1.13 Series de Fourier de funcoes definidas em IR

Anteriormente representamos uma funcao real de variavel real em serie de potencias.

Por exemplo, vimos que, para todo o x IR,

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ . . .+

xn

n!+ . . . =

+n=0

xn

n!.

Vamos agora ver como poderemos representar funcoes reais de variavel real e

periodicas em series de Fourier. Por exemplo, os sons produzidos por instrumen-

tos musicais sao sempre combinacoes lineares de sinusoidais (seno ou coseno) com

diversas frequencias e amplitudes. O som que pode ser representado por uma unica

sinusoide (seno ou coseno) com uma dada frequencia e amplitude diz-se um som puro.

O mesmo se aplica a sinais periodicos. E possvel criar quase todos os sinais

periodicos a` custa de combinacoes lineares (infinitas) de sinais sinusoidais (seno ou

coseno) com diversas frequencias e amplitudes.

Em primeiro lugar, vamos recordar algumas definicoes.

Funcao periodica: Seja f uma funcao real de variavel real. Dizemos que f e

periodica de perodo T , com T > 0, se f(x+ T ) = f(x) para todo x IR e alem disso

T e o menor de todos os numeros reais positivos L que verificam f(x+L) = f(x) para

todo x IR.

Verifica-se facilmente que se f for periodica de perodo T , entao f(x + mT ) =

f(x) para todo x IR e todo m IN. Por exemplo,

f(x+ 2T ) = f((x+ T ) + T ) = f(x+ T ) = f(x), x IR.

A frequencia fundamental de uma funcao f periodica de perodo T e dada por1

T. Se a variavel x representar o tempo, a frequencia fundamental vem em Hertz (ciclos

por segundo). Quanto menor for o perodo de uma funcao, maior sera a sua frequencia

fundamental.

Muitas vezes tambem se usa a frequencia circular de uma funcao f periodica de

perodo T , que e dada por =2pi

T. Se a variavel x representar o tempo, a frequencia

circular vem em radianos por segundo.

Definicao: Seja f : IR IR uma funcao periodica de perodo T e suponhamos

que f admite apenas um numero finito de descontinuidades de primeira especie em

cada um dos intervalos [d, d + T ], com d IR. A serie de Fourier de f definida em IR

e dada por,

a0

2+

+n=1

(an cos

(n2pix

T

)+bnsen

(n2pix

T

))=

a0

2+

+n=1

(an cos (nx) + bnsen (nx)) ,

onde

a0 =2

T

d+Td

f(x) dx,

1

an =2

T

d+Td

f(x) cos(n2pix

T) dx =

2

T

d+Td

f(x) cos(nx) dx, n IN,

bn =2

T

d+Td

f(x)sen(n2pix

T) dx =

2

T

d+Td

f(x)sen(nx) dx, n IN,

qualquer que seja a escolha de d IR. Usualmente, consideramos ou d = T2ou d = 0.

Aos valores an, n IN0, e bn, n IN, chamamos coeficientes de Fourier da funcao f .

Exemplo: Considere a funcao f periodica, de perodo 2pi, definida por f(x) = x,

se x [0, 2pi[. Temos que f(x + 2pi) = f(x), x IR. Apresentamos a seguir a

representacao grafica da restricao da funcao ao intervalo [4pi, 4pi].

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2pi 4pi2pi2pi4pi

2pi

0

f

Vamos determinar os coeficientes de Fourier. Usando as formulas, temos

a0 =1

pi

2pi

0

f(x) dx =1

pi

2pi

0

x dx =1

pi

(x2

2

]2pi0

= 2pi.

Para cada n IN, resulta

an =1

pi

2pi

0

f(x) cos(nx) dx =1

pi

2pi

0

x cos(nx) dx

=1

pi

(xsen(nx)

n+

cos(nx)

n2

]2pi0

(integracao por partes)

=1

pi

(2pi

nsen(2npi) +

1

n2cos(2npi)

1

n2

)= 0.

