________________________________________

d) O que você consegue perceber sobre o numerador e denominador? __________________________________________________________ Tarefa 4: A fração que representa a unidade verde do comprimento da folha é 1/3. A unidade verde tem 4cm de comprimento. a) Qual o comprimento dessa folha? __________________________________________________________ b) Como você chegou nessa conclusão? __________________________________________________________ Tarefa 5: A fração que representa a unidade amarela é ¼. A folha tem

20cm de comprimento. a) Quanto mede o comprimento da unidade amarela? __________________________________________________________ b) Explique o procedimento matemático que você adotou. __________________________________________________________

ATIVIDADE III: Divisão de unidades

OBJETIVO: construir o conceito de Fração como quociente a partir da ideia intuitiva de divisão. MATERIAL UTILIZADO: folha de papel A4 e tesoura sem ponta.

PROCEDIMENTOS:


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Solicitar aos alunos que se organizem em duplas e distribuir uma folha de papel A4 para cada dupla. Em seguida, orientar que as duplas cortem ao meio a folha de papel, ficando cada um com uma metade. Feito isso, orientar aos alunos que cortem sua metade em 18 quadrados pequenos de mesma medida. Nesse processo, o professor deve auxiliar os alunos e esclarecer possíveis dúvidas. TAREFA 1: Escreva com suas palavras o que aconteceu quando: a) A folha de papel foi cortada ao meio? __________________________________________________________ b) A metade da folha foi cortada em 18 quadrados pequenos? __________________________________________________________ TAREFA 2: Agora utilize os 18 quadrados que você confeccionou. Considere que cada quadrado que você tem em mãos é uma unidade. Desse modo cada um tem 18 unidades. Em seguida, junte as suas unidades com as de sua dupla. Agora, realize o que se pede: (Obs: todas as situações abaixo devem ser realizadas primeiro com os papéis e, em seguida, serem colocadas na forma escrita como se pede) a) Qual o total obtido ao se juntar as unidades? __________________________________________________________ b) Reparta o total de modo que um fique com o dobro do outro. Com

quantas unidades cada um ficou? Descreva, com suas palavras, como isso foi feito.

__________________________________________________________

c) Reparta o total de modo que um fique com o triplo do outro. Com quantas unidades cada um ficou? Descreva com suas palavras como isso foi feito.


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__________________________________________________________

d) Reparta o total de modo que um fique com cinco vezes a parte do outro.

Com quantas unidades cada um ficou? Em seguida, descreva com suas palavras como isso foi feito.

__________________________________________________________

e) Reparta o total de modo que um fique com oito vezes a parte do outro. Com quantas unidades cada um ficou? Descreva com suas palavras como isso foi feito. __________________________________________________________

TAREFA 3: Sabendo o total de unidades existentes, como você resolveria, de forma matemática (utilize números e operações matemáticas), cada uma das situações abaixo:

a) Reparta o total de modo que um fique com o dobro do outro. Com

quantas unidades cada um ficou? __________________________________________________________

b) Reparta o total de modo que um fique com o triplo do outro. Com quantas unidades cada um ficou? __________________________________________________________

c) Reparta o total de modo que um fique com cinco vezes a parte do outro. Com quantas unidades cada um ficou?

__________________________________________________________ d) Reparta o total de modo que um fique com oito vezes a parte do outro.

Com quantas unidades cada um ficou? __________________________________________________________

Na atividade que realizamos foi possível entender a Fração como uma

divisão ou seja, Fração como quociente. Nesse caso, o numerador

e denominador da Fração são números positivos.

AGORA VAMOS À MATEMÁTICA


115

3.4. SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIA

Aqui destacaremos parte de uma Sequência Didática para o ensino

de Análise Combinatória, desenvolvida em contribuição com Tatiana Leão Valadares Cardoso na produção de seu Trabalho de Conclusão de Curso em 2018, orientada pela professora Drª Acylena Coelho Costa.

ATIVIDADE I: Pegando o caminho certo.

OBJETIVOS:

• Desenvolver o cálculo de possibilidades por meio da organização das opções em forma de tabela.

• Estabelecer a noção de Princípio Multiplicativo. Material UTILIZADO: folha de atividade e caneta. PROCEDIMENTOS: Observe a situação abaixo.

a) De acordo com o mapa mostrado, complete a tabela e verifique quantos

trajetos distintos Jerry pode percorrer para chegar onde está o queijo.


