Desenvolvimento de um programa de elementos finitos versátil

DESENVOLVIMENTO DE UM PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS VERSTIL

ANDR FILIPE MARTINS DE SOUSA

Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAO EM ESTRUTURAS

Orientador: Professor Doutor lvaro Ferreira Marques Azevedo

OUTUBRO DE 2014

MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2013/2014

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

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mencionado o Autor e feita referncia a Mestrado Integrado em Engenharia Civil -

2013/2014 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2014.

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Autor.

Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil

O nico lugar onde sucesso

vem antes do trabalho no dicionrio.

Albert Einstein


i

RESUMO

A importncia da simulao numrica justifica a realizao de um trabalho que faa uso das

possibilidades computacionais para desenvolver uma soluo informtica que implemente o Mtodo do

Elementos Finitos na resoluo de diversos problemas na rea da engenharia estrutural.

Nesta dissertao so descritas diversas teorias e formulaes de elementos finitos usadas correntemente

na anlise de problemas estruturais. Das diversas formulaes e tipos de elementos finitos disponveis

so focados os elementos finitos unidimensionais, bidimensionais, tridimensionais, de viga e de laje.

So apresentados elementos finitos de viga formulados pela teoria de Euler-Bernoulli e pela teoria de

Timoshenko. Os elementos finitos de laje apresentados abrangem a teoria de Kirchhoff e a teoria de

Reissner-Mindlin.

De modo a implementar computacionalmente o Mtodo dos Elementos Finitos so discutidos os

fundamentos do mtodo e o seu mbito de aplicabilidade. alvo de pormenorizao a obteno das

funes de forma, das matrizes de rigidez elementares e dos vetores de foras nodais equivalentes.

focada a construo da equao de equilbrio global e a sua resoluo. A integrao numrica e a gerao

de malhas uma das partes constituintes da anlise estrutural pelo Mtodo dos Elementos Finitos.

Assim, so abordadas algumas tcnicas de gerao de malhas e discutidos alguns requisitos que as

malhas devem cumprir.

So abordados alguns conceitos sobre desenvolvimento de programas informticos, discutido o modo

como o programa desenvolvido foi construdo e apresentados alguns cdigos exemplificativos de

algumas das tarefas realizadas.

apresentado o programa de modelao e anlise estrutural pelo Mtodo dos Elementos Finitos

desenvolvido no mbito desta dissertao. So referidas e apresentadas algumas classes e mtodos do

programa. apresentada a interface grfica do utilizador e as funcionalidades disponveis. De modo a

exemplificar o funcionamento do programa so detalhadas todas as etapas desde a modelao da

estrutura at visualizao grfica dos resultados.

PALAVRAS-CHAVE: Mtodo dos Elementos Finitos, Elementos Unidimensionais, Elementos

Bidimensionais, Elementos Tridimensionais, Vigas, Lajes, Desenvolvimento de Software, Java, FEM

for Students.


ii


iii

ABSTRACT

The importance of numerical simulation justifies a work that makes use of computational possibilities

to develop a software solution that implements the Finite Element Method to solve various problems in

the area of structural engineering.

This dissertation describes several theories and formulations currently used in finite element structural

analysis problems. From the different formulations and types of finite elements available, the focus is

on one-dimensional, two-dimensional, three-dimensional finite element, beams and slabs. Finite beam

elements formulated by the Euler-Bernoulli theory and the Timoshenko theory are presented. The finite

element slab presented covers the Kirchhoff theory and Reissner-Mindlin theory.

In order to implement computationally the Finite Element Method, the fundamentals of the method and

its scope of applicability are discussed. The acquisition of shape functions, the elementary stiffness

matrix and equivalent nodal forces vector are detailed. The construction of the global equilibrium

equation and its resolution is focused on. The numerical integration and mesh generation is one of the

constituent parts of the structural analysis by Finite Element Method. Thus, some techniques for mesh

generation are addressed and requirements that the meshes must meet are discussed.

Concepts on the development of computer programs are referred to, how the software was built is

discussed and illustrative codes of some of the tasks performed are presented.

Program modelling and structural analysis by Finite Element Method developed in the context of this

dissertation is presented. Classes and methods of the program are referred to and presented. The

graphical user interface and functionalities are addressed. In order to demonstrate the operation of the

program, all the steps from the structure modelling to the graphic display of results are detailed.

KEYWORDS: Finite Element Method, One-dimensional Elements, Two-dimensional Elements, Tree-di-

mensional Elements, Beams, Slabs, Software Development, Java, FEM for Students.


iv


v

NDICE GERAL

RESUMO .................................................................................................................................. i

ABSTRACT .............................................................................................................................................. iii

1. INTRODUO .......................................................................................................................... 1

1.1. MBITO E OBJETIVOS DO TRABALHO ............................................................................................ 1

1.2. ESTRUTURAO DA DISSERTAO................................................................................................ 2

2. FUNDAMENTOS DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ................. 3

2.1. DESCRIO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ..................................................................... 3

2.2. ANLISE DE MEIOS DISCRETOS E MEIOS CONTNUOS ................................................................. 4

2.3. METODOLOGIA DE CLCULO .......................................................................................................... 5

2.4. ABORDAGEM DE ENGENHARIA ....................................................................................................... 5

2.4.1. SELEO DO MODELO ESTRUTURAL .................................................................................................. 5

2.4.2. DISCRETIZAO DO MODELO ............................................................................................................. 6

2.4.3. SISTEMA DE EQUAES ELEMENTARES ............................................................................................. 7

2.4.4. ASSEMBLAGEM ................................................................................................................................. 8

2.4.5. CONDIES DE FRONTEIRA E CARREGAMENTOS ................................................................................ 9

2.4.6. RESOLUO DO SISTEMA DE EQUAES ........................................................................................... 9

2.4.7. VERIFICAO E VALIDAO DOS RESULTADOS ................................................................................. 10

2.5. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ......................................................................................... 10

2.6. REQUISITOS PARA A CONVERGNCIA DA SOLUO ................................................................... 12

2.6.1. CONDIO DE CONTINUIDADE ......................................................................................................... 12

2.6.2. CONDIO DE DERIVABILIDADE........................................................................................................ 13

2.6.3. CONDIO DE INTEGRABILIDADE ...................................................................................................... 13

2.6.4. CONDIO DE CORPO RGIDO ......................................................................................................... 13

2.6.5. CONDIO DE DEFORMAO CONSTANTE ........................................................................................ 13

3. FORMULAO DE ELEMENTOS FINITOS ....................................................... 15

3.1. ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAIS ...................................................................................... 15

3.1.1. TENSO ......................................................................................................................................... 15

3.1.2. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS .............................................................................................. 16


vi

3.1.3. FUNES DE FORMA ...................................................................................................................... 16

3.1.4. CAMPO DE DESLOCAMENTOS .......................................................................................................... 17

3.1.5. CAMPO DE DEFORMAES ............................................................................................................. 17

3.1.6. CAMPO DE TENSES ...................................................................................................................... 17

3.1.7. ESFOROS INTERNOS .................................................................................................................... 18

3.1.8. TRANSFORMAO DE COORDENADAS ............................................................................................. 18

3.2. ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONAIS ........................................................................................ 19

3.2.1. ESTADO PLANO DE TENSO/DEFORMAO ..................................................................................... 19

3.2.2. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ............................................................................................. 20

3.2.3. FUNES DE FORMA ...................................................................................................................... 21



3.2.6. CAMPO DE TENSES ...................................................................................................................... 23

3.2.7. TENSES E DIREES PRINCIPAIS .................................................................................................. 23

3.3. ELEMENTOS FINITOS TRIDIMENSIONAIS ...................................................................................... 24

3.3.1. ESTADO GERAL DE TENSO............................................................................................................ 24

3.3.2. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ............................................................................................. 25

3.3.3. FUNES DE FORMA ...................................................................................................................... 26



3.3.6. CAMPO DE TENSES ...................................................................................................................... 28

3.3.7. FAMLIAS DE ELEMENTOS FINITOS ................................................................................................... 28

3.4. ELEMENTOS FINITOS DE VIGA ...................................................................................................... 29

3.4.1. VIGAS PELA TEORIA DE EULER-BERNOULLI ...................................................................................... 29

3.4.1.1. Breve Descrio da Teoria ....................................................................................................... 29

3.4.1.2. Princpio dos Trabalhos Virtuais ............................................................................................... 29

3.4.1.3. Funes de Forma ................................................................................................................... 30

