Embed Size (px)
Citation preview
APLICAÇÃO DA GEOMETRIA DESCRITIVANA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA
Ivanildo Fernandes Araujo1, Maria da Conceição Vieira Fernandes2
Universidade Federal da Paraíba1
Departamento de Engenharia MecânicaAv. Aprígio Veloso, 882, Campus Universitário – Bairro
Universitário58100-000 – Campina Grande - PB
Universidade Estadual da Paraíba2
Departamento de Matemática e EstatísticaCentro de Ciências e Tecnologia - Bodocongó
58100-000 – Campina Grande – [email protected]
Resumo. Este trabalho tem como objetivo principal, ilustrar como alguns princípios da GeometriaDescritiva podem ser aplicados na resolução de vários problemas em diversas áreas daEngenharia. Apresentamos alguns exemplos práticos e suas soluções gráficas, exemplos estesconstruídos a partir da experiência do dia-a-dia, outros adaptados de alguns autores e utilizadosem sala de aula como meio de dinamizar o ensino de GD.
Palavras Chave: Geometria Descritiva, Desenho Técnico, Exercícios Práticos.
1. INTRODUÇÃO
É muito comum ouvirmos em sala de aula os nossos alunos questionarem o porquê de se estudar determinadosassuntos dentro do programa de Geometria Descritiva. Eles buscam aplicações práticas destes conteúdos para o seucurso especificamente. Os exemplos aqui apresentados servirão para ilustrar como os princípios da GeometriaDescritiva podem ser aplicados para resolver vários problemas da Engenharia e outras áreas do conhecimento.
Apresentamos alguns exemplos práticos, tais como os casos da antena, da tubulação de ventilação, e outrosexemplos hipotéticos como os casos do aviãozinho, o caso da partida de futebol entre outros. Em todos os exemplosbusca-se explorar, o conteúdo exposto no item das definições teóricas, por meio de alguns exemplos e suas soluçõesgráficas, que poderão ter seus resultados confrontados, com os resultados que podem ser obtidos analiticamente emoutras disciplinas.
Estes exemplos foram construídos a partir da experiência do dia-a-dia, outros adaptados de alguns autores, eutilizados em sala de aula como meio de dinamizar o ensino de GD.
A metodologia consiste em apresentar os problemas em sala de aula após a exposição do conteúdo teóricorelativo ao assunto estudado; discutido os conceitos e esclarecidas as dúvidas remanescentes por parte do alunadopassa-se, então, a desenvolver os exercícios propostos pelo professor, usando como base o sistema de projeçãoortogonal. No fim de cada problema resolvido o aluno está com uma solução que serve de gabarito para sua práticaprofissional.
Determinados conceitos e abreviaturas aqui apresentados, não serão explicitados aqui, porque pressupõem oembasamento adquirido em diversas aulas anteriores, portanto é de conhecimento comum.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 Verdadeira Grandeza, Direção e Inclinação de Retas.
Nos exemplos apresentados, trabalharemos com dois métodos de determinação da verdadeira grandeza doselementos estudados, quais sejam:
- Determinação da Verdadeira Grandeza (VG) por Rotação.Este método consiste em conserva-se os planos de projeção dados e por um movimento de rotação desloca-se
a reta de maneira a torná-la paralela a um dos planos de projeção; sua projeção sobre esse plano determinará averdadeira grandeza procurada. Lobjois[1]
- Determinação da Verdadeira Grandeza por mudança de Plano de Projeção.Neste método, o objeto permanece imóvel e um Plano Auxiliar de projeção é colocado paralelo ao objeto no
espaço e perpendicular a um dos planos de projeções. A nova projeção obtida nesse plano será a verdadeira grandezaprocurada. Forseth [2] O método para se determinar a verdadeira grandeza de uma reta consiste em:
1. Se a reta não está ainda representada em verdadeira grandeza em qualquer uma das vistas conhecidas,traçar uma linha de interseção paralela a ela.