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CAMINHOS

B1 B2 B3 B4

A1 A1/B1

A2

b) De que outra forma você representaria os possíveis caminhos, diferente da tabela? _______________________________________________________ c) De acordo a situação apresentada abaixo complete o esquema a seguir.

E verifique quantos caminhos diferentes Jerry pode percorrer até o queijo.

_______________________________________________________

Esquema:


117

d) O esquema completado acima é chamado de Diagrama de Árvore ou Árvore das Possibilidades. Agora organize os caminhos do item anterior em forma de tabela.

CAMINHOS

B1 B2 B3 B4


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A1

A2

e) Como você calcularia o número de trajetos apresentados nas duas

situações, sem a utilização do diagrama de árvore e da tabela, mas utilizando uma operação matemática? Qual operação matemática você utilizaria? Justifique sua resposta.

_______________________________________________

O estudo da Contagem, na Matemática, é realizado pela Análise Combinatória, que para alguns autores é considerada a “Arte de contar”. As situações apresentadas anteriormente envolvem o conteúdo chamado Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem (PFC).

Agora, conceitue o Princípio Multiplicativo e para isso, complete as lacunas abaixo, com base no que você observou nas atividades anteriores:

Conceito: Sejam dois conjuntos de naturezas distintas, designados de A e B. Se A tem m elementos e B possui n elementos, então o número de pares distintos que podemos formar com um elemento de cada conjunto é o produto mxn.

Retome as atividades anteriores e calcule o número de caminhos

possíveis nas duas situações apresentadas, para isso utilize o Principio Multiplicativo.

Vamos formalizar!

Vamos formalizar!!


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a)De acordo com o mapa mostrado, verifique quantos trajetos distintos Jerry pode percorrer para chegar onde está o queijo.

b)De acordo a situação apresentada verifique quantos caminhos diferentes Jerry pode percorrer até o queijo.

ATIVIDADE II: A escolha do lanche.

OBJETIVO:

• Identificar o uso do Princípio Multiplicativo numa situação do cotidiano.

MATERIAL UTILIZADO: folha de atividade e caneta. PROCEDIMENTOS: Leia a situação a seguir e responda as questões indicadas. Andreza foi a uma Lanchonete, e pretende montar o seu sanduíche escolhendo um tipo de pão de 15 cm, um tipo de queijo e um molho. As opções estão no quadro a seguir.


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a) Escreva, em forma de Diagrama de Árvore, as possibilidades de

sanduíches que Andreza pode montar. __________________________________________________________ b) Se Andreza tivesse a opção de escolher um tipo de pão, uma opção de

queijo e duas opções de molho, qual o número de possibilidades de sanduíches poderia montar?

__________________________________________________________ c) Como você calcularia o número de possibilidades, dos itens a e b, sem

escrevê-las e sem desenhar o diagrama de árvore ou tabela, mas utilizando uma operação matemática? Qual operação matemática você utilizaria? Justifique sua resposta.

__________________________________________________________


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ATIVIDADE II: Vamos formar anagramas?

OBJETIVO: • Deduzir o conceito de Permutação.

MATERIAL UTILIZADO: folha de atividade e caneta. PROCEDIMENTOS: Anagramas são palavras (que fazem ou não sentido) ou frases formadas pela transposição (troca) de letras de outra palavra ou frase. Exemplo: “Amor” é um anagrama da palavra “Roma”. Fonte: Dicionário Ediouro

a) Escreva todos os anagramas da palavra BIT.

_______________________________________________________

b) Como você calcularia o número de anagramas da palavra BIT sem lista-los? _______________________________________________________

c) Qual operação você utilizou? _______________________________________________________

Vamos formalizar!

Vamos formalizar!!


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A atividade anterior envolve o conceito de Permutação, que consiste na troca dos elementos de um determinado conjunto, entre si. Como no caso dos anagramas, ocorre a permutação das letras da palavra escolhida. O número de anagramas da palavra BIT, pode ser entendido como permutação de 3 elementos, que podem ser representados como P3 = 3 . 2 . 1= 6. Para simplificar a escrita usa-se o fatorial, que é representado por (!). Então temos que P3 = 3! = 3. 2. 1 = 6. Definição: Seja n um número natural diferente de 0, o Fatorial de n (representado por n!) é dado por:


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PARA CONCLUIR A produção do material aqui apresentado surge a partir de reflexões sobre a difícil tarefa acerca da formação de professores na expectativa de um desenvolvimento profissional, o qual foi possível a partir da convergência de nossos discursos, enquanto docentes de um curso de Licenciatura em Matemática, no respeito mútuo de nossas concepções teóricas, na proximidade de uma prática colaborativa e no desenvolvimento das disciplinas de Instrumentação para o Ensino da Matemática I e II.

