DESENVOLVIMENTO DE UM COMBINADOR LINEAR DE FOURIER …

DESENVOLVIMENTO DE UM COMBINADOR LINEAR DE FOURIER PARA DETECÇÃO DE

SINAIS DE TENSÃO

ODAIR DE BARROS JR, LUCAS F. ENCARNAÇÃO, ANSELMO F. NETO

Laboratório de Eletrônica de Potência e Acionamentos Elétricos, Departamento de Engenharia Elétrica,

Universidade Federal do Espírito Santo

Caixa Postal 9011, 29075-910, Vitória, ES, BRASIL

E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]

AbstractThis paper proposes a new method for detection of phase, frequency and amplitude of a signal from the power grid.The

Fourier Linear Combiner is the basis of this new method, commonly used in bioengineering systems for estimation and elimination

of human tremor.The Fourier linear combiner employs the concept of Fourier series to perform the estimation. During this work, it develops an adaptation of this algorithm to the area of power systems.

KeywordsPhase Locked Loop (PLL), Fourier Linear Combiner (FLC), phase detection, estimation of signals, estimation of

power systems.

ResumoEste artigo apresenta uma proposta de um novo método para detecção de fase, frequência e amplitude de um sinal

proveniente da rede elétrica. O Combinador Linear de Fourier é a base deste novo método, habitualmente utilizado em sistemas de

bioengenharia para estimação e eliminação de tremores humanos. O Combinador Linear de Fourier utiliza o conceito das séries de Fourier para realizar a estimação do sinal de entrada. Durante este trabalho, será desenvolvida uma adaptação deste algoritmo para

a área de sistemas de energia.

Palavras-chaveSincronizador de rede elétrica, Combinador Linear de Fourier (FLC), detecção de fase, estimação de sinais,

estimação de sistemas de energia.

1 Introdução

O avanço das técnicas computacionais e de con-

trole têm beneficiado a diversas áreas da engenharia.

Notadamente, na Eletrônica de Potência, a capacidade

de análise e velocidade de resposta tem garantido o

desenvolvimento de sistemas mais robustos e confiá-

veis.

Com o crescimento das técnicas de processa-

mento de energia, aumenta-se a necessidade de cons-

trução de códigos de detectores de tensão ou PLLs

(Phased Locked Loop) que atendam as mais diversas

características e necessidades da rede elétrica, man-

tendo a robustez e confiabilidade citadas.

UmPLL consiste em um algoritmo que a partir de

uma amostra da tensão da rede elétrica, pode determi-

nar a amplitude, fase e frequência da componente fun-

damental da tensão.

Diversas são as aplicações que podem ser atribu-

ídas à PLLs, como aplicações de microrredes para a

sincronização e acoplamento dos diversos pontos de

geração e consumo. Em filtros ativos, o PLL é essen-

cial para eliminação de harmônicos.

Diversas técnicas de detectores estão estabeleci-

das na literatura, tais os baseados em Teoria pq ou

EPLL (Rolim, 2006), os baseados em notchs adaptati-

vos ou qPLL (Karimi,2004) em SOGIs (Second Order

Generalized Integrators) (Rodríguez, 2008) e outras,

como Costa (2012). Porém, sempre é importante o de-

senvolvimento de novas formas de detecção da rede

elétrica, a fim de atender as crescentes necessidades

do processamento de energia.

Paralelamente, na área de processamento de si-

nais, é possível observar o algoritmo deVaz (1994)que

é capaz de determinar eficientemente a amplitude e

fase do sinal de entrada. Esta técnica, o FLC (Fourier

Linear Combiner) é embasada nos conceitos matemá-

ticos da série de Fourier para reconstrução de sinais

(Widrow, 1960). Há ainda o WFLC (Weighted-Fre-

quency Fourier Linear Combiner), proposto por Rivi-

ere (1995) que apresenta uma variação do FLC que

acumula a função de detecção de frequência às anteri-

ores citadas.

Nesse contexto, a proposta deste artigo é desen-

volver um algoritmode detecção de fase, frequência e

amplitude monofásico baseado na estrutura do

WFLC/FLC, buscando uma nova aplicação para um

método já consagrado em outras áreas.Os resultados

de simulação foram obtidos com o auxílio do sof-

twarePSCAD/EMTDC.

2 Algoritmos de Sincronização de Rede

Elétrica

Neste capítulo serão abordados os detectores de

tensão mais difundidos na literatura, notadamente o

EPLL, o qPLL e o SOGI.