2. Projetar a reta através da linha de intersecção para obter a sua imagem em verdadeira grandeza.
Direção é o ângulo formado entre o norte (de frente para o plano vertical - PV) e a projeção horizontal da reta.É representada pelo símbolo “θ” (theta) e expressa em graus. A determinação do ângulo de direção consiste em medir oângulo entre o norte imaginário e a projeção horizontal da reta, a partir de sua origem, no sentido horário. Forseth [2]
Inclinação é o ângulo formado entre a reta e o plano horizontal de projeção. É representada pelo símbolo “Ø”(phi). É determinada em um plano de projeção perpendicular ao plano horizontal e que mostra a reta em verdadeiragrandeza. Neste plano o ângulo de inclinação estará também em verdadeira grandeza. Ref. [2]
O método utilizado para se determinar a inclinação de uma reta consiste em:1. Traçar um plano auxiliar paralelo à vista superior da reta dada.2. Projetar a reta através do plano auxiliar de projeção, obtendo sua projeção em verdadeira grandeza.3. Medir o ângulo formado entre a projeção em verdadeira grandeza da reta e a linha horizontal que
representa o eixo de intersecção entre os planos auxiliar e horizontal.
Projeção pontual de uma retal é a representação em um plano de projeção onde ela aparece como um ponto.Para que a projeção pontual de uma reta seja encontrada, deverá ser traçado um plano de projeção perpendicularmentea uma projeção da reta em verdadeira grandeza. Ref. [2].
O método utilizado para determinação da projeção pontual consiste em:1. Iniciar com uma projeção da reta em verdadeira grandeza.2. Traçar um plano de projeção perpendicular à reta em verdadeira grandeza.3. Projetar essa reta sobre o plano auxiliar de projeção para obter sua imagem pontual.
2.2 Ângulo entre Retas Concorrentes
O ângulo entre duas retas concorrentes é determinado em um plano de projeção onde encontramos as retas emverdadeira grandeza. Neste plano o ângulo também estará em VG. M..Herrero [3]
O método utilizado para determinação do ângulo entre duas retas concorrentes consiste em:1. Iniciar com uma projeção da reta em verdadeira grandeza.2. Traçar um plano de projeção perpendicular à reta em verdadeira grandeza.Projetar essa reta sobre o plano auxiliar de projeção para obter sua imagem pontual
2.3 Distância Perpendicular entre Duas Retas Reversas
Determinar a distância perpendicular entre duas retas reversas, consiste em se traçar uma terceira reta queseja perpendicular a estas duas retas. A Verdadeira Grandeza desta terceira reta será, portanto, a distância procurada.Wellman [4]
Assim, a distância perpendicular entre duas retas reversas, será obtida num plano de projeção que mostra umadas duas retas em projeção pontual. A partir de então, traça-se uma reta perpendicular à projeção da reta, passandopela projeção pontual da primeira reta, obtendo-se, assim, a distância entre elas. Em seguida, faz-se o alçamento dospontos da reta representante da distância, até os outros planos de projeção.
2.4 Ângulo Diedro
Denomina-se ângulo diedro ao ângulo formado por dois planos que se interceptam. Sua determinação se daráem um plano de projeção que mostre a projeção pontual da reta interseção e conseqüentemente os Planos em projeçãolinear. Nesta Projeção o ângulo poderá ser medido. S. M. Slaby [5]
2.5 Planificação
Consiste em estender a superfície lateral de um sólido sobre um plano sem sofrer nenhuma deformação pormartelamento. Ref. [1]
2.6 Perspectiva
Perspectiva é um desenho ilustrativo que mostra os objetos tais como se apresenta às vistas do observador.Denomina-se de Perspectiva Cilíndrica Ortogonal, ao sistema de representação no qual o objeto é colocado
com seus três eixos principais, oblíquos em relação ao plano de projeção em que por meio de uma projeção cilíndricaortogonal, obtém-se a representação deste objeto sobre o plano de projeção. I. F. Araújo [7]
3 APLICAÇÕES PRÁTICAS
Nesta seção mostraremos as aplicações práticas relacionadas a cada conteúdo apresentado no item 2.1 relativoà Fundamentação Teoria dos assuntos apresentados em sala de aula.
3.1 Verdadeira Grandeza, Direção e Inclinação de Reta
Caso da Antena
Uma antena de televisão tem altura igual a 45 metros, está amarrada por meio de quatro cabos, conforme mostra afigura 1. Pede-se determinar:
a) O comprimento de cada cabo;b) A direção e a inclinação dos cabos.