Compreendemos que a disciplina Instrumentação para o Ensino da Matemática, presente no Desenho Curricular do curso de Licenciatura em Matemática, da Universidade do Estado do Pará, apresenta um lugar de oportunidade para reflexão acerca do caminho da pesquisa, importante no processo de formação inicial de professores de Matemática. Também, temos a convicção da necessidade de orientar os futuros professores de Matemática às condições de aprendizagem que surgem na sala de aula, nas quais deverão ser criativos mediante a diversidade de situações que se apresentarem em sua carreira docente.

Nosso propósito foi oferecer um material subsidiado teoricamente em pesquisas da área da Educação Matemática e que apresente viabilidade de execução no âmbito de sala de aula. Como avalia Costa (2006), faz-se necessário buscar metodologias inovadoras, pois os modelos tradicionais de ensino não atendem as atuais demandas.

Outro aspecto que aqui levantamos refere-se à qualidade da formação do professor, a qual vem sendo exigida com muita frequência pelas universidades em detrimento das transformações sociais para adequação ao mercado de trabalho.

Ao voltarmos nosso olhar para os cursos de Licenciatura em Matemática presentes em nosso país, percebemos que os mesmos visam formar profissionais para o ensino de Matemática, bem como para área da Educação Matemática. Além disso, contemplam três categorias de saber, sendo elas: disciplinar, pedagógico-disciplinar (elo entre pesquisas sobre ensino e sobre aprendizagem) e curricular.

As concepções teóricas de Cabral (2017) foram fundamentais para nortear a condução de nosso trabalho no processo de formação de professores. Concordamos com o autor quando destaque que é necessário estimular a percepção de regularidades e estabelecer generalizações. “Mesmo que essas generalizações não possam ser


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consolidadas com o rigor Matemático de um especialista, esse processo, que é parte integrante da natureza da própria disciplina, necessita ser estimulado no cotidiano de sala de aula” (p. 96).

Desse modo, esperamos ter contribuído de alguma forma para a formação de professores. Sabemos que temos muito a caminhar e nossa proposta ainda apresenta limitações. Estamos cientes de onde chegamos e até onde poderemos ir. Mas, a esperança nos inspira a cada dia na busca por melhorar nossa prática como docentes e também como pesquisadores.

Por fim, encerramos esse diálogo reiterando acerca da importância da pesquisa em nossas atividades acadêmicas, sobretudo para os futuros profissionais de Matemática. Compartilhamos do pensamento de que iniciativas como a nossa, estimulem a autonomia de futuros professores e os influenciem a mudar de postura em sala de aula.


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REFERÊNCIAS CABRAL, N. F. Sequências didáticas: estrutura e elaboração. Belém: SBEM/SBEM-PA, 2017. ___________. O papel das interações professor-aluno na construção da solução lógico-aritmética otimizada de um jogo com regras. 151 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática). Universidade Federal do Pará. Belém, 2004. DOLZ, J; NOVERRAZ, M; SCHNEUWLY, B. Sequências didáticas para o oral e a escrita: apresentação de um procedimento. In: Gêneros orais e escritos na escola. São Paulo: Mercado de Letras, 2004. DUVAL, R. Registros de representação semiótica e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: Machado, S. D. A. (org.). 4 ed. São Paulo: Papirus, p. 11-33, 2008. ________. Semiósis e pensamento humano: registro semiótico e aprendizagens intelectuais. São Paulo: Livraria da Física, 2009. LORENZATO, Sérgio. Laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006. RÊGO, T. C. Vygotsky: uma perspectiva histórico-cultural da educação. Petrópolis: Vozes, 1995. BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília, 2006. ZABALA, A. A prática educativa: Como ensinar. Tradução: Ernani Rosa. Porto Alegre: Artmed, 1998.


