Aula 12 - Cap 17 Nilson - Series de Fourier

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Cap 17 – Séries de Fourier - IntroduçãoCap 17 – Séries de Fourier - Introdução

MotivaçãoMotivação

Interesse em funções periódicas:(a) Muitas fontes de energia elétrica de interesse prático geram formas de ondas

periódicas:retificadores de onda completa e meia onda alimentados por senóides;geradores varredura para controle de feixe eletrônico de tubos deimagem (osciloscópios ou televisões);osciladores eletrônicos para testes de equipamentos;geradores síncronos (geradores de energia elétrica), embora projetadospara produzirem ondas senoidais, na prática, não conseguem gerarondas senoidais perfeitas, embora as ondas geradas sejam periódicas.

(b) Qualquer não linearidade em um circuito elétrico submetido a excitaçãosenoidal dá origem a uma função periódica não senoidal.

(c) Funções senoidais periódicas aparecem em outros ramos da engenharia

Interesse na análise de circuitos senoidais: esta análise permite investigar aresposta estacionária dos circuitos a qualquer excitação periódica, mesmo que afunção de excitação não seja senoidal.

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( )1

( ) cos seno n o n on

f t a a n t b n tω ω∞

=

= + +∑

onω harmônicos de f(t) (n é número inteiro maior que 1)

Seja f(t) uma função periódica, de período fundamental T. O matemático francêsJean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descobriu que funções periódicas podem

ser expressa como uma série infinita de funções trigonométricas na forma:

onde

2o T

πω = freqüência angular fundamental em rad/s

a0, an e bn são os coeficientes de Fourier da função f(t)

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1) f(t) deve ser unívoca (monovaloridade);

2) f(t) deve ter um número finito de descontinuidades em um intervalo periódico;

3) f(t) deve ter um número finito de máximos e mínimos no intervalo periódico;

4) A integral existe.( )o

o

t T

t

f t dt+

∫

Condições suficientes para expressar f(t) como Série de Fourier(Condições de Dirichlet: condições suficientes, mas não necessárias)

Condições suficientes para expressar f(t) como Série de Fourier(Condições de Dirichlet: condições suficientes, mas não necessárias)

( )( )período da fundamental

f t f t nTT

= +⎧⎪⎨

→⎪⎩

Funções periódicas:Funções periódicas:

A função f(t) é uma função periódica, de período fundamental T quando

4

Coeficientes de FourierCoeficientes de Fourier

( )1 o

o

t T

ot

a f t dtT

+

= ∫

Efeitos da simetriaEfeitos da simetria

Se f(t) = f(–t) então f(t) é uma função parSe f(t) = f(–t) então f(t) é uma função par

( ) ( )2 seno

o

t T

n ot

b f t n t dtT

ω+

= ∫( ) ( )2 coso

o

t T

n ot

a f t n t dtT

ω+

= ∫


bn = 0bn = 0

Se f(t) = –f(– t) então f(t) é uma função ímparSe f(t) = –f(– t) então f(t) é uma função ímpar an = 0an = 0

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( ) ( ) ( )0 0

1 20 ; cos 0 ( )T T

o g n g o ga v t dt a v t n t dt v t é ímparT T

ω ⎡ ⎤= = = ⋅ = ⎣ ⎦∫ ∫

Série de Fourier da entrada vg(t)Série de Fourier da entrada vg(t)

( ) ( ) ( ) ( )2

0 0

2 42 4sen sen 1 cos ( )TT

m mn g o m o

V Vb v t n t dt V n t dt n n ímparT T n n

ω ω ππ π

= ⋅ = ⋅ = − =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )

4 sen( ) sen m og n o

n impar n impar

V n tv t b n tnωω

π

∞ ∞

= =∑ ∑

( )gv tCjω

1 ( )ov tToπω 2

=gv

Desta forma:

Cap 17 – Séries de Fourier - AplicaçãoCap 17 – Séries de Fourier - Aplicação

Determinar a tensão no capacitor em regime estacionário v0(t)Determinar a tensão no capacitor em regime estacionário v0(t)

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Utilizando o Teorema da superposição(Resposta total é a soma das respostas para cada freqüência)

Utilizando o Teorema da superposição(Resposta total é a soma das respostas para cada freqüência)


1( ) 1

1( ) 1o

g

V j j CV j j RCR j C

ω ωω ωω

= =++

( )1

2 2 2

1( ) ( )1

( )tan

1g

o g

V jRV j V j

j R CCC

Rω ω

ωω

ωω

−∠+

= =+

( )gv t 1j Cω ( )ov t

7

Resposta para a freqüência fundamental:Resposta para a freqüência fundamental:

Resposta para o 3º harmônico:Resposta para o 3º harmônico:


1

4V 0º

1

m

oo

Vj RCπω

⎛ ⎞∠⎜ ⎟⎝ ⎠=+

( )

( )

1 12 2 2

11

4V( ) sen1

tan

mo o

o

o

v t tR C

R C

ω βπ ω

β ω−

⎧ = −⎪ +⎨⎪ =⎩

3

4V 0º31 3

m

oo

Vj RCπω

⎛ ⎞∠⎜ ⎟⎝ ⎠=+

( )( )

( )

3 32 2 2

13

4V( ) sen 33 1 3

tan 3

mo o

o

o

v t tR C

R C

ω βπ ω

β ω−

⎧ = −⎪⎪ +⎨⎪

=⎪⎩

14( ) senm

g oVv t tωπ

=

34( ) sen 33

mg o

Vv t tωπ

=

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Resposta para o n-ésimo harmônico (n ímpar):Resposta para o n-ésimo harmônico (n ímpar):

