49493476 Livro Metodo Dos Elementos Finitos

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MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS lvaro F. M. Azevedo http://www.fe.up.pt/~alvaro Portugal Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto 1 Edio Abril2003 Mtodo dos Elementos Finitoslvaro F. M. Azevedohttp://www.fe.up.pt/~alvaroFaculdade de Engenharia da Universidade do PortoPortugal1 Edio - Abril 2003 iiiPREFCIOO Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) apresenta actualmente um nvel dedesenvolvimentoquepermiteasuautilizaopelageneralidadedos projectistas deestruturas. Enquanto que no passado muitos dos utilizadores do MEF estavam tambmenvolvidosnarespectivaprogramaoemcomputador, verifica-sehojeemdiaqueaquase totalidade dos projectistas de estruturas apenas se preocupa com a utilizao docorrespondente software e com a interpretao dos resultados obtidos. Devido grandecomplexidadeassociadaaodesenvolvimentodemodernosprogramasdecomputadordispondodeumainterfacegrficaintuitiva, odesenvolvimentodesoftwaretemsidocadavezmais restringidos empresas especializadas. Por estemotivo, outilizadorprogramador quase desapareceu, dando lugar ao mero utilizador. Perante um problemade anlise de estruturas e dispondo de um software intuitivo, perfeitamente acessvel aumprojectistaaobtenoderesultadoscredveis, mesmoquandonotemacessofonte do cdigo computacional ou quando desconhece as caractersticas do modelo queestautilizar. SerentonecessrioexigirqueumestudantedeEngenhariaatribuaparte do seu tempo aprendizagemde formulaes e metodologias que na vidaprofissional vai certamente ignorar? Antecedendo a resposta a esta questo,apresentam-se algumas consideraes.Para que possa dar resposta em tempo til necessidade de justificao da segurana deuma estrutura, um projectista que no conhea as tcnicas correspondentes formulaodo MEF ser tentado pela simples utilizao de um qualquer software de clculo. Umavez que no tem acesso aos modelos que esto programados, nem tem bases para a suacompreenso, proceder utilizao do software de acordo com o treino que recebeu oucom base em sucessivas improvisaes. A tentao para aceitar os resultadosprovenientes do programa grande, quaisquer que sejam esses resultados, uma vez queconsideraqueosoftwareescolhidotemelevadaqualidade. Ospotenciaisperigosdeuma utilizao nestas condies so a no percepo de eventuais erros na introduodos dados, a ausncia de correspondncia entre o modelo seleccionado e a estrutura queest a ser analisada, o facto de serem desprezadas importantes condicionantes, etc. Naausncia de uma comparao dos resultados provenientes do MEF com os oriundos deoutros modelos, existe o srio risco de a segurana de uma estrutura ser justificada comMtodo dos Elementos Finitos - Prefcioivbaseemclculos completamenteinadequados. Estefactotemsidoconfirmadopeloelevadonmerode acidentes emestruturas acabadas de construir, bemcomopelagrande quantidade de reparaes que temsidonecessrioefectuar emconstruesrecentes. Atransmissoaos alunos dos fundamentos doMEF, e tambmde umaintroduo correspondente programao emcomputador, constituemcertamentefactores que conduziro os futuros projectistas a uma utilizao mais segura dossoftwares de anlise de estruturas.Existe uma outra motivao para continuar a ser necessrio ensinar as bases tericas doMEF, que consiste no facto de ser fundamental preparar hoje os inovadores de amanh.Uma vezque as ferramentas relativas aplicao do MEF se encontram intimamenteligadas ao mundo da informtica e uma vez que este apresenta uma constante e rpidaevoluo, garantido que dentro de alguns anos ser necessrio adaptar as tcnicas deanlisedeestruturassplataformasdecomputaoquenessaalturaexistirem. Seaactual base de conhecimentos ficar limitada a umreduzido nmero de pessoas,certamente que ser difcil encontrar no futuro investigadores que garantam o progressoda cincia.Por todos estes motivos se conclui ser fundamental prosseguir como ensino dastcnicas em que se baseia a generalidade dos programas de elementos finitos.A principal motivao para a escrita desta publicao foi a de organizar de um modocoerente algumasdas formulaes em que se baseou o desenvolvimento do programaFEMIX 4.0. Apesar de j existirem verses anteriores, a actual verso do programa foitotalmente rescrita, de modo a ser possvel explorar uma muito mais verstilestruturaodocdigocomputacional. Espera-se, com este empreendimento, produzirum software em que seja simples desenvolver e testar novas formulaes. Por ltimo,desejoagradecerspessoasquesetmempenhadonodesenvolvimentodoprojectoFEMIX e que muito contriburam para que todos os conceitos aqui expostos apresentemumaindispensvel clarezaecoerncia. Emparticular umagradecimentoquelequeesteve presente desde o incio, JoaquimBarros, bemcomo aos entusiastas maisrecentes, Jos Sena Cruz e Antnio Ventura Gouveia. Agradeo tambm ao Lus Brs otrabalho que teve na preparao do modelo da ponte que figura na capa.lvaro F. M. Azevedo- Abril 2003vNDICE1 - INTRODUO........................................................................................................... 