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Francisco Carlos Peres
(bacharelando de Matemática da UNISUL)
FOURIER,
um matemático fora de série
Curitiba, PR – Dezembro/2015
2
APRESENTAÇÃO
Inicialmente este texto pretendia ser apenas um auxiliar e um complemento para o estudo da Seção
4 (Séries de Fourier) e Seção 5 (Extensão periódica de uma série de Fourier) da Unidade 4 do livro
didático “Sequências Numéricas e Séries”, de autoria dos professores Carlos H. Hobold e Paulo J.
S. dos Santos (Unisul Virtual, 2011), utilizado na disciplina “Sequências e Séries” do bacharelado de
Matemática EAD, da UNISUL. Mas, na medida em que ia sendo escrito, seu escopo se ampliou para
uma apostila mais completa sobre o assunto, por dois motivos: (a) suprir uma falha na literatura em
português impressa e na internet de um texto que incluísse história e contexto do desenvolvimento
das Séries de Fourier, ao mesmo tempo em que explicasse passo-a-passo os pontos principais,
através de muitos exemplos; e (b) a satisfação e diversão cada vez maiores do Autor, na medida em
que avançava em seus estudos e pesquisas e percebia que compreendia cada vez melhor o assunto.
É expectativa do Autor que a leitura desta apostila seja tão prazerosa quanto foi sua redação, sem
esquecer que – por ser um texto de matemática – a “leitura” deve incluir a repetição manual dos
cálculos apresentados pelo Autor e a realização, em paralelo, de exercícios apresentados em outros
livros-texto.
Esta apostila não tem a pretensão de ser perfeita, podendo eventualmente conter erros de digitação
e/ou outros (afinal, apesar dos cuidados tomados, o Autor é apenas um estudante). Como a própria
Matemática, ela pode ser melhorada com a colaboração daqueles genuinamente interessados (e
um pouco esforçados). Por isso comentários e críticas, sugestões e correções serão bem vindos,
podendo ser endereçadas ao Autor através dos e-mails [email protected] ou
O Autor
3
S U M Á R I O
1. A França no início do século XIX – Revolução Francesa, Napoleão e grandes
avanços na Matemática – Fourier, o persistente
2. Funções periódicas e Séries trigonométricas
3. Os coeficientes da Série de Fourier
4. Exemplos de Séries de Fourier para algumas funções f(x)
5. Sobre a paridade de Funções (funções pares, ímpares, e nem uma nem outra)
6. Teorema da Convergência de Séries de Fourier
7. Séries de Fourier para funções f(x) com período 2L
4
1. A França no início do século XIX – Revolução Francesa,
Napoleão e grandes avanços na Matemática – Fourier, o
persistente
Pretender estudar Matemática como se ela surgisse do ar, ignorando o contexto histórico,
geográfico e humano que cerca as grandes descobertas, é uma extrema injustiça com esta nobre
ciência e principalmente com os seus estudantes.
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830), o inventor/descobridor das assim chamadas Séries de
Fourier, foi um homem do seu tempo [seu sobrenome pronuncia-se furriê]. Tinha 20 anos quando
irrompeu a Revolução Francesa em 1789, sendo então professor de matemática na sua cidade natal
de Auxerre. Mesmo fora de Paris, envolveu-se profundamente na política, apoiando os
revolucionários com suas habilidades retóricas. Mas a crescente violência, como o uso da guilhotina
para decapitar adversários políticos, e a divisão dos revolucionários em inúmeras facções que
lutavam entre si, desgostaram Fourier. Ele chegou a ser preso em 1794, porém foi libertado em
seguida e nomeado em 1795 para a École Normale de Paris (instituição criada pela nova República
para ensinar os professores franceses), onde conheceu e teve como mestres Lagrange, Laplace e
Gaspard Monge – entre os maiores gênios da física e da matemática da época. Em 1798, quando
liderou uma expedição militar ao Egito (1798 – 1801), o então general Napoleão Bonaparte levou
consigo um grupo de cientistas e estudiosos para pesquisarem as riquezas históricas egípcias.
Fourier estava entre eles, tornando-se secretário do Instituto do Egito, criado por Napoleão no
Cairo, do qual o matemático Monge foi o primeiro presidente. No retorno da expedição à Europa,
após muitas lutas políticas, Napoleão torna-se Imperador da França (período 1804 – 1814), e nomeia
seu amigo Fourier como prefeito do Departamento de Isère, cargo equivalente a governador da
província. A habilidade política de Fourier era tão grande que, mesmo no período pós-napoleônico,
foi nomeado prefeito da cidade de Grenoble, segunda maior cidade da região sudeste da França,
depois de Lyon, e capital do departamento de Isère. Segundo uma biografia escrita por François
Arago (1857), o falecimento de Fourier ocorreu em maio de 1830, em Paris, aos 62 anos, devido às
suas frágeis condições de saúde agravadas pela queda de uma escada.
Esboço de Fourier, 1820 (fonte: Wikipédia)
Busto de Fourier, em Grenoble
5
Enquanto políticos, militares e homens de negócio desperdiçavam seu tempo e energias em
assuntos ordinários tais como guerras, revoluções e corrida atrás de dinheiro – que fazem as
manchetes dos jornais no dia, e os capítulos de livros de história durante alguns poucos séculos –
outro grupo de homens com interesses e ideais mais nobres, cientistas e filósofos, dedicavam-se a
enfrentar e resolver os verdadeiros problemas e desafios que afligem a Humanidade, gravando seus
nomes por infindáveis milênios do porvir, enquanto houver estudantes que refaçam seus passos
para aprender e preparar novos avanços na fronteira do conhecimento.
A principal obra de Fourier não foi a drenagem de pântanos em sua província, nem a construção de
estradas ligando sua cidade à Paris. Estas obras tiveram sua utilidade transitória. Entretanto, o nome
de Fourier ficou realmente gravado para a posteridade por causa de seus trabalhos intelectuais
relativos ao CALOR, um dos grandes desafios que a Física enfrentava na virada do século XIX, nos
quais ele desenvolveu a ideia hoje consagrada das Séries de Fourier.
“O calor, como a gravidade, penetra todas as substâncias do universo, sua radiação
ocupa todas as partes do espaço. O objeto de nosso trabalho é determinar as leis
matemáticas que esse fenômeno obedece. A teoria do calor constituirá, portanto, um
dos mais importantes ramos da Física geral.” – JOSEPH FOURIER in Teoria Analítica
do Calor
Em 1807 Fourier apresentou o trabalho “Sobre a propagação do calor nos corpos sólidos” à
Academia de Ciências de Paris, no qual já afirmava que uma função arbitrária podia ser expandida
em uma série trigonométrica, opinião contrária à do grande Euler (1707 – 1783). Infelizmente, a
banca examinadora constituída por Lagrange, Laplace, Monge e Lacroix concordava com Euler e
recusou o texto, criticando-o por falta de rigor matemático. Mais tarde, a Academia lançou um
concurso sobre a propagação de calor nos sólidos para o prêmio de Matemática de 1811. Fourier
reapresentou seu trabalho anterior, acrescido de novos textos mais recentes, e ganhou o concurso,
porém houve algumas ressalvas dos examinadores que terminaram impedindo a publicação do
texto. Foi só em 1817 que o persistente Fourier foi eleito para a Academia de Ciências, e em 1822
conseguiu publicar a que é considerada hoje sua obra prima e um dos grandes clássicos da
matemática e da física: “Teoria Analítica do Calor” (Théorie analytique de la chaleur).
“Um viajante que se recuse a passar por uma ponte até que tenha pessoalmente
testado a solidez de cada parte da ponte provavelmente não irá longe; algum risco
deve ser assumido, mesmo em matemática.” – HORACE LAMB (1849 – 1934),
matemático inglês
Uma excelente apresentação on-line com uma introdução histórica e matemática à Série de Fourier
pode ser obtida em https://www.youtube.com/watch?v=JFdBfemyXRU Trata-se da aula nº 11 do
curso de Cálculo IV do Instituto de Matemática e Estatística da USP, com o professor Cláudio Possani.
6
O canal Univesp TV disponibiliza gratuitamente aulas dos cursos superiores da USP no YOU TUBE.
Mas também pode ser acessado através do próprio site em http://univesptv.cmais.com.br/cursos .
2. Funções periódicas e Séries trigonométricas
Uma função f (x) é dita periódica com um período T seI
f (x) = f (x + T)
para qualquer x. Obviamente os períodos se repetem (se não, não seria periódica!) para múltiplos
de T, então a definição geral para uma função T-periódica é
f (x) = f (x + nT) para qualquer x ϵ R e para qualquer n ϵ Z
Quer dizer, n é sempre um inteiro positivo ou negativo n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ...
A grande vantagem de uma função periódica é que sabendo o seu comportamento em um período,
sabe-se o comportamento em todos os demais períodos, pois f (x) se repete. Isto é, definir a função
f (x) no intervalo (x, x+T) é suficiente para defini-la em toda a reta R; e esta é uma característica
inerente a toda função periódica: o seu domínio é toda a reta R.II
Existem funções que são naturalmente periódicas (Exemplos 2.1 e 2.2), e existem funções que,
apesar de originalmente serem não-periódicas, podem ser redefinidas como periódicas dentro de
certo intervalo T que se repete, em ambos os sentidos da reta R (Exemplos 2.3, 2.4 e 2.5).
Exemplo 2.1: Para a função f (x) = tan x o período é T = π então
tan (x) = tan (x + π) = tan (x + 2π) = tan (x + 3π)
No caso particular em que x = π/4 temos queIII
I Em matematiquês costuma se dizer: “Uma função f(x) é T-periódica se...” Sempre é possível complicar mais um pouquinho. II Mas muito cuidado: existem funções f(x) definidas em toda a reta R que NÃO são periódicas. Ou seja: se uma função é periódica, necessariamente seu domínio é toda a reta R; mas o fato de o domínio de uma função ser toda reta R não é suficiente para afirmar que ela é periódica. III Em Matemática superior não se usa graus como unidade de medida de arcos, e sim radianos. π/4 radianos é igual a 45 graus.
