RACIOCNIOLGICOSimplif icado

Srgio CarvalhoWeber Campos

2 edio Revista, atualizada e ampliada

2016

Grficos, tabelas e outros elementos visuais para melhor aprendizado Exerccios resolvidos passo a passo (questes comentadas) Questes de concursos pblicos selecionadas para praticar Destaques coloridos para facilitar a compreenso

Inclui

1Volume

2

Rac_log_vol_II.indb 3 21/09/2015 16:30:31

Os Autores

SRGIO CARVALHO Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. Leciona Matemtica

(Bsica e Financeira), Estatstica (Descritiva e Inferencial) e Raciocnio Lgico em cursos

preparatrios para concursos de diversas capitais do Pas. tambm fundador do site Ol

Amigos (www.olaamigos.com.br) e autor das obras Matemtica Financeira Simplicada e

Estatstica Bsica Simplicada, pela Editora JusPodivm.

WEBER CAMPOS Engenheiro de Telecomunicaes, com graduao e mestrado

concludos no IME Instituto Militar de Engenharia. professor de Raciocnio Lgico,

Matemtica Financeira, Estatstica Descritiva e Inferencial, ministrando aulas em vrias capitais

do Brasil, e tambm no site Ol Amigos (www.olaamigos.com.br). autor, em parceria com

o Prof. Srgio Carvalho, das obras Matemtica Financeira Simplicada e Estatstica Bsica

Simplicada, pela Editora JusPodivm.

Rac_log_vol_II.indb 7 21/09/2015 16:30:32

Introduo

Carssimos leitores,

com imensa satisfao que lhes apresentamos este volume 2 da obra Raciocnio Lgico

Simplicado.

Seguindo a mesma dinmica do primeiro volume, usamos igualmente aqui a linguagem

de sala de aula, prxima do aluno, capaz de conduzi-lo compreenso facilitada dos diversos

temas abordados.

Na escolha dos assuntos deste livro, nosso intuito foi realmente o de assegurar aos alunos

que visam aos concursos pblicos um material completo, de sorte que os dois volumes da

obra, reunidos, contemplem integralmente o conjunto de tudo o que costuma ser cobrado

em provas desta disciplina.

Enquanto o volume inicial tratava do Raciocnio Lgico propriamente dito, aquele que

normalmente no se estuda nos ensinos fundamental e mdio, o presente livro retomar assun-

tos como anlise combinatria, matrizes, geometria, trigonometria, entre outros tantos que j

zeram parte da vida estudantil de todos ns, e que passaram a ser cobrados com frequncia

em diversos certames.

Inclusive temas comumente relacionados Matemtica bsica mesmo que de forma mais

breve foram aqui trabalhados, a exemplo de razo e proporo, regra de trs, porcentagem,

P.A., P.G. etc.

Estamos certos de que Raciocnio Lgico Simplicado em muito os ajudar em seu conhe-

cimento matemtico, e na to almejada conquista de um lugar no servio pblico brasileiro!

Um forte abrao a todos!

Srgio Carvalho & Weber Campos

Rac_log_vol_II.indb 9 21/09/2015 16:30:32

Captulo 4

Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos

Este captulo aborda problemas de lgica envolvendo dados, guras e palitos. Questes

deste tipo requerem viso espacial e concentrao, caractersticas que podem ser aperfeio-

adas mediante muito treino. Com esse intuito, trazemos neste captulo vrias resolues de

questes.

4.1. Questes Lgicas que Envolvem DadosSe uma questo informar que o dado honesto (ou no viciado) signica que a soma de

suas faces opostas sete. Num dado viciado, essa regra no vlida.

Passemos s resolues de questes envolvendo dados.

4.1.1. Exerccios Resolvidos

Exemplo 1. (FCC) Sabendo que em qualquer dado a soma dos pontos marcados em

faces opostas igual a 7, qual das guras seguintes NO representa a planicao de

um dado?

Rac_log_vol_II.indb 253 21/09/2015 16:31:36

Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos254

Soluo:

Este tipo de questo testa a nossa capacidade de visualizao espacial. Temos de construir

o dado correspondente a cada gura (planicao do dado), por meio apenas da visualizao

de suas faces.

Essa tarefa no difcil, mas caso esteja tendo diculdades em visualizar o dado formado

a partir da planicao, aconselho a passar para o papel cada uma das guras trazidas nas

alternativas, recortando-as em seguida, para, ento, dobrar as faces a m de formar um dado.

claro que no podemos fazer isso durante a prova, o objetivo, ento, treinar a habilidade

de visualizao espacial.

Ao visualizar o dado espacialmente, voc perceber que se duas faces esto separadas por

outra face, ento aquelas duas primeiras faces so opostas. Aplicaremos esse princpio na anlise

de cada uma das planicaes.

Alternativa A:

As faces 3 e 4 so opostas porque h a face 2 entre elas.

As faces 2 e 5 so opostas porque h a face 4 entre elas.

As faces 1 e 6 so opostas porque h a face 4 entre elas.

Tudo bem?

Aproveitaremos para vericar se a gura da alternativa A atende exigncia do enuncia-

do: a soma dos pontos marcados em faces opostas igual a 7.

As faces 3 e 4 so opostas, e a soma delas 7 (=3+4). Ok!

As faces 2 e 5 so opostas, e a soma delas 7 (=2+5). Ok!

As faces 1 e 6 so opostas, e a soma delas 7 (=1+6). Ok!

Portanto, a gura trazida na alternativa A representa a planicao de um dado!

Alternativa B: As faces 1 e 6 so opostas, porque h a face 3 entre elas. E a soma dessas

duas faces 7 (=1+6). Ok!

As faces 2 e 5 so opostas, porque h a face 3 entre elas. E a soma dessas

duas faces 7 (=2+5). Ok!

As faces 3 e 4 so opostas, porque h a face 6 entre elas. E a soma dessas

duas faces 7 (=3+4). Ok!

Portanto, a gura trazida na alternativa B representa a planicao de um dado!

Alternativa C: As faces 2 e 5 so opostas, porque h a face 1 entre elas. E a soma dessas

duas faces 7 (=2+5). Ok!

Rac_log_vol_II.indb 254 21/09/2015 16:31:36

Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 255

As faces 3 e 4 so opostas, porque a face 5 est entre elas. E a soma dessas

duas faces 7 (=3+4). Ok!

As faces 1 e 6 so opostas, porque a face 5 est entre elas. E a soma dessas

duas faces 7 (=1+6). Ok!

Portanto, a gura trazida na alternativa C representa a planicao de um dado!

Alternativa D: As faces 1 e 6 so opostas, porque a face 2 est entre elas. E a soma dessas

duas faces 7 (=1+6). Ok!