Falta determinar bn, para cada n IN. Dado n IN, temos

bn =1

pi

2pi

0

f(x) sen(nx) =1

pi

2pi

0

xsen(nx) dx

=1

pi

(x

cos(nx)

n+

sen(nx)

n2

]2pi0

(integracao por partes)

=1

pi

(2pi

ncos(2npi)

)(porque sen(2npi) = sen0 = 0)

= 2

n(porque cos(2npi) = 1)

Consequentemente, a serie de Fourier da funcao f e a serie de funcoes definida por

pi

+n=1

2

nsen(nx), x IR.

2

Podemos formular a seguinte questao: em que circunstancias e que a serie de

Fourier de uma dada funcao converge (pontualmente)? E se convergir, qual o valor da

sua soma para cada x IR?

Consideremos por exemplo a sucessao de funcoes das somas parciais da serie do

exemplo anterior, isto e, para cada n IN, consideremos

Sn(x) = pi

nk=1

2

ksen(kx), x IR.

Facamos a representacao grafica de alguns elementos da sucessao de funcoes Sn(x), no

intervalo 4pi x 4pi, ou seja, vamos representar S2(x), S5(x) e S40(x).

15 10 5 0 5 10 150

1

2

3

4

5

6

15 10 5 0 5 10 151

0

1

2

3

4

5

6

7

15 10 5 0 5 10 151

0

1

2

3

4

5

6

7

S2(x) = pi

2k=1

2

ksen(kx) S5(x) = pi

5k=1

2

ksen(kx) S40(x) = pi

40k=1

2

ksen(kx)

Observe que a` medida que aumentamos o valor de n em Sn, a funcao Sn aproxima-

se de f nos pontos onde f e contnua. E nos pontos onde f e descontnua? Nos pontos

de descontinuidade x0 parece que a sucessao (Sn(x0)) converge muito lentamente (veja

nos graficos anteriores quando x0 = 4pi, x0 = 2pi, x0 = 0, x0 = 2pi e x0 = 4pi) e ha

uma certa oscilacao. Este fenomeno e conhecido como fenomeno de Gibbs.

Vamos agora apresentar um resultado que nos garante a convergencia da serie de

Fourier.

Teorema de Fourier: Seja f uma funcao de domnio IR periodica, de perodo

T , e com um numero finito de descontinuidades de primeira especie em cada um dos

intervalos [d, d + T ], com d IR. (E suficiente analisar as descontinuidades num

intervalo, pois f e periodica; normalmente analisamos no intervalo [T2, T

2] ou no

intervalo [0, T ]). Se, para todo o x0 IR, existirem os limites laterais

limxx

0

f(x) f(x0)

x x0e lim

xx+0

f(x) f(x0+)

x x0,

onde

f(x0) = limxx

0

f(x) e f(x0+) = limxx+

0

f(x),

entao a serie de Fourier converge para cada x IR. Temos ainda que, a serie de Fourier

no ponto x converge para a media aritmetica dos limites laterais de f no ponto x, isto

e, paraf(x) + f(x+)

2

3

e, portanto, converge para f(x) se f for contnua em x. Tem-se, para cada x IR

f(x) + f(x+)

2=

a0

2+

+n=1

(an cos

(n2pix

T

)+ bnsen

(n2pix

T

)).

Como a funcao f do ultimo exemplo esta nas condicoes do Teorema de Fourier,

para cada x IR, temos

pi

+n=1

2

nsen(nx) =

f(x), x 6= 2kpi, k ZZ

2pi + 0

2= pi, x = 2kpi, k ZZ

Em particular, para x [0, 2pi], temos

pi +n=1

2

nsen(nx) =

x, 0 < x < 2pi

2pi + 0

2= pi, x = 0, x = 2pi

Antes de apresentarmos mais exemplos de series de Fourier, vamos observar o

seguinte:

(a) Se g e uma funcao integravel e par em ]L,L[, isto e, g(x) = g(x), x ]L,L[,

entao LL

g(x)dx = 2

L0

g(x)dx;

(b) Se g e uma funcao integravel e mpar em ] L,L[, isto e, g(x) = g(x),

x ] L,L[, entao LL

g(x)dx = 0;

(c) O produto de duas funcoes pares ou de duas funcoes mpares e uma funcao

par, enquanto que o produto de uma funcao par por uma funcao mpar e uma funcao

mpar.