7
tan (π/4) = tan (5π/4) = tan (9π/4) = tan (13π/4) = 1
Figura 2.1 - Gráfico de f (x) = tan x
Exemplo 2.2: Para a função f (x) = sen x o período é T = 2π então
sen (x) = sen (x + 2π) = sen (x + 4π) = sen (x + 6π)
No caso particular em que x = π/2 temos
sen (π/2) = sen (5π/2) = sen (9π/2) = sen (13π/2) = 1
Figura 2.2 - Gráfico de f (x) = sen x
Exemplo 2.3: Para a função f (x) = 2, -π < x < 0 e f (x) = x, 0 < x < π o período é T = 2π
Esse tipo de função é bastante comum em Engenharia Elétrica e Engenharia Mecânica.
Figura 2.3 - Gráfico de f (x) =
a) f (x) = 2, -π < x < 0
b) f (x) = x, 0 < x < π
8
Exemplo 2.4: A função f (x) = x é uma
função não-periódica definida em toda a
reta R, e seu gráfico é:
Figura 2.4.1 - Gráfico de f (x) = x
Entretanto, é muito importante observar que a função periódica f (x) = x, 0 < x < 1 (com período
T = 1) é outra função diferente, também definida em toda a reta R, cujo gráfico está abaixo:
Neste segundo caso temos uma
função periódica porque os valores
de f (x) se repetem a cada
período, e a função possui um
ponto mínimo e um ponto máximo
(o que não ocorre com a função
original não periódica).
Figura 2.4.2 - Gráfico de f (x) = x, 0 < x < 1
Exemplo 2.5: A função f (x) = x2 é uma função
não-periódica definida em toda a reta R, e seu
gráfico é
Figura 2.5.1 - Gráfico de f (x) = x2
Entretanto, a função periódica f (x) = x2, -π < x < π (com período T = 2π) é outra função
diferente, também definida em toda a reta R, cujo gráfico está abaixo:
Esta segunda função, definida como periódica, possui pontos
de máximo e de mínimo (enquanto a função original possui
apenas ponto de mínimo, sem ponto de máximo).
Figura 2.5.2 - Gráfico de f (x) = x2, -π < x < π
9
Morris Kline destaca: “O trabalho de Fourier incorporou vários avanços notáveis. Além de expandir
a teoria das equações diferenciais parciais, ele forçou uma revisão na própria noção de função.
Suponha que a função y = x seja representada por uma série de Fourier no intervalo (- π, π). A série
repete o o seu comportamento em cada intervalo de extensão 2π [...] Esse tipo de função não pode
ser representado por uma única (e finita) expressão analítica, enquanto os predecessores de Fourier
haviam insistido em que uma função deva ser representada por uma expressão única. Uma vez que
a função y = x para todo x não é representada pela série, eles não conseguiam entender como uma
função arbitrária, que não seja periódica, poderia ser representada por uma série (embora Euler e
Lagrange tivessem realmente feito isso para algumas funções não periódicas específicas). [...]
Também é significativo o fato de as séries de Fourier representarem uma função em todo um
intervalo completo, enquanto uma série de Taylor representa uma função somente nas vizinhanças
de um ponto no qual a função seja analítica.”
Kline, Morris – Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. New
York, 1972. Vol 2, cap 28, seção 2, páginas 677 e 678.
A grande ideia de Fourier foi que qualquer função periódica, por mais complicada que seja, pode
ser representada como a soma de várias funções seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos
escolhidos convenientemente (através dos coeficientes a0, an, e bn). Esta soma constitui uma série
trigonométrica no formato
1
2 a0 + (a1 cos x + b1 sen x) + (a2 cos 2x + b2 sen 2x) + (a3 cos 3x + b3 sen 3x) + …
Cujos termos podem ser rearranjados para
1
2 a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + a3 cos 3x + ... + b1 sen x + b2 sen 2x + b3 sen 3x + …
E finalmente podem ser apresentados na seguinte fórmula sintética
𝑎0
2 + ∑ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + ∑ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)∞𝑛=1 [Eq. 01]
Que é a fórmula geral da Série de Fourier.
3. Os coeficientes da Série de Fourier
Observa-se que a Série de Fourier não é uma série de potências (como as Séries de Taylor e
MacLaurin). As duas últimas aproximam o valor da função f (x) na proximidades de um determinado
ponto x0 e exigem que f (x) possa ser diferenciada várias vezes. A Série de Fourier aproxima o
10
valor da função f (x) em toda a reta real, desde que f (x) seja uma função periódica, e por serem
baseadas nas funções seno e cosseno podem ser diferenciadas infinitas vezes.
𝑎0
2 + ∑ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + ∑ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)∞𝑛=1 = 𝑎0
2 + ∑ [ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)]
Como os termos desta série são funções trigonométricas periódicas com período 2π, a soma S (x)
será também uma função períodica de período 2π. Por isso a Série de Fourier é estudada num
intervalo de comprimento 2π, como por exemplo (-π, π) ou (0, 2π) ou (-2π, 0). Depois veremos o
caso geral de um intervalo de amplitude 2L.
Para que uma função f (x) qualquer possa ser aproximada pela Série de Fourier, precisamos
determinar o valor dos coeficientes.
3.1) Determinando a0
Partimos de f (x) = 𝑎0
2 + ∑ [ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)]
E integramos os dois lados entre (-π, π)
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 = ∫
1
2𝑎0 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 + ∑ [ ∫ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋∞𝑛=1 + ∫ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 ]
Resolvendo primeiro as duas parcelas entre colchetes, temos
∫ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 = 𝑎𝑛 ∫ cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 =
1
𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)|
−𝜋
𝜋
= 1
𝑛 [sen (n𝜋) – sen (-nπ)] =
1
𝑛 [ 0 – 0 ] = 0 → 𝑎𝑛 . 0 = 0
∫ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 = 𝑏𝑛 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 = −
1
𝑛 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝑥)|
−𝜋
𝜋
= −1
𝑛 [cos (nπ) – cos (-nπ)] =
−1
𝑛 [ 1 – 1 ] = 0 → 𝑏𝑛 . 0 = 0
Retornando à expressão original temos agora
∫ 1
2𝑎0 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 =
1
2𝑎0 ∫ 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 =
1
2𝑎0 [π – (-π)] =
1
2𝑎0 [2π] = 𝑎0 π
Então, se
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 = 𝑎0 π multiplica-se ambos os lados por
1
𝜋 e isola-se 𝑎0 assim
11
𝑎0 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
3.2 Determinando an
Partimos novamente de f (x) = 𝑎0
2 + ∑ [ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)]
Multiplicamos ambos os lados por cos (px), sendo p um número fixo dado, e integramos em (-π, π)
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑝𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 =
∫ 1
2𝑎0 cos(𝑝𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 + ∑ [ ∫ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) cos(𝑝𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋∞𝑛=1 + ∫ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) cos (𝑝𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 ]
A primeira integral que contem 𝑎0 é igual a zero, conforme demonstrado na seção 3.1
∫ 1
2𝑎0 cos(𝑝𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 =
1
2𝑎0 ∫ cos(𝑝𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 =
1
2𝑎0 .
1
𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑝𝑥)|
−𝜋
𝜋
= 1
2𝑎0 . 0 = 0
A segunda integral que contem an é igual a zero, desde que n ≠ p (n e p inteiros) porque
cos(𝑛𝑥) cos(𝑝𝑥) = 1
2 [cos(n+p)x + cos(n – p)x] (esta é uma das integrais de Euler) então
∫ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) cos(𝑝𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 = 𝑎𝑛 .
1
2 ∫ [ cos(𝑛 + 𝑝)𝑥 + cos(𝑛 − 𝑝)𝑥] 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
= 𝑎𝑛
2 [ ∫ cos(𝑛 + 𝑝)𝑥 𝑑𝑥 +
𝜋
−𝜋 ∫ cos(𝑛 − 𝑝)𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 ]
= 𝑎𝑛
2 .
1
𝑛+𝑝 𝑠𝑒𝑛 (𝑛 + 𝑝)𝑥|
−𝜋
𝜋
+ 1
𝑛−𝑝 𝑠𝑒𝑛 (𝑛 − 𝑝)𝑥|
−𝜋
𝜋
Como sen kπ = 0 e sen -kπ = 0 sendo k = (n+p) ou k = (n-p) temos que esta integral vale zero.
A terceira integral que contem bn é igual a zero, tanto faz se n ≠ p ou n = p porque
𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) cos (𝑝𝑥) = 1
2 [sen(n+p)x + sen(n – p)x] (esta é outra das integrais de Euler) então
∫ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) cos (𝑝𝑥)𝜋
−𝜋𝑑𝑥 = 𝑏𝑛 . {
1
2 [ ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑛 + 𝑝)𝑥 𝑑𝑥 +
𝜋
−𝜋 ∫ sen(𝑛 − 𝑝)𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 ] }
= 𝑏𝑛 . { 1
2 [−
1
𝑛+𝑝 𝑐𝑜𝑠 (𝑛 + 𝑝)𝑥|
−𝜋
𝜋
+ − 1
𝑛−𝑝 𝑐𝑜𝑠 (𝑛 − 𝑝)𝑥|
−𝜋
𝜋
] }
cos (n+p)π e cos (n – p)π resultarão sempre +1 e -1, ou vice versa, e quando adicionados
resultarão em zero. Por isso a expressão da terceira integral vale zero.