3.2 Ângulo entre Retas Concorrentes
O caso do jogo de futebol
No último jogo de futebol entre Brasil e Japão, na Copa das Confederações, aconteceu uma falta próxima agrande área do Japão. O atacante do Brasil, na posição “A”, cobrou uma falta sem barreira, fez com tal maestria que abola bateu na trave superior, no ponto “B” (definir onde você julgar conveniente), mas por sorte do goleiro, a bola caiuna posição “C” onde se encontrava um jogador japonês, que defendeu a bola. Supondo que a trajetória descrita pelabola seja retilínea (figura 2), pede-se:
a) Representar as projeções ortogonais do percurso da bola;b) Determinar o comprimento e ângulo entre as retas descritas pelo percurso da bola;
Figura 2 – Dados do problema
a’PVPH c’
b
ac
PA2
Figura 2a – Resolução do problema de ângulo entre Retas
a’PV
PH
b’
c’
PH
Ø=60o
PA1
b1
a1=c1
a2
b2
c2
a
c
b
VG
VG da Reta AEdeterminadas pormudança de plano
f'1
d1
d'1
c f
d
c1ØAC
a1
e1
e
a,b
a´
VG
ØAE
θθθθAE
VG da reta ADdeterminada por
rotação
PV
PH
PA1PH
c´ f´e´
d´
VG da reta ADdeterminadapor rotação
Figura 1a- Resolução do problema – Caso daAntena
Figura 1- Dados do problema.
f'1
c f
d
e
a,b
a´
PV
PH
c´ f´e´
d´ b'
3.3 Ângulo Diedro
Para exemplificar a determinação do ângulo diedro mostramos o caso do aviãozinho de papel.
Dadas as projeções vertical e horizontal do aviãozinho de papel, formado pelos planos ABC e ACD, pede-sedeterminar:
a) O ângulo entre as asas do avião;b) A visibilidade entre as arestas visíveis das asas.
3.4 Intersecção e Planificação de Sólidos
Problema do Tubo de Ventilação - adaptado de Ref. [5]
Na figura 5 os pontos A e B representam os centros de dois orifícios circulares, separados entre si, localizadosno piso do pavimento. Estes orifícios são para acomodar dois tubos de ventilação, cujas passagens dão fluxos de ar como pavimento superior. Os dois tubos são ligados entre si por meio de um tubo de ventilação simples, que é localizado,no pavimento inferior, em linha centralizado entre os furos A e B. A conexão é feita com 90 graus, na forma deramificação em Y. As vigas que suportam o piso são separadas entre si, o suficiente para que os tubos dêem acesso atéo piso. (os tubos devem ser centralizados entre as vigas).
Figura 5 - Perspectiva ilustrativa do problema – Caso do tubo de ventilação
A
C
B
Tubo de ventilação
Piso superior
Pisoinferior
Conexão em Y
Vigas
b’
c’
d’ a’
a b
c
d
PVPH
a1
b1
c1
d1
PA1
PH c2, a2
b2
d2
PA2PA1
Figura 4a – Resolução do Problema dedeterminação do ângulo diedro
Ângulodiedro
b’
c’
d’ a’
a b
c
d
PVPH
Figura 4 – Dados doProblema
VG
Desenhe uma ramificação em Y feita de lâmina de metal que satisfará as condições propostas e também sigaum afastamento entre os canos de ramificação e as vigas do pavimento.
Dados para o desenho proposto:1. Comprimento mínimo dos tubos dos ventiladores para admitir o afastamento entre os canos daramificação em Y e as vigas do pavimento.2. Linhas de intersecção entre os tubos e as componentes da ramificação em Y.3. Desenvolvimento das superfícies dos tubos e também dos componentes da ramificação Y que podem serfeitos por uma lâmina de metal.
Procedimentos
1. Desenhe um círculo correspondente ao diâmetro do furo com centro em A, B,e C, e complete a vista superiordos tubos de ventiladores.
2. Projete círculos para a vista superior dos tubos.3. Trace arcos dos cantos das vigas do compartimento para fixar o afastamento pedido.4. Desenhe linhas tangentes aos arcos com ângulo de 45º.5. Complete a vista frontal dos tubos e a ramificação em Y.
Linhas de Intersecção6. As linhas de intersecção entre os tubos de ventilação e os componentes da ramificação em Y podem ser
determinados pela interseção entre as geratrizes dos cilindros. Uma vez que os tubos e os componentes daramifica em Y são partes de cilindros como diâmetro, as linhas de interseção são curvas planas (as quais sãoelipses neste caso, vendo em cortes nas vistas). Quando as verdadeiras grandezas dos cilindros, são vistascomo linhas de intersecção, aparecem como linhas retas (o aluno pode provar isto por meio de uma linhaparalela aos planos para o eixo do cilindro determinando com isso a VG da secção).
Planificação dos cilindros7. Tomando como base as geratrizes dos cilindros em VG traçamos uma linha perpendicular a estas, e
retificamos as circunferências dos cilindros e o eixo médio da conexão em Y.8. Sobre esta retificação, traçamos, espaçadamente, as geratrizes com a distância real entre elas. Transportamos
os comprimentos das geratrizes, a partir de suas VG,9. Por fim traçamos as linhas curvas que descrevem as intersecções entre os elementos da conexão.