3.4.1.4. Campo de Deslocamentos ....................................................................................................... 30

3.4.1.5. Campo de Deformaes ........................................................................................................... 31

3.4.1.6. Campo de Tenses .................................................................................................................. 31

3.4.1.7. Esforos Internos ...................................................................................................................... 32

3.4.2. VIGAS PELA TEORIA DE TIMOSHENKO .............................................................................................. 32

3.4.2.1. Breve Descrio da Teoria ....................................................................................................... 32


vii


3.4.2.3. Funes de Forma .................................................................................................................... 33

3.4.2.4. Campo de Deslocamentos ........................................................................................................ 33


3.4.2.6. Campo de Tenses ................................................................................................................... 35


3.5. ELEMENTOS FINITOS DE LAJE ...................................................................................................... 36

3.5.1. LAJES PELA TEORIA DE KIRCHHOFF ................................................................................................. 36

3.5.1.1. Breve Descrio da Teoria ........................................................................................................ 36


3.5.1.3. Funes de Forma .................................................................................................................... 37



3.5.1.6. Campo de Tenses ................................................................................................................... 39


3.5.2. LAJES PELA TEORIA DE REISSNER-MINDLIN ...................................................................................... 40

3.5.2.1. Breve Descrio da Teoria ........................................................................................................ 40


3.5.2.3. Funes de Forma .................................................................................................................... 42



3.5.2.6. Campo de Tenses ................................................................................................................... 44


4. ELEMENTOS FINITOS COM SUBSTITUIO DE VARIVEL ............. 47

4.1. SUBSTITUIO DE VARIVEL EM UMA DIMENSO ...................................................................... 47

4.2. SUBSTITUIO DE VARIVEL EM DUAS DIMENSES .................................................................. 49

4.3. SUBSTITUIO DE VARIVEL EM TRS DIMENSES ................................................................... 52

5. INTEGRAO NUMRICA ........................................................................................... 55

5.1. SELEO DO MTODO DE INTEGRAO NUMRICA ................................................................... 55

5.2. QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE .......................................................................................... 55

5.2.1. FUNDAMENTOS DA QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE ................................................................... 55


viii

5.2.2. INTEGRAO NUMRICA EM UMA DIMENSO ................................................................................... 56

5.2.3. INTEGRAO NUMRICA EM DUAS DIMENSES ................................................................................ 57

5.2.4. INTEGRAO NUMRICA EM TRS DIMENSES ................................................................................ 58

5.3. OUTRAS QUADRATURAS .............................................................................................................. 58

5.4. AVALIAO DA MATRIZ DE DEFORMAO.................................................................................. 59

6. GERAO DE MALHAS DE ELEMENTOS FINITOS ................................. 61

6.1. MALHAS DE ELEMENTOS FINITOS ................................................................................................ 61

6.2. TCNICAS DE GERAO DE MALHAS .......................................................................................... 61

6.2.1. GERAO POR SOBREPOSIO DE GRELHA .................................................................................... 61

6.2.2. GERAO POR TRANSFORMAO DE COORDENADAS ...................................................................... 62

6.2.3. GERAO POR MAPEAMENTO CONFORME ....................................................................................... 62

6.2.4. GERAO POR MAPEAMENTO ISOPARAMTRICO .............................................................................. 63

6.2.5. GERAO POR MAPEAMENTO TRANSFINITO .................................................................................... 63

6.2.6. GERAO POR TRIANGULAO DE DELAUNAY ................................................................................. 63

6.2.7. GERAO POR QUADTREES ............................................................................................................ 63

6.3. TIPOS DE REFINAMENTO .............................................................................................................. 64

6.4. REFINAMENTO DA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS ................................................................... 64

6.5. QUALIDADE DAS MALHAS DE ELEMENTOS FINITOS ................................................................... 65

7. NOES SOBRE DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE ..................... 69

7.1. PROJETO DE SOFTWARE .............................................................................................................. 69

7.2. LINGUAGENS DE PROGRAMAO ................................................................................................ 70

7.2.1. CRITRIOS DE AVALIAO DA LINGUAGEM ....................................................................................... 70

7.2.2. CATEGORIAS DE LINGUAGENS DE PROGRAMAO ........................................................................... 71

7.2.3. MTODOS DE IMPLEMENTAO ....................................................................................................... 71

7.2.3.1. Compilao ............................................................................................................................... 71

7.2.3.2. Interpretao ............................................................................................................................. 72

7.2.3.3. Sistemas de Implementao Hbridos ...................................................................................... 72

7.3. PRINCPIOS DE DESENVOLVIMENTO ............................................................................................ 72

7.4. DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE ............................................................................................. 73

7.4.1. PROCESSO DE DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE........................................................................... 73

7.4.2. PRINCPIOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................................ 74


ix

7.4.3. CONCEITOS DE PROJETO ................................................................................................................ 74

7.4.3.1. Abstrao .................................................................................................................................. 74

7.4.3.2. Arquitetura ................................................................................................................................. 75

7.4.3.3. Padres ..................................................................................................................................... 75

7.4.3.4. Modularidade ............................................................................................................................. 75

7.4.3.5. Encapsulamento ........................................................................................................................ 76

7.4.3.6. Independncia Funcional .......................................................................................................... 76

7.4.3.7. Refinamento .............................................................................................................................. 76

7.4.3.8. Refatorao ............................................................................................................................... 76

7.4.3.9. Projeto Orientado a Objetos ...................................................................................................... 77

7.4.3.10. Projeto de Classes .................................................................................................................. 77

7.4.4. AMBIENTES DE DESENVOLVIMENTO ................................................................................................. 77

7.5. INTERFACE GRFICA DO UTILIZADOR .......................................................................................... 77

8. IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL ............................................................... 79

8.1. FOCO E FUNCIONALIDADES DO PROGRAMA ................................................................................ 79

8.2. PROGRAMAO EM JAVA ............................................................................................................. 79

8.3. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ............................................................................................. 81

8.3.1. CRIAO DOS ELEMENTOS FINITOS ................................................................................................. 81

8.3.2. ASSEMBLAGEM E RESOLUO DO SISTEMA DE EQUAES ............................................................... 87

8.3.3. EXTENSES, TENSES E ESFOROS INTERNOS ............................................................................... 90

8.4. INTERFACE GRFICA DO UTILIZADOR .......................................................................................... 93

8.4.1. ELEMENTOS DA INTERFACE DO UTILIZADOR ..................................................................................... 93

8.4.2. DESENHO DOS ELEMENTOS DO MODELO ESTRUTURAL ..................................................................... 96

8.4.3. APRESENTAO GRFICA DOS RESULTADOS ................................................................................. 101

8.5. PERSISTNCIA DE DADOS ........................................................................................................... 103

9. APRESENTAO DO PROGRAMA FEM FOR STUDENTS ................ 105

9.1. DESCRIO DO PROGRAMA ....................................................................................................... 105

9.2. PAINEL INICIAL E SEPARADORES ............................................................................................... 106

9.3. ETAPA DE MODELAO .............................................................................................................. 107

9.4. TIPOS DE ANLISE ....................................................................................................................... 110

9.5. APRESENTAO DOS RESULTADOS .......................................................................................... 112


x

9.6. OUTRAS FUNCIONALIDADES ...................................................................................................... 113

10. CONCLUSO .................................................................................................................... 115

10.1. CONSIDERAES FINAIS .......................................................................................................... 115

10.2. SUGESTES PARA DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ............................................................... 116

BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................................... 117

ANEXOS ........................................................................................................................................ 119

A. PACOTES E CLASSES DO PROJETO DO FEM FOR STUDENTS ................................................... 121

A.1. PACOTES DO PROJETO ................................................................................................................... 121

A.2. CLASSES DE CADA PACOTE ............................................................................................................. 121

B. MODELAO E ANLISE DE UM PRTICO .................................................................................... 127

C. MODELAO E ANLISE DE UMA PAREDE ................................................................................... 129


xi

NDICE DE FIGURAS

Fig.2.1 Discretizao de uma viga com elementos finitos retangulares ............................................... 6

Fig.2.2 Malha constituda por elementos finitos unidimensionais ......................................................... 8

Fig.2.3 Corpo sujeito a diversos tipos de aes exteriores ................................................................ 11

Fig.3.1 Elemento finito unidimensional sujeito a uma carga axial ...................................................... 16

Fig.3.2 Elemento finito unidimensional de n ns................................................................................. 17