12
A única alternativa que sobra para encontrar um valor de an diferente de zero é a segunda integral
quando n = p
∫ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) cos(𝑝𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 = ∫ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 = ∫ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠2(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
= 𝑎𝑛 ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑛𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 = 𝑎𝑛 π
Temos então que
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 = 𝑎𝑛 π multiplica-se ambos os lados por
1
𝜋 e isola-se 𝑎𝑛 assim
𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
3.3 Determinando 𝑏𝑛
Partimos novamente de f (x) = 𝑎0
2 + ∑ [ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)]
Multiplicamos ambos os lados por sen (px), sendo p um número fixo dado, e integramos em (-π, π)
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑝𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 =
∫ 1
2𝑎0 sen(𝑝𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 + ∑ [ ∫ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) sen(𝑝𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋∞𝑛=1 + ∫ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑝𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 ]
A primeira integral que contem 𝑎0 é igual a zero, conforme segue
∫ 1
2𝑎0 sen(𝑝𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 =
1
2𝑎0 ∫ sen(𝑝𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 =
1
2𝑎0 . −
1
𝑛 𝑐𝑜𝑠 (𝑝𝑥)|
−𝜋
𝜋
= 𝑎0
2 . {
−1
𝑛 [cos (pπ) – cos (-pπ)] } =
𝑎0
2 {
−1
𝑛 [ 1 – 1 ]} = 0
A segunda integral que contem 𝑎𝑛 é igual a zero, tanto faz se n ≠ p ou n = p porque
𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) cos (𝑝𝑥) = 1
2 [sen(n+p)x + sen(n – p)x] (esta é outra das integrais de Euler) então
∫ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) sen(𝑝𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 = 𝑎𝑛 ∫ cos(𝑛𝑥) sen(𝑝𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 =
= 𝑎𝑛 . { 1
2 [ ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑛 + 𝑝)𝑥 𝑑𝑥 +
𝜋
−𝜋 ∫ sen(𝑛 − 𝑝)𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 ] }
= 𝑎𝑛 . { 1
2 [−
1
𝑛+𝑝 𝑐𝑜𝑠 (𝑛 + 𝑝)𝑥|
−𝜋
𝜋
+ − 1
𝑛−𝑝 𝑐𝑜𝑠 (𝑛 − 𝑝)𝑥|
−𝜋
𝜋
] }
13
cos (n+p)π e cos (n – p)π resultarão sempre +1 e -1, ou vice versa, e quando adicionados
resultarão em zero. Por isso a expressão da segunda integral vale zero.
A terceira integral que contem bn é igual a zero, no caso de n ≠ p (n e p inteiros) porque
∫ sen(𝑛𝑥) sen(𝑝𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 =
1
2 ∫ [ 𝑐𝑜𝑠 (𝑝 − 𝑛)𝑥 𝑑𝑥 −
𝜋
−𝜋 ∫ cos(𝑝 + 𝑛)𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 ] = 0
Que é outra das integrais de Euler. Logo
∫ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑝𝑥)𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 = 𝑏𝑛 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑝𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 = 𝑏𝑛 . 0 = 0
A única alternativa que sobra para encontrar um valor de bn diferente de zero é a terceira integral
quando n = p
∫ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑝𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑝𝑥)𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 = 𝑏𝑛 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑝𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑝𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 = 𝑏𝑛 ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑝𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥
Novamente Euler já calculou essa integral e ela vale π
∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑝𝑥)𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 = ∫
1−cos (2𝑝𝑥)
2
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 =
1
2 ∫ 1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑝𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥
= 1
2 ∫
𝜋
−𝜋𝑑𝑥 –
1
2 ∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝑝𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥 = π
Então retomando
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑝𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 = 0 + 0 + 𝑏𝑛 ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑝𝑥)
𝜋
−𝜋 𝑑𝑥
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑝𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 = 𝑏𝑛 . π
Multiplica-se ambos os lados por 1
𝜋 e isola-se 𝑏𝑛 assim (lembrando que p=n logo px = nx)
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
Série de Fourier
𝑎0
2 + ∑ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + ∑ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)∞𝑛=1
Sendo que
𝑎0 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
14
4. Exemplos de Séries de Fourier para algumas funções f (x)
Seguem-se 5 exemplos de cálculo de série de Fourier para funções periódicas f (x) definidas no
intervalo (-π, π).
Exemplo 4.1: Calcule a série de Fourier da função f (x) = x, -π < x < π
Inicialmente deve-se calcular os coeficientes a0, an, e bn.
𝑎0 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 ou seja 𝑎0 =
1
𝜋 ∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
A função f (x) = x é ímpar, e a integral definida de uma função ímpar em intervalo simétrico é
sempre ZERO. Podemos confirmar este resultado calculando a integral. A função primitiva de
f (x) = x é 𝑥2
2 então ∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 =
𝑥2
2 |
−𝜋
𝜋
= 𝜋2
2 –
(−𝜋)2
2 = 0
Portanto 𝑎0 = 1
𝜋 ∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 =
1
𝜋 . 0 = 0
Agora vamos calcular 𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 ou seja 𝑎𝑛 =
1
𝜋 ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
Ora, o integrando é um produto de funções onde uma é ímpar [f (x) = x] e a outra é par [f (x) = cos
nx] e pela propriedade 5.3.5 temos que esse produto é ímpar. Além disso, sabemos que a integral
definida de uma função ímpar em intervalo simétrico é sempre ZERO.
Portanto 𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 =
1
𝜋 . 0 = 0
Agora vamos calcular 𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 ou seja 𝑏𝑛 =
1
𝜋 ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
Ora, o integrando é um produto de duas funções ímpares, e pela propriedade 5.3.4 esse produto é
par. Logo, será necessário calcular a integral através de uma integração por partes.
Para integrar o produto de duas funções, faz-se uma integral por partes
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = u v − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 ou ∫ 𝑣 𝑑𝑢 = u v − ∫ 𝑢 𝑑𝑣
Onde v = x → dv = 𝑑𝑥
15
Onde du = sen(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 → u = − cos(𝑛𝑥)
𝑛 =
−1
𝑛 cos (nx)
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 =
− cos(𝑛𝑥)
𝑛. 𝑥 |
−𝜋
𝜋
− ∫ − cos(𝑛𝑥)
𝑛 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
= −1
𝑛 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝑥) . 𝑥 |
−𝜋
𝜋
− (-1) ∫ cos(𝑛𝑥)
𝑛 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
= −𝜋
𝑛 cos (nπ) −
𝜋
𝑛 cos (nπ) +
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛2 |−𝜋
𝜋
Quando x = π teremos no numerador da terceira e quarta parcelas sen(nπ). Ora, sabemos que
sen(π) = sen(nπ) = 0, para qualquer n Є Ζ logo
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 =
−2𝜋
𝑛 cos (nπ) + 0 e portanto
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 𝑏𝑛 =
1
𝜋 .
−2𝜋
𝑛 cos (nπ) 𝑏𝑛 =
−2
𝑛 cos (nπ)
Ora, sabemos que cos π = -1 logo cos nπ = -1 quando n é ímpar (porque a sequência π, 3π, 5π, ... representam giros completos no círculo unitário que deixam o ponto marcado no mesmo lugar) e cos nπ = 1 quando n é par (porque 2π, 4π, 6π, ... representam voltas completas no círculo unitário que deixam o ponto marcado no mesmo lugar). Portanto
𝑏𝑛 = (−1)𝑛+1 −2
𝑛
Agora que temos os 3 coeficientes calculados, podemos encontrar a Série de Fourier
f (x) = 𝑎0
2 + ∑ [ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)]
Como a0 = an = 0 resta apenas o termo com bn
Logo a Série de Fourier de f (x) = x é S (x) = ∑ (−1)𝑛+1 −2
𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) ∞
𝑛=1
Cujos termos iniciais são
S (x) = 2 sen x − sen 2x + 2
3 sen 3x −
2
4 sen 4x +
2
5 sen 5x −
2
6 sen 6x + …
Graficamente a função f (x) = x, -π < x < π tem a seguinte representação
recebendo o apelido de “onda dente-de-serra”
(sawtooth wave, em inglês)
16
A Série de Fourier da função aproxima cada vez mais o seu gráfico, na medida em que o número de
seus termos vai aumentando (isto é, o valor de n cresce).
Gráfico da Série de Fourier para f (x) = x
calculada até n = 4 no intervalo (-2π, 2π)
Gráfico da Série de Fourier para f (x) = x
calculada até n = 4 no intervalo (-8π, 8π)
Exemplo 4.2: Calcule a série de Fourier da função f (x) = x2, -π < x < π
Vamos calcular os coeficientes a0, an, e bn.
𝑎0 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 ou seja 𝑎0 =
1
𝜋 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
𝑎0 = 1
𝜋 .
𝑥3
3 |
−𝜋
𝜋
= 1
𝜋 (
𝜋3
3 +
𝜋3
3 ) =
2𝜋2
3
Agora vamos calcular 𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 ou seja 𝑎𝑛 =
1
𝜋 ∫ 𝑥2 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
Para integrar o produto de duas funções, faz-se uma integral por partes ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = u v − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Onde u = x2 → du = 2x dx
Onde dv = cos (nx) dx → v = 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 Então
17
𝑎𝑛 = 1
𝜋 [𝑥2 .
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 |
−𝜋
𝜋 − ∫
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋]
Quando x = π teremos no numerador da primeira parte da expressão entre colchetes sen(nπ). Ora, sabemos que sen(π) = sen(nπ) = 0, para qualquer n Є Ζ logo toda a primeira parte da expressão entre colchetes vale ZERO. E ficamos com
𝑎𝑛 = 1
𝜋 [−
2
𝑛 ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋]
Onde se faz uma nova integração por partes
u = x → du = dx
dv = sen(nx) dx → v = − 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 Então
𝑎𝑛 = −2
𝑛𝜋 [
−𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 |
−𝜋
𝜋 + ∫
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋]
𝑎𝑛 = −2
𝑛𝜋 [−𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)
𝑛 − 𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑛.−𝜋)
𝑛 + 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛2 |
−𝜋
𝜋]
A última parte da expressão entre colchetes vale ZERO pois sen(π) = sen(nπ) = 0, para qualquer
n Є Ζ então
𝑎𝑛 = −2
𝑛𝜋 [−𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)
𝑛 − 𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑛.−𝜋)
𝑛] = −2
𝑛𝜋 .
−2𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)
𝑛 =
4
𝑛2 cos(nπ)
Ora, cos π = -1 logo cos nπ = -1 quando n é ímpar (para a sequência π, 3π, 5π, ...) e cos nπ = 1 quando n é par (para 2π, 4π, 6π, ...). Portanto
𝑎𝑛 = (−1)𝑛 4
𝑛2
Agora vamos calcular 𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 ou seja 𝑏𝑛 =
1
𝜋 ∫ 𝑥2 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
Podemos concluir sem cálculo que 𝑏𝑛 = 0 porque x2 é uma função par, sen(nx) é uma função ímpar, e o produto de função par por função ímpar resulta ímpar, conforme propriedade 4.3.5. Sendo o intervalo (-π, π), temos que integral de função ímpar em intervalo simétrico resulta sempre ZERO.