As faces 4 e 2 so opostas, porque h a face 3 entre elas. E a soma dessas

duas faces 6 (=4+2). Erro!

As faces 3 e 5 so opostas, porque a face 3 est entre elas. E a soma dessas

duas faces 8 (=3+5). Erro!

Como a gura da alternativa D no atendeu a exigncia, ento ela NO representa a plani-

cao de um dado!

J encontramos a opo que deve ser marcada, mas vejamos ainda a alternativa E.

Alternativa E: As faces 3 e 4 so opostas, porque h a face 6 entre elas. E a soma dessas

duas faces 7 (=3+4). Ok!

As faces 2 e 5 so opostas, porque a face 4 est entre elas. E a soma dessas

duas faces 7 (=2+5). Ok!

As faces 6 e 1 so opostas, porque h a face 4 entre elas. E a soma dessas

duas faces 7 (=6+1). Ok!

Portanto, a gura trazida na alternativa E representa a planicao de um dado!

Resposta: Alternativa D.

Exemplo 2. (FCC) Um dado feito com pontos colocados nas faces de um cubo,

em correspondncia com os nmeros de 1 a 6, de tal maneira que a soma dos pontos

que cam em cada par de faces opostas sempre sete. Dentre as trs planicaes

indicadas, a(s) nica(s) que permite(m) formar, apenas com dobras, um dado com as

caractersticas descritas (so):

I II III

a) I. d) II e III

b) I e lI. e) I, II, III

c) I e III.

Rac_log_vol_II.indb 255 21/09/2015 16:31:36

Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos256

Soluo:

Esta questo muito parecida com a anterior, porm h uma diferena na forma de pla-

nicao do dado. Observe que, na questo anterior, as planicaes tinham a forma de uma

cruz, diferentemente destas planicaes. Isso diculta um pouco mais a soluo da questo.

Feita a visualizao espacial do dado a partir da planicao, deve-se vericar se a exi-

gncia do enunciado atendida: a soma dos pontos que cam em cada par de faces opostas

sempre sete.

Caso tenha diculdades em visualizar o dado a partir da planicao, voc pode, ainda,

se utilizar do princpio que foi ensinado no exemplo anterior: se duas faces esto separadas

por outra face, ento aquelas duas faces so opostas. Contudo, teremos antes de transformar

as planicaes para forma de cruz. Vamos fazer isso!

Vamos iniciar pela planicao I:

Vamos deslocar (no arrastando, mas sim girando) a face 4 para esquerda a m de que

ela que acima da face 3. E depois, a m de formar uma cruz, teremos de girar a face 6 para

o lado da face 5:

Pronto! J podemos vericar se a soma das faces opostas igual a sete!

As faces 1 e 4 so opostas porque h a face 3 entre elas. A soma dessas duas faces 5 (=1+4). Como NO foi igual a 7, a planicao I no permite formar o dado

com as caractersticas descritas no enunciado.

Passemos a vericar a planicao II, mostrada a seguir. Para formar uma cruz, basta girarmos

a face 5 para a direita (ou a face 2 para esquerda).

Pronto! Vamos vericar se a soma das faces opostas igual a sete!

As faces 5 e 2 so opostas porque a face 6 est entre elas. A soma dessas duas faces 7 (=5+2). Ok!

Rac_log_vol_II.indb 256 21/09/2015 16:31:36

Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 257

As faces 1 e 6 so opostas porque h a face 4 entre elas. A soma dessas duas faces 7 (=1+6). Ok!

As faces 4 e 3 so opostas porque a face 6 est entre elas. A soma dessas duas faces 7 (=4+3). Ok!

Portanto, constatamos que a planicao II permite formar o dado com as caractersticas

descritas no enunciado!

Passemos a vericar a planicao III, mostrada a seguir. Para formar a cruz, teremos de gi-

rar a face 3 para a direita, a face 2 para o lado esquerdo da face 1 e, por m, a face 6 para o lado

direito da face 5.

Pronto! Vamos vericar se a soma das faces opostas igual a sete!

As faces 3 e 4 so opostas porque a face 5 est entre elas. A soma dessas duas faces 7 (=3+4). Ok!

As faces 2 e 5 so opostas porque h a face 1 entre elas. A soma dessas duas faces 7 (=2+5). Ok!

As faces 1 e 6 so opostas porque a face 5 est entre elas. A soma dessas duas faces 7 (=1+6). Ok!

Portanto, constatamos que a planicao III tambm permite formar o dado!

Resposta: Alternativa D.

Exemplo 3. (FCC) O desenho seguinte mostra a planicao de um cubo que apre-

senta um nmero pintado em cada face, como mostrado nesta gura.

A partir dessa planicao, qual dos seguintes cubos pode ser montado?

a) b) c) d) e)

Soluo:

Testaremos cada uma das alternativas.

Teste da alternativa A:

Rac_log_vol_II.indb 257 21/09/2015 16:31:38

Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos258

O dado trazido na alternativa A mostra as faces 1, 2 e 5. Se planicarmos somente as faces 1

e 2, teremos o seguinte:

2

1

Para compararmos essa planicao com a planicao dada no enunciado, teremos de

fazer uma pequena modicao nesta ltima de forma que a face 2 que sobre a face 1. Gi-

raremos a face 2 para esquerda:

Isolando as faces 1 e 2 desta ltima planicao, e colocando lado a lado com a planica-

o das faces 1 e 2 da alternativa A, teremos:

2

1

2

1

So iguais? O nmero 2 est diferente nas duas planicaes, logo no so iguais! Con-

clumos, ento, que o dado da alternativa A no corresponde planicao vista na gura

da questo.

Teste da alternativa B: O dado trazido na alternativa B mostra as faces 2, 3 e 5. Se planicarmos, separadamente, as

faces 2 e 3, e as faces 2 e 5, teremos o seguinte:

2

3 e

2

5

Para compararmos a planicao dessas faces 2 e 5 com a planicao dada no enuncia-

do, teremos de fazer uma pequena modicao nesta ltima de forma que a face 2 que sobre

a face 5. Vamos girar a face 2 para direita:

I II

Rac_log_vol_II.indb 258 21/09/2015 16:31:41

Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 259

Isolando as faces 2 e 3 (retirada da planicao I) e as faces 2 e 5 (retirada da planicao

II), e colocando ao lado delas a planicao correspondente do dado apresentado na alter-

nativa B, teremos:

2

3 e

2

3

2

5 e

2

5

Esses pares so iguais? Positivo! Conclumos, ento, que o dado da alternativa B corres-

ponde planicao dada no enunciado.

J encontramos a opo correta da questo, mas continuaremos a anlise das demais

alternativas.

Teste da alternativa C: Essa fcil! Na planicao fornecida no enunciado, as faces 2 e 4 so opostas, mas isso

no ocorre no dado da alternativa C. Logo, devemos descartar esta alternativa!