Fig.3.3 Elemento finito retangular de quatro ns ................................................................................ 20

Fig.3.4 Definio de tenses, tenses principais e respetivas direes ............................................ 23

Fig.3.5 Slido sujeito a um estado tridimensional de tenso .............................................................. 24

Fig.3.6 Elemento finito paralelepipdico de oito ns .......................................................................... 26

Fig.3.7 Elemento finito de viga sujeito a um carregamento transversal ............................................. 29

Fig.3.8 Elemento finito de viga com n ns .......................................................................................... 30

Fig.3.9 Elemento finito de viga com n ns .......................................................................................... 33

Fig.3.10 Graus de liberdade e orientaes das rotaes ................................................................... 36

Fig.3.11 Elemento finito retangular de quatro ns .............................................................................. 37

Fig.3.12 Representao do deslocamento de um ponto no plano xz ................................................. 38

Fig.3.13 Elemento finito retangular de quatro ns. ............................................................................. 42

Fig.3.14 Representao do deslocamento de um ponto no plano xz. ................................................ 42

Fig.4.1 Elemento finito unidimensional de n ns com substituio de varivel .................................. 47

Fig.4.2 Transformao de um elemento real para um elemento normalizado ................................... 49

Fig.4.3 Transformao de um elemento real para um elemento normalizado ................................... 52

Fig.6.1 Gerao de malhas por sobreposio de grelha .................................................................... 62

Fig.6.2 Gerao de malhas por transformao de coordenadas ........................................................ 62

Fig.6.3 Gerao de malhas por mapeamento isoparamtrico ............................................................ 63

Fig.6.4 Gerao de malhas pela tcnica de quadtree ........................................................................ 64

Fig.6.5 Transio entre elementos finitos de dimenses diferentes ................................................... 65

Fig.6.6 Ligaes no conformes entre elementos finitos .................................................................... 66

Fig.6.7 Elementos finitos de geometria desproporcionada ou distorcida ........................................... 66

Fig.9.1 Visualizao da janela e do painel inicial do programa ........................................................ 106

Fig.9.2 Ferramentas do separador Draw .......................................................................................... 108

Fig.9.3 Ferramentas do separador View ........................................................................................... 108

Fig.9.4 Ferramentas do separador Geometry ................................................................................... 108


xii

Fig.9.5 Contedo do painel lateral Materials .................................................................................... 109

Fig.9.6 Ferramentas do separador Loads ........................................................................................ 109

Fig.9.7 Contedo do painel lateral Uniformly Distributed Loads ...................................................... 110

Fig.9.8 Funcionalidades do separador Analysis ............................................................................... 111

Fig.9.9 Contedo do painel lateral Numerical Analysis .................................................................... 111

Fig.9.10 Funcionalidades do separador Results .............................................................................. 112

Fig.9.11 Contedo do painel lateral Displacements ......................................................................... 112

Fig.B.1 Visualizao do painel inicial do programa .......................................................................... 127

Fig.B.2 Representao do prtico em anlise ................................................................................. 127

Fig.B.3 Visualizao da matriz de rigidez da estrutura .................................................................... 128

Fig.B.4 Visualizao do diagrama de momentos fletores ................................................................ 128

Fig.C.1 Visualizao do painel inicial do programa .......................................................................... 129

Fig.C.2 Desenho de um retngulo para representar a parede ........................................................ 129

Fig.C.3 Refinamento da malha de elementos finitos ........................................................................ 130

Fig.C.4 Escolha da quadratura e do nmero de pontos de integrao ............................................ 130

Fig.C.5 Visualizao da deformada da parede ................................................................................ 131

Fig.C.6 Visualizao do mapa de tenses na parede ...................................................................... 131


xiii

NDICE DE TABELAS

Tabela 5.1 Posies dos pontos de amostragem e respetivos pesos ................................................ 56

Tabela 5.2 Pesos e posies dos pontos de amostragem para quadrilteros ................................... 57

Tabela 5.3 Pesos e posies dos pontos de amostragem para hexaedros ....................................... 59

Tabela A.1 Pacotes e nmero de classes em cada pacote .............................................................. 121

Tabela A.2 Descrio das classes do pacote backend .................................................................... 121

Tabela A.3 Descrio das classes do pacote calculations ............................................................... 122

Tabela A.4 Descrio das classes do pacote finiteelement .............................................................. 122

Tabela A.5 Descrio das classes do pacote frontend ..................................................................... 123

Tabela A.6 Descrio das classes do pacote gausslegendre .......................................................... 124

Tabela A.7 Descrio das classes do pacote gausslobatto .............................................................. 124

Tabela A.8 Descrio das classes do pacote matrices .................................................................... 124

Tabela A.9 Descrio das classes do pacote shapefunctions .......................................................... 125

Tabela A.10 Descrio das classes do pacote variablesubstitution ................................................. 125


xiv


1

1 INTRODUO

1.1. MBITO E OBJETIVOS DO TRABALHO

A simulao numrica fundamental para a competitividade do projeto de estruturas. O projeto de

estruturas necessita de ferramentas informticas que auxiliem o seu desenvolvimento. A dificuldade ou

a impossibilidade de construir modelos fsicos para validar os pressupostos do projeto impulsionou o

desenvolvimento de ferramentas de simulao numrica. O Mtodo dos Elementos Finitos uma destas

ferramentas ao alcance dos projetistas.

O Mtodo dos Elementos Finitos um mtodo matemtico de anlise e resoluo de problemas

cientficos e de engenharia. De uma forma geral, o Mtodo dos Elementos Finitos utilizado na busca

de solues para problemas complexos, para os quais no se conhece uma soluo exata que possa ser

expressa de forma analtica. A grande quantidade de clculo associada aplicao deste mtodo requer

a utilizao de computadores capazes de dar resposta ao elevado nmero de clculos efetuados. Surge,

deste modo, a necessidade de transformar a formulao matemtica do Mtodo dos Elementos Finitos

num conjunto de instrues que possam ser interpretadas pelos computadores.

Antes de implementar computacionalmente o Mtodo dos Elementos Finitos necessrio fazer um

estudo aprofundado da sua formulao. Assim, so apresentadas diversas formulaes de elementos

finitos, nomeadamente, as formulaes de elementos finitos unidimensionais, bidimensionais,

tridimensionais, de viga e de laje. considerado que os materiais apresentam comportamento linear

elstico e que as estruturas e cargas estruturais so estticas. Esta simplificao reflete a forma de muitos

dos problemas estruturais encontrados na prtica de engenharia. O uso da integrao numrica tambm

abordado na medida do uso recorrente que tem no mbito do Mtodo dos Elementos Finitos. Como a

anlise de um problema requer a decomposio do domnio em estudo numa malha de elementos finitos,

so abordadas algumas tcnicas para gerao de malhas de elementos finitos e discutida a sua qualidade.

O desenvolvimento de ferramentas de simulao numrica orientadas para uso profissional tem

renegado a componente acadmica para segundo plano. A componente prtica desta dissertao consiste

no desenvolvimento de uma ferramenta orientada para o ensino do Mtodo dos Elementos Finitos. Esta

ferramenta disponibiliza a experincia de modelar com elementos finitos e face multiplicidade de

plataformas e velocidade com que evoluem, o programa desenvolvido foi construdo utilizando a

linguagem de programao Java.

Relativamente ao Mtodo dos Elementos Finitos so discutidos alguns dos seus fundamentos e

apresentadas as metodologias para obteno das funes de forma, clculo das matrizes de rigidez

elementares e vetores de foras nodais equivalentes. abordada a gerao de malhas de elementos

finitos, a resoluo do sistema de equaes global e o clculo dos esforos e tenses ao nvel de cada


2

elemento finito. Do ponto de vista de programao so apresentados alguns conceitos sobre o projeto

de programas informticos. Como referido, a componente prtica desta dissertao consiste no

desenvolvimento de um programa de modelao e anlise estrutural por elementos finitos. Assim,

discutido o modo como o Mtodo dos Elementos Finitos est implementado computacionalmente no

programa desenvolvido.

Finalmente, o programa desenvolvido apresentado pelas ticas do programador e utilizador. Do ponto

de vista do programador discutido o modo como o programa foi construdo e exemplifica-se com a

apresentao de excertos de algumas das classes e mtodos do projeto. Esta exemplificao consiste na

apresentao de alguns dos cdigos construdos para realizar operaes de clculo associadas ao Mtodo

dos Elementos Finitos e outras relativas interface grfica do utilizador. Na tica de utilizao do

programa descrita a sua interface grfica com especificao do modo como as etapas associadas a uma

anlise por elementos finitos so realizadas.