PV
PH
a´
c´
b´ Piso
Viga
a c b
Figura 6 – Dados do problema do tubo de ventilação
3.5 Perspectiva - adaptado de I.F. Araújo [7]
Para demonstrar este exemplo de perspectiva, tomamos como base uma peça, da figura 8. Representamos estesólido em suas vistas principais (PV e PH). Em seguida posicionamos o observador colocando o ângulo horizontal (θ =45º ou outro qualquer), observe que teremos quatro posições possíveis, no PH. Perceba que o observador estarposicionado no sentido das projetantes, formando ângulo de 45º com o PV. Projetamos as linhas visuais eposicionamos o plano auxiliar primário (PA1), perpendicular a estas linhas projetantes. Sobre as projetantestransportamos, as cotas de cada vértice do objeto, para o PA1. Contudo, a partir do PA1 o observador, também, podeassumir infinitas posições, onde usamos como exemplo, o ângulo vertical φ = 30º.
Para determinar a projeção do PA2, posicionamos o observador, medindo o ângulo vertical φ = 30º, com oeixo do PA1 e traçamos as linhas projetantes, no sentido do ângulo traçado, em seguida posicionamos o plano auxiliarsecundário (PA2), perpendicular a estas linhas projetantes e transportamos para este plano, as distâncias dos vértices doobjeto na projeção horizontal até o eixo do PA1.
Podemos, de maneira análoga, variar a combinação dos ângulos horizontal e vertical do observador, edeterminarmos uma perspectiva isométrica, dimétrica ou trimétrica.
Figura 7 –Solução do problema do tubo de ventilação
Desenvolvimento dasuperfície lateral do
cilindro CF
Desenvolvimento dasuperfície lateral do
cilindro EF= DFFabricar 2 peças
Desenvolvimento dasuperfície lateral do
cilindro AE =BDFabricar 2 peças
90º
4. REFERÊNCIAS
[1] C. H. Lobjois, Desenvolvimento de Chapas, Hemus, São Paulo: 1977. p. 3-19.[2] K. Forseth, Projetos de Arquitetura, Hemus Editora, SP: 1987, p. 22-45.[3] M. B. Herrero, Geometria Descriptiva Aplicada, Urmo, Servilla, Espanha: 1975, p. 13-48.[4] B. L. Wellman, Technical descriptive geometry. 2ª Edição, McGraw-Hill Book Company, New York, 1957, p.
585-605.[5] S. M. Slaby, Descriptive geometry, Barnes & Noble, Inc. New York, 1957, p. 245-240.[6] F. E. Gisecke, Technical drawing. sixth edition Collier Macmillan International Editions, Ltd. 1967, p. 85[7] I. F. Araujo, “Determinação das perspectivas cilíndricas ortogonais por mudança de plano de projeção,” in III
Congresso Internacional de Engenharia Gráfica nas Artes e no Desenho e no 14ª Simpósio de GeometriaDescritiva e Desenho Técnico, Ouro Preto, 2000.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com o desenvolvimento deste trabalho, pôde-se observar a contribuição que foi dada, no sentido de aumentara motivação e empenho dos alunos em sala de aula, demonstrando que a Geometria Descritiva não constitui puraabstração na mente dos professores que a ensinam. Os exemplos aqui apresentados demonstram a relação do conteúdoda disciplina com aplicações práticas e concretas, na realidade da vida profissional do Engenheiro.
A principal contribuição deste trabalho foi a dinamização das atividades em sala de aula, tornando-as maispróximas da realidade prática, contribuindo com o aumento do nível motivacional dos alunos em estudarem eaprenderem Geometria Descritiva para uma melhor formação do Engenheiro.
2
PHPV
PA1PA2
Z
X
Y θ = 45°
Ø=30°
PHPA1
Figura 8: Perspectiva de uma peça - θ = 45°, Ø=30°
1
2
1
APLICATION OF DESCRIPTIVE GEOMETRY FOR SOLVING PROBLEMSOF ENGINEERING
Abstract..This paper has as principal goal, how we can aplicate a few principals of DescriptiveGeometry for solving problems in various areas of knowledge. We show a few practical examples andgraphical solutions, these examples were created with the day and day experience, other were adaptedfrom other people and used in classroom with the intuition to dynamize the Descriptive Geometrylearning.