Teste da alternativa D: Colocaremos lado a lado a planicao das faces 1 e 2 do dado da alternativa D e a pla-

nicao das faces 1 e 2 da gura trazida no enunciado (obtida na alternativa A). Teremos:

2

1

2

1

Elas so diferentes! Logo, devemos descartar esta alternativa!

Teste da alternativa E: Desenharemos a seguir a planicao das faces 2 e 5 desse dado, e ao lado repetiremos o

resultado da planicao das mesmas faces obtida na alternativa B. Teremos:

2

5

2

5

Elas so diferentes! Logo, devemos descartar esta alternativa!

Resposta: Alternativa B.

Exemplo 4. (FCC) Em um dado convencional os pontos que correspondem aos n-

meros de 1 a 6 so colocados nas faces de um cubo, de tal maneira que a soma dos

pontos que cam em cada par de faces opostas sempre igual a sete. Considere que a

gura seguinte indica dois dados convencionais, e que suas faces em contato no pos-

suem quantidades de pontos iguais.

Rac_log_vol_II.indb 259 21/09/2015 16:31:41

Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos260

A soma dos pontos que esto nas faces em contato dos dois dados

a) 7 d) 11

b) 8 e) 12

c) 9

Soluo:

Por primeiro, tentaremos descobrir os nmeros das faces do primeiro dado.

O enunciado armou que a soma dos pontos que cam em cada par de faces opostas

sempre igual a sete. Da, a face oposta a face 3 a face 4, e a face oposta a face 2 a

face 5. Resta descobrir onde esto as faces 1 e 6. Para isso, vamos observar o segundo dado,

mostrado a seguir:

Neste segundo dado, a face oposta face 1 tem de ser a face 6, para que a soma das fa-

ces seja sete. Logo, a face 6, do segundo dado, que est em contato com o primeiro dado.

Como o enunciado disse que as faces em contato dos dois dados no possuem quantidades

de pontos iguais, ento resta que a face do primeiro dado que est em contato com o segundo

dado a face 1.

A soma dos pontos que esto nas faces em contato dos dois dados , portanto, igual a 7

(=1 + 6).

Resposta: Alternativa A.

Exemplo 5. (FCC) A gura a seguir mostra uma pilha de trs dados idnticos. O nme-

ro da face do dado inferior que est em contato com o dado intermedirio:

a) certamente 1;

b) certamente 2;

c) certamente 5;

d) pode ser 1 e pode ser 2;

e) pode ser 5 e pode ser 6.

Soluo:

A informao de que os trs dados so idnticos muito importante, e a usaremos nas

consideraes que se seguem.

Vamos girar o dado superior de modo que a face 3 que com a mesma disposio dos

pontos mostrada na face 3 do dado inferior. Feito isso, teremos dois possveis desenhos para

o dado superior:

Rac_log_vol_II.indb 260 21/09/2015 16:31:41

Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 261

1o desenho)

Face 6 para frente e face 2 para baixo:

2o desenho)

Face 6 para trs e face 2 para cima:

Esses dois desenhos so vlidos e se referem ao mesmo dado. Os desenhos esto difrentes

apenas porque as faces esto sendo vistas por ngulos diferentes (no primeiro desenho a face

6 est para frente, enquanto no segundo desenho o dado foi posicionado de modo que a face

6 cou para trs).

Vamos comparar o 2o desenho com o dado inferior, pois ambos tm a face 3 na mesma

posio. Dessa comparao, conclui-se que a face voltada para cima no dado inferior tem de

ser a face 2.

A questo pede o nmero da face do dado inferior que est em contato com o dado inter-

medirio. Esse nmero pode ser visto no desenho anterior, o de nmero 2.

Resposta: Alternativa B.

Exemplo 6. (FCC) Um certo nmero de dados de seis faces forma uma pilha nica

sobre uma mesa. Sabe-se que:

os pontos de duas faces opostas de um dado sempre totalizam 7;

a face do dado da pilha que est em contato com a mesa a do nmero 6;

os pontos das faces em contato de dois dados da pilha so sempre iguais.

Sendo verdadeiras essas trs armaes, na pilha, a face do dado da pilha mais

afastada da mesa:

a) necessariamente tem um nmero de pontos mpar;

b) tem 6 pontos, se o nmero de dados da pilha for par;

c) tem 6 pontos, se o nmero de dados da pilha for mpar;

d) tem 1 ponto, se o nmero de dados da pilha for par;

e) necessariamente tem um nmero par de pontos.

Soluo:

Vamos montar a pilha de dados de acordo com a descrio feita no enunciado.

Rac_log_vol_II.indb 261 21/09/2015 16:31:41

Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos262

1o) A face do dado da pilha que est em contato com a mesa a do nmero 6. Ento, para

que a soma seja 7, a face de cima do dado 1. Veja o desenho do dado sobre a mesa:

16

2o) Os pontos das faces em contato de dois dados da pilha so sempre iguais.

Com base nisso, desenharemos duas representaes: uma pilha com 2 dados e outra com

3 dados.

61

16

16

61

16

Agora, passemos a analisar as alternativas da questo, vericando qual delas fala a verdade

sobre a face do dado da pilha mais afastada da mesa.

Alternativa A: necessariamente tem um nmero de pontos mpar.Errado! Pois observe que na pilha com dois dados a face mais afastada da mesa a face 6, que

par.

Alternativa B: tem 6 pontos, se o nmero de dados da pilha for par.Certo! Para a situao com dois dados, observa-se que a face do dado da pilha mais afastada da

mesa tem 6 pontos. O mesmo vai ocorrer para a pilha com quatro dados, seis dados, oito dados etc.

J encontramos a alternativa correta: Alternativa B!

Exemplo 7. Um dado, cuja soma das faces opostas sete, lanado trs vezes.

Sabendo-se que a soma das faces superiores nos trs lanamentos foi igual a 12, a soma

das faces inferiores :

a) 9; d) 16;

b) 13; e) 17.

c) 15;

Soluo:

Designando por a, b e c os valores das faces superiores nos trs lanamentos, podemos

formar a seguinte equao:

a + b + c = 12

Rac_log_vol_II.indb 262 21/09/2015 16:31:42

Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 263

Designaremos por a, b e c as faces opostas s faces a, b e c, respectivamente. Como a

soma das faces opostas 7, ento temos as seguintes igualdades:

a + a = 7

b + b = 7

c + c = 7

Nessas igualdades, isolaremos as letras a, b e c:

a = 7 a

b = 7 b

c = 7 c

Substituiremos as letras a, b e c por essas relaes na equao estabelecida no incio da

questo:

(7 a) + (7 b) + (7 c) = 12

21 a b c = 12

a b c = 12 21

a + b + c = 9

Pronto! Encontramos a resposta solicitada na questo.