11.1 - Tipo de anlise .......................................................................................................... 21.2 - Fundamentos do MEF............................................................................................... 41.3 Breve histria do MEF............................................................................................. 51.4 - Exemplo de aplicao do MEF................................................................................. 62 - TRANSFORMAO LINEAR DE COORDENADAS .......................................... 132.1 - Simbologia .............................................................................................................. 132.2 - Caso geral................................................................................................................ 142.3 - Caso particular com S e S' coincidentes.................................................................. 182.4 - Matriz de transformao de uma barra rectilnea no espao................................... 192.5 - Consideraes finais ............................................................................................... 273 - MTODO DOS DESLOCAMENTOS EM TRELIAS E PRTICOS................... 293.1 - Simbologia .............................................................................................................. 293.2 - Referenciais............................................................................................................. 313.3 - Graus de liberdade .................................................................................................. 323.4 - Matriz de transformao ......................................................................................... 343.5 - Matriz de rigidez e vector solicitao ..................................................................... 353.6 - Assemblagem da matriz de rigidez global e do vector solicitao......................... 373.7 - Introduo das condies de apoio ......................................................................... 413.8 - Faseamento da anlise de um prtico 3D ............................................................... 443.9 - Matriz de rigidez de uma barra de trelia 3D no referencial local.......................... 453.10 - Matriz de rigidez de uma barra de prtico 3D no referencial local ...................... 463.11 - Consideraes finais ............................................................................................. 474 - ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAIS ...................................................... 494.1 - Simbologia .............................................................................................................. 494.2 - Funes interpoladoras ou funes de forma.......................................................... 504.3 - Campo de deformaes........................................................................................... 54Mtodo dos Elementos Finitos - ndicevi4.4 - Princpio dos trabalhos virtuais............................................................................... 564.5 - Matriz de rigidez e vector solicitao ..................................................................... 574.6 - Elemento finito unidimensional com trs ns......................................................... 604.7 - Elemento finito unidimensional com substituio de varivel ............................... 644.8 - Consideraes finais ............................................................................................... 705 - QUADRATURA DE GAUSS................................................................................... 735.1 - Simbologia .............................................................................................................. 735.2 - Integrao de uma funo polinomial..................................................................... 735.3 - Integrais mltiplos .................................................................................................. 795.4 - Consideraes finais ............................................................................................... 816 - ESTADO PLANO DE TENSO.............................................................................. 