1.2. ESTRUTURAO DA DISSERTAO

A presente dissertao est organizada em dez captulos. Esta diviso resultante da distribuio de

assuntos abordados.

O segundo captulo apresenta os fundamentos do Mtodo dos Elementos Finitos necessrios para a

compreenso dos assuntos abordados nos captulos seguintes.

No terceiro e quarto captulo so apresentados os mais comuns tipos de elementos finitos e teorias

associadas. Estes captulos so dedicados apresentao das formulaes de elementos finitos

unidimensionais, bidimensionais, tridimensionais, de viga e de laje. Pretende-se apresentar a informao

necessria compreenso das diversas formulaes de elementos finitos.

O quinto e o sexto captulo so dedicados integrao numrica e gerao de malhas de elementos

finitos, respetivamente. Procura-se completar a informao apresentada nos captulos anteriores sobre o

Mtodo dos Elementos Finitos.

No stimo captulo so referidos alguns conceitos fundamentais para as fases de planeamento e

desenvolvimento de programas informticos. So transmitidos alguns conhecimentos especficos sobre

programao e informaes necessrias correta tomada de decises ao longo do projeto de software.

O oitavo captulo dedicado implementao computacional. Neste captulo feita a apresentao do

programa na tica do programador, ou seja, apresentado o modo como o programa est construdo

com a incluso de alguns cdigos para exemplificao.

O nono captulo refere-se apresentao da interface grfica do programa de modelao e anlise

estrutural por elementos finitos desenvolvido no mbito desta dissertao.

Por fim, so apresentadas algumas concluses e sugestes para desenvolvimentos futuros.


3

2 FUNDAMENTOS DO MTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

2.1. DESCRIO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O Mtodo dos Elementos Finitos uma excelente ferramenta numrica de resoluo de problemas do

meio contnuo. Hoje em dia, impensvel projetar estruturas inovadoras e/ou arrojadas sem se recorrer

a este mtodo de anlise estrutural.

A formulao do Mtodo dos Elementos Finitos apresentada neste trabalho uma extenso da

formulao matricial do Mtodo dos Deslocamentos. Desta forma, muitos dos conceitos associados ao

Mtodo dos Deslocamentos tm correspondncia com os da formulao do Mtodo dos Elementos

Finitos [2]. Por exemplo, destacam-se as noes de grau de liberdade, deslocamento generalizado, fora

generalizada, matriz de rigidez elementar, vetor de foras nodais equivalentes, assemblagem, introduo

das condies de apoio, equao de equilbrio, etc.

No mbito da Engenharia de Estruturas, o Mtodo dos Elementos Finitos tem como finalidade a

determinao do estado de tenso e de deformao de um elemento ou estrutura sujeita a aes

exteriores. , assim, til recorrer a uma sucesso de anlises e modificaes das suas caractersticas,

com o objetivo de se alcanar uma soluo otimizada, quer em termos econmicos, quer na verificao

dos requisitos funcionais e regulamentares [2].

O meio contnuo de carcter estrutural , em geral, muito complexo para ser analisado de forma exata,

por isso, so adotadas hipteses simplificadoras para criar um modelo matemtico aproximado em

relao ao sistema fsico original. O comportamento esttico, por exemplo, pressupe que as foras so

aplicas de forma suficientemente lenta de maneira a se poder desprezar as foras de inrcia e de

amortecimento. A linearidade material corresponde adoo de uma relao linear entre tenses e

deformaes. A linearidade geomtrica implica que os deslocamentos nas estruturas sejam

suficientemente pequenos de forma que as equaes de equilbrio possam ser escritas na configurao

indeformada. Deste modo, a escolha do tipo de anlise parte integrante do procedimento de modelao.

A modelao de um problema genrico que envolve meios contnuos, atravs da anlise de partes

discretas desses meios, em detrimento do todo d-se o nome de discretizao. Cada elemento finito e as

leis que regem o seu comportamento contribuem para o conhecimento e a anlise do problema global

[21]. A passagem da escala de anlise ao nvel de cada elemento finito para a anlise do todo d-se o

nome de assemblagem. Assim, na tica do utilizador, a resoluo de um problema complexo, ou sem

soluo analtica conhecida, pelo Mtodo dos Elementos Finitos passa pela resoluo sequencial e

estruturada de vrios problemas mais simples com soluo matemtica conhecida que, quando

agrupados, conduzem a uma soluo do problema global inicial.


4

O Mtodo dos Elementos Finitos um mtodo aproximado e por este motivo a realizao de uma

simulao numrica sempre um modo aproximado para resolver um problema complexo. Assim, a sua

utilizao deve ser limitada a problemas para os quais no existam abordagens ou solues analticas

para a sua resoluo. Quando se recorre ao Mtodo dos Elementos Finitos para resolver problemas de

engenharia importante identificar as possveis fontes de erro e estimar a sua magnitude. A qualidade e

o rigor que empregue na modelao do problema estrutural vai influenciar os resultados obtidos da

anlise.

2.2. ANLISE DE MEIOS DISCRETOS E MEIOS CONTNUOS

Correntemente a anlise de estruturas feita com recurso a modelos de sistemas discretos. Este tipo de

anlise carateriza-se por fazer uso de um conjunto de elementos que modelam o domnio em estudo e

que se encontram unidos pelas suas extremidades. Estes elementos podem estar sujeitos a um conjunto

diversificado de aes exteriores. So exemplo de sistemas discretos as estruturas articuladas, as

estruturas reticuladas e as grelhas.

As estruturas articuladas caraterizam-se pelo facto dos seus membros transmitirem, unicamente,

esforos axiais. A ligao dos membros das estruturas articuladas feita por meio de articulaes da a

designao de estrutura articulada. Este facto leva a que haja liberdade de rotao nas articulaes. Uma

estrutura reticulada caracteriza-se pelo facto dos ns das suas barras estarem ligados de forma rgida ao

contrrio das estruturas articuladas em que estes esto ligados por meio de articulaes. Os membros de

uma estrutura reticulada podem ser submetidos a foras axiais, como os membros das estruturas

articuladas, bem como a esforos transversos e a momentos fletores, como os elementos de vigas. As

relaes de rigidez para os elementos de uma estrutura reticulada podem ser convenientemente obtidas

pela combinao das relaes de rigidez da estrutura articulada com os membros de viga. Uma grelha

uma estrutura onde as foras so aplicadas perpendicularmente ao seu plano, ao contrrio do que

acontece com os prticos planos onde as foras so aplicadas no seu plano.

A utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos no se cinge anlise de sistemas discretos como os

referidos anteriormente. De facto, a sua generalizao permite cobrir a anlise do comportamento de

meios contnuos. A soluo matemtica da maioria dos problemas na Engenharia de Estruturas passa

pela determinao de um conjunto de incgnitas que representam variveis fsicas [21]. Estas variveis

so os graus de liberdade do problema.

Na sua essncia, a anlise de uma estrutura pelo Mtodo dos Elementos Finitos uma aplicao do

Mtodo dos Deslocamentos. Em prticos, trelias e grelhas, os elementos so barras ligadas pelos ns.

Estes elementos de barra so considerados como sendo unidimensionais. Elementos finitos

bidimensionais ou tridimensionais so utilizados na anlise de paredes, lajes, reservatrios e estruturas

de massa. Sendo a soluo obtida pelo Mtodo dos Elementos Finitos aproximada, a convergncia para

a soluo exata conseguida quando o nmero de parmetros desconhecidos aumentado. Estes

parmetros desconhecidos correspondem aos deslocamentos nodais da malha de elementos finitos. Por

outras palavras, quando utiliza uma malha de elementos finitos mais refinada, mais deslocamentos

nodais desconhecidos so envolvidos sendo, deste modo, alcanada uma maior preciso.

A formulao matemtica do Mtodo do Elementos Finitos aplicada a meios contnuos consiste em

substituir o integral sobre um domnio complexo por um somatrio de integrais estendidos a

subdomnios de geometria mais simples [2]. Se for possvel calcular todos os integrais estendidos aos

subdomnios, no final, basta efetuar o somatrio para se obter o valor do integral estendido a todo o

domnio.