2.1 Detectores de tensão baseado em teoria pq(EPLL)

O EPLLproposto por Rolim (2006) consiste na

utilização da teoria pq para determinação do erro entre

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

3021

o sinal de tensão real e o estimado. Para utilização da

teoria pq, é necessária uma conversão das coordena-

das trifásicas para coordenadas de Clarke (Clarke,

1950). A Figura 1 apresenta o diagrama de blocos do

EPLL. O erro é definido por um balanço de potência

reativa dado por Vα, Iβ e Vβ, Iα. Para aplicação deste

detector em um sistema monofásico, é necessária uma

adaptação da transformada de Clarke. Uma possível

estrutura foi desenvolvida por (Miranda, 2004) e seu

diagrama de blocos é apresentado naFigura 2.

Este PLLé utilizado em aplicações mais simples,

aonde necessita-se simplesmente de informações do

componente fundamental do sinal de entrada.

2.2 Detectores de tensão baseado na teoria SOGI

(SOGI)

O detector baseado na teoria SOGI utiliza um

controlador proporcional-ressonante que introduz um

ganho infinito na frequência de ressonância (Rodrí-

guez, 2008). Este controlador proporcional-resso-

nante, é construído utilizando um integrador de se-

gunda ordem, que origina o nome deste PLL.

Porém, esta estrutura é dependente da determina-

ção prévia da frequência do sinal que se quer estimar.

Para que o PLL não perca sua eficiência junto às osci-

lações de frequência da rede, uma estrutura FLL (Fre-

quency-Locked Loop) é necessária. A estrutura com-

pleta do SOGI-FLL apresentada por (Rodríguez,

2008) encontra-se apresentada naFigura 3.

O SOGI demonstrou sua importância na literatura

por não necessitar de funções trigonométricas em usa

implementação. Com isso, é esperado uma redução do

custo computacional.

Figura 1. Diagrama de Blocos do EPLL Trifásico (Rolim, 2006)

Figura 2. Diagrama de Blocos do EPLL Monofásico (Miranda, 2004)

Este PLL não detecta a presença de harmônicos

no sinal de entrada. Para conseguir a detecção dos har-

mônicos desejados, é necessário a inserção de outras

estruturas idênticas em paralelo.

2.3 Detectores de tensão baseado em notchs adaptati-

vos (qPLL)

O qPLL opera com uma estrutura derivada do mé-

todo gradiente-descendente (Karimi, 2011). O sinal de

entrada é composto de duas componentes em quadra-

tura. Um erro calculado entre o sinal de entrada e o

sinal estimado realimenta o sistema, conforme pode-

se observar na Figura 4.

O qPLL atua derivando estas variáveis em qua-

dratura e então utiliza integrais para determinar a fre-

quência do sinal de entrada. O comportamento do

qPLL até alcançar o valor desejado é determinado por

três ganhos, μs, μc e μf que correspondem às amplitu-

des em quadratura Ks, Kc e ω.

3 O Algoritmo WFLC/FLC

O Combinador Linear de Fourier é um algoritmo

proposto por Vaz (1994)para estimação de sinais pe-

riódicos com o objetivo de eliminar tremores huma-

nos. Ele utiliza o conceito de séries de Fourier para

reconstrução e determinação da amplitude e fase de

um sinal de frequência conhecida e seus harmônicos

(Widrow, 1960).

Para estimar a frequência do sinal desejado, Rivi-

ere (1995) propôs uma estrutura diferenciada, o

WFLC.

O WFLC soma a capacidade de determinar a fre-

quência do sinal de maior energia de forma adaptativa,

às já mencionadas do FLC.

Figura 3. Diagrama de Blocos do SOGI-FLL. (Rodríguez, 2008)

Figura 4. Diagrama de blocos do qPLL. (Karimi, 2004)


3022

Tanto o FLC quanto o WFLC são comumente uti-

lizados em aplicações biomédicas, como, por exem-

plo, para eliminação de tremores em pacientes com

Alzheimer ou estimação da cadência da marcha para

pacientes que utilizam andadores robóticos.

Ambos algoritmos funcionam estimando ganhos

para a componente fundamental e cada harmônica do

sinal de entrada simultaneamente. O erro ε entre o si-

nal real e o estimado é o responsável, junto a um ganho

μ, pela determinação da variação dos ganhos adaptati-

vos. A Figura 5 e a Figura 6 ilustram a estrutura básica

do FLC e WFLC.

Devido à sua simplicidade matemática, o esforço

computacional é pequeno, o que é uma grande vanta-

gem destes métodos de estimação. Outro fator para di-

minuição do esforço para utilização deste método é a

determinação simultânea da componente fundamental

e seus harmônicos.