836.1 - Simbologia .............................................................................................................. 836.2 - Funes interpoladoras ou funes de forma.......................................................... 856.3 - Campo de deformaes........................................................................................... 906.4 - Princpio dos trabalhos virtuais............................................................................... 926.5 - Matriz de rigidez e vector solicitao ..................................................................... 926.5.1 - Clculo de um elemento da matriz de rigidez...................................................... 956.5.2 - Clculo do vector solicitao correspondente a uma carga distribuda ............... 976.6 - Caso geral com substituio de variveis ............................................................... 996.7 - Algoritmo de clculo da matriz de rigidez de um elemento isoparamtrico ........ 1086.8 - Clculo das tenses e deformaes finais............................................................. 1126.9 - Consideraes finais ............................................................................................. 1137 - FUNES INTERPOLADORAS .......................................................................... 1157.1 - Simbologia ............................................................................................................ 1157.2 - Caso unidimensional............................................................................................. 1167.3 - Caso bidimensional............................................................................................... 1187.4 - Procedimento genrico para determinar as funes de forma .............................. 1217.5 - Elementos bidimensionais: famlias Lagrangeana e serendipity .......................... 1267.6 - Propriedades das funes interpoladoras .............................................................. 1307.7 - Interpolao Hermitiana........................................................................................ 132Mtodo dos Elementos Finitos - ndicevii7.8 - Consideraes finais ............................................................................................. 1428 - ASSEMBLAGEM DE ELEMENTOS FINITOS.................................................... 1458.1 - Simbologia ............................................................................................................ 1458.2 - Assemblagem da matriz de rigidez global e do vector solicitao....................... 1468.3 - Consideraes finais ............................................................................................. 1529 - FORAS NODAIS EQUIVALENTES................................................................... 1539.1 - Simbologia ............................................................................................................ 1539.2 - Expresses genricas das foras nodais equivalentes........................................... 1559.3 - Fora concentrada num ponto interior .................................................................. 1609.4 - Carga distribuda por unidade de comprimento.................................................... 1639.5 - Carga distribuda por unidade de superfcie ......................................................... 1709.6 - Carga distribuda por unidade de volume ............................................................. 1709.7 - Consideraes finais ............................................................................................. 17210 - SLIDOS, ESTADO PLANO DE DEFORMAO E AXISSIMETRIA .......... 17510.1 - Simbologia .......................................................................................................... 17510.2 - Elementos slidos tridimensionais (bricks) ........................................................ 17610.3 - Estado plano de deformao ............................................................................... 18410.4 - Estado axissimtrico ........................................................................................... 18710.5 - Consideraes finais ........................................................................................... 19211 - FLEXO DE VIGAS............................................................................................ 19311.1 - Simbologia .......................................................................................................... 19311.2 - Flexo composta plana........................................................................................ 19411.3 - Consideraes finais ........................................................................................... 