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DADOS SOBRE OS AUTORES

Natanael Freitas Cabral é formado em Licenciatura em Ciências pela

Universidade Federal do Pará (1985), Licenciatura em Matemática

pela Universidade Federal do Pará (1988), Bacharelado em Teologia –

Seminário Teológico Batista Equatorial (1994). Possui Mestrado em

Educação em Ciências e Matemática pela Universidade Federal do

Pará (2004) e Doutorado em Ciências Humanas – Educação Brasileira

pela PUC- Rio. Tem experiência na área de Educação, com ênfase em

Matemática. Foi professor da Rede Pública de Ensino Estadual

durante vários anos atuando nas Escolas Benjamin Constante,

Marechal Cordeiro de Farias, Pedro Amazonas Pedroso e Costa e

Silva. Sua maior experiência docente nos níveis de Ensino

Fundamental e Médio foi na Escola Tenente Rêgo Barros (ETRB)

onde atuou durante 36 anos exercendo em períodos distintos as

funções de coordenador do Laboratório de Educação Matemática

Inácio Pantoja (LEMIP), além da coordenação da Equipe de

Matemática. Na rede privada de Ensino pertenceu por quatro anos

como docente do Colégio Nazaré onde contribuiu efetivamente para

a reestruturação do Laboratório de Educação Matemática e professor

do Colégio GEO-Belém. Além disso, atuou como professor Adjunto

da Universidade da Amazônia (UNAMA) durante oito anos como

professor do Centro de Ciências Exatas e Tecnologia (CCTE)

ministrando para os cursos de Matemática, Engenharia Civil e

Engenharia Ambiental entre outros. Foi Presidente da Sociedade

Brasileira de Educação Matemática – SBEM/PA (2009) e exerce

atualmente docência na Universidade do Estado do Pará – UEPA

como professor Adjunto do Departamento de Matemática Estatística

e Informática (DEMEI) do Centro de Ciências Sociais e Educação

(CCSE).


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E-mail: [email protected]

Acylena Coelho Costa é licenciada em Matemática pela Universidade

do Estado do Pará. Possui mestrado em Educação Matemática e

doutorado em Educação Matemática pela PUC/SP. Foi 1º Tesoureiro

da Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM/PA (2008).

Atualmente é professora Assistente da Universidade do Estado do

Pará – UEPA e líder do Grupo de Pesquisa em Didática da

Matemática e Educação Matemática.


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Educação Matemática na Amazônia - Coleção - VI

Volume 1 – Ensino da matemática por meio da geometria dinâmica com o desmos.

Autores: Demetrius Gonçalves de Araújo, Fábio José da Costa Alves e Gilvan Lira Souza.

Volume 2 – A noção do raciocínio combinatório nos anos iniciais do ensino fundamental a partir

da teoria antropológica do didático.

Autores: Guilherme Motta de Moraes, José Carlos de Souza Pereira e José Messildo Viana Nunes.

Volume 3 – Educação Matemática e Educação Hospitalar: um paralelo entre o solo oncológico e

solo geométrico.

Autores: Marcos Evandro Lisboa de Moraes, Felipe Moraes dos Santos, Elielson Ribeiro Sales.

Volume 4 – Altas habilidades em matemática no contexto escolar: reflexões iniciais.

Autores: Maria Eliana Soares, Elielson Ribeiro de Sales e Edson Pinheiro Wanzeler.

Volume 5 – Pelas trilhas históricas do pesar e do medir.

Autora: Elenice de Souza Lodron Zuin.

Volume 6 – O uso de materiais manipuláveis e suas perspectivas na atividade matemática.

Autores: Fernando Cardoso de Matos, Reginaldo da Silva e Wellington Evangelista Duarte.

Volume 7 – O ensino de Frações por atividades.

Autores: Pedro Franco de Sá e Kamilly Suzanny Felix Alves.

Volume 8 – Criatividade na história da criação matemática: potencialidades para o trabalho do

professor.

Autor: Iran Abreu Mendes.

Volume 9 – Sequências didáticas: olhares teóricos e construção.

Autores: Acylena Coelho Costa e Natanael Freitas Cabral.

Volume 10 – Limite de uma função: História e atividades para o ensino

Autores: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias e João Cláudio Brandemberg.

Volume 11 – O ensino de fatoração algébrica por atividaes.

Autores: Glaucianny Amorim Noronha e Pedro Roberto Sousa da Silva.

Volume 12 – Medidas Lineares e de Superfície: um enfoque histórico e matemático.

Autores: Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha, Francisco Fialho Guedes Ferreira e Francisca Janice

dos Santos Fortaleza.

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SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS Olhares teóricos e construção · Projeto Gráfico e Diagramação: Demetrius Gonçalves de Araújo Dados Internacionais de Catalogação na Publicação