O ganho μ é definido como a metade da largura

da banda de frequência desejada. Dessa forma, quanto

maior o valor de μ, maior será o espectro de frequência

detectado.

Um dos destaques do FLC e do WFLC é a sua

possibilidade de estimar paralelamente todos os har-

mônicos desejados e a fundamental, sem a necessi-

dade de outras estruturas em série ou em paralelo.

3.1 FLC

A série de Fourier é a representação de um sinal

periódico em termos das funções seno e cosseno (ou

seu equivalente complexo) multiplicadas por um de-

terminado ganho. Sua estrutura em forma complexa,

pode ser observado na equação (1):

𝑓(𝑡) = ∑ [𝑐𝑛𝑒𝑖𝑛𝜋𝑡

𝐿 ]

∞

𝑛=−∞

(1)

O ganho μ, responsável pelo incremento dado

àmatriz de amplitudes W, deve ser sintonizado de

forma a ter o melhor ganho para a frequência base de-

finida. Vaz (1994) explora a sintonia e determina μ ≤

1/M, onde M é o número de harmônicos que se deseja

estimar do sinal de entrada.

Foi utilizado o algoritmo LMS (Least Mean

Square) indicado na Figura 5 que contempla as equa-

ções (2) a (4). Este algoritmo é normalmente utilizado

quando se faz necessário algum algoritmo adaptativo

(Vaz, 1994). E é comumente utilizado na literatura so-

bre FLC. As componentes X identificam a parte trigo-

nométrica e as componentesWidentificam a parte

constante do algoritmo. Os itens denotados em negrito

identificam vetores.

A cada iteração, o algoritmo LMS estima novos valo-

res para as amplitudes denotadas por W para cada

Figura 5. Diagrama de blocos do FLC. (Vaz, 1994)

componente da Série de Fourier que compõe o sinal

paralelamente. Assim, todas as componentes podem

ser estimadas paralelamente.

𝑿𝑟𝑘 = {sin(𝑟𝑤0𝑘), 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑀

𝑐𝑜𝑠((𝑟 − 𝑀)𝑤0𝑘), 𝑀 + 1 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑀

(2)

𝜀𝑘 = 𝑠𝑘 − 𝑾𝒌𝑻𝑿𝒌 (3)

𝑾𝒌+𝟏 = 𝑾𝒌 + 2μ𝑿𝑘𝜀𝑘 (4)

Onde, Xrk identifica a parte trigonométrica do si-

nal estimado, Wk a amplitude do mesmo e ε representa

o erro entre o sinal original e estimado. A marcação

em negrito indica que o termo representa um vetor.

3.2 WFLC

O WFLC possui uma estrutura semelhante ao

FLC, agregando, porém, um algoritmo para estimação

da frequência da componente de maior energia presen-

teno sinal de entrada.

A equação (5) apresenta a estrutura do estimador

de frequência. O termo μ0 identifica o ganho de fre-

quência e W0 a frequência da fundamental. A sintonia

de μ0 é realizada de forma semelhante à do FLC.

A Figura 6 apresenta o diagrama de blocos do

WFLC.

𝑊0𝑘+1 = 𝑊0𝑘 + 2𝜇0𝜀𝑘 ∑(𝑊𝑟𝑘𝑋𝑀+𝑟𝑘

𝑀

𝑟=1

− 𝑊𝑀+𝑟𝑘𝑋𝑟𝑘)

(5)

3.3 A estrutura WFLC/FLC

Devido à dificuldade de uma sintonia eficiente dos ga-

nhos μ e μ0 para determinação da amplitude e da fre-

quência fundamental do sinal de entrada dentro de um

intervalo de tempo pré-estabelecido, é proposto uma

estrutura que combina um FLC para estimação do si-

nal de entrada e um WFLC para estimação do sinal de

frequência (Riviere, 1996).


3023

Figura 6. Diagrama de blocos do WFLC. (Riviere, 1996).

Esta estrutura, apresentada na Figura 7, permite

uma sintonia mais simples para ambos os algoritmos,

poisos valores de amplitude e frequência do sinal esti-

mado estão mais desacoplados, quando comparados

ao WFLC como estrutura única (Frizera, 2010). Tal al-

goritmo poderia facilmente ser aplicado em DSPs con-

vencionais devido a simplicidade de seu código e

baixo esforço computacional exigido.

4 Resultados

Para implementação do WFLC/FLC, utilizou-se o

simulador PSCAD/EMTDC da Manitoba HVDC Re-

search Centre.