Agora que temos os 3 coeficientes calculados, podemos encontrar a Série de Fourier
f (x) = 𝑎0
2 + ∑ [ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)]
Como bn = 0 restam apenas os termos com a0 e an
18
Logo a Série de Fourier de f (x) = x2 é
S (x) = 2𝜋2
3 .
1
2 + ∑ (−1)𝑛
4
𝑛2 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1
S (x) = 𝜋2
3 + ∑ (−1)𝑛
4
𝑛2 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1
S (x) = 𝜋2
3 + 4 ∑
(−1)𝑛
𝑛2 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1
Cujos termos iniciais são
S (x) = 𝜋2
3 + 4 (− cos(𝑥) +
1
4cos 2x −
1
9 cos 3𝑥 +
1
16 cos 4𝑥 − ... )
Os gráficos ao lado mostram o comportamento da
Série de Fourier conforme o valor de n.
n = 0 S (x) = 𝜋2
3 = 3,289868...
n = 1 S (x) = 𝜋2
3 − 4 cos(𝑥)
n = 2 S (x) = 𝜋2
3 − 4 cos(𝑥) + cos 2x
n = 3 S (x) = 𝜋2
3 − 4 cos(𝑥) + cos 2x − 4
9 cos 3𝑥
19
Com n suficientemente grande, teremos o gráfico ao
lado, calculado para um intervalo grande da reta R.
Voltando agora ao cálculo do valor numérico da Série de Fourier da função f (x) = x2, -π < x < π
no ponto específico x = π, estaremos confirmando um cálculo feito pela primeira vez por Euler, no
século XVIII (usando outros métodos).
S (x) = 𝜋2
3 + 4 ∑
(−1)𝑛
𝑛2 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1
Ora cos π = -1, e cos(nπ) = -1 quando n for ímpar e cos(nπ) = 1 quando n for par.
Matematicamente isso é expresso como cos(nπ) = (−𝟏)𝒏
Então a fórmula acima fica
S (π) = 𝜋2
3 + 4 ∑
(−1)𝑛
𝑛2 (−1)𝑛∞
𝑛=1 = 𝜋2
3 + 4 ∑
(−1)2𝑛
𝑛2 ∞
𝑛=1 = 𝜋2
3 + 4 ∑
1
𝑛2 ∞
𝑛=1
Ora se x = π logo f (x) = x2 f (π) = π2
E se a Série de Fourier S(x) = f (x) S(π) = f (π) = π2 portanto
π2 = 𝜋2
3 + 4 ∑
1
𝑛2 ∞
𝑛=1
1
4 (π2 -
𝜋2
3) = ∑
1
𝑛2 ∞
𝑛=1 1
4 (
3𝜋2− 𝜋2
3) = ∑
1
𝑛2 ∞
𝑛=1
1
4 .
2𝜋2
3 = ∑
1
𝑛2 ∞
𝑛=1 𝜋2
6 = ∑
1
𝑛2 ∞
𝑛=1
Dessa forma, utilizando a Série de Fourier confirmamos um célebre resultado que Euler deduziu em
1734 em resposta ao famoso “problema de Basiléia”, proposto em 1644 pelo matemático Pietro
Mengoli. Tratava-se de encontrar a soma do inverso do quadrado de todos os números naturais, e
Euler resolveu usando a Série de Taylor e chegando ao mesmo valor que encontramos acima.
𝜋2
6 = ∑
1
𝑛2 ∞
𝑛=1 = 1
1²+
1
2²+
1
3²+
1
4²+ ⋯
20
Exemplo 4.3: Calcule a série de Fourier da função f (x) = 1 se -π ≤ x ≤ 0; 2 se 0 < x ≤ π.
Deve-se calcular os coeficientes a0, an,
e bn considerando os dois segmentos
descontínuos.
𝑎0 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 nessa situação fica 𝑎0 =
1
𝜋 ∫ 1 𝑑𝑥
0
−𝜋 +
1
𝜋 ∫ 2 𝑑𝑥
𝜋
0
Como a integral definida é “a área debaixo do gráfico da função”, podemos usar o gráfico da
função para calcular a área dos dois retângulos que correspondem às duas integrais definidas:
- área do retângulo à esquerda: π . 1 = π - área do retângulo à direita: π . 2 = 2π
- área total sob a função f(x): π + 2π = 3π Logo 𝑎0 = 3π . 1
𝜋 = 3
𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 nessa situação fica 𝑎𝑛 =
1
𝜋 [∫ 1 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
0
−𝜋 + ∫ 2 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0 ]
𝑎𝑛 = 1
𝜋 [
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 |
−𝜋
0 + 2
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 |
0
𝜋 ]
Como sen 0 = sen π = sen(nπ) = 0 temos que o valor do colchetes vale ZERO. Logo 𝑎𝑛 = 0, n ≥ 1
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 nessa situação fica 𝑏𝑛 =
1
𝜋 [∫ 1 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
0
−𝜋 + ∫ 2 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0 ]
𝑏𝑛 = 1
𝜋 [
−𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 |
−𝜋
0 −
2 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 |
0
𝜋 ]
𝑏𝑛 = 1
𝜋 [ − cos 0
𝑛 −
−𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)
𝑛 − −2 cos(𝑛𝜋)
𝑛 + 2 cos 0
𝑛 ]
A vida não nos deixa esquecer que cos 0 = 1 e cos nπ = 1 quando n é par (isto é, a sequência 0, 2π, 4π, 6π, ...). E também é inesquecível que cos π = -1 logo cos nπ = -1 quando n é ímpar (para a sequência 1π, 3π, 5π, ...).
O valor da expressão entre colchetes vale 1
𝑛−
1
𝑛 = 0 quando n é par
E vale 1
𝑛+
1
𝑛 =
2
𝑛 quando n é ímpar. Portanto
𝑏𝑛 = 0 quando n é par; e 𝑏𝑛 = 1
𝜋 .
2
𝑛 =
2
𝑛𝜋 quando n é ímpar.
21
Agora que temos os 3 coeficientes calculados, podemos encontrar a Série de Fourier
f (x) = 𝑎0
2 + ∑ [ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)] de f (x) = 1 se -π ≤ x ≤ 0; 2 se 0 < x ≤ π
Como a0 = 3, an = 0 e bn = 0 quando n é par ou bn = 2
𝑛𝜋 quando n é ímpar, fica
S (x) = 3
2 + ∑
2
𝜋 (2𝑛−1) sen(2𝑛 − 1)𝑥∞
𝑛=1
Que é a fórmula geral para a Série abaixo:
S (x) = 3
2 +
2
𝜋 sen 𝑥 +
2
3𝜋 sen 3𝑥 +
2
5𝜋 sen 5𝑥 +
2
7𝜋 sen 7𝑥 + ...
Exemplo 4.4: Calcule a série de Fourier da função f (x) = 0 se -π ≤ x ≤ 0; 1 se 0 < x ≤ π.
Calcule as três primeiras somas parciais e faça um esboço da Série de Fourier da função.
Está com uma sensação de “deja vu”?
Pois é, esta função é quase igual à do exemplo anterior, exceto que ela está deslocada uma unidade “para baixo” no eixo Y do gráfico cartesiano.
Primeiro vamos resolver usando força bruta. Depois, vamos tentar aprender alguma coisa.
𝑎0 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 nesse exemplo fica 𝑎0 =
1
𝜋 ∫ 0 𝑑𝑥
0
−𝜋 +
1
𝜋 ∫ 1 𝑑𝑥
𝜋
0
A primeira integral é nula, e a segunda integral vale π (como calculamos no Exemplo anterior).
Logo 𝑎0 = π . 1
𝜋 = 1
𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 nesse exemplo fica 𝑎𝑛 =
1
𝜋 [∫ 0 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
0
−𝜋 + ∫ 1 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0 ]
A primeira integral é nula, então fica 𝑎𝑛 = 1
𝜋 [
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 |
0
𝜋 ] = 0
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 nesse exemplo fica 𝑏𝑛 =
1
𝜋 [∫ 0 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
0
−𝜋 + ∫ 1 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0 ]
A primeira integral é nula, então fica 𝑏𝑛 = 1
𝜋 [−
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 |
0
𝜋 ] =
1
𝑛𝜋 [−cos (𝑛𝑥) |0
𝜋 ]
𝑏𝑛 = −1
𝑛𝜋 [ (−1)𝑛 − 1 ] isto é 𝑏𝑛 = 0 quando n é par; e 𝑏𝑛 =
2
𝑛𝜋 quando n é ímpar.
22
Agora que temos os 3 coeficientes calculados, podemos encontrar a Série de Fourier
f (x) = 𝑎0
2 + ∑ [ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)] de f (x) = 0 se -π ≤ x ≤ 0; 1 se 0 < x ≤ π
Como a0 = 1, an = 0 e bn = 0 quando n é par ou bn = 2
𝑛𝜋 quando n é ímpar, fica
S (x) = 1
2 +
2
𝜋 sen 𝑥 +
2
3𝜋 sen 3𝑥 +
2
5𝜋 sen 5𝑥 +
2
7𝜋 sen 7𝑥 + ...
As três primeiras somas parciais resultam (ou seja: os 3 primeiros termos da Série)
S1 = 1
2
S2 = 1
2 +
2
𝜋 sen 𝑥
S3 = 1
2 +
2
𝜋 sen 𝑥 +
2
3𝜋 sen 3𝑥
23
Exemplo 4.5: Calcule a série de Fourier da função f (x) = - ½ se -π ≤ x ≤ 0; ½ se 0 < x ≤ π.
Estamos outra vez diante da mesma função, apenas deslocada para baixo meia unidade ao longo do eixo Y, em relação ao exemplo anterior.
Notemos que a Série de Fourier de f1 (x) = 1 se -π ≤ x ≤ 0; 2 se 0 < x ≤ π é
S1 (x) = 3
2 +
2
𝜋 sen 𝑥 +
2
3𝜋 sen 3𝑥 +
2
5𝜋 sen 5𝑥 +
2
7𝜋 sen 7𝑥 + ...
E que a Série de Fourier de f2 (x) = 0 se -π ≤ x ≤ 0; 1 se 0 < x ≤ π é
S2 (x) = 1
2 +
2
𝜋 sen 𝑥 +
2
3𝜋 sen 3𝑥 +
2
5𝜋 sen 5𝑥 +
2
7𝜋 sen 7𝑥 + ...
