Fabiano J. Santos

18

4.1. Funções Pares

Definição: uma função RRf : é dita par se

)()( tftf , (1)

para todo t (evidentemente a definição implica que se t pertence ao domínio de f , então t

também pertence). Geometricamente o gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo

y:

Figura 01 – Função Par

Observe que )()( afaf , )()( bfbf , etc.

Exemplos de funções pares são: nt 2 , || t , cte (função constante), )()cos( Rkkt , etc.

4.2. Funções Ímpares

Definição: uma função RRf : é dita ímpar se

)()( tftf , (2)

para todo t (evidentemente a definição implica que se t pertence ao domínio de f , então t

também pertence). Geometricamente o gráfico de uma função ímpar é anti-simétrico com relação ao

eixo y:

Capítulo 04

19

Figura 01 – Função Ímpar

Observe que )()( afaf e )()( bfbf .

Exemplos de funções ímpares são 12 nt , )()sen( Rkkt , etc.

Observações:

i) a única função que é par e ímpar ao mesmo tempo é a função identicamente nula

0)( tf , ou seja, a função cuja imagem é zero para todo o domínio;

ii) pela definição (2), se f é uma função ímpar que contenha 0 (zero) no domínio, então

obrigatoriamente teremos 0)0( f ;

iii) a grande maioria das funções que ocorrem não são nem pares nem ímpares. Estamos

particularmente interessados em tais funções pois suas expansões em séries de Fourier aparecem na

resolução de equações diferenciais parcias importantes da Engenharia.

4.3. Propriedades da Soma e do Produto das Funções Pares e Ímpares

A soma e o produto das funções pares e ímpares possuem propriedades importantes, as quais

listaremos abaixo. Tais propriedades são, em certo sentido, análogas às regras de sinais que já

conhecemos para números reais (o produto de dois números negativos é positivo, o produto de um

número positivo e um número negativo é negativo, etc).

(S1) A soma (diferença) de duas funções pares é par.

(S2) A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar.

(S3) A soma (diferença) de uma função par e uma ímpar não é par nem ímpar.

Fabiano J. Santos

20

(P1) O produto (quociente) de duas funções pares é par.

(P2) O produto (quociente) de duas funções ímpares é par.

(P3) O produto (quociente) de uma função par e uma ímpar é ímpar

As provas são bastante simples. Provaremos (P2) e deixaremos as demais como exercício:

Prova de (P2): sejam 1f e 2f duas funções ímpares.

i) Defina o produto )()()( 21 tftftF , logo temos:

)()()()]()][([)()()( 212121 tFtftftftftftftF .

ii) Defina o quociente 0)(,)(

)()( 2

2

1 tfcomtf

tftF , logo temos:

)()(

)(

)(

)(

)(

)()(

2

1

2

1

2

1 tFtf

tf

tf

tf

tf

tftF

Proposição 01: se f é uma função par integrável no intervalo ],[ aa então

aa

a

dttfdttf

0

)(2)( ,

(3)

Prova: geometricamente a proposição é óbvia, uma vez que sendo f par, a área sob a

curva no intervalo ]0,[ a é igual à área sob a curva no intervalo ],0[ a (veja Figura 01).

Formalmente temos:

a

a

a

a

dttfdttfdttf

0

0

)()()( ,

fazendo st na primeira integral do membro direito, temos dsdt , e podemos escrever

aaaaaa

a

a

a

dttfdttfdssfdttfdssfdttfdssfdttfdttf

000000

0

0

0

)(2)()()()()()()()(

Capítulo 04

21

Proposição 02: se f é uma função ímpar integrável no intervalo ],[ aa então

0)(

a

a

dttf ,

(3)

Prova: geometricamente a proposição é óbvia, uma vez que sendo f ímpar a área sob a

curva no intervalo ]0,[ a é igual à área sob a curva no intervalo ],0[ a , porém com sinais

contrários (veja Figura 02). Formalmente temos:

a

a

a

a

dttfdttfdttf

0

0

)()()( ,

fazendo st na primeira integral do membro direito, temos dsdt , e podemos escrever

0)()()()()()()()(

00000

0

0

0

aaaaa

a

a

a

dttfdssfdttfdssfdttfdssfdttfdttf

Proposição 03: a série de Fourier de uma função par é uma série de cossenos.