Exemplo: Considere a funcao f periodica de perodo 2 definida por f(x) = x,

para x [1, 1[, e f(x+ 2) = f(x), x IR.

(a) Determine a serie de Fourier da funcao f .

(b) Determine a funcao soma da serie de Fourier em [1, 1] e em [1, 3].

(c) Faca a representacao grafica da serie de Fourier no intervalo [3, 3].

Resolucao:

(a) Em primeiro lugar note que T = 2. Por outro lado, a funcao f e uma funcao

mpar em ]1, 1[. Consequentemente, g1 definida por g1(x) = x cos(npix), x ]1, 1[,

e mpar em ] 1, 1[ e a funcao g2 definida por g2(x) = xsen(npix), x ] 1, 1[, e par

em ] 1, 1[. Portanto,

a0 =2

2

1

1

x dx = 0; an =2

2

1

1

x cos(npix) dx = 0, n IN;

4

bn =2

2

1

1

xsen(npix) dx = 2

1

0

xsen(npix) dx = 2

((x

cos(npix)

npi

]10

+

1

0

cos(npix)

npidx

)

= 2

(cos(npi)

npi+

(sen(npix)

(npi)2

]10

)= 2

(1)n

npi= 2

(1)n+1

npi, n IN.

A serie de Fourier de x e a serie de funcoes definida por

+n=1

2(1)n+1

npisen(npix), x IR.

(b) Como a funcao esta nas condicoes do Teorema de Fourier, para x [1, 1],

temos+n=1

2(1)n+1

npisen(npix) =

{x, se 1 < x < 1

0, se x = 1, x = 1

Para x [1, 3], temos

+n=1

2(1)n+1

npisen(npix) =

{x 2, se 1 < x < 3

0, se x = 1, x = 3

(c) Representacao grafica da serie no intervalo [3, 3].

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21 3123

Exemplo: Considere a funcao f periodica de perodo 2 definida por f(x) = |x|,

se x [1, 1[.

(a) Determine a serie de Fourier da funcao f .

(b) Determine a funcao soma da serie de Fourier em [1, 1].

(c) Calcule tambem a soma da serie numerica

+n=0

1

(2n + 1)2.

Resolucao:

(a) Em primeiro lugar note que T = 2. Por outro lado, a funcao f e uma funcao

par em [1, 1]. Consequentemente, g1 definida por g1(x) = |x| cos(npix), x [1, 1], e

par em [1, 1] e a funcao g2 definida por g2(x) = |x|sen(npix), x [1, 1], e mpar em

[1, 1]. Portanto,

a0 =

1

1

|x| dx = 2

1

0

x dx = 1;

5

an =

1

1

|x| cos(npix) dx = 2

1

0

x cos(npix) dx

= 2

n2 pi2+ 2

cos(npi)

n2 pi2+

sen(npi)

npi= 2

(1)n 1

n2 pi2, n IN.

bn =

1

1

|x|sen(npix) dx = 0, n IN.

A serie de Fourier e a serie de funcoes definida por

1

2+

+n=1

(2(1)n 1

n2 pi2cos(npix)

)=

1

2+

+n=0

4

(2n+ 1)2 pi2cos((2n + 1)pix), x IR.

Observe que (1)n 1 = 0, se n for par, e (1)n 1 = 2, se n for mpar.

(b) Como a funcao esta nas condicoes do Teorema de Fourier e e contnua, para

x [1, 1], temos

|x| =1

2 4

+n=0

1

(2n + 1)2 pi2cos((2n + 1)pix)

(c) Em particular, para x = 0, temos

0 =1

2 4

+n=0

1

(2n + 1)2 pi2cos(0) =

1

2 4

+n=0

1

(2n + 1)2 pi2.

Logo,+n=0

1

(2n + 1)2=

pi2

8.

Seja f uma funcao periodica e de perodo T , com um numero finito de

descontinuidades de primeira especie em cada um dos intervalos [d, d+T ], com d IR

(portanto, e integravel em cada um desses intervalos).