As duas séries são iguais exceto na parcela 𝑎0
2 que em f1 (x) vale 3/2 e em f2 (x) vale ½. A diferença
é 2/2 ou 1, que é exatamente o valor pelo qual a função f2 (x) foi deslocada para baixo ao longo do eixo Y.
Pode-se afirmar que f2 (x) = f1 (x) – 1 S2 (x) = S1 (x) – 1
É fácil constatar que f3 (x) = - ½ se -π ≤ x ≤ 0; ½ se 0 < x ≤ π é igual a f2 (x) – ½
E portanto sua Série de Fourier será
S3 (x) = 2
𝜋 sen 𝑥 +
2
3𝜋 sen 3𝑥 +
2
5𝜋 sen 5𝑥 +
2
7𝜋 sen 7𝑥 + ...
Observe-se que nos três exemplos 5.3, 5.4 e 5.5 temos a mesma função – conhecida nos livros didáticos como “onda quadrada” – com a única diferença que cada vez ela se desloca um pouco ao longo
do eixo Y. Esse tipo de deslocamento afeta apenas o valor de a0
deixando inalterados os demais coeficientes e parcelas da Série de Fourier. Portanto, caso seja possível deslocar f (x) ao longo do eixo
Y de maneira a zerar a0 vamos simplificar a expressão de Série de
Fourier correspondente a esta f (x).
Na figura ao lado temos as primeiras quatro somas de uma série de
Fourier de uma onda quadrada calculada com os termos de S3 (x).
(fonte da ilustração: Wikipédia em português)
24
5. Sobre a paridade de Funções (funções pares, ímpares, e
nem uma nem outra)
Antes de vermos outros exemplos do cálculo da Série de Fourier, é importante recapitular a noção
de funções pares e ímpares, pois esta característica pode simplificar de maneira notável o cálculo
da Série de Fourier. Se f (x) for ímpar a série não tem componente par, logo os coeficientes a0 e
an = 0, restando somente o coeficiente bn. Se f (x) for par a série não tem componente ímpar, logo
o coeficientes bn = 0, restando somente os coeficientes a0 e an.
5.1 Funções pares
Um função f: [-L, L] → R, definida em um intervalo simétrico em relação à origem, é dita função
função par se f (– x) = f (x) para todo x. Isto é, se o ponto (x, f(x)) pertence ao gráfico da função,
o ponto (x, f(– x)) pertence também, o que torna o gráfico simétrico em relação ao eixo Y. Em
outras palavras, o gráfico permanece inalterado após uma reflexão em torno do eixo Y.
Fonte da ilustração: http://mathworld.wolfram.com/EvenFunction.html
Exemplo 5.1: Algumas funções pares
a) f (x) = x2 porque f (– x) = (– x)2 = x2
f (157) = f (– 157) = 24 649; f (28) = f (– 28) = 784
f (5) = f (– 5) = 25; f (1,25) = f (– 1,25) = 1,5625
b) f (x) = cos x porque f (– x) = (cos – x) = cos x
f (𝜋
4) = cos
𝜋
4 =
√2
2 = 0,7071067...
f (– 𝜋
4) = cos –
𝜋
4 =
√2
2 = 0,7071067...
25
5.2 Funções ímpares
Um função f: [-L, L] → R, definida em um intervalo simétrico em relação à origem, é dita função
função ímpar se f (– x) = – f (x) para todo x. Isto é, se o ponto (x, f(x)) pertence ao gráfico da
função, o ponto (– x, – f(x)) pertence também, o que torna o gráfico simétrico em relação à origem
(0, 0). Em outras palavras, o gráfico permanece inalterado após uma rotação de 180 graus (ou π
radianos) em torno da origem.
Fonte da ilustração: http://mathworld.wolfram.com/OddFunction.html
5.3 Propriedades algébricas da paridade das funções
5.3.1 A única função simultaneamente PAR e IMPAR é a função nula f (x) = 0.
5.3.2 Se f (x) e g (x) forem ambas par, f (x) ± g (x) será par também. Se f (x) e g (x) forem
ambas ímpar, f (x) ± g (x) será ímpar também. Ou seja: a soma ou diferença de duas funções de
mesma paridade mantém essa paridade.
5.3.3 Se f (x) for par e g (x) for ímpar, ou vice versa, f (x) ± g (x) será uma função que não é par
nem ímpar [conforme propriedade 4.3.9], a menos que uma das funções seja igual a zero no
domínio dado.
26
5.3.4 Se f (x) e g (x) forem ambas par, ou f (x) e g (x) forem ambas ímpar, f (x) . g (x) será par e
f (x) / g (x) será par. Ou seja: o produto ou quociente de duas funções de mesma paridade é uma
função par.
5.3.5 Se f (x) for par e g (x) for ímpar, ou se f (x) for ímpar e g (x) for par, f (x) . g (x) será ímpar
e f (x) / g (x) será ímpar. Ou seja: o produto ou quociente de duas funções de paridade distinta é
uma função ímpar.
5.3.6 Se f (x) for par, f ’ (x) é uma função ímpar. Ou seja: a derivada de uma função par é uma
função ímpar.
5.3.7 Se f (x) for ímpar, f ’ (x) é uma função par. Ou seja: a derivada de uma função ímpar é
uma função par.
5.3.8 Se f (x) for ímpar, │ f (x) │ é uma função par. Ou seja: Se uma função é ímpar, o valor
absoluto desta função é uma função par.
5.3.9 Se f (x) e g (x) forem ambas par, f (g (x)) será par. Ou seja: a composição de duas funções
pares é sempre par.
5.3.10 Se f (x) e g (x) forem ambas ímpar, f (g (x)) será ímpar. Ou seja: a composição de duas
funções ímpares é sempre ímpar.
5.3.11 Se f (x) for par e g (x) for ímpar, f (g (x)) será par. Ou seja: a composição de uma função
par e uma função ímpar é sempre par.
5.3.9 Há funções que não são pares nem ímpares.
5.4 Série de Fourier de uma função periódica par f (x)
Teorema 5.4: A Série de Fourier de uma função periódica par f (x), que possui período 2π, é uma
Série de Fourier em cossenos: f (x) = 𝑎0
2 + ∑ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1
Com coeficientes 𝑎0 = 2
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0 e 𝑎𝑛 =
2
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
27
Observe que, em relação aos coeficientes originais, neste caso o período de integração (0, π) é a
metade de (-π, π); por esse motivo a constante na frente da integral é multiplicada por 2.
Exemplo 5.4: Seja f (x) = x, definida no intervalo 0 ≤ x ≤ π. Obter uma série só de cossenos.
Eis aqui uma típica “questão raladora na prova”, pois temos
uma função que não é par nem ímpar, porque o intervalo
considerado não é simétrico. Propô-la como exemplo de
estudo foi uma cortesia do Professor Cláudio Possani.
O gráfico desta função está aqui ao lado.
Para resolver a questão, precisamos encontrar uma função f1(x) que seja PAR no intervalo
simétrico (-π, π) e que coincida exatamente com a função f (x) = x no intervalo (0, π).
Escolhemos f1(x) = І x І, -π ≤ x ≤ π
Vamos calcular os coeficientes a0 e an, sabendo já que
bn = 0 porque f1(x) = І x І é uma função par.
𝑎0 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 Como uma integral definida é “a área sob a função no intervalo
considerado”, podemos constatar facilmente que a área no intervalo (-π, 0) é a área do triângulo 𝜋. 𝜋
2 e a a área no intervalo (0, π) é a área de outro triângulo igual
𝜋. 𝜋
2 . Portanto
∫ І 𝒙 І 𝑑𝑥𝜋
−𝜋 =
𝜋2
2 +
𝜋2
2 =
2𝜋2
2 = π2 logo 𝑎0 =
1
𝜋 . π2 = π
Calculando agora an
𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 𝑎𝑛 =
1
𝜋 ∫ І 𝒙 І 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
Lembrando que І x І é uma função par, e 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) também é uma função par. E pela propriedade
5.3.4 o produto de duas funções com a mesma paridade é uma função par.
Isso nos permite usar a fórmula para 𝑎𝑛 definida na Subseção 5.4
𝑎𝑛 = 2
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
𝑎𝑛 = 2
𝜋 ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0 que requer uma integração por partes ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = u v − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
28
Onde u = x → du = dx
Onde dv = cos (nx) dx → v = 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 Então
𝑎𝑛 = 2
𝜋 [
𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 |
0
𝜋 − ∫
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 𝑑𝑥
𝜋
0]
A primeira parcela entre colchetes é igual a ZERO, pois quando x = π teremos no numerador da
primeira parte da expressão entre colchetes sen(nπ). Ora, sabemos que sen(π) = sen(nπ) = 0,
para qualquer n Є Ζ. E quando x = 0 teremos sen(n.0) = 0 .
A segunda parcela entre colchetes é uma integral definida que podemos facilmente calcular a
primitiva, ficando
𝑎𝑛 = 2
𝜋 [
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛2 |
0
𝜋 ] =
2
𝜋 [ 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)−cos 0
𝑛2]
Onde sabemos que cos 0 = 1 e
cos π = cos 3π = cos 5π = cos 7π = cos 9π = cos nπ onde n é ímpar = -1
cos 2π = cos 4π = cos 6π = cos 8π = cos 10π = cos nπ onde n é par = 1
Consequentemente a expressão entre colchetes vale 0 quando n é par e vale −2
𝑛2 quando n é
ímpar. E portanto
𝑎𝑛 = 2
𝜋 .
−2
𝑛2 =
−4
𝜋 . 𝑛2 quando n é ímpar e 𝑎𝑛 = 0 quando n é par.