20012 - VIGA DE EULER-BERNOULLI ......................................................................... 20312.1 - Simbologia .......................................................................................................... 20312.2 - Viga de dois ns sem substituio de varivel.................................................... 20412.3 - Viga de trs ns sem substituio de varivel .................................................... 21212.4 - Viga de dois ns com substituio de varivel ................................................... 212Mtodo dos Elementos Finitos - ndiceviii12.5 - Consideraes finais ........................................................................................... 22013 - VIGA DE TIMOSHENKO.................................................................................... 22313.1 - Simbologia .......................................................................................................... 22313.2 - Viga de dois ns com substituio de varivel ................................................... 22413.3 - Consideraes finais ........................................................................................... 237ANEXO A - UTILIZAO DO PROGRAMA FEMIX 3.1 ....................................... 239A.1 - Instalao ............................................................................................................. 239A.2 - Preparao dos dados........................................................................................... 240A.3 - Execuo do programa......................................................................................... 245A.4 - Visualizao grfica............................................................................................. 246A.5 - Consideraes finais ............................................................................................ 2481CAPTULO 1INTRODUONombitodaEngenhariade Estruturas, oMtododos Elementos Finitos (MEF)temcomoobjectivoa determinaodoestadode tensoe de deformaode um slidodegeometriaarbitrriasujeitoa aces exteriores. Este tipode clculotem a designaogenrica de anlise de estruturas e surge, por exemplo, noestudode edifcios, pontes,barragens, etc. Quando existe a necessidade de projectar uma estrutura, habitualproceder-se a uma sucessode anlises e modificaes das suas caractersticas, com oobjectivode se alcanar uma soluo satisfatria, quer em termos econmicos, quer naverificaodospr-requisitosfuncionaiseregulamentares. Astcnicasdescritasnestapublicaoapenas correspondem fase de anlise do comportamento de uma estruturacuja geometria, materiais e aces so a priori conhecidos.Nos cursos de Engenharia Civil e de Engenharia Mecnica tradicional comear-se porensinar a anlise de estruturas limitada s vigas, prticos, trelias e grelhas. Asestruturasdestetiporecebemadesignaodereticuladas, porserem constitudasporbarras prismticas cuja seco transversal apresenta dimenses muito inferiores aocomprimentodo seu eixo. As estruturas no reticuladas so, em geral, estudadas comomeios contnuos (e.g., paredes, lajes, cascas, slidos). Nas estruturas reticuladas surgemjmuitos conceitos quesocomuns generalidadedas estruturas, tais comoodeequilbrio, compatibilidade, tenso, deformao, relao entre tenso e deformao, etc.No mbito das estruturas reticuladas torna-se particularmente simples explicar o mtododas foras e o mtodo dos deslocamentos, bem como outras tcnicas que, em geral, sodifceis de estender aos meios contnuos.Antes do aparecimento do MEF, a anlise dos meios contnuos era efectuada porresoluo directa dos sistemas de equaes de derivadas parciais que regemofenmeno, tendoemconsideraoasnecessriascondiesfronteira. Parafacilitar aaplicaodestatcnicaaproblemasnoelementares, eracomumrecorrerasriesdeFourier [1.1]. Devidosuacomplexidade, estes procedimentos seramaplicveisameioscontnuoshomogneosedegeometriasimples. Paratentarultrapassaralgumasdestas limitaes, era frequente a substituio de derivadas exactas por derivadasIntroduo- lvaro F. M. Azevedo2aproximadas, calculadascombaseemgrelhasdepontos. Daaplicaodestatcnicaresulta omtododas diferenas finitas, que, antes doaparecimentodos computadores,apresentavaoinconvenientederequereraresoluode grandes sistemas de equaeslineares. Para evitar este inconveniente foram propostos diversos mtodos de relaxaobaseados na sucessiva diminuio de umconjunto de resduos [1.1]. Devido morosidadeassociadaaplicaodequalquer umdestesmtodos, tornava-semuitoatractivaasubstituiodoproblemarealpor outrosemelhante, demodoasepoderrecorrer a resultados publicados em tabelas ou bacos. Com o grande desenvolvimentoque o MEF teve na dcada de 60 [1.2] e com a banalizao do recurso ao computador,passou a ser prtica corrente a anlise de