5

2.3. METODOLOGIA DE CLCULO

A aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos na anlise estrutural consiste na criao de um modelo

que aproxime as propriedades geomtricas e mecnicas da estrutura real com um nmero infinito de

graus de liberdade por um modelo com um nmero finito de graus de liberdade.

Simplificadamente, os passos necessrios para realizar uma anlise pelo Mtodo dos Elementos Finitos

so os seguintes:

1. Seleo do modelo estrutural adequado anlise pretendida e definio das propriedades

dos materiais;

2. Diviso do domnio da estrutura recorrendo a linhas, superfcies ou volumes, gerando uma

malha de elementos finitos;

3. Clculo das matrizes de rigidez elementares e dos vetores de foras nodais equivalentes

para cada elemento finito;

4. Assemblagem das contribuies de cada elemento finito na matriz de rigidez e vetor de

foras globais da estrutura;

5. Introduo das condies de fronteira e resoluo do sistema de equaes;

6. Clculo das extenses e tenses para cada elemento finito a partir do conhecimento dos

deslocamentos nodais;

7. Interpretao e apresentao dos resultados graficamente;

8. Avaliao da necessidade de considerar alteraes ao modelo ou aumento do refinamento

da malha de elementos finitos de modo a precisar as zonas onde existam variaes de

tenses acentuadas.

A sequncia de passos apresentada pretende mostrar o encadeamento usado numa anlise por elementos

finitos. Ao longo dos captulos 2 a 6 so pormenorizados cada um destes passos de modo a no final

estarem reunidas as condies necessrias implementao computacional do mtodo. Importa destacar

a importncia das decises que se tomam ao longo do cumprimento destes passos, pois, os resultados

obtidos da anlise vm afetados por essas decises.

2.4. ABORDAGEM DE ENGENHARIA

2.4.1. SELEO DO MODELO ESTRUTURAL

O primeiro passo para resoluo de um problema a identificao do prprio problema. Para se poder

analisar corretamente um problema necessrio identifica-lo corretamente. A correta identificao de

todos os fenmenos fsicos envolvidos que influenciam o comportamento da estrutura, a natureza

esttica ou dinmica, as propriedades dos materiais, entre outros, so fundamentais para a escolha

adequada do modelo estrutural. Quando se pretende modelar um problema por elementos finitos

necessrio escolher, por exemplo, se a anlise vai ser bidimensional ou tridimensional. A escolha tem

implicaes na quantidade de clculos realizados.

Os modelos, no mbito de uma anlise por elementos finitos, costumam ser classificados como

conceptuais, estruturais ou computacionais [13].

Os modelos computacionais so aplicados aos modelos conceptuais de um problema real e no ao

problema real em si [13]. Um modelo conceptual pode ser desenvolvido no seguimento da compreenso

da natureza fsica de um problema. Um modelo conceptual deve excluir os detalhes suprfluos e incluir

todas as caractersticas relevantes do problema em anlise de modo a descrever a realidade com preciso

adequada.


6

Um modelo conceptual para o estudo de uma estrutura deve incluir todos os dados necessrios para a

sua representao e anlise. Depois de se selecionar um modelo conceptual adequado para uma estrutura,

o passo seguinte para o seu estudo a definio de um modelo estrutural. Um modelo estrutural deve

incluir a descrio geomtrica da estrutura por meio dos seus componentes geomtricos, a expresso

matemtica das leis fsicas bsicas que regem o comportamento da estrutura e a especificao das

propriedades dos materiais e das cargas que atuam sobre a estrutura [13]. perfeitamente possvel que

o mesmo modelo conceptual de uma estrutura possa ser analisado utilizando diferentes modelos

estruturais, dependendo do rigor e/ou simplicidade procurada na anlise.

O passo seguinte na sequncia da anlise estrutural a escolha de um mtodo numrico. A aplicao do

Mtodo dos Elementos Finitos , normalmente, feita com a sua implementao num programa de

computador. No Captulo 9 apresentado o programa desenvolvido no mbito desta dissertao que

possibilita a modelao e a anlise estrutural pelo Mtodo dos Elementos Finitos.

2.4.2. DISCRETIZAO DO MODELO

A discretizao de um modelo em elementos finitos constitui uma das primeiras tarefas na anlise por

elementos finitos. A figura 2.1 mostra a discretizao de uma viga de espessura h com recurso a

elementos finitos retangulares.

Fig.2.1 Discretizao de uma viga com elementos finitos retangulares.

Todo o conhecimento sobre problemas fsicos, elementos finitos e algoritmos de resoluo contribui

para a experincia de modelao. A principal dificuldade enfrentada nesta etapa consiste em no

entender a ao fsica e as condies fronteira da estrutura real, bem como as limitaes da teoria

aplicvel, para criar um modelo adequado. Outra dificuldade de no compreender o comportamento

dos vrios elementos finitos para se selecionar os adequados resoluo do problema. O resultado pode

ser uma m pormenorizao do problema. Um modelo que no incorpore as caractersticas importantes

do problema fsico, uma discretizao imprpria dos carregamentos ou uma introduo de condies de

apoio inadequadas conduz a que os resultados obtidos no tenham correspondncia com os observados

na realidade.

Os utilizadores de programas de modelao por elementos finitos esto habituados utilizao de

ferramentas que geram automaticamente as malhas para o domnio em estudo. Contudo, a qualidade da

malha depende da qualidade dos algoritmos programados para a gerar. Logo, esto dependentes do

conhecimento que o programador tem sobre a modelao com elementos finitos. Portanto, o

procedimento de modelao no dever nunca ser menosprezado independentemente da sua dimenso

ou importncia. Face importncia que a modelao por elementos finitos apresenta esta costuma ser

considerada uma arte [3].


7

adequado que uma malha de elementos finitos seja composta por elementos finitos pouco distorcidos,

com dimenses semelhantes e refinada o suficiente para a obteno de resultados com qualidade

aceitvel. A melhor preciso est associada modelao com muitos elementos finitos e de ordem de

interpolao mais elevada. Igual preciso pode ser obtida com elementos de baixa ordem recorrendo a

um elevado refinamento da malha. A escolha do elemento finito tambm dependente do problema em

anlise. Um elemento ou malha que funcione bem numa situao pode funcionar mal noutra. A escolha

est dependente do conhecimento sobre cada elemento finito e da compreenso fsica do problema.

O principal problema associado ao custo computacional de uma anlise que as capacidades

computacionais so limitadas. Isto pode no ser evidente na anlise de pequenos problemas mas torna-

se relevante nos grandes problemas. Deve-se procurar usar modelos simples de modo a que os possveis

erros sejam mais facilmente detetveis. uma boa prtica usar dois modelos na anlise. Um modelo

mais simples que fornece resultados aproximados que depois pode ser usado para orientar a construo

de um novo modelo mais refinado e validar os seus resultados.

Existem algumas orientaes a seguir no processo de modelao de uma estrutura com elementos finitos,

nomeadamente:

Procurar incluir toda a estrutura real no modelo;

Modelar adequadamente os limites curvos do domnio;

Usar elementos que modelam o campo de deslocamentos real;

Evitar o uso de elementos desproporcionados ou distorcidos;

Usar malhas regulares e sem variaes bruscas de refinamento;

Modelar adequadamente as cargas;

Usar condies de apoio que simulem as condies reais;

Aumentar o refinamento nas zonas onde se prevejam grandes variaes nos gradientes de

tenses.

A escolha dos elementos a usar tem influncia na preciso dos resultados obtidos. H elementos que no

so capazes de modelar alguns modos de deformao ou distores [6]. Elementos diferentes tm

diferentes sensibilidades para modelar distores. Deve-se procurar que a seleo dos elementos a usar

esteja em conformidade com o tipo de deformao esperada. Os elementos finitos vizinhos do mesmo

tipo devem ter uma geometria semelhante e as transies entre elementos diferentes devem ser graduais.

As condies de apoio do modelo so to relevantes como a prpria malha de elementos finitos. No

adianta recorrer a refinamentos elevados se os apoios usados no modelo no modelem as condies de

apoio reais da estrutura. Normalmente, em teoria, os apoios estruturais so idealizados como

completamente rgidos ou como articulados. Os apoios reais, em geral, situam-se entre um apoio rgido

e um apoio articulado. Esta diferena pode levar a que exista uma alterao significativa da distribuio

de esforos na estrutura. No final de uma anlise deve-se procurar verificar a consistncia dos resultados

obtidos.