Utilizando o Teorema da Superposição vem que:Utilizando o Teorema da Superposição vem que:

( )∑∞

+

−=

)( 22221

senV4)(imparn o

nomo

CRnn

tntvω

βωπ


4V 0º

1

m

ono

nV

jn RCπω

⎛ ⎞∠⎜ ⎟⎝ ⎠=+

( )( )

( )

2 2 2

1

4V( ) sen1

tan

mon o n

o

n o

v t n tn n R C

n R C

ω βπ ω

β ω−

⎧ = −⎪⎪ +⎨⎪

=⎪⎩

4V( ) senmgn ov t n t

nω

π=

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Forma alternativa da Série de FourierForma alternativa da Série de Fourier

Cap 17 – Séries de Fourier – Forma AlternativaCap 17 – Séries de Fourier – Forma Alternativa

( ) ( )1

coso n o nn

f t a A n tω θ∞

=

= + −∑onde An e θn são definidos pela expressão complexa

2 2 1tan nn n n n n n

n

ba jb a b Aa

θ− ⎛ ⎞− = + ∠− = ∠−⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )0 0 0 0 0 01 1

( ) cos sen cos cos 90n n n nn n

f t a a n t b n t a a n t b n tω ω ω ω∞ ∞

= =

= + + = + + − °∑ ∑

ProvaProva

Escrevendo os termos dentro do somatório na forma de fasores, vem que:

( )

0 01 1

0 0 01 1

( ) 0 90

cos

n n n nn n

n n n nn n

f t a a b a a jb

a A a A n tθ ω θ

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

= + ∠ °+ ∠− ° = + − =

= + ∠− = + −

∑ ∑

∑ ∑

10

De uma maneira geral:

( )

( )

1

1

( ) cos

( ) cos

dc n o vnn

dc n o inn

v t V V n t

i t I I n t

ω θ

ω θ

∞

=

∞

=

⎧ = + −⎪⎪⎨⎪ = + −⎪⎩

∑

∑

Cap 17 – Séries de Fourier – Cálculo da PotênciaCap 17 – Séries de Fourier – Cálculo da Potência

Potência Média de Funções PeriódicasPotência Média de Funções Periódicas

Desta forma

1 ( ) ( )o

o

t T

t

P v t i t dtT

+

= ⋅∫( )

1cos

2n n

dc dc vn inn

V IP V I θ θ∞

=

= + −∑

( )( ) ( )1

cosdc dc rms n rms n vn inn

P V I V I θ θ∞

=

= + −∑ou seja, é possível o cálculo rápido da potência média quando se dispõe da tensãoe da corrente na forma modificada da Série de Fourier.

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Valor RMS de Funções PeriódicasValor RMS de Funções Periódicas

Desta forma

222 2

1 12 2n n

rms o on n

A AY a a∞ ∞

= =

⎛ ⎞= + = + ⎜⎝ ⎠

∑ ∑

Cap 17 – Séries de Fourier – Cálculo da PotênciaCap 17 – Séries de Fourier – Cálculo da Potência

( )21 o

o

t T

rmst

Y y t dtT

+

= ∫ ( ) ( )1

coso n o nn

y t a A n tω θ∞

=

= + −∑sendo

Seja um sinal genérico periódico y(t). Para este sinal tem-se que

ou seja, o valor RMS de y(t) pode ser expresso em termos dos coeficientes daSérie de Fourier.

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Cap 17 – Séries de Fourier – Forma ExponencialCap 17 – Séries de Fourier – Forma Exponencial

Forma exponencial da Série de FourierForma exponencial da Série de Fourier

( ) ∑∞

−∞=

=n

tjnn

oeCtf ω ( )1 o

o

o

t Tjn t

nt

C f t e dtT

ω+

−= ∫onde

ProvaProva

01

01

01

( ) cos sen

2 2

2 2

o o o o

o o

n o n on

jn t jn t jn t jn t

n nn

jn t jn tn n n n

n

f t a a n t b n t

e e e ea a bj

a jb a jba e e

ω ω ω ω

ω ω

ω ω∞

=

− −∞

=

∞−

=

= + + =

+ −= + + =

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑

∑

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( )1 ; 1,2,3,...2 2

nn n n n

AC a jb nθ= − = ∠− =

Definindo Cn como

e utilizando as expressões para an e bn, vem que

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 2cos sen2

1 cos sen

o o

o o

o

o

t T t T

n o ot t

t T

o ot

C f t n t dt j f t n t dtT T

f t n t j n t dtT

ω ω

ω ω

+ +

+

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

∫

Ou seja, os coeficientes Cn vão ser da forma:

( )1 o

o

o

t Tj n t

nt

C f t e dtT

ω+

−= ∫

válido inclusive para C0 .

14


( ) ( )*1 12

o

o

o

t Tj n t

n n n nt

C f t e dt C a jbT

ω+

− = = = +∫

Em seguida observa-se que

Desta forma

Ou seja

( )

01

* *0

1 0 1

0 1 0 1

( )2 2

o o

o o o o

o o o o

jn t jn tn n n n

n

jn t jn t jn t jn tn n n n

n n n

jn t jn t jn t jn tn n n n

n n n n

a jb a jbf t a e e

C C e C e C e C e

C e C e C e C e

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

∞−

=

∞ ∞ ∞− −

= = =

∞ ∞ ∞ −∞−

−= = = =−

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + = + =

= + = +

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

( ) ojn tn

n

f t C e ω∞

=−∞

= ∑ onde ( )1 o

o

o

t Tj n t

nt

C f t e dtT

ω+

−= ∫

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