4.2. Questes Lgicas com FigurasColocamos nesta seo tipos variados de questes de lgica que envolvem guras.

4.2.2. Exerccios Resolvidos

Exemplo 8. (FCC) Observe com ateno a gura a seguir:

Dos desenhos seguintes, aquele que pode ser encontrado na gura dada :

a) d)

b) e)

c)

Rac_log_vol_II.indb 263 21/09/2015 16:31:42

Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos264

Soluo:Observe o desenho em cor cinza dentro da gura a seguir; ele exatamente igual ao de-

senho da alternativa C.

Resposta: Alternativa C.

Exemplo 9. (FCC) Considere a gura a seguir:

Se voc pudesse fazer uma das guras seguintes deslizar sobre o papel, aquela que, quando sobreposta gura dada, coincidiria exatamente com ela :

a) b) c) d) e)

Soluo:Temos duas opes: 1a) deslizar a gura do enunciado; ou 2a) deslizar uma a uma as

guras trazidas nas alternativas. Qual delas resolve mais rpido a questo? Em geral, a primeira opo nos conduz a uma

soluo mais rpida.A questo diz que devemos deslizar a gura sobre o papel, o que signica isso? Quer

dizer que podemos movimentar a gura em qualquer direo, desde que no a tiremos, em nenhum momento, do papel. Sendo mais prtico, signica que teremos de girar a gura.

Vamos deslizar (girar no sentido horrio) a gura do enunciado:

(i) (ii) (iii) (iv)Na verdade, no recomendvel executar de uma s vez todos os giros da gura, pois po-

demos estar perdendo tempo. Sugerimos a fazer um giro na gura e, em seguida, compar-la com as guras trazidas nas alternativas. E fazer isso at encontrar a opo correta.

Aps o primeiro giro obtemos a gura (ii); ela igual a uma das guras trazidas nas al-ternativas? No! Passemos ao prximo giro.

Aps o segundo giro obtemos a gura (iii); ela igual a uma das guras trazidas nas alternativas? Tambm no!

Aps o terceiro giro obtemos a gura (iv); ela igual a uma das guras trazidas nas alter-nativas? SIM! A gura (iv) igual gura da alternativa A!

Resposta: Alternativa A.

Rac_log_vol_II.indb 264 21/09/2015 16:31:47

Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 265

Exemplo 10. (FCC) Considere esta gura.

Supondo que as guras apresentadas nas alternativas a seguir possam apenas ser

deslizadas sobre o papel, aquela que coincidir com a gura dada :

a) d)

b) e)

c)

Soluo:

Esta questo semelhante anterior, porm a gura fornecida possui mais detalhes que

dicultam a execuo dos giros. Ento, melhor usarmos outra estratgia para a resoluo.

Observe na gura a seguir (a mesma fornecida na questo) que h um ponto preto ao

lado de um pequeno quadrado (destacado em cinza). E claro que ao girarmos essa gura, o

ponto se deslocar junto com o quadrado. Portanto, a opo correta tambm ter um ponto

preto ao lado do pequeno quadrado.

Rac_log_vol_II.indb 265 21/09/2015 16:31:47

Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos266

Somente as guras das alternativas D e E possuem essa caracterstica. Da, descartamos as

demais alternativas (A, B e C).

Para decidirmos entre D e E, executaremos o giro da gura do enunciado. Vamos despre-

zar os desenhos que esto dentro da gura, levaremos em conta apenas o seu contorno. Veja

a gura sendo girada no sentido anti-horrio:

A gura (iii) tem a mesma forma da gura da alternativa D, e mesmo depois de muitos

giros nunca teremos uma gura igual da alternativa E. Portanto, a alternativa D a correta!

Resposta: Alternativa D.

Exemplo 11. (FCC) Uma estrutura feita de arame tem a forma de um cubo cujo lado

mede 40 cm. Uma formiga encontra-se sobre um vrtice do cubo (ponto A), conforme

mostrado na gura a seguir.

Observou-se que: essa formiga saiu do ponto A, foi caminhando ao longo do o e,

aps ter percorrido a maior distncia possvel, retornou ao ponto de partida. Se ela pas-

sou uma nica vez sobre cada vrtice, correto armar que a distncia que percorreu,

em centmetros, era:

a) 80;

b) 160;

c) 240;

d) 320;

e) 400.

Soluo:

H vrios caminhos que a formiga pode percorrer saindo de A e retornando ao ponto de

partida. Mas desejamos o caminho com maior distncia e no qual a formiga passou uma

nica vez sobre cada vrtice.

Rac_log_vol_II.indb 266 21/09/2015 16:31:48

Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 267

O maior caminho percorrido pela formiga ser aquele que passa por todos os vrtices.

Vejamos um desses possveis caminhos, indicado pelas setas azuis:

A partir desse desenho, percebemos que a formiga percorreu 8 lados e, como cada lado

tem 40 cm, ento a distncia percorrida pela formiga igual a 320 cm (= 8 x 40cm).

Resposta: Alternativa D.

Exemplo 12. (FCC) Na ilustrao a seguir, a gura em forma de L recobre 4 quadra-

dinhos iguais. Se cada lado dessa gura fosse triplicado, quantos desses quadradinhos

seriam recobertos pela gura ampliada?

a) 6. d) 24.

b) 12. e) 36.

c) 18.

Soluo:

Primeiro, identicaremos os lados da gura em forma de L. Ao todo so seis lados, os

quais esto identicados, no desenho a seguir, nas cores azul e vermelho. Aproveitamos e

colocamos o respectivo tamanho de cada lado (consideramos que o lado do quadrado tem

tamanho 1).

Rac_log_vol_II.indb 267 21/09/2015 16:31:48

Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos268

Como os lados devem ser triplicados, ento os nmeros que indicam o tamanho de cada

lado sero triplicados. Triplicando os lados, teremos:

Agora, temos de descobrir quantos quadradinhos so recobertos pela gura ampliada.

Podemos encontrar essa quantidade separando a gura em duas partes:

Portanto, ao todo teremos 36 (=18+18) quadradinhos recobertos pela gura ampliada.

Resposta: Alternativa E.

Exemplo 13. (FCC) Observe este esquema:

Um sentinela em viglia vai de A para B, caminhando sobre as linhas desenha-

das e sempre descendo, no sentido de A para B. Quantos caminhos distintos poder

percorrer?

a) 6. d) 15.

b) 8. e) 18.

c) 12.

Soluo:

Observe na gura a seguir que os pontos A e B so diametralmente opostos, sendo assim,

o nmero de caminhos de A para B que iniciam pela esquerda igual ao nmero de caminhos

de A para B que iniciam pela direita.