Como só nos interessa a situação de n ser ímpar, a expressão matemática que garante isso é
substituir n por (2n−1), e a série de Fourier para f1(x) = І x І, -π ≤ x ≤ π fica
f (x) = 𝑎0
2 + ∑ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1
f1(x) = 𝜋
2 + ∑
−4
𝜋 . (2𝑛−1)2 cos[(2𝑛 − 1)𝑥∞
𝑛=1 ]
= 𝜋
2 −
4
𝜋 ∑
cos[(2𝑛−1)𝑥]
(2𝑛−1)2 ∞
𝑛=1
Que na forma extensa é f1(x) = = 𝜋
2 −
4
𝜋 (
cos 𝑥
12 +
cos 3𝑥
32 +
cos5 𝑥
52 +
cos 7𝑥
72 + ... )
Que se pode dizer sobre o intervalo inicial (0, π)? Nesse intervalo a série de Fourier de f(x)= f1(x)
Fora desse intervalo f(x) ≠ f1(x)
Mas uma coisa muito interessante acontece com esta série de Fourier de cossenos, no ponto x = 0.
29
f (x) = x f (0) = 0
f (0) = 0 = 𝜋
2 −
4
𝜋 ∑
cos[(2𝑛−1).0]
(2𝑛−1)2 ∞
𝑛=1 Ora cos [(2n-1).0] = cos 0 = 1 então
0 = 𝜋
2 −
4
𝜋 ∑
1
(2𝑛−1)2 ∞
𝑛=1 4
𝜋 ∑
1
(2𝑛−1)2 ∞
𝑛=1 = 𝜋
2
∑ 1
(2𝑛−1)2 ∞
𝑛=1 = 𝜋
2 .
𝜋
4 ∑
1
(2𝑛−1)2 ∞
𝑛=1 = 𝜋2
8
Na forma extensa, esta expressão significa:
1
12 + 1
32 + 1
52 + 1
72 + 1
92 + 1
112 + ... = 𝜋2
8 = 1,23370055...
Ou seja, a soma dos inversos dos quadrados dos números ímpares.
5.5 Série de Fourier de uma função periódica ímpar f (x)
Teorema 5.5: A Série de Fourier de uma função periódica ímpar f (x), que possui período 2π, é
uma Série de Fourier em senos: f (x) = ∑ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)∞𝑛=1
Com coeficiente 𝑏𝑛 = 2
𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
Observe que, em relação ao coeficiente original, neste caso o período de integração (0, π) é a
metade de (-π, π); em compensação a constante na frente da integral é multiplicada por 2.
Exemplo 5.5: Seja f (x) = x, definida no intervalo 0 ≤ x ≤ π. Obter uma série só de senos.
Para resolver a questão, precisamos encontrar uma
função f2(x) que seja ÍMPAR no intervalo simétrico
(-π, π) e que coincida exatamente com a função f (x) = x
no intervalo (0, π).
Escolhemos f2(x) = x, -π ≤ x ≤ π
cujo gráfico está aqui ao lado.
Sabemos que os coeficientes a0 e an valem ZERO, porque f2(x) = x, -π ≤ x ≤ π é uma função
ímpar. Assim, é suficiente calcular bn . Esses cálculos já foram feitos passo a passo no Exemplo
4.1 acima, e o resultado final foi que a Série de Fourier de f2(x) é
S (x) = ∑ (−1)𝑛+1 −2
𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) ∞
𝑛=1
Cuja forma extensa é
30
S (x) = 2 sen x − sen 2x + 2
3 sen 3x −
2
4 sen 4x +
2
5 sen 5x −
2
6 sen 6x + …
S (x) = 2 [ sen x − 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
2 +
1
3 sen 3x −
1
4 sen 4x +
1
5 sen 5x −
1
6 sen 6x + … ]
5.6 Série de Fourier de senos ou de cossenos
Se a função f(x) for par, a série de Fourier correspondente será uma série de cossenos porque o
coeficiente bn é igual a ZERO. Isso é uma necessidade matemática.
Se a função f(x) for ímpar, a série de Fourier correspondente será uma série de senos porque os
coeficientes a0 e an são iguais a ZERO. Isso é uma necessidade matemática.
Entretanto, somente é possível determinar se uma função é par ou ímpar se ela for definida em intervalo simétrico (-π, π) ou (-L, L). Quando o intervalo não é simétrico é possível definir
arbitrariamente caso se queira uma série exclusivamente de senos, ou exclusivamente de cossenos,
ou de senos e de cossenos juntos, pois nesse caso é impossível determinar a paridade da função a
priori. Devido a abrangência para o desenvolvimento de funções em séries de Fourier, podemos concluir que uma função f(x), que não seja nem par nem ímpar, pode ser desenvolvida no intervalo não simétrico (0, π) em
a) uma série de senos ou b) uma série de cossenos, ou ainda c) uma série de senos e cossenos.
Porém é muito importante notar que, se a série de Fourier em senos e cossenos correspondentes à f(x) no intervalo de (-π, π) é única, o mesmo não acontece quando o intervalo se reduz a (0, π). Neste caso há uma infinidade de séries em senos e cossenos juntos, que satisfazem a função.
Também é importante notar que escolhas adequadas da ORIGEM (o ponto [0, 0]), mediante
deslocamentos na abcissa X, podemos desenvolver a função tanto em série de cossenos com em
série de senos. Bem como, certamente, a ORIGEM pode ser escolhida em outro ponto que resulte
em uma série trigonométrica completa de senos e cossenos.
Exemplo 5.6: Seja f (x) = cos x, definida no intervalo 0 ≤ x ≤ π. Obter uma série de Fourier
exclusivamente de senos.
Pelo teorema 5.5 sabemos que esta série de Fourier solicitada tem a forma
f (x) = ∑ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)∞𝑛=1 com coeficiente 𝑏𝑛 =
2
𝐿 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(
𝑛𝜋
𝐿𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
0
Como L = π e f (x) = cos x temos
𝑏𝑛 = 2
𝜋 ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(
𝑛𝜋
𝜋𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0 =
2
𝜋 ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
31
Utilizaremos aqui a seguinte relação trigonométrica básica:
𝑠𝑒𝑛(𝑎). 𝑐𝑜𝑠(𝑏) = 1
2 [ sen(a+b) + sen (a-b) ] onde a = nx e b = x logo
(a+b) = nx + x = (n+1)x e também (a – b) = nx – x = (n – 1)x portanto
𝑏𝑛 = 2
𝜋 ∫
1
2 [ 𝑠𝑒𝑛(𝑛 + 1)𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑛 − 1)𝑥 ] 𝑑𝑥
𝜋
0
𝑏𝑛 = 2
𝜋 .
1
2 ∫ [ 𝑠𝑒𝑛(𝑛 + 1)𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑛 − 1)𝑥 ] 𝑑𝑥
𝜋
0
𝑏𝑛 = 1
𝜋 [
− cos(𝑛+1)𝑥
(𝑛+1)|
0
𝜋
+ − cos(𝑛−1)𝑥
(𝑛−1)|
0
𝜋
]
𝑏𝑛 = 1
𝜋 [
− cos(𝑛+1)𝜋
(𝑛+1) −
− cos(𝑛+1).0
(𝑛+1) +
− cos(𝑛−1)𝜋
(𝑛−1) −
− cos(𝑛−1).0
(𝑛−1) ]
Na segunda e quarta parcelas entre os colchetes, o denominador vale 1 pois -cos [0] = -cos
[(n+1).0] = -cos [(n-1).0] = -1 que está sendo subtraído. Então
𝑏𝑛 = 1
𝜋 [
− cos(𝑛+1)𝜋
(𝑛+1) −
cos(𝑛−1)𝜋
(𝑛−1) +
1
(𝑛+1) +
1
(𝑛−1) ]
Unindo as parcelas com o mesmo denominador
𝑏𝑛 = 1
𝜋 [
1 − cos(𝑛+1)𝜋
(𝑛+1) +
1− cos(𝑛−1)𝜋
(𝑛−1) ]
Da trigonometria básica, sabemos que
cos π = cos 3π = cos 5π = cos 7π = cos 9π = cos nπ onde n é ímpar = -1
cos 2π = cos 4π = cos 6π = cos 8π = cos 10π = cos nπ onde n é par = +1
Entretanto como temos o argumento da função cosseno sendo (n+1) e (n-1) a situação se inverte,
pois somando ou diminuindo uma unidade ao valor de n alteramos a sua paridade. Então se n for
par (n= 2k) vamos somar ou diminuir 1 e a resposta será -1. E se n for ímpar (n= 2k+1) vamos
somar ou diminuir 1 e a resposta será +1.
Então se n for ímpar, os numeradores das frações entre colchetes ficam
1 – cos(n+1)π = 1 – 1 = 0 e também 1 – cos(n – 1)π = 1 – 1 = 0 logo 𝑏𝑛 = 𝑏2𝑘+1 = 0
Então se n for par, os numeradores das frações entre colchetes ficam
1 – cos(n+1)π = 1 – (-1) = 2 e também 1 – cos(n – 1)π = 1 – (-1) = 2 logo
𝑏𝑛 = 𝑏2𝑘 = 1
𝜋 [
2
(𝑛+1) +
2
(𝑛−1) ] e como n = 2k podemos reescrever
𝑏2𝑘 = 1
𝜋 [
2
(2𝑘+1) +
2
(2𝑘−1) ] =
1
𝜋 [
2(2𝑘−1) + 2(2𝑘+1)
(2𝑘+1)(2𝑘−1) ] =
1
𝜋 [
(4𝑘−2) + (4𝑘+2)
4𝑘2−1 ]
32
𝑏2𝑘 = 1
𝜋 .
8𝑘
4𝑘2−1 que nos leva à série de Fourier procurada
f (x) = ∑ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)∞𝑛=1 f (x) = ∑
1
𝜋 .