2.4.3. SISTEMA DE EQUAES ELEMENTARES

Assumindo que o material de que constitudo o modelo de elementos finitos homogneo e tem um

comportamento linear elstico, as foras nodais dependem de forma direta e proporcional dos

deslocamentos dos ns associados ao desenvolvimento de deformaes.

A relao entre o vetor de foras nodais equivalentes e o vetor de deslocamentos nodais, que se assume

ser de proporcionalidade direta, pode ser expressa atravs da relao matricial


8

[ 1121311

1222322

1323333

123]

{

123}

=

{

123}

(2.1)

onde n representa o nmero total de graus de liberdade do elemento finito. Colocando (2.1) numa forma

mais compacta,

= (2.2)

em que k designa a matriz de rigidez elementar, a o vetor de deslocamentos e f o vetor de foras nodais

equivalentes. Determinadas todas as matrizes de rigidez elementares para o problema em estudo, torna-

se necessrio agrup-las de forma a construir a matriz de rigidez global do problema. Esta operao

frequentemente designada por assemblagem. Uma operao semelhante tem de ser efetuada com os

vetores de foras nodais equivalentes dos elementos finitos.

2.4.4. ASSEMBLAGEM

Uma anlise por elementos finitos de um problema genrico que envolve meios contnuos, atravs da

anlise de partes discretas desses meios, implica que se proceda juno dos contributos de cada uma

das partes de modo a se conhecer o comportamento do problema global. A passagem da anlise ao nvel

de cada elemento finito para a anlise do todo d-se o nome de assemblagem. Com a operao de

assemblagem construda a matriz de rigidez e o vetor de foras nodais globais para todo o domnio do

problema. Note-se que na essncia desta operao est o facto de que uma qualquer fora externa

aplicada num determinado n da malha partilhada por todos os elementos finitos que tm esse n em

comum.

Fig.2.2 Malha constituda por elementos finitos unidimensionais.

Um vez construdas as matrizes de rigidez elementares e os vetores de foras nodais equivalentes

associados s cargas aplicadas nos elementos finitos procede-se assemblagem das suas contribuies

na matriz de rigidez e no vetor de foras nodais globais. Para realizar a assemblagem necessrio definir

a conetividade da malha de elementos finitos, isto , a relao existente entre a numerao dos graus de

liberdade dos elementos finitos e a numerao dos graus de liberdade da malha. Para isso construda,

para cada elemento finito, uma matriz de assemblagem do tipo

[ 123

||

]

(2.3)

onde a primeira coluna contm a numerao local dos n graus de liberdade do elemento finito e a

segunda coluna a correspondncia destes com a numerao global dos graus de liberdade da malha de

elementos finitos.

O procedimento de assemblagem no mais do que o espalhamento dos termos da matriz de rigidez

elementar e do vetor de foras nodais equivalentes do elemento finito pelas posies globais que estes


9

ocupam na matriz de rigidez e vetor de foras nodais globais, respetivamente. A assemblagem de

elementos finitos em tudo idntico assemblagem das contribuies das barras no Mtodo dos

Deslocamentos. De acordo com o exposto e atendendo figura 2.2, anteriormente apresentada, o nmero

total de graus de liberdade de uma malha de elementos finitos menor ou igual que o nmero total de

graus de liberdade dos elementos finitos. Note-se que no momento da assemblagem as contribuies

dos vrios elementos finitos que partilham o mesmo n so somadas.

Depois de realizada a operao de assemblagem obtm-se a representao fsica do comportamento de

uma estrutura na forma de um sistema global de equaes. Este sistema de N equaes, onde N

representa o nmero total de graus de liberdade da malha de elementos finitos, pode ser escrito na forma

genrica

1

1

[

11

21

12

22

]

{

}

=

{

1

2

}

(2.4)

onde e

, ,=1,,, correspondem aos termos da matriz de rigidez elementar e do vetor de foras

nodais equivalentes, respetivamente, do elemento finito e. A matriz de rigidez global uma matriz

quadrada com dimenso correspondente ao nmero total de graus de liberdade do problema, enquanto,

os vetores de deslocamentos e foras nodais tm N linhas. Colocando o sistema de equaes (2.4) numa

forma mais compacta,

= . (2.5)

2.4.5. CONDIES DE FRONTEIRA E CARREGAMENTOS

Na forma como o sistema de equaes (2.4) apresentado no so considerados os apoios e fixaes do

problema e nem as condies particulares de carregamento.

O vetor F constitudo pelos carregamentos que atuam no interior e/ou na fronteira de cada elemento

finito com os carregamentos atuantes nos ns da malha de elemento finitos. Os carregamentos

concentrados e distribudos atuantes em cada elemento finito so considerados no clculo dos vetores

de foras nodais equivalentes. Os carregamentos aplicados nos ns da malha so adicionados

diretamente ao vetor de foras nodais globais.

Atendendo a que os graus de liberdade do sistema so as componentes de deslocamento dos ns da

estrutura, sem a substituio de um nmero mnimo de deslocamentos prescritos, para prevenir os

movimentos de corpo rgido da estrutura, no se pode resolver o sistema de equaes. Isto advm do

facto dos deslocamentos no poderem ser unicamente determinados pelo vetor F se a este no

corresponder uma situao de equilbrio esttico. Matematicamente interpretado com a singularidade

da matriz K. Assim, para que o sistema de equaes tenha uma soluo admissvel necessrio definir

deslocamentos prescritos correspondentes fixao da estrutura.

2.4.6. RESOLUO DO SISTEMA DE EQUAES

Aps a introduo das condies de apoio e a prescrio dos deslocamentos, o sistema de equaes (2.5)

pode ser escrito na forma


10

= + (2.6)

em que o vetor R armazena a informao relativa s condies de apoio da estrutura. Para facilitar a sua

resoluo do ponto de vista computacional conveniente organiz-lo de modo a separar os termos

associados aos graus de liberdade no prescritos dos graus de liberdade prescritos, isto , colocando-o

na forma

[

] {} = {

} + {

} (2.7)

onde o ndice L se refere aos graus de liberdade no prescritos ou livres e o ndice F aos graus de

liberdade prescritos ou fixos. O vetor r corresponde s reaes de apoio da estrutura que at esta fase

so uma incgnita do problema como, tambm, os deslocamentos nodais associados aos ns no

prescritos. Este novo sistema de equaes pode ser resolvido do seguinte modo.

= 1( ) (2.8a)

= + (2.8b)

Este procedimento genrico permite determinar o valor dos deslocamentos nodais associados aos ns

no prescritos e sucessivamente o valor das reaes de apoio na estrutura. Se no existirem

assentamentos de apoio na estrutura, o vetor nulo, pelo que as expresses (2.8) so simplificadas nas seguintes expresses.

= 1 (2.9a)

= (2.9b)

2.4.7. VERIFICAO E VALIDAO DOS RESULTADOS

De forma a se ter confiana nos resultados obtidos conveniente efetuar a sua validao. A validao

assenta fundamentalmente em duas partes distintas que so realizadas em fases diferentes e normalmente

por pessoas diferentes. A primeira parte consiste em verificar o cdigo de modo a estabelecer a confiana

que tudo foi corretamente programado. A segunda parte consiste em verificar os clculos de modo a

estabelecer a confiana no modelo criado para a anlise.

Como a discretizao introduz uma aproximao [13], existem duas fontes de erro desde o incio, ou

seja, o erro de modelao e o erro de discretizao. O primeiro pode ser reduzido, melhorando os

modelos conceptuais e estruturais que descrevem o comportamento real da estrutura. O erro de

discretizao pode ser reduzido pelo uso de uma malha mais refinada ou usando elementos finitos de

ordens superiores. Os computadores tambm introduzem erros numricos associados sua limitao

para representar os dados com elevada preciso. O erro numrico apesar de pequeno somado aos erros

associados modelao e discretizao.

2.5. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

Define-se como virtual algo que no real, portanto, imaginrio. Um deslocamento virtual ou uma fora

virtual so, respetivamente, um deslocamento imaginrio ou uma fora imaginria, arbitrariamente

impostos sobre um sistema estrutural.

Considere-se o corpo representado na figura 2.3 sujeito a um conjunto de foras de volume, de

superfcie, de linha e concentradas que lhe provocam deformao. Com base no seu estado de equilbrio


11

esttico, a configurao do corpo modificada por um conjunto de deslocamentos muito pequenos e

compatveis com as condies de fronteira.