estruturas de geometria arbitrria, constitudaspormltiplosmateriaisesujeitasaqualquertipodecarregamento. Esteavano tosignificativo que os outros mtodos, atrs referidos, deixarampraticamente de serutilizados. Actualmente, o seu interesse restringe-se ao de fornecer solues tericas deproblemas simples para validar mtodos aproximados.A formulao do MEF pode ser baseada no mtodo dos deslocamentos, em modelos deequilbrio, ou em mtodos hbridos e mistos [1.3]. De todos estes mtodos, aquele queapresentaumamaior simplicidadee, consequentemente, umamaior versatilidadeomtodo dos deslocamentos, sendo este o nico que abordado nesta publicao.Associadoaomtododos deslocamentos surgem muitos conceitos que se supe que oleitorj domina nombitodas estruturas reticuladas, comopor exemploas noes degraude liberdade, deslocamentogeneralizado, fora generalizada, equilbrio, matriz derigidez, vectorsolicitao, assemblagem, introduode condies de apoio, etc. Nestapublicao, alguns destes conceitos so de novo abordados, sendo dada particular nfase sua generalizao aos meios contnuos bidimensionais e tridimensionais.1.1 - Tipo de anliseQuandosurgeanecessidadederesolverumproblemadeanlisedeumaestrutura, aprimeiraquestoquesecolocaasuaclassificaoquantogeometria, modelodomaterial constituinte e aces aplicadas. O modocomoo MEF formulado e aplicadodepende, em parte, das simplificaes inerentes a cada tipo de problema. Referem-se emseguidaalgunsaspectosquenecessrioterem consideraonafasequeantecedeaanlise de uma estrutura.Introduo- lvaro F. M. Azevedo3Anlise dinmica ou estticaAs aces sobreas estruturas soemgeral dinmicas, devendoser consideradasasforasdeinrciaassociadassaceleraesaquecadaum dosseuscomponentesficasujeito. Por este motivo, seria de esperar que a anlise de uma estrutura teriaobrigatoriamente deter emconsideraoos efeitos dinmicos. Contudo, emmuitassituaes razovel considerar que as aces so aplicadas de um modosuficientemente lento, tornando desprezveis as foras de inrcia. Nestes casos a anlisedesigna-seesttica. Nestapublicaoapenas soconsiderados problemas emquesesupem vlidas as simplificaes inerentes a uma anlise esttica.Anlise no linear ou linearNa anlise de uma estrutura slida, habitual considerar que os deslocamentosprovocadospelasacesexterioressomuitopequenosquandocomparadoscomasdimenses dos componentes da estrutura. Nestas circunstncias, admite-se que noexiste influncia da modificao da geometria da estrutura na distribuio dos esforos edastenses, i.e., todooestudo feitocom base na geometria inicial indeformada. Seesta hiptese no for considerada, a anlise designada no linear geomtrica.tambmfrequenteconsiderar que, aonveldomaterialqueconstituiaestrutura, arelao entre tenses e deformaes linear. Nos casos em que esta simplificao no considerada, necessrio recorrer a algoritmos especficos de anlise no linearmaterial.Nesta publicao apenas se aborda o caso daanliselinear, quer geomtrica, quermaterial.Tipo de estruturaAs estruturas podemser classificadas quanto sua geometria como reticuladas,laminares ouslidas. Estas ltimas soas mais genricas, sendoclassificadas comoslidas as que no apresentarem caractersticas que as permitam enquadrar no grupo daslaminares ou das reticuladas.As estruturas laminares so as que se desenvolvempara ambos os lados de umasuperfcie mdia, mantendo-se na sua vizinhana. o caso de uma lmina cujaIntroduo- lvaro F. M. Azevedo4espessura muito inferior s restantes dimenses. Quando a superfcie mdia plana, aestruturalaminarpodeserclassificadacomoparede, lajeoucascaplana. Umaparedeapenasseencontrasujeitaaacesparalelasaoseuplanomdio. Umalajepodeteraplicadasforasperpendicularesaoplanomdioe momentos cujovectorest contidono plano mdio. Uma estrutura laminar plana sujeita a outros tipos de aces designada casca plana. Quando a superfcie mdia no plana, tem-se uma cascatridimensional.As estruturas reticuladas soas constitudaspor barrasprismticas, cujasdimensestransversais so muito menores do que o comprimento do respectivo eixo. Neste tipo deestruturas habitual distinguir os prticos das trelias, conforme ou no considerada acompatibilidade de rotaes nas extremidades de barras adjacentes. possvel tratar com grande eficincia uma classe de problemas de anlise de estruturasdesignados axissimtricos. Estes ocorrem quando a estrutura um slido de revoluo eas aces so todas axissimtricas em relao ao mesmo eixo. Neste tipo de problemas ainda possvel distinguir o caso do slido de revoluo do caso da lmina de revoluo.Ser tambm tratadocomoum casoparticular a anlise de uma estrutura que consistenumslidocujageometriaaacesserepetem indefinidamenteaolongodeum eixorectilneo. Trata-sedoestadoplanodedeformao, quepodeserestudadocom basenuma geometria bidimensional.1.2 - Fundamentos do MEFA formulaodoMEF requer a existncia de uma equaointegral, de modoque sejapossvel substituir o integral sobre umdomnio complexo (de volume V) por umsomatriode integrais estendidos a sub domnios de geometria simples (de volume Vi).Esta tcnica ilustrada com o seguinte exemplo, que corresponde ao integral de volumede uma funo f ==niV ViV d f V d f1(1)Introduo- lvaro F. M. Azevedo5Em (1) pressupe-se que==niiV V1(2)Se for possvel calcular todos os integrais estendidos aos sub domnios Vi, basta efectuaro somatrio correspondente ao segundo membro de (1) para se obter o integralestendidoa todo o domnio. Cada sub domnio Vi corresponde a um elemento finito degeometria simples (e.g., segmento de recta, tringulo, quadriltero, tetraedro,paraleleppedo). Osomatrio indicado em (1) vai dar origemoperaodesignadaassemblagem, queapresenta muitas semelhanas com a que efectuada nas estruturasreticuladas.A equao integral referida no incio desta seco proveniente da aplicao do mtododosresduospesadosoudeumprincpiovariacional [1.3]. NocasodaaplicaodoMEF anlise de estruturas a formulaomais intuitiva a que se baseia no Princpiodos Trabalhos Virtuais (PTV), sendo a nica que abordada nesta publicao.1.3 Breve histria do MEFEm [1.2]encontra-seumadescriodetalhadadaevoluodomtododoselementosfinitos aolongodotempo. Em [1.3] efectuadooseuenquadramentocomoutrosmtodosdamesmafamlia. Apresenta-seemseguidaapenasumabreverefernciasprincipais fases do desenvolvimento do MEF.Na generalidade dos casos, muito difcil definir a data em que determinado avano doconhecimentofoi efectuado. Nocasoparticular doMEF, referidopor vrios autoresqueapublicaomaisantigaemqueutilizadaadesignaoelementofinitooartigo [1.4], quedatade1960etem comoautorRay Clough. Anteriormenteeram jconhecidas algumas tcnicas que vieram a ser incorporadas no MEF, sem este apareceraindacomasprincipaiscaractersticasquehojeemdiapossui. OsgrandespassosdodesenvolvimentodoMEF, queoconduziramaoformatoqueactualmenteapresentamaior aceitao, foramdados na dcada de 60 e incio da de 70. Inicialmente oselementos finitos mais comuns eram os triangulares e os tetradricos, passando-se maistarde a dar preferncia aos quadrilteros e aos hexaedros.Introduo- lvaro F. M. Azevedo6Ao contrrio de outros mtodos que eram utilizados no passado, o MEF s tem utilidadeprtica se se dispuser de umcomputador digital. Esterequisitodevidograndequantidade de clculos que necessrio realizar, nomeadamente na resoluo degrandes sistemas de equaes lineares. Assim se compreende que o rpidodesenvolvimento do MEF tenha praticamente coincidido coma generalizao dautilizao de computadores nos centros de investigao. Coma proliferao demicro-computadores ocorrida no final da dcada de 80 e na dcada de 90, o MEF chegafinalmente s mos da generalidade dos projectistas de estruturas.1.4 - Exemplo de aplicao do MEFApresenta-se em seguida um exemplo de aplicao do MEF, que consiste na anlise deuma estrutura do tipo consola curta de pequena espessura, sujeita s aces indicadas naFigura 1.1. Nestas condies pode-se admitir que se trata de um meio contnuo, sujeito aum estado plano de tenso [1.5]. Na Figura 1.1 est representada a malha utilizada, queconstitudapor 92elementosfinitosquadrilteros, sendocadaumdesteselementosdefinidopor 8ns. Encontram-setambmassinaladosos 10nsqueestoligadosaomeio exterior.DepoisdecompletadaaanlisedaestruturapeloMEF, fica-seaconhecerosvaloresaproximados dos deslocamentos e das tenses instaladas. Na Figura 1.2 estrepresentada a malha deformada pela aco das foras aplicadas estrutura. Parapermitir umamelhor visualizaodosdeslocamentos, estessomultiplicadospor umfactor de ampliao. Como referncia, tambmrepresentada a malha originalindeformada.Como tipo de visualizao utilizado na Figura 1.3 possvel ter uma percepoimediata dos locais em que as tenses principais apresentam maiores valores, bem comoda trajectria das tenses dentro da estrutura. Neste tipo de representao cadasegmentoderectaestorientadosegundoumadirecoprincipal detensoeasuagrandeza proporcional aovalor da correspondente tenso normal. A cor verde indicaque se trata de uma traco e cor vermelha est associada uma compresso.Na Figura 1.4, ovalor da componente vertical do vector deslocamento representado,emcadaponto, por intermdiodeumacodificaopor cores. ConsultandoaescalaIntroduo- lvaro F. M. Azevedo7lateral, fica-seaconhecera ordem de grandeza dodeslocamentovertical em qualquerponto da estrutura.Na Figura 1.5, otipo de visualizao grfica coincide com o da Figura 1.4, tratando-setambm da representaode um campoescalar por intermdio de uma codificao porcores. O camporepresentadona Figura 1.5 odas tenses normais y, sendo y o eixovertical. Esta componente do tensor das tenses sempre perpendicular a facetashorizontais.Fig. 1.1 - Consola curta: malha de elementos finitos e aco exterior.Introduo- lvaro F. M. Azevedo8Fig. 1.2 - Consola curta: malha deformada representada sobre a estrutura indeformada.Fig. 1.3 - Consola curta: tenses principais e respectivas direces.Introduo- lvaro F. M. Azevedo9Fig. 1.4 - Consola curta: campo de deslocamentos verticais.Introduo- lvaro F. M. Azevedo10Fig. 1.5 - Consola curta: campo de tenses normais segundo um eixo vertical.Introduo- lvaro F. M. Azevedo11BIBLIOGRAFIA[1.1] Timoshenko, S. P.; Goodier, J. N. - Theory of Elasticity, Third Edition,McGraw-Hill, 1988.