8𝑘
4𝑘2−1 𝑠𝑒𝑛[(2𝑘)𝑥]∞
𝑘=1
f (x) = 1
𝜋 . ∑
8𝑘
4𝑘2−1 𝑠𝑒𝑛[(2𝑘)𝑥]∞
𝑘=1
Concluindo, a série de Fourier de senos que representa a função f (x) = cos x, definida no intervalo
0 ≤ x ≤ π é f (x) = 1
𝜋 [
8 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
3 +
16 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
15 +
24 𝑠𝑒𝑛(6𝑥)
35+ ⋯ ]
Exemplo 5.7: Encontre a série de senos de f(x) = 𝑒𝑥 0 < x < 1
Pelo teorema 5.5 sabemos que esta série de Fourier solicitada tem a forma
f (x) = ∑ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)∞𝑛=1 com coeficiente 𝑏𝑛 =
2
𝐿 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(
𝑛𝜋
𝐿𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
0
Gráfico de f(x) = 𝑒𝑥 0 < x < 1
bn = 2
1 ∫ 𝑒𝑥 sen(
𝑛𝜋𝑥
1) 𝑑𝑥
1
0 = 2 ∫ 𝑒𝑥 sen(𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥
1
0
Para integrar a multiplicação de duas funções, faz-se uma integral por partes
Onde u = 𝑒𝑥 → du = 𝑒𝑥 𝑑𝑥
Onde dv = sen(𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥 → v = − cos(𝑛𝜋𝑥)
𝑛𝜋 =
−1
𝑛𝜋 cos (nπx)
Então fica ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = u v − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
bn = 2 [−𝑒𝑥 .1
𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥)]0
1 + 2 ∫1
𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥). 𝑒𝑥𝑑𝑥
1
0
33
Quando x = 1, cos (nπ x) = cos (nπ) = 1 quando n for par, e cos (nπ) = -1 quando n for ímpar, ou
seja cos (nπ) = (−1)𝑛
Quando x = 0, cos (nπ x) = cos 0 = 1 então fica
bn = −2𝑒1
𝑛𝜋. (−1)𝑛 +
2 𝑒0 cos 0
𝑛𝜋 +
2
𝑛𝜋 ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥
1
0
bn = −2𝑒1
𝑛𝜋. (−1)𝑛 +
2
𝑛𝜋 +
2
𝑛𝜋 ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥
1
0 (1)
É necessário mais uma integração por partes, para a última parcela:
Onde u = 𝑒𝑥 → du = 𝑒𝑥 𝑑𝑥
Onde dv = cos(𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥 → v = 1
𝑛𝜋 sen (nπx)
Então fica ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = u v − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥1
0 = [𝑒𝑥 .
1
𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥)]0
1 − 1
𝑛𝜋 ∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥
1
0
Na primeira parcela, tanto faz o valor de n e também se x = 1 ou x = 0 porque sen π = 0 sempre. Logo ficamos apenas com a segunda parcela:
∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥1
0 = −
1
𝑛𝜋 ∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥
1
0
= − 1
𝑛𝜋 . bn
Embora pareça curioso (e talvez contraditório, como se andássemos em círculos), a verdade é que
bn = ∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥1
0, o que justifica a substituição foi feita.
Retomando então a equação (1) acima:
bn = −2𝑒1
𝑛𝜋. (−1)𝑛 +
2
𝑛𝜋 +
2
𝑛𝜋 ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥
1
0
= −2𝑒1
𝑛𝜋. (−1)𝑛 +
2
𝑛𝜋 +
2
𝑛𝜋 [−
1
𝑛𝜋 . bn ]
= −2𝑒1
𝑛𝜋. (−1)𝑛 +
2
𝑛𝜋 −
2
𝑛2𝜋2 bn
Agrupamos os itens com bn do mesmo lado da equação
bn + 2
𝑛2𝜋2 bn =
−2𝑒1
𝑛𝜋. (−1)𝑛 +
2
𝑛𝜋
bn (1 + 2
𝑛2𝜋2 ) =
−2𝑒1
𝑛𝜋. (−1)𝑛 +
2
𝑛𝜋
34
bn ( 𝑛2𝜋2+2
𝑛2𝜋2 ) =
−2𝑒1
𝑛𝜋. (−1)𝑛 +
2
𝑛𝜋
Agora isolamos bn de novo
bn = ( −2𝑒1
𝑛𝜋. (−1)𝑛 +
2
𝑛𝜋 ) .
𝑛2𝜋2
𝑛2𝜋2+2
Usando a propriedade distributiva
bn = −2𝑒 (−1)𝑛 . 𝑛2𝜋2
𝑛𝜋 (𝑛2𝜋2+2) +
2 𝑛2𝜋2
𝑛𝜋 (𝑛2𝜋2+2)
bn = −2𝑒 (−1)𝑛 . 𝑛𝜋
𝑛2𝜋2+2 +
2𝑛𝜋
𝑛2𝜋2+2
bn = 2 ( −𝑒 (−1)𝑛 . 𝑛𝜋 + 𝑛𝜋
𝑛2𝜋2+2 )
Assim, a série de senos da função f(x) = 𝑒𝑥 no intervalo 0 < x < 1 é:
f (x) = 2 ∑ ( −𝑒 (−1)𝑛 . 𝑛𝜋 + 𝑛𝜋
𝑛2𝜋2+2 )∞
𝑛=1 sen nπ x
Cuja expressão por extenso é
f (x) = 2 [ 𝑒 𝜋 + 𝜋
𝜋2+2 . sen πx –
2 𝑒𝜋 + 2𝜋
4𝜋2+2 . sen (2πx) +
3𝑒𝜋 + 3𝜋
9𝜋2+2 . sen (3πx) – …]
Um último detalhe a observar é que os coeficientes de sen nπ x possuem valor numérico bem
definido:
𝑒 𝜋 + 𝜋
𝜋2+2 = 0,9841378433…
2 𝑒𝜋 + 2𝜋
4𝜋2+2 = 0,5632484338…
3𝑒𝜋 + 3𝜋
9𝜋2+2 = 0,3858345739…
Exemplo 5.8: Vamos recalcular a Série de Fourier do Exemplo 4.2 para a função f(x) = x2
definida no intervalo 0 < x < 2π. Esta simples mudança no intervalo de definição modifica
bastante a “onda” resultante, como se percebe no gráfico, e obviamente irá modificar a Série de
Fourier correspondente.
Os coeficientes a0, an, e bn
foram definidos para o intervalo
(-π, π). Assim para calcular a0
teríamos
35
𝑎0 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 e seria necessário decompor a integral em duas: para o intervalo (-π, 0) e
para o intervalo (0, π), o que seria bastante trabalhoso. Em vez disso, é mais prático deslocar o
intervalo ao longo do eixo X e calcular
𝑎0 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
2𝜋
0 =
1
𝜋 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥
2𝜋
0 =
1
𝜋 .
𝑥3
3 |
0
2𝜋
= 1
𝜋 .
(2𝜋)3
3 =
8𝜋2
3
𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑥2 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
2𝜋
0
que nos leva a uma integração por partes, por ser o produto de duas funções.
Então ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = u v − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Onde u = x2 → du = 2x dx
Onde dv = cos (nx) dx → v = 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 Então
𝑎𝑛 = 1
𝜋 [𝑥2 .
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 |
0
2𝜋 − ∫
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
0]
Como sen 0 = sen 2π = 0, a primeira parcela entre colchetes vale zero e ficamos com
𝑎𝑛 = 1
𝜋 [−
2
𝑛 ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
2𝜋
0] que nos leva à segunda integração por partes.
u = x → du = dx
dv = sen(nx) dx → v = − 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 Então
𝑎𝑛 = −2
𝑛𝜋 [
−𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 |
0
2𝜋 + ∫
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 𝑑𝑥
2𝜋
0]
𝑎𝑛 = −2
𝑛𝜋 [−2𝜋 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑛)
𝑛 − 0 𝑐𝑜𝑠(𝑛.0)
𝑛 + 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛2 |
0
2𝜋]
𝑎𝑛 = −2
𝑛𝜋 .
−2𝜋 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑛)
𝑛 =
4
𝑛2 cos(2πn) =
4
𝑛2
Porque cos(2π) = cos(2πn) = 1
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑥2 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
2𝜋
0 =
No intervalo (0, 2π) a função não é par nem ímpar, e o coeficiente 𝑏𝑛 precisa ser calculado através
da gloriosa integração por partes, duas vezes.
Então ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = u v − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
36
Onde u = x2 → du = 2x dx
Onde dv = sen(nx) dx → v = − 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 Então
𝑏𝑛 = 1
𝜋 [
−𝑥² 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 |
0
2𝜋
+ ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
0]
𝑏𝑛 = 1
𝜋 [
−𝑥² 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 +
2𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛2 +
2 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛3 |
0
2𝜋
] =
A parcela do meio vale zero, pois sen(2πn) = sen(n.0) = 0. Logo a expressão se simplifica para
𝑏𝑛 = 1
𝜋 [
−𝑥² 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛 +
2 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛3 |
0
2𝜋
] =
E temos que cos(2πn) = cos(n.0) = 1 portanto
𝑏𝑛 = 1
𝜋 [
−(2𝜋)²
𝑛 +
2
𝑛3 −
2
𝑛3 ] =
1
𝜋 .
− 4𝜋²
𝑛 =
− 4𝜋
𝑛
Agora que temos os 3 coeficientes calculados, podemos encontrar a Série de Fourier
f (x) = 𝑎0
2 + ∑ [ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)] de f (x) = x² se 0 ≤ x ≤ 2π
Como a0 = 8𝜋2
3, an =
4
𝑛2 e bn =
− 4𝜋
𝑛 fica
S (x) = 4𝜋2
3 + ∑ [
4
𝑛2 cos(𝑛𝑥)∞𝑛=1 −
4𝜋
𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) ]
S (x) = 4𝜋2
3 + 4 ∑ [
1
𝑛2cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 − 𝜋
𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) ]
Ver Seção VII do trabalho acadêmico de Victor Rios Silva, pag 36
No ponto x = π o valor desta Série de Fourier é
S (π) = 4𝜋2
3 + 4 ∑ [
1
𝑛2cos(𝑛𝜋)∞
𝑛=1 − 𝜋
𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋) ]
A segunda parcela entre colchetes vale ZERO, pois sen π = sen nπ = 0
f (π) = π2 = 4𝜋2
3 + 4 ∑
1
𝑛2cos(𝑛𝜋)∞
𝑛=1
Compare com a Série de Fourier que obtivemos no Exemplo 4.2 para um intervalo diferente
da função f (x) = x2, -π < x < π
S (x) = 𝜋2
3 + 4 ∑
(−1)𝑛
𝑛2 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1
37
( π2 - 4𝜋2
3 ) .