Fig.2.3 Corpo sujeito a diversos tipos de aes exteriores (Adaptado de [2]).

O Princpio dos Trabalhos Virtuais estabelece que o trabalho realizado pelas tenses internas na

deformao virtual do corpo igual ao trabalho realizado pelas foras exteriores nos deslocamentos

virtuais dos seus pontos de aplicao.

= (2.10)

Para um corpo tridimensional contnuo representado pela figura 2.3, o Princpio dos trabalhos Virtuais

pode ser escrito na forma

=

+

+

+ (2.11)

onde indica as deformaes virtuais, as tenses reais aproximadas e os deslocamentos virtuais. Na formulao do Mtodo dos Elementos Finitos, o campo de deformaes interpolado a partir dos

deslocamentos nodais com a expresso

= (2.12)

onde B a matriz de deformao e a o vetor de deslocamentos nodais. Quando esta equao se refere

aos deslocamentos virtuais e correspondentes deformaes virtuais, tem-se

= (2.13)

que equivalente a

= . (2.14)

As tenses, para um material isotrpico com comportamento linear elstico, podem ser obtidas atravs

da relao constitutiva

= (2.15)

onde a matriz D designada por matriz de elasticidade e na isotropia funo das propriedades elsticas

do material, isto , do mdulo de elasticidade, E, e do coeficiente de Poisson, v. Substituindo (2.12) em

(2.15) obtm-se


12

= . (2.16)

Na formulao do Mtodo dos Elementos Finitos considera-se que a interpolao do campo de

deslocamentos a partir dos deslocamentos nodais efetuada com a expresso

= (2.17)

em que N agrupa as funes de forma que dependem do elemento finito considerado e a contm os

deslocamentos nodais cujo nmero depende do nmero total de graus de liberdade que o elemento finito

apresenta. Quando esta equao se refere aos deslocamentos virtuais, tem-se

= (2.18)

que equivalente a

= . (2.19)

Substituindo em (2.11) as equaes (2.14), (2.16) e (2.19), o Princpio dos Trabalhos Virtuais expresso

na forma

=

+

+

+ . (2.20)

Uma vez que os vetores de deslocamentos nodais virtuais e de deslocamentos nodais so constantes,

podem passar-se para fora do integral. Assim, aps alguma manipulao algbrica, obtm-se

= (

+

+

+) . (2.21)

Considerando que, para alm destes serem constantes, o campo de deslocamentos nodais virtuais

sempre no-nulo nos domnios considerados, ento da equao anterior pode concluir-se que

=

+

+

+ . (2.22)

Comparando esta equao com a relao de rigidez que utilizada no Mtodo dos Deslocamentos,

conclui-se que

= . (2.23)

Este procedimento genrico pode facilmente ser utilizado para determinar os sistemas de equaes

elementares de todos os elementos finitos.

2.6. REQUISITOS PARA A CONVERGNCIA DA SOLUO

2.6.1. CONDIO DE CONTINUIDADE

Os deslocamentos devem ser contnuos dentro de cada elemento finito. Esta condio automaticamente

satisfeita usando aproximaes polinomiais para o campo de deslocamentos. necessrio tambm que

exista continuidade do campo de deslocamentos na fronteira de cada um dos elementos que lhe so

adjacentes na malha de elementos finitos.

Elementos que satisfazem a condio de continuidade do campo de deslocamentos so denominados

elementos finitos conformes. No entanto, em alguns casos particulares, tais como, em alguns elementos

flexo baseados na teoria de Kirchhoff, esta condio no satisfeita. Estes elementos, em que a

condio de continuidade no satisfeita, so denominados elementos finitos no conformes. Elementos


13

no conformes podem convergir para a soluo exata se passarem no patch test. Em algumas ocasies

estes elementos finitos fornecem boas solues com malhas relativamente grosseiras.

2.6.2. CONDIO DE DERIVABILIDADE

As derivadas das funes de forma devem existir at s derivadas que aparecem nos elementos da matriz

de deformao B. Por exemplo, para uma matriz que contenha derivadas de primeira ordem, as funes

forma devem ser, pelo menos, de primeira ordem.

Uma funo contnua com a primeira derivada descontnua designada por funo com continuidade

C0. Por outro lado, uma funo contnua com primeira derivada contnua e segunda derivada descontnua

possui continuidade C1. Desta forma, uma funo possui continuidade Cn quando todas as suas derivadas

at ordem n so contnuas, mas a sua derivada de ordem n + 1 descontnua.

2.6.3. CONDIO DE INTEGRABILIDADE

No caso de uma funo ter continuidade C0, a sua primeira derivada apresentar descontinuidades

pontuais, correspondendo a uma funo de continuidade C-1. Contudo, tais descontinuidades no

impedem que esta derivada seja integrvel em todo o seu domnio.

A integrabilidade de funes de continuidade C-1 torna admissvel a utilizao de funes com

continuidade C0. Nesta situao, tal significa que o campo de deslocamentos tem continuidade C0, pelo

que o campo de deformao, definido com base na primeira derivada do deslocamento, possui

continuidade C-1. Devido simplicidade das funes de continuidade C0, este tipo de funes

usualmente utilizado na resoluo de problemas pelo Mtodo dos Elementos Finitos [21].

2.6.4. CONDIO DE CORPO RGIDO

As funes de forma devem ser capazes de representar um movimento de translao sem deformao,

isto , um movimento de corpo rgido. Isto significa que todos os pontos pertencentes ao elemento finito

tm um deslocamento igual ao dos ns. Esta condio fsica satisfeita para um nico elemento finito,

se a soma das suas funes de forma avaliadas em qualquer ponto do elemento finito for igual unidade,

isto , se

1() + 2() + 3() ++ () = 1 (2.24)

onde () a funo de forma do elemento finito para o n i.

2.6.5. CONDIO DE DEFORMAO CONSTANTE

Quando se impem deslocamentos nodais correspondentes a um estado de deformao constante, o

campo de deslocamentos deve originar um campo de deformaes constantes no interior do elemento

finito. O critrio de deformao constante incorpora o requisito de corpo rgido. A funo de

deslocamento tem que ser de tal modo que se os deslocamentos nodais forem compatveis com um

campo de deformao constante, o estado de deformao obtido no interior do elemento finito deve ser

tambm constante.


14


15

3 FORMULAO DE ELEMENTOS

FINITOS

3.1. ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAIS

3.1.1. TENSO

A generalidade dos elementos estruturais aplicados nas estruturas de edifcios so do tipo barra e muitos

destes esto submetidos a cargas axiais aplicadas nas extremidades. O estudo dos elementos finitos

unidimensionais prende-se com a necessidade de apresentar uma formulao que permita o estudo destes

elementos estruturais.

De modo a se poder calcular a distribuio de tenso que atua na seco transversal da barra so adotadas

as seguintes hipteses simplificadoras [4]:

A barra permanece reta tanto antes como depois da aplicao da carga, e, alm disso, a

seco transversal permanece plana durante a deformao;

A carga aplicada segundo o eixo longitudinal da barra e o material homogneo e

isotrpico.

Considere-se uma barra reta de seco transversal constante e sujeita a um carregamento axial centrado

nas suas extremidades. Como a barra sofre uma variao de comprimento aps aplicao da carga, a

deformao axial calculada recorrendo expresso

=

(3.1)

em que designa a variao de comprimento e L o comprimento indeformado da barra. Pela definio de tenso,

=

(3.2)

em que P corresponde carga axial e A rea da sua seco transversal da barra. A partir do valor da

deformao possvel calcular o valor da tenso em qualquer seco transversal da barra. Admitindo

que o material da barra apresenta um comportamento linear elstico possvel definir a relao entre

tenses e deformaes

= (3.3)

em que E designado por mdulo de elasticidade do material. Atravs da formulao de elementos

finitos possvel usar esta relao nas situaes em que as extenses variam ao longo da barra.


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3.1.2. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

O estudo dos elementos finitos unidimensionais justifica-se com a necessidade de introduzir as tcnicas

usadas para formular os diversos elementos finitos, nomeadamente, os elementos finitos bidimensionais

e tridimensionais.

Fig.3.1 Elemento finito unidimensional sujeito a uma carga axial.

O Princpio dos Trabalhos Virtuais estabelece que o trabalho realizado pelas tenses internas na

deformao virtual do corpo igual ao trabalho realizado pelas foras exteriores nos deslocamentos

virtuais dos seus pontos de aplicao.