[1.2] - Cook, R. D.; Malkus, D. S.; Plesha, M. E.; Witt, R. J. - Concepts andApplications of Finite Element Analysis, FourthEdition, JohnWiley&Sons, Inc.,2002.[1.3] - Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L. - The Finite Element Method, Fourth Edition,McGraw-Hill, 1988.[1.4] Clough, R. W. - The Finite Elementin Plane Stress Analysis, Proc. 2nd ASCEConf. on Electronic Computation, Pittsburgh, Pa., September 1960.[1.5] - Azevedo, A. F. M. - Mecnica dos Slidos, Faculdade de Engenharia daUniversidade do Porto, 1996.Introduo- lvaro F. M. Azevedo1213CAPTULO 2TRANSFORMAO LINEAR DE COORDENADASNeste captulo apresentada a deduo da expresso que permite transformar ascoordenadasdeumpontonoespaode umreferencial ( S )para outro ( S ).Queroseixos deS quer os deS so definidos por versores cujas componentes se encontramnoreferencial geral S. Estes trs referenciais apresentamorigemcomum(ponto O).Sendo P um ponto genrico no espao, a transformao das componentes do vector OPcoincide com a transformao das coordenadas do ponto P.2.1 - SimbologiaApresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada neste captulo.Tabela 2.1 - Simbologia relativa transformao linear de coordenadas.S Sistema de coordenadas (referencial)O Origem do sistema de coordenadasP Ponto genricop Vector posio do ponto Px Eixo do sistema de coordenadase Versor de um eixo do sistema de coordenadasA Matriz de transformao deS emS B Matriz de transformao deS emSg Referencial gerala Referencial auxiliarl Referencial localTransformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo14ngulo entre eixos dos referenciais auxiliar e localMatriz de transformaoi Primeiro n de uma barraj Segundo n de uma barraL Comprimento de uma barra2.2 - Caso geralNaFigura 2.1encontram-serepresentadosostrsreferenciais( S e S S , ), umpontogenrico P e o vector OP p = .1x 2x 1x2x3x3x 1x2x3x1 e 2 e 3 e 1 e2 e3 e1 e2 e3 e pOPFig. 2.1 - Referenciais e ponto genrico P.Os trs referenciais (que se supem directos e ortonormados) so definidos do seguintemodoTransformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo15( )( )( ) 3 2 13 2 13 2 1, , ,, , ,, , ,x x x O Sx x x O Sx x x O S(1)Versores de cada referencial:( )( )( ) 3 2 13 2 13 2 1 , , : , , : , , :e e e S de Versorese e e S de Versorese e e S de Versores(2)Ponto genrico:( )Sx x x P3 2 1, , = (3)Vector posio do ponto P:( )3 2 1, , x x x OP p = = (4)Nota: todos os versores e vectores apresentam as suas componentes no referencial S.Versores do referencial S:( )( )( )===1 , 0 , 0 0 , 1 , 0 0 , 0 , 1 321eee(5)Vector p :( )3 2 1, , x x x p =(6) + + = + + =+ + =3 3 2 2 1 13 3 2 2 1 13 3 2 2 1 1 e x e x e x pe x e x e x pe x e x e x p(7)As coordenadas do ponto P no referencial ( )3 2 1, , x x x S obtm-se projectando ovector psobre os versores do referencial S :Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo16( )( )( ) + + = = + + = = + + = = 3 3 3 2 2 1 1 3 32 3 3 2 2 1 1 2 21 3 3 2 2 1 1 1 1 e e x e x e x e p xe e x e x e x e p xe e x e x e x e p x(8)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + + = + + = + + = 3 3 3 3 2 2 3 1 1 32 3 3 2 2 2 2 1 1 21 3 3 1 2 2 1 1 1 1 e e x e e x e e x xe e x e e x e e x xe e x e e x e e x x(9)Matricialmente tem-se:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

3213 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1321 xxxe e e e e ee e e e e ee e e e e exxx(10)x A x = (11)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1 e e e e e ee e e e e ee e e e e eA (12)Nesta expresso, x so as coordenadas de P no referencial S , x so as coordenadasde P no referencial S e A a matriz de transformao deS emS .De um modo semelhante tem-se:( )( )( ) + + = = + + = = + + = = 3 3 3 2 2 1 1 3 32 3 3 2 2 1 1 2 21 3 3 2 2 1 1 1 1 e e x e x e x e p xe e x e x e x e p xe e x e x e x e p x(13)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + + = + + = + + = 3 3 3 3 2 2 3 1 1 32 3 3 2 2 2 2 1 1 21 3 3 1 2 2 1 1 1 1 e e x e e x e e x xe e x e e x e e x xe e x e e x e e x x(14)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