Se f for uma funcao par em ] T2, T

2[, entao

a0 =2

T

T/2T/2

f(x) dx =4

T

T/20

f(x) dx;

an =2

T

T/2T/2

f(x) cos(n2pix

T) dx

=4

T

T/20

f(x) cos(n2pix

T) dx, n IN;

bn = 0, n IN.

Se f for uma funcao mpar em ] T2, T

2[, entao

a0 = 0;

an = 0, n IN;

bn =2

T

T/2T/2

f(x)sen(n2pix

T) dx

=4

T

T/20

f(x)sen(n2pix

T) dx, n IN.

cErclia Sousa 2009

6

1.14 Series de Fourier de funcoes definidas num intervalo

limitado

Em determinadas condicoes, vimos que uma funcao periodica admite uma repre-

sentacao em serie de Fourier. E se a funcao nao for periodica? Neste caso tal repre-

sentacao nao e possvel em IR. Contudo, podemos representar em serie de Fourier uma

funcao f definida num intervalo do tipo [d,D[ (ou do tipo ]d,D] ou do tipo [d,D]),

com d < D. Como? Consideramos uma extensao periodica de perodo T = D d > 0

a IR da funcao f . Seja f essa extensao periodica, isto e,

f(x) = f(x), x [d,D[= [d, d+ T [ (ou x ]d,D] =]d, d+ T ])

e

f(x+ T ) = f(x), x IR.

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d + Td

f

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d + Td

d 2T d T

d 3T

d + Td

f

d + 2T d + 3T

. . .. . .

Se f estiver definida no intervalo fechado [d,D], podemos ignorar a definicao da

funcao num dos extremos e procedemos como se f estivesse apenas definida num

intervalo do tipo [d,D[ ou do tipo ]d,D].

A serie de Fourier da funcao f definida em IR periodica, de perodo T , e dada por

a0

2+

+n=1

(an cos

(n2pix

T

)+ bnsen

(n2pix

T

))

onde

a0 =2

T

d+Td

f(x) dt =2

T

d+Td

f(x) dx,

an =2

T

d+Td

f(x) cos(n2pix

T) dx =

2

T

d+Td

f(x) cos(n2pix

T) dx, n IN,

bn =2

T

d+Td

f(x)sen(n2pix

T) dx =

2

T

d+Td

f(x)sen(n2pix

T) dx, n IN.

Definicao: Seja f uma funcao definida em I com I = [d,D[= [d, d + T [ ou

I =]d,D] =]d, d + T ] (note que T = D d). Suponhamos que f e limitada e que

tem um numero finito de descontinuidades de primeira especie em I. Entao, a serie

de Fourier de f e a restricao da serie de Fourier de f a [d,D[= [d, d + T [, onde f e a

extensao periodica de perodo T de f a IR, isto e, e a serie

a0

2+

+n=1

(an cos

(n2pix

T

)+ bnsen

(n2pix

T

)),

7

para x [d,D] = [d, d+ T ], onde

a0 =2

T

d+Td

f(x) dx,

an =2

T

d+Td

f(x) cos(n2pix

T) dx n IN,

bn =2

T

d+Td

f(x)sen(n2pix

T) dx n IN.

Aos valores an e bn, chamamos coeficientes de Fourier da funcao f .

Temos a seguir o Teorema de Fourier para funcoes definidas em intervalos

limitados.

Teorema: Seja f uma funcao definida em I com I = [d, d + T [. Suponhamos

que f e limitada e que tem apenas um numero finito de descontinuidades de primeira

especie em I. Se, para todo x0 [d, d+ T ], existirem os limites laterais

limxx

0

f(x) f(x0)

x x0e lim

xx+0

f(x) f(x0+)

x x0,

com

f(x0) = limxx

0

f(x) e f(x0+) = limxx+

0

f(x),

(se x0 = d, apenas consideramos o limite a` direita e se x0 = d+T , apenas consideramos

o limite a` esquerda), entao, para cada x ]d, d+ T [, temos

a0

2+

+n=1

(an cos

(n2pix

T

)+ bnsen

(n2pix

T

))=

f(x) + f(x+)

2

que e igual a f(x) se f for contnua em x. Para x = d ou x = d+ T , temos

a0

2+

+n=1

(an cos

(n2pix

T

)+ bnsen

(n2pix

T

))=

f(d+) + f((d+ T ))

2.

Exemplo: Considere a funcao f : [1, 2] IR definida por f(x) = x, se x [1, 2].

(a) Determine a serie de Fourier da funcao f .

(b) Determine a funcao soma da serie de Fourier.

(c) Faca a representacao grafica da serie de Fourier.

Resolucao: (a) Em primeiro lugar note que T = 2 1 = 1. Apresentamos a seguir

a representacao grafica da funcao f .

......................................................

..............................................................................................................................................

..............

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21

Vamos determinar os coeficientes de Fourier. Usando as formulas, temos

a0 =2

1

2

1

f(x) dx =2

1

2

1

x dx = 3.

8

an =2

1

2

1

f(x) cos(n2pix) dx =2

1

2

1

x cos(n2pix) dx = . . . = 0, n IN

bn =2

1

2

1

f(x) sen(n2pix) dx = . . . =2

1

2

1

xsen(n2pix) dx = 1

npi, n IN.

Consequentemente, a serie de Fourier da funcao f e a serie de funcoes definida por

3

2

+n=1

1

npisen(2pinx), x [1, 2].

(b) Como a funcao f esta nas condicoes do Teorema de Fourier e e contnua em

]1, 2[, temos

3

2

+n=1

1

npisen(2pinx) =

x, 1 < x < 2

3

2, se x = 1, x = 2.

(c) Apresentamos a seguir a representacao grafica da serie de Fourier de f .

.......................................................................

.........................................................................................................................................................................................

..............

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21

3/2

cErclia Sousa 2009

9

1.15 Serie de Cossenos e Serie de Senos

Suponhamos que temos uma funcao f definida no intervalo [0, L], limitada e com

apenas um numero finito de descontinuidades de primeira especie. Pelo que foi exposto

na ultima seccao,

a0

2+

+n=1

(an cos

(n2pix

L

)+ bnsen

(n2pix

L

)), x [0, L],

com

a0 =2

L

L0

f(x) dx,

an =2

L

L0

f(x) cos(n2pix

L) dx, n IN,

bn =2

L

L0

f(x)sen(n2pix

L) dx, n IN.

Contudo, nesta situacao ainda poderemos ter mais dois tipos de series. Series

apenas com cossenos, se fizermos uma extensao par de f ao intervalo [L,L], e series

apenas com senos, se fizermos uma extensao mpar de f ao intervalo [L,L].

Serie de Cossenos

Suponhamos que temos uma funcao f definida no intervalo [0, L], limitada e com

apenas um numero finito de descontinuidades de primeira especie. Podemos estender

esta funcao ao intervalo [L,L] de modo a que esta extensao seja uma funcao par.

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......................................................................................................................................................

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L0

f

..................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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L0

L

f

A extensao par f de f ao intervalo [L,L] e definida por

f(x) =

{f(x), 0 x L

f(x), L x < 0

Como f e limitada em [0, L] e tem apenas um numero finito de descontinuidades

de primeira especie em [0, L], a funcao f tambem e limitada em [L,L] e tem apenas

um numero finito de descontinuidades de primeira especie. Vamos considerar a serie

de Fourier de f , definida no intervalo [L,L], com T = 2L. Para todo o x [L,L],

temos

a0

2+

+n=1

(an cos

(n2pix

T

)+bnsen

(n2pix

T

))=

a0

2+

+n=1

(an cos

(n2pix

2L

)+bnsen

(n2pix

2L

))

=a0

2+

+n=1

(an cos

(npixL

)+bnsen

(npixL

)),

10

onde

a0 =2

2L

LL

f(x) dx =2

L

L0

f(x) dx

an =2

2L

LL

f(x) cos(n2pix

2L) dx =

2

L

L0

f(x) cos(npix

L) dx, n IN,

bn =2

2L

LL

f(x)sen(n2pix

2L) dx = 0, n IN.

Note que f e uma funcao par.

Dada uma funcao f definida e limitada em [0, L] com apenas um numero finito

de descontinuidades de primeira especie em [0, L], a sua serie de cossenos (que e a

restricao ao intervalo [0, L] da serie de Fourier da extensao par de f com T = 2L) e

dada por

a0

2+n=1

an cos(npix

L), x [0, L], (1)

com

a0 =2

L

L0

f(x)dx

an =2

L

L0

f(x) cos(npix

L)dx, n IN.

Serie de Senos

Suponhamos que temos uma funcao f definida num intervalo [0, L], limitada e com

apenas um numero finito de descontinuidades de primeira especie. Podemos estender

esta funcao ao intervalo [L,L] de modo a que esta extensao seja uma funcao mpar.

Cuidado com a origem!! Qualquer funcao mpar e nula na origem!

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L0

f

.........................................................................

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L0

L

f

A extensao mpar f de f ao intervalo [L,L] e definida por

f(x) =

f(x), 0 < x L

0, x = 0

f(x), L x < 0

Como f e limitada em [0, L] e tem apenas um numero finito de descontinuidades

de primeira especie em [0, L], a funcao f , extensao mpar de f , tambem e limitada em

[L,L] e tem apenas um numero finito de descontinuidades de primeira especie em

[L,L]. Vamos considerar a serie de Fourier de f , definida no intervalo [L,L], com

11

T = 2L. Para todo o x [L,L], temos

a0

2+

+n=1

(an cos

(n2pix

T

)+bnsen

(n2pix

T

))=

a0

2+

+n=1

(an cos

(n2pix

2L

)+bnsen

(n2pix

2L

))

=a0

2+

+n=1

(an cos

(npixL

)+bnsen

(npixL

))

onde

a0 =2

2L

LL

f(x) dx = 0 (f e uma funcao mpar.)

an =2

2L

LL

f(x) cos(n2pix

2L) dx = 0, n IN,

bn =2

2L

LL

f(x)sen(n2pix

2L) dx =

2

L

L0

f(x)sen(npix

L) dx, n IN.

Dada uma funcao f definida e limitada em [0, L] com apenas um numero finito de

descontinuidades de primeira especie em [0, L], a sua serie de senos (que e a restricao

ao intervalo [0, L] da serie de Fourier da extensao mpar de f com T = 2L) e dada por

n=1

bnsen(npix

L), x [0, L], (2)

com

bn =2

L

L0

f(x)sen(npix

L) dx, n IN.

Exemplo: Considere a funcao f : [0, 2] IR definida por

f(x) =

{1, 0 x 1

0, 1 < x 2

(a) Determine a serie de Fourier de f .

(b) Determine a serie dos cossenos de f .

(c) Determine a serie dos senos de f .

Resolucao:

(a) Vamos determinar a serie de Fourier de f . Como T = 2, temos

a0 =2

2

2

0

f(x) dx =

1

0

1 dx = 1

an =2

2

2

0

f(x) cos(n2pix

2) dx =

1

0

cos(npix) dx

=

(sen(npix)

npi

]10

=sen(npi)

npi

0

npi= 0, n IN

bn =2

2

2

0

f(x)sen(n2pix

2) dx =

1

0

sen(npix) dx =

(cos(npix)

npi

]10

= cos(npi) + 1

npi

=1 (1)n

npi, n IN.

12

A serie de Fourier de f , para todo x [0, 2], e dada por

1

2+

+n=1

1 (1)n

npisen (npix) =

1

2+

+k=0

2

(2k + 1)pisen ((2k + 1)pix) .

(b) Vamos determinar a serie de cossenos de f . Como consideramos a extensao

par de f , temos f com T = 4. Assim

a0 =2

4

2

2

f(x) dx =4

4

2

0

f(x) dx =

1

0

1 dx = 1

an =2

4

2

2

f(x) cos(n2pix

4) dx =

4

4

2

0

f(x) cos(n2pix

4) dx

=

1

0

cos(npix

2) dx =

(2sen(npix

2)

npi

]10

= 2sen

(npi2

)npi

, n IN

A serie de cossenos de f , para todo x [0, 2], e dada por

1

2+

+n=1

2sen

(npi2

)npi

cos(npix

2

)=

1

2+

+k=0

2(1)k

(2k + 1)picos

((2k + 1)pix

2

).

(c) Serie dos senos de f fica como exerccio.

cErclia Sousa 2009

13