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Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 269

Portanto, calcularemos o nmero de caminhos somente em um dos sentidos (esquerdo ou

direito), e depois multiplicaremos o resultado por 2 para obter o total de caminhos.

Como a gura pequena e, desse modo, h poucos caminhos, ento talvez no fosse

necessrio ensinar essa coisa de pontos diametralmente opostos. Mas caso a gura fosse

maior, essa seria uma tima dica.

Voltando soluo, determinaremos agora o nmero de caminhos distintos partindo de

A, pela esquerda, e que chegam em B. Devemos seguir as linhas desenhadas e sempre des-

cendo. Teremos:

Encontramos trs caminhos de A para B partindo pela esquerda, ento o total de cami-

nhos de A para B igual ao dobro de 3, ou seja, 6 caminhos.

Resposta: Alternativa A.

Exemplo 14. (FCC) Na gura a seguir tem-se um conjunto de ruas paralelas s di-

rees I e II indicadas.

Sabe-se que 64 pessoas partem de P: metade delas na direo I, a outra metade na

direo II. Continuam a caminhada e, em cada cruzamento, todos os que chegam se di-

videm prosseguindo metade na direo I e metade na direo II. O nmero de pessoas

que chegaro nos cruzamentos A e B so, respectivamente:

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Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos270

a) 15 e 20; d) 1 e 15;

b) 6 e 20; e) 1 e 6.

c) 6 e 15;

Soluo:

Faremos dois caminhos de P para A, a m de veri car quantas pessoas esto chegando ao

ponto A por cada um dos caminhos.

De acordo com a 1a gura, 32 pessoas (metade de 64) partem do ponto P na direo I;

no prximo cruzamento apenas 16 (metade de 32) prosseguem na direo I; no prximo,

apenas 8 (metade de 16) prosseguem na direo I; no prximo, apenas 4 (metade de 8) pros-

seguem na direo I; no prximo, apenas 2 (metade de 4) prosseguem na direo I; e, por

m, no prximo cruzamento apenas 1 pessoa segue na direo do ponto A. Ou seja, das 32

pessoas que partem de P na direo I, apenas uma chega pelo caminho indicado na 1a gura.

Observe agora a 2a gura. Ela mostra outro caminho possvel para ir de P at A. E per-

cebe-se que, novamente, apenas uma pessoa chega ao ponto A. E claro que essa pessoa

diferente daquela que chegou ao ponto A pelo caminho mostrado na 1a gura.

Se construirmos outros caminhos, perceberemos que tambm apenas uma pessoa chega

em A em cada um deles. Usaremos esse resultado para resolver esta questo. Mas como? Por

cada caminho, apenas uma pessoa chega em A, ento se encontrarmos o total de caminhos

de P para A, obviamente teremos o total de pessoas que chegam em A.

Passemos neste momento a contar o nmero de caminhos de P para A, respeitando o que

foi dito no enunciado: as pessoas s seguem nas direes I e II. Isso quer dizer que as pessoas

devem sempre estar descendo pelas ruas, e em nenhum momento subindo.

Conclumos que existem seis caminhos de P para A. E, como dissemos anteriormente,

por cada um desses caminhos chega uma pessoa em A. Portanto, das 32 pessoas que partem

de P, apenas seis pessoas chegam ao ponto A.

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Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 271

Com esse resultado, as nicas alternativas que podem ser verdadeiras so a B e a C.

Para contar o nmero de caminhos de P para B mais complicado, pois o nmero de ca-

minhos bem maior. Para decidirmos entre as alternativas B e C, usaremos o mesmo artifcio

aplicado na soluo da questo anterior. Observe na gura a seguir que P e B so diametral-

mente opostos:

Assim, o nmero de caminhos de P para B que iniciam pela direo I igual ao nmero

de caminhos de P para B que iniciam pela direo II. Portanto, encontrando o nmero de

caminhos apenas em uma direo, basta multiplicarmos o resultado por 2 para obter o total

de caminhos.

Quando multiplicamos um nmero qualquer por 2, o resultado sempre ser um nmero

par. Portanto, o total de caminhos de P para B um nmero PAR. E pra que isso? Voc j vai

entender.

Sabemos que as alternativas que podem estar corretas so a B e a C. Na alternativa B o

nmero de caminhos de P para B 20 (PAR), e na alternativa C 15 (MPAR). Como o total

de caminhos de P para B necessariamente um nmero PAR, ento devemos descartar a al-

ternativa C, restando-nos somente a alternativa B.

Achamos a resposta da questo sem precisar contar os caminhos de P para B, em nenhu-

ma das duas direes, o que nos d uma boa economia de tempo.

Resposta: Alternativa B.

Essa mesma questo foi resolvida na pgina 60 por meio de uma frmula de Anlise

Combinatria.

Exemplo 15. (FCC) Das cinco guras abaixo, quatro delas tm uma caracterstica

geomtrica em comum, enquanto uma delas no tem essa caracterstica.

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Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos272

A gura que no tem essa caracterstica a:

a) I; d) IV;

b) II; e) V.

c) III;

Soluo:

As guras I, II, IV e V tm todas as suas faces opostas paralelas entre si, enquanto na

gura III nem todas as faces opostas so paralelas. Logo, devemos marcar a alternativa C!

H outra forma de se chegar alternativa correta. Observando as faces frontais de cada

gura, notamos que a face frontal da gura III a nica que possui um par de lados opostos

de tamanhos diferentes (y zz).Resposta: Alternativa C.

Exemplo 16. (FCC) Do conhecido jogo da velha participam duas pessoas que

devem, alternadamente, assinalar suas respectivas marcas nas casas de um esquema

formado por linhas paralelas, duas horizontais e duas verticais. O vencedor ser aquele

que primeiro conseguir assinalar sua marca em trs casas de uma mesma linha, coluna

ou diagonal do esquema.

Considere que, aps trs jogadas sucessivas, tem-se o seguinte esquema:

Dos esquemas seguintes, o nico que no apresenta jogadas equivalentes do es-

quema anterior :

Soluo:

No esquema fornecido no enunciado e nos esquemas apresentados nas alternativas A, B,

C e D, as duas marcaes do x esto de um mesmo lado (numa mesma linha ou numa mes-

ma coluna). J no esquema mostrado na alternativa E, as duas marcaes do x esto numa

diagonal (no esto na mesma linha, nem na mesma coluna).

Portanto, o nico esquema que NO apresenta jogadas equivalentes s do esquema for-

necido no enunciado o da alternativa E.

Resposta: Alternativa E.

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Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 273

Exemplo 17. (FCC) A gura seguinte mostra uma pilha de cubos de mesmas dimen-

ses.