3213 3 3 2 3 12 3 2 2 2 11 3 1 2 1 1321 xxxe e e e e ee e e e e ee e e e e exxx(15)Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo17x B x = (16)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=3 3 3 2 3 12 3 2 2 2 11 3 1 2 1 1 e e e e e ee e e e e ee e e e e eB (17)Comparando (12) com (17) verifica-se queTA B = (18)A expresso (16) pode escrever-se da seguinte formax A xT = (19)Substituindo (11) em (19) tem-sex A A xT = (20)Concluindo-se queI A AT= (21)sendo I a matriz identidade.Multiplicando ambos os membros de (21) por1 A ( direita) obtm-se1 =A AT(22)Quando a inversa de uma matriz coincide com a sua transposta diz-se que a matriz ortogonal. Assim se conclui que a matriz de transformao A uma matriz ortogonal.Vai-se agora proceder anlise do significado de cada um dos elementos de A.A expresso (11) pode escrever-se do seguinte modo( )= = 31 jj ij ix a x(23)Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo18sendo aij o elemento genrico da matriz A.Em (12) verifica-se quej i ije e a = (24)Recorrendo definio de produto escalar tem-se( )j i j i ije e e e a = , cos (25)Uma vez que os versores dos referenciais possuem norma unitria( )j i ije e a = , cos(26)e a matrizde transformao Apode ser obtida a partir dos cosenos dos ngulos entreversores dos referenciaisS eS .( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1 , cos , cos , cos , cos , cos , cos , cos , cos , cose e e e e ee e e e e ee e e e e eA (27)2.3 - Caso particular com S e S' coincidentesReproduzem-se em seguida as expresses (5), (11) e (12)( )( )( )===1 , 0 , 0 0 , 1 , 0 0 , 0 , 1 321eee(28)x A x = (29)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1 e e e e e ee e e e e ee e e e e eA (30)No caso de os referenciais S eS serem coincidentes, verifica-se queTransformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo19i ie e = (31)x A x = (32)Substituindo (31) em (30) obtm-se( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 1 e e e e e ee e e e e ee e e e e eA (33)Atendendoa (28), verifica-se em (33) que a primeira linha da matriz Acontmascomponentes doversor1 e noreferencial S. Asegundaeterceiralinhas contmascomponentes em S dos versores2 e e3 e .( )

=S em e de s ComponenteS em e de s ComponenteS em e de s ComponenteA3213 3(34)2.4 - Matriz de transformao de uma barra rectilnea no espaoNesta secosoutilizadas as expresses deduzidas nas seces anteriores comoobjectivo de chegar matriz de transformao de uma barra de trelia 3De deprtico 3D. No mbito da anlise de estruturas pelo mtodo dos deslocamentos,admitem-se as seguintes hipteses: conhecida a geometria da estrutura, que constituda por barras prismticas deeixo rectilneo e de seco constante;para cada barra, so conhecidas as coordenadas dos dois ns extremos, ficandoassim definida a localizao do seu eixo baricntrico; conhecida a posio dos eixos principais centrais de inrcia da secotransversal da barra [2.1].Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo20Considere-seumngulo (), queserdefinidoadianteequeposicionaoreferenciallocal (principal central de inrcia - PCI) em relao a um referencial auxiliar.Assim, vo ser considerados os seguintes referenciais:( )( ) = PCI local l Sauxiliar a Sgeral g S0 (35)O referencial geral (g) aquele em relao ao qual todos os pontos e todos os vectoresesto definidos, sendo os seus versores definidos por (28).O referencial auxiliar (a), ao qual corresponde um ngulo nulo, tem o primeiro eixocoincidente com o eixo da barra e o segundo eixo perpendicular ao plano vertical quecontem a barra. O terceiro eixo aquele que faz com que o referencial seja directo eortonormado. Este referencial ser adiante definido com mais rigor.O referencial local (l) tem como primeiro eixo o eixo da barra, sendo os restantes eixosos eixos principais centrais de inrcia da seco transversal da barra.O ngulo define a posio do referencial local (l) emrelao ao referencialauxiliar (a).Vo ser em seguida definidas duas transformaes:transformao de g para a;transformao de a para l.A primeira transformao realizada com a seguinte expresso que semelhante a (32)g ag ax T x = (36)sendoagT a matriz que transforma as coordenadas de um ponto do referencial g para oreferencial a.A segunda transformao permite obter as coordenadas de um ponto no referencial l apartir das suas coordenadas no referencial a, sendo semelhante definida por (11)Transformao Linear de Coordenadas - lvaro F. M. Azevedo21a la lx T x = (37)Substituindo (36) em (37) chega-se ag ag la lx T T x = (38)Uma vez que se pretende uma matriz de transformao de g para lg lx T x = (39)comparando (38) com (39) conclui-se queag laT T T= (40)NaFigura 2.2definidaaposiodoreferencialauxiliar aemrelaoaoreferencialgeral g e barra.g1g2g3a1a2a3iji