A aplicação foi realizada utilizando-se programa-

ção em linguagem C e respeitou todos os diagramas

de blocos e equações apresentadas para implementa-

ção do algoritmo proposto.

A frequência da amostragem foi definida em

20kHz. O ganho μ foi definido empiricamente de

acordo com a Tabela 1em 0,03 e μ0 e μ1 do WFLC fo-

ram definidos empiricamente em 10-6 e 0,001, con-

forme Tabela 2. Tais ganhos foram estimados para de-

tecção de até 25 harmônicos.

Primeiramente, verificou-se o funcionamento do

algoritmo implementado, inserindo-se apenas a funda-

mental e verificando a resposta do WFLC/FLC. A Fi-

gura 8representa este resultado. O erro se manteve

dentro da faixa menor que 1%.

De forma a comprovar o desempenho do

WFLC/FLC, foram realizados os seguintes testes:

Distorção Harmônica

Degrau de amplitude

Degrau de frequência

Degrau de fase

Como parâmetros de comparação foram utiliza-

dos os padrões para sistemas de energia definidos pelo

PRODIST (ANEEL, 2012). A fonte principal possui

amplitude de 1,0 pu e frequência de 60 Hz.

Figura 7. Estrutura WFLC/FLC

Tabela 1. Relação entre ganho do FLC e Tempo de Acomodação

do sinal estimado

μ Tempo de Acomodação (ms)

0,040 -

0,035 76,01

0,030 70,07

0,025 71,43

0,020 72,01

Tabela 2. Relação entre os ganhos do WFLC e o erro e tempo de

resposta do sinal estimado

μ0 μ1 Tempo de Acomodação (ms)

10-6 0,01 925,90

10-6 0,001 300,02

10-6 0,0005 385,71

10-7 0,001 549,74

4.1 Distorção Harmônica

Utilizando os valores determinados pelo

PRODIST foi gerado no simulador um sinal de tensão

composto pelo sinal fundamental, somado às distor-

ções harmônicas individuais ímpares de 3º a 25º har-

mônico respeitando os limites individuais e totais de-

finidas pela ANEEL (2012).

A Figura 8 apresenta os níveis de harmônicos da

onda original e detectada. Pode-se observar que a

forma de onda estimada alcança a onda medida em

cerca de 30 ms.

Figura 8. Resposta do WFLC/FLC à um sinal de tensão.


3024

A Figura 9, Figura 10 e Figura 11 apresentam os

sinais originais e estimados do 3º, 11º e 21º harmôni-

cos. Esses sinais foram estimados simultaneamente. O

3º harmônico foi o que apresentou maior atraso na res-

posta, com cerca de 45ms para estimar com erro de

cerca de 0,1%. A estimação do 11º e 21º harmônico

ocorreu em 25ms e 40ms respectivamente. Importante

lembrar que o atraso na medição dos harmônicos não

implica em atraso na reconstituição do sinal original,

pois os ganhos adaptativos do FLC compensam possí-

veis erros transitórios.

Essa compensação pode ser observada na Figura

12 que demonstra o sinal de entrada com a inserção

dos harmônicos em 1,5s e a respectiva onda do sinal

estimado permanecendo menor que 0,01% mesmo

após a inserção dos harmônicos.

A Figura 13apresenta o erro de amplitude para a

inserção dos harmônicos supracitados em 1,5s.

Mesmo após a inserção dos harmônicos, o erro man-

teve-se menor que 0,5%.

Tabela 3. Comparação entres os harmônicos originais e estimados.

Harmô-nico

Sinal Origi-nal (pu)

Sinal Estimado (pu)

Erro (%)

1 0,045 0,0449498 0,1115555

3 0,045 0,0449543 0,1015555

5 0,045 0,0449798 0,0448888

7 0,025 0,0249537 0,1852000

9 0,025 0,0249956 0,0176000

11 0,0249999 0,0250642 -0,2572010

13 0,0099999 0,0099582 0,4170041

15 0,0099999 0,010017 -0,1710017

17 0,0099999 0,0100824 -0,8250082

19 0,0099999 0,0101217 -1,2180121

21 0,0049999 0,0050089 -0,1800036

23 0,0049999 0,0051152 -2,3060461

25 0,045 0,0449498 0,1115555

Figura 9. Resposta do WFLC/FLC ao 3º harmônico



Figura 12. Resposta de tensão quando aplicado uma distorção har-mônica


3025

Figura 13. Erro de amplitude quando aplicado uma distorção har-mônica

4.2 Degrau de Amplitude

As definições do PRODIST, indicam um limite

para elevação de tensão superior a 0,1 pu e para afun-

damento de tensão superior 0,1 pu e inferior a 0,9 pu.