O nmero de cubos que foram usados na montagem dessa pilha :

a) 8; d) 11;

b) 9; e) 12.

c) 10;

Soluo:

Na gura podem ser visualizados seis cubos, mas sabemos que h cubos encobertos,

exatamente trs cubos, como podemos vericar nas indicaes feitas no desenho a seguir:

H dois cubos

embaixo desse cubo H um cubo

embaixo desse cubo

Temos na pilha um total de 9 (=6+3) cubos.

Resposta: Alternativa B.

Exemplo 18. (OBM) Onze cubinhos, todos de mesma aresta, foram colados confor-

me a gura a seguir.

O menor nmero de cubinhos, iguais aos j utilizados, que devem ser agregados ao

slido formado pelos onze cubinhos para obtermos um cubo macio igual a:

a) 48; d) 53;

b) 49; e) 56.

c) 52;

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Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos274

Soluo:

O enunciado diz que existem 11 cubinhos na gura, e observe que h 4 cubinhos no

comprimento, 3 cubinhos na largura e 3 cubinhos na altura. Como no podemos retirar

cubinhos da gura, mas somente acrescentar, ento o menor cubo macio que conseguire-

mos construir um que tenha 4 cubinhos no comprimento, 4 na largura e 4 na altura.

O total de cubinhos que formaro esse cubo macio pode ser encontrado pelo seguinte

produto: 4 4 4 = 64 cubinhos. Como temos 11 cubinhos, ento falta agregar 53 cubinhos

(=6411). Resposta: Alternativa D.

Exemplo 19. (OBM) Nove peas diferentes de domin esto sobre uma mesa, par-

cialmente cobertos por um pedao de papel. Os domins se tocam de modo que 1

ponto vizinho a 1 ponto, 2 pontos so vizinhos a 2 pontos etc. Qual o total de pontos

escondidos pelo papel?

a) 18. d) 21.

b) 19. e) 22.

c) 20.

Soluo:

De acordo com o enunciado, os domins se tocam de modo que 1 ponto vizinho a 1 pon-

to, 2 pontos so vizinhos a 2 pontos e assim por diante. Seguindo essa orientao, escreveremos

os nmeros (em vermelho) em algumas peas do domin que esto em branco. Teremos:

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Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 275

Seja x o nmero de pontos da parte da pea que ca bem no centro dessa gura. E como as partes vizinhas de duas peas de domin que se tocam devem possuir o mesmo nmero de pontos, ento as demais partes que esto em branco tambm sero iguais a x. Assim, teremos o seguinte desenho em destaque:

Testaremos diversos valores para x: x pode ser igual 0? No, pois a pea (0|3) j foi usada. x pode ser igual a 1? No, pois a pea (4|1) j foi usada. x pode ser igual a 2? No, pois a pea (2|1) j foi usada. x pode ser igual a 3? Sim, pois nada impede que usemos esse valor. x pode ser igual a 4? No, pois a pea (4|1) j foi usada. x pode ser igual a 5? No, pois a pea (5|1) j foi usada. x pode ser igual a 6? No, pois a pea (6|2) j foi usada.

Portanto, encontramos: x=3. Assim, a soma de pontos escondidos pelo papel : 3+4+1+2+3+3+3 = 22

Resposta: Alternativa E.

Exemplo 20. (FCC) O diagrama indica percursos que interligam as cidades A, B, C, D e E, com as distncias dadas em quilmetros:

Partindo-se de A e passando por E, C e D, nessa ordem, a menor distncia que po-

der ser percorrida para chegar a B , em quilmetros:

a) 68; d) 71;

b) 69; e) 72.

c) 70;

Soluo:

Esta uma questo fcil, porm precisamos analis-la com cuidado.

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Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos276

Para encontrarmos a menor distncia de A a B (seguindo a ordem A E C D B), teremos de encontrar a menor distncia de cada trecho. Faamos isso:

Menor distncia de A a E: 8 + 3 + 3 + 9 = 23

Menor distncia de E a C: 9 + 3 + 4 = 16

Menor distncia de C a D: 4 + 3 = 7

Menor distncia de D a B: 3 + 3 + 7 + 5 + 6 = 24

Somando as distncias obtidas em cada trecho, teremos:

23 + 16 + 7 + 24 = 70

Resposta: Alternativa C.

Exemplo 21. (FCC) Analise a gura a seguir.

O maior nmero de tringulos distintos que podem ser vistos nessa gura :

a) 20; d) 14;

b) 18; e) 12.

c) 16;

Soluo:

Se formos contar os tringulos que vemos nessa gura sem usar um critrio adequado,

certamente nos perderemos na contagem. O critrio que usaremos a enumerao de todos

os vrtices da gura, do seguinte modo:

Agora, passemos a contar, de forma organizada, os tringulos que podem ser visualizados

na gura.

Tringulos com vrtice no ponto 1: (1,4,6); (1,4,12) = 2 tringulos. Tringulos com vrtice no ponto 2: (2,5,7); (2,7,11) = 2 Tringulos com vrtice no ponto 3: (3,5,6); (3,8,12); (3,9,11); (3,11,12) = 4 Tringulos com vrtice no ponto 4: (4,5,8); (4,6,12); (4,7,10) = 3 Tringulos com vrtice no ponto 5: (5,7,11) = 1 Tringulos com vrtice no ponto 6: (6,7,9) = 1 Tringulos com vrtice no ponto 7: j foram contados. Tringulos com vrtice no ponto 8: (8,10,11); (8,11,12) = 2

Rac_log_vol_II.indb 276 21/09/2015 16:31:58

Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 277

Tringulos com vrtice no ponto 9: (9,11,12); (9,10,12) = 2 Tringulos com vrtice no ponto 10: (10,11,12) = 1 Tringulos com vrtice no ponto 11 : j foram contados. Tringulos com vrtice no ponto 12 : j foram contados.

Total de tringulos = 2+2+4+3+1+1+2+2+1 = 18

Resposta: Alternativa B.

Exemplo 22. (OBM) Quantos tringulos existem cujos lados esto

sobre alguns dos segmentos traados na gura ao lado?

Soluo:

A partir da gura trazida na questo podemos visualizar os seguintes tringulos:

(1 tringulo) (2 tringulos) (2 tringulos) (2 tringulos)

(3 tringulos) (3 tringulos) (3 tringulos) (1 tringulo)

Portanto, o nmero total de tringulos igual a 17 (=1+2+2+2+3+3+3+1).

Caso tenha diculdades na contagem dos tringulos, siga a orientao que foi dada na

questo anterior.

Exemplo 23. (FCC) Considere que o cubo mostrado na gura foi montado a partir

de pequenos cubos avulsos, todos de mesmo tamanho.