Prova: seja f uma função par, então os coeficientes de Euler-Fourier tornam-se:

i)

LL

L

dttfL

dttfL

a

0

0 )(1

)(2

1, (proposição 01).

ii)

LL

L

n dtL

tntf

Tdt

L

tntf

La

0

cos)(2

cos)(1

, (P1 e proposição 01) .

iii) 0sen)(1

L

L

n dtL

tntf

Lb

, (P3 e proposição 02).

Assim temos que a série de Fourier de uma função f , par e periódica de período LT 2 ,

é:

Fabiano J. Santos

22

1

0 cos)(

n

nL

tnaatf

,

(4)

onde

L

dttfL

a

0

0 )(1

e

L

n dtL

tntf

La

0

cos)(2

.

(5a)

(5b)

Exemplo 01: dada função 2)( ttf , 22 t , periódica com )2(4 LT , temos:

3

40 a e )cos(

16

22

n

nan

logo

1222

321

2 2cos

16

3

4...2cos

16

1cos

9

1cos

4

1cos

16

3

4)(

k

tk

ktttttf

,

ou seja, como f é par, seu desenvolvimento em série de Fourier é uma série de cossenos.

Proposição 04: a série de Fourier de uma função ímpar é uma série de senos.

Prova: seja f uma função ímpar, então os coeficientes de Euler-Fourier tornam-se:

Capítulo 04

23

i) 0)(2

10

L

L

dttfL

a , (proposição 02).

ii) 0cos)(1

L

L

n dtL

tntf

La

, (P3 e proposição 02) .

iii)

LL

L

n dtL

tntf

Ldt

L

tntf

Lb

0

sen)(2

sen)(1

, (P2 e proposição 01).

Assim temos que a série de Fourier de uma função f , ímpar e periódica de período

LT 2 , é:

1

sen)(

n

nL

tnbtf

,

(6)

onde

L

n dtL

tntf

Lb

0

sen)(2

.

(7)

Exemplo 02: dada função 3)( ttf , 11 t , periódica com )1(2 LT , temos:

nnnn

bn cos2cos121 22

33

Fabiano J. Santos

24

logo

...4sen)(3sen)(2sen)(sen)122(1

)(1632

21

942

32

2322

3 tttttf

ou seja, como f é ímpar, seu desenvolvimento em série de Fourier é uma série de senos.

Problemas

1. Verifique os cálculos do exemplo 01.

2. Verifique os cálculos do exemplo 02.

3. Determine se as seguintes funções são pares, ímpares ou nenhum dos dois:

a) 3x b) xx 23 c) 123 xx

d) )2( xtg e) )sec(x f) 3|| x

g) xe h) |))sen(ln(| x i) 43 )2( xx

4. Usando as propriedades das funções pares e ímpares avalie as seguintes integrais:

a)

1

1

xdx b)

1

1

4dxx c)

dxnxx )sen(

d)

2

2

)2

cos()2

sen(

T

T

dxT

xn

T

xn e)

dxnxx )sen(4 f)

dxnxx )cos(

Nos problemas a seguir encontre a série de Fourier pedida para a função dada. Esquematize o

gráfico da função para a qual a série converge utilizando 3 períodos.

5.

4,sencos;

21,0

10,1)( Tosdesérie

x

xxf

6.

4,sen;

21,1

10,)( Tosdesérie

x

xxxf

7. 2,sen;10,)( Tosdesériexxxf

Capítulo 04

25

8. 2,cos;10,)( Tenosdesériexxxf