Definiu-se portanto uma elevação de tensão 0,3

pu acima do valor nominal e um afundamento de ten-

são 0,3 pu.

A Figura 14 e a Figura 16 apresentam o sinal da

tensão estimado comparado ao original. Para ambos

os casos, o WFLC/FLC conseguiu reconstituir o sinal

de entrada em um tempo inferior a 50 ms.

A Figura 15 e a Figura 17 apresentam o erro sob

a condição de afundamento e elevação respectiva-

mente. Pode-se perceber novamente que o erro estabi-

liza em um valor inferior a 1% de erro.

Figura 14. Resposta de tensão quando aplicado um afundamento de tensão

Figura 15. Erro de amplitude quando aplicado um afundamento de tensão

Figura 16. Resposta da tensão quando aplicada uma elevação da

tensão

Figura 17. Erro de amplitude quando aplicado uma elevação de tensão


3026

4.3 Degrau de frequência

Conforme o PRODIST dentro de um período de

30s a frequência da rede elétrica pode oscilar entre

60,5 e 59,5Hz.

Em caso de perda do gerador, é esperado que a

frequência sofra uma queda. Desta forma, o teste da

resposta em frequência considera um degrau de -

0,5Hz sobre a frequência fundamental. A Figura 18

apresenta a resposta a este degrau de frequência.

O tempo de acomodação do degrau de frequência

foi 200ms.

Vale ressaltar que o funcionamento do WFLC é

parcialmente desacoplado do funcionamento do FLC.

Isso implica em um ajuste de ganhos para detecção da

frequência do sinal de maior energia independente da

detecção da amplitude do sinal.

4.4 Degrau de fase

Apesar de não ter nenhum termo estabelecido no

PRODIST a respeito de desvios de fase, foi implemen-

tado um teste de desvio de fase.

Para este teste, estabeleceu-se o valor arbitrário

de 45º de desvio em avanço e em atraso, semelhante

ao adotado por Karimi (2004).

A Figura 19 e Figura 21 apresentam a resposta da

tensão detectada frente ao desvio de fase de -45º e +

45º respectivamente. Pode-se verificar que apesar de

uma pequena oscilação, o algoritmo não perde o sin-

cronismo com o sinal de entrada.

A Figura 20 e a Figura 22 apresentam o erro para

o avanço e atraso de fase respectivamente. Percebe-se

um pico de 0,7 pu em módulo somente no instante da

transição. Importante notar que a estabilização do si-

nal se fez em um tempo inferior a 50 ms.

Figura 18. Resposta da frequência estimada com a variação da fre-quência da fundamental para 59,5 Hz

Figura 19. Resposta da tensão com uma variação da fase da tensão de entrada em -45º

Figura 20. Erro de amplitude da tensão com uma variação de fase da tensão de entrada em -45ª

Figura 21. Resposta de tensão com uma variação da fase da tensão de entrada em 45º


3027

Figura 22. Erro de amplitude da tensão com uma variação de fase da tensão de entrada em 45º

5 Conclusão

Neste trabalho abordou-se o desenvolvimento da

estrutura WFLC/FLC para implementação em siste-

mas de energia.

Para alcançar este objetivo, foram primeiramente

estudados alguns algoritmos PLL já amplamente utili-

zados. Posteriormente, abordou-se a estrutura do

WFLC/FLC tal qual é utilizada em engenharia biomé-

dica e outras aplicações de sinais e sistemas. Por fim,

propôs-se parâmetros para utilização deste em um sis-

tema de energia monofásico e analisou-se os resulta-

dos perante múltiplos cenários.

O WFLC/FLC apresentou um bom desempenho

para estimação da amplitude do sinal de tensão ao

longo do tempo e um desempenho razoável para esti-

mação da frequência. Nota-se, porém, que devido à

sua estrutura ser oriunda das Séries de Fourier, o FLC

consegue recompor o sinal, mesmo com o erro de fre-

quência do WFLC, compensando o erro deste.

Uma das maiores vantagens do WFLC/FLC é a

sua capacidade de estimar paralelamente a amplitude,

fase e frequência de todos os harmônicos necessários.

E isso se mostrou eficiente nos testes realizados.

Portanto, pode-se concluir que a estrutura

WFLC/FLC pode ser implementada para estimação de

sinais de tensão da rede elétrica, necessitando, poste-

riormente alguma comparação com PLLs atualmente

utilizados.

Agradecimentos

Os autores agradecem à CAPES pelo apoio financeiro

fornecido por meio da concessão de bolsas de estudo

e pesquisa.

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3028

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