O nmero de cubos que podem ser visualizados nessa gura :

a) 9; d) 36;

b) 18; e) 48.

c) 27;

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Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos278

Soluo:

Esta questo causou polmica, porque ela pede o nmero de cubos que podem ser vi-

sualizados na gura, e muitos entenderam que os cubinhos encobertos no deveriam ser

contados. Para encontrar a alternativa correta, teremos de contar todos os cubinhos presentes

no cubo grande, inclusive os encobertos.

O cubo da gura anterior tem trs cubinhos em cada aresta (altura, largura e comprimen-

to), assim o total de cubinhos igual a 27 (=333).

Agora, tentaremos visualizar cubos que possuem dois cubinhos em cada aresta, conforme

mostrado a seguir:

Olhando para o cubo fornecido na questo, tentaremos visualizar o cubo mostrado (dois

cubinhos por aresta).

Podemos visualizar 4 desses cubos na parte superior (frente esquerda, frente direita, atrs

esquerda e atrs direita) do cubo maior, conforme mostrado a seguir:

E mais 4 desses cubos na parte inferior (frente esquerda, frente direita, atrs esquerda,

atrs direita) do cubo maior:

Totalizando 8 cubos!

O cubo mostrado no enunciado tambm entrar na contagem: 1 cubo.

Concluindo, o nmero de cubos que podem ser visualizados na gura da questo igual a:

27 + 8 + 1 = 36

Resposta: Alternativa D.

Exemplo 24. (OBM) Um bloco de dimenses 1 2 3 colocado sobre um tabu-

leiro 8 8, como mostra a gura, com a face X, de dimenses 1 2, virada para baixo.

Giramos o bloco em torno de uma de suas arestas de modo que a face Y que virada

para baixo. Em seguida, giramos novamente o bloco, mas desta vez de modo que a face

Z que virada para baixo. Giramos o bloco mais trs vezes, fazendo com que as faces

X, Y e Z quem viradas para baixo, nessa ordem. Quantos quadradinhos diferentes do

tabuleiro estiveram em contato com o bloco?

Rac_log_vol_II.indb 278 21/09/2015 16:32:00

Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 279

a) 18.

b) 19.

c) 20.

d) 21.

e) 22.

Soluo:

O bloco tem dimenses 1 2 3, conforme mostrado na gura. E suas faces foram de-signadas por X (face de dimenses 1 2), por Y (face de dimenses 1 3) e por Z (face de

dimenses 2 3).

Ele inicialmente encontra-se com a face X virada para baixo. Os quadradinhos do tabu-

leiro em contato com o bloco na sua posio inicial esto indicados com o nmero 0, como

mostrado na gura a seguir.

Nesse momento, o bloco girado cinco vezes, na ordem especicada na questo. Veja

o bloco da gura anterior e imagine-o aps cada giro. Marcaremos, no desenho a seguir, os

quadradinhos do tabuleiro em contato com o bloco aps cada giro.

1o) gira-se o bloco de modo que a face Y que virada para baixo.

Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Y do bloco esto indicados com o

nmero 1.

2o) gira-se o bloco de modo que a face Z que virada para baixo.

Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Z do bloco esto indicados com o

nmero 2.

3o) gira-se o bloco fazendo com que a face X que virada para baixo.

Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face X do bloco esto indicados com o

nmero 3.

4o) gira-se o bloco fazendo com que a face Y que virada para baixo.

Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Y do bloco esto indicados com o

nmero 4.

5o) gira-se o bloco fazendo com que a face Z que virada para baixo.

Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Z do bloco esto indicados com o

nmero 5.

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Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos280

0

4 4 4, 0 3 3

5 5 5, 1 2 2

5 5 5, 1 2 2

1 2 2

Os quadradinhos do tabuleiro que possuem algum nmero so aqueles que estiveram

em contato com o bloco. E ao todo so 19 quadradinhos, como podemos vericar nesse

tabuleiro.

Resposta: Alternativa B.

Exemplo 25. (OBM) As 4 coloraes a seguir so consideradas iguais por coincidi-

rem por rotao.

De quantos modos diferentes possvel colorir as casas de um tabuleiro 2 u 2 de branco ou preto de modo que no existam dois tabuleiros que coincidam por rotao?

a) 4. d) 7.

b) 5. e) 8.

c) 6.

Soluo:

H seis possibilidades distintas de se colorir o tabuleiro, a saber:

Resposta: Alternativa C.

Exemplo 26. (OBM) Um serralheiro solda varetas de metal para produzir peas

iguais que sero juntadas para formar o seguinte painel. O desenho a seguir apresenta

as medidas, em centmetros, de uma dessas peas. O serralheiro usa exatamente 20

metros de vareta para fazer o seu trabalho.

Rac_log_vol_II.indb 280 21/09/2015 16:32:02

Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 281

Qual dos desenhos a seguir representa o nal do painel?

Soluo:

De acordo com as dimenses fornecidas, para fazer uma pea so necessrios 45 cent-

metros (=310+35) de arame. Como 20 metros igual a 2000 centmetros, e 2000 dividido

por 45 d quociente 44 e resto 20, o serralheiro ir fazer 44 peas completas, cando com

uma sobra de 20 centmetros, que lhe possibilitar fazer as duas primeiras partes de uma

pea. Assim, o nal do painel ter o seguinte desenho:

O nico desenho das opes de resposta que tem o nal igual a essa parte desenhada o

da alternativa B.

Resposta: Alternativa B.

Exemplo 27. (OBM) O arranjo a seguir, composto por 32 hexgonos, foi montado

com varetas, todas com comprimento igual ao lado do hexgono. Quantas varetas, no

mnimo, so necessrias para montar o arranjo?

a) 113. d) 132.

b) 123. e) 152.

c) 122.

Soluo:

Para resolver esse tipo de questo interessante identicar uma parte do arranjo que este-

ja se repetindo. Faamos o seguinte, vamos separar as duas primeiras colunas de hexgonos

do arranjo:

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Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos282

Observe que a coluna que est esquerda tem 16 varetas e a que est direita apenas 11

varetas (linhas cheias do desenho). E cada coluna acima tem trs hexgonos.

Temos um total de 32 hexgonos e como cada coluna possui trs hexgonos, ento po-

demos construir 10 colunas, restando dois hexgonos. O desenho a seguir mostra o arranjo

dividido em colunas e ao nal os dois hexgonos que sobraram:

1 coluna de 16 varetas

9 colunas de 11 varetas

2 hexgonos de 4 varetas

A partir desse desenho calcularemos a quantidade total de varetas utilizadas para formar

os 32 hexgonos. Teremos:

No de varetas = 1 16 + 9 11 + 2 4 = 123 (Resposta)

4.3. Questes Lgicas com Palitos

A Lgica com palitos tradicional e popular, sendo as questes mais conhecidas aquelas

que pedem o menor nmero de palitos de fsforo que devem ser movidos a m de realizar

uma determinada formao.

importante distinguir a diferena entre mover (deslocar) e retirar. Quando a questo

diz que se devem mover palitos signica mud-los de posio para formar uma nova congu-

rao, de modo que o total de palitos permanea inalterado; retirar palitos signica que esses

palitos retirados no faro parte da nova formao, portanto, o total de palitos ser reduzido.