1
4 = ∑
1
𝑛2 cos(𝑛𝜋)∞𝑛=1
Sabemos que cos (nπ) = 1 quando n for par, e cos (nπ) = -1 quando n for ímpar, ou seja
cos (nπ) = (−1)𝑛 logo
( 3𝜋2−4𝜋2
3 ) .
1
4 = ∑ (−1)𝑛
1
𝑛2 ∞𝑛=1
−𝜋2
12 = ∑ (−1)𝑛
1
𝑛2 ∞𝑛=1
Multiplicando ambos os lados por (-1) segue
𝜋2
12 = ∑ (−1)𝑛−1
1
𝑛2 ∞𝑛=1 cuja expressão por extenso é
𝜋2
12 = 1 –
1
22 +
1
32 –
1
42 +
1
52 –
1
62 +
1
72 –
1
82 +
1
92 – ...
E no ponto x = 0 qual seria o valor desta Série de Fourier?
Como se percebe no gráfico, esse é um ponto de descontinuidade e para tanto vamos nos servir
do TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DE SÉRIES DE FOURIER.
6 Teorema da Convergência de Séries de Fourier
Vamos reproduzir aqui o enunciado dado a este teorema pelos professores Carlos Hobold e Paulo
J. Sena dos Santos, por ter sido o mais claro e didático que encontramos.
Se a função f (x) e sua derivada f ’(x) são contínuas por partes no intervalo -L < x < L então f (x)
é igual à sua Série de Fourier em todos os pontos da continuidade.
Em um ponto c onde ocorre um salto de continuidade, a Série de Fourier converge para a média
𝑓(𝑐+) + 𝑓(𝑐−)
2 sendo f(𝑐+) e f(𝑐−) os limites à direita e à esquerda, respectivamente.
Exemplo 6.1: Sendo a Série de Fourier para a função f(x) = x2 definida no intervalo 0 < x < 2π
definida como S (x) = 4𝜋2
3 + 4 ∑ [
1
𝑛2cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 − 𝜋
𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) ]
conforme cálculos do Exemplo 5.8 acima, calcule o valor desta Série de Fourier no ponto x = 0.
38
Nesta função assim definida, este
é um ponto de descontinuidade,
no qual os limites laterais valem
f(0+) = 0 e f(0−) = 4π2 logo pelo teorema da convergência temos
S (x) = 𝑓(𝑐+) + 𝑓(𝑐−)
2 =
0 + 4𝜋2
2 =
4𝜋2
3 + 4 ∑ [
1
𝑛2cos 0∞
𝑛=1 − 𝜋
𝑛 𝑠𝑒𝑛 0 ]
Ora, cos 0 = 1 e sen 0 = 0 portanto
2 π2 = 4𝜋2
3 + 4 ∑
1
𝑛2∞𝑛=1
( 2 π2 - 4𝜋2
3 ) .
1
4 = ∑
1
𝑛2∞𝑛=1
2𝜋2
3 .
1
4 = ∑
1
𝑛2∞𝑛=1
𝜋2
6 = ∑
1
𝑛2∞𝑛=1
Cuja expressão por extenso é
𝜋2
6 =
1
1²+
1
2²+
1
3²+
1
4²+ ⋯
Isto é, o mesmo resultado calculado no exemplo 4.2 e o mesmo resultado encontrado por Euler
utilizando outras técnicas matemáticas – agora obtido por um terceiro caminho, demonstrando a
coerência e a consistência da Matemática.
7 Séries de Fourier para funções f (x) com período 2L
Todos os exemplos da Seção 4 desta apostila foram de funções periódicas com período 2π definidas
no intervalo (-π, π), e a fórmula estudada da Série de Fourier também considera este intervalo.
Entretanto, boa parte dos problemas práticos que envolvem as Séries de Fourier trata de períodos
que envolvem NÚMEROS INTEIROS, por isso nesta Seção abordaremos funções definidas no
intervalo genérico (-L, L), isto é, com período 2L.
Aliás, este é o ponto inicial do assunto na Seção 4 (Séries de Fourier) e Seção 5 (Extensão periódica de uma série de Fourier) da Unidade 4 do livro didático “Sequências Numéricas e Séries” da Unisul. A série de Fourier de uma função periódica f (x) definida no intervalo (-π, π) é
39
𝑎0
2 + ∑ [ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥)∞
𝑛=1 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)]
Onde os coeficientes tem as seguintes fórmulas
𝑎0 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
𝑎𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
𝑏𝑛 = 1
𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
A série de Fourier de uma função periódica f (x) definida no intervalo (-L, L) é
𝑎0
2 + ∑ [ 𝑎𝑛 cos(
𝑛𝜋 𝑥
𝐿)∞
𝑛=1 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋 𝑥
𝐿)]
Onde os coeficientes tem as seguintes fórmulas
𝑎0 = 1
𝐿 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
𝑎𝑛 = 1
𝐿 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(
𝑛𝜋 𝑥
𝐿) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
𝑏𝑛 = 1
𝐿 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(
𝑛𝜋 𝑥
𝐿) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
Observe que onde aparece π, ele foi simplesmente substituído por L. E no argumento de sen(nx)
ou cos(nx), o argumento foi multiplicado por 𝜋
𝐿 .
7.1 TABELA AUXILIAR DE INTEGRAIS DEFINIDAS Na página 94 do livro didático da UNISUL os Autores professores Hobold e Santos fornecem uma
tabela de integrais definidas que costumam aparecer no cálculo dos coeficientes a0, an, e bn.
Devido à sua indiscutível utilidade e praticidade, vamos reproduzi-la aqui.
1. ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋 𝑥
𝐿) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿 = 0
2. ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋 𝑥
𝐿) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿 = 0
3. ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑛 𝜋 𝑥
𝐿) . 𝑐𝑜𝑠(
𝑚 𝜋 𝑥
𝐿) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿 = 0 para quaisquer n e m
4. ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑛 𝜋 𝑥
𝐿) . 𝑠𝑒𝑛(
𝑚 𝜋 𝑥
𝐿) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿 = 0 se m ≠ n
= L se m = n
5. ∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝑛 𝜋 𝑥
𝐿) . 𝑐𝑜𝑠(
𝑚 𝜋 𝑥
𝐿) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿 = 0 se m ≠ n
= L se m = n
Onde m e n são números inteiros.
40
Exemplo 7.1: Calcule a série de Fourier da função f (x) = x, -3 < x < 3
𝑎0 = 1
𝐿 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
𝑎0 = 1
3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥
3
−3 =
1
3 .
𝑥2
2 |
−3
3
= 1
3 . (
32
2 –
(−3)2
2 ) =
1
3 . 0 = 0
𝑎𝑛 = 1
𝐿 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠(
𝑛𝜋 𝑥
𝐿) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
𝑎𝑛 = 0 sem necessidade de maiores cálculos porque f (x) = x, -3 < x < 3 é uma função ímpar (definida em intervalo simétrico). Portanto 𝑎0 = 0 e 𝑎𝑛 = 0. Logo resta-nos calcular apenas
𝑏𝑛 = 1
𝐿 ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(
𝑛𝜋 𝑥
𝐿) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
𝑏𝑛 = 1
3 ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(
𝑛𝜋 𝑥
3) 𝑑𝑥
3
−3 que requer uma integração por partes semelhante à que foi feita no
exemplo 4.1 e que por isso apresentaremos aqui de maneira simplificada.
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋 𝑥
3) 𝑑𝑥
3
−3 ∫ 𝑣 𝑑𝑢 = u v − ∫ 𝑢 𝑑𝑣
Onde v = x → dv = 𝑑𝑥
Onde du = sen(𝑛𝜋 𝑥
3) 𝑑𝑥 → u =
− cos(𝑛𝜋 𝑥
3)
𝑛𝜋
3
= −3
𝑛𝜋 cos (
𝑛𝜋 𝑥
3) logo
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋 𝑥
3) 𝑑𝑥
3
−3 =
−3
𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋 𝑥
3) . 𝑥 |
−3
3
− −3
𝑛𝜋 ∫ 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋 𝑥
3) 𝑑𝑥
3
−3
= −3𝑥
𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋 𝑥
3) |
−3
3
+ 9
𝑛𝜋2 𝑠𝑒𝑛(
𝑛𝜋 𝑥
3) |
−3
3
Então 𝑏𝑛 = 1
3 [
−9
𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋) −
9
𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋) ] =
1
3 .
−18
𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋)
𝑏𝑛 = (−1)𝑛+1 6
𝑛𝜋
Retomando a série de Fourier S(x) = ∑ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋 𝑥
𝐿) ∞
𝑛=1 fica
S(x) = ∑ (−1)𝑛+1 6
𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋 𝑥
3) ∞
𝑛=1 cuja expressão por extenso é
S(x) = f(x) = 6
𝜋 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋 𝑥
3) −
6
2𝜋 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋 𝑥
3) +
6
3𝜋 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋 𝑥
3) −
6
4𝜋 𝑠𝑒𝑛 (
4𝜋 𝑥
3) + ...
41
8 BIBLIOGRAFIA
Brietzke, Eduardo – Séries de Fourier. UFRGS Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre:
2011. Disponível em http://www.mat.ufrgs.br/~brietzke/textos/secao17_2011_2.pdf Acesso em
06/11/2015.
Fourier - full Mac Tutor biography. Disponível em http://www-groups.dcs.st-
and.ac.uk/~history/Biographies/Fourier.html Acesso em 11/12/2015.
Hobold, Carlos H.; Sena dos Santos, Paulo J. – Sequências Numéricas e Séries (livro didático).
Palhoça: Unisul Virtual, 2011.
Kline, Morris – Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford
University Press, 1972. Vol 2, cap 28, páginas 671 a 686.
Penrose, Roger – The Road to Reality, a complete guide to the laws of the universe. New York:
Vintage Books, 2007. Cap 9, páginas 153 a a 171.
Seara da Ciência – As Séries de Fourier. UFC Universidade Federal do Ceará. Disponível em
http://www.seara.ufc.br/tintim/matematica/fourier/fourier1.htm Acesso em 06/11/2015.
Silva, Victor Rios – Séries de Fourier. UFF Universidade Federal Fluminense, Instituto de
Matemática. Niterói, 2010. Disponível em https://metodosmatematicosuff.files.wordpress.com/2011/03/trabalho-1.pdf Acesso em 12/11/2015.