= (3.4)

Para o caso de um elemento finito unidimensional definido segundo o eixo Ox, de comprimento L e

sujeito a uma carga axial p uniformemente distribuda ao longo do seu comprimento, pelo Princpio dos

Trabalhos Virtuais, tem-se

= u

. (3.5)

Atendendo ao apresentado no Captulo 2 sobre o Princpio dos Trabalhos Virtuais, a relao (3.5), aps

alguma manipulao algbrica, equivalente a

+/2

/2

= +/2

/2

(3.6)

onde B a matriz de deformao, a o vetor de deslocamentos nodais e N agrupa as funes de forma

que dependem do elemento finito considerado. Colocando (3.6) numa forma mais compacta,

= . (3.7)

3.1.3. FUNES DE FORMA

As funes de forma do tipo polinomial para um elemento finito de n ns podem ser determinadas

recorrendo ao polinmio de Lagrange. Conhecidas as n coordenadas dos n ns do elemento finito

unidimensional, a expresso genrica do polinmio de Lagrange de grau n - 1, associado ao n i,

() = ( )

( )

=1 ()

(3.8)

em que e correspondem coordenada associada ao n i e ao n j, respetivamente. Os parmetros

i() designam-se por funes de forma para o n i e interpolam dentro de cada elemento finito o deslocamento do n i. Uma das caractersticas das funes de forma de valerem um no n i e zero em

todos os outros ns do elemento finito. Note-se que recorrendo a um polinmio de grau n o respetivo

elemento finito tem n + 1 ns.


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3.1.4. CAMPO DE DESLOCAMENTOS

Considere-se o elemento finito unidimensional com n ns representado na figura 3.2, de comprimento

L, rea da seco transversal A, mdulo de elasticidade E e sujeito a um carregamento axial p

uniformemente distribudo ao longo de todo o seu comprimento.

Fig.3.2 Elemento finito unidimensional de n ns.

Sendo apenas considerado o eixo Ox, todos os deslocamentos ocorrem paralelamente a ele. Se se

conhecer os deslocamentos nodais do elemento finito, o campo de deslocamentos u() do elemento finito pode ser interpolado a partir desses mesmos deslocamentos, ou seja,

u() = 1()1 +2()2 ++() (3.9)

ou, de forma mais compacta,

u() = i()

=1

(3.10)

onde os parmetros correspondem ao valor do deslocamento nodal no n i do elemento finito.

3.1.5. CAMPO DE DEFORMAES

Sendo o campo de deslocamentos aproximado com recurso a funes interpoladoras, conhecido o campo

de deslocamentos para o elemento finito suficiente derivar as suas funes de forma e multiplic-las

pelos respetivos deslocamentos nodais.

= u

(3.11)

Na forma matricial, derivando as n funes de forma do elemento finito com n ns, o campo de

deformaes obtido pela multiplicao da matriz de deformao pelo vetor de deslocamentos nodais

do elemento finito, isto ,

= [1

2

] {

12

} (3.12)

ou, de forma mais compacta,

= (3.13)

sendo a matriz B designada por matriz de deformao ou, correntemente designada, matriz das derivadas

das funes de forma.

3.1.6. CAMPO DE TENSES

As tenses, para um material isotrpico com comportamento linear elstico, podem ser obtidas atravs

da relao constitutiva (3.3) que aps a substituio de (3.13) resulta em


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= (3.14)

sendo E designado por mdulo de elasticidade.

Note-se que o clculo da tenso num dado ponto do elemento finito est dependente do conhecimento

dos deslocamentos nodais e da avaliao da matriz B nesse ponto. Como o campo de deslocamentos do

elemento finito determinado a partir dos deslocamentos nodais com recurso a um polinmio

interpolador, verifica-se que existem pontos onde os resultados obtidos se aproximam da soluo terica

esperada e pontos onde o resultado obtido se afasta.

3.1.7. ESFOROS INTERNOS

Conhecida a tenso instalada num dado ponto do elemento finito, o esforo axial obtido atravs da

multiplicao do valor da tenso pela rea da seco transversal do elemento finito. Se o esforo axial

obtido positivo, a seco transversal est tracionada, caso contrrio, a seco transversal est

comprimida.

3.1.8. TRANSFORMAO DE COORDENADAS

Na forma como foi apresentada esta formulao de elementos finitos, estes s podem ser aplicados ao

clculo de estruturas em que todos os seus elementos estejam alinhados, ou seja, na situao em que

todos os graus de liberdade dos elementos da estrutura sejam colineares.

Uma vez que os membros da estrutura podem ter diferentes direes, necessrio definir um sistema de

eixos global para a estrutura. Como consequncia desta definio de sistema de eixos, cada grau de

liberdade de um elemento de barra decomposto nos respetivos graus liberdade dependentes para cada

direo do novo referencial. Esta decomposio dos graus de liberdade do elemento finito nas duas

direes ortogonais do sistema de eixos global realizada com recurso a uma matriz de transformao

coordenadas.

A transformao da matriz de rigidez elementar do referencial local para o referencial global feita com

recurso expresso

= (3.15)

onde T a matriz de transformao de coordenadas. Para o vetor de foras nodais equivalentes a

mudana de referencial realizada com a expresso seguinte.

= (3.16)

Determinadas as matrizes de rigidez elementares e os vetores de foras nodais equivalentes dos vrios

elementos finitos no referencial global procede-se ao seu espalhamento de forma a formar o sistema de

equaes globais. Resolvido o sistema de equaes globais, para determinar os deslocamentos nodais

no referencial local de cada elemento finito necessrio realizar um procedimento oposto ao apresentado

para os passar do referencial local para o global.

Conhecidos os deslocamentos no sistema de eixos global da estrutura, os deslocamentos nodais para

cada elemento finito no respetivo sistema de eixos local so calculados do seguinte modo.

= (3.17)

A metodologia de transformao de coordenadas apresentada pode ser aplicada a qualquer quantidade

e vlida para meios discretos e meios contnuos.


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3.2. ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONAIS

3.2.1. ESTADO PLANO DE TENSO/DEFORMAO

Na anlise bidimensional de estruturas em estado plano de tenso admitido que a componente de

tenso ao longo da direo Oz e as tenses de corte nessa mesma direo so nulas. No caso de um

estado plano de deformao, a componente de deformao e as distores associadas direo

perpendicular a esse plano so consideradas nulas. Assim, possvel realizar uma anlise modelando e

discretizando apenas a seco representativa do problema com recurso, tipicamente, a elementos finitos

bidimensionais de geometria triangular e/ou retangular.

Considera-se que um corpo est em estado plano de tenso quando [9]:

Todas as cargas aplicadas atuam no plano mdio do corpo, sendo ainda simtricas

relativamente a este;

A espessura do corpo desprezvel em relao s outras dimenses;

Todas as condies de apoio so simtricas relativamente ao plano mdio;

As tenses normal e de corte segundo a direo z podem ser desprezadas.

Tipicamente, um corpo sujeito a um estado plano de deformao apresenta uma das dimenses

significativamente superior s restantes, isto , a espessura deixa de ser desprezvel, bem como a

componente de tenso . Aplicando o conceito de deformao infinitesimal da Mecnica dos Slidos, as componentes cartesianas da extenso e da distoro so dadas por

= {

} (3.18)

em que se considera = = 0. A componente de deformao segundo a direo perpendicular ao

plano Oxy, isto , a componente de deformao pode ser nula. Este caso caracteriza-se por representar um estado plano de deformao. Alternativamente, esta componente de deformao pode ser diferente

de zero, representando um estado plano de tenso.

O campo de tenses associado ao campo de deformaes pode ser escrito pelas seguintes componentes

cartesianas.

= {

} (3.19)

Para materiais que apresentem comportamento linear elstico, homogeneidade e isotropia, as tenses

podem ser obtidas atravs da relao entre tenses e deformaes

= (3.20)

onde a matriz D designada por matriz de elasticidade e funo das propriedades elsticas do material,

isto , do mdulo de elasticidade, E, e do coeficiente de Poisson, . Num estado plano de tenso, para um material isotrpico com comportamento linear elstico,

=

[

1 2

1 20

1 2

1 20

0 0

2(1 + )]

(3.21)

enquanto que, para um estado plano de deformao


20

=

(1 + )(1 2)[

1 0 1 0

0 01 2

2

] . (3.22)

3.2.2. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

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Desenvolvimento de um programa de elementos finitos versátil