4.3.1. Exerccios Resolvidos

Exemplo 28. (FCC) Movendo alguns palitos de fsforo da gura I, possvel trans-

form-la na gura II:

O menor nmero de palitos de fsforo que deve ser movido para fazer tal transfor-

mao :

a) 3; d) 6;

b) 4; e) 7.

c) 5;

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Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 283

Soluo:

Se movermos os cinco palitos indicados pelas setas vermelhas para o lado esquerdo da

gura I, obteremos a formao dos palitos da gura II.

Portanto, preciso mover apenas cinco palitos.

Resposta: Alternativa C.

Exemplo 29. (FCC) Movendo-se palito(s) de fsforo na gura I, possvel transfor-

m-la na gura II:

O menor nmero de palitos de fsforo que deve ser movido para fazer tal transfor-

mao :

a) 1; d) 4;

b) 2; e) 5.

c) 3;

Soluo:

Esta mais fcil que a anterior. Somente dois palitos da gura I, indicados pelas setas

vermelhas, precisam ser movidos para obter a formao mostrada na gura II.

Portanto, preciso mover apenas dois palitos.

Resposta: Alternativa B.

Exemplo 30. Observe a gura a seguir composta por 16 palitos, formando cinco

quadrados congruentes.

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Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos284

O nmero mnimo de palitos que se deve mover (no retirar) para obtermos exa-

tamente quatro quadrados congruentes :

a) 1;

b) 2;

c) 3;

d) 4;

e) 5.

Soluo:

necessrio apenas mover dois palitos, conforme se pode observar no novo desenho dos

palitos formando quadro quadrados congruentes.

Esse desenho continua com 16 palitos.

Resposta: Alternativa B.

Exemplo 31. (FCC) Seis palitos de picol so colocados sobre uma mesa em trs

las, como a gura mostra:

Enfrentam-se dois jogadores, X e Y. Cada um pode, na sua vez, retirar quantos pa-

litos quiser, desde que todos pertenam mesma la. Quem for obrigado a retirar o

ltimo palito perde. Suponha que o jogador X comece retirando os trs palitos da la

inferior. Nessa situao, Y certamente vencer se retirar:

a) o palito da la superior;

b) o palito da direita da la mdia;

c) os dois palitos da la mdia;

d) qualquer um dos palitos;

e) todos os palitos.

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Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 285

Soluo:Na gura trazida no enunciado, temos trs las: la superior (1 palito), la mdia (2 pa-

litos) e la inferior (3 palitos).O jogador X comeou o jogo retirando os trs palitos da la inferior, e a questo quer sa-

ber como Y deve proceder para que ele vena com certeza. Lembrando que quem for obrigado a retirar o ltimo palito perde.

Vamos testar as alternativas!

Alternativa A) Y retira o palito da la superiorAo fazer isso, restaro apenas os dois palitos da la intermediria. O jogador X deve retirar

somente um desses dois palitos, ento restar a Y o ltimo palito, perdendo, dessa forma, o jogo.Logo, esta alternativa deve ser descartada!

Alternativa B) Y retira o palito da direita da la mdiaAo fazer isso, restaro dois palitos: um da la superior e um da la mdia. O jogador X, ao

retirar qualquer um desses palitos, deixar para o jogador Y o ltimo palito. Logo, Y perde o jogo. Assim, esta alternativa deve ser descartada!

Alternativa C) Y retira os dois palitos da la mdiaAo fazer isso, restar apenas o palito da la superior. Nesse caso, o jogador X vai retirar o

ltimo palito, e, consequentemente, perder o jogo. Da, o jogador Y vence.Portanto, a alternativa correta a letra C.Resposta: Alternativa C.

4.4. Exerccios Propostos01. (TRT 5a Regio Analista Judicirio 2013 FCC) Para montar, com palitos de

fsforo, o quadriculado 2 x 2 mostrado na gura a seguir, foram usados, no total, 12 palitos.

Para montar um quadriculado 6 u6 seguindo o mesmo padro, devero ser usados, no total,a) 64 palitos.b) 72 palitos.c) 84 palitos.d) 96 palitos.e) 108 palitos.

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Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 2 Srgio Carvalho e Weber Campos286

02. (TRT-PE Tcnico 2006 FCC) Sabe-se que os pontos marcados nas faces opostas de um dado devem somar 7 pontos. Assim sendo, qual das gu-ras seguintes NO pode ser a planicao de um dado?

a) d)

b) e)

c)

03. A gura abaixo a planicao de um dado.

Os valores de A, B e C, respectivamente, para que essa gura forme um dado honesto soa) 1, 2, 3b) 1, 3, 2c) 2, 1, 3d) 3, 1, 2e) 3, 2, 1

04. (OMRJ) As faces opostas de um dado bem construdo somam sempre sete pontos. Um dado percorre um circuito como ilustrado nos dois movimen-tos feitos. Inicialmente, a face superior trs pontos. Qual ser a face superior ao nal de percorrer o circuito?

Posio inicial Primeiro movimento feito

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Captulo 4 Problemas Lgicos com Dados, Figuras e Palitos 287

a) 2 d) 5b) 3 e) 6c) 4

05. (FCC) A gura abaixo mostra trs dados iguais. O nmero da face que a base inferior da coluna de dados :

a) 1b) 2c) 4d) 6e) pode ser 1 ou 4

06. (OBM/2000) Trs dados idnticos, nos quais a soma das faces opostas 7, so colocados em uma mesa, conforme a gura abaixo, de modo que cada par de faces coladas tenha o mesmo nmero. Sabendo-se que a soma das faces visveis 43, qual a soma das faces, no visveis, que esto em contato com a mesa?

a) 6b) 8c) 13d) 15e) 21

07. Um jogador lana um dado honesto (soma das faces opostas sete) uma nica vez sobre uma mesa, de modo que ele observa a face superior e a face que est imediatamente a sua frente. A soma dos pontos dessas duas faces pode assumir qualquer um dos valores da sequnciaa) 2, 4, 6b) 5, 6, 7c) 6, 8, 10d) 7, 9, 11e) 8, 10, 12

08. (FCC) Nos dados bem construdos, a soma dos pontos das faces opostas sempre igual a 7. Um dado bem construdo foi lanado trs vezes. Se o produto dos pontos obtidos foi 36, o produto dos pontos das faces